Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára
1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı:
Norma teljesítmény %
Dolgozók száma
60-80 30
81-90 70
91-100 90
101-110 100
111-120 80
121-140 60
141-160 40
161-200 30
a) Határozza meg az átlagos teljesítmény % értékét és az átlag körüli szórás nagyságát!
b) Számítsa ki a szórási együtthatót!
c) Ábrázolja a tapasztalati sőrőségfüggvényt és a tapasztalati eloszlásfüggvényt!
2. Automata gép zöldbabot tölt tasakokba. Mintavétel során az alábbi értékeket kapták a
tömegre (g):
478, 503, 508, 487, 500, 513, 513, 504, 492, 515, 500, 486, 497, 509, 499,
487, 500, 516, 516, 500, 500, 492, 497, 510, 508, 495, 509, 498, 500, 498.
a) Határozza meg a minta mediánját, a móduszt és a minta terjedelmét!
b) Számítsa ki a mintaátlagot és a korrigált tapasztalati szórást!
c) Határozza meg a szórási együtthatót és a standard hibát!
d) Adjon megbízhatósági intervallumot a várható értékre 99%-os valószínőségi szinten!
3. Egy üzemben elıírt átmérıjő alkatrészeket gyártanak. Az egy hónap alatt legyártott több
ezres tételbıl 160 elemő mintát vettek. Az átmérıre vonatkozó adatokat osztályokba
sorolva a következı gyakoriságokat kapták:
Átmérı (mm)
Gyakoriság
12,325-12,355 2
12,355-12,385 4
12,385-12,415 4
12,415-12,445 10
12.445-12,475 16
12,475-12,505 22
12,505-12,535 44
12,535-12,565 26
12,565-12,595 12
12,595-12,625 8
12,625-12,655 6
12,655-12,685 4
12,685-12,715 2
48

Ábrázolja a tapasztalati eloszlásfüggvényt és a tapasztalati sőrőségfüggvényt!
4. Palackozó automata gép által az üvegekbe töltött üdítıital térfogatát mérték 50 elemő
minta alapján. A mintaátlag 494 cm 3 volt. Hosszabb idın át végzett megfigyelések azt
mutatták, hogy a gép 9 cm 3 -es szórással dolgozik. Feltételezve, hogy az üvegekbe töltött
ital mennyisége normális eloszlást követ, adja meg a konfidenciaintervallumot 90%-os
valószínőségi szinten a palackokba töltött italmennyiség várható értékére.
5. Egy forgalmas útkeresztezıdésnél félórán át percenként feljegyezték az egyik irányban
áthaladó gépkocsik számát.
A megfigyelt adatok:
10, 20, 13, 18, 12, 23, 26, 21, 25, 21, 14, 15, 22, 24, 18,
16, 17, 18, 20, 23, 27, 28, 20, 25, 19, 23, 23, 30, 28, 17
a) Számítsa ki a mintaátlagot és a korrigált tapasztalati szórást! A szórás hány százaléka
az átlagnak?
b) Adja meg a konfidenciaintervallumot a várható értékre 99%-os valószínőségi szinten!
6. A dobozos margarin névleges tömege 250 g. Ellenırzéskor 60 doboz tömegét mérték,
és a következı adatokat kapták:
248, 250, 240, 246, 251, 243, 247, 244, 248, 256,
253, 251, 250, 258, 248, 249, 249, 251, 253, 246,
253, 245, 242, 250, 244, 248, 246, 254, 245, 252,
250, 251, 249, 255, 248, 252, 255, 250, 258, 243,
254, 258, 259, 250, 251, 242, 238, 248, 250, 252.
a) Határozza meg a minta mediánját és a mintaátlagot!
b) Készítse el a tapasztalati sőrőségfüggvényt!
7. Egy fonal szakítószilárdságának átlaga 20 mérésbıl 35 N. Szabványelıírás alapján a
szórás nem lehet több, mint 3,2 N.
a) 99%-os valószínőségi szinten milyen konfidenciaintervallumba esik a várható érték?
b) Hány mérést kell végezni, ha a szabvány a konfidenciaintervallum félszélességére
legfeljebb 2 N-t enged meg?
8. Automata töltıgép elıírt 1 kg tömegő gyümölcsöt tölt konzervdobozokba. 20 esetben
mérték meg a gyümölcs tömegét és az elıírt tömegtıl való eltéréseket osztályokba
sorolták:
⎛ 1
Eltérés a szabványtól ⎜
⎝100 kg ⎞
⎟
⎠
Gyakoriság
(-4;-3] 1
(-3;-2] 2
(-2;-1] 4
49

(-1;0] 8
(0;1] 5
(1;2] 3
(2;3] 1
a) Készítse el a tapasztalati sőrőségfüggvényt és a tapasztalati eloszlásfüggvényt!
b) Számítsa ki a minta átlagát!
c) 95%-os valószínőségi szinten elfogadható-e az az állítás, hogy az átlag eltérése a 0
várható értékétıl csak véletlen?
9. Egy adott típusú személygépkocsi átlagos fogyasztása a gyártó szerint 8,5 liter/100km.
Húsz mérést végezve az átlagos fogyasztásra 9 liter/100km, a szórásra 2 liter/100km
értéket kaptunk. Elfogadható-e a gyári adat 99%-os valószínőségi szinten?
10. Egy csomag liszt névleges tömege 1 kg. Normális eloszlást feltételezve ellenırizni
kívánták, hogy a csomagok átlagos tömege megfelel-e az elıírt értéknek.
Véletlenszerően kiválasztott 30 db csomag tömegét megmérve az átlagérték 0,96 kg;
a korrigált tapasztalati szórás 8 g volt.
a) 95%-os valószínőségi szinten elfogadható-e az az állítás, hogy egy csomag liszt
tömegének várható értéke 1 kg?
b) Vizsgálja meg ugyanezt a hipotézist 99%-os valószínőségi szinten is!
11. Kétféle tápszert alkalmazva vizsgálták az állatok tömeggyarapodását.
Az elsı esetben 26 elemő mintánál x = 1
61 és (s 1 ∗ ) 2 = 19 ; a második esetben
21 elemő mintánál x = 2
64,5 és (s 2 ∗ ) 2 = 22 értéket kaptak. 95%-os valószínőségi
szinten véletlen-e a két szórás eltérése, illetve a két átlag eltérése?
12. Töltıgépet magasabb értékre állítva - feltételezve, hogy a szórás nem változik - ,
ellenırizni kívánjuk, hogy a várható érték valóban növekedett. A beavatkozás elıtt
és után mintát véve az átlagra és a szórásra az alábbi eredményeket kapták:
∗
n
1
= 20 x
1
= 488 s1
= 4,
5
∗
n
2
= 20 x
2
= 494 s
2
= 3,
8 .
Döntsük el, hogy 95%-os valószínőségi szinten a várható érték növekedése szignifikánsnak
minısíthetı-e?
13. Két üzemben ugyanazt a fajta mosóport gyártják. A névleges tömeg 500 g. A két
üzemrész termékeibıl 36-36 elemő mintánk van. Az elsı minta tapasztalati szórása l2 g,
a másodiké 26 g. Az egyes üzemrészekben elıállított termékek tömege két, független,
normális eloszlású valószínőségi változónak tekinthetı. Welch próbával kívánjuk
ellenırizni azt a feltevést, hogy a két üzemrészbıl származó mosóporok tömegének
várható értéke megegyezik. 95%-os valószínőségi szinten a két minta átlagának
legfeljebb hány grammal kell eltérnie egymástól ahhoz, hogy a feltevést elfogadjuk?
50

14. Az alábbi két mintáról szórásaik és átlagaik alapján állapítsuk meg, hogy szignifikánsan
különböznek-e? (p=0,05)
I.
Gyakoriság (f i ) 1 2 4 3 2
Tömeg (x 1 ) 4 6 9 10 13
II.
Gyakoriság (f i ) 2 4 3 3 2 1
Tömeg(x 2 ) 4 5 6 8 10 12
15. Búzaállományból 300 elemő mintát vettek, és a kalászhosszat mérve a következı
adatokat kapták:
Kalászhossz (cm)
x i-1 -x i
Gyakoriság
f i
3,5-4,5 4
4,5-5,5 10
5,5-6,5 23
6,5-7,5 42
7,5-8,5 81
8,5-9,5 61
9,5-10,5 43
10,5-11,5 25
11,5-12,5 11
χ 2 próbával vizsgálja meg 95%-os valószínőségi szinten azt a feltevést, hogy az
alapsokaság normális eloszlású!
16. Egy városban adott idıpontban 240 parkolóhelyen végeztek felmérést a parkoló
helyeken található gépkocsik számára nézve:
Gépkocsik száma
x i-1 -x i
Parkolóhely
f i
0-10 11
10-20 22
20-30 46
30-40 85
40-50 43
50-60 20
60-70 13
95%-os valószínőségi szinten igaz-e, hogy normális eloszlású sokaságból származik a
minta?
17. Egy textilüzemben a korábbi tapasztalok szerint a fonalszakadások száma Poisson
51

eloszlású λ=2 paraméterrel. Az alábbi adatok alapján vizsgáljuk meg, hogy igaz-e az
állítás 95%-os valószínőségi szinten!
Fonalszakadások száma
Gyakoriság
x i
f i
0 29
1 53
2 50
3 37
4 19
5 7
6 3
7 1
8 1
≥9 0
18. Szalámi zsírtartalmának változását kísérték figyelemmel az érlelés idıtartama alatt.
Vizsgálja meg az összefüggést a tárolási idı és a zsírtartalom között!
a) Számítsa ki a korrelációs együttható értékét!
b) Számítsa ki a regressziós függvény paramétereit!
Tárolási idı (hét)
x
1
2
3
4
5
6
8
10
11
12
Zsírtartalom %
y
11
13
13,5
14
14
15
15,5
17
18
16
19. Egy vizsgálat során 15 állat szérum - koleszterolszintjét (y) és az artériafal
kalciumtartalmát (x) mérték. Az alábbi eredmények alapján számítsa ki a korrelációs
együttható értékét!
x (mg/100ml) 42 59 58 52 24 24 40 63 57 36 24 40 26 60 42
y(mg/100g 230 286 290 304 238 240 266 290 288 265 238 258 253 285 270
szárazsúly)
Ha erıs lineáris korreláció van, adja meg a becsült regressziós függvényt!
20. A szántás mélysége és a termésátlag kapcsolatát vizsgálva az alábbi eredményt kaptuk:
52

Szántás mélysége (cm)
Termésátlag (t/ha)
x i
y i
7 3,5
8 3,7
9 3,9
10 4,2
11 4,3
12 4,5
13 4,7
a) Ábrázolja az összetartozó értékeket korrelációs diagramon!
b) Határozza meg a regressziós függvény paramétereit!
53