Computation Process using Scilab

Computation Process
using
Scilab

Komputasi Proses
1. Pengenalan Scilab
2. Bahasa pemrograman dengan Scilab
3. Metoda Numerik
4. Aplikasi Komputasi Proses dengan
Scilab

Introduction
Physical &
Mathematical
MODELS
TOOL to solve
PROBLEMS
Simplified
picture of
REALITY
•Forecasting
•Controlling
Software
Engineers are
symbolic analysts

Interactive
program
Numerical computation &
data visualization
Language Programme

Scilab
Software gratis:
http://www.scilab.org
http:// www.scilab.org
OS: Windows dan Linux
Mirip dengan program Matlab
Tool Bar
Menu Bar

-->r=6
r =
6.
-->luas=0.25*%pi*r^2
luas =
28.274334
deff(‘(out1,out2,…)=modul(in1,in2,…)’,’persamaan’
Fungsi: mendefinisikan persamaan (rumus) pada jendela kerja
-->deff('A=luas(r)','A=0.25*%pi*r^2')
-->ls=luas(3)
ls =
7.0685835
-->

Perintah membuka
Jendela Editor
Dari menu bar: (klik)
Editor
Atau tekan [alt – d]
Dari Tool bar: (klik)
Dari Jendela kerja:
(ketik) scipad()
Hasil

Perlu di eksekusi: -->exec('c:\scinum\luasbs.sci');

Tips:
Cara lebih mudah, dapat dilakukan (pilih salah satu):
Pada menu bar “jendela editor”, pilih Execute (Alt+x) Load into
Scilab
Pada menu bar “jendela editor”, Ctrl + l
Pada menu bar “jendela kerja”, pilih File Exec… pilih file yang
akan dieksekusi
-->exec('c:\scilabc\luasbs.sci')
-->function hsl=luasbs(r);
--> hsl = 0.25*%pi*r^2;
-->endfunction;
-->

getf()
1 function V=volbs(h,r)
2 getf('c:/scilabc/luasbs.sci')
3 V=h*luasbs(r)
4 endfunction
Fungsi: mengambil / mengaktifkan file *.sci
pada suatu fungsi yang lain

ls file_dir
-->ls c:/scinum
ans =
!volbs.sci !
! !
!luasbs.sci !
-->
Fungsi: menampilkan file pada
‘direktori file’
Apabila fungsi atau modul yang akan digunakan cukup
banyak,maka penggunaan getf() tidak efektif
genlib(‘nama’,’file_dir’)
-->genlib('libsbs','c:/scinum')
Fungsi: membangun library dari fungsi (*.sci) pada
‘direktori file’

load(’file_dir/lib’)
-->load('c:/scinum/lib')
Fungsi: memanggil library dari fungsi
pada ‘direktori file’

DIFFERENSIASI NUMERIK
Persamaan differensial merupakan
model matematis yang paling sering
muncul dalam bidang keteknikan
maupun saintifik
Salah satu penyelesaiannya dengan
metode beda hingga (finite
difference)

Definisi turunan (derivatif)
( x)
df
dx
x
0
= f '
( x )
0
=
lim
x→x
0
f
( x)
− f ( x )
x − x
0
0
Jika h = x – x 0 = ∆x maka pendekatan turunan di atas adalah
f '
( x )
0
≈
f
( x)
− f ( x ) f ( x)
− f ( x )
h
0
dy
Diketahui suatu fungsi y = f (x), ingin dicari pada x = x0 .
dx
=
∆x
Penyelesaiannya dapat menggunakan 3 cara yaitu :
1. Forward Difference (Beda Maju)
2. Backward Difference (Beda Mundur)
3. Central Difference (Beda Pusat)
0

1. Metode Beda Maju
(Forward Difference)
Beda hingga maju pertama dari y pada i atau x
didefinisikan :
∆yi = yi+1 –yi atau ∆y(x) = y(x+h) – y(x)
Beda maju kedua pada i atau x didefinisikan :
∆ 2 y i = y i+2 –2y i+1 + y i
atau ∆ 2 y(x) = y(x+2h) – 2y(x+h) + y(x)
Sehingga penyelesaiannya bisa dituliskan :
dy
i
dx
1
= ( yi+
1 − yi
) atau
h
dx
+ ∆x)
−f
( x
∆x
dy 0
0
x =
x
0
f ( x
≅
)

2. Metode Beda Mundur
(Backward Difference)
Beda hingga mundur pertama dari y pada i atau x
didefinisikan :
∇yi = yi –yi-1 atau ∇y(x) = y(x) – y(x-h)
Beda mundur kedua pada i atau x didefinisikan :
∇ 2 y i = y i –2y i-1 + y i-2
atau ∇ 2 y(x) = y(x) – 2y(x-h) + y(x-2h)
Sehingga penyelesaiannya bisa dituliskan :
dy
dx
1
= ( y − ) atau
h
i
i yi−1
dx
) −f
( x
∆x
dy 0 0
x =
x
0
f ( x
≅
− ∆x)

3. Metode Beda Pusat
(Central Difference)
Beda hingga terpusat pertama dari y pada i atau x didefinisikan :
∂
yi yi+
y − − =
1
2 i
atau δy(x) = y(x+1/2 h) – y(x-1/2 h)
Turunan beda terpusat selanjutnya adalah :
dy
i
dx
1
2h
1
2
( y y )
= i
; = ( yi
1 2y
i yi
1 )
2 2 + − + −
i+
1 −
d
3
dx
y
i
3
i−1
=
1
2h
3
d
2
dx
y
( y − 2y
+ 2y
− y )
i+
2
Penyelesaiannya dapat dituliskan
dy
i
dx
=
1
2h
( y y )
i+
1 −
i−1
atau
i+
1
dx
h
1
i−1
i−2
f ( x
≅
+ ∆x)
−f
( x
2∆x
dy 0
0
x =
x
0
− ∆x)

Derivatif Orde Dua
Untuk penurunan (derivatif) pangkat dua dengan
metode beda hingga terpusat digunakan rumus
dengan bentuk :
d
2
dx
y
i
2
Atau dapat juga dituliskan :
d
2
dx
y
2
x =
x
0
≅
=
h
f ( x
1
0
2
( y − 2y
+ y )
i+
2
+ ∆x)
−
i
2f
( x
∆x
0
2
) +
i−1
f ( x
0
− ∆x)

INTEGRASI NUMERIS
= n x
Jika ada fungsi Y ∫f
( x)
dx sedangkan f(x) sulit sekali
x
0
untuk diintegrasikan secara analitik, maka cara yang
paling mudah adalah dengan mengintegrasikannya
secara numerik
f(x)
x 0 x 1 x 2 x n-1 x n
x

Dalam perhitungan integrasi numerik, luasan di bawah
kurva akan diubah dalam bentuk trapesium, dimana
ruang kosong merupakan bagian dari kesalahan numerik
Untuk mengatasi kesalahan dilakukan dengan cara
membagi menjadi trapesium dengan segmen yang lebih
kecil
Integrasi dilakukan dengan menggunakan interval ∆x
yang sama (homogen) sepanjang batas integrasi dari x0 sampai xn Batas/interval integrasi dibagi menjadi n interval
( )
n x x n 0 ∆x
=
−
Batas interval diberi indeks 0, 1, 2, ….. , n sehingga
x i =
x 0
+
i.
∆x

Penyelesaian numerik dapat dilakukan
dengan dua cara, yaitu
Trapezoidal Rule
xn
∆x
⎡ n−1
f ( x)
dx ⎢f
( x ) + 2 ∑f
( x ) + f ( xn
2 0
⎢
i
x0
⎣ i=
1
Simpson Rule
∫ ≅ )
xn
∆x
⎡ n−1
n−2
f( x)
dx ⎢f(
x ) + 4 ∑ f(
x ) + 2 ∑ f(
x ) + f(
xn
3 ⎢
0
x
i
i
0
⎣ i=
1,
3,
5 i=
2,
4,
6
∫ ≅ )
⎤
⎥
⎥⎦
⎤
⎥
⎥⎦

AKAR PERSAMAAN
(PERSAMAAN NON LINIER)
Merupakan bentuk persamaan
aljabar yang nilainya sama dengan nol
Untuk satu variabel bebas x, maka
f(x) ≅ 0
Banyak digunakan dalam model
keteknikan maupun saintis

Metode Penyelesaian Akar
Persamaan
1. Metode Pengurungan (bracketing
method)
Memerlukan dua titik sebagai tebakan awal
2. Metode Terbuka (open method)
Hanya memerlukan satu titik sebagai
tebakan awal

1. METODE PENGURUNGAN
Dilakukan dengan menebak 2 angka
a. Metode Bisection (bagi dua)
b. Metode Regula Falsi (posisi palsu)
atau Metode Interpolasi Linier

a. Metode Bisection (Bagi Dua)
Merupakan metode yang paling sederhana
Diawali dengan menebak dua nilai yaitu nilai bawah
(sblm akar) x a dan nilai atas (stlh akar) x b
Tebakan benar jika f(x b ) dan f(x a ) mempunyai
tanda yang berlawanan : f(x b ) . f(x a ) < 0
Jika f(x b ) . f(x a ) > 0 maka tebakan awal diulangi
Nilai kedua tebakan dibagi dua, disebut x c
Nilai x c akan menggantikan posisi nilai lama.
Jika x c berada pada posisi x b disebut dengan x ’ b
dan jika berada pada posisi x a akan diubah menjadi
x ’ a

Algoritma Bisection (Bagi Dua)
1. Tebak akar atas, x a dan akar bawah, x b
2. Periksa f(x a ).f(x b )=0 stop didapat harga akar
3. Periksa f(x a ).f(x b )0, maka xc berada di subinterval
bawah Atur xa = xc kembali ke-4
b. Jika f(xc).f(xa)

. Metode Regula Falsi (Posisi Palsu)
Merupakan perbaikan dari metode
bisection
Dilakukan dengan menarik garis lurus pada
kedua interval x b dan x a
Harga
x
c
=
x
a
−
f
f
( x )( a x b − x ) a
( x ) − f ( x )
Algoritma sama dengan metode bisection,
hanya tahapan 5 diganti nilai x c nya
b
a

2. METODE TERBUKA
Dilakukan dengan menebak 1 angka
a. Metode Pertemuan Dua Grafik
b. Metode Newton Raphson
c. Metode Secant

. Metode Newton Raphson
Mula-mula diperkirakan harga xi awal
kemudian dipotongkan thd kurva dan
ditarik garis singgung
Garissinggungmerupakantangenatau
slope.
Slope merupakan turunan pertama dari
f(xi ) sehingga didapat hubungan :
f
( )
( xi
)
f ' xi
=
( x − x )
i+
1
Persamaan Newton Raphson :
f ( xi
)
xi +
1 = xi
−
f '(
x )
i
i

Algoritma Newton Raphson
1. Tuliskan fungsi f(x)
2. Cari harga f’(x)
3.
4.
Masukkan tebakan awal x0 Masukkan parameter penghentian program :
Kesalahan relatif perkiraan Ebs Jumlah iterasi maksimum
5.
6.
Inisialisasi harga : iterasi = 0 dan Eas = 1.1 Ebs Jika kesalahan relatif (Eas > Ebs ) dan (iterasi <
iterasi makasimum) maka :
a. Harga
b. Cek harga E as
f
xiter = xi
+ 1 = xi
−
f
( xi
)
'(
x )
c. Iterasi = iterasi + 1
7. Ulangi 6 sampai kondisi tercapai
8. Tulis x iter = akar
E
as
=
x
iter
− x
x
iter
i
iter−1

c. Metode Secant
Kelemahan metode Newton Raphson,
harus mencari turunan pertama dari
fungsi f(x i )
Metode secant untuk menghindari
turunan pertama dengan turunan
numerik mundur
f '
( x )
i
=
f
( x ) − f ( x )
i−1
x
i−1
−
x
i
i

Sub Program PERSAMAAN NON LINEAR
Scilab menyediakan sub program untuk menyelesaikan satu atau
beberapa sistem persamaan non linear secara simultan dengan
menggunakan perintah fsolve
x = fsolve(x0, persamaan)
Contoh :
Akan dicari akar persamaan simultan non linear dari :
Kedua persamaan diubah menjadi :
f
f
1
2
x
2
y +
+ xy = 10
3xy
2 ( x,
y)
= x + xy −10
= 0
2
( x,
y)
= y + 3xy
− 57 = 0
2
= 57
Persamaan ditulis dalam bentuk matrik dengan x sebagai
x(1) dan y sebagai x(2)

Contoh :
Diketahui persamaan Van der Waals untuk
menggambarkan kondisi gas non-ideal :
⎛
⎜
⎝
P +
a
=
V2
⎟ ⎞
⎠
( V − b)
RT
Hitunglah volume molar udara (V) pada 50
atm dan suhu -100 o C jika diketahui nilai
konstanta a = 1.33 atm.liter 2 /gmol, b =
0.0366 liter/gmol dan R = 0.08205
liter.atm/K.gmol

PERSAMAAN DIFERENSIAL
1. Persamaan Diferensial Biasa (ODE), hanya
terdapat 1 variabel bebas
d2y +
dx2
y
dy
dx
kx
2. Persamaan Diferensial Parsial (PDE),
terdapat lebih dari 1 variabel bebas
α
2
∂ T
2
∂x
=
=
∂T
∂t

Persamaan Diferensial Biasa (ODE)
Berdasarkan pangkat (Orde) :
• PDB Orde satu :
• PDB Orde dua :
• PDB Orde tiga :
dy
dx
+
2
d y
+ 2
dx
Berdasarkan kondisi batas :
• IVP (Initial Value Problems), bila nilai variabel tak
bebas atau turunannya diketahui pada kondisi nilai
mula-mula
• BVP (Boundary Value Problems), bila nilai variabel
tak bebas atau turunannya diketahui lebih dari
satu nilai variabel bebasnya
y
y
=
dy
dx
kx
=
3
2
d y d y ⎛
+
a + b
3
2 ⎜
dx dx ⎝
kx
dy
dx
⎞
⎟
⎠
2
= kx

Persamaan Diferensial Parsial (PDE)
• PDE Order satu :
• PDE Order dua :
• PDE Order tiga :
∂C
∂x
∂
2
∂x
C
2
3 ⎛ ∂
u ⎞
⎜ 3
x
⎟
⎝ ∂ ⎠
∂C
− α =
∂y
+
2
D
+
e
∂C
∂y
2
∂ u
∂x∂y
0
=
+
0
∂u
∂y
=
0

Penyelesaian Persamaan
Diferensial Biasa (ODE)
1. Metode Euler (Eksplisit)
2. Metode Euler Modifikasi (Implisit)
3. Metode Runge-Kutta

1. Metode Euler (Eksplisit)
Disebut juga metoda integrasi nilai awal
dy
=
dx
( x , y )
Kondisi awal : y(x 0) = y 0
y
i+
1
∫
y
i
dy
x
f
i+
1
= f ( x,
y)dx
∫ ( )
+ i 1
yi+
1 − yi
= f x,
y
∫
x
i
y = y + h f
i+
1
i
( x , y )
i
i
x
x
i
dx

Perbandingan Analitis dengan
Metode Euler (Eksplisit)
Persamaan diferensial yang diselesaikan:
dy 2
dx
3
= 4x
− 6x
+ 8 Dimana x = 0, y = 2 (kondisi awal); xa =3, h=0.5
x i y analtk y euler % kslhan
0 2 2 -
0.5 5.81 6 3.27
1 9 9.5 5.56
1.5 12.31 12.5 1.54
2 18 16.5 8.33
2.5 29.81 24.5 17.81
3 53 41 22.64

Algoritma Metode Euler (Eksplisit)
1. Tentukan x = x 0 dan y = y 0
2. Tentukan nilai awal x 0 dan nilai akhir x a
dari variabel bebas
3. Tentukan nilai h
4. Inisialisasi i = 0
5. Buat persamaan f(x,y), modul terpisah
6. Vektor x(i)=[x 0 , x 0 +h, x 0 +2h,…,x a ]
7. Jumlah loop, n=(x a -x 0 )/h
8. Untuk i=0 sampai n-1 maka :
9. y i+1 =y i + hf(x i ,y i )
10. x = x + h
11. Simpan nilai x i , y i
12. Lanjutkan i

2. Metode Euler Modifikasi (Implisit)
Untuk memperkecil kesalahan
Merupakan gabungan antara beda maju
dan beda mundur
Beda maju pertama dari y pada i sama
dengan beda mundur pertama dari y pada
i+1
∆y i = yi+
1 − yi
= ∇yi+
1
i+
1 i i 1
sehingga
y = y + ∇y
+
( x , y )
y i+
1 =
yi
+ h f i+
1 i+
1

Untuk memperbaiki metode Euler, maka metode Euler
eksplisit digunakan untuk memprediksi nilai y i+1
( y ) = y + h f ( x , y )
i+
1
pred
Nilai prediksi pada persamaan di atas digunakan untuk
mengkoreksi metoda implisit
( ) = y + h f x , ( y )
i+
1
kork
Persamaan di atas disebut dengan Metode Prediktor
Korektor atau Metode Heun
i
Kombinasi metoda beda maju dan beda mundur dituliskan
dalam bentuk
i
i
( )
y +
i+
1
i
1
i
pred
( ∇y
+ ∇y
)
1 y i+
1 = yi
+ 2 i i+
1
1
1
( ) = y + h f ( x , y ) + h f ( x , y )
y +
i+
1
i
2
i
f pred
i
2
i+
1
f corr
i
f pred
1
f corr

Perbandingan dengan Analitis
x i y analtk y euler % kslhan
Euler
y euler-mod
% kslhan
Euler-mod
0 2 2 - 2 -
0.5 5.81 6 3.27 5.75 1.03
1 9 9.5 5.56 9 0.0
1.5 12.31 12.5 1.54 12.5 1.54
2 18 16.5 8.33 18.5 2.78
2.5 29.81 24.5 17.81 30.75 3.15
3 53 41 22.64 54.5 2.83

3. Metode Runge-Kutta
Merupakan metode untuk
menyelesaikan persamaan
diferensial dengan ketelitian dan
kestabilan yang cukup tinggi.
Sangat umum digunakan untuk
menyelesaikan bentuk PDB baik
linear maupun non linear dengan
problema kondisi awal

Bentuk penyelesaian berdasarkan orde (pangkat):
Orde (pangkat) dua:
1 y i+
1 = yi
+ ( )
2 k1
+ k 2
Dimana nilai dari ki adalah : k 1 = h f ( x i , yi
)
Orde (pangkat) tiga :
k 2 = h f ( x i + h,
yi
+ k1
)
1 y i+
1 = yi
+ ( 1 2 3 )
6 k + 4k
+ k
Dimananilaidariki adalah : k = h f ( x , y )
⎛ h k1
⎞
k 2 = h f ⎜ x i + , yi
+ ⎟ ; k 3 = h f ( x i + h,
yi
+ 2k
2 − k1
)
⎝ 2 2 ⎠
Orde (pangkat) empat :
Dimananilaidarik i adalah :
k = h f
k
1
2
( x , y )
i
⎛
= h f ⎜ x
⎝
i
+
i
h
2
, y
i
+
k
1
2
⎞
⎟
⎠
1
i+
1
i
i
1
6
i
( k + 2k
+ 2k
k )
y = y +
+
k
3
4
1
⎛
= h f ⎜ x
⎝
i
+
2
h
2
, y
i
3
+
( x + h,
y k )
k =
h f +
i
i
3
k
2
2
4
⎞
⎟
⎠

Perbandingan dengan Analitis
x i y analtk y euler
%
kslhan
Euler
y euler-mod
%
kslhan
Eulermod
y rk4
%
kslhan
rk4
0 2 2 - 2 - 2 -
0.5 5.8125 6 3.27 5.75 1.03 5.8125 0
1 9 9.5 5.56 9 0.0 9 0
1.5 12.3125 12.5 1.54 12.5 1.54 12.3125 0
2 18 16.5 8.33 18.5 2.78 18 0
2.5 29.8125 24.5 17.81 30.75 3.15 29.8125 0
3 53 41 22.64 54.5 2.83 53 0

Sub Program PDB
Scilab menyediakan sub program siap pakai untuk
menyelesaikan persoalan PDB
Bentuk persamaan :
Dimana :
dy
=
dt
y=ode (y0,t0,t,fungsi)
fungsi
y0 = kondisi awal dari variabel tak bebas (y)
t0 = kondisi awal dari variabel bebas (t)
t = batasan simulasi dari variabel bebas

Persamaan Diferensial Biasa
Simultan
Merupakan sekumpulan persamaan diferensial biasa
yang harus diselesaikan secara simultan
.
dy
dy
1
dx
dy
2
dx
.
n
dx
=
f
=
=
f
f
1
( x,
y , y , ... , y )
2
n
1
( x,
y , y , ... , y )
1
( x,
y , y , ... , y )
1
2
2
2
n
n
n

Penyelesaian dengan menggunakan
metode Runge Kutta orde empat
i+
1,
j
Dengan nilai k adalah :
k
k
k
k
1,
j
2,
j
3,
j
4,
j
=
=
=
=
hf
hf
hf
hf
j
j
i,
j
1
6
( k + 2k
+ 2k
k )
y = y +
+
1j
( x , y , y , ... , y )
j
j
i
⎛
⎜ x
⎝
⎛
⎜ x
⎝
( x + h,
y + k , y + k , ... , y + k )
i
i
i
+
+
i,
1
i,
2
h
, y
2
h
, y
2
i,
1
i,
1
i,
1
+
+
k
k
3,
1
i,
n
1,
1
2
2,
1
2
, y
, y
i,
2
i,
2
i,
2
2 j
k
k
3,
2
1,
2
2
2,
2
2
3 j
, ... ,
, ... ,
Dimana j = 1, 2, … , n → menunjukkan nomor persamaannya
+
+
y
y
i,
n
i,
n
i,
n
4 j
+
+
k
k
3,
n
1,
n
2
2,
n
2
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠

Jikadalamsistemterdapatduapersamaandiferensialbiasa
dengan bentuk
dy
1
dx
dy
2
dx
= f
1
= f
( x,
y , y )
2
1
( x,
y , y )
Maka penyelesaian persamaan diferensial biasa tersebut
dengan menggunakan metode Runge Kutta orde 4 secara
simultan adalah :
y
y
i+
1,
1
i+
1,
2
=
=
y
y
i,
1
i,
2
+
+
1
6
1
6
1
2
2
( k1,
1 + 2k
2,
1 + 2k
3,
1 + k 4,
1 )
( k + 2k
+ 2k
+ k )
1,
2
2,
2
3,
2
4,
2

dimana :
( )
( )
( )
( )
2
,
3
2
,
i
1
,
3
1
,
i
i
2
2
,
4
2
,
3
2
,
i
1
,
3
1
,
i
i
1
1
,
4
2
,
2
2
,
i
1
,
2
1
,
i
i
2
2
,
3
2
,
2
2
,
i
1
,
2
1
,
i
i
1
1
,
3
2
,
1
2
,
i
1
,
1
1
,
i
i
2
2
,
2
2
,
1
2
,
i
1
,
1
1
,
i
i
1
1
,
2
2
,
i
1
,
i
i
2
2
,
1
2
,
i
1
,
i
i
1
1
,
1
k
y
,
k
y
,
h
x
hf
k
k
y
,
k
y
,
h
x
hf
k
2
k
y
,
2
k
y
,
2
h
x
hf
k
2
k
y
,
2
k
y
,
2
h
x
hf
k
2
k
y
,
2
k
y
,
2
h
x
hf
k
2
k
y
,
2
k
y
,
2
h
x
hf
k
y
,
y
,
x
hf
k
y
,
y
,
x
hf
k
+
+
+
=
+
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
=
=

Akan diselesaikan dan divisualisasikan dua buah
persamaan diferensial biasa sebagai berikut :
dy
1
dx
dy
dx
2
= −0.
5 y
Dengan kondisi awal (batas) :
1
= 4 − 0.
3 y
x = 0; y 1 = 4; y 2 = 2
2
−
0.
1
y
1

Contoh :
Dua buah tangki air tersambung secara seri dan saling
berinteraksi. Kecepatan aliran keluar merupakan fungsi akar
kuadrat dari ketinggian air, jadi untuk tangki 1 kecepatan
alirannya adalah h − sedangkan untuk tangki 2 sebagai
1 2 h
fungsi h . Akan ditentukan ketinggian h1 dan h2 sebagai fungsi
2
waktu dari t = 0 sampai t = 40 menit dengan interval 4 menit.
Setelah disusun neraca bahan, diperoleh persamaan diferensial
simultan sebagai fungsi waktu :
dh
dt
F
β
1 1
2
= − h1
−h
A
2 ; =
2 h
2
1 −h
2 − h
2
1 A
dt A
1
2 A
2
dh
Harga-harga parameter yang ada :
β 1 = 2,5 ft 2,5 /menit β 2 = 5/√6 ft 3 /menit
A 1 = 5 ft 2 A 2 = 10 ft 2 F = 5 ft 3 /menit
Dengan kondisi awal pada t = 0, h 1 = 12 ft dan h 2 = 7 ft
β
β

Uap campuran keluar dari kondensor parsial kolom destilasi
yang beroperasi pada 1 atm dengan komposisi 47% mol air (1),
20% mol asam formiat (2) dan sisanya methanol (3). Pada
kondensor terjadi kesetimbangan antara uap dan cairannya dan
berlaku persamaan-persamaan berikut :
y
i
i Ki
x =
o
dimana, dan untuk P0 P i
K
i diperkirakan dengan
i P persamaan Antoine :
=
⎛
⎞
⎜ B ⎟
Po i = exp⎜A
− i
⎟
⎜
i T + C ⎟ dengan i = 1, 2, 3 dan x 1
i
⎝
i ⎠
i
= ∑
Perkirakanlah suhu operasi pada operasi kondensor (=dewpoint
uap campuran) dalam o C, dengan data konstanta
A1 = 18,304 A2 = 16,988 A3 = 18,510
B1 = 3816,4 B2 = 3599,6 B3 = 3593,4
C1 = -46,13 C2 = -26,09 C3 = -35,225
P o dalam mmHg dan T dalam Kelvin