Trigonometria - Landaberri.net

210
7
SINUA
sin 2 α + cos 2 α = 1
OSAGARRIA
Trigonometria
ANGELU BATEN ARRAZOI
TRIGONOMETRIKOAK
KOSINUA TANGENTEA
ANGELU BATEN ARRAZOI
TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO
ERLAZIOAK
30º, 45º ETA 60º-KO ANGELUEN
ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
EDOZEIN ANGELUREN ARRAZOI
TRIGONOMETRIKOAK
ANGELUAK LEHEN
KOADRANTEAN ADIERAZTEA
sin α
= tg α
cos α
BETEGARRIA AURKAKOA

Zeruaren ahoak
Ziur asko botere magikoak zituen. Zilarrezko apaingarriak zituen ebanozko kutxa hori
oso deigarria gertatu zitzaion, eta edozein gauza emango luke Claudio Ptolomeo bere
maisuak hor barruan errezeloz zer gordetzen zuen asmatzeko.
Unea heldu zen eta bazirudien bihotzak ahotik ihes egingo ziola. Ptolomeo, azkenean,
lana bukatu zuen eta misterioaren berri emango zuen. Nemes gaztea gelditu gabe hitz
eginez bultzatzen ari zen.
–Badakizu, maisu? Beti ikusi nahi izan dut kutxan dagoen
altxorra. Batzuetan sarrailatik sartzeko moduko tamaina
nuela amets egiten nuen, eta hara sartzean mundu guztia
zegoen barruan eta milaka abentura izaten nituen... eta...
mesedez, esaidazue zer dagoen!
Ptolomeok ezin izan zion eutsi irri egiteari kutxa irekitzen
zuen bitartean, eta seriotasunez hau esan zion:
–Hemen duzu mundu osoa: itsasoak, lurrak, ibaiak,
basamortuak, mendiak eta haranak.
Nemesek ezin zuen sinetsi ikusten ari zena: mundu
osoa adierazten zuen mapa. Nilo ibaiari jarraitu zion
hatzaz, eta bat-batean hau adierazi zuen:
–Jainkotasuna apaizek esaten duten moduan sortzen da:
«Zeruaren Ahoak aurkituko dituzu Ilargiko Mendietatik
harantz». Baina, nola izan zarete gai leku zehatza zein
den jakiteko leku horietan inoiz ez bazarete egon?
–Bidaiariekin hitz egin dut; batzuek izarrak zer
angelurekin ikusten dituzten neurtzen dute,
eta horrek egoera zehatzaren berri ematen dit:
angelu berdinei distantzia antzekoak dagozkie.
5 cm luze den berdina ez den aldearen gaineko altuera
4 cm luze da triangelu isoszele batean.
Zenbat neurtuko luke beste antzeko batek 7 cm altu
izango balitz?
4
5
4 cm
5 cm
7 cm
7 5⋅ 7
= → x = = 8,75 cm
x 4

212
Trigonometria
001
002
003
ARIKETAK
Kalkulatu α eta β angeluen arrazoi trigonometrikoak.
a) b)
15 cm
β
20 cm
25 cm
15
a) sinα = = 0, 6
25
20
sinβ=
= 0, 8
25
20
cosα = = 0, 8
25
15
cosβ=
= 0, 6
25
15
tgα = = 0, 75
20
20
tgβ
= = 1, 33
15
20
b) sinα = = 0, 69
29
21
sinβ=
= 0, 72
29
21
cosα
= = 0, 72
29
20
cosβ=
= 0, 69
29
20
tgα = = 0, 95
21
21
tgβ
= = 1, 05
20
Kalkulatu angeluen arrazoi trigonometrikoak.
33 cm
h=
56 + 33 = 65
α
2 2 cm
56 cm
56
sinα = = 0, 86
65
33
sinβ=
= 0, 51
65
33
cosα
= = 0, 51
65
56
cosβ=
= 0, 86
65
56
tgα = = 1, 7
33
33
tgβ
= = 0, 59
56
α
h
29 cm
Arrazoitu zergatik ez diren aukeratutako triangeluaren mendekoak angelu baten
arrazoi trigonometrikoak.
Arrazoiak ez daude triangeluaren menpe triangelu antzekoak direlako
eta aldeen zatidura konstantea delako.
β
α
21 cm
β
20 cm

004
005
006
007
ERANTZUNAK
Kalkulatu gainerako arrazoi trigonometrikoak, haien arteko erlazioak erabiliz.
a) sinα= 0,3 b) sinβ= 0 c) cosγ= 0,4 d) tgδ= 2
2
2 2 2
a) sin α + cos α = 1 → ( 0,3)
+ cos α = 1
→ cos α =
2 1 – ( 0,3) = 0,91 = 0,95
sin α
tg α =
cos α
→ tg α =
0,3
0,95
= 0,32
2
2 2
b) sin β + cos β = 1 → 0 + cos β = 1 → cos β =
⎧cos
β =
1 → ⎨
⎪ 1
⎩⎪ cos β = – 1
sin β
tg β =
cos β
= 0
2 2 c) sin γ + cos 2 2
γ = 1 → sin γ + ( 0,4)
= 1
→ sin γ = 1 − 0,16 = 0,84 = 0,92
tg
sin γ
γ =
cos γ
→ tg γ =
0,92
= 2,3
0, 4
2
2
d) sin δ + cos δ = 1⎫⎪
sin
sin δ ⎬
⎪ δ = 2 · cos δ
2 2
⎯⎯⎯⎯⎯→ ( 2 · cos δ) + cos δ = 1
= 2⎪
cos δ
⎪
⎭⎪
2 → 5 · cos = 1 cos =
5
5
5
sin 2 · cos sin
1 δ → δ =
δ = δ → δ = 2 ·
5
5
=
2 5
5
Ba al dago sinα= 0,4 eta cosα= 0,6 dituen angelurik? Arrazoitu erantzuna.
sin 2 α + cos 2 α = 1
(0,4) 2 + (0,6) 2 = 0,16 + 0,36 = 0,52 1 → Ez dago.
Ba al dago tgα= 2 eta kosinua halako bi duen angelurik?
sin α
tg α = = 2 → sin α = 2 · cos α → Bai, badago.
cos α
Kalkulatu adierazpen bakoitzaren balioa.
a) cos 30°− sin 60°+tg 45° c) tg 60°+sin 45°− cos 2 30°
b) cos 2 60°− sin 2 45° d) tg 30°+tg 60°− sin 30° ⋅ cos 30°
3 3
a) cos 30° − sin 60° + tg 45º
= − + 1 = 1
2 2
2 2 1 1 1
b) cos 60° − sin 45° = − = −
4 2 4
2 2 3 4 3 + 2 2 − 3
c) tg 60° + sin 45° − cos 30° = 3 + − =
2 4 4
3 1
d) tg 30° + tg 60° − sin 30° · cos 30° = + 3 − ·
3 2
3
2
=
7
13 3
12
213

214
Trigonometria
008
009
010
011
012
013
Kalkulatu 5 cm-ko aldeko triangelu aldeberdin baten altuera, Pitagorasen teorema
aplikatu gabe.
5 cm
60°
Kalkulatu 3 cm-ko aldea duen karratuaren diagonala, arrazoi trigonometrikoak
erabiliz.
d
h
3 cm
Adierazi zer koadrantetan dauden angeluak.
a) sinα= 0,8 b) sinβ=−0,8 c) sinγ= 0,5
cosα=−0,6 cosβ=−0,6 tgγ= 0,57
a) Bigarren koadrantea b) Hirugarren koadrantea c) Lehen koadrantea
Adierazi angeluen arrazoi trigonometriko bakoitzaren zeinua.
a) 66° b) 175° c) 342° d) 18° e) 135°
a) Arrazoi guztiak positiboak dira.
b) Sinu positiboa, kosinua eta tangentea negatiboak.
c) Kosinu positiboa, sinua eta tangentea negatiboak.
d) Arrazoi guztiak positiboak dira.
e) Sinu positiboa, kosinua eta tangentea negatiboak.
Zergatik ez du tangenterik 90°-ko angeluak? Gauza bera gertatzen al da 90°-ren
angelu multiploekin?
Ez dago cos 90°=0 delako.
Hori gertatzen da 90°+n⋅180° motako angeluekin, n zenbaki osoa denean.
Kalkulatu angeluen arrazoi trigonometrikoak, kontutan hartuta cos 50°=
0,6428 dela.
a) 140° b) 130° c) 230° d) 310°
a) sin 140° = cos 50° = 0,6428 cos 140° =− sin 50° = −0,766
1
tg 140°
=− =− 0,839
tg 50°
3 5 3
h= 5 · sin 60° = 5 · = cm
2 2
3 3 6 6 2
d=
= = = = 3 2 cm
sin 45°
2 2 2
2
b) sin 130° = sin 50°
= 0,766
cos 130° =− cos 50° =− 0,6428
tg 130° =− tg 50°
=− 1,1917

014
015
016
c) sin 230° =− sin 50°
=− 0,766
cos 230° =− cos 50 ° =− 0,6428
tg 230° = tg 50° = 1, 1917
Badakigu sin 25°=0,4226 dela. Zein dira 205º-ko angeluaren arrazoi
trigonometrikoak?
2 2 2
sin 25° + cos 25° = 1 → cos 25° = 1 – ( 0,4226) = 0,9063
⎧ ⎪
sin 205° =− sin 25° =− 0,4226
⎪cos
205° =− cos 25° =− 0,9063
205° = 180° + 25° →⎨
⎪
⎪ − 0,4226
⎪
⎪tg
205° = tg 25° = = 0,4663
⎩⎪
−0,9063
Kalkulatu 70º-ren arrazoi trigonometrikoak, jakinik cos 110°=−0,342 dela.
2 2
sin 110° + cos 110° = 1
Adierazi angelu hauen arrazoi trigonometrikoak, 1. koadranteko beste angelu
batzuen arrazoien mende.
a) 475° c) 1.130° e) 1.215°
b) 885° d) 695° f) 985°
a) 475° = 360° + 90° + 25°
sin 475° = cos 25°
cos 475°
=− sin 25°
1
tg 475°
=−
tg 25°
b) 885° = 2 · 360° + 90° + 75°
sin 885° = cos 75°
cos 885° =− sin 75°
1
tg 885°
=−
tg 75°
c) 1.130° = 3 · 360° + 50°
sin 1.130° = sin 50°
cos 1.130° = cos 50°
tg 1.130° = tg 50°
d) 695° = 2 · 360° − 25°
sin 695° =− sin 25°
cos 695°
= cos 25°
tg 695° =− tg 25°
7
d) sin 310° =− sin 50°
=− 0,766
cos 310° = cos 50° = 0,6428
tg 310° =− tg 50°
=− 1,1917
2
→ sin 110° = 1−
cos 110° = 1 0 342 2 −− ( , ) = 0,94
⎧ ⎪
sin 70° = sin 110° = 0,94
⎪cos
70° =− cos 110° = 0,342
70° = 180° − 110° →⎨
⎪
⎪ sin 70° 0,94
⎪
⎪tg
70° = = = 2,75
⎩⎪
cos 70° 0,342
ERANTZUNAK
e) 1.215° = 3 · 360° + 90° + 45°
sin 1.215° = cos 45°
cos 1.215° =− sin 45°
1
tg 1.215° =−
tg 45°
f) 985° = 2 · 360° + 180° + 85°
sin 985° =− sin 85°
cos 985° =− cos 85°
tg 985° = tg 85°
215

216
Trigonometria
017
018
019
020
021
Jakinik sinα= 0,2 dela, kalkulatu:
a) sin (90°−α) b) sin (180°−α) c) sin (−α)
a) sin (90°−α) = cos α=0,98
b) sin (180°−α) = sin α=0,2
c) sin (−α) =−sin α=−0,2
sin 18°=0,309 eta cos 18°=0,951; kalkulatu:
a) sin 72° b) cos 162° c) tg (−72°)
a) sin 72°=cos 18°=0,951
b) cos 162°=−cos 18°=−0,951
1
c) tg (− 72°) =− =− 3,077
tg 18°
Zehaztu α eta β angeluen arteko lotura, haien arrazoi trigonometrikoek baldintza
hauek betetzen badituzte.
a) sinα= cosβ b) cosα= cosβ c) sinα= sinβ
a)α=90°±β
b)α=n⋅360°±β
c)α=180°−β
Zer azalera du triangeluak, A $ = 30° bada?
B
150 m
75 m
h= 75 sin = 75 =
A=
=
1
· 30° · 37,5 m
2
150 · 37,5
2.812,5
m
2
2
C
Kalkulatu 4 cm-ko aldea duen hexagono erregularraren azalera.
α= 60°
A=
3
16 ·
4 · 4 · sin 60°
· 6=
2
2
2
· 6= 24 · 3 2 = 41,57 cm
A

022
023
024
025
ERANTZUNAK
Kalkulatu triangelu isoszele baten azalera, jakinik alde berdinak 8 cm-koak
direla, eta angelu desberdina, 45°-koa.
2
8 · 8 ·
2
A= = 16 · 2 = 22,63 cm
2
2
Enekok etxearen alboan dagoen zuhaitz baten altuera neurtu nahi du.
Horretarako, teodolito bat utzi diote, eta zenbait angelu eta distantzia neurtu
ditu. Zer altuera du zuhaitzak?
x · tg 60° = h ⎫
⎬
⎪ → x 3= ( x+
10)·
( x+ 10) · tg 30°
= h⎭⎪
h=
5 · 3=
8,66 m
Lur-sail triangeluar baten bi alde 20 m eta 30 m luze dira. Ez dakigu zenbatekoa
den bi alde horiek osaturiko angelua, baina beste bi angeluek 80° eta 70° dituzte.
Kalkulatu lur-sailaren azalera.
Hirugarren angeluaren neurria hau da: 180°−80°−70°=30°.
30 · 20 · sin 30°
A=
=
2
Kalkulatu x-ren balioa.
h
G
x
2 150 m
30°
60°
61 m
x 12 m
12+
x 3 12+
x
cos 30°= → = → 61⋅ 3 = 24+ 2x
61 2 61
G
20°
61⋅ 3−
24
→ x=
= 40,8 m
2
3
3
10 m
F
30°
z
7
→ x · 2 3= 10 · 3 → x=
5 m
217

218
Trigonometria
026
●
027
●
028
●
ARIKETAK
Kalkulatu adierazitako angeluen arrazoi trigonometrikoak.
a) c)
10 cm
6 cm
16 cm
b)
5 cm
8 cm
13 cm
12 cm
8
6
a) sin = cos = tg =
10
10
8
6
b) sin = 12
5
cos = tg =
13
13
12
5
c) sin = 16
cos =
34
30
tg =
34
16
30
sin = 30
cos =
34
16
tg =
34
30
16
Triangelu angeluzuzen baten katetoak
5 cm eta 12 cm luze dira, hurrenez hurren.
Kalkulatu triangeluaren bi angelu zorrotzen
arrazoi trigonometrikoak.
2 2 a=
5 + 12 = 13 cm
12
sinα = = 0,923
13
5
cosα
= = 0,385
13
12
tgα
= = 2,4
5
5
sinβ = = 0,385
13
12
cosβ
= = 0, 923
13
5
tgβ = = 0,417
12
Kalkulatu triangelu zuzen baten bo angelu zorrotzen arrazoi trigonometrikoak,
hipotenusa 3 cm-koa bada eta kateto bat 1 cm-ekoa.
2 2 c=
3 − 1 = 8 cm
sinα =
8
3
cosα= 1
3
tgα
=
sinβ =
1
3
cosβ
=
8
3
tgβ
=
5 cm
8
2
4
α
34 cm
13 cm
30 cm
12 cm
β

029
●
030
●●
031
Erregela graduatu baten laguntzaz,
kalkulatu adierazitako angeluen arrazoi
trigonometrikoen gutxi gorabeherako
balioak.
sinα= 2,
1
=0,45 cosα=
4,
7
4,
1
=0,87 tg α=
4,
7
2,
1
=0,51
4,
1
sinβ= 4,
1
=0,87 cosβ=
4,
7
2,
1
=0,45 tg β=
4,
7
4,
1
=1,96
2,
1
Irudiko triangelu angelu-
zuzena emanda, kalkulatu
adierazitako angeluaren arrazoi
trigonometrikoa, triangelu handia eta
txikia erabiliz. Emaitza bera lortzen al
da? Arrazoitu.
Triangelu handia erabiliz:
60
80
60
sinα = = 0,6 cosα = = 0,8 tgα
= = 0,75
100
100
80
Triangelu txikia erabiliz:
48
2 0,6
sinα = = 0,6 cosα = 1−
( 0,6) = 0,8 tgα
= = 0,75
80
0,8
Emaitza bera da, bi triangeluak antzekoak direlako.
EGIN HONELA
NOLA ADIERAZTEN DIRA GRADUAK RADIANETAN? ETA ALDERANTZIZ?
Zenbat radian dira n gradu? Eta zenbat gradu dira αradian?
LEHENA. Hiruko erregelak planteatu behar dira, kantitate ezezagunak kalkulatzeko.
360°⎯2π rad 360°⎯2π rad
n ⎯ x rad y ⎯αrad
BIGARRENA. Hiruko erregelak ebaztean, graduak radianetan eta radianak eko eta alderantziz
ere aldatzeko formulak lortzen dira.
360° ⎯ 2π rad⎫
n 2π
rad π
⎬
⎪ → x=
n
n ⎯ x rad ⎭⎪ 360 180
⋅
= ⋅ rad
360° ⎯ 2π rad⎫
360 α
⎬
⎪ ⋅ 180
→ y=
= α⋅
y ⎯α
rad⎭⎪
2π
π gradu
Horrela, adibidez:
60 cm
30° rad 1 rad 1 180 π π
= 30⋅ = = ⋅ = 57,296° = 57° 17'
45''
180 6 π
α
48 cm
ERANTZUNAK
100 cm
80 cm
β
7
219

220
Trigonometria
032
●●
033
●●
034
●
035
●
036
●●
Adierazi angeluak radianetan.
a) 45° b) 180° c) 30° d) 60°
a) 45° = rad
π
4
b) 180° =π rad
Adierazi angeluak gradutan.
3π
a) rad
2
b) 0,33 rad
π
c) rad
4
d) 2 rad
a) 270° b) 18,91° c) 45° d) 114,64°
Kalkulatu angeluen arrazoi trigonometrikoak, jakinik:
1
a) sinα= 0,6 b) cosα= 0,45 c) tgα= 0,577 d) sinα=
3
a) sinα = 0, 6
c) sinα
= 0,5
cosα = 0, 8 cosα
= 0,866
tgα
=
3
4
tgα
= 0,577
b) sinα = 0,89 d) sinα
=
1
3
cosα = 0,45
cosα
=
2 2
3
tgα
= 1,98 tgα
=
2
4
Kalkulatu angeluen arrazoi trigonometrikoak, jakinik:
a) cosα= b)
1
3
a) sinα =
2 2
3
b) sinα
=
1
6
cosα =
1
3
cosα
=
35
6
tgα
= 2 2
tgα=
35
35
Aztertu ea zuzenak diren adierazpenak.
a) sinα= 0,45 bada, cosα= 0,55 da.
b) tgα= 1 bada, cosα= sin da.
cosα
c) sinα= bada, tgα= 2 da.
2
d) cosα= 0,8 bada, tgαtxikiagoa da 1.
d) 60° = rad
π
c) 30° = rad
3
π
6
sinα= 1
6
a) Okerra b) Zuzena c) Okerra d) Okerra

037 EGIN HONELA
038
●
039
●
NOLA KALKULATZEN DIRA ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK, KALKULAGAILUAREN BIDEZ?
Kalkulatu sinα, cosα eta tgα baldin eta α= 70° 42' 50''.
LEHENA. Kalkulagailua MODE moduan jarri behar da, gradutan ala radianetan
ari garen kontutan hartuta.
Graduak ⎯→
Radianak →
BIGARRENA Angelua kalkulagailuan sartu behar da, graduak, minutuak eta segundoak
adieraziz.
HIRUGARRENA. Arrazoi trigonometrikoari dagokion tekla sakatu behar da.
Sinua ⎯⎯→ 70 °' '' 42 °' '' 50 sin = 0,94388...
Kosinua ⎯→ 70 °' '' 42 °' '' 50 cos = 0,33028...
Tangentea ⎯→ 70 °' '' 42 °' '' 50 tan = 2,85777...
Zenbait kalkulagailutan, teklen sekuentzia desberdina da: lehendabizi funtzioa sartu
behar da ( sin cos tan ), eta gero, angelua.
Kalkulagailuaren laguntzaz,kalkulatu angelu hauen arrazoi
trigonometrikoak.
a) 53° 36' 5'' c) 17° 42' 57''
b) 50° 12' 41'' d) 85° 50' 12
a) sinα
= 0,805
cosα
= 0,593
tgα
= 1,356
b) sinα
= 0,768
cosα
= 0,64
tgα
= 1,2
Kalkulatu 48°-ren arrazoi trigonometrikoak, kalkulagailua erabiliz, eta
egiaztatu berdintzak betetzen direla.
sin 48°
a) sin 2 48°+cos 2 48°=1 b) tg 48°=
sinα
= 0,743
cosα
= 0,669
tgα
= 1,11
2 2 a) (0,743) + (0,669) = 0,552+ 0,448=
1
b) 0,743
0,669
= 1,11
MODE
MODE
DEG
RAD
70 °' '' 42 °' '' 50 °' ''
c) sinα
= 0,304
cosα
= 0,953
tgα
= 0,319
d) sinα
= 0,997
cosα
= 0,073
tgα
= 13,738
ERANTZUNAK
cos 48°
7
221

222
Trigonometria
040
●●
041
●●
042
●●
043
●●
044
●●
Arrazoitu ea baden berdintza hauek betetzen dituen a angelurik.
1
1
sinα = eta cosα
=
5
3
Ez dago betetzen dituen angelurik; izan ere:
⎛ 1⎞
⎜ 1 1 1 34
⎜
⎝⎜
3⎠⎟
5 9 25 225
+⎛
⎞
⎜ = + = ≠ 1
⎝⎜
⎠⎟
Esan ea baden angelurik, adierazitako arrazoi trigonometrikoen balio hauek har
ditzakeenik.
a) b) sinα=π c) sinα= d) tgα= 0,5
2
sinα=
5
3
2
a) Ez da posible (sin α>1). c) Posible da (sinα1). d) Posible da.
Arrazoitu ea baden berdintza hauek betetzen dituen α angelurik.
Kalkulatu α angeluaren arrazoi trigonometrikoak, jakinik tgα= sinα.
sinα
cosα
= = =
tgα
sin α+ cos α=
⎛
3
5 4
3 5
4
⎜ 3⎞
2 2
⎜
⎝⎜
5⎠⎟
+⎛
3
3
sinα = eta tgα
=
5
4
2 2
⎞
⎜ 4 25
⎜ = = 1
⎝⎜
5⎠⎟
25
Bai, arrazoi trigonometriko horiek dituen angelua dago.
sinα = tgα → cosα = 1 → sinα = 0 → tgα
= 0
Kalkulatu α angelu zorrotzaren arrazoi trigonometrikoak, jakinik sinα= 2 ⋅ cosα.
sinα = 2 · cosα
2 2 2 2 2
1= sin α+ cos α= 4 · cos α+
cos α= 5 · cos α → cosα
= 0,447
sinα
= 2 · 0,447= 0,894
2 · cosα
tgα
= = 2
cosα
cosα= sinαbada, kalkulatu angeluaren arrazoi trigonometrikoek, kontuan
hartuta α angelu zorrotza dela.
sinα = cosα
2 2
2 2 2 2 2
1= sin α+ cos α= cos α+ cos α=
2 · cos α → cosα
=
2
sinα
sinα = tgα
= = 1
2
cosα
2
2

045
●
046
●
047
●
Kalkulatu adierazpen balioak.
a) sin 60°+sin 30°− tg 30°
b) sin 2 45°+cos 2 60°− sin 2 30°
c) tg 60°− tg 30°
d) cos 60°⋅ cos 30°+sin 60°⋅ sin 30°
3 1 3
a) sin 60° + sin 30° − tg 30° = + − =
2 2 3
2 2 2 1 1 1 1
b) sin 45° + cos 60° − sin 30° = + − =
2 4 4 2
3
c) tg 60° − tg 30° = 3−
=
3
d) cos 60° · cos 30° + sin 60° · sin 30° = ·
1
2
Arrazoitu ea zuzenak diren berdintzak.
a) sin2 30°+cos2 1
60°=
2
b) 3 ⋅ tg 30°=tg 60°
c) sin 45°+cos 45°=4
d) cos 30°+sin 60°=tg 30°
2 2 1 1 1
a) Zuzena: sin 30° + cos 60°
= + =
4 4 2
3
b) Zuzena: 3 · tg 30° = 3 · = 3 = tg 60°
3
2 2
c) Okerra: sin 45° + cos 45° = + =
2 2
3 3
d) Okerra: cos 30° + sin 60° = + = 3 tg 30°
2 2
ERANTZUNAK
Egiaztatu sin 2 a + cos 2 a = 1 erlazioa betetzen dela, a-ren balio hauetarako:
a) 30° b) 60° c) 45°
2 2 1 3
a) sin 30° + cos 30° = + = 1
4 4
2 2 3 1
b) sin 60° + cos 60° = + = 1
4 4
2 2 1 1
c) sin 45° + cos 45° = + = 1
2 2
2
2 3
3
3
2
3 1
+ · =
2 2
2 4 2
3+ 3
6
3
2
7
223

224
Trigonometria
048
●●
049
●
050
●●
Kalkulatu x aldearen balioa Pitagorasen teorema aplikatu gabe.
a) b)
x
a) 60º-ko angelu berdinak dituen triangelu isoszelea da, eta hirugarren
angelua ere 60º-koa da; beraz, aldeberdina da eta hiru aldeak 20 cm luze
dira.
Kalkulatu angelu baten arrazoi trigonometrikoak P puntuak koordenatu hauek
baditu. Adierazi zer angelu den kasu bakoitzean.
a) P R
Y
1
Q
1 ⎛ 3⎞
⎜ ,−
⎝⎜
2 2 ⎠⎟
⎛ 2
b) Q
⎜ ,
⎝⎜
2
⎛
c) R−
⎜
⎝⎜
20 cm
Angeluak 133°
7π
rad
4
4 rad
Sinua + − −
Kosinua − + −
Tangentea − − +
3 1⎞
,
⎟
2 2⎠⎟
a) sinα
=−
3
2
cosα
=
1
2
tgα
=
2⎞
⎟
2 ⎠⎟
60°
3
x
Marraztu angelu hauek zirkunferentzia goniometrikoan, eta esan zein den arrazoi
trigonometrikoen zeinua.
a) 340° b) 256° c) rad d) 133° e) rad f) 4 rad
133°
π
3 rad
Angeluak 340° 256°
π
3 rad
π
3
7π
4
Sinua − − +
Kosinua + − +
Tangentea − + +
b) sinα
=
cosα
=
tgα
= 1
30°
3
2 4 3
b) = cos 30° = → x=
cm
2
x 3
2
2
2
2
x α x
2 cm
−1
4 rad
2
256°
−1
1
c) sinα
=
2
cosα
=−
tgα
=
3
3
P
3
2
1
340°
7π
rad
4
X

051
●●
052
●●
053
●●
Marraztu angelu hauek 4 cm-ko erradioa duen zirkunferentzia batean.
Neurtu eta kalkulatu arrazoi trigonometrikoak eta adierazi erradioa 4 cm luze
izatea garrantzitsua den.
a) 70° b) 180° c) 125° d) 320°
70°
180°
a) sin 70° = 0,94
cos 70° = 0,34
tg 70° = 2,75
b) sin 180° = 0
cos 180° =− 1
tg 180° = 0
Ez da garrantzitsua erradioa 4 cm luze izatea.
Kalkulatu falta diren arrazoi trigonometrikoak.
4
a) cosα =− , non 180° < α<
270°
7
1
b) sinα = , non 0° < α<
90°
3
1
c) cosα =− , non 90° < α<
180°
3
2
d) senα =− , para 270° < α<
360°
5
a) sinα
=−
33
7
tgα
=
33
4
b) cosα
=
2 2
3
tgα
=
2
4
Adierazi zer angelutarako diren zuzenak berdintza hauek.
a) cos α= sinα b) tgα= sinα c) cosα= 3 ⋅ sinα
a) α= 45° ± n · 180°
125°
c) sin 125° = 0,82
cos 125° =− 0,57
tg 125° =− 1,43
d) sin 320° =− 0,64
cos 320° = 0,77
tg 320° =− 0,84
2 2
c) sinα
=
3
tgα
= 2 2
d) cosα
=
21
5
tgα
=
2 21
21
b) α=±n · 180°
ERANTZUNAK
c) α= 18° 26' 6"
7
320°
225

226
Trigonometria
054
●●
055
●
056
●
057
●
058
●
Zenbat angeluk dute angelu jakin baten sinu bera?
Infinitu angelu; bi angelu zirkunferentzia-bira bakoitzeko.
Adierazi zer zeinu duten angelu hauen arrazoi trigonometrikoek,
eta adierazi zer koadrantetan dauden.
a) 140° b) 653° c) 50° d) 470° e) 9° f) 1.111°
140° 653° 50° 470° 9° 1.111°
sin + − + + + +
cos − + + − + +
tg − − + − + +
Esan berdintza hauek zuzenak ala okerrak diren, eta arrazoitu erantzuna.
a) cos 390°=sin 60° d) cos 850°=−cos 50°
b) sin 405°=cos 45° e) tg 7.200°=cos 90°
c) sin 520°=cos 30° f) sin 120°=−sin 60°
a) Zuzena; cos 390°=cos (360°+30°) = cos 30°=sin 60°
b) Zuzena; sin 405°=sin (360°+45°) = cos 45°
c) Okerra; sin 520°=sin (360°+160°) = sin 160°=cos 70°
d) Zuzena; cos 850°=cos (2 ⋅ 360°+130°) = cos 130°=−cos 50°
e) Zuzena; tg 7.200°=tg 0°=cos 90°
f) Okerra; sin 120°=sin 60°
Kalkulatu angeluen arrazoi trigonometrikoak, eta laburtu lehen koadranteko
angeluen beste arrazoi ezagun batzuetara.
a) 210° b) 240° c) 315° d) 330°
1
a) sin 210° =− sin 30° =−
2
c) sin 315º =− sin 45º = −
2
2
cos 210° =− cos 30° =−
3
2
cos 315º = cos 45º
=
2
2
tg 210° = tg 30° =
3
3
tg 315º =− tg 45º =− 1
b) sin 240° =− sin 60° =−
3
2
1
d) sin 330º =− sin 30º = −
2
1
cos 240° =− cos 60° =−
2
cos 330º = cos 30º
=
3
2
tg 240° = tg 60° = 3 tg 330º =− tg 30º
=−
3
3
Kalkulatu angeluen arrazoi trigonometrikoak, eta laburtu lehen koadranteko
angeluen beste arrazoi ezagun batzuetara.
a) 390° b) 480° c) 585° d) 600° e) 690° f) 675°

059
●●
060
●●
a) sin 390° = sin 30°
=
1
2
d) sin 600° =− sin 60°
=−
3
2
cos 390° = cos 30°
=
3
2
1
cos 600° =− cos 60°
=−
2
tg
390° = tg 30°
=
3
3
tg 600° = tg 60° = 3
b) sin 480° = sin 60°
=
3
2
1
e) sin 690° =− sin 30°
=−
2
1
cos 480° =− cos 60°
=−
2
cos 690° = cos 30°
=
3
2
tg
480° =− tg 60° =− 3 tg 690° =− tg 30°
=−
3
3
c) sin 585° =− sin 45°
=−
2
2
cos 585° =− cos 45°
=−
tg 585° = tg 45° = 1
2
2
sin 20°=0,342 dela baldin badakigu, kalkulatu angelu hauen arrazoi
trigonometrikoak.
a) 110° b) 200° c) 340° d) 380°
a) sin 110° = cos 20°
= 0,94
cos 110° =− sin 20 ° =− 0,342
1
tg 110°
=− =− 2,747
tg 20°
b) sin 200° =− sin 20°
=− 0,342
cos 200° =− cos 20 ° =− 0,94
tg 200° = tg 20°
= 0,364
Laburtu angelu hauek 1. koadrantera.
a) 1.930° b) 375° c) 5.350° d) 999°
ERANTZUNAK
d) sin 380° = sin 20°
= 0,342
cos 380° = cos 20° = 0, 94
tg 380° = tg 20°
= 0,364
a) 1.930°=5 ⋅ 360°+130°
Bere arrazoi trigonometrikoak arrazoi hauen bidez kalkulatzen dira:
180°−130°=50°.
b) 375°=360°+15°
Bere arrazoi trigonometrikoak 15º-ko arrazoiarenak berak dira.
c) 5.350°=14 ⋅ 360°+310°
Bere arrazoi trigonometrikoak arrazoi hauen bidez kalkulatzen dira:
360°−310°=50°.
d) 999°=2 ⋅ 360°+279°
Bere arrazoi trigonometrikoak arrazoi hauen bidez kalkulatzen dira:
360°−279°=81°.
7
f) sin 675° =− sin 45°
=−
2
2
cos 675° = cos 45°
=
tg
675° =− tg 45° =− 1
2
2
c) sin 340° =− sin 20°
=− 0,342
cos 340° = cos 20° = 0,94
tg 340° =− tg 20°
=− 0,364
227

228
Trigonometria
061
●●
062
●●
063
●●
064
●●
sinα=−0,2 bada eta α 4. koadrantekoa bada, kalkulatu cosα eta tgα.
Baldin eta cosα=−0,5 bada, zer esan daiteke α angeluaz?
Esan daiteke α angelua bigarren edo hirugarren koadrantean dagoela
eta 180°±30° motako angelua dela.
3
sinα= bada eta α angelu zorrotza bada, kalkulatu kalkulagailua erabili gabe.
4
a) sin (90°−α)
b) cos (180°−α)
c) tgα
senα
3 7
c) tgα
= =
cosα
7
cos (180°−α) = − bada eta α lehen koadranteko angelua bada, kalkulatu.
1
3
a) sin α
sinα
=− 0,2
cosα
= 0,98
tgα
=− 0,205
cosα= 7
4
a) sin ( 90° − α) = cosα
=
b) cos (180° − α) =− cosα
=−
b) cos (90°−α)
c) tg (−α)
2 2
sin ( 180°−
α)
=
3
2 2
a) sinα = sin ( 180° − α)
=
3
2 2
b) cos ( 90° − α) = sinα = sin ( 180° − α)
=
3
c) tg ( − α) =− tgα = tg (180° − α) =− 2 2
7
4
7
4

065
●●
066
●●
067
●●
068
●●
069
●●
070
●
5
cosα= bada eta α angelu zorrotza bada, kalkulatu.
6
a) sin (90°+α) c) cos (−α)
b) cos (180°+α) d) sin (90°−α)
sinα=
5
a) sin ( 90° + α) = cosα
=
6
5
b) cos ( 180° + α) =− cosα=−
6
11
6
sin 42°=0,669 bada eta cos 42°=0,743; kalkulatu 48º-ren arrazoi
trigonometrikoak.
sin 48° = 0,743
cos 48°
= 0,669
tg 48°
= 1,111
sin 35°=0,574 dela baldin badakigu, kalkulatu 55º eta 145º-ren arrazoi
trigonometrikoak.
sin 55° = 0,819 sin 145°
= 0,574
cos 55° = 0,574
cos 145°
=− 0,819
tg 55° = 1,428 tg 145°
=− 0,7
cos 24°=0,914 bada, kalkulatu haren angelu osagarriaren arrazoi
trigonometrikoak.
sin 66° = 0,914
cos 66°
= 0,407
tg 66°
= 2,246
Kalkulatu 66º-ren arrazoi trigonometrikoak, cos 114°=−0,407 bada.
sin 66° = 0,914
cos 66°
= 0,407
tg 66°
= 2,246
Kalkulatu triangelu baten azalera, bi alde 10 cm eta 15 cm luze direla
eta haien artean dauden alde desberdinek 80º eta 70º dituztela baldin
badakigu.
Hirugarren angeluaren neurria hau da: 180°−80°−70°=30°.
30 · 20 · sin 30°
A=
=
2
2 150 cm
ERANTZUNAK
7
c) cos ( − α) = cosα
=
5
6
d) sin ( 90° − α) = cosα
=
5
6
229

230
Trigonometria
071
072
●●
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA TRIANGELU ISOSZELE BATEN AZALERA, ALDE BERDINAK
ETA ANGELU DESBERDINA JAKINIK?
Triangelu isoszele batek 5 cm-ko alde berdinak eta 30º-ko angelu desberdina ditu;
lortu azalera.
LEHENA. Angelu berdinen neurria kalkulatu behar da.
3 +α+α=180°
180° − 30°
α= = 75°
2
BIGARRENA. Altuera lortu behar da.
h
sin 75°
= → h= 5⋅ sin 75° = 4, 83cm
5
HIRUGARRENA. Oinarriaren luzera lortu behar da.
x
cos 75°
= → x= 5⋅ cos 75°
= 1,29 cm
5
Beraz, oinarriaren luzera: 1,29 ⋅ 2 = 2,58 cm
LAUGARRENA. Azalera kalkulatu behar da.
b h
A=
⋅ 2,58⋅ 4,83
= = 6,23 cm
2 2
Kalkulatu triangelu isoszele hauen azalera.
a) b)
8 cm
50° 50°
a) Triangeluaren oinarriari b, eta altuerari h esaten badiegu:
h = 8 sin 50°=6,13 cm; = 8 cos 50°=5,14 cm
Triangeluaren azalera hau da: A = = 5,14 6,13 = 31,5 cm2 b
2
b · h
.
2
2
b) h = 7 sin 45°=7 = 4,95 cm
2
b
2
= 7 cos 45°=7 = 4,95 cm
2
2
45° 45°
7 cm
Triangeluaren azalera hau da: A = = 4,95 4,95 = 24,5 cm2 b · h
.
2
2
α
30°
5 cm h 5 cm
α
x

073
●●
074
●●
075
●●
076
●●
Zenbat neurtuko dute triangelu angeluzuzen isoszele baten katetoek hipotenusa
10 cm luze bada?
Kateto bakoitzari x esango diegu, eta angelu zorrotzak 45º-koak direla jakinda:
x
2
cos 45°= → x = 10 cos 45°=10 = 5 2 cm
10
2
Kalkulatu 20 cm-ko aldea duen dekagono erregular baten apotemak zer balio
duen. Zein da bere azalera?
Dekagonoaren angelu nagusiaren neurria hau da: 360° : 10 = 36°.
⎛ 36°
⎞
tg⎜ 10
⎜ = tg 18° = a=
31,25 cm
⎝⎜
2 ⎠⎟
a
→
20⋅ 10⋅ 31, 25
A= = 3. 125 cm
2
2
Kalkulatu dekagono erregular eta oktogono erregular baten azalera, biek 6 cm
luze den aldea badute. Zein da handiagoa?
Dekagonoa:
Dekagonoaren angelu nagusiaren neurria hau da: 360° : 10 = 36°.
⎛ 36°
⎞
tg⎜ 3 6
⎜ = tg 18° = a= 9,37 cm A d=
⎝⎜
2 ⎠⎟
a
→
· a
2
· 10=
281,1 cm
2
Oktogonoa:
Oktogonoaren angelu nagusiaren neurria hau da: 360° : 8 = 45°.
⎛ 45°
⎞
tg⎜ 3
6 · a
⎜ = tg 22,5° = → a= 7,31 cm A o=
· 8=
175,44 cm
⎝⎜
2 ⎠⎟
a
2
Dekagonoak azalera handiagoa du.
Kalkulatu oktogono erregular honetan itzala duen azalera.
45°
α=
= 22° 30'
2
⎛ ⎞
⎜ 1
14 · ⎜14
·
⎝⎜
tgα⎠⎟
A=
2
α
2 = 236,59 cm
14 cm
ERANTZUNAK
7
2
231

232
Trigonometria
077
078
●●
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA TRAPEZIO ANGELUZUZEN BATEN AZALERA ETA PERIMETROA?
Kalkulatu trapezio angeluzuzenaren azalera.
LEHENA. Oinarrien neurriak kalkulatu behar dira.
b
tg 60°
=
75
b= 75⋅ tg 60° = 75⋅ 3 = 129,9 cm
B
tg 7 0°
=
75
B= 75⋅ tg 70° = 75⋅
2,75= 206,25 cm
BIGARRENA. Azalera kalkulatu behar da.
B+ b 206,25+ 129,9
A=
⋅ h=
⋅ 75=
12.605,625 cm
2 2
2
Kalkulatu trapezio angeluzuzen honen azalera eta perimetroa.
B= 60 · tg 75° = 223,92 cm
b= 60 · tg 55°
= 85,69 cm
2 2
c= 60 + ( 223,92− 85,69) = 150,69 cm
Azalera da:
75 cm
60 cm
75°
55°
70°
60°
223,92+ 85,69
A=
· 60=
9.288,3 cm
2
Perimetroa
da:
P= 223,92+ 85,69+ 60+
150,69= 520,3 cm
b
b
B
B
2
c

079
●●
080
●●
081
●●
082
●●
Zein da zuhaitzaren garaiera?
h=0,5 + 20 ⋅ tg 60°=0,5 + 34,64 = 35,14 m
Zuhaitza 35,14 metro garai da.
Kalkulatu dorrearen altuera.
h, dorrearen altuera bada, hau lortuko dugu:
h
tg 45° = h= 25 · tg 45° = 25 · 1= 25 m
25 →
Dorrea 25 m altu da.
45°
G F
25 m
Zer distantziatara nago 50 m altu den eraikin batetik altuen dagoen zatiari
60ºko angeluarekin begiratzen badiot?
d, eraikinetik nagoen distantzia bada:
50 50° 50
tg 60° = → d=
= = 28,87 m
d tg 60° 3
Kometa bat 100 m-ko hari batez lotuta dago lurrera,
eta lurraren horizontalarekiko 60º-ko angelu bat osatzen du.
Haria erabat luzatuta badago, kalkulatu kometa zer altuerara dagoen.
60°
20 m
3
h= 100 · sen 60° = 100 · = 50 3 m
2
h
50 cm
ERANTZUNAK
7
233

234
Trigonometria
083
●●
084
●●
085
●●
086
●●
Txalupa bat kaira lotuta dago 25 m-ko unama batez, eta ertzeko
horizontalarekiko 30º-ko angelu bat osatzen du. Unama erabat
luzatuta badago, kalkulatu kometa zer distantziara dagoen ertza.
Distantzia = 25 · sin 30°=12,5 m
Kalkulatu zer sakonera duen 2 m zabal den putzuak, hondoaren aurkako ertza
30º-ko angeluarekin ikusten badugu.
d, putzuaren sakonera bada:
2
tg 30° =
d
2 2
→ d=
=
tg 30° 3
3
6
= = 3,46 m
3
Putzua 3,46 m sakon da.
Kalkulatu 5 cm-ko erradioa duen zirkunferentzia batean inskribatutako
pentagono erregular baten forma duen logotipoaren azalera.
Angelu nagusia 72º-koa da eta haren erdia 36º da.
a= 5 · cos 36° = 4,05 cm
x= 5 · sin 36°
= 2,94 cm
b=
2x=
5,88 cm
4,05 · 5,88
A=
= 11,91 cm
2
Itsasontzi batetik itsasargi baten argia ikusten dugu, 20º-ko inklinazioarekin,
eta norabide horretatik 18 km ibili eta gero 30º-ko angeluarekin ikusten da.
Zer distantziara gaude itsasargitik?
x · tg 30° = h⎫
⎬
⎪ → x⋅0,58 = (x+18) ⋅ 0,36
( x+ 18)
· tg 20° = h⎭⎪
→ 0,22x=6,48 → x=29,45 km
Distantzia hau da: 18 + 29,45 = 47,45 km.
2
2 m
30°
5
x
a

087
●●
088
●●
Kalkulatu zenbat txapa beharko den oktogono-formako STOP seinale
bat egiteko, markatutako diagonala 1,25 m luze dela badakigu.
Seinale hau egiteko behar den txapa kopurua 1,25 : 2 = 0,625 m-ko erradioa
duen zirkunferentzia batean inskribatutako oktogono erregular baten
azaleraren baliokidea da.
Oktogonoa 8 triangelu isoszele berdinetan zatituko dugu. Triangelu isoszele
bakoitzaren angelu desberdina 360° : 8 = 45°-ko angelua da.
A $ eta B $ esaten badiegu beste bi angeluei, hau lortuko dugu:
→ A$ A 180° – 45°
= = 67,5°
2
$ = B $
A $ + B $ + 45°=180°
h, triangeluaren altuera bada, eta b, oinarria:
h = 0,625 sin 67,5°=0,58 m
= 0,625 cos 67,5°=0,24 m
A = = 0,24 ⋅ 0,58 = 0,14 m 2 → AOsoa=0,14 ⋅ 8 = 1,1 m 2
b
2
b · h
2
Itsas mailatik 32 m-ra dagoen labar batetik bi itsasontzi ikusten dira.
Kalkulatu zer distantziara dauden angeluak 30º eta 60º-koak badira hurrenez
hurren.
60°
x eta y grafikoan adierazitako distantziak badira.
x
tg 30°= → x = 32 tg 30°=18,48 m
32
y
tg 60°= → y = 32 tg 60°=55,43 m
32
Itsasontzien arteko distantzia hau da: 55,43 − 18,48 = 36,95 m.
30°
32 m
ERANTZUNAK
7
235

236
Trigonometria
089
●●
090
●●
091
●●
Lurreko puntu jakin batetik dorre baten goiko zatia ikusten da, eta 30º-ko
angelua osatzen du horizontalarekiko. Dorrearen oinera 75 m hurbiltzen bada,
angelu hori 60º-koa da. Kalkulatu dorrearen altuera.
h, dorrearen altuerari esaten badiogu, eta x, dorreko oinera dagoen distantziari:
x⋅tg 30°=h
→ x tg 30°= (x 75) tg 60°
(x−75) ⋅ tg 60°=h
→ x tg 30° x tg 60°=75 tg 60°
– 129,75
→ x (tg 30° tg 60°)=75 1,73 → x= = 112,53 m
0,57 – 1,73
h=xtg 30°= 112,53 0,57 = 64,14 m. Dorrea 64,14 m altu da.
Hondartzatik bi itsasontzi ikusten dira. Kalkulatu zer distantzia dagoen hauen
artean adierazitako angeluekin.
d, itsasontzien artean dagoen distantzia bada.
b eta B-ren neurria kalkulatuko dugu.
tg 50°= → b = 20 tg 50°=23,84 m
tg 60°= → B = 20 tg 60°=20 = 34,64 m
Pitagoras-en teorema erabiliz:
d 2 = 20 2 + (34,64 − 23,84) 2 b
20
B
3
20
= 516,64 → d = 516,64 = 22,73 m
Hortaz, bi ontzien arteko distantzia 22,73 m dira.
Mendi baten gailurretik, 1.114 m-ko altueran, itsas mailatik 537 m-ko altuerara
dagoen haran batean dauden herrixka bat eta granja bat ikusten ditugu.
Herrixkari 68º-rekin begiratzen badiogu, eta granjari 83º-ko batekin:
a) Bi lekuetatik zein dago menditik hurbilen?
b
60° 50°
20 m
b) Mendia, herrixka eta granja lerrokatuta badaude, kalkulatu zer distantzia
dagoen herrixkaren eta granjaren artean.
a) Hurbilago dago gradu txikiagoarekin ikusten den lekua; hots, herrixka.
Herrixkara dagoen distantzia hau da: (1.114 − 537) · tg 68°=1.428,13 m.
b) Granjara dagoen distantzia hau da: (1.114 − 537) · tg 83°=4.699,29 m.
Herrixkaren eta granjaren arteko distantzia hau da:
4.699,29 − 1.428,13 = 3.271,16 m.
B

092
●●
093
●●
Hegazkin baten pilotuak 30º-ko
beherapen-angeluarekin ikusten
du lurreko puntu bat. Hamazortzi
segundo beranduago, beherapenangelua
55º-koa da. Horizontalki
hegaz egiten badu eta 400
milia/h-ko abiaduran, kalkulatu
zer altitudera egin duen hegaldia.
18
Hegazkinak egindako distantzia hau da: 400 · = 20 milia.
3.600
x · tg 55° = h⎫
⎬
⎪ → x · 1,43= ( x+
20)
· 0,58
( x+ 20)
· tg 30º
= h⎭⎪
→ 0,85 x=
11,6 → x=
13,65 milia
h = 13,65 · 1,43= 19,52 milia.
Hegaldiaren altitudea 19,52 miliakoa da.
Itsas mailatik 50 m-ra dagoen
labar batean bi lagun daude.
Batek itsasontzi bat ikusten
du 60º-ko beherapenangeluarekin,
eta besteak,
itsasontziaren gainean dagoen
hegazkin bat ikusten du,
45º-ko gorapen-angeluarekin.
a) Zer distantziara dago itsasontzia kostaldetik?
b) Zer altueran egiten ari da hegaz hegazkina?
c) Bi elementuetatik zein dago urrunen?
A
20 milia
30° C
x
55°
ERANTZUNAK
a) d, itsasontzia kostaldetik dagoen distantziari esaten badiogu:
d
tg 30°= → d = 50 tg 30°=50
50
Itsasontzia 28,87 m-ra dago kostaldetik.
3
3
= 28,87 m
b) Kontuan hartzen badugu hegazkina itsasontziaren gainean dagoela, hau
lortuko dugu:
h
tg 45°= → h = 28,87 tg 45°=28,87 m
28,87
Hegazkina altuera honetara hegaz egiten ari da: 50 + 28,87=78,87 m-ko
altuerara itsasoaren mailarekiko.
c) d1 , itsasontzia dagoen distantzia bada, eta d2, hegazkinarena:
50
d1= = 50
cos 30°
2
3
= 57,7 m
28, 87 28, 87 28, 87
sin 45°= → d 2= = = 40,8 m
d2
sin 45° 2
2
Hortaz, itsasontzia urrunago dago lagunengandik hegazkinetik baino.
50 m
60°
45°
h
7
237

238
Trigonometria
094
●●
095
●●
096
●●
A eta B herriak iparraldetik hegoalderantz
doan errepide batean kokatuta daude.
Beste herri bat, C, 10 kilometrotara dago
lerro zuzenean aurreko errepidetik, eta A-tik
20º-ra dago hego-ekialdetik, eta B-tik,
30º-ra hego-ekialdetik.
Zer distantzia dago A eta B-ren artean?
10
AP=
= 27,47 km
tg 20°
10
BP=
= 17,32
km
tg 30º
AB= AP−
BP=
10,15 km
Trapezio-formako lur baten azalera 1.200 m2-koa da. 45 graduko bi angelu
dituela eta oinarri txikia 65 m luze dela baldin badakigu, kalkulatu oinarri
handia eta zer distantzia dagoen oinarrien artean.
h
tg 45°=
→ x= h
x
65+ ( 65+ 2x)
x= h 2
· h= 1. 200 ⎯⎯→ h + 65h− 1. 200= 0
2
⎧h=
15
→⎨
⎪
⎩⎪ h=−
80 (ebazpena ez da baliozkoa)
B= 65+ 2x=
5 m
Oinarri handia 95 m luze da, eta oinarrien arteko distantzia 15 m-koa da.
Zenbat diru lortuko da partzela hau saltzeagatik, 300 €/m 2 ordaintzen badira?
h
45°
x 65 cm
x
120 m
40°
50 m
h
45°
120 · ( 50 · sin 40°
)
A=
= 1.928,36 m
2
Prezioa=
B
P
G
A
30°
20°
10 km
1.928,36 · 300= 578.508 €
C
2

097
●●
098
●●
099
●●
Kalkulatu lur honen azalera.
BAC = 33° 45'
CAD = 24° 13'
DAE = 42° 15'
EAF = 33° 41'
220 · 245 · sin 33° 45'
2
A BAC=
= 14.972,62 m
2
232 · 245 · sin 24° 13'
2
A CAD=
= 11.657,55 m
2
142 · 232 · sin 42° 15'
2
A DAE=
= 11.698,17 m
2
151 · 142 · sin 33° 41'
2
AEAF
= = 5.945,9 m
2
A= ABAC+ ACAD+ ADAE+ AEAF
= 44.274,24 m2 Kalkulagailua erabili gabe, ordenatu txikienetik handienera.
a) cos 24° sin 113° cos 292° b) tg 242° 1,70
a) cos 24°
sin 113° = sin ( 90° + 23° ) = cos 23°
cos 292° = cos ( 360° − 68° ) = cos 68°
Angelu zorrotzetan
angelua zenbat eta handiagoa izan kosinua
orduan eta txikiagoa izango da.
cos 292° < sin 113° < cos 24°
b) tg 242° = tg ( 180° + 62° ) = tg 62°
tg 60° = 3 > 1,70
Angelu zorrotzetan angelua zenbat eta handiagoa izan tangentea orduan
eta handiagoa izango da.
1,70 < tg 62°
Triangelu baten aldeak 15 cm eta 20 cm luze dira.
a) Zein da triangelu honek izan dezakeen gehienezko azalera? Zergatik?
b) Zer motatako triangelua da kasu honetan?
a) Triangelu baten azalera hau da:
A=
a · b · sinα
sinα≤
1 a · b
⎯⎯⎯⎯→ A≤
2 2
15 · 20
A≤
2
= 150
Har dezakeen baliorik handiena 150 cm 2 izango da, sinua 1 bada.
b) Baliorik handiena ematen da sinua 1 denean; hots, angelua 90º-koa bada.
Beraz, triangelu aldeberdina da.
F
ERANTZUNAK
151 m
142 m
E
232 m
A
D
245 m
220 m
B
7
C
239