pdf 131 Kb

Eötvös Loránd TudományegyetemTermészettudományi KarTANTÁRGY ADATLAPés tantárgykövetelmények2005.Tantárgycím: Algebra1, középszintMatematika AlapszakKötelező tantárgy2. Tantárgykódjafélév Követelmény Kredit Nyelv Modul/szakirányelső kollokvium +gyakorlati jegy2+3 magyar3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:Dr. Kiss Emil, Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet.4. A tantárgy előadója:Név: Beosztás: Tanszék, Int.:dr. Ágoston Istvánegyetemi docensdr. Freud Róbertegyetemi docens Algebra és Számelméletdr. Hermann Péteregyetemi docens Tanszékdr. Kiss Emilegyetemi tanárdr. Pálfy Péter Pálegyetemi tanár Matematikai Intézetdr. Szabó Csabaegyetemi docens5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:A tárgy a középiskolai matematika anyag ismeretét követeli.6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:A Bevezető Matematika kritériumtárgy követelményeinek teljesítése, illetve ha nem sikerül,akkor a tantárggyal párhuzamos hallgatása.Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.Az algebra1 tárgyat párhuzamosan három szinten hirdetjük meg (alap- közép- és emelt szint),ezek közül egyet kell választani. A három szint egymás között szabadon átjárható.7. A tantárgy célkitűzése:A tárgy célja az alapvető algebrai ismeretek bemutatása (komplex számok, polinomok,mátrixok és determinánsok). A középszint azt jelenti, hogy az akkreditált tematikábanszereplő fogalmakat, tételeket, módszereket közepes részletességgel és sebességgel

tárgyaljuk, figyelmet fordítva az absztrakt algebra megalapozására is. Ezzel elsősorban amásodéven választható alkalmazott matematikus, matematika tanár és elemző szakirányigényeit tartjuk szem előtt.8. A tantárgy részletes tematikája:Komplex számok. A komplex számok (mint formális kifejezések). Valós és képzetes rész,ezek egyértelműsége. Összeadás, kivonás, szorzás. Konjugált, abszolút érték, tulajdonságaik,kapcsolatuk. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani, nullosztómentesség. Aműveletek tulajdonságai: a komplex számok testet alkotnak. Négyzetgyökvonás, a másodfokúegyenlet megoldása.A komplex számsík, komplex szám argumentuma (szöge) és trigonometrikus alakja.Összeadás, mint vektorösszeadás. Szorzás és osztás trigonometrikus alakban. Egyesgeometriai transzformációk kifejezése komplex számokkal. A háromszög-egyenlőtlenség(geometriai bizonyítással). Geometriai feladatok megoldása a komplex számsíkon.Komplex szám rendje, komplex egységgyökök, trigonometrikus alakjuk, számuk.Gyökvonás komplex számból, az n-edik gyökök meghatározása és geometriai elhelyezkedése.Primitív n-edik egységgyök: melynek hatványai pontosan az összes n-edik egységgyököketadják. Jellemzésük a trigonometrikus alak segítségével, számuk. A hatvány rendjének képlete.Polinomok. Kommutatív, egységelemes gyűrű fölötti polinom, mint formális kifejezés.Polinomok egyenlősége, együtthatói, főegyütthatója, normált polinom. Összeadás,nullapolinom, kivonás, szorzás. Nem nulla polinom foka, a fokszám változása aműveleteknél. A polinomok gyűrűje, nullosztómentesség.A polinomfüggvény fogalma. Polinom gyöke, a Horner-elrendezés, a gyöktényezőkiemelhetősége. A gyökök maximális száma, a polinomok azonossági tétele. Végtelennullosztómentes gyűrű fölött a polinomfüggvények és a polinomok kapcsolata kölcsönösenegyértelmű, de véges gyűrű fölött nem. Az algebra alaptétele (bizonyítás nélkül): komplexfölött minden nem konstans polinomnak van gyöke. Gyök multiplicitása. Egy n-edfokúkomplex együtthatós polinomnak multiplicitásokkal számolva pontosan n komplex gyökevan. A racionális gyökteszt. A Lagrange-interpoláció.A többhatározatlanú polinom fogalma. A gyökök és együtthatók összefüggése. Aszimmetrikus polinomok alaptétele.A polinomok számelmélete. Számelméleti fogalmak polinomokra: oszthatóság, egység,felbonthatatlan (más néven irreducibilis), prímtulajdonságú polinom, kitüntetett közös osztóés többszörös, ezek egyértelműsége. A polinomgyűrű egységei. Minden olyan polinommallehet maradékosan osztani, amelynek a főegyütthatója egység. A maradékos osztásegyértelmű. Az euklideszi algoritmus, az irreducibilis és prím elemek kapcsolata. Aszámelmélet alaptétele érvényes tetszőleges test fölötti polinomok gyűrűjében, az egészszámok számelméletének mintájára.Test fölött az irreducibilis polinomok azok a nem konstans polinomok, melyek nembonthatók alacsonyabb fokúak szorzatára. Minden elsőfokú polinom irreducibilis; a másod- ésharmadfokúak pontosan akkor irreducibilisek, ha nincs az alaptestben gyökük. Ha egylegalább másodfokú polinomnak van az alaptestben gyöke, akkor nem irreducibilis (de hanincs gyöke, lehet reducibilis). Az irreducibilis polinomok komplex fölött az elsőfokúak. Egyvalós együtthatós polinomnak minden komplex szám ugyanannyiszoros gyöke, mint akonjugáltja. Minden páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. A valós