Leadott anyag a Bevezetés a matematikába II tárgyhoz 2010. tavasz ...

Leadott anyag a Bevezetés a matematikába II tárgyhoz 2010. tavasz
A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendık!
7. Gráfelmélet
7.1. Alapfogalmak, összefüggıség
Fogalmak, definíciók:
Gráf (egyszerő, véges, reguláris, teljes, összefüggı) / él (hurok, párhuzamos, szomszédos,
szeparáló) / csúcs (izolált, szomszédos, fokszám, illeszkedés, szeparáló) / gráfok izomorfiája /
részgráf (telített) / komplementer gráf / (zárt, nyílt) élsorozat(séta) / út, vonal / kör / fa /
feszítıfa / alapkörrendszer / vágás / (feszítı)erdı / nullitás / rang Gráf súlya / Kruskalalgoritmus
/ Euler-gráf / Euler-kör / Hamilton-gráf / Hamilton-kör.
Tételek(+):
Fokszám-élszám / út létezése / zárt vonal gráfban (7.1.8) / 4 ekvivalens feltétel egyszerő
gráfra(7.1.11) / elsıfokú pont fában (7.1.12) / fa éleinek száma(7.1.13) / feszítıfa létezése. /
nullitás(7.1.16) / rang(7.1.19) / Kruskal algoritmusa / Euler-gráfok.
7.2. Irányított gráfok, síkbarajzolhatóság
Fogalmak, definíciók:
Kifok, befok, forrás nyelı / (szigorúan) párhuzamoos élek / irányított élsorozat (zárt, nyílt) /
út / kör / fa / irányított gráfok izomorfiája / erıs összefüggıség / összefüggı és erısen
összefüggı komponensek / irányított fa, gyökér, levél, szint magasság, szülı, gyerek, testvér /
síkbarajzolhatóság, tartomány / Kuratowski-gráfok / topologikus izomorfia / csúcsmátrix
(szomszédsági mátrix) / illeszkedési mátrix (élmátrix).
Tételek(+):
Euler-formula / síkgráf éleinek száma / síkgráf fokszámai / Kuratowski gráfok.
Tételek(-):
Irányítot gráf fokszámai / irányított gráf erıs összefüggısége / síkba-gömbre rajzolás / külsıbelsı
tartomány / Kuratowski-tétel.
8. Algebra
8.1. Csoportok
Fogalmak, definíciók:
Algebrai struktúrák, izomorfiájuk / n-ér mővelet / additív és multiplikatív írásmód /
morfizmusok / hommorf kép / mőveleti tulajdonságok: asszociativitás, regularitás,
kommutativitás, invertálhatóság, típusok / grupoid, félcsoport, csoport Abel-csoport / ntényezıs
szorzat / egységelemmel és inverzzel kapcsolatos fogalmak / komplexus /
komplexus szorzás / részcsoport / generátum / véges, végtelen ciklikus csoport / elem, csoport

endje / jobb és bal oldali mellékosztály / reprezentánsrendszer / részcsoport indexe / triviális
(rész)csoport / invariáns részcsoport (normálosztó) / belsı automorfizmus / faktor csoport /
természetes homomorfizmus és tulajdonságai / homomorfizmus magja / direkt szorzat /
szimmetrikus csoport.
Tételek(+):
Egységelem unicitása / inverz unicitása / homomorf invariánsok félcsoportban /
csoportdefiníciók ekvivalenciája / regularitás / komplexusok félcsoportja / ekvivalens
állítások részcsoportokra / részcsoportok metszete és uniója / generátum elemei / ciklikus
csoport részcsoportja ciklikus / ciklikus csoportok izomorfiája(8.1.20) / véges ciklikus
csoport részcsoportjai(8.1.23) / Lagrange-tétel és következményei / prímszámrendő csoport /
invariáns részcsoportokra vonatkozó ekvivalens állítások / normálosztó szerinti
mellékosztályok és kompatibilis odztályozás(8.1.34) + következmény / homomorfizmus-tétel
/ Cayley tétele.
Tételek(-):
Asszociativitási törvény / ciklikus csoport homomorf képe / véges Abel-csoportok alaptétele.
8.2. Győrők
Fogalmak, definíciók:
Győrő, kommutatív győrő, integritási tartomány, test / nullelem, egységelem / nullgyőrő,
zérógyőrő / nullosztó / karakterisztika / Bool-győrő / győrőhomomorfizmus / asszociáltak /
legnagyobb közös osztó, / részgyőrő, (triviális, valódi, fı) ideál / egyszerő győrő /
fıideálgyőrő
/ ideál szerinti mellékosztályok / faktorgyőrő / homomorfizmus magja / oszthatóság,
egységek / asszociált / felbonthatatlan, prím / Gauss-egészek / Gauss-győrő ((egyértelmő)
faktorizációs tartomány, UFD) / euklidészi győrő / prímideál, maximális ideál / hányadostest
/ győrőhierarchia felrajzolása.
Tételek(+):
Észrevételek(elıjelszabály, véges integritási tartomány, nullosztó testben, szorzás a
nullelemmel) / nullosztó és regularitás / győrő karakterisztikája. / győrő homomorf képe /
ideál szerinti mellékosztályok(8.2.15) + következmény / felbonthatatlan és prím integritási
tartományban / felbonthatatlan és prím Gauss-győrőben / egység és egységelem integritási
tartományban / egységek euklidészi győrőben(8.2.30) / számelmélet alaptétele eukl.
győrőben(8.2.34) / euklidészi győrő fõideálgyőrő (2.8.35) / irreducibilitás és fıideál
kapcsolata euklidészi győrőben / Szükséges és elégséges feltétel, hogy R/I test, illetve
integritási tartomány legyen + következmény / valódi ideálokról szóló tétel.
Tételek(-):
homomorfizmus-tétel / fıideálokról szóló állítások(8.2.25, 8.2.26) / bıvített euklidészi
algoritmus / fõideálgyőrő Gauss-győrő.

8.3. Polinomok, testbıvítések, véges testek
Fogalmak, definíciók:
Polinom és kapcsolódó fogalmak / polinom mőveletek / változó / polinom foka, konstans
polinom, monom, fıpolinom, primitív polinom / helyettesítési érték, gyök / polinomfüggvény
/ Horner-elrendezés / gyökök száma / polinom algebrai deriváltja / többszörös gyök /
irreducibilis polinomok különbözı számhalmazok felett / Lagrange-interpoláció,
titokmegosztás / parciális törtekre bontás / többváltozós polinomok / hányadostest / racionális
függvénytest / résztest, bıvített test / prímtest / egyszerő bıvítés / algebrai elem, algebrai
bıvítés / testbıvítések foka / minimálpolinom / véges, végtelen bıvítés / felbontási test.
Tételek(+):
Polinomok maradékos osztása / test feletti polinomgyőrő / gyöktényezı leválasztása / polinom
gyökeinek száma + következmények(8.3.7, 8.3.8) / többszörös gyök és derivált polinom
kapcsolata / parciális törtekre bontás / prím résztestek / testbıvítés vektortér /
minimálpolinom egyértelmő létezése / minimálpolinom tulajdonságai / egyszerő bıvítés
létezése / véges test elemszáma / véges testben a q = a / x q – x felbontási teste / véges testben
(a+b) q = a q + b q / véges testek egzisztenciája / véges testek unicitása / primitív elem.
.
Tételek(-):
Schönemann- Eisenstein-tétel / Gauss-tétel / testbıvítések foka / véges bıvítés algebrai /
egyszerő bıvítés izomorfiája faktorgyőrővel / egyszerő bıvítés bázisa+következmény /
egyszerő bıvítések izomorfiája / felbontási test egzisztenciája és unicitása / véges testek
résztest kritériuma / véges test multiplikatív csoportja / bıvítıelem létezése+következmény.
9. Kódolás
9.1. Az információ mérése
Fogalmak, definíciók:
Üzenet eloszlása / információtartalom, entrópia
Tételek(-):
Eloszlás entrópiája
9.2. Betőnkénti kódolás
Fogalmak, definíciók:
Kódolandó, és kódoló ábécé, kódoló függvény / prefix, infix, szuffix / kódfa / felbontható
kódok, prefix, vesszıs egyenletes kód / optimális kód, átlagos szóhosszúság / Huffman-kód.
Tételek(-):
McMillan-egyenlıtlenség / Shannon tétele zajmentes csatornára / Shannon-kód létezése /
optimális kód konstrukciója.

9.3. Hibakorlátozó kódolás
Fogalmak, definíciók:
t-hibajelzı, pontosan t-hibajelzı kód / kódok távolsága és súlya, Hamming-távolság és
tulajdonságai, Hamming-súly / csoport kód / paritásbites kód / minimális távolságú
dekódolás, döntési hiba, döntési függvény / t-hibajavító, pontosan t-hibajavító kód /
ismétléses kód / kétdimenziós paritásellenırzés / blokk kód, lineáris kód, ciklikus kód /
Hamming-korlát, tökéletes kód / Singleton-korlát / lineáris kód, generátormátrix, ellenırzı
mátrix / CRC / Hamming-kód.