Materi Kuliah Logika - Simplifikasi dan Falsifikasi - Staff UNY

LOGIKA LOGIKA
Ratna Wardani

Bahasan Bahasan
Operasi Operasi Penyederhanaan
Falsifikasi
Falsifikasi

Penyederhanaan
Penyederhanaan Penyederhanaan dilakukan menggunakan
hukum-hukum logika
Proses Proses penyederhanaan akan berhenti
pada bentuk ekspresi logika yang paling
sederhana dan tidak mungkin
disederhanakan lagi
Perangkai Perangkai ⇒ dan ⇔ dapat diganti
dengan perangkai dasar ∧, ∨ dan ¬

( A
∧ ¬ B)
∨ ( A ∧ B ∧ C)
≡
≡
≡
≡
≡
( A ∧ ¬ B)
∨ ( A ∧ ( B ∧ C)
)
A ∧
A ∧
A ∧
A ∧
( ¬ B ∨ ( B ∧ C)
)
Example Example #1 #1
( ( ¬ B ∨ B)
∧ ( ¬ B ∨ C)
)
( 1∧
( ¬ B ∨ C)
)
( ¬ B ∨ C)
Asosiatif
Distributif
Distributif
Tautologi
Identitas∧

Soal Soal
Sederhanakan ekspresi logika berikut :
1.
2.
3.
4.
5.
A
¬
∧
( ¬ A → A)
( ¬ A ∧ ( B ∨ ¬ B)
)
¬ A
→
¬
( A → ¬ B)
( A → B)
→ ( ( A → ¬ B)
→ ¬ A)
( A → ( B ∨ ¬ C)
) ∧ ¬ A ∧ B

Falsifikasi Falsifikasi
dengan menggunakan aturan if-then maka antecedent
(not p) or (not q) dan consequent {not(p and q)} masingmasing
haruslah bernilai true dan false yaitu :
Selanjutnya dari benarnya (not p) or (not q) kita tak
dapat menyimpulkan tentang (not p) maupun (not q)
sehingga kita beralih ke salahnya not(p and q) ; karena
not ( p and q)= false maka (p and q), dengan aturan not,
bernilai true , seterusnya p and q berarti, dengan aturan
and p dan q harus bernilai true, didapat :

Falsifikasi Falsifikasi
Dari label terlihat bahwa p pada antecedent bernilai
true, jadi (not p) bernilai false; begitu pula untuk (not
q) akan bernilai false. Kesimpulan dari ini semua
adalah antecedent, dengan aturan or, bernilai false.
Tetapi disepan dikatakan bahwa antecedent bernilai
true, sehingga terjadi kontradiksi ( t f ) yang berarti
pengandaian bahwa kalimat salah adalah tidak benar,
ini dapat disimpulkan bahwa kalimat E bernilai true
yaitu kalimat valid.

Example Example
E : if {(not p) or (not q)} then {not(p and q)}
f
E : if {(not p) or (not q)} then {not(p and q)}
f t f
E : if {(not p) or (not q)} then {not( p and q)}
f t t t f t t
( E : if {(not p) or (not q)} then {not( p and q)} )
f f t tf f t f t t

Example Example
( E : if {(not p) or (not q)} then {not( p and q)} )
f f t t f f t f t t
Jadi dari pengandaian ketidak-benarnya kalimat
E, mengakibatkan terjadi t f , yaitu true sekaligus
false yg berarti ada kontradiksi sehingga
pengandaian diatas (bahwa kalimat E false)
dicabut, yang berarti kalimat E true

Soal Soal
1. Apakah kalimat dibawah ini valid atau tak valid :
G : if {if(not p) then q}
then {if (not q) then p } and (p or q)
2. Apakah kalimat/formula dibawah ini tautologi :
( a ) (p ∧ q) → p ; (b) (p ∧ q) → q
( c ) (p ∧ ( p → q)) ⇒ q ; (d) ∼(∼p) ↔ p
( e ) (p↔q)↔((p→q)∧(q→p) ; (f) (p ∨ (∼p) ↔ (q ∨ (∼q))
3. Buktikan bahwa : p → (q → r) ↔ (p∧q) → r ; dengan
tidak menggunakan tabelkebenaran
4. Seperti diatas untuk : (∼p ∧(∼q ∧ r)) ∨ (q∧r)∨(p∧r)↔r

Soal Soal
Tunjukan bahwa nilai kebenaran rumusan pernyata an
berikut ini tak tergantung pada komponen-kom
ponennya :
a. (p ∧ (p → b. (p →q) ↔ (∼p∨ q)
c. ((p → q) ∧ (q → r)) → (p →r)
2. Buktikan ekuivalensi berikut ini tanpa menggunakan
tabel kebenaran .
a) p→(q∨r) ≅ (p→q) ∨ (p→r) ;
b) (p ↔ q) ≅ (p ∧ q) ∨ (∼p ∨ ∼q)
c) ∼(p ↔ q) ≅ (p ∧ (∼q)) ∨ (∼p ∧ q)
Buktikan soal nomor 2 diatas dng tabel kebenaran.
Tunjukan rumusan ini merupakan tautologi :
a) (p ∧ q) → (p → q); b) p → (q → p) ;

Pohon Pohon Semantik Semantik -1 -1
1. Andaikan ingin membuktikan validitas kalimat :
G : if ( If p then q)
then (if (not p) then (not q))
p memp. dua kemungkinan nilai yaitu true dan false :
1
p=true p = false
2
dari kalimat G : if (if p then q) then ( if (not p) then (not q))
t t
3

Pohon Pohon Semantik Semantik -2 -2
kalimat G : if (if p then q) then ( if (not p) then (not q))
t f t
subkalimat G : ( if (not p) then (not q))
f t
kalimat G : if (if p then q) then ( if (not p) then (not q))
t t t f t
p=true
2
t (true)
1
3
p=false

Pohon Pohon Semantik Semantik -3 -3
Kalimat P: if (if p then q) then (if (not p) then(not q))
f f
Kalimat G : if (if p then q) then ( if (not p) then (not q))
t f t f
t (true)
p=true
2
1
p=false
3
q=true q=false
4
5

Perhatikan pada Node 4
p=true
t (true)
2
q=true
Pohon Pohon Semantik Semantik -4 -4
1
4
p=false
f (false) t (true)
3
q=false
5

Pohon Pohon Semantik Semantik -5 -5
q=true q = false
kalimat H : if q then ( if p then q ).
t ? t
kalimat H : if q then ( if p then q ).
t t t ? t
2
1
3

Pohon Pohon Semantik Semantik -6 -6
q=true q=false
t (true)
2
2
t (true)
1
kalimat H : if q then ( if p then q ).
t f ? ? f
q=true
1
3
q=false
3
t (true)