MatekA_7_diák-munkafüzet

8 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETb)3 4 2 6 107(–3) 4 (–10) 3 (–1) 94⎛1⎞⎜ ⎟⎝2⎠(– 0,5) 30,3 2 1,122. Írd a szorzatalakot hatványalakba, a hatványalakot szorzatalakba! Számítsd ki az értékét!a) 2 · 2 · 2 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10(–1)·(–1)·(–1)·(–1) (–1)·(–1)·(–1)·( –1)·( –1)·( –1)·( –1)1 17 ⋅ 7⎛ 1 1⎜−⎞ ⎟⋅ ⎛ ⎜−⎞ ⎟⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠1 1 1⋅ ⋅ 0,2 · 0,2 · 0,2 · 0,210 10 100,5 · 0,5 · 0,510b) 10(– 2) 51 3(–3) 5(–10) 42 2 2 2⋅ ⋅ ⋅5 5 5 52 10 432342(–0,3) 21,5 2(0,1) 4(–0,1) 4(–0,5) 4(–1) 20 4⎛ 1 ⎞⎜−⎟⎝ 2 ⎠

0711. HATVÁNYOZÁS… • A hatványozás fogalma és tulajdonságai 92. FELADATLAP1. Töltsétek ki a táblázat üres mezőit!ezer száz tíz egy tized század Ezred Tízezred10000,00111000010 32. Írjátok be a helyi érték táblázatba a szemelvények szövegeiben található számokat!10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 11 110 2101310141015101610171018109110

10 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET3. Melyik több? Tedd ki a megfelelő (, =) jelet!a)310510⎛ 1 ⎞⎜ ⎟⎝10⎠35⎛ 1 ⎞⎜ ⎟⎝10⎠11035⎛ 1 ⎞⎜ ⎟⎝10⎠353⎛2⎞⎜ ⎟⎝5⎠2− 5 ( −5) 2( 2) 3−3− 2⎛ 1 ⎞⎜ ⎟⎝10⎠4⎛ 1 ⎞⎜ ⎟⎝100⎠2⎛3⎞⎜ ⎟⎝2⎠4432( − 2) 2( − 8) 3b) Melyik több és hányszor?8234533 9688 46522551049 76103205225832 164683ÖSSZEFOGLALÁS:Az ismételt szorzás rövidítésére bevezetjük a hatványozás műveletét. Például:10 5 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 000Az ismétlődő szorzótényező – 10 – a hatvány alapja, a szorzótényezők darabszáma – 5 – akitevő és tíz az ötödiken-nek olvassuk.A hatványozás felírása általánosan:na = a·a·a·a·a…….·an darab tényezőn a tényezők darabszáma, ha n egynél nagyobb pozitív egész szám.Az a n az a számnak az n-edik hatványa, a hatványalap a, n a hatványkitevő.Bármely pozitív természetes szám 0-dik hatványa 1-gyel egyenlő.0a = 1, ha a ≠ 0.

0711. HATVÁNYOZÁS… • A hatványozás fogalma és tulajdonságai 113. FELADATLAP1. Írd be a hatványtáblázatba a megfelelő értékeket! Próbálj szabályosságokat keresni!2 1 = 3 1 = 4 1 = 5 1 = 10 1 =2 2 = 3 2 = 4 2 = 5 2 = 10 2 =2 3 = 3 3 = 4 3 = 5 3 = 10 3 =2 4 = 3 4 = 4 4 = 5 4 = 10 4 =2 5 = 3 5 = 4 5 = 5 5 = 10 5 =2 6 = 3 6 = 4 6 = 5 6 = 10 6 =2. A három állítás közül kettő igaz, egy hamis. Melyik a hamis?a) 2-nek van olyan hatványa, amelyik 4-nek is hatványab) 4-nek minden hatványa kettőnek is hatványa.c) 2-nek minden hatványa 4-nek is hatványa.3. Oldd meg a nyitott mondatokat!2 a =4 b ab2 x =3 y xy2 s =8 t st3 c =9 d cd4 r =8mrm5 k =10 nkn

12 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET4. FELADATLAP1. Hány szorzással jutsz célba? Minden lépésben ugyanazzal a számmal szoroztunk.a) Hány kettes tényező hiányzik?1·2·2·2·…· 2·2=64 1·2·2·2·…· 2·2=1281·2·2·2·…· 2·2=256 1·2·2·2·…· 2·2=512b) Hány tényező hiányzik? Használhatod a hatványtáblázatot!1·2·2·2·…· 2·2=40961·4·4·4·…· 4·4=40961·8·…· 8·8=40962. Milyen számokat jelölnek a betűk?10 2 · 10 3 = 10 a 10 9 · 10 3 · 10 5 = 10 b10 3 · 10 2 · 10 5 · 10 10 = 10 c 10 3 · 10 3 · 10 5 = 10 d10 e · 10 e = 10 10 10 f · 10 g = 10 1010 h · 10 h · 10 h = 10 12 10 i · 10 j · 10 k = 10 12ÖSSZEGZÉS:Azonos alapú hatványok szorzásakor a kitevők összegződnek, mert a kitevők a tényezőkdarabszámát adják meg.Azonos alapú hatványok szorzata olyan hatvány, amelynek az alapja ugyanaz, a kitevőjepedig a tényezők kitevőinek összege. Például:10 3 · 10 2 · 10 5 · 10 10 = 10 (3+2+5+10) = 10 203. Keresd meg a hiányzó kitevőket!a)3a · a 2 · a 5 · a 10 = a (3+2+5+10) = a 202 k · 2 m = 2 k+mka · a m = a k+m2·2·2 · 2 a · 2·2= 2 102 3 · 2 b = 2 115·5·5·5 · 5 c · 5·5·5 · 5 3 · 5·5·5·5 = 5 15 3 3 · 3 d · 3 2 · 3 5 = 3 11

0711. HATVÁNYOZÁS… • A hatványozás fogalma és tulajdonságai 13b) Írd be a hiányzó hatványokat!· 3 4· 4 2· 3 1· : 4 24 3 4 5 3 5 3 6 2 1 2 4 3 3 3 7: : 2 3 : · 7 2 7 7· · a 3 · 5 4 5 9 a 5 a 8 b 5 b 7: : : : c) Írd fel hatványalakban!(10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10) : (10 · 10 · 10 · 10) =10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 10= =10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 1074= 10 7 : 10 4 = (5·5·5·5) : (5·5) =5555 ⋅ ⋅ ⋅ 5=55 ⋅ 542= 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 2=2⋅2⋅2 263= 2 6 : 2 3 = 33333333333 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3=3333 ⋅ ⋅ ⋅3114= 3 11 : 3 4 =

14 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETd) Írd fel egyetlen hatványként!ÖSSZEGZÉS:10 5 : 10 2 =6 9 : 6 2 =9 11 : 9 5 = 3 7 : 3 6 =5 10 : 5 5 = 2 12 : 2 4 : 2 3 =3 15 : 3 12 = 7 8 : 7 4 : 7 2 =20 5 : 20 2 = 11 8 : 11 4 : 11 1 =a 8 : a 4 = b 12 : b 3 =Azonos alapú hatványok osztásakor az osztó kitevőjét kivonjuk az osztandó kitevőjéből.Azonos alapú hatványok hányadosa olyan hatvány, amelynek az alapja ugyanaz, a kitevőjepedig a tényezők kitevőinek a különbsége. Például:10 8 : 10 2 = 10 (8–2) = 10 68 5 (8–5) 3a : a = a = a8a{ugyanez törtes alakban is: = a (8–5) = a 3 }5a2 k : 2 m = 2 k–mk ma : a = a k–mEzzel a feladattal ellenőrizheted, mennyire érted a hatványozást.Írd fel az eredményt egyetlen hatványként!5 2 · 5 3 =7 · 7 4 · 7 3 =10 5 : 10 = 10 8 : 10 2 =4 3 · 4 8 : 4 5 = 1012 : 10 7 · 10Írd be a hiányzó kitevőket!8 a · 8 a = 8 12 3 b : 3 4 = 3 52 c · 2 8 : 2 5 = 2 7 11 5 : 11 2 : 11 d = 114=

0711. HATVÁNYOZÁS… • A hatványozás fogalma és tulajdonságai 155. FELADATLAPVegyes gyakorló feladatok1. Minden embernek két szülője van. A szülőknek is két szülőjük van, ez 2·2 nagyszülőtjelent. A nagyszülők szülei még kétszerennyien vannak. Ez 2 2 = 4 nagyszülőt, 2 3 = 8dédszülőt… a 10. lépésben 2 10 = 1024 őst jelent. 100 év alatt átlagosan több mint 3leszármazott generáció keletkezik. Ez 1000 év alatt több mint 30 generációt jelent. Ennekalapján ki tudod találni, hogy 1000 évvel ezelőtt hány ősöd élt.2. Milyen számokat írhatunk az n helyébe, hogy igaz legyen600 < n 4 < 6000?Írjunk az n helyébe 10-et: 10 4 = 10000. Ez jóval nagyobb, mint 6000, tehát a 10 túl nagy.Írjunk az n helyébe kisebbet, például 6-ot: 6 4 = 1296. Ebben az esetben igaz azegyenlőtlenség, mert 600 < 1296 < 6000. Jelöld az előbbi nyíldiagramon! Írjunk az nhelyébe még kisebb számot, például 3-at: 3 4 = 81. Ez már túl kicsi. Ezt is jelöld a fentinyíldiagramon! Ezek szerint az n helyébe elég a 3 és a 10 közötti számok közülválogatnunk.Próbálgass tovább!3. Ebbe a pohárba egy olyan sejtet tettünk, amelyik percenként kettéosztódik. Az új sejtekugyanakkorák, mint a régiek, és ezek is percenként kettéosztódnak. (Először 1 percnyi életután osztódnak ketté.)a) Hány perc múlva lesz 64 sejt a pohárban?b) Hány perc múlva lesz 128 sejt a pohárban?c) Hány perc múlva lesz 256 sejt a pohárban?d)Hány perc múlva lesz körülbelül 1000 sejt a pohárban?e) Hány perc múlva lesz körülbelül 10 6 sejt a pohárban?f) Hányadik percben lesz körülbelül 10 9 sejt a pohárban?g) A pohár 1 óra alatt telt meg. Tudod-e, hány perc múlva volt félig a pohár? Mikor voltnegyedrészig és mikor harmadrészig a pohár?

16 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETh) Három pohárba tettünk ugyanilyen sejtecskéket:az elsőbe 1-et, a másodikba 2-t, a harmadikba 4-et.A harmadik pohár 1 óra alatt telt meg. Mennyi idő alatt telt meg a második pohár?És mennyi idő alatt az első pohár?FELADATGYŰJTEMÉNY1. Egy városban 4 kerület van. Minden kerületben van 4 utca van. Minden utcában 4 ház.Mindegyik házban 4 emelet, minden emeleten 4 lakás van. Minden lakásban négyen laknak.Hányan laknak a városban?2. Írd le a szorzatokat hatványalak segítségével rövidebben!6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6(–15) · (–15) · (–15) · (–15)0,7 · 0,7 · 0,7 · 0,7 · 0,7 · 0,7 · 0,7 · 0,7 · 0,7a · a · a · a · a · a · a · a2 · 2 · 3 · 3 · 2 · 3 · 2(–5) · (–5) · (–5) · (–5) · (–3) · (–3)x · x · y · y · x · y · x · x · x · y · y(a+b) · (a+b) · (a+b) · (a+b) · (a+b)k · n · n · m · n · k · k3. Írd fel szorzat alakban a következő hatványokat!10 4 (–4) 611 5 3 117 4 0,32 61,2 2 33 3⎛2⎞⎜ ⎟⎝3⎠42⎛ 4 ⎞⎜−⎟⎝ 5 ⎠

0711. HATVÁNYOZÁS… • A hatványozás fogalma és tulajdonságai 174. Írd fel hatványalakban, majd számítsd ki!2 · 2 · 2 · 2 (–5) · (–5)(–2) · (–2) · (–2) 0 · 0 · 0 · 0 · 01 · 1 · 1 · 1· 1· 1· 1· 1 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 100,1 · 0,1 0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,15. Melyik a nagyobb?a)b)(–1) 4 vagy (–1) 52 3 vagy 3 25 2 vagy 2 5 10 6 vagy 10 70,1 3 vagy 0,1 2 5 0 vagy 0,5 210 6 vagy 756 827 9 · 10 7 vagy 934 · 10 49 · 32 · 10 6 vagy 87 · 10 5 6 · 10 8 vagy 60 · 10 76. Igaz legyen! Itt gyűjtsd a számokat!na) 10 000 < 3 < 30 000 n:bb) 2 négyjegyű szám b:c) 5 c ötjegyű szám c:d) 3 8 ≤ 2 a · 3 a ≤ 2 16 a:7. Írd át a műveletekben szereplő számokat hatványalakba! Végezd el a műveleteket! Haügyes vagy, minden eredményt kiolvashatsz a hatványtáblázatból.a)16 · 16 = 8 · 32 =4 · 16 = 32 · 32 =b)16 · 2048 4096 : 512128 · 256 81 · 177 14759 049 : 243 729 · 24359 049 : 19 683 6561 · 21871 594 323 : 177 147 625 · 15 6257776 : 216 16 807 · 343390 625 : 78 125 16 807 · 117 649

18 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET8. Figyeld meg a szabályszerűséget, és pótold a hiányzó részeket! Hány szorzással jutsz el az1-től a végeredményig?a)·8 ·8 ·81 32 768…1b)·2 ·2 ·2 ·2 ·2·2 ·2…·2 ·2… 32 768c)·4 ·41 …32 7689. Keress a megadott három hatvánnyal egyenlőket! Próbáld megoldani a feladatot minélkevesebb számolással!9 2 3 6 2 42 · 2 3 = 3 3 · 3 3 = 4 · 2 2 = 3 11 : 3 5 =9 5 : 9 3 = 4 2 = 9 3 = 3 5 : 3 =9 3 : 3 2 = 3 2 · 9 2 = 15 6 : 5 6 = 12 4 : 3 4 =8 2 : 4 = 3 4 =10. Találd ki a hiányzó kitevőket!5 11 · 5 3 = 5 a 7 2 · 7 3 · 7 5 = 7 b6 11 : 6 3 = 6 a 7 2 · 7 3 : 7 5 = 7 b10 · 10 2 · 10 2 · 10 5 = 10 c 11 3 · 11 d · 11 5 = 11 1310 · 10 9 : 10 2 · 10 5 = 10 c 11 3 · 11 d : 11 5 = 11 132 x · 2 x = 2 16 3 x · 3 y = 3 122 20 · 2 x = 2 12 3 x : 3 y = 3 26 f · 6 f · 6 f = 6 12 7 x · 7 y · 7 z = 7 106 15 · 6 f : 6 2 = 6 12 7 x · 7 y : 7 y = 7 10

0711. HATVÁNYOZÁS… • A hatványozás fogalma és tulajdonságai 1911. Írd be a hiányzó adatokat!2 = 4 3 3 = 9 3 2 = 8 3 3 = 27 23 = 6 2 4 = 8 2 4 = 8 3 3 = 27 39 = 27 3 3 = 27 2 5 4 = 25 5 6 = 125 2 8 = 4 2 12 = 4 2 12 = 2 12 =4 62 12 = 2 3 8 = 4 3 8 = 4 3 = 27 212. Melyik nagyobb? Tedd közéjük a vagy = jelet!2 12 4 8 3 12 9 8 2 15 8 6 6 8 3 16 8 8 3 164 5 10 3 2 10 10 3 2 20 10 6 4 10 10 6 5 9 125 313. Figyelmesen olvasd el a feladatot, és válaszolj a kérdésekre!Ebbe a pohárba egy olyan sejtet tettünk, amelyik percenként 4 részre osztódik. Az újsejtek ugyanakkorák, mint a régiek, és ezek is percenként 4 részre osztódnak. (Először 1percnyi élet után osztódnak 4 részre.) Ez a pohár 35 perc alatt telik meg.a) 34 perc múlva a pohár mekkora részében lesznek sejtek?b) Mikor lesz negyedrészéig a pohár?c) Mikor lesz tizenhatod részig a pohár?d) Hány perc múlva lesz 64 sejt a pohárban?e) Hány perc múlva lesz 256 sejt a pohárban?f) Igaz-e, hogy 5 perc múlva 1000-nél több sejt van a pohárban?g) Igaz-e, hogy 10 perc múlva 3000-nél kevesebb sejt van a pohárban?h) Igaz-e, hogy 10 perc múlva 1 milliónál több sejt van a pohárban?14. Hány részre osztódik percenként az a sejt, amelyikből 4 perc alatt 4096 sejt keletkezikosztódással? Próbálgass!Lehet-e, hogy percenként 5 részre osztódik?Lehet-e, hogy percenként 10 részre osztódik?

20 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETHatványtáblázat

0712. MODULHATVÁNYOZÁS, SZÁMOKRÓLÉS MŰVELETEKRŐL TANULTAKÖSSZEFOGLALÁSASzámok normál alakja, mértékváltásokKÉSZÍTETTE: CSAHÓCZI ERZSÉBET, KOVÁCS CSONGORNÉ,SZEREDI ÉVA

0712. HATVÁNYOZÁS… • A hatványozás fogalma és tulajdonságai 231. FELADATLAPSzámóriások és számtörpékSzemelvények Szczepan Jelenski: Pitagorasz nyomában c. könyvébőlGondoljunk a csillagokkal teleszórt égre, a hullámoktól fodrozódó tengerre, a sivataghomokszemcséire, és azonnal feldereng bennünk a számóriások, a megszámlálhatatlan,valóban szinte végtelen nagyságok fogalma.Vagy gondolkozzunk el a napsugarakban táncoló porszemek méretein, a pókháló vastagságánvagy azon, mennyi ideig tart egy szempillantás, és ismét feltárulnak előttünk a felfoghatatlanszámok mélységei, ezúttal a végtelenül kicsinyekéi.Ezek a számóriások és számtörpék valahol a végtelennek elérhetetlen mélységében vesznekel, mivel bármely számon túl – legyen az akármilyen nagy vagy akármilyen kicsiny – léteznekmég nagyobb vagy még kisebb számok. És mégis… mindez a határtalan, végtelen,megszámlálhatatlan valami belefér az ember gondolatába.A.MILLIÓAki talán azzal ámítaná magát, hogy tökéletesen tudja, „mi az a millió”, és hajlandóezt a számot gondolkodás nélkül alkalmazni az élet különféle jelenségeire, az próbáljonhosszabb gondolkodás nélkül megfelelni arra a kérdésre, milyen vastag lenne amilliószorosára nagyított emberi hajszál. Vajon karvastagságú lenne-e, vagy egy fenyőtörzséhez hasonlítható, talán egy nagyobb méretű hordóhoz?A vastagságában milliószorosára növelt emberi hajszál 70 méter átmérőjű lesz! A belsejébennyugodtan körbeutazhatnánk gépkocsival, lefektetve pedig, városaink szinte egyetlenutcájában sem férne el.Hihetetlen!De mégis igaz. Az emberi hajszál átlagos vastagságát 0,07 mm-nek vehetjük. Ezt 1 000 000-val szorozva, pontosan 70 métert kapunk.És milyen méreteket érne el egy szúnyog – egy közönséges, bosszantóan dünnyögő szúnyog –egymilliószorosára növelve? Az első példa után, kétségtelenül, már könnyebb lesztájékozódni a milliószorosára növelt kis rovar méreteit illetően, és mégis sokak számárabiztosan hihetetlennek tűnik, ha azt hallják, hogy a szúnyog 5 kilométer hosszú lesz.Egy rövid kis szorzás igazolja ezt az ellentmondásosnak látszó tényt:1 000 000 ⋅ 5 mm = 5 000 000 mm = 5 kmEgyik csodálkozásból a másikba esünk, ha megvizsgáljuk a milliószorosra növelt apró tárgyakméreteit. Milliószoros nagyítással zsebórák 50 km átmérőre tesznek szert, az embermagassága 1700 km lenne. Millió lépéssel elgyalogolhatnánk Budapesttől Nyíregyházáig ésvissza. Ebben a könyvben nincs egymillió betű. Az egymillió oldalas könyv 50 m vastaglenne. Időszámításunk kezdetétől napjainkig még nem telt el egymillió nap, ez csak mintegy800 év múlva következik be.Ilyenféle összehasonlítást felsorolhatnánk még – milliót! Ám ez a néhány példa bizonyáramindenkit meggyőz arról, hogy még a „közönséges egymilliót” sem tudjuk tökéletesenelképzelni. Mit mondjunk hát a még sokkal nagyobb számokról?!

24 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETB.ZŰRZAVAR A MILLIÁRDOK ÉS BILLIÓK KÖZÖTTMikor a Franciaországra nézve oly szerencsétlen francia-porosz háború (1870–1871)után megállapították a békefeltételeket, melyek szerint Franciaország a győztesNémetországnak az akkori időkben roppant nagy: 5 billió frankot kitevő hadisarcot voltköteles fizetni, sok francia valósággal kétségbeesett. Ebben a feltételben – jogosan – láthattáknemzetgazdaságuk teljes tönkretételét, mivel sok országban a billiót milliószor milliónakszámolják, tehát kifejezésére az egyes után tizenkét nullát írnak. Ezért nagymegkönnyebbülés, sőt „örömmámor” lett úrrá, mikor az összeget számszerűen kiírva isnyilvánosságra hozták, és meggyőződhettek arról, hogy „csak” 5 000 000 000, azaz 5 ezermillió frankról van szó.Németországban, Angliában és Európa néhány más államában – például Magyarországon is -a számlálás alapjának a hatjegyű osztályokat tekintik, ez azt jelenti, hogymillió = 1 000 0006= 10billió = 1 000 000 000 000 = 10 12trillió = 1 000 000 000 000 000 00018= 10quadrillió = = 10 24quintillió = = 10 30Ezzel szemben Amerikában, Franciaországban és Dél-Európa országaiban a számlálás alapjáta háromjegyű osztályok képezik, vagyisezer = 1 000 = 10 3millió = 1 000 0006= 10billió = 1 000 000 000 = 10 9trillió = 1 000 000 000 00012= 10quadrillió = 1 000 000 000 000 000 = 10 15quintillió = 1 000 000 000 000 000 00018= 10Ebből az összehasonlításból látható, hogy amagyar billió = 10 12 = francia trilliómagyar trillió = 10 12 = francia quintillió.C.BILLIÓK, TRILLIÓK ÉS MÁS …LLIÓKValaki, mikor arról társalogtak, mekkora távolságra van a Föld a Naptól, azt mondta, őbiztosan tudja, hogy a Nap tőlünk „valahány millió vagy billió kilométerre van”…„Valahány millió vagy billió kilométerre van!” Tudomásul kell vennünk, hogy még sokművelt ember sem tudja világosan megkülönböztetni a milliót a billiótól, még kevésbé amilliót a trilliótól.Hogy elcsodálkoznának ezek az emberek, ha megtudnák, hogy millió másodperc nem egészenkét hét alatt múlik el, billió másodperc pedig (billió = 10 12 ) 30 000 évnél is tovább tart.Időszámításunk kezdete óta még csak az első milliárd perc múlt el. Nevezetesen 1902. április29-én 10 óra 40 perckor vette kezdetét a második milliárd perc. A milliárd (10 9 ) pedigezerszer kevesebb a billiónál.Az emberi hajszál billiószorosra növelve 6-szor vastagabb volna, mint a Földgömb, abilliószorosára növelt szúnyog pedig 50-szer nagyobb lenne a Nap tényleges méreteinél.

0712. HATVÁNYOZÁS… • A hatványozás fogalma és tulajdonságai 25Aki kíváncsi a további számcsoportok elnevezéseire, vessen egy pillantást az itt következőtáblázatra:szeksztillió = 10 36szeptillió = 10 42oktillió = 10 48nonillió = 10 54decillió = 10 60centezillió = 10 600A világegyetem összes ismert égitesteinek tömege grammokban kifejezve nem sokkal több20 nonilliónál.Megáll az ész e számóriások határtalansága láttán, mégis meglepődünk, ha megtudjuk, hogyaz ember szíve rövid élete során kifáradás nélkül, megállás nélkül több mint egymilliárdszordobban.D.SZÁMPARÁNYOK ÉS SZÁMKOLOSSZUSOKA rendkívül nagy számokról térjünk át most a mérhetetlenül kicsiny számokra.Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ezeket a számokat szintén alig ismerjük, és a közöttükfennálló arányokban éppoly kevéssé tudunk tájékozódni, mint a számóriások birodalmában.Vegyük példának a 0,001 másodpercet. Nevetségesen kis időparány, nemde? Mit mérhetünkilyen kicsiny időszakasszal? Mi történhetik 0,001 másodperc alatt?A nagyon mérsékelt, óránként 36 km-es sebességgel haladó vonat 0,001 másodperc alatt 1cmnyiutat hagy maga után, a repülőgép pedig 0,001 másodperc alatt 10 cm-t halad előre.A hang ennyi idő alatt 33 cm-t fut be, a puskagolyó – 70 cm-t. A Föld 0,001 másodperc alatt30 m-t halad pályáján. A villám többnyire 0,001 másodpercnél sokkal rövidebb ideig tart, deez alatt az idő alatt kilométeres távolságokra jut el.Ezt a nevetségesen kis időmennyiséget most már sokkal kevésbé találjuk nevetségesnek, sőtnagyon is kézzelfoghatónak tartjuk. Menjünk hát akkor tovább az egyre kisebb és kisebbszámok mélyére.0,000 001 másodperc alatt a fény 300 m utat tesz meg. Ám ez az időszakasz is„méltóságteljesnek” tűnik, ha a röntgensugarakra gondolunk, melyeket a másodpercenként25 000 billiós rezgésszámmal jellemezhetünk.Tudjuk már, mekkorák lennének a milliószorosukra növelt tárgyak. Az emberi hajszálvastagsága 70 m lenne, a szúnyog hossza 5 km, az egér hossz 100 km, az ember magassága1700 km-t érne el, a híres Eiffel torony pedig szint a Holdig érne. De vajon mekkora lenneegy atom, ha milliószorosára növelnénk? Mint egy picinyke pont, kisebb annál, mintamilyennel ez a mondat végződik.1. Töltsd ki a táblázatot!TízszereseSzázszorosaSzázadrészeTizedeEzerszereseEzredrésze311 255 257, 321 0,001 23 13 000

26 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET2. Hányszorosa vagy hányadrésze?34,12-nek a 341200?0,023-nak a 23?5122-nek az 5,122?12 000-nak a 0,012?0,000 005-nek a 0,05?33 000,55-nek a 3,300 055?0,001170-nek a 11700?2. FELADATLAPA nagyon nagy és nagyon kicsi számok leírása során a nullák számát csökkenteni tudjukhatványalak segítségével. De mindig marad egy olyan rész, amit már jobban nem lehetlerövidíteni.Például:708 000 000 = 708 millió = 708 · 10 6 10,000 007 08 = 708 százmilliomod = 708 : 10 8 = 708 ·810Ezt a közös számtömböt pirossal megjelöltük. A bennük levő számjegyeket értékesjegyeknek szokás nevezni a természettudományokban.Az értékes jegyek előtt vagy mögött álló nullákat helykitöltő nulláknak is nevezhetjük. Ezekleírását spórolhatjuk meg a 10 hatványok használatával.1. Az állítások közül némelyik igaz, némelyik nem. Tippeld meg, melyek az igazak! Azállításokban szereplő „érdekes” számokat írd be a táblázatba, számmal is, a hatványjelöléssegítségével is! Többféle felírás is lehetséges.Színezd pirossal az értékes jegyeket és zölddel a helykitöltő nullákat!Az utolsó oszlopot egyelőre hagyjátok üresen, ezt majd később fogjátok kitölteni.a) Az Eiffel torony építéséhez 25 millió szegecset használtak fel.b) A hélium atom átmérője 0,000 000 05 mm.c) Egy hajszál átmérője átlagosan 0,075 mm.d) A Föld lakossága 2050-ig várhatóan meghaladja a 9 milliárdot.e) A Föld 0,001 másodperc alatt 3 métert halad a pályájánf) A legszegényebb országok városlakóinak 78,2 %-a él nyomornegyedekben.g) Az összes ötjegyű szám leírásához összesen 45 000 számjegy kell.h) 1 millió másodperc körülbelül 2 hónap alatt telik el.számmal szöveggel röviden normálalakban

0712. HATVÁNYOZÁS… • A hatványozás fogalma és tulajdonságai 272. Ebben a feladatban a táblázat első oszlopában álló számot kell felírnod szorzatként vagyhányadosként, úgy, hogy az egyik tényező egy tíz hatvány legyen.a = b · c vagy a = b : c c = 10 nTöltsd ki a táblázat színes mezőit a megadott információk alapján!a)a b művelet c523 szorzás 10 3 b =0,012 osztás 10 6 b =70,00025 szorzás 10 a =0,12 osztás 10 4 a =3 140 000 3,14 10 n n =b)a b művelet c0,045 100

28 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET3. A most következő példákban ugyanaz a feladat, mint az előzőben, de még azt is kikötjük,hogy a 1 ≤ b < 10 legyen. Tehát a táblázat első oszlopában álló számot kell felírnodszorzatként vagy hányadosként, úgy, hogy az egyik tényező egy és tíz közé essen – az egyetbeleértve – a másik pedig egy tíz hatvány legyen.a = b · c vagy a = b : c c = 10 nTöltsd ki a táblázat színes mezőit a megadott információk alapján!a b művelet cb =523 10 n n =b =0,012 10 n n =3,25 szorzás710 a =5,12 osztás 10 4 a =3 140 000 3,14 10 n n =0,04510 n b =n =10< a

0712. HATVÁNYOZÁS… • A hatványozás fogalma és tulajdonságai 29Például:TUDNIVALÓ:25 000 000 = 2,5·10 7 10,000 000 05 = 5 : 10 8 = 5 ·810A számoknak ezt az alakját normálalaknak nevezzük.4. Írd fel a számokat normálalakban!a) 30 4005000 30 000b) 38 420425 53005310 531837 000 37408c) 32,6 408,45004,41 203,25d) 0,1 0,010,001 0,0001e) 0,2 0,0040,16 0,00070,019 0,1230,0041 0,0205ÖSSZEFOGLALÁS:A szám normálalakjában szereplő 10 hatvány jól jellemzi a szám nagyságát. Ezt a számnagyságrendjének is szokás nevezni.

30 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET3. FELADATLAP1. Keressünk olyan – nem feltétlenül matematikai vonatkozású – példákat, melyek leírásáhozigen nagy számok kellenek! Néhányat felsoroltunk a következő táblázat bal oldalán.a) Próbáljátok kitalálni, hogy a jobboldali számok közül melyik melyiknek felel meg?1 Ennyiféleképpen lehet kitölteni a A 390 000 000 000 000 000 000 000LOTTO-t2 Kb. ennyi ember élt összesen a Földön B 43 252 003 274 489 856 0003 Rubik-kocka különböző helyzeteinek C 96 000 000 000száma4 Egy emberben átlagosan előforduló D 14 325 000 000baktériumok száma5 Két 9-es segítségével leírhatóE 387 420 489legnagyobb szám6 Ilyen távolságra jutott a Földtől (kmben)F 43 949 268a legtávolabbi űreszközBiztosan sokan meglepődtetek egy-két eredményen, de utána is járhattok, vagy kereshettekhasonlóan nagy számokat az interneten. A feladatlap végén találhattok néhány „óriást”.b) Írjátok fel a számokat normálalakba és állapítsátok meg mindegyiknek anagyságrendjét!c) Állítsátok nagyság szerint sorba a számokat és a két legkisebbet olvassátok ki!d) A többi szám kiolvasásához használhatjátok a következő táblázatot!

0712. HATVÁNYOZÁS… • A hatványozás fogalma és tulajdonságai 31A kiolvasásához hármas csoportosítást alkalmazunk, így végül is háromjegyű számokat kellkiolvasni. Mit kell azonban mondanunk az egyes tagok után?43 252 003 274 489 856 000 =43..., 252..., 3..., 274..., 489..., 856...Azt tudjuk, hogy az utolsó háromjegyű szám után semmit se kell mondanunk. Előtte akövetkező elnevezéseket használjuk:10 3 1 000 Ezer10 6 1 000 000 Millió10 9 1 000 000 000 Milliárd10 12 1 000 000 000 000 Billió10 15 1 000 000 000 000 000 Billiárd10 18 1 000 000 000 000 000 000 Trillió10 21 1 000 000 000 000 000 000 000 Trilliárd10 24 1 000 000 000 000 000 000 000 000 Kvadrillió10 27 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Kvadrilliárd10 30 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Kvintillió10 33 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 KvintilliárdTermészetesen a nevek tovább folytatódnak, de nekünk ennyi is bőven elegendő. Aki nemelégszik meg 36 jegyű szám kiolvasásával, az biztosan megtalálja az interneten a táblázatfolytatását akár 300 jegyig is. Azt is fontos tudnunk, hogy Amerikában nem használják az„-árd” végződésű tagokat, így ők másképpen mondják a 9-nél többjegyű számokat. Nelepődjünk meg, ha onnan származó hírekben a Föld lakosságát már billiókban mérik!Ennek megfelelően a fenti szám kiolvasását – Európában – így kell kezdeni:43 trillió,…2. Állítsd az alábbi mennyiségeket nagyság szerint növekvő sorrendbe, becslés alapján.Azután keresd meg a hozzájuk tartozó adatokat (mindegyiket megtalálod vagy a bevezetőszemelvényekben, vagy a feladatgyűjtemény 7. feladatában) és ellenőrizd a becslésedet!− egy hajszál vastagsága− a másodpercek száma két hétben− a csillagok száma a Tejútrendszerben− Az EU lakosainak száma− a hangyák száma a Földön− ennyi másodperc alatt tesz meg a fény 300m-t3. Készítsetek láncot – minél hosszabbat – az előző feladathoz hasonlóan amunkafüzetetekben megtalálható, vagy az általatok gyűjtött adatokból. Olyan számokatkeressetek, amelyeket érdekesnek találtok!Keverjétek össze ezeket a mennyiségeket, és adjátok oda egy másik csoportnak, hogy állítsahelyes sorrendbe! Cseréljetek valamelyik csoporttal feladatot, majd kölcsönösenellenőrizzétek a megoldásokat!A saját láncotokat felrakhatjátok a poszteretekre!

32 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET4. Gyakorlásként olvassatok ki néhány matematikai vonatkozású számota) A legkisebb szám, aminek több mint 1000 osztója van: 245044800b) Az 1, 2 és 3 számjegyeket egyszer felhasználva hogyan írható le a legnagyobb szám?Természetesen hatványozást használunk, de vajon melyik adja a legnagyobb számot, a12 3 , 31 2 , 2 31 vagy 3 21 ?Eláruljuk, hogy a szám, amit ki kell olvasnod a 10460353203.c) Biztosan ismeritek a sakk kitalálójának esetét a perzsa sahhal. A játékért fizetségül asakktábla első mezőjére 1 búzaszemet kért, majd a többire mindig az előzőnek adupláját, valahogy így:1, 2, 4, 8, 16, 32,... egészen a 64. mezőig. Összegezve az egymást követő mezőkönlévő magvakat, kiokoskodhatjuk, hogy ez összesen 2 64 −1 darab búzaszemet jelentene.Azt már megbecsülni is nehéz, hogy ez hány darab, álljon tehát itt az eredmény:18 446 744 073 709 551 615d) Végezetül egy utolsó nagy szám. Ha meg akarod kapni, hogy hozzávetőlegesen hánydarab atom építi fel a tested, akkor a kilogrammban mért szám (xy) után írj 26 nullát.Kezdheted is a szám kiolvasását!Körülbelül x y00 000 000 000 000 000 000 000 000 darab atom van a testemben.

0712. HATVÁNYOZÁS… • A hatványozás fogalma és tulajdonságai 333. FELADATLAP1. Párosítsd a dolgokat és a mértékeket!egy hangya területe 1500 m 2egy tompaszög időtartama 45 percegy kakas tömege 20 dkgegy matekóra időtartama 2 hétegy kert területe 2 dm 2egy emeletes ház hosszúsága 3 mmegy lapulevél szélessége 4 megy zacskó cukorka magassága 15 megy hegyesszög nagysága 170˚egy külföldi utazás térfogata 1 dm 3egy keskeny utca nagysága 30˚egy doboz tej tömege 3 kg2. Egy ünnepségen minden emberre 1m 2 helyet számítanak, hogy ne legyenek túl zsúfoltan.Így egy 10 m széles sorban 10 ember fér el egymás mellett. Hány ember fér el egy10 m · 10 m nagyságú területen?3. Fehéregerek rendeznek ünnepséget, ahol minden résztvevőre 1dm 2 helyet számítanak, hogyne legyenek túl zsúfoltan. Így egy 1m széles sorban 10 egér fér el egymás mellett. Hányegér fér el egy 1m 2 nagyságú területen?4. Mikor vitorláshalak rendeznek ünnepséget, akkor természetesen függőlegesen is tudnakterjeszkedni. Ott mindenkinek 1dm 3 helyet számítanak. Hány vitorláshal fér el egy 1 m 3térfogatú kockában?5. Egy templomban mozaikképet rendelnek, 1 cm 2 -es négyzet alakú pici kövecskékből.Mennyi kövecske kell 1 dm 2 nagyságú képrészlethez?A megrendelt kép 1 m 2 nagyságú. Hány kövecskéből rakja ki ezt a mester?6. A színesrúd - készlet kis fehér kockájának minden éle 1cm. Hány kellene belőlük ahhoz,hogy kitöltsenek egy 1 dm 3 méretű üres kockát?Mennyi kellene ahhoz, hogy egy 1 m 3 méretű ládát kitöltsenek?7. Milliméter papíron keríts körül 1 dm 2 –t! Hány cm 2 és hány mm 2 található benne?

34 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET8. Írd be a hiányzó váltószámokat!a)1 km = …… m 1 m = … dm1 dm = …… cm 1 cm = … mmb)1 km 2 = …… m 21 m 2 = …… dm221 dm = …… cm 2 1 cm 2 = …… mm 2c)3 3 31 m = …… dm 1 dm = …… liter31 dm = …… cm 3 1 cm 3 = …… mm 3d)31 dm = …… liter = … dl 1 dl = …… cl31 cl = …… ml = …… cme)1 t = …… q 1 q = …… kg1 kg = …… dkg 1 dkg = …… gf)1 nap = …… óra 1 óra = …… perc 1 perc = …… másodperc

0712. HATVÁNYOZÁS… • A hatványozás fogalma és tulajdonságai 35FELADATGYŰJTEMÉNY1. Végezd el a szorzásokat!15 · 0,1 300 · 0,020,5 · 10 000 0,023 · 0,1220 · 0,01 0,001 · 1 0000,1 · 0,1 0,1 · 100,03 · 0,01 2500 · 0,0010,11 · 0,01 0,1 · 1002. Pirossal írd át az értékes jegyeket, zölddel a helykitöltő nullákat!000034,002300 0,0000543 002000035,000023000 000000,000203 3007,005000003. Oldd meg a nyitott mondatokat!354 ⋅ 10 x = 35 400 000 x ⋅10 2 = 12,5x = x =0,12 ⋅ 10 5 = a 0,025 ⋅ y = 2500a = y =p ⋅10 4 = 1,2050,00032 ⋅ 10 7 = zp = z =56 000 : x = 5,6 345,6 : 10 3 = yx = y =7,3 : z = 0,00073 900 500 : 10 5 = bz = b =c : 10 4 = 0,0015 375 000 : k = 0,00375c = k =4. Írd át tizedes tört alakba a normálalakban megadott számokat! Rendezd őket nagyságszerinti sorrendbe! Írd mindegyik mellé szöveggel, mennyi a nagyságrendje.a) 6,12 ⋅ 10 2 = b) 5,32 ⋅ 10 6 =c) 7,35 : 10 2 =4d) 8,555 : 10 =8e) 3,0022 ⋅ 10 = f) 1,0099 : 10 7 =g) 3,11 ⋅ 10 9 =1h) 9,1999 ⋅510=i) 6,0101 ⋅ 110 =3

36 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET5. Írd át normálalakba!a) 325,11 = b) 0,002544 =c) 5 000 120 = d) 0,0505 =e) 340 100 000 000 = f) 0,001 3 =g) 37 000 = h) 423,01 =i) 78 001,10 =6. A következő táblázat legfelső sora azt mutatja, hogy az abban az oszlopban szereplőszámok mennyit érnek – mennyi a helyi értékük. Töltsd ki az üresen hagyott helyeket!Ebbe a táblázatba 10000-nél kisebb, de legfeljebb négy tizedes jegyet tartalmazó számokatírunk.Az x szám 10 3 10 2 10 1 1110111021103110410 0 10 -1 10 -2 10 -3 10 -4Beváltás utánlegfeljebb ekkoraszám lehet ebben azoszlopbanMindent válts be,amit lehetCsak a kék cellákathasználdCsak a kék cellákathasználdMindent válts be,amit lehetCsak a kék cellákathasználd9999,9999 9 9 9x = 0 8 0 3 0 1 1 0x = 0 0 31 23 0 5 0 0x = 543,22x = 13,25 0 0 0 0 0 0x = 0 1 0 0 5 22 13 0x = 0 0 111 22 11 0 0 2x =258,5 0 0 0 0 0x =3 032,013x = 5 0 0 124 55 0 12x = 0 0 3 52 5 13 22 1x =2538,12 0 0 0 0

0712. HATVÁNYOZÁS… • A hatványozás fogalma és tulajdonságai 377. Érdekességként megmutatunk néhány további nagy számot. Többségük természetesenbecsült, kerekített érték, de alkalmas nagy számok kiolvasásának, összehasonlításánakgyakorlására. Írd le a számokat normál alakban is!10 3 – ezer3,6 másodperc van egy órában 3,6 · 10 35 bázisból áll a legegyszerűbb vírus DNS molekulája 5 · … 328 a különböző ismert gerinces fajok száma … · 10 440 km/óra egy űrhajó sebessége 4 · 10 …40 km az Egyenlítő hossza … · 10 4380 km a Hold átlagos távolsága … · 10 …10 6 – millió32 másodperc van egy évben (31,536) 3,1536 · ….45 km 2 a Föld felszíne (óceánokkal szárazföldekkel) ….. · 10 7150 km a Föld-Nap távolság ….. · 10 …280 az EU lakósságának száma ………….280 bázisból áll egy átlagos baktérium DNS-molekulája …………..800 km 3 a Földön lévő víz össztérfogata …………..10 9 – milliárd1 a McDonalds által eladott hamburgerek száma (2004-ig) ……….2 másodperc hosszúságú egy átlagos életkor ……...6 bázisból áll az emberi DNS ………200 csillag van a Tejútrendszerben ………900 a galaxisok száma ………8. A következő nagy számokat próbáld fejben normál alakra hozni!10 12 – billió1 az összes hal száma a Föld vizeiben9 km-t tesz meg a fény egy év alatt (9,46)50 a sejtek száma egy emberben10 15 – billiárd1 a homokszemek száma egy (átlagos) tengerparti strandon1 a hangyák száma a Földön453 kg a Föld légkörének tömege938 km a Tejút átmérője10 18 – trillió1 szem gabonát termelt az emberiség8 km a galaxisok átlagos távolsága24 km a legtávolabbi, szabad szemmel látható objektum az égen, az Andromedagalaxis10 21 – trilliárd6 pohárnyi víz van az óceánokban50 csillag alkotja az Univerzumot375 km az Univerzum keresztmetszete

38 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET10 24 – kvadrillió6 kg a Föld össztömege24 atom (H és O) van egy pohár vízben10 36 – sextillióa valaha élt összes élőlény száma a Földön10 42 – septillióaz atomok száma a légkörben10 45 – septilliárd142 az atomok száma a Föld összes vizében10 48 – octillió89 az atomok száma a Földön10 57 – nonilliárdaz atomok száma a Napban10 66 – undecillióaz atomok száma a Tejútban80 féleképpen állítható sorrendbe egy 52 lapos francia kártyaSzinte hihetetlen, hogy egy csomag kártya magamögé utasítja a galaxisunk összes atomját, deitt 52! (faktoriálisról) van szó! Azaz minden atom mellé különböző sorrendben megkevertpaklit tehetnénk…10 78 – tredecillióaz atomok száma az Univerzumban9. Folytasd a sort! Váltsd át minél többféleképpen! Használd a 10 hatványait! Például:1 km = 10 3 m = 10 4 dm = 10 5 cm = 10 6 mm13 m = 1,3 ·10 3 mm= 1,3 ·10 2 cm = 1,3 ·10 1 dm = 1,3 : 10 3 kma) Tömeg: 1t = 30kg = 45dkg =b) Hosszúság: 500mm = 2500m = 3,5dm =c) Terület: 1m 2 = 5 dm 2 = 0,02 km 2 =d) Térfogat, űrmérték: 50 l = 250 dl = 0,1 hl =3m 3 = 25 dm 3 = 300 cm 3 =

0712. HATVÁNYOZÁS… • A hatványozás fogalma és tulajdonságai 3910. Ebbe a táblázatba hosszúságokat írunk. Végezd el a megfelelő átváltásokat!a)Beváltás után legfeljebbekkora szám lehet ebbenaz oszlopbanMindent válts be, amitlehetCsak a kék cellákathasználdCsak a kék cellákathasználdMindent válts be, amitlehetCsak a kék cellákathasználdAz x hosszúság km m dm cm mmakármekkora akármekkora 999 9x = ……… m 35 712 0 4 0x = ……… cm 0 0 317 23 5x =1 643,11 mx = 513,25 m 0 0 0x = ……… cm 0 1 0 0 5x = ……… mm 0 0 53 7 12x =448,52 dm 0 0 0x =3 032,013 mx = ……… dm 0 5 0 124 55……… mx = ……… m 0 0 3 52 5……… dmx =32 538,12 dm 0

40 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETb) Ebbe a táblázatba területeket írunk. Végezd el a megfelelő átváltásokat!Beváltás utánlegfeljebbekkora számlehet ebben azoszlopbanMindent váltsbe, amit lehetCsak a kékcellákathasználdCsak a kékcellákathasználdMindent váltsbe, amit lehetCsak a kékcellákathasználdAz x terület km 2 2 2m dm cm 2 mm 2akár–akármekkora 999 999 99 99 99mekkorax = ……… m 2……… dm 20 812 22 0 0x = ……… cm 2……… dm 20 0 31 23 0x = 8 193,22 m 2x = 245,25 dm 2 0 0 0x = ……… m 2……… dm 20 1120 500 0 0x = ……… m 2……… km 23 678 000 1 100 0 0x =258,5 cm 2 0 0x =3 032,013 m 2x = ……… mm 2……… cm 20 0 555 120 55x = ……… m 2……… dm 20 60 300 50 0x =25,381 2 m 2 00

0713. MODULHATVÁNYOZÁS, SZÁMOKRÓLÉS MŰVELETEKRŐL TANULTAKÖSSZEFOGLALÁSARacionális számokKÉSZÍTETTE: TÓTH LÁSZLÓ

0713. HATVÁNYOZÁS… • Racionális számok 43„A hinduktól jutott el hozzánk az a csodálatos számírási rendszer, amelyben minden számfelírható tíz jeggyel azáltal, hogy minden jelnek alaki- és helyi értéket tulajdonít. Ez a nagyjelentőségű és zseniális módszer olyan egyszerűnek tűnik, hogy emiatt fel sem tudjuk fogniigazán a nagyszerűségét. De éppen egyszerűsége és a műveletek nagyon könnyűelvégezhetősége helyezi ezt az aritmetikai rendszert a leghasznosabb felfedezések sorába.Hogy milyen nehéz lehetett egy ilyen módszer felfedezése, arra következtethetünk abból atényből, hogy az ókor két legnagyobb elméjének: Arkhimédésznek és Apollóniosznak a zsenijesem jutott el a helyi értékes számírási rendszer felfedezéséig.”LaplaceMa természetesnek vesszük, hogy a számokkal, mennyiségekkel kapcsolatban egy mindenkiszámára érthető írásmódot alkalmazunk, ami – ellentétben a beszélt nyelvvel – szintevalamennyi nép számára érthető. A „kétszer kettő egyenlő négy” hangalak csak mintegy 15millió − a magyar nyelvet értő − ember számára mond valamit, de ha ugyanezt a számoknyelvén írjuk le:2 • 2 = 4akkor ez szinte mindenki számára érthető lesz. Ugyanez vonatkozik például aszázhuszonháromezer-négyszázötvenhat számra, melyet igen változatos hangalakkal ejtenénekkülönböző nyelveken, de leírva123 456már mindenki számára ugyanazt a számot jelenti, sőt nem egy tulajdonságát is kiolvashatjabelőle. Meglepő módon a nem is olyan távoli múltban ez az igen egyszerű írásmód egyáltalánnem volt ismert, miközben a korok nagy matematikusai már igen magas szintű felfedezésekettettek a matematika világában.Menjünk most vissza sok-sok évezredet visszalapozva a történelem kezdeti időszakába.• Mi lehetett az első matematikára utaló tevékenysége őseinknek?• Hogyan jegyezhetők le a számok számjegyek nélkül?

44 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET1. FELADATLAPSZÁMOK A RÉGMÚLT IDŐKBEN1. A szemelvények elolvasása után válaszoljatok a kérdésekre!Az ősember − kézenfekvő módon − az ujjait használta a számoláshoz. Az ujj latinA.neve digitus, innen származik a számjegy angol neve a digit. A nagyobb számokmegjelenítéséhez már köveket rakosgattak edényekbe, vagy csomókat kötöttekbõrcsíkokra. A kapott eredményeket a barlang falába, falapokra vagy csontbafaragva rögzítették. A túl sok kő és csomó kezelése persze nehézkes volt, ezértkitalálták az átváltásos számábrázolást. Eleinte a hatvanas számrendszer alakult ki(Mezopotámia), a tizenkettes (angolszásznépek), valamint a tízes (rómaiak). Azalapműveletek egyik első ismert eszköze avilág szinte minden táján 3-4 ezer évekülönböző formában feltűnő abakusz volt.Alapváltozatában vágatokba helyezett aprókövekből állt. A kövecske latin neve calculus.Innen származik a mai kalkulátor szó. Azabakuszt golyós számolótáblává tökéletesítvea XVI. századig, mint fő számolást segítőeszközt használták és egyetemeken tanítottáka vele végzett szorzást és osztást. Az abakusztnémileg módosítva mind a mai napighasználják Oroszországban, Kínában ésJapánban.a) Honnan származik a számítástechnikában alapfogalomnak számító digit és digitáliselnevezés?b) Mely népek milyen számrendszert alkalmaztak?c) Milyen ősi, de máig is használatos számolóeszköz segítette a számolást?d) Hol használnak ilyen eszközöket napjainkban is?e) Váltsátok át a 11 óra 11 perc 11 másodpercet másodpercekre!11:11:11 = ………. Másodpercf) Váltsátok át a 11 111 másodpercet óra : perc : másodperc alakra!11 111 másodperc = … : … : …Használhattok kalkulátort! Melyik feladat volt az egyszerűbb?

0713. HATVÁNYOZÁS… • Racionális számok 45A számfogalom kialakulása a számlálással kezdődött. Már az őskorban is könnyedénB.számon tartotta a juhász a juhait, pedig még húszig sem tudott számlálni! Hogyan?Egyszerűen! Reggel, amikor az akolból egyenként engedte ki a juhokat, minden juhkiengedésekor egy kavicsot dobott az ajtó melletti gödörbe. Este pedig, amikoregyesével engedte be az akolba az állatokat, minden juh beengedésekor kivett egykavicsot a gödörből. Ha az összes megérkezett juh beengedése után ismaradt még kavics a gödörben, akkor tudta, hogy hány elbitangolt juhkeresésére kell indulnia, ha pedig a kavicsok hamarabb fogytak el, mint ajuhok, akkor tudta, hogy mennyi az aznapi szaporulat.A legrégibb „számírással” az úgynevezett rovásfákon találkozunk. Amikora juhász átvette a gazdától a juhnyájat, akkor egy pálcára vésték bevonalakkal (rovásokkal), hogy hány anyajuh és hány kos van a nyájban.Majd a rováspálcát hosszában kettéhasították, az egyik fele maradt agazdánál, a másik fele lett a juhászé. Így utólagos változtatásról,hamisításról szó sem lehetett. Természetesen egész nyáron a juhász isrováspálcákon tartotta számon az állományt, a megszülető kisbárányokat éskülön rováspálcán az elhullott juhokat. Mind a mai napig őrzi ezt azeljárásmódot a nyelvünk: „Dögrovásra jutott.” Ősszel azután,„számadáskor”, nem volt gondja a számadó juhásznak, mert az eredetirováspálca adatai, valamint saját rováspálcáinak adatai alapján el tudott agazdának számolni a juhokkal, s megkaphatta a megszolgált bérét. Hazánkban még a múltszázadban is sok helyütt az ivóban bevésett rovásokkal tartotta számon a csapos, hogy kimennyit fogyasztott: „Sok van már a rovásodon!”a) Hogyan tarthatta számon a juhász a nyáj számának változását anélkül, hogyszámszerűen tudta, mennyi jószága volt?b) Mi volt a számírás legősibb, legkezdetlegesebb módja?c) Honnan ered, mire utal a nyelvben meghonosodott „Dögrovásra jutott”, illetve „Sokvan már a rovásodon!” kifejezés?d) A köznapi életben hol alkalmazzuk a rovásírásra emlékeztető írást?

46 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETEgyiptomban a fáraók korában is már tízes számrendszer volt használatban (mindenC.valószínűség szerint azért, mert a két kezünkön tíz-tíz ujjunk van), és ahieroglifákon alapuló számírás egymillióig volt kidolgozva. Az egyiptomifeliratokon az 1-es számjegy írásjele a pálca, s kilencig a megfelelő számúfüggőleges, vagy vízszintes pálcával jelölték a számot. A 10-es számjegy jele ahalom (egyesek szerint: cipó), amiből egymás mellé akár kilencet is lehet írni. A 100-ashieroglifikus jele a kígyó (zsinór), az l000-es jele a lótuszvirág, a 10 000-es jele a nádkéve(ujj), a 100 000-es jele az ebihal (menyhal), és az 1 000 000 jele egy feltartott kezű emberalak.A számokat az összeadási elvnekmegfelelően kell az egyiptomi feliratokonolvasni: helyi érték nélkül, jobbról balrakövetkeznek a mind kisebb és kisebbegységek, amelyek értékeit összegezvekapjuk a számot. Érdekes, hogy már azegyiptomiak is használták a törtszámokat, de csak egységszámlálójú törtekkel (úgynevezetttörzstörtekkel) dolgoztak. Az egyiptomi számolómesterek mind a négy alapműveletetelvégezték, de a szorzást és az osztást az összeadásra igyekeztek visszavezetni.a) Melyik országban alkalmazták a tízes számrendszert elsőként és mekkora számokat tudtaklejegyezni?b) Soroljátok fel néhány példával, hogyan jelölték az egyiptomiak 10 hatványait!Alkalmazták-e a helyi értékes írásmódot?c) Csak az egészekkel tudtak számolni az egyiptomiak?d) Írd le óegyiptomi módra a 432 számot!e) Add össze az első 4 törzstörtet!7f) Hogyan lehetne egy törtet, például a −et10törzstörtek összegére bontani?2. FELADATLAPA római és az arab számokHosszú út vezetett Babilóniától, Egyiptomon át a ma megszokott számírásig. Az egyiklegelterjedtebb és máig is használt írásmódot a rómaiaktól örököltük. Szinte hihetetlen, hogyEurópában egészen a XIII. századig kizárólag ebben a formában jegyezték le a számokat. Amimég meghökkentőbb ilyen számokkal kellett műveleteket végezniük.1. Hol találkozhatunk ma római számokkal?2. Milyen szimbólumokat használunk római számírásnál?

0713. HATVÁNYOZÁS… • Racionális számok 473. Beszélhetünk-e helyi értékes írásmódról?Maga a számolás külön tudomány volt ezekkel a számokkal. Erről mi magunk ismeggyőződhetünk, ha összevetjük a számolást a mai és a római számokkal.4. Írjunk fel néhány számot római számmal! Próbáljunk meg ebben a formában műveleteket(például összeadást, szorzást) elvégezni!38 + 49 =111 • 44 =Mi okozza a nehézséget?5. Egyértelmű-e a számok átírása római számmá?Próbáld meg a 498-at átírni római számmá!6. Mutassuk meg, hogy a táblázatban szereplő számok mindegyike 999-t jelöl.999 CMXCIX LMVLIV XMIX VMIV IMArab számok-e az arab számok?Az európai kultúrkörben, de lényegében világszerte használt számjegyeket arab számoknaknevezzük, pedig ezek a számok hindu eredetűek. A XIII. század környékén arab közvetítésseljutottak el Európába. Míg Indiában már a Honfoglalás kora előtt használták a tízesszámrendszert és a mai számjegyeket, Európában még több mint 500 évig a római számokvoltak az uralkodók. Érdekes, hogy ma pont az arabok nem használják az „arab számokat”.Nézzük meg milyenek is az igazi arab számok. Nehezítésül egy kicsit összekevertük aszámjegyeket, próbáljatok rendet teremteni köztük!Próbáljuk meg kitalálni, melyik számjegy mennyit érhet! Természetesen lehet tippelni is!٢ ١ ٠ ٧ ٤ ٩ ٦ ٣ ٨ ٥Megoldás:٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

48 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET3. FELADATLAPA helyi értékes írásmód1. Mi a hasonlóság és mi a különbség az ókori egyiptomi és a mai szám-írásmód között?2. Mit értünk azon, hogy a többjegyű számok egyes számjegyeinek alaki és helyi értéke isvan?3. Hányféle alaki értékű számjegyet használunk? Miért a 9 a legnagyobb alaki értékűszámjegy? (Miért nincs szükség 10-es számjegyre? Hogyan ábrázoljuk a 10-et?)4. Soroljuk fel a 2 416 053 számban előforduló alaki értékeket (számjegyeket) növekvősorrendben!5. Soroljuk fel a számban szereplő helyi értékeket növekvő sorrendben!6. Írd fel a helyi értékeket 10 hatványaiként!7. Van-e legnagyobb ezek között a számok között?8. Van-e legkisebb ebben a számhalmazban? Melyik a legkisebb?9. Miért 10 hatványait használjuk helyi értékeknek?10. Használhatnánk-e más alapszámot?11. Melyik helyi értéken szerepelnek az egyes számjegyek a mintául választott 2 416 053számban?12. Előfordulhat-e egy számjegy többször is?13. Előfordulhat-e egy helyi érték többször is?14. Melyik számjegy éri a legtöbbet a számban, miért?15. Hogyan kapjuk meg egy-egy szám tényleges, más szóval valódi értékét?16. Mennyit érnek az egyes számjegyek külön-külön és mennyit együtt?17. Írjuk le a számot helyi érték szerint bontott összegalakban!18. Írjuk le a következő számokat is helyi érték szerint bontott összeg alakban! Használjuk ahatvány jelölést!1 234 =10 203 040 =10 110 001 =

0713. HATVÁNYOZÁS… • Racionális számok 49ÖSSZEFOGLALÁS:A helyi értékes írásmódban minden számjegynek kétféle értéke van, az egyik, amit az„alakjából” olvasunk le az alaki érték. A számjegyek helyi értéket a többi számjegyhezviszonyított helyzetéből állapítjuk meg. Például az ezernyolcszázhuszonhárom szám leírásánálaz 1, 8, 2 és 3-as számjegyeket használjuk (ezek az alaki értékek), de az 1-es számjegy helyiértéke ezres, a 8-é százas, a 2-é tízes míg a 3-é egyes.A mi írásmódunkban (tízes számrendszer) 10-féle számjegyet használunk (0, 1, 2, …9). Ahelyi értékek közül a legkisebb az egyes, a következők pedig rendre tízszeresei az előzőnek:1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000… Ezeket a számokat 10 hatványainak is nevezzük, mertcsupa 10-esből álló szorzatokkal is felírhatóak.A helyi értékes írásmód lényege, hogy a többjegyű számoknak egy többtagú összegetfeleltetünk meg. Ezeknek az összegeknek annyi tagja van, ahány jegyből áll a szám. Akövetkező ötjegyű számot így írhatjuk összegalakban:23 456 = 20 000 + 3 000 + 400 + 50 + 6 == 2 · 10 000 + 3 · 1 000 + 4 · 100 + 5 · 10 + 6 · 1Észrevehetitek, hogy a felírt tagok a megfelelő számjegyek alaki és helyi értékénekszorzatával írhatók fel. Rövidíthetünk azzal, ha a helyi értéket 10 hatványaiként írjuk fel:TUDNIVALÓ:4 627 819 = 4 · 10 6 + 6 · 10 5 + 2 · 10 4 + 7 · 10 3 + 8 · 10 2 + 1 · 10 1 + 9 · 10 0Az egyes helyi értéknek 10 0 (10 a nulladikon) hatványa felel meg, ezt természetesen rövidebbegy 1-sel jelölnünk. Ha valamelyik helyi értéken 0 szerepel, akkor az annak megfelelő tagotkihagyhatjuk az összegalakból:TUDNIVALÓ:702 056 = 7 · 10 5 + 2 · 10 3 + 5 · 10 1 + 6 · 10 0Láttuk, hogy a tízes számrendszer helyi értékeit a 10 hatványai alkotják. Azt is tudjuk, hogynem szükségszerű, hogy a 10 legyen az alapszám. Ha mást választunk, annak kétkövetkezménye lesz:1. A helyi értékek ennek az új alapnak a hatványai lesznek.2. A felhasználható számjegyek száma megváltozik.Például az 5-ös számrendszerben a helyi értékek (jobbról balra) 1, 5, 25, 125... lesznek. Ezesetben már 5-ös számjegyre sem lesz szükség, hiszen az 5-t 1 db ötös és 0 db egyessegítségével írhatjuk le.A számrendszereknek, különösen a kettes, nyolcas és tizenhatos számrendszernek kitüntetettszerepe van az informatikában. Mivel kettes számrendszerben csak kétféle (0 és 1)számjegyeket használhatunk, a számítógépek számára ez az írásmód sokkal könnyebbenkezelhető, mint a tízes számrendszer. Szerencsére a számítások során a gép végzi mind atízesből kettesbe, mind a kettesből tízesbe történő átszámítást.

50 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETA 31-et például kettes számrendszerben 11111 alakban írhatjuk. Könnyen ellenőrizhetjük az2eredményünket, hiszen elég összeadnunk a helyi értékeket, azaz kettő hatványait:11111 = 16 + 8 + 4 + 2 + 12Más számrendszerekből történő átszámításnál is a helyi értékes írásmódról tanultakatalkalmazzuk, csak a helyi értékek más alapszám hatványai lesznek:1234 5 = 1 · 5 3 + 2 · 5 2 + 3 · 5 1 + 4 · 5 0 = 125 + 50 + 15 + 4 = 194Más számrendszerekbe történő átszámításnál a „leltározásnak” megfelelő eljárássalszámolunk. Az átszámítandó számot az új alappal elosztjuk, a maradékot feljegyezzük. Azosztás során kapott hányadost, mint osztandót ismét elosztjuk az új alappal és az eljárást addigfolytatjuk, míg a hányados 0 nem lesz. Ekkor a feljegyzett maradékokat fordított sorrendbenegymás után írva kapjuk a nem tízes számrendszerbeli alakot. Például, ha 148-at akarjuk 5-összámrendszerbe átírni, akkor a következő számításokat végezzük:148 : 5 = 29329 : 5 = 545 : 5 = 101 : 5 = 01 Tehát a 148 = 1043 5Ne feledjük el a 0 maradékot is beírni a számba!4. FELADATLAP1. Milyen számjegyek használhatók a tízestől eltérő alapú számrendszerekben?2. Írjuk le helyi érték szerint bontott összegalakban az ötös számrendszerben leírt 2434számot!3. Mennyit ér tízes számrendszerben a 2434 szám? 54. Hasonlítsuk össze a számpárokat, és tegyük ki a megfelelő relációjelet anélkül, hogyátszámítanánk tízes számrendszerbe!(Hasonlítsátok össze a jegyek számát, az alaki és a helyi értékeket!Figyeld meg a legnagyobb helyi értéken szereplő szám értékét!Hasonlítsd össze a számrendszer alapszámait és a számjegyeket!)a) 3 333 4 4 444 5b) 111 111 2 111 9c) 111 4 101 010 25. Írd át kettes számrendszerbe a 100-at!

0713. HATVÁNYOZÁS… • Racionális számok 516. Melyik számrendszerben lehet a 100 alakja 400?7. Modellezzük a számológép működését! Számítsuk át a tagokat (tényezőket) 2-esszámrendszerbe, végezzük el a két szám összeadását, összeszorzását. Az eredményeketszámítsuk vissza tízesbe és ellenőrizzük!5. FELADATLAP1. Mely számok tartoznak a természetes számok közé?2. Van-e a természetes számok közt legkisebb, legnagyobb? Hány 100-nál, 1000-nél kisebbtermészetes szám van? Hány természetes szám van a 100 és az 1000 között? Hány 4 jegyűtermészetes szám van?2. Mely műveletekre zárt a természetes számkör?3.a) Milyen természetes számot írhatunk a betűk helyére, hogy a művelet eredménye biztosantermészetes szám legyen?b) Hányféle értéket adhatunk a-nak, b-nek, c-nek és d-nek, hogy a feltétel teljesüljön?50 + a, 50 – b, 50 · c, 50 : d4. Milyen természetes számot írjunk az a, b, c, d helyére, hogy a művelet eredménye netermészetes szám legyen?a) 6 + a, 6 – b, 6 · c, 6 : db) n + a, n – b, n · c, n : d(n valamilyen természetes számot jelöl)5. A következő feladatok mindegyikéhez válasszátok ki a hozzáillő nyitott mondatot, majdkeressétek meg azok megoldását! Keress megoldást az egyenletekhez! Gondold meg, hogy akapott megoldás elfogadható-e a szöveges feladat megoldásaként! Indokolj!a) Egy három kocsiból álló villamoson összesen 120-an utaztak, az első kocsiban 65-en, amásodikban 75-en. Hány utas volt a harmadik kocsiban?b) Egy hordóban 120 liter bor volt, melyből először 65, majd 75 litert fejtettek át egy-egykisebb hordóba. Hány liter bor maradt az eredeti hordóban?c) A Holdon a napsütötte talaj hőmérséklete 120 fok volt. A naplemente után 1 órával 65fokkal csökkent a hőmérséklet, újabb egy óra elteltével további 75 fokkal. Hány fokoslett a Hold felszíne ezen a helyen 2 órával a naplemente után?d) Az Alföldnek 120 m tengerszint feletti magasságban lévő pontjából fúrást végeznek. Elsőnap 65, második nap további 75 m-t haladtak lefelé. Milyen magasságban állt ekkor afúró feje?120 – 65 – 75 = x; 120 + (–65) + (–75) = xx = 120 – (65 + 75) ; 65 + 75 + x = 120

52 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET6. Változtassátok meg az előző feladat szövegében szereplő adatokat úgy, hogy mindegyikneklegyen megoldása!7. Írjátok fel a feladatokat nyitott mondatokkal! Keressetek megoldást! Indokoljátok meg,miért nem lehet természetes számmal igazzá tenni egyiket sem!a) Melyik számot kell hozzáadni a 10-hez, hogy 2-t kapjunk?b) Melyik számmal kell megszorozni a 10-et, hogy 2-t kapjunk?c) Melyik számot kell megszoroznunk önmagával, hogy –1-et kapjunk?d) Melyik számot kell megszoroznunk önmagával, hogy az eredmény 10 legyen?8. Válasszátok ki a 4 nyitott mondat közül azt, amelyik megfelel a szöveges feladatnak, majdkeressétek meg a megoldását is! Értelmezhetőek-e a kapott megoldások a szövegesfeladok megoldásaként?F + 2 · F + 4 · F = 25 F + (F – 2) + (F + 2) = 25F + (F + 2) + ( F + 4) = 25 F + (F – 2) + (F – 4) = 25a) Egy 25-ös létszámú osztályt három nyelvi csoportra osztottak. Angolt 2-vel, németet 4-gyel kevesebben tanulják, mint a franciát. Hányan tanulják az egyes nyelveket, hamindenki pontosan egy nyelvet tanul?b) 25 füzetet úgy kell elhelyezni három fiókban, hogy az alsóban kettővel, a középsőbennéggyel több legyen, mint a legfelsőben. Hány füzet legyen az egyes fiókokban?c) Egy 25 km-es távot 3 részletben futottunk végig. A második órában kétszer, aharmadikban pedig négyszer annyit futottunk, mint az elsőben. Mekkora távotteljesítettünk az első, a második, illetve a harmadik órában?d) Egy 25 hektáros erdőben háromféle fa van. A tölgyes területe két hektárral nagyobb, abükkösé pedig két hektárral kisebb, mint a fenyvesé. Mekkora az egyes fafajtákra jutóterület?9. Változtassátok meg az előző feladatban szereplő szövegek mindegyikében szereplő 25-összámot olyanra, hogy mindegyiknek legyen megoldása!10. A következő feladatoknál gondoljátok meg, lehet-e a fák száma, illetve egy telekoldalának hossza tört szám?a) Hány sorba helyezzünk el 100 fát egy négyzet alakú telken, ha minden sorban ésoszlopban ugyanannyi fát akarunk elhelyezni?b) Hány sor legyen, ha 50 fát szeretnénk ültetni az előző feltételek szerint?c) Mekkora egy 50 m 2 -es telek egy oldalának a hossza?Az eddigi feladatokban természetes számok szerepeltek. Foglaljuk össze a legfontosabbismereteket ezekről a számokról:

0713. HATVÁNYOZÁS… • Racionális számok 53ÖSSZEFOGLALÁS:A természetes számokhoz dolgok megszámlálásával juthatunk el.Megállapodás szerint a 0-t is természetes számnak tekintjük.A természetes számok jele: NBármely két természetes számot összeadva, vagy összeszorozva mindig természetes számotkapunk.A kivonás és osztás elvégezhetőségéhez bővítenünk kell a természetes számok halmazát!Láttuk, hogy a kivonással kijutunk a természetes számok köréből. Hogy ne kelljen korlátokatszabni ennek a műveletnek, kibővítjük a természetes számok halmazát a negatív egészszámokkal.A pozitív és negatív számokat előjelük segítségével különböztethetjük meg. Az előjelet csaknegatív számoknál kell kitenni, de pozitív számok esetén is használhatjuk, különösen, hahangsúlyozni kívánjuk pozitív előjelét. Gyakran halljuk, olvassuk ezt téli időszakokban,amikor a hőmérsékletet előjeles számmal adják meg. Nyárra ez feleslegessé válik.A negatív számok meglehetősen későnkaptak szerepet a matematikusok közt.Csak a középkor vége felé, a XII−XV.században kezdték használni ezeket, minthiányt jelentő számokat. Az 1500-as éveklegnagyobb matematikusai Cardano, Stifelnem létező (fiktív), vagy abszurdszámoknak nevezték, de 100 évvel későbbmég Descartes (ejtsd: Dékár) is a hamisjelzővel illette a negatív számokat.Érdekes, hogy ezer évvel korábban azindiai matematikusok már használták anegatív számokat, és minden műveletetelvégeztek velük. Európában egy ideig p és n betűkkel különböztették meg a pozitív ésnegatív számokat, a + és – előjelek is csak az 1500-as években terjedtek el.• Milyen területeken használják napjainkban a negatív számokat? Sorolj fel néhányat ésazt is tedd hozzá milyen nagyságúak ezek a számok!• Milyen mennyiségek nem vehetnek fel negatív értékeket?

54 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET6. FELADATLAPElevenítsünk fel két korábban tanult fogalmat!1. Figyeljétek meg a következő számpárokat: (5 ; –5), (20 ; –20), (–11 ; 11), (a ; –a)a) Milyen művelettel kaphatod meg az első számból a másodikat?b) Milyen művelettel kaphatod meg a másodikból az elsőt?c) Mennyi lesz ezeknek a számpároknak az összege?d) Van-e párja a 0-nak? Mi lesz a párja?e) Hogyan nevezzük ezeket a számpárokat?f) Mi lesz bármely szám ellentettjének az ellentettje? Igazold az előzőek alapján!2. Milyen közös tulajdonsága van a 25 – 15 és a 15 – 25 kivonások eredményének?TUDNIVALÓ:Két számot egymás ellentettjének nevezzük, ha csak előjelükben térnek el egymástól.Egy szám ellentettjét − 1-gyel való szorzással is megkaphatjuk.A számegyenesen a 0-tól egyenlő távolságra található számok egymás ellentettjei.Ellentett számok összege 0.3. Mely számok találhatók a számegyenesen a 0-tól 25, 12, 1, 0, illetve –1 egységnyire?4. Sorold fel azokat az egész számokat, melyek 5 egységnél közelebb vannak a 0-hoz!5. Hány olyan egész szám van, amelynek távolsága legfeljebb 10 egység a 0-tól?6. Színezd ki a számegyenesen azokat a számokat, melyek a 0-tól legalább 4, de kevesebb,mint 8 egységre vannak!7. Fogalmazd át a 8 – 11-es feladatokat úgy, hogy az abszolút érték fogalmát is felhasználod!8. Írj fel nyitott mondatokat, melyek megoldásait (vagy azok számát) az előző feladatok adják:TUDNIVALÓ:Egy szám abszolút értékén a számegyenesen a nullától való távolságát értjük.Egy szám abszolút értéke negatív szám esetén a szám ellentettje, egyébként önmaga.Egy szám, vagy kifejezés (x) abszolút értékének jele: │ x │

0713. HATVÁNYOZÁS… • Racionális számok 557. FELADATLAP1. Az abszolút érték és elletett fogalmak ismeretében válaszolj a kérdésekre!a) Hány olyan szám van, aminek az ellentettje 100?b) Hány olyan szám van, aminek az abszolút értéke 100?c) Hány olyan szám van, aminek az ellentettje –100?d) Hány olyan szám van, aminek az abszolút értéke –100?e) Mely számok nagyobbak az ellentettjüknél?f) Mely számok kisebbek az abszolút értéküknél?g) Melyik szám nagyobb 12-vel az ellentettjénél?h) Melyik szám kisebb 8-cal az abszolút értékénél?2. Mi lehetett a szám, ha:a) hozzáadtam az abszolút értéként, így 0-t kaptam,b) hozzáadtam az ellentettjét, így 0-t kaptam,c) kivontam az ellentettjét, így nullát kaptam,d) hozzáadtam az abszolút értékét és az ellentettjét, így 0-t kaptam.3. Mely egész számokra igazak a következő állítások?a) │ x │ =x b) x+(–x)=10 c) x +│ x │ =10 d) x – 2·x = –xe) x > │ x │ f) │ x │ < 5 g) │ x │ < –5 h) –x > x4. Igaz vagy hamis? Hasonlítsátok össze a természetes számok, a negatív egészek és az egészszámok halmazát a következő állítások alapján! Az utolsó sorhoz keressetek olyan állítást,amire teljesülnek a feltételek!Végtelen sok eleme van.Van legnagyobb eleme.Bármely eleménél van kisebb eleme.Bármely elemének abszolút értéke is benne van.Bármely elemének ellentettje is benne van.Bármely két elemének összege is benne van.Bármely két elemének szorzata is benne van.Bármely két elemének hányadosa is benne van.Minden eleme természetes számPozitívegészekNegatívegészekEgészszámokI I H

56 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETÖSSZEFOGLALÁS:A természetes számok halmazát a negatív egész számokkal kiegészítve az egész számokhalmazához jutunk. Az egész számok halmazának jele: ZAz egész számok összege, szorzata és különbsége is mindig egész számot eredményez.8. FELADATLAP1. Fejben számoljatok! Hogyan kapjátok meg a különbséget?12 – 15 = 100 – 101 = 499 – 1000 =1 – 1 000 000 = 666 – 777 = 1234 – 5678 =2. Keressük meg a nyitott mondatok megoldását!a) 20 – a =−5 5 – b = −20 100 – c = −100 0 – d = −1234b) a –20 = −5 b – 5 = −2 c – 379 = −379 d – 50 = −1003. Írjunk fel négy kivonást, melyeknek eredménye –20! Az elsőnek pozitív szám legyen akisebbítendője a másodiknak negatív! A harmadiknál a kisebbítendő, a negyediknél akivonandó legyen nulla!4. Van-e legnagyobb illetve legkisebb egész szám?5. Melyik a legkisebb pozitív egész?6. Melyik a legnagyobb negatív egész?7. Mindegyik feladathoz használjatok számegyenest!a) Jelöljétek be a számegyenesen a – 6-nál nagyobb negatív egészeket! Hány számottaláltatok?b) Jelöljétek be a számegyenesen a 4-nél kisebb pozitív egészeket! Hány számottaláltatok?c) Jelöljétek be a számegyenesen a – 4-nél nagyobb egészeket! Hány ilyen szám van?d) Jelöljétek be a számegyenesen az 5-nél kisebb egészeket! Hány ilyen szám van?e) Karikázzátok be a számegyenesen pirossal a – 7-nél nagyobb egészeket, kékkel a 3-nálkisebb egészeket! Mely számokat karikáztátok be mindkét színnel?f) Karikázzátok be a – 3-nál nem kisebb egészeket pirossal, a 3-nál nem nagyobbegészeket kékkel! Hány számot karikáztál be mindkét színnel?

0713. HATVÁNYOZÁS… • Racionális számok 578. Mely egész számok teszik igazzá a következő állításokat?0 < a < 5 – 3 < b < 2 – 10 ≤ c < –7– 503 < d ≤ – 499 – 1 ≤ e ≤ 1 – 3 > f > 139. Hány megoldása van az egyenlőtlenségeknek az egész számok körében?–20 < a < 20 –100 ≤ b ≤ 100 –500 ≤ c < 0–45 ≤ d < –55 –10 9 < e < 10 9Az osztás több szempontból is különleges szerepet tölt be az alapműveletek körében. Ez aművelet nemcsak a természetes, de az egész számok köréből is kivezet. Az alábbi osztásokközül válasszuk ki azokat, melyek hányadosa nem egész szám:12345 : 5 = 54321 : 4 = 3333 : 10 =77777 : 7 = 120 : 61 = 1234 : 4321 =Ha nem akarunk az egész számok köréből kilépni, akkor maradékos osztást is végezhetünk. Amaradék lehetővé teszi, hogy „kijátsszuk” az osztás, egész számok köréből történő kilépését.Ez tette lehetővé, hogy az osztással már alsó tagozatban is foglalkozzunk, de ennek az volt azára, hogy az eredmény – a hányados – mellett megjelent a maradék. Az oszthatóságra,maradékokra a matematika egy külön fejezete, a számelméletet szól.Ha meg kívánunk szabadulni a maradékoktól, akkor az osztás elvégzéséhez az egészeket kikell egészítenünk a tört számokkal.Bármely osztás eredményét felírhatjuk tört alakban úgy, hogy az osztandót a számlálóba, azosztót a nevezőbe írjuk. Az így kapott törtet persze egyszerűsíthetjük is.9. FELADATLAP1. Írjátok fel törtként a hányadosokat, majd egyszerűsítsetek, ha lehet:32 :10 = 50 :15 = 63:14 =60 : 7 = 45:9 = 100 :99 =Láthatjátok, hogy minden osztáshoz tartozik egy tört alak, még ahhoz is, amelyiknekeredménye egész szám.A két egész szám hányadosával előálló számokat racionális számoknak nevezzük.2. Az alábbi számok mind racionális számok:4 −25 88 −1 10 33 −9 0, , , , , , , ...88 24 −99 −100 5 1 3 2Miért? Bármilyen egész számot írhatunk a számlálóba és a nevezőbe is?

58 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET3. Csoportosítsátok a felsorolt számokat!a) Melyek pozitívak, melyek negatívak?b) Van-e olyan racionális szám, amelyik se nem pozitív, se nem negatív? Miről ismerhetőfel?c) Add meg mindegyiket más alakban egyszerűsítéssel, vagy bővítéssel!d) Vannak-e közöttük egészek? Melyek ezek?e) Melyik a legkisebb pozitív szám köztük? Mondj legalább 3 további pozitív számot, amikisebb ennél!f) Van-e még? Hány?A hányadost megkaphatjuk tizedes tört alakban is, ha az írásbeli osztást folytatjuk az egészrész után. A legtöbb számológép, vagy matematikai program is tizedes törtként adja meg ahányadost.A kivonáshoz hasonlóan az osztásnál sem cserélhetők fel a műveletben szereplő számok.Nézzük meg, hogyan változik a hányados, ha felcseréljük az osztandót és az osztót!4. Végezd el az osztásokat! A hányadosokat tizedes törttel add meg! Majd szorozd össze a kéthányadost!8 : 5 = 5 : 8 =Ha jól számoltál, akkor eredményül 1-et kaptál.Még szembetűnőbben mutatkozik ez meg, ha az osztások eredményét törtként írjuk le:8 : 5 =85 : 8 =5,588 5 40⋅ = = 15 8 40TUDNIVALÓ:Két számot reciprok számoknak nevezünk, ha szorzatuk 1.5. Írd a számok mellé a reciprokukat!a)4 7 99 17↔ ↔ ↔ ↔ ↔5 15 20 25b) Hogyan kaphattuk meg ezeknek a számoknak a reciprokát? Mit tükröz az utolsó példa?Fogalmazd meg!c) Ezeknek a számoknak a reciprokát is számítsd ki!41,3 ↔ 3 ↔ 0,4 ↔ 2,5 ↔ 5 ↔ 123 ↔5

0713. HATVÁNYOZÁS… • Racionális számok 59Mennyiben nehezebb ez a feladat az előzőnél, hogyan hidalható át a nehézség?Találtál-e az adott számok közt olyanokat melyek egymás reciprokai? Hogyan írható felkönnyen egy egész szám reciproka?6. Van-e reciproka a 0-nak? Indokoljátok a választ!7. Van-e olyan szám, ami megegyezik a reciprokával?8. Milyen művelettel kapod meg egy szám párját?9. Az ellentettről és a reciprokról tanultakkal egészítsd ki a táblázat hiányos mondatait!Ha két szám egymás ellentettje, akkorösszegük 0.Ha két szám összege 0,………………………………………..………………………………………...Ha két szám egymás reciproka,………………………………………...…………………………………………Ha két szám szorzata 1, akkor a két számegymás reciproka.Az egyetlen szám, ami egyenlő azellentettjével a 0.Az egyetlen pozitív szám, ………………………………………………………Ellentett számok csak előjelükbenkülönböznek, abszolút értékük megegyezik.Egy szám reciprokát a számláló és nevezőfelcserélésével kaphatjuk meg.Egy szám ellentettjének az ellentettje maga aszám.Ha egy számot a-val jelölünk,……………………………………………………………………………………Egy szám ellentettjét –1-gyel való szorzássalkapjuk. (Megkaphatjuk úgy is, hogy kivonjuka számból a kétszeresét.)………………………………………...……………………………………………………………………………………Ha egy számot a-val jelölünk, akkor az a1reciproka: . Az a nem lehet nulla.aEgy szám reciprokát a –1. hatványa adja.(Pozitív szám esetén megkaphatjuk úgy is,hogy elosztjuk a számot a négyzetével.)TUDNIVALÓ:Az egész és tört számok halmazának egyesítésével kapott halmaz a racionális számok halmaza.A racionális számok halmazának jele: Q.A racionális számok köréből egyik alapművelet sem vezet ki.A természetes számokból a négy alapművelet − véges sok − alkalmazásával kapott számmindig racionális.A racionális számok mindig felírhatók két egész szám hányadosaként.

60 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET10. Hasonlítsuk össze az egész és a racionális számok néhány tulajdonságát! Néhányegyszerűnek tűnő kérdés meglepő válaszokat rejt!a) Melyik a legkisebb pozitív egész szám?b) Melyik a legkisebb pozitív tört szám?c) Hány egész szám van az 1 és az 1000 között? Melyik a legkisebb és a legnagyobb?d) Hány tört szám van az 1 és a 2 között? Melyik a legkisebb és a legnagyobb?e) 1-nél nagyobb, vagy 1-nél kisebb pozitív racionális számból van-e több?11. A táblázat kiegészítésével végezzétek el a két számhalmaz összehasonlítását!………………Jele: ZEgész számok köréből az………………művelete kivezet.Bármely két különböző egész szám között……………… sok egész szám található.Két nem szomszédos egész szám között…………… legkisebb és legnagyobb egészszám.Az egymást követő egész számok egységnyitávolságra helyezkednek el a számegyenesen,így beszélhetünk szomszédos egészekről.Racionális számokJele: ……Racionális számok köréből egyik alapműveletsem vezet ki.Bármely két különböző racionális számközött …………… sok racionális számtalálható.Két különböző racionális szám között…………… legkisebb, illetve legnagyobbracionális szám.A racionális számoknak nem adhatók meg aközvetlen szomszédjai, nincs hozzájuklegközelebb eső racionális szám.12. Igaz−hamis?a) Minden racionális szám egész szám.b) Minden természetes szám racionális szám.c) Van olyan racionális szám, ami természetes szám.d) Van olyan egész szám, ami nem racionális szám.e) Bármely két különböző racionális szám közt található további racionális szám.f) Két racionális szám különbsége nem lehet kisebb, mint 0,0000001.g) Az 1 és a 1 000 000 között több egész szám van, mint racionális szám a 0 és az1 között.

0713. HATVÁNYOZÁS… • Racionális számok 6110. FELADATLAPBár az alapműveletek nem vezetnek ki a racionális számok köréből, ez nem jelenti azt, hogynincsenek nem racionális számok. Később megismerkedünk olyan műveletekkel, melyek aracionális számok köréből is kivezetnek. Az így kapott számokat irracionális számoknaknevezzük. Bebizonyítható, hogy az irracionális számok nem írhatók fel egész számokhányadosaként és tizedes tört alakjuk végtelen és nem szakaszos.Ilyen irracionális szám a görög π (pi) betűvel jelölt szám, melynek közelítő értéke:3,141592653.... Ez a szám játszik szerepet a kör kerületének és területének kiszámításában.Ugyancsak irracionális számmal adható meg annak a négyzetnek az oldala, melynek területe2 területegység. Ez a hosszúság megközelítőleg: 1,414213562... Ezeket a számokat agyakorlatban a megvastagított kerekített értékükkel szokták helyettesíteni.Mi magunk is tudunk irracionális számokat „gyártani”, ha valamilyen szabályossággalvégtelen, nem szakaszos tizedes törtet állítunk elő. Ilyenek például:0,10110111011110111110...0,123456789101112131415...0,2481632641282565121024...Fogalmazd meg, milyen szabályszerűséggel állítottuk elő a fenti irracionális számokat!Igaz-e, hogy ezek végtelen tizedes törtek? Igaz-e, hogy nem szakaszosak?Az irracionális számokkal kiegészítő anyagként találkozhattok ennek a fejezetnek a végén.1. Írjatok konkrét példát racionális számokkal a következő esetekre! Ha nem találtokmegoldást indokoljátok meg, miért nincs!a) Két tört összege egész.b) Két különböző tört különbsége egész.c) Két különböző tört szorzata egész.d) Két azonos tört szorzata egész.e) Két különböző tört hányadosa egész.f) Két negatív egész szám összege természetes szám.g) Két negatív egész különbsége természetes szám.h) Két negatív szám szorzata negatív.i) Két nem pozitív szám szorzata nem negatív.j) Két pozitív szám szorzata kisebb bármelyiküknél.k) Egy egész és egy tört szorzata egész.l) Egy egész és egy tört összege egész.

62 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET2. Helyezzétek el a következő számokat a halmazábrában!4 , − 33 , 5,123 , 2006 , − 0,15966•666 , 6,66 , − , 6,6 , 6,60660666066660...6a) Milyen számok kerülnek a halmazábra kék részébe?b) Milyen számok kerülnek a halmazábra sárga részébe?c) A halmazábra melyik színű részébe kerülhet két zöld szám összege, illetve szorzata?d) A halmazábra mely részébe kerülhet két sárga szám összege, illetve szorzatae) Hova kerülhet két sárga szám hányadosa?f) Van-e olyan szám a felsoroltak közt, amelyik a halmazábra fehér részébe került? Miért?g) Lehet-e két kék szám összege, különbsége, szorzata, hányadosa zöld szám?

0713. HATVÁNYOZÁS… • Racionális számok 63Hány racionális szám van?Tudjuk, hogy a racionális számok száma végtelen, hiszen magukban foglalják az ugyancsakvégtelen sok számot tartalmazó egészek halmazát. Míg azonban a számegyenes bármekkora– véges – részét lefedve véges számú egész számot takarnánk le, addig racionális szám aszámegyenes legrövidebb szakaszán is végtelen sok van.A fekete csík által lefedett egészek száma véges, mert láthatóan kevesebb, mint 200.Ezzel a fekete csíkkal mind a negatív, mind a pozitív számok közül végtelen sokat fedtünk le.Legyen A és B a számegyenesen két különböző racionális szám. Mutassuk meg, hogy vanközöttük is racionális szám!A C B1. Legyen a C az AB szakasz felezőpontja.Igaz-e, hogy C-hez tartozó szám racionális?2. Keressünk racionális számot a következő számok között:a)1 1és3 21 1b) és100 99c) 0 ,001 és 0,002d) 1, 111 és 1,1111.3. Keressetek 3-3 számot, melyek igazzá teszik a következő egyenlőtlenségeket!a) –0.01 < a < 0,01b)c)d)1 2< b

64 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET•f) 0, 3 < f < 0,34• • • •gg) 0,121 < < 0,12Mivel racionális számokat a számegyenes bármely részén találunk, és bármelyik kettő köztvégtelen további található, felvetődik a kérdés, hogy a racionális számokhoz tartozó pontokkitöltik-e a számegyenest, vagy maradnak olyan pontok, amelyek nem racionális számokhoztartoznak.A kérdés megválaszolásához térjünk vissza a racionális számok tizedes tört alakjához.Tudjuk, hogy minden racionális szám felírható két egész szám hányadosaként, ebből adódóana tizedes tört alakjuk vagy véges, vagy végtelen, de utóbbi esetben is szakaszos tizedes tört.Adódik a következő kérdés:Vannak-e végtelen, nem szakaszos tizedes törtek?Bár eddig ilyenekkel nem találkoztunk, hiszen az alapműveletek nem szolgáltatnak errelehetőséget, de ettől még előállíthatunk ilyeneket:4. Folytassátok a tört részt egy benne fellelhető szabály szerint további számjegyekkel!a) 0,10110111011110111110...b) 0,123467891011121314...c) 0,2357111317...d) 0,1123581321...e) 0,02040801603206401280256...(!)f) Meg lehet-e mondani bármely törtrészről a felismert szabály alapján, hogy mi lesz a 20.,50., 100. tag?g) Kialakulhatnak-e ezekben a végtelen tizedes törtekben a racionális számokra jellemzőismélődő szakaszok?A végtelen nem szakaszos tizedes törtek nem racionális számok. A fenti módon előállítottszámokat irracionális számoknak nevezzük.Az irracionális számok nem írhatók fel két egész szám hányadosaként.5. Készítsünk végtelen tizedes törteket! Mit gondoltok, az adott szabály racionális vagyirracionális számot eredményez-e? Minek alapján tudjátok eldönteni?a) Írjátok a törtrészbe az 5 többszöröseit!b) Írjátok a törtrészbe az egymást követő pozitív egészek 5-ös maradékát!c) Írjátok a tört részbe az egymást követő pozitív egészek négyzetét!d) Írjátok a tört részbe az egymást követő pozitív egészek négyzetének utolsó számjegyét!1e) Vegyétek az tizedes tört alakját, majd írjátok a törtrész végére a 2. feladat b.)8pontjában szereplő számot!f) Vegyétek az 1/3 tizedes tört alakját és adjátok hozzá az 2. feladat a.) feladatban szereplőszámot!Most, hogy láttunk néhány irracionális számot, feltehetjük a kérdést:

0713. HATVÁNYOZÁS… • Racionális számok 65Hány irracionális szám van?Láttuk, hogy bármely két racionális szám között végtelen sok racionális szám van. Van-ebármely két racionális szám között irracionális szám is?Láttuk, hogy két racionális szám közé könnyen beilleszthetünk további racionális számokat.Azt is láttuk, hogy egy racionális szám tizedes tört alakjának megfelelő módosításával hozzátetszőlegesen közel álló irracionális számokhoz juthatunk.4. Példák konkrét irracionális számokra6. Keressetek irracionális számokat, melyek igazzá teszik az egyenlőtlenségeket:a) 0,5 < a < 0,6b)20,6 < b

0714. MODULHATVÁNYOZÁS, SZÁMOKRÓLÉS MŰVELETEKRŐL TANULTAKÖSSZEFOGLALÁSAAlapműveletek számok különbözőalakjaivalKÉSZÍTETTE: TÓTH LÁSZLÓ

0714 HATVÁNYOZÁS…• Alapműveletek számok különböző alakjaival 691. FELADATLAP1. A következő néhány számot írjátok le a lehető legkevesebb jel segítségével!százhuszonnégyezer, kétezer-egy, hatezer-ötszáz, hétmillió-háromszázötvenhétezer,hétmillió-háromszázötvenhét, ezerhuszonnégy, hatszázmilliárd.a) Hogyan jegyezted le a számokat?b) Hány jegyű számokat kaptál?c) Hány nullára végződnek a számok?d) Lehetett volna kevesebb jellel is leírni valamelyik számot?e) Mely számokat írtuk az alábbi kifejezések alakjában?kifejezés7 000 000 + 350 + 72 · 4 · 8 · 162 5 · 5 3 · 317·10 6 + 3·10 5 + 5·10 4 + 7·10 36 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 56,5·10 311111010001 2számf) A kifejezések közül melyik összeg, melyik szorzat?g) Írd fel az 1024 számot minél többféle alakban – tízes számrendszerbeli helyi értékesbontásban, normálalakban, prímtényezős alakban, stb.h) Melyik szorzat tekinthető normálalaknak?2. FELADATLAP1. Ugyanazt a két számot megadtuk többféle alakban is.A két számról kérdéseket írtunk. Melyik állításra, melyik alak alapján könnyűválaszolni?A = 6,4 ·10 3 = 6 · 10 3 + 4 · 10 2 = 2 8 · 5 2 és B = 1,6 ·10 3 = 10 3 + 6 · 10 2 = 2 6 · 52a) Melyik nagyobb? A vagy B?b) A · B = ?c) A : B = ?d) Hány százas szerepel A-ban?e) A + B = ?f) (A + B ) osztható-e 25-nel?

70 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETA téli éjszakák ragyogó csillagáról a Szíriuszról azt olvashatjuk, hogy mintegy 9 fényévnyitávolságra van. Hány km-re lehet ez az égitest, ha tudjuk, hogy a fény 1 másodperc alatt300 000 km-t tesz meg és 1 fényév az a távolság, amit a fény 1 év alatt megtesz?Az eredményt a következő szorzat adja:60 · 60 · 24 · 365 · 9 · 300 000 (km)Mit jelentenek az egyes tényezők?A szorzat kiszámításához érdemes fejszámolással és normál alakkal dolgozni:60 · 60 = 3 600 = 3,6 · 10 324 · 365 ≈ 25 · 4 · 90 = 9 000 = 9 · 10 39 · 300 000 = 2 700 000 = 2,7 · 10 6A szorzat normál alakokkal tehát:3,6 · 10 3 · 9 · 10 3 · 2,7 · 10 6 = 3,6 · 9 · 2,7 · 10 3 · 10 3 · 10 6 ≈ 3 · 27 · 10 3+3+6 == 81 · 10 12 = 8,1 · 10 13(Ha pontosan számoltunk volna 8,5 · 10 13 km-t kaptunk volna.)Érdemes végigkövetni a számolást, mert találkozhatunk benne számítást könnyítő eljárással(24 · 365 ≈ 25 · 4 · 90 ), a kerekítés szabályának kijátszásával (3,6 ≈ 3), hogy a korábbi felfelékerekítést ezzel korrigáljuk. A lényeg, hogy végül is kalkulátor nélkül is megkaphattuk azelfogadható pontosságú eredményt (sőt a legtöbb kalkulátor nem is tudna a kapott 14 jegyűszámmal megbirkózni).2. A következő feladatok eredményét az adatok normál alakra történt átszámítása utánkerekítéssel határozzátok meg!a) A Földtől legtávolabbra jutott ember alkotta eszközt aVoyager 1 űrszondát 1977. szeptember 5-én bocsátottak fel.Hány km-re jutott el, ha 1 óra alatt, mintegy 61 690 km-ttesz meg.Hányszor van távolabb a Napnál, ha központi csillagunk150 millió km-re van tőlünk?b) A mai ismereteink szerint a Világegyetem 900 milliárdgalaxisból áll és egy ilyen galaxisban (mint amilyen a miTejútrendszerünk is) átlagosan 200 milliárd csillag van.• Hány csillag van az égen?Ezeknek csak egy töredékét, alig 3000-t láthatunk szabadszemmel.• Hányadrésze ez az összes csillagnak?c) Mennyi a Föld és a Hold össztömege, ha a Föld tömege:5 970 000 000 000 000 000 000 tonna,míg a Holdé 74 000 000 000 000 000 000 t?

0714 HATVÁNYOZÁS…• Alapműveletek számok különböző alakjaival 713. FELADATLAPVizsgáljuk meg, hogy mely formában adott számokat könnyű nagyság szerintösszehasonlítani, rendezni?1. Állítsd növekvő sorrendbe a következő számokat:MD, CCX, XCV, CXCV, XXXVIII, CXXVI2. Az A-val vagy a B-vel jelölt szám a nagyobb?A = 47264738465325347568 vagy B = 921374657483746746a) Írjuk át A-t és B-t normálalakba két értékes jegyre kerekítve, majd hasonlítsuk össze anormálalakban lejegyzett számokat!b) Hányszorosa megközelítőleg a nagyobb szám a kisebbnek?3. Állítsd növekvő sorrendbe a normálalakban megadott számokat!3,17 · 10 9 ; 9,7 · 10 7 ; 7 · 10 13 ; 3,16 · 10 10 ; 3,097 · 10 94. 725 · 10 8 ; 79,7 · 10 7 ; 127 · 10 6 ; 0,16 · 10 9 ; 1111 · 10 6Az alapműveletek gyakorlását a természetes számokkal kezdjük. Elsősorban sorozatokkapcsán nyílik alkalmatok számolni, de egyben gondolkodni is. Lehet fejben is számolni,írásban is, de keressetek lehetőségeket, amelyekkel megkönnyítitek a számolást.

72 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET4. FELADATLAP1. Az itt látható Pascal-háromszögben könnyen felismerhető szabály szerint helyezkednek ela számok. Megtalálhatjátok benne a természetes számok sorozatát is. Írjátok be a hiányzószámokat a sejtekbe és ellenőrizzétek az utolsó sorral, hogy jól dolgoztatok-e! Adjátok összeaz egy sorban lévő számokat! Hogy még mennyiféle érdekesség van benne, elrejtve annakfelfedezése rátok vár.A továbbiakban is természetes számokból képezünk különböző sorozatokat. Megvizsgáljuk asorozatban szereplő számok tulajdonságait, megpróbáljuk felírni azokat valamilyenszabállyal.2. Számoljatok fejben 13-tól 5-ösével, a kétjegyű számok körében! Mi lesz az utolsó tag?Lesz-e a sorozat tagjai közt:a) Törtszámb) Negatív számc) 5-nek többszörösed) 10-nek hatványae) 8-cal osztható számf) 6-nak hatványag) Mire végződik a legnagyobb háromjegyű, négyjegyű szám?

0714 HATVÁNYOZÁS…• Alapműveletek számok különböző alakjaival 733. Fejben számoljatok, de írásban jegyezzétek le a tagokat! Folytassátok a sorozatot az utolsótag duplázásával! Legyen a kiindulási szám:a) 1, …b) 125, …c) 3, …d) 120, …e) Van-e olyan szám, amelyik több sorozatban is előfordul?f) Hányszorosa bármely tag a kettővel, hárommal előtte lévőnek?g) Hogyan lehet könnyen 2 hatványaival szorozni, osztani fejben?4. Indulj ki a 33-ból! A következő tag legyen az előző 100-szorosa! Nevezd meg a sorozatelső 6 tagját! Milyen írásmóddal lehetne könnyen és kevés számjegy felhasználásával az első10 tagot leírni?KITEKINTÉS:2. A Collatz probléma tárgyalása a természetes számok körében5. A következő feladatban több sorozatot is elindítunk, de mindegyikre ugyanazt a szabálytalkalmaztuk. Fedezd fel a szabályt, majd folytasd a sorozatokat!a) 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1…b) 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40…c) 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53…d) 128, 64, 32, 16…Adj meg egypozitív egészszámot! (N)N páros?nemSzorozd meg 3-mal ésadj hozzá 1-et!Oszd el 2-veligen

74 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETAlkalmazzátok a folyamatábrán feltüntetett eljárást a 28, 29, 30,… kezdőszámokkal ésfolytassátok a sorozatot! Mit figyelhettek meg?Matematikusok feltételezik, hogy bármely pozitív egésztől indulva előbb-utóbb eljutunk az 1-hez. Aki egy szép hosszú sorozatra kíváncsi, próbálkozzon a 27, 31, 41, 47, 54, 55, 62, 63kezdőszámok valamelyikével, de nem árt, ha tud programot írni hozzá, vagy legalábbiszsebszámológéppel is segíti munkáját.5. FELADATLAPA következő feladatokkal a fejszámolást és írásbeli számolást gyakorolhatjátok.1. Ezeket a feladatokat fejben próbáljátok kiszámítani!a) 10 – 9 + 8 – 7 + 6 – 5 + 4 – 3 + 2 – 1 =b) 100 – 99 + 98 – 97 + 96 –...– 3 + 2 – 1 =c) (10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2) : (5 · 6 · 7 · 8 · 9 ) =d) 1000 – 25 · 8 + 37 · (45 – 15 · 3) =2. Ezeket a feladatokat írásban számítsd ki!a) 18693 + 222222 + 6178839 + 1234567 =b) 654321 + 456790 + 123456 =c) 3688214 – 2453647 =d) 9526969 – 1872648 =e) 1279463 – 723 908 =f) 617 · 40 =g) 367 · 37 =h) 402 859 · 19 =i) 9721·127 =j) 172 205 : 31=k) 96 252 : 78=l) 298 845:29 =6. FELADATLAPA természetes számok körében nem igazán kellett szabályokat megfogalmazni a műveletekértelmezésére, elvégzésére. Ha a negatív számokat is bevonjuk, akkor az alapműveletekrészben új értelmet nyernek. Emlékezzetek az első csodálkozásra, amikor kiderült, hogyhozzáadással is csökkenhet és elvétellel is növekedhet valami, gondoljunk csak az adósságraés vagyoni helyzetünkre. Az összeadás és kivonás műveleténél új szabályokat fogalmaztunk

0714 HATVÁNYOZÁS…• Alapműveletek számok különböző alakjaival 75meg, melyek a negatív számok hozzáadását, kivonását tette lehetővé. A szorzás új értelmetnyert, hiszen a negatív egésszel történő szorzás már nem írható fel összeadásként. Ahatványozás is új problémákat vetett fel akár az alap, akár a kitevő helyére került negatívegész szám.1. A továbbiakban a négy alapműveletet az egész számok körében gyakoroljuk. Először atáblázatok kitöltésével idézzétek fel a legfontosabb szabályokat! Indokoljátok meg, melyfeltételek mellett kerülnek bizonyos cellákba azonos számok!a)a b a + b │a + b│ │a│ + │b│ │a│ + b a + │b│ –│a│ + b–5 +8–9 +2–10 –4+2 –8b)a b a – b b – a │a – b│ │b – a│ │a│–│b│ │b│–│a│ │a│ – b–5 +8–9 +2–10 –4+2 –8c)a b a · b │a · b│ │a│ · │b│ │a│ · b a · │b│–5 +8–9 +2–10 –4+2 –82. Végezd el a következő műveleteket!(Használjátok ki, hogy a feladatokban azonos abszolút értékű számok szerepelnek, ígyegyrészt fejben számolhattok, másrészt az eredményeket megfelelő módosítássalfelhasználhatjátok a későbbi feladatokban! A műveletek elvégzésekor fogalmazzátok meg azalkalmazandó szabályt!)

76 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETa) +65 + (+13) = +65 +( –13) =–65 + (+13) = –65 + (–13) =b) +65 – (+13) = +65 – (–13) =–65 – (+13) = –65 – (–13) =c) +65 · (+13) = +65 · (–13) =(–65) · (+13) = (–65)· (–13) =d) +65 : (+13) = +65 : (–13) =(–65) : (+13) = (–65) : (–13) =e) +65 : 0 = 0 : 13 =(–65) : 0 = 0 : 0 =3. Oldd meg a nyitott mondatokat!(A nyitott mondatok igazzá tételénél alkalmazzátok az előbb használt szabályokat!)+9+a=+5; −9+b=−7; −2+c=–8; +15+d=−15; −77+e=0f–(+9)=–3; g–(+7)=–9; –5–h= –20; +3–i=+8; –11–j=+11+(+25)·k=–75; (−11)·m= n·(–6)=–48; q·q=−977; (−33)·p=0;–60:s=–6; −49:t=+7; u:(–3)=–6; v:(+5)=–5; x:(–9)=0; (–5):y=0Egy feladat megoldása során több műveletet tartalmazó műveletsorral is találkozhatunk. Akövetkező számkifejezések ilyenek.4. Végezd el az összevonásokat!(Csoportosítsd előjel szerint a számokat, majd a kapott két különböző előjelű összeggelszámolj tovább!)33 + (–7) + (–11) + 20 + (–41) =(–48) + (–50) + 26 + (–66) + (–100) =(–28) + 21 + 70 + (–9) + 58 =123 + 248 + (–73) + 301 + (–473) =5. Végezd el az összevonásokat!(A következő feladatnál is több egész szám összegét kell meghatároznotok. Ha figyelmesenmegnézitek a tagokat, akkor kiderül, hogy lehetőség van a számolás megkönnyítésére.)100 +(–55) + 30 + 25 + (–101)=(–20) + 30 + 40 + (–50) + 60 =(–45) + 30 (–70) + (–25) + 40 =333 + 444 + 555 + (–777) + (–500) =

0714 HATVÁNYOZÁS…• Alapműveletek számok különböző alakjaival 776. Írd át az kivonásokat összeadássá! Utána számolj az összeadásnál ismételtek szerint!25 – (–12) – (–8) + 13 =(–10) + 18 – (–7) =100 – (–30) + 25 + 5 – 20 =–8 – 5 – (–11) + 9 + (–11) =7. Írd át a műveletsort, hogy csak pozitív számok szerepeljenek benne! Ezután lépésrőllépésre számolj!3 + (–5) – (–7) –2 =–9 + (–6) – (–7) + 3 + (–2) – (–10) =8. Oldd meg az egyenleteket! A megoldás előtt végezd el a lehetséges műveleteket!(–35) + (–40) + x = 075 + (–30) + x = 100(–56) + 46 + (–20) + x = –76100 + (–55) + 30 + 25 + (–101) + x = 09. Végezd el a szorzásokat!(Előbb állapítsd meg a szorzat előjelét, utána számítsd ki az abszolút értékét!)4 · 5 ·( –3) · 10 = (–5) ·(–3) · (–10) · 4 =(–2) · (–4) · (–25) · (–7) = (–4) · 7 · 2 · (–25) =10. Végezd el a szorzásokat! Határozd meg a szorzatok előjelét többféleképpen!(Összeszámolhatjuk a negatív tényezőket (figyelembe véve a negatív alaphoz tartozókitevőket), vagy csak a két tényező előjeléből állapítjuk meg.)(–2) 3 · 3 2 = (–2) 4 · (–5) 2 =(–2) 2 · (–2) 3 · (–2) 4 · (–5) 9 = (–1) 111 · (–111) 1 =11. Végezd el a műveleteket!(Ügyelj a sorrendre!)(–10) +(–3) · (–5) =2{(–10) + (–3)} · (–5) =(–10) + {(–3) ·( –5)} 2 ={−10 + (–3) · (–5) } 2 =2

78 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET7. FELADATLAP1. Végezzétek el a következő osztásokat! Figyeljétek meg hány jegyből áll a szakasz!Alkalmazzátok a megfelelő jelölést!a) 40 : 9 = 50 : 9 =b) 60 : 11 = 70 : 11 =c) 80 : 7 = 90 : 7=Észrevehetitek, hogy a szakasz hosszát az osztó határozza meg. 9-cel osztva például, mindigegyjegyű szakaszt kaptunk. Azt sem nehéz kitalálni, melyik szám adja az ismétlődő szakaszt.Ha 11-gyel osztunk, akkor mindig két jegyből álló szakaszt kapunk. Osszatok el továbbiszámokat 11-gyel, és figyeljétek meg, milyen számok alkotják a szakaszt! Mennyi a szakasztalkotó számjegyek összege? Mi lesz az első számjegy?7-tel osztva úgy tűnhet sose ér véget az osztás, de ha meggondoljuk, hogy a maradék csak 7-féle lehet (1, 2, 3, 4, 5, 6 és 0), akkor a 6. osztás után vagy véges tizedes törtet kapunk, vagyegy korábbi maradéknak kell megjelennie. Tehát a szakasz nem lehet hosszabb, mint 7 – 1 = 6jegy.KITEKINTÉS:Érdemes megfigyelni mi lesz a szakasz, ha 7-tel osztunk:1:7 = 0,142857 142857…2:7= 0,285714 285714…3:7= 0,428571 428571…4:7= 0,571428 571428…5:7= 0,714285 714285…6:7= 0,857142 857142…Látható, hogy valóban mindegyik osztás 6 jegyű szakaszteredményezett. Figyeld meg a szakaszban szereplő számoksorrendjét! Mit veszel észre?Nem a 7-es az egyetlen osztó, amelyik így viselkedik.Keressetek számoló- vagy számítógéppel olyan osztókat,melyeknél a szakasz hossza eggyel rövidebb, mint az osztóhelyén lévő szám!Ha sokjegynyi pontossággal működő programotok van, akkorugyanezt vehetitek észre 17-tel, 19-cel, 23-mal vagy 29-cel osztva. Tévedés lenne ebből arrakövetkeztetni, hogy minden prím esetében ez a helyzet, hiszen például a 13-mal történőosztásnál csak 6 jegyből áll a szakasz.Megállapítható, hogy az osztásnál kapott végtelen szakaszos tizedes törtben a szakaszjegyeinek száma mindig kevesebb, mint az osztó helyén lévő szám.

0714 HATVÁNYOZÁS…• Alapműveletek számok különböző alakjaival 798. FELADATLAP1. Végezzétek el az osztást a szakasz felismeréséig, majd jelöljétek megfelelően a kapottvégtelen tizedes törtet!5555,5: 45 = 617,25:5 =1111:9 = 1358:11=2. Állítsuk a 1. feladatban kapott négy hányadost nagyság szerint növekvő sorrendbe!3. Írjuk át tizedes törtté a következő törteket!a) A feladat megoldását nagyban könnyíti, hogy a nevezőben 10 hatványai szerepelnek.3 49 123 21 67= = = = =10 100 1000 1000 10b) A következő törtekből bővítéssel olyan törtekhez juthatunk, melyeknek nevezői szintén10 hatványai. Miért? Figyeld meg a nevezők prímtényezős felbontását!4 13 3 79= = = = =5 25 4 50 20c) Miért nem lehet a következő törteket bővíteni az előző mintájára? Ismét a nevezőprímtényezős felbontása adja meg a választ. Milyen módon alakíthatod át a törtet tizedestörtté?23=59=911=1112=1315=ÖSSZEFOGLALÁS:Ha egy tört nevezőjében 10 valamelyik hatványa szerepel, akkor a számlálóban elhelyezetttizedesvesszővel közvetlenül átírhatjuk tizedes törtté:123= 1,23100451000= 0,045Ha a tört nevezőjének prímtényezős felbontásában legfeljebb 2-es és 5-ös primtényezőkvannak, akkor bővítéssel 10 hatvánnyá alakíthatjuk. Ezután az előzőek szerint történhet azátalakítás:33 33⋅5 165= = = 1, 6520 20 ⋅ 5 100111 111⋅4 444= = =250 250 ⋅ 4 10000,444KITEKINTÉS:Keressünk összefüggést a tört rész hossza és a nevező prímtényezős felbontásában szereplőkitevők közt!

80 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETHa a nevező prímtényezős felbontásában nemcsak 2-es és 5-ös prímtényezők vannak, akkornem lehet 10-hatványú nevezőre bővíteni. Ekkor – osztással – végtelen tizedes törtet kapunk.Ha a nevező prímtényezős felbontásában se 2-es se 5-ös nem szerepel, akkor tiszta szakaszostizedes törtet kapunk, ami a szakasszal kezdődik. Ha szerepel 2-es vagy 5-ös, akkor vegyesszakaszos tizedes tört lesz az eredmény, amiben van nem ismétlődő rész is.1511= 15 : 11 = 1,363636... =1, 3 • 6•• •68 = 68 : 55 = 1,2363636... =1, 2 3 655309275= 309 : 275 = 1,12363636... = 1,12 36• •Keress összefüggést a nem ismétlődő rész hossza és a nevező prímtényezős felbontásábanszereplő kitevők közt!4. Írjátok át a törteket tizedes törtté, majd rendezzétekazokat növekvő sorrendbe!2 11 21 1 19 7 53, , , , , ,9 50 100 5 90 33 2505. Döntsétek el a következő törtek közül melyeknek lesz véges tizedes tört alakja!11 4 77 5 5 21 17 111 13 15 1001; ; ; ; ; ; ; ; ; ;4 11 1000 6 21 5 32 200 24 24 1024Próbáljátok megállapítani a törtrészben szereplő jegyek számát!6. Igaz − hamis? (Az állítások tovább nem egyszerűsíthető törtekre vonatkoznak.)a) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört nevezője 2 hatványa, akkor tizedes tört alakjavéges.b) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört nevezője 10 hatványa, akkor tizedes tört alakjavéges.c) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört nevezője páros, akkor tizedes tört alakja véges.d) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört nevezője páratlan, akkor tizedes törtalakja végtelen.e) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört nevezője 1-nél nagyobb és 1-re, 3-ra, 7-re vagy9-re végződik, akkor tizedes tört alakja végtelen.f) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört véges tizedes törtté írható, akkor reciprokánaktizedes tört alakja is véges.g) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört nevezője páros, vagy 5-re végződik, és tizedestört alakja végtelen, akkor a tizedes törtben lesz nem ismétlődő rész is.h) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört nevezője legalább kétjegyű és abban csakegyforma számjegyek találhatók, akkor annak tizedes tört alakja nem lehet véges.i) Ha egy tört tizedes tört alakja véges, akkor annak négyzete is 3., 4. stb. hatványa isvéges tizedes törtet ad. (Próbáld bebizonyítani véleményed!)KITEKINTÉS:7. Számítógépes programmal, sok jegy pontossággal, írjátok át tizedes tört alakba az 1/49,1/499, 1/4999 törteket! Milyen érdekességet veszel észre a tört részben?

0714 HATVÁNYOZÁS…• Alapműveletek számok különböző alakjaival 81TUDNIVALÓ:A racionális számok tizedes tört alakja véges vagy végtelen szakaszos tizedes tört.9. FELADATLAPAz előzőekben törteket hoztunk tizedes tört alakra, most végezzük el ennek a feladatnak afordítottját!Az 1-nél kisebb számok esetén a tört rész kerül a számlálóba és a legkisebb helyérték anevezőbe:0,7 =70,37 =37101000,00123 =123100000Ha a tizedes tört egynél nagyobb, akkor a számlálóba a tizedes tört kerül, de tizedes vesszőnélkül:567333310015,67 = 333,3 = 10,01 =100101001. Írjátok át a következő tizedes törteket törtalakba, majd végezd el a lehetségesegyszerűsítéseket:0,1 ; 0,12 ; 0,123 ; 0,1234 ; 0,12345 ; 1,2345 ; 12,345 ; 123,45!10. FELADATLAPA racionális számok körében mindegyik alapművelet elvégezhető. Egyes a műveletekazonban új értelmet nyerhetnek. Már a negatív számmal való szorzás sem volt visszavezethetőazonos tagok összegére és ugyan ez a helyzet fennáll a törttel való szorzásnál is.Például:2 2 2 2 2 8⋅ 4 = + + + =3 3 3 3 3 32 4⋅ = ???3 5Törttel való szorzás nem értelmezhető összeadásként, mert a tagok száma nem lehet tört.Ezért új értelmezést adtunk a törttel való szorzásnak:2 3 2 3⋅ jelentése: − nak a része.3 4 3 4TUDNIVALÓ:Bármely szám törttel adott részét a törttel való szorzással kapjuk meg.

82 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETPéldául:3 3 5⋅3 155-nek a része: 5⋅ = =4 4 4 44 4 3,5⋅ 4 143,5-nek a része: 3,5 ⋅ = = = 27 7 7 71 13 2 3 2 1-nak a része: ⋅ =4 38 9 8 9 12A valahányad részt sokszor százalékban adjuk meg. A százalék, a 100 nevezőjű törtnekmásfajta jelölése. Például:35 125 500 3,5= 35% = 125% = 500% = 3,5%100 100 100 100Nemcsak 100-as nevezőjű törtek írhatók százalék alakba:33 66 12 60 12 2 20= = 66% = = 60% = = = 20%50 100 20 100 60 10 100240 80= = 80%300 100Ezeket a törteket egyszerűsítéssel, vagy bővítéssel alakítottuk századokká.7 5 4 20= = = =8 6 11 150Ezeket a törteket nem tudjuk századokká alakítani egyszerűsítéssel, vagybővítéssel. Ilyenkor osztással tizedes törtté alakítjuk a törtet és (esetlegkerekítés után) ebből kapjuk a százalék alakot:7 5•= 7 :8 = 0,875 = 87,5% = 5: 6 = 0,83 ≈83%8 64 20= =11 150Osztás után írjátok át a két törtet százalékokká!Nemcsak a törtek írhatók át százalékra, hanem fordítva, a százalékok is törtekké:75 3 120 6 123 12,5 ⎛ 25 ⎞ 575% = = 120% = = 123% = 12,5% = = ⎜ ⎟=100 4 100 5 100 100 ⎝200 ⎠ 401. Írjátok tört alakba a következő százalékban megadott számokat! Lehetőség szerintegyszerűsítsetek!16% = 45% = 80% = 225% = 600% = 1111% =A törttel való osztásnak is új értelmet adhatunk.3 5⋅3 15 3 15Ha 5-nek a része = , akkor az a szám aminek a része az 5,4 4 4 4 415 3 15 4amit a : = ⋅ = 5 osztással kapunk meg.4 4 4 3

0714 HATVÁNYOZÁS…• Alapműveletek számok különböző alakjaival 83TUDNIVALÓ:Egy szám vagy mennyiség tört részéből az egész mennyiséget osztással kapjuk meg.Például:8 16Melyik szám része a ?9 316 8 16 9 8 16válasz: : = ⋅ = 6, tehát a 6-nak a része .3 9 3 8 9 32. Figyeljetek a kérdésre! Írjátok fel a megfelelő művelettel, majd számítsátok ki!2 ⎛4 2⎞Mennyi 15-nek a része? része, része, 30%-a3⎜5 9⎟⎝⎠2Melyik számnak a része a 15?3⎛4 2⎞⎜Melyik számnak a , része, 30%-a a 15?5 9⎟⎝⎠3. Tegyétek próbára tudásotokat az itt szereplő műveletek elvégzésével!21A = 0,2 B = 2,5 C = D = 136A + B = C + D = A + C = B + D = (A + B) · A =A – B = C – D = A – C = B – D = (B – A) : B =B – A = D – C = C – A = D – B = (C + D) · C =A · B = C · D = A · C = B · D = (D – C) : D =A : B = C : D = A : C = B : D = A · A – C · C =B : A = D : C = C : A = D : B = A · B · C : D =

84 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETA következő feladatsorokkal fejleszthetitek tudásotokat.4. Alapműveletek tizedes törtekkel:a) 3,45 + 56,8 + 111 + 0,243 =1001,333+109,077+333,1001 =5,13 + (−3,2) + 4,87 + (−6,8) =−0,1 + 0,02 + (−0,003) + 0,0004 =b) 54,79 – 17,9 = 23,8 – 7,26 =70 – 0,25 = 50,1 – 1,22 =100 – 100,01= 0,15 – 10,14 =c) 34,25 · 1,6 = 342,5 · 0,16 =(−10,01) · 10,1 = (−0,25) · (−0,32) =2,345 · 0,165 · 0 = 0,25 · 3,45 · 400 =d) 35,7 : 3 = 77,7 : 15 =(−2,64) : 24 = (−12) : (−0,4) =0,121 : 4,4 = 71,1 : 0,36=5. Alapműveletek törtekkel, vegyes számokkal. Számolás közben idézzétek fel aműveletekről tanultakat! Ne feledkezzetek meg az egyszerűsítésekről!a)3 +5 ; 8 49 4+ ;7 53 2 7+ + ;4 5 104 3 5+ + ;3 5 42 45 + ;5 55 13 + 26 3b)13 −5 ; 8 841 − ;75 1− ;9 33 1− ;8 74 12 − ;5 21 53 − ;3 65 32 − 18 4c)2 3;7 ⋅ 5 7;8 ⋅ 3 5;5 ⋅ 12 93 ⋅ 2 1 ;5 ⋅ 8 5 ;3 15 ⋅ 55 15 24;⋅ ⋅ ;4 16 22 255 15 ⋅18 15d)6 :3;115 :2;831 :8;516 :15;44 3 : ;9 512 9: ;7 149 1:1 ;4 219 41 :321 7

0715. MODULHATVÁNYOZÁS, SZÁMOKRÓLÉS MŰVELETEKRŐL TANULTAKÖSSZEFOGLALÁSAMűveletek tulajdonságaiKÉSZÍTETTE: TÓTH LÁSZLÓ

0715 HATVÁNYOZÁS… • Műveletek tulajdonságai 871. FELADATLAPAz előző órákon számokkal, majd a velük végezhető műveletekkel foglalkoztunk. Mostmegismerjük a műveletek legfontosabb tulajdonságait. Ehhez először kicsit másképpentekintünk rájuk, mint eddig.Az alsó tagozatban szabályjátékokkal szemléltettük a hozzárendeléseket. Ezeket sokszor egyjátékgép segítségével szemléltettük. Általában az volt a feladat, hogy kitaláljuk mi istörténhetett a bedobott számokkal, majd újabb számokat bedobva, alkalmaztuk azokon afelismert szabályt. A művelet fogalmának megértéséhez nézzünk meg néhány ilyen „gépet”.1. Az első fajta gépekbe egy-egy számot dobunk be. A bemenőszámot A-val, a kimenőt pedig C-vel jelöltük.a) Táblázatba foglaltunk néhány eredményt, a hiányzó helyrekeress megfelelő számot!Be: A 75 123 0 1 AKi: C 77 125 1246 1Be: 9 46 0 111 AAKi: C 110 147 0 1101Be : A?Be: A 4,5 8,1 9 0 99,9 AKi: Ca)5,4 9 0Ki: C

88 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETABeBb) A következő gépekbe már két-két számot dobunk be. Abemenő számokat A és B, a kimenőt pedig C jelöli. Most istáblázatba foglaltunk néhány eredményt. Töltsd Be ki a : táblázat Aüres részeit!?Be: A 75 123 12345 4321 ABe: B 25 234 67890 BKi: C 100 357 1234?Ki: CBe: A 4,7 12,3 0,123 5,8 ABe: B 5,2 2,34 1,234Ki: C 9,9 14,64 10 CKi:Be: A –25 –123 –85 –55Be: B 25 234 –15 BKi: C 0 111 100 CHasonlítsuk össze a gépek működését! Mennyiben azonos és mennyiben eltérő a működésük?A mindennapi életben is megkülönböztethetjük a két műveletet. Sok olyan szolgáltatás van,melynek díja két részből áll, egy változóból és egy állandóból. Például a telefonszámlán,mindig feltüntetnek egy előfizetői díjat. A számlánk természetesen a lebeszélt percektőlfügg, de ehhez mindig hozzájön az alapdíj. Állapítsd meg, mennyi lehet az alapdíj akövetkező számlákból:Január Február Március ÁprilisBeszélgetés díja 5300 Ft 4750 Ft 6580 Ft 550 FtFizetendő 7800 Ft 7250 Ft 9080 Ft 3050 FtHasonló a helyzet, ha Intercity vonattal utazunk. Ebben az esetben is mindig ugyanazzal azösszeggel fizetünk többet az adott útra vonatkozó árnál, függetlenül attól, hogy hány km-tutazunk.

0715 HATVÁNYOZÁS… • Műveletek tulajdonságai 892. A következő táblázatokban megtalálhatjátok az alapműveleteket. Van, ahol egy, van aholkét bemenő adathoz rendeltünk hozzá egy kimenő adatot. Töltsétek ki a táblázat hiányzórészeit!a)Be: A 75 1000 45 617 5005 ABe: B 25 1 7 890 728 B BKi: C 50 999 4006 672 Cb)Be: A 11,1 15 4,25 10,01 20,1 ABe: B 3,5 6,8 0,26 2,15Ki: C 7,6 8,2 9,9 3,85 10,9 Cc)Be: A 43 1000 –10 123 –55 25Be: B 50 –5 7 200 25 11Ki: C –7 1005 –17 100 –20d)Be: A 33 45 101 555 999Ki: C 66 90 202 99e)Be: A 75 150 111 32 ABe: B 25 8 222Ki: C 1875 1200 3936 Cf)Be: A –3 –5 –111 32 –3Be: B 4 –20 222Ki: C –12 100 –3936 12g)Be: A 75 123 12345 111111 ABe: B 25 3 15 461 BKi: C 3 41 33 327 C Ch)Be: A –45 3,5 –144 12,6 –28 –5,8Be: B 9 7 –6 4 –10Ki: C –5 0,5 –7 –11 –0,5A táblázatok kitöltésével sorba vettük az alapműveleteket. Az összeadás után a kivonás,szorzás és osztás következett.

90 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETÉszrevehettétek, hogy az összeadáshoz hasonlóan a szorzásnál is kétféle táblázattaltalálkoztatok. Az egyiknél egy, a másiknál két bemenő adat volt. Érdemes itt is különbségettenni a két eset közt. Például, ha vásárolunk valamilyen iparcikket, akkor a tényleges áramellett 20% forgalmi adót is fizetnünk kell. Az így fizetendő bruttó összeget az adó nélküli,nettó ár 1,2-del történő megszorzásával kapjuk.3. Egyes négyszögek kerületét is 4-gyel való megszorzással kapjuk.Melyek ezek a négyszögek?A téglalap területének kiszámítása már az oldalak összeszorzásával történik. Ez esetben kétadathoz – a és b oldal – rendeljük hozzá a szorzatukat.TUDNIVALÓ:Összeadás esetén tagokról, szorzás esetén tényezőkről beszélünk.Ismételjük át az alapműveletek szereplőinek nevét!Az összeadandó számokat külön-külön tagoknak, együtt összegnek nevezzük.66 + 33 = 99tagok2 tagú összegösszeg57 – 44 = 13kisebbítendő kivonandó különbségtagokAz összeszorzandó számokat külön-külön tényezőknek, de együtt már szorzatnak nevezzük:13 · 31 = 403tényezők szorzat2 tényezős szorzat57 : 3 = 19osztandó osztó hányadostényezők

0715 HATVÁNYOZÁS… • Műveletek tulajdonságai 91AZ ALAPMŰVELETEK TULAJDONSÁGAIA felcserélhetőség és csoportosíthatóság vizsgálata alapműveleteken2. FELADATLAPMiért fontos nevében is megkülönböztetnünk a kivonásnál és az osztásnál szereplő számokat?Az összeadás és szorzás műveleténél a bemenő adatok sorrendjét felcserélve azttapasztalhatjuk, hogy eredmény nem változik.Például 3 + 2 = 2 + 3, vagy 5 · 6 = 6 · 5Általánosságban:TUDNIVALÓ:a + b = b + aésa · b = b · aAz összeadásnak és a szorzásnak ezt a közös tulajdonságát felcserélhetőségnek nevezzük.Nézzük meg, hogy teljesül-e a felcserélhetőség tulajdonsága a másik két alapműveletre is?Először a kivonás tagjait cseréltük fel:35 – 24 = 11 és 24 – 35 = –11,vagy2000 – 999 = 1001 és 999 – 2000 = –1001Látható, hogy erre a műveletre nem teljesül a felcserélhetőség tulajdonsága. Mit mondhatunka két eredményről? Figyeljük meg az összegüket!Nézzük meg, mi történik, ha az osztásban szereplő számok sorrendjét cseréjük fel!18 : 9 = 2 és 9 : 18 = 0,5,vagy25 : 10 = 2,5 és 10 : 25 = 0,4Az osztásnál szereplő számok sem cserélhetők fel. Vizsgáljuk meg most is a két eredményt,ezúttal a szorzatuk kiszámolásával!Vizsgáljuk meg az összeadásnak egy másik tulajdonságát is!1. Írjátok le a szöveghez illeszkedő műveletsort! Használjatok zárójeleket!a) Jancsi 6000 Ft-ot gyűjtött kerékpárra. Szülei 12 000 Ft-tal, nagyszülei 7 500 Ft-talegészítették ki, amit karácsonyra egy összegben ajándékoztak Jancsinak. Mennyi pénzzelrendelkezett így Jancsi?b) Jancsi 6 000 Ft-ot gyűjtött az év során, amihez szülei további 12 000 Ft-ot tettek hozzá.Az így összegyűjtött pénzt a nagyszülők 7 500 Ft-tal egészítették ki. Mennyi pénze lett ígyJancsinak?c) Mi a szerepe a zárójelnek? Megváltoztattátok-e a számok sorrendjét? Megváltoztattátok-ea műveletek sorrendjét?A két műveletsort így is felírhattátok:6 000 + (12 000 + 7 500) és 6 000 + (12 000 + 7 500)

92 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETd) Számítsátok ki a két összeget!e) Változtassátok meg az összeadásokat szorzásokra! Egyenlő lesz-e a két szorzat értéke?Könnyen beláthatjuk, hogy a szorzás is hasonló tulajdonsággal rendelkezik.10 cm6 cm8 cm6c10 cm8 cm2. A fenti egybevágó téglatestek térfogatát sokféleképpen felírhatjuk. Összeszorozhatjuk azélek hosszát növekvő sorrendben egymás mellé írva így:(6 · 8) · 10, vagy így:6 · (8 · 10).a) Számítsátok ki a két szorzatot! Fogalmazzátok meg a tapasztaltakat!b) Írjunk összeadást a szorzások helyett! Egyenlő lesz-e a kapott két összeg értéke?Tapasztalatainkat a következőképpen általánosíthatjuk:TUDNIVALÓ:(a + b) + c = a + (b + c)és(a · b) · c = a · (b · c)Az összeadásnak és a szorzásnak ezt a tulajdonságát csoportosíthatóságnak nevezzük.3. Írj az előző összefüggésekben az összeadás helyett kivonást, a szorzás helyett osztást!Döntsd el néhány konkrét szám beírásával, hogy ezek a műveletek csoportosíthatóak-e!4.a) Írjuk le műveletsorral a következőket:Egy léghajó 2000 m magas hegyről indult. Az első órában 1500 m-t emelkedett, majd800 m-t süllyedt, ezután újabb 1300 m-es süllyedés következett, majd 1000 memelkedés. Milyen magasan volt ezek után a léghajó?b) Tekintsünk minden emelkedést egy hozzáadásnak, a süllyedést pedig elvételnek.Felcserélhetők-e ezek a műveletek? Vegyük például előre az emelkedéseket!c) Megváltoztathatjuk-e az első tagot, azaz az indulás magasságát? Mi fejez ki akövetkező műveletsor?d) Milyen számot nem írhatunk az első helyre, figyelembe véve a járművünket?Látható, hogy mindegyik esetben ugyanaz a magasság lesz a végeredmény.Eltekinthetünk a léghajótól és felírhatjuk a számokat növekvő sorrendben úgy, hogyvigyék magukkal az előttük lévő műveleti jeleket is:– 800 + 1000 – 1300 + 1500 + 2000 = 2400

0715 HATVÁNYOZÁS… • Műveletek tulajdonságai 93Ha kizárólag összeadás és kivonás szerepel egy műveletsorban, akkor a számokfelcserélhetők, de csak úgy, hogy viszik magukkal az előttük lévő műveleti jelet. Első tagkéntegy 0-t írhatunk, hogy ne műveleti jellel kezdjük a kifejezést:0 – 800 + 1000 – 1300 + 1500 + 2000 = 2400Meggyőződhetünk erről pénzügyek lejegyzésénél is, ha a hozzáadással bevételt, kivonássalkifizetést tüntetünk fel. A következő bevételek és kifizetések a sorrendtől függetlenülugyanahhoz a végeredményhez vezetnek. Próbáljátok meg többféle sorrendben felírni aszámokat! Olyanokkal kezdjétek, melyek során nem kerültök adósságba!5. Írjátok le a számokat többféle sorrendben és hasonlítsátok össze az eredményeket!Keressetek olyan sorrendeket, melyek megkönnyítik a számolást!–5 000 , +3 000 , +12 000, +15 000 , –8 000 , +2 000 , –12 000Nemcsak az előző két művelet szereplőinek sorrendje cserélhető fel.6. Figyeljétek meg a következő két műveletsort! Mely műveletek szerepelnek benne? Hogyanfogalmaznátok át az előzőekben alkalmazott szabályt?240 : 10 · 6 : 12 · 3 : 9 = 240 : 12 · 3 · 6 : 9 : 10 =7. A következő kártyákat is írjátok le különböző sorrendben, majd számoljátok ki azeredményeket. Milyen számot kell a kártyák elé írni, hogy ne műveleti jellel kezdődjön afeladatsor? Próbáljatok olyan megoldásokat keresni, hogy a számítások során atermészetes számok körében maradjatok!· 360 , : 9 , : 40 , ·15 , : 30 , ·60A négy alapművelet között többféle kapcsolatot is létesíthetünk:Azt szoktuk mondani, hogy az összeadás párja a kivonás, a szorzásé pedig az osztás. A párbaállítást az is indokolja, hogy az összeg hiányzó tagját kivonással, a szorzat hiányzó tényezőjétosztással kaphatjuk meg.8. A hiányzó adat kiszámítását nyitott mondatokkal is felírhatjuk. Keressétek meg azegyenletek megoldásait! Milyen művelettel számolhatjuk ki az ismeretlent?a) 54 321 + A = 111 111 b) 5555 – B = 4444 c) C – 1728 = 1672d) 16 · D = 3936 e) 222 222 : E = 66 f) F : 505 = 606Észrevehettétek, hogy a kivonás hiányzó tagját összeadással vagy kivonással kaphattátokmeg, attól függően, hogy a kisebbítendőt vagy a kivonandót kellett kiszámítani.Az osztásnál is szorzással kapjuk a hiányzó osztandót, de osztással az ismeretlen osztót.

94 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET3. FELADATLAPOlvasásnál megszoktuk, hogy balról jobbra haladva követjük a leírt szöveget. Számolásnálnem minden esetben tehetjük ezt meg. Számítsd ki zsebszámológéppel a következőműveletsor eredményét!100 – 4 · 3 2 =1. Az alábbi műveletsor elvégzésénél mely esetekben lehet balról jobbra haladva a helyeseredményhez eljutni? Ahol nem, ott zárójelek elhelyezésével erősítsd meg a megfelelősorrendet úgy, hogy az eredmény ne változzon!a) 34 + 95 – 55 – 78 + 94 =b) 45 : 9 · 4 + 15 – 20 =c) 250 · 4 – 600 : 100 + 333=d) 550 + 45 · 20=2. Számítsuk ki a következő műveletsorok eredményét! Végezz ellenőrzést a zsebszámológépeddel!a) 15 + 24 · 5 – 8 · 15 =b) 111 – 999 : 3 3 =c) 125 · 2 4 – 32 · 5 2 =4d) 24 – 2 + 4 · 2 =e) 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 + 4 =f) 10 3 – 2 · 10 2 – 3 · 10 – 4 =Mivel a műveletek elvégzésének sorrendjét meghatározza a műveletek rangja, ezért megfelelőzárójelekkel tudjuk azt befolyásolni. Ha a műveletsorban zárójelek is szerepelnek, akkorelőször az ebben szereplő műveleteket kell elvégezni. Ha több zárójeles kifejezés is szerepel,akkor ezeket is balról jobbra számítjuk ki. Elképzelhető, hogy a zárójeles műveletsor továbbizárójeleket is tartalmaz. Ilyenkor bentről kifelé haladva számítjuk ki az eredményt.A következő feladatsor megoldásával nyomon követhetitek a helyes sorrendet:( ( ) ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )15⋅ 100: 37 − 12 + 2 + 100 −33⋅3=15⋅ 100 : 25 + 2 + 100 −33⋅ 3 =15⋅ 4 + 2 + 100 −33⋅ 3 =15⋅ 6 + 100 −33⋅ 3 =15⋅ 6 + 100 − 99 =15⋅ 6 + 1=90 + 1 = 91

0715 HATVÁNYOZÁS… • Műveletek tulajdonságai 95Több, egymásba ágyazott zárójel esetén szokás eltérő alakú zárójelpárokat alkalmazni, hogykönnyebben megtalálhassuk mindegyiknek a párját. Például:15–{ 25·[ 32+5·(17–3)–77:11] } ·4=15–( 25·( 32+5·(17–3)–77:11) ) ·4Az ilyen kifejezéseknél is elegendő egyféle zárójelpár használata. A legtöbb matematikaiprogram nem is fogadja el, vagy másképpen értelmezi a kapcsos { }, illetve a szögletes [ ]zárójelpárokat.Számítógép használatánál különösen fontos, hogy megfelelően használjuk a zárójeleket. Haegy műveletsort helytelenül írunk be, akkor a legtöbb program jelzi a hiba helyét, sőt lehetnekolyanok is, amelyek maguktól pótolják a zárójel hiányzó párját.3. Hol van a hiba a következő feladatokban?a) 5 · (12 + (35 – 27) : 4b) 25 · {[75 + 25 · (28 – 12) + 56 : (17 – 9)} : 4]c) 36 – (15 ( · 5 + 35 – 27))4. A következő feladatsorok kiszámításánál a zárójeleket is vegyétek figyelembe:a) 231 – 77 : 7 + 4 b) (231 – 77) : 7 + 4c) 231 – 77 : (7 + 4) d) (231 – 77) : (7 + 4)Ha a 231−77 kifejezést számítógéppel szeretnénk kiszámítani, melyik kifejezés adná a7+4helyes eredményt?Vannak esetek, amikor a zárójelet nem tesszük ki, mégis úgy tűnik, mintha jelen volna.18 + 4221−6kifejezésben nem látunk zárójelet, az osztás (törtvonal) magasabb rendű művelet, mint azösszeadás vagy a kivonás, mégis az összeadással és a kivonással kezdünk. Így az eredmény:60415 = lesz.Hasonló esettel találkozhatunk hatványozásnál is, ha a kitevőben összeg vagy különbség van:5 9–7 ≠ 5 9 –7, hanem5 9–7 = 5 2 = 25Ezek a példák azt mutatják, hogy a törtek számlálójában, nevezőjében (vagy a későbbiekben,a hatvány kitevőjében) levő műveleteket akkor is előbb végezzük el, ha azok nincsenekzárójelbe téve.Ügyeljünk arra, hogy ezeket a „láthatatlan” zárójeleket be kell írni, ha számítógéppel ilyen3+4feladatokat oldatunk meg. Például a 2 − 5kifejezést a következőképpen kell beírni:6⋅7−1(2^(3+4)–5)/(6·7–1)(a számítógépek a hatványozáshoz többnyire a ^ jelet használják)5. Írd le a szöveggel megadott feladatokat műveletsorral, majd számold ki!

96 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETa) 63 és 27 összegének a 10-szerese.b) A 45 és 9 hányadosának a 7-szerese.c) 64 és 36 szorzatának 200-zal megnövelt értéke.d) A 100-nak és a 12 és 8 összegének a hányadosae) 350 és 25 hányadosánál 10-zel kisebb számf) A 8 és a 6 összegének és különbségének a szorzataMely esetekben kellett zárójelet használnod és miért?Zárójelek felbontásaElőfordul, hogy a zárójeleket el szeretnénk hagyni anélkül, hogy megváltozna a műveletsoreredménye. Természetesen a legtöbb esetben nem hagyható el következmények nélkül azárójel.6. Figyeld meg melyik művelet eredménye, hogyan változik meg a zárójel elhagyásával!a) 100 + (33 + 20) 100 + 33 + 20b) 444 + (120 – 20) 444 + 120 – 20Írj a műveletsorokhoz megfelelő szöveges feladatot!Láttuk, hogy összeg és különbség hozzáadásánál a zárójel elhagyható.TUDNIVALÓ:a + (b + c) = a + b + c ésa + (b – c) = a + b – c7. Számítsd ki a feladatsorokat! Írj a műveletsorokhoz megfelelő szöveges feladatot!a) 500 – (350 + 100) 500 – 350 + 100b) 36 – (15 – 10) 36 – 15 – 108. Összeg vagy különbség kivonásánál a zárójel elhagyása megváltoztatta az eredményt.Hogyan kellene megváltoztatni a műveleti jeleket, hogy a bal és jobb oldal egyenlő legyen?a) 500 – (350 + 100) 500 – 350 100b) 1000 – (600 – 150) 1000 – 600 150Fogalmazzátok meg az összegek és különbségek kivonásának módját az alábbi szabályokalapján:TUDNIVALÓ:a – (b + c) = a – b – c ésa – (b – c) = a – b + cA következő feladatokban szorzatok, illetve hányadosok hozzáadás, elvétele történik:

0715 HATVÁNYOZÁS… • Műveletek tulajdonságai 979. Megváltoztatja-e az eredményt a zárójel elhagyása? Sejtésedet számolással ellenőrizd, majdmagyarázd meg a tapasztaltakat!a) 250 + (16 ⋅ 5) 250 + 16 ⋅ 5b) 500 – (25 ⋅ 8) 500 – 25 ⋅ 8c) 50 + (60 : 4) 50 + 60 : 4d) 100 – (75 : 3) 100 – 75 : 3Látható, hogy szorzat vagy hányados hozzáadásánál, kivonásánál elhagyható a zárójel, mert aműveletek sorrendje miatt mindenképpen ezekkel kellett kezdeni a számolást.TUDNIVALÓ:a + (b · c) = a + b · c és a – (b · c) = a – b · ca + (b : c) = a + b : c és a – (b : c) = a – b : c10. Megváltozik-e az eredmény, ha összeget vagy különbséget szorzunk, vagy osztunk éselhagyjuk a zárójelet?a) (240 + 15) ⋅ 6 240 + 15 ⋅ 6b) (525 – 75) ⋅ 4 525 – 75 ⋅ 4c) (444 + 44) : 4 444 + 44 : 4d) (1250 – 350) : 50 1250 – 350 : 50Összeg vagy különbség szorzásánál, osztásánál a zárójel elhagyása megváltoztatja azeredményt.Ezeknél az eseteknél minden tagot meg kell szoroznunk, vagy el kell osztanunk, tehát:(240 + 15) ⋅ 6 = 240 ⋅ 6 + 15 ⋅ 6(125 – 75) ⋅ 4 = 125 ⋅ 4 – 75 ⋅ 4(444 + 44) : 4 = 444 : 4 + 44 : 4(1250 – 350) : 50 = 1250 : 50 – 350 : 50Röviden:TUDNIVALÓ:(a + b) · c = a · c + b · c és (a – b) · c = a · c – b · c(a + b) : c = a : c + b : c és (a – b) · c = a : c – b : c11. Melyik a nagyobb? Számolás nélkül állapítsd meg, majd indokolj!a) (145 + 227) • 528 145 + 227 • 528b) (824 + 444) • 15 824 + 444 • 15c) 23 + 65 • 45 + 99 (23 + 65) • (45 + 99)d) 347 • (768 – 521) 347 • 768 – 521e) 475 • (144 – 142) 475 • 144 – 475 • 142Nemcsak az alapműveletekkel lehet két számhoz valamilyen számot hozzárendelni. Akövetkező szabályok maguk is egy-egy műveletnek tekinthetők:

98 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZET4. FELADATLAP1. Nézzük meg a következő táblázatokat!Mi lehet a hozzárendelés szabálya, mit csinál a gép, ha A-t és B-t bedobva C-t adja ki?Fejezd be a táblázat kitöltését! Segítségül megadtuk a szabályokat, de nem a táblázatoksorrendjében.a)b)c)d)e)f)A 3 11 3 345 111 0B 5 2 7 354 10999C 5 11 7 354 0A 5 2 5 10 0B 8 0 1 10 4 20C 18 4 11 30 100A 4 2 10 0 1B 5 25 20 37 20 10C 10 25 100 0 25A 4 9 0 3 5B 9 9 5 10 3 5C 50 100 6 44 54A 2 1 10 5 5B 5 11 0 1 25 1 000C 9 12 100 26 11 000A 100 9 111 13 123 20B 200 70 101 45 456C 2 63 6 36 102. Keress a műveletek között olyanokat, melyekben A és B felcserélésével ugyanazt azeredményt kapod!a) C = (A · B) : 2b) C = (A + 1) · (B + 1)c) C : A és B számjegyei összegének a szorzatad) C = 2 · A + Be) C : A és B közül a nagyobbf) C = A 2 + B

0715 HATVÁNYOZÁS… • Műveletek tulajdonságai 99Néhány további műveletet találtunk ki. A műveleti jeleket önkényesen választottuk:A↓B jelentse a két szám közül a nem nagyobbat,A◙B jelentse a két szám átlagát, azaz összegük felét,A☼B jelentse az elsőnél 1-gyel nagyobb és a másodiknál 1-gyel kisebb szám szorzatát,AB jelentse A és B összegének és különbségének a szorzatát.3. Számítsuk ki a következő műveletek eredményét:16↓10; 5↓5; (6↓2)↓10 =; 6↓(2↓10) =16◙10 =; 5◙5; (6◙2) ◙10 =; 6◙ (2◙10)=16☼10; 5☼5; (4☼3) ☼2 =; 4☼(3☼2)=1610; 55; (42)1 =; 4(21)=Látható, hogy ezekben a műveletekben is alkalmazható zárójel. Ha kiszámoltad aműveleteket, megállapíthatod melyik felcserélhető, melyik csoportosítható.4. Állíts elő műveletsort az előző feladatban szereplő műveletekből. Alkalmazz zárójeleket is!Számolj a zárójel elhagyásával is!Összeadásból szorzás, szorzásból hatványozás és azon túl...A négyzetre emelés műveletével a négyzet területének kiszámításakor ismerkedtünk meg. Ezis egy adathoz rendel hozzá egy másikat, oly módon, hogy a bemenő adatot önmagávalszorozzuk. Bármelyik számot megszorozhatjuk önmagával, egészet, törtet vagy negatívszámot, bár utóbbi már nem lehet egy négyzet oldalának mérőszáma.Van-e olyan művelet, amely a négyzet területéből adja meg az oldal hosszát? Rövidesentalálkozhattok ilyennel is.Az azonos tényezőjű szorzatok helyett egy új műveletet vezettünk be, a hatványozást.Hasonlóan jártunk el, mint amikor az azonos tagú összegek helyett a szorzást vezettük be.9 + 9 + 9 = 9 ⋅ 339 ⋅ 9 ⋅ 9 = 9Ha a műveleteket táblázatba foglaljuk, akkor a hatványozás már a 3. szintre kerül. Egyelőremég a párja, a gyökvonás hiányzik, de rövidesen megismerkedhettek vele.^⋅ :+ –A hatványozás már nem alapművelet. Vizsgáljuk meg néhány tulajdonságát! Teljesül-e rá afelcserélhetőség tulajdonsága? Elég egy-két próbálkozás, hogy belássuk, erre a műveletre márnem teljesül,5. Állapítsátok meg melyik hatvány a nagyobb?ba ≠ b a2 7 7 2 ; 3 5 5 3 ; 48 8 4

100 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETAzt tapasztaljuk, hogy az alap és a kitevő felcserélése esetén általában a nagyobb kitevőhöztartozik a nagyobb hatványérték. Számítógéppel további példákat is kereshettek, például:13 15 > 15 1313 15 16 13≈ 5 ⋅ 10 és 15 ≈ 2 ⋅ 10 15Ez a szabály azonban nem minden esetben igaz.6. Keressetek olyan hatványokat, melyeknél az alap és a kitevő felcserélésével a nagyobbkitevőjű hatvány értéke lesz a kisebb.Nem kell sokat próbálkozni, hogy megtaláljátok azt az egyet, ahol az alap és a kitevőfelcserélésével nem változik meg a hatványérték.Az egyetlen példa a 2 4 = 4 2Érvényes-e a csoportosíthatóság a hatványozásra? Ha igen, akkor a következő két hatványnakegyenlőnek kellene lennie:Számoljuk ki:2 3 = 8, tehát az első kifejezés43 4( 2 ) és 2( 3 )8 4 = 4096.A jobb oldalon először a kitevőt kell kiszámítani: 3 4 = 81, majd következne 2 81 kiszámítása.Ez bizony már a számítógépet is próbára tevő feladat, mert a hatvány értéke:2 81 = 2 417 851 639 229 258 349 412 352Elég meggyőző példa arra, hogy a hatványozás nem rendelkezik a csoportosíthatóságtulajdonságával.Példánk azt is mutatja, hogy a hatvány hatványozásával – amennyiben a kitevőben kezdjük aműveletet – igen nagy számokhoz jutunk el. Például a következő hatvány999kiszámítása szinte megoldhatatlan feladat, mert az eredményt leíró szám369 693 100 számjegyből áll!7. Próbáljuk meg kitalálni, mire végződik ez a gigantikus szám!Lehet-e további műveleteket kitalálni? Természetesen, csak a fantáziánk szabhat határokat.Emlékeztek a magasabb rendű műveleteket hogyan származtattuk?Ismételt összeadásból kaptuk a szorzást: 9 + 9 + 9 = 9 ⋅ 3Az ismételt szorzásból pedig hatványozást: 9 ⋅ 9 ⋅ 9 = 9 3Ennek mintájára akár az ismételt hatványozásra is bevezethetünk új műveletet. Mi legyen aműveleti jel. A nagy számok megszállottjai erre is gondoltak és a következő rövidítéstvezették be:999 = 9^^3

0715 HATVÁNYOZÁS… • Műveletek tulajdonságai 101Az ilyen műveletek olyan számokhoz vezetnek, melyek messze meghaladják avilágmindenségben előforduló összes atom számát. És ez a mintegy 400 millió jegyű számsemmiség ahhoz képest, amit a műveletben szereplő számokat felcserélésével kapnánk. A3^^9 leírásához szükséges számjegyek kiszámítása is reménytelen feladat, pedig csak néhány3-as számjegyet ültettünk egymás nyakába.5. FELADATLAP3333333331. Példák összeadásra:Az összeadás mely tulajdonságai segíthetik az eredmény kiszámítását?a) 234 + 432 =b) 432 + 234 =c) 532 + 134 =d) 350 + 199 + 450 + 201 =e) 300 + 30 000 + 3 + 300 000 + 30 + 3 000 000 + 3 000 + 6 666 666 =f) 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 =g) 1 + 2 +3 + 4+ 5 +...+ 97 + 98 +99 = 1 + 99 + 2 + 98 + … =2. Példák kivonásra:a) 10 001 – 7 =b) 23 675 – 680 =c) 11 111 – 11 011 =d) 123 456 – 100 000 – 20 000 – 3 000 – 400 – 50 =e) 123 456 – (100 000 – 20 000 – 3 000 – 400 – 50) =3. Példák szorzásra!Mely műveleti tulajdonságok segíthettek a szorzások elvégzésénél?a) 3412 ⋅ 2 = b) 2 ⋅ 3412 =c) 225 ⋅ 2 ⋅ 2 = d) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 475 =e) 4 ⋅ 800 ⋅ 25 ⋅ 50 = f) 450 ⋅ 4 ⋅ 0 ⋅ 5000 ⋅ 2 =g) 55 ⋅ 8 = h) 175 ⋅ 16 =i) 2 ⋅ 4 ⋅ 8 ⋅ 16 = j) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 =4. Példák osztásra:a) 144:4 = b) 4400:16= c) 100 000:8 =d) 56:7 = e) 5600:7 = f) 560:70 = g) 56:70 =5. Számítsd ki! (Ügyelj a sorrendre!)a) 10 – 9 + 8 – 7 + 6 – 5 + 4 – 3 + 2 – 1 =b) 100 – 99 + 98 – 97 + 96 − ... – 3 + 2 – 1 =c) (10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2) : (5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9) =d) 1000 – 25 · 8 + 37 · (45 – 15 · 3) =

102 MATEMATIKA „A” 7. ÉVFOLYAM • TANULÓI MUNKAFÜZETÍrásbeli műveletek6. A tanult módon jegyezd le a számokat és végezd el a műveleteket!a) 18 693 + 222 222 + 6 178 839 + 1 234 567 =b) 654 321 + 456 790 + 123 456 =c) 3 688 214 – 2 453 647 =d) 9 526 969 – 1 872 648 =e) 1 279 463 – 723 908 =f) 617 ⋅ 40 =g) 367 ⋅ 37 =h) 402 859 ⋅ 19 =i) 9721 ⋅ 127 =j) 172 205 : 31 =k) 96 252 : 78 =l) 298 845 : 29 =7. Ha ügyesen számolsz, mindegyik eredményben találhatsz érdekességet.a) 11826 2 = 30384 2 =b) 32043 2 = 99066 2 =Figyeld meg, hány jegyű az eredmény és milyen számjegyek szerepelnek benne!c) 10 2 + 100 2 = d) 88 2 + 33 2 = e) 12 2 + 33 2 =Ha észrevetted az összegek és a tagok közti kapcsolatot, akkor jósold meg a következő feladateredményét, majd zsebszámológéppel ellenőrizd a sejtésedet!f) 588 2 + 2353 2 =Hogyan igazolhatnád könnyen, hogy ez a szabály nem érvényes minden esetre?(Ellenkezőleg, kivételes ritkaságnak számít).g) Ha jól számolsz, hasonló érdekességet tapasztalsz!1 3 + 5 3 + 3 3 =3 3 + 7 3 + 1 3 =4 3 + 0 3 + 7 3 =