3. gyakorlat Altér, generátorrendszer, lineáris függetlenség

Bevezetés a számításelméletbe 1. Tóth Ágnes
2012. szeptember 18. tothagi@cs.bme.hu
www.cs.bme.hu/~tothagi/bsz1
3. gyakorlat
Altér, generátorrendszer, lineáris függetlenség
Elméleti tudnivalók: altér, generátor rendszer, lineáris függetlenség, bázis, dimenzió, generált altér.
14. Döntsd el, hogy az R 4 vektortérben alteret alkotnak-e az alábbi részhalmazok!
⎧⎛
⎪⎨ ⎜
(a) ⎜
⎝
⎪⎩
x1
x2
x3
x4
⎞
⎟
⎠ : x3
⎫ ⎧⎛
⎪⎬ ⎪⎨ ⎜
= 0 , (b) ⎜
⎝
⎪⎭ ⎪⎩
x1
x2
x3
x4
⎞
⎟
⎠ : x2
⎫ ⎧⎛
⎪⎬ ⎪⎨ ⎜
= 1 , (c) ⎜
⎝
⎪⎭ ⎪⎩
15. (a) Igaz-e, hogy 〈(1, 2, 3), (5, 6, 7)〉 = 〈(1, 2, 3), (5, 6, 7), (6, 8, 10)〉?
(b) Igazoljuk, hogy 〈a, b, c〉 = 〈a + b, a + c, b + c〉.
x1
x2
x3
x4
⎞
⎟
⎠ : x1
⎫
⎪⎬
+ x2 + x3 + x4 ≥ 0 .
⎪⎭
16. Adjuk meg R3 (a háromdimenziós valós tér) minél kevesebb vektorát, úgy, hogy ezen vektorok
által generált altér éppen az alábbi legyen:
⎧⎛
⎞
⎫
⎨ x
⎬
⎝ y ⎠ : 3x + 2y + z = 0
⎩
⎭
z
17. Legyen a szokásos 3 dimenziós térben (R3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ -ben) ⎛
1
1
0
2
a = ⎝ 1 ⎠ , b = ⎝ 0 ⎠ , c = ⎝ 1 ⎠ és d = ⎝ 3
0
1
1
−1
Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igazak-e!
(a) a, b, c lineárisan független.
(b) a, b, d lineárisan független.
(c) a, b, c generátorrendszer.
(d) a, b, c bázis.
(e) d ∈ 〈a, b, c〉
(f) a, b, d generátorrendszer.
18. Legyen a, b, c lineárisan független (egy tetszőleges vektortérben). Bizonyítsuk be, hogy ekkor
az a − b, a − c, b + c vektorrendszer is lineárisan független!
19. Bizonyítsuk be, hogy ha a V vektortérben az a 1, a 2, . . . , a k egy lineárisan független rendszer
és b 1, b 2, . . . , b k+1 pedig egy generátorrendszer, akkor a két vektorrendszer közül pontosan az
egyik bázist alkot V -ben.
20. Tegyük fel, hogy v 1 +v 2 +v 3 +. . .+v 100 = 0 és v 2 +v 4 +v 6 +. . .+v 100 = 0 teljesül a V vektortér
v 1, v 2, . . . , v 100 vektoraira. Jelöljük a 〈v 1, v 2, . . . , v 100〉 generált alteret W -vel. Bizonyítsd be,
hogy dim W ≤ 98.
21. Tegyük fel, hogy egy (tetszőleges) V vektortér a, b, c és d elemeire a+b+c+d = 0. Melyek igazak
mindig az alábbi állítások közül? (a) 〈a, b〉 = 〈a, c〉, (b) 〈a, b, c〉 = 〈a, c, d〉, (c) 〈a, b, c〉 = 〈a, d〉.
22. Az u, v és w vektorok elemei, W pedig altere egy V vektortérnek. Tudjuk továbbá, hogy u+v ∈
W , 3u + w ∈ W , de v + 2w /∈ W . Mutassuk meg, hogy 6u + 3v + w ∈ W , de 5u + 3v + w /∈ W .
⎞
⎠ .

23. Legyenek v1, v2, . . . , vn egy (tetszőleges) V vektortér vektorai. Vezessük be az u1 = v1, u2 =
v1 + v2, u3 = v1 + v2 + v3, . . . , un = v1 + v2 + · · · + vn vektorokat. Bizonyítsuk be, hogy
az u1, u2, . . . , un vektorok lineárisan függetlenek, akkor a v1, v2, . . . , vn vektorok is lineárisan
függetlenek.
24. Tudjuk, hogy egy vektortérben a v 1, v 2, . . . , v 100 vektorok bázist alkotnak. Hány dimenziós a
〈v 1 + v 2, v 2 + v 3, . . . , v 99 + v 100, v 100 + v 1〉 altér?
25. Tudjuk, hogy 〈a, b〉 = 〈c, d, e〉. Lineárisan függetlenek-e az a, c, e vektorok?
26. Bizonyítsuk be, hogy egy 99 dimenziós vektortér két, 50 dimenziós alterének mindig van a
nullvektortól különböző közös eleme.
Kapcsolódó zh feladatok
(a korábbi zh feladatsorok elérhetőek a tárgy honlapján: www.cs.bme.hu/bsz1):
2011-zh1/3., 2011-ppzh1/2., 2010-zh1/3., 2010-pzh1/2., 2010-ppzh1/3., 2011-pzh1/2.