kombinatorik C.pdf - Elearning SMA 1 Kudus

KOMBINATORIKA
Erwin Harahap
Disampaikan pada acara Sosialisasi
OLIMPIADE MATEMATIKA, FISIKA, DAN KIMIA 2011
KOPERTIS WILAYAH IV JAWA BARAT
Jatinangor- Bandung, 22 Maret 2011
1

KEMENTRIAN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN TINGGI
DIREKTORAT PEMBELAJARAN DAN KEMAHASISWAAN
2011
2

Materi Olimpiade Matematika
5

Jenis Tes/Soal
6

Content
• Koefisien Binomial
• Pohon
• The Marriage Theorem
• Pigeonhole Principle
• Inklusi-Eksklusi
• Paritas
• Eulerian / Hamiltonian
• Rekuren
7

Koefisien Binomial
Jika a dan b adalah bilangan real dan n adalah
bilangan bulat positif, maka :
(
a
b)
n
k
Materi terkait:
Prinsip penjumlahan, perkalian, Permutasi,
kombinasi, permutasi dan kombinasi dengan
pengulangan
n
0
C(
n,
k)
a
n
k
b
k
8

Pohon (tree)
• Pohon (tree) adalah Suatu graf terhubung yang setiap
pasangan simpulnya hanya dapat dihubungkan oleh
satu lintasan tertentu
• Pohon merupakan graf tak-berarah yang terhubung
dan tidak memiliki siklus maupun sirkuit.
9

The Marriage Theorem
• Jika S adalah suatu himpunan simpul di G,
misal d(S) adalah sejumlah titik di G yang
berpasangan dengan paling sedikit satu
anggota S
• Pengertian tentang teorema ini lebih
mengarah kepada graf bipartisi (bipartite)
10

The Marriage Theorem (lanjutan)
• Graf bipartisi (bipartite graph) adalah graf yang
himpunan titiknya dapat dipisahkan menjadi dua
himpunan tak kosong X dan Y sehingga masingmasing
sisi di graf tersebut menghubungkan satu
titik di X dan satu titik di Y
11

Pigeonhole Principle
• Jika k buah benda ditempatkan pada k buah
kotak, maka akan terdapat paling sedikit 2
buah benda pada satu kotak
• Akan terdapat paling sedikit 2 sarung tangan
pada tangan yang sama dari 3 buah sarung
tangan
12

Pigeonhole Principle (lanjutan)
Jika n merpati (pigeon) dimasukkan kedalam m kandang
(hole) dimana n>m , maka akan terdapat paling sedikit
satu kandang berisi lebih dari satu merpati
13

Pigeonhole Principle : Soal 1
Paling sedikit dalam berapa kali pelemparan dari
sebuah dadu agar dapat dijamin angka yang
sama akan muncul 2 kali ?
14

Pigeonhole Principle : Jawab 1
Paling sedikit 7 kali pelemparan
15

Pigeonhole Principle : Soal 2
Misalkan P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 adalah lima titik latis
berbeda pada suatu bidang cartesius.
Buktikan bahwa terdapat sepasang titik (P i, P j),
i ≠ j, sedemikian sehingga ruas garis P i P j akan
memuat titik latis selain P i dan P j.
16

Pigeonhole Principle : Jawab 2
Misalkan 2 titik yang merupakan bagian dari P n
titik tersebut adalah
( x1,
y1)
dan ( x2,
y2)
Maka koordinat titik tengahnya adalah :
1
(( x
2
1
x
2
), ( y
1
y
2
))
17

Pigeonhole Principle : Jawab 2
(lanjutan)
Dikarenakan koordinat titik tengah tersebut
merupakan bilangan bulat maka
( x1
x2)
dan ( y1
y2)
adalah genap jika dan hanya jika paritas x 1 dan
x 2 sama, serta paritas y 1 dan y 2 sama.
18

Pigeonhole Principle : Jawab 2
(lanjutan)
4 Paritas titik yang mungkin :
(genap, genap), (genap, ganjil)
(ganjil, genap), (ganjil, ganjil)
Maka menurut pigeonhole principle, jika
terdapat 5 titik latis berbeda (P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 ),
maka dua titik diantaranya memiliki paritas yang
sama, dan memuat titik latis selain P n
19

Prinsip Inklusi-Eksklusi
Untuk mencacah banyaknya unsur di dalam A∪B, kita
dapat melakukannya dengan mencacah banyaknya unsur
himpunan A dan himpunan B − A dan kemudian
menjumlahkannya
|A B| =|A| + |B| -|A B|
20

Inklusi Eksklusi : Soal 1
Tentukan banyaknya bilangan bulat dari 1 s/d
1000 yang habis dibagi 3 atau 5
21

Inklusi Eksklusi : Jawab 1
|A| habis dibagi 3 333
|B| habis dibagi 5 200
|A B| habis dibagi 3*5 66
Total :
|A B| =|A| + |B| -|A B|
= 333 + 200 - 66
= 467
22

Inklusi Eksklusi : Soal 2
Tentukan banyaknya bilangan bulat dari 1 s/d
1000 yang tidak habis dibagi 3 dan
tidak habis dibagi 5
23

Inklusi Eksklusi : Jawab 1 (lanjutan)
Hukum de Morgan :
|(A B)’| =|S| -|A B|
= 1000 - 467
= 533
(A’ B’)= (A B)’
24

Eulerian / Hamiltonian
• Misal G suatu graf. LIntasan Euler pada G
adalah lintasan yang memuat setiap sisi di G.
• Graf G di sebut graf Euler (Eulerian) jika G
memuat lintasan Euler yang tertutup
• Sirkuit Hamilton G adalah sirkuit yang memuat
setiap titik di G
• Graf G di sebut Graph Hamilton (Hamiltonian)
jika G memuat sirkuit Hamilton
25

Eulerian / Hamiltonian (lanjutan)
26

Rekuren
• Persamaan rekurensi adalah persamaan yang
menentukan nilai suku x n dalam fungsi dari
suku-suku sebelumnya, yaitu x n-1 , x n-2 , ...
• Persamaan rekurensi berbentuk
• Fungsi karakteristik
27

Rekuren : Soal 1
Barisan a 1, a 2, . . . didefinisikan dengan
Dan
a 1 = 1, a 2 = 1,
Tentukan bentuk eksplisit dari a n
28

Barisan
Rekuren : Jawab Soal 1
Persamaan karakteristik :
Difaktorkan menjadi :
Bentuk umum :
29

Rekuren : Jawab Soal 1 (lanjutan)
c
2
1)
1
1
a1 = 1 1 2
2
2
a2 = 1 c 2 c ( 1)
1
1
c
2
(
Dengan demikian, bentuk umum a n :
1
2c1 c2
4c1 c2
1
1
Untuk n = 1,2,3, …
Eliminasi
30

Barisan a 1, a 2, . . .
dimana
a1
Tentukan bentuk umum
Rekuren : Soal 2
1
a
n
an
2an 1
31

Rekuren : Jawab Soal 2
Persamaan karakteristik :
a a x 2 0
n
2 n
Bentuk umum :
1
a 1 maka c 2
1
1
a c2
n
1
Dgn demikian : 2 untuk n = 1,2,3, …
n
a
n
n
32

Sekian dan
Terima kasih
erwin2h@yahoo.com
http://erwin2h.wordpress.com
33