23. tétel: A mérés (szög, hosszúság, terület, térfogat)

Definíciók:
1. Szögmérés
23. tétel: A mérés (szög, hosszúság, terület, térfogat)
• Szögmérés egységei:
A szögek méréséhez egységre van szükség.
A szög mértékegysége, a fok. 1° a derékszög 90-ed része (a teljesszög 360-ad része).
A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara
(illetve azok félegyenese). Két sugár két középponti szöget határoz meg.
Mindkét középponti szög szárai között egy-egy körív van. Azt mondjuk: „az α
szöghöz az i1 körív tartozik”, vagy „az i2 köríven a β szög nyugszik”.
Láttuk, hogy egy körben a középponti szög és a hozzá tartozó körívhossz között
egyenes arányosság van. Ez lehetővé teszi azt, hogy egy szög nagyságát a hozzá tartozó
körívhossz segítségével mérjük. Az ezzel az arányossággal kapott számértéket a szög
ívmértékének nevezzük.
Az 1 radián nagyságú szög fokokban kifejezve:
α°: 360° = r: 2rπ, egyszerűbben α°: 360° = 1 : 2π.
1 radián: 360/2π=180/π≈ 57° 17’ 44,8′′.
Az egységsugarú körben egy radián, azaz kb. 57°-os középponti szöghöz tartozó
körív hossza egységnyi. Ebben az egységsugarú körben az α°-os középponti szöghöz
tartozó körív hossza megmutatja, hogy a szög ívmértéke hány radián.
• Metsző egyenesek hajlásszöge: az általuk bezárt szögek közül a nem nagyobb.
• Kitérő egyenesek hajlásszöge:
Természetesnek érezzük, hogy kitérő egyenesek hajlásszögéről is beszélünk. Az
eddigiek alapján azonban nem tudunk választ adni arra a kérdésre, hogy mit értsünk két
kitérő egyenes hajlásszögén. Erre definíciót kell megfogalmaznunk.
Az egyik síkban lévő két egyenes hajlásszögéről tudjuk, hogy annak nagysága nem
változik akkor, ha az egyik egyenest párhuzamosan eltoljuk. A hajlásszögnek ezt a
tulajdonságát szeretnénk megtartani. Ezért a további hajlásszögeket úgy értelmezzük,

hogy ha az egyeneseket párhuzamosan eltoljuk, akkor a hajlásszögük ne változzon.
Ezek után megfogalmazhatjuk a definíciót.
Két kitérő egyenes hajlásszögének nevezzük a tér egy tetszőleges pontján
átmenő, velük párhuzamos egyenesek hajlásszögét.
Az így értelmezett hajlásszög nem függ a pont megválasztásától.
• Síkra merőleges egyenes:
Tétel: Ha egy egyenes merőleges a sík két egymást metsző egyenesére, akkor
merőleges a sík minden egyenesére, azaz merőleges a síkra.
Egy egyenes és egy sík akkor merőleges egymásra, ha az egyenes merőleges a sík
minden egyenesére.
• Egyenes és sík hajlásszöge:
• Két sík hajlásszöge:
Két metsző sík hajlásszögének meghatározásához legyen P a két sík
metszésvonalának egy tetszőleges pontja. P-ben a két sík mindegyikén egy-egy
merőlegest állítunk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge megegyezik ezen két
egyenes hajlásszögével.
Két párhuzamos sík hajlásszöge 0°.
2. Hosszúságmérés
• Ha egy szakaszt hosszegységnek nevezünk, akkor minden szakaszhoz hozzárendelhetünk
egy pozitív valós számot, amelyet a szakasz hosszának nevezünk, és a következő
tulajdonságokkal rendelkezik:
1. A hosszegység hossza 1.
2. Egybevágó szakaszok hossza egyenlő.
3. Egy szakaszt bármely belső pontja két olyan szakaszra bont fel, amelyek hosszának
összege az eredeti szakasz hossza.
• A valós számok (a számegyenes pontjai, a racionális és irracionális számok összessége)
folytonosságot alkotnak, ahogy a számegyenes pontjai folytonosan töltik ki a
számegyenest.
• Pont és egyenes távolsága: a pontból az egyenesre bocsátott merőleges egyenes
talppontja és a pont által meghatározott szakasz hossza.
• Pont és sík távolsága: pont és sík távolságán a pontnak és a síkon lévő merőleges
vetületének a távolságát értjük.
• Sík és vele párhuzamos egyenes távolsága: sík és a síkkal párhuzamos egyenes
távolságán az egyenes egy tetszőleges pontjának a síktól mért távolságát értjük.
3. Területszámítás:
• Sokszögek területe: Minden sokszöghöz hozzárendelhetünk egy pozitív valós számot,
amelyet a sokszög területének nevezünk, és a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1. Egységnégyzet területe 1.
2. Egybevágó sokszögek területe egyenlő.
3. Ha egy sokszöget két sokszögre bontunk, akkor e kettő területének összege az eredeti
sokszög területével egyenlő.
• Síkidomok területe:
• Téglalap: T=ab

• Paralelogramma: T=ama=ab*sinχ
• Háromszög: T=ama/2= ab*sinχ/2=a 2 *sinβsinχ/2sinα=abc/4R=sr
• Trapéz: T=(a+c)/2*m=km
• Deltoid: T=ef/2
• Szabályos n-szög: T=½nar=nR 2 sinϕ/2
• Kör: T=r 2 π
• Körcikk: T=ri/2
• Körszelet: T=1/2[ri-h(r-m)]
• Az [a; b] intervallumon nem negatív, integrálható f(x) függvény görbéje alatti területet az
alábbi képlettel számolhatjuk:
4. Térfogat- és felszínszámítás
Tételek:
b
∫
a
f ( x)
dx
• Poliéderek térfogata: Minden poliéderhez hozzárendelhetünk egy pozitív valós számot,
amelyet a poliéder térfogatának nevezünk, és a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1. Egységkocka térfogata 1.
2. Egybevágó poliéderek térfogata egyenlő.
3. Ha egy poliédert két poliéderre bontunk, akkor e kettő térfogatának összege az eredeti
poliéder térfogatával egyenlő.
• Poliéderek felszíne a határoló lapok területének összege.
1. Hasonló síkidomok területére vonatkozó tétel: hasonló síkidomok területének aránya a
hasonlóság arányának a négyzete.
2. Az [a; b] intervallumon nem negatív, integrálható f(x) függvény görbéje alatti területet az
alábbi képlettel számolhatjuk:
b
∫
a
f ( x)
dx
3. Hasonló testek térfogatára vonatkozó tétel: hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság
arányának a köbe.
4. Hengerszerű testek térfogata: az alaplap területének és a test magasságának a szorzata
5. Hengerszerű testek felszíne: az alaplap kétszeres területének és a palást területének az összege
6. Egyenes hasáb felszíne és térfogata: A=2T+P; V=Tm
7. Egyenes körhenger felszíne és térfogata: A=2r 2 π+2rπm; V=r 2 πm
8. Kúpszerű testek felszíne és térfogata: A=r 2 π+rπa; V=r 2 πm/3
9. Csonkagúla felszíne és térfogata: A=T+t+P;
( T +
V =
Tt + t)
m
3
10. Csonkakúp felszíne és térfogata: A=R 2 π+r 2 π+(R+r)aπ; V=(R 2 +Rr+r 2 )mπ/3
11. Gömb felszíne és térfogata:A=4R 2 π; V=4R 3 π/3

12. Az [a; b] intervallumon nem negatív, folytonos f(x) függvény görbéjének az x tengely körüli
megforgatásával kapott forgástest térfogatát az alábbi képlettel számolhatjuk:
b
∫
2
V = π f ( x)
dx
a
13. Az [a; b] intervallumon nem negatív, folytonos f(x) függvény görbéjének az x tengely körüli
megforgatásával kapott forgástest palástjának felszínét az alábbi képlettel számolhatjuk:
Bizonyítások:
• Vgömb=4r 3 π/3
F = 2π
b
∫
a
f ( x)
1 + ( f '(
x))
2 2
Vegyük fel az függvényt, majd forgassuk meg az x tengely körül! Így egy
y = r − x
forgástest, egy félgömb keletkezik, melynek térfogatát kiszámíthatjuk a függvény alatti terület
meghatározásának segítségével. Ennek kétszerese a gömb térfogata.
V
gömb
Alkalmazások:
2 2 2
= 2π
∫ ( r − x ) dx = 2π
∫ ( r
Matematikai:
1. Kerületszámítás
2. Területszámítás
3. Térfogatszámítás
r
0
r
0
2
− x
Fizikai:
1. Változó erő munkája (F-s grafikon alatti terület)
2. p-V grafikon alatti terület → Wtágulási
3. P-t grafikon alatti terület → Welektromos
Egyéb:
1. Építészet
2. Gépészmérnöki munka
3. Könnyűipar
2
) dx = 2π[
r
2
2
dx
3
x
x − ]
3
r
0
= 2π
( r
3
3
r
− −
3
0)
3
4r
π
=
3