Bab-9-Kalkulus-2A

Barisan Tak Hingga 

Deret Tak Hingga 

Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku Positif 

Deret Berganti Tanda 

Deret Pangkat 

Deret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi 

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) 

Bab 9: Deret Tak Hingga 

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. 

“Do maths and you see the world” 


MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga





Deret Pangkat 



Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Barisan adalah fungsi dengan daerah asal (domain) bilangan asli, 

f : N → R, 

yang mana f (n) = a n , dikenal sebagai barisan bilangan real {a n }; 

a n disebut sebagai suku ke-n atau rumus umum suatu barisan. 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Contoh: 

atau 

a n = 1 n , 

{1, 1 2 , 1 3 , . . .} 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Diskusi: 

Mungkinkah ada rumus suku ke-n yang lain yang memberikan 

beberapa suku pertama barisan yang sama dengan diatas 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Jawab: Ada! 

a 1 = 1; a n+1 = 

a n 

1 + a n 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Perhatikan bahwa “rumus suku ke-n suatu barisan” tidak tunggal. 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Contoh: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan berikut: 

1 {1, −1, 1, −1, . . .} 

2 { 8 2 , 5 2 , 4 2 , . . .} 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Solusi: 

1 a n = (−1) n+1 ; a n = sin (n − 1 2 )π 

2 a n = 1 + 3 n ; a n = 1 2 n2 − 3n + 13 2 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Apa (lagi) yang bisa kita lakukan terhadap suatu barisan 

Jawab: menyelidiki... 

ke-monoton-an 

ke-terbatas-an 

ke-konvergen-an 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Ilustrasi: 

Selidiki kemonotonan barisan 

1 a n = n+1 

2n 

2 a n = (−1)n 

n 

3 a n = n! 

2 n 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Untuk no 1, suku-suku barisannya adalah 

1, 3 4 , 2 3 , 5 8 , 3 5 , . . . 

yang cenderung mengecil (turun). Kita menduga bahwa barisan 

{a n } monoton turun. 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Apabila kita perhatikan secara teoritis rasio rumus suku ke-n + 1 

dan ke-n, 

a n+1 

= n2 + 2n 

a n n 2 < 1, ∀n ∈ N, 

+ 2n + 1 

maka a n+1 < a n , ∀n ∈ N. Sehingga {a n } merupakan barisan 

monoton turun. 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Definisi: 

Barisan bilang real {a n } dikatakan monoton turun, jika untuk 

setiap n ∈ N, a n+1 < a n . 

(bagaimana definisi untuk barisan monoton tidak turun, naik, tidak 

naik barisan tidak monoton) 







Deret Pangkat 


Kekonvergenan 

Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Definisi: 

Barisan bilang real {a n } dikatakan konvergen ke a ∈ R, jika 

lim a n = a. 

n→∞ 

Barisan {a n } yang tidak punya limit dikatakan divergen; limit 

barisannya ∞, −∞, atau beroskilasi. 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Contoh: 

Barisan a n = n+1 

2n 

konvergen ke 1 2 karena 

lim 

n→∞ 

n + 1 

2n = 1 2 . 

Sedangkan barisan a n = (−1) n divergen karena 

tidak ada (beroskilasi). 

lim 

n→∞ (−1)n 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Dapatkah anda menyelidiki kekonvergenan barisan 

c n = 

n2 

2n + 3 sin π n 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Solusi: 

Barisan diatas dapat ditulis menjadi perkalian dua barisan 

a n b n 

dengan 

yang konvergen ke π; dan 

a n = n sin π n , 

b n = 

n 

2n + 3 , 

yang konvergen ke 1 2 . Dengan demikian barisan {c n} konvergen ke 

1 

2 n. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga





Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Teorema: 

Misakan barisan {a n } konvergen ke a dan barisan {b n } konvergen 

ke b, maka barisan-barisan 

{a n b n } konvergen ke ab 

{ an 

b n 

} konvergen ke a b , b ≠ 0 

{a n + b n } konvergen ke a + b 

{a n − b n } konvergen ke a − b 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Teorema: 

Setiap barisan bilangan real yang konvergen selalu terbatas 

Setiap barisan bilangan real yang monoton dan terbatas selalu 

konvergen 







Deret Pangkat 


Kemonotonan 

Kekonvergenan 

Latihan: 

Selidiki kekonvergen barisan-barisan berikut dengan memanfaatkan 

sifat kemonotonan dan keterbatasan, 

a n = 1 

1 − 2n 

dan 

b n = 2n 

n! 







Deret Pangkat 



Pandang barisan {a n }, lalu bentuklah barisan baru {s n } dengan 

s n = a 1 + a 2 + · · · + a n = 

n∑ 

a k , 

k=1 

atau jumlah n suku pertamanya. Barisan {s n } disebut sebagai 

deret (tak hingga) bilangan real. 







Deret Pangkat 


Notasi deret: 

∞∑ 

a n = a 1 + a 2 + · · · 

n=1 

Sedangkan 

n∑ 

s n = a k , 

k=1 

disebut jumlah parsial ke-n dari deret 







Deret Pangkat 


Deret ∑ ∞ 

n=1 a n dikatakan konvergen jika barisan jumlah parsialnya 

mempunyai limit; dikatakan divergen jika limitnya tidak ada. 







Deret Pangkat 


Contoh: Deret 

∞∑ 

n=1 

1 

n(n + 1) 

dapat diselidiki kekonvergenannya dengan cara 

tulis rumus jumlah parsialnya 

hitung limitnya 







Deret Pangkat 


Dengan demikian, 

dan 

s n = 

= 

n∑ 

a k = 

k=1 

n∑ 

k=1 

n∑ 

k=1 

( 1 

k − 1 

k + 1 

= . . . = 1 − 1 

n + 1 

1 

k(k + 1) 

) 

( 

lim s n = lim 1 − 1 ) 

= 1 

n→∞ n→∞ n + 1 

Artinya, deret konvergen ke 1 (konvergen dengan jumlah 1). 







Deret Pangkat 


Latihan: 

Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut 

1 

2 

3 

∑ ∞ 

n=1 

∑ ∞ 

n=1 1 n 

2n+1 

n 2 (n+1) 2 

(deret harmonik) 

∑ ∞ 

n=1 (−1)n+1 







Deret Pangkat 


Teorema: 

Jika deret ∑ ∞ 

n=1 a n konvergen maka 

lim a n = 0 

n→∞ 







Deret Pangkat 


Uji Kekonvergenan 

Uji Integral 

Uji Banding 

Menguji kekovergenan deret dengan suku-suku positif dapat 

dilakukan dengan cara antara lain 

1 Uji integral 

2 Uji banding 

3 Uji akar* 







Deret Pangkat 


Uji Integral 

Uji Integral 

Uji Banding 

Telah kita ketahui bahwa deret 

∞∑ 

n=1 

1 

n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . 

divergen. Namun, untuk kepentingan pengujian kekonvergenan 

deret dengan Uji Integral, maka kita anggap kita belum 

mengetahui bahwa deret tersebut divergen. 







Deret Pangkat 


Uji Integral 

Uji Banding 

Secara geometris, deret diatas memiliki arti luas persegipanjang 

dengan panjang alas 1 dan tinggi 1 n 

, n = 1, 2, . . .. Jumlah luas 

persegipanjang ini lebih besar dibandingkan luas daerah yang 

dibatasi oleh {x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 1 x 

}. Dengan kata lain, 

∞∑ 

n=1 

∫ 

1 ∞ 

n > 1 

1 

x dx. 







Deret Pangkat 


Uji Integral 

Uji Banding 

Sekarang, kita hitung integral tak wajar pada selang tak hingga 

∫ ∞ 

1 

∫ 

1 

b 

dx = lim 

x b→∞ 

= lim 

b→∞ 

1 

( 

ln x 

= lim 

b→∞ ln b 

= ∞ 

1 

x dx 

) b 

1 







Deret Pangkat 


Uji Integral 

Uji Banding 

Akibatnya, deret ∑ ∞ 

tak wajarnya) 

n=1 1 n 

divergen (karena lebih besar dari integral 







Deret Pangkat 


Uji Integral 

Uji Banding 

Bagaimana dengan deret 

∞∑ 

n=1 

1 

n 2 







Deret Pangkat 


Uji Integral 

Uji Banding 

Teorema: 

Misalkan f fungsi kontinu, monoton turun, dan f (x) > 0 pada 

selang [1, ∞). 

Jika integral tak wajar ∫ ∞ 

1 

f (x) dx konvergen/divergen, maka 

deret ∑ ∞ 

n=1 

f (n) konvergen/divergen 







Deret Pangkat 


Uji Integral 

Uji Banding 

Latihan: Selidiki kekonvergenan dari deret-deret berikut: 

1 

∑ ∞ 

n=1 

1 √ 2n+1 

2 

∑ ∞ 

n=2 

1 

n ln 2 n 







Deret Pangkat 


Uji Integral 

Uji Banding 

Solusi: 

Integral tak wajar 

sedangkan 

∫ ∞ 

1 

∫ ∞ 

2 

1 

√ 2x + 1 

dx = ∞, 

1 

x ln 2 x dx = 1 

ln 2 . 







Deret Pangkat 


Uji Banding 

Uji Integral 

Uji Banding 

Teorema: 

Misalkan deret-deret ∫ ∞ 

n=1 a n dan ∫ ∞ 

n=1 b n adalah deret dengan 

suku-suku positif, 

Jika a n ≤ b n untuk semua n ∈ N dan ∫ ∞ 

n=1 b n konvergen, 

maka ∫ ∞ 

n=1 a n konvergen 

Jika a n ≥ b n untuk semua n ∈ N dan ∫ ∞ 

∫ n=1 b n divergen, maka 

∞ 

n=1 a n divergen 







Deret Pangkat 


Uji Integral 

Uji Banding 

Latihan: Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut 

1 

2 

∫ ∞ 1 

n=1 2 n +1 

∫ ∞ 1 

n=2 ln n 







Deret Pangkat 


Uji Integral 

Uji Banding 

Teorema: 

Misalkan deret-deret ∫ ∞ 

n=1 a n dan ∫ ∞ 

n=1 b n adalah deret dengan 

suku-suku positif, 

Jika 

lim 

n→∞ 

a n 

b n 

= c, c > 0 

maka kedua deret konvergen atau divergen 

Jika 

lim 

n→∞ 

a n 

b n 

= 0 

dan ∫ ∞ 

n=1 b n konvergen maka ∫ ∞ 

n=1 a n konvergen 

Jika 

lim 

n→∞ 

a n 

b n 

= ∞ 

dan ∫ ∞ 

n=1 b n divergen maka ∫ ∞ 

n=1 a n divergen 







Deret Pangkat 


Uji Integral 

Uji Banding 

Latihan: Lakukan uji banding limit dengan deret lain pada 

1 

2 

∫ ∞ 1 

n=1 2 n +1 

∫ ∞ 1 

n=2 ln n 

untuk menyelidiki kekonvergenannya. 







Deret Pangkat 


Uji Integral 

Uji Banding 

Pengujian kekonvergenan dengan uji integral atau uji banding 

dengan deret lain seringkali tidak mudah; integral tak wajar 

sulit/tak dapat dihitung dan/atau tidak dapat dicari deret 

pembandingnya. Kita dapat menguji kekonvergenan suatu deret 

dengan suku deretnya sendiri. 







Deret Pangkat 


Uji Integral 

Uji Banding 

Teorema: 

Jika ∫ ∞ 

n=1 a n deret dengan suku-suku positif dan 

lim 

n→∞ 

a n+1 

a n 

= L 

maka deret konvergen jika 0 ≤ L < 1 dan divergen bila L > 1. 







Deret Pangkat 


Uji Integral 

Uji Banding 

Latihan: Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut 

1 

2 

∫ ∞ n+1 

n=1 n! 

∫ ∞ 2 n 

n=2 n 3 







Deret Pangkat 



Deret (ber)ganti tanda berbentuk: 

∞∑ 

(−1) n+1 a n = a 1 − a 2 + a 3 − a 4 + . . . , 

n=1 

dimana suku-sukunya memiliki tanda positif negatif secara 

berselang-seling. 







Deret Pangkat 


Seperti sebelumnya, kajian utama kita adalah menguji 

kekonvergenan deret ganti tanda. Contoh: 

∑ 

1 ∞ 

n=1 (−1)n+1 = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . 

∑ 

2 ∞ 

n=1 (−1)n+1 2 1−n = 1 − 1 2 + 1 4 − 1 8 + · · · 







Deret Pangkat 


Solusi: 

Divergen, Konvergen. 







Deret Pangkat 


Teorema: 

Jika barisan {a n } memiliki suku-suku (kesemua sukunya) positif, 

monoton turun dan lim n→∞ a n = 0, maka deret 

konvergen 

∞∑ 

(−1) n+1 a n 

n=1 







Deret Pangkat 


Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut: 

1 

2 

∑ ∞ 

n=1 (−1)n+1 1 n 

∑ ∞ 

n=1 (−1)n+1 1 

n ln n 







Deret Pangkat 


Definisi: 

Deret ∑ ∞ 

n=1 a n disebut konvergen mutlak jika deret 

∞∑ 

|a n | 

n=1 

konvergen; disebut konvergen bersyarat jika deret 

divergen. 

∞∑ 

|a n | 

n=1 







Deret Pangkat 


Teorema: 

Jika deret ∑ ∞ 

n=1 a n konvergen mutlak maka deret 

konvergen. 

∞∑ 

n=1 

a n 







Deret Pangkat 


Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut: 

∑ ( ∞ 

) 

n=1 (−1)n+1 n+1 n 

1 

2 

3 

∑ ∞ 

n=1 

sin 1 6 (2n−1)π 

n √ n 

∑ ∞ 3n 

n=1 

(−1)n 

n! 

2n 







Deret Pangkat 


Deret Pangkat 

Sejauh ini kita telah mempelajari deret yang “jelas” bentuk 

deretnya. Kini, kita akan melihat deret yang “tidak jelas”, yang 

dinyatakan dalam x, seperti 

∞∑ 

x n = 1 + x + x 2 + . . . , |x| < 1; 

n=0 

∞∑ 

n! x n = 1 + x + 2 x 2 + 6 x 3 + . . . ; 

n=0 

∞∑ 

n=1 

(−1) n 

n2 n x n = · · · . 







Deret Pangkat 


Catatan: Perhatikan himpunan x yang membuat deret 

konvergen/divergen. 







Deret Pangkat 


Definisi: 

Deret yang berbentuk 

∞∑ 

a n (x − c) n = a 0 + a 1 (x − x) + a 2 (x − c) 2 + . . . 

n=0 

dikatakan sebagai deret pangkat dalam (x − c) atau deret pangkat 

berpusat di c. 







Deret Pangkat 


Perhatikan bahwa deret diatas konvergen untuk x = c. Adakah 

nilai x yang lain yang menyebabkan deret tersebut konvergen 







Deret Pangkat 


Contoh 1: deret 

∞∑ 

n=0 

1 

n! x n 







Deret Pangkat 


Contoh 2: deret 

yang mana 

∞∑ 

n=0 

lim 

n→∞ 

= · · · 

(−1) n 

n2 n x n 

= 1 2 |x| 

a n+1 

a n 







Deret Pangkat 


Artinya, deret akan konvergen mutlak untuk 1 2 

|x| < 1 (atau 

|x| < 2) dan divergen untuk 1 2 

|x| > 1 (atau |x| > 2). Namun 

untuk x = 2, 

∞∑ 

n=0 

(−1) n 

n 2 n 2n = −1 + 1 2 − 1 3 + 1 4 + . . . 

konvergen; untuk x = −2, 

∞∑ 

n=0 

(−1) n 

n 2 n (−2)n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + . . . 

divergen. 







Deret Pangkat 


Jadi, deret 

∞∑ 

n=0 

(−1) n 

n 2 n x n 

kovergen untuk −2 < x ≤ 2 atau (−2, 2]. 







Deret Pangkat 


Catatan: Himpunan semua x dimana deret pangkat konvergen 

dikatakan sebagai selang kekonvergenan deret. 







Deret Pangkat 


Teorema: 

Jika deret pangkat ∑ ∞ 

n=0 a nx n konvergen di x 1 ≠ 0, maka 

deret tersebut konvergen mutlak untuk |x| < |x 1 | 

Jika deret pangkat ∑ ∞ 

n=0 a nx n divergen di x 1 , maka deret 

tersebut divergen untuk |x| > |x 1 | 







Deret Pangkat 


Teorema: 

Deret pangkat kovergen hanya untuk x = 0 

Deret pangkat kovergen mutlak untuk setiap x ∈ R 

Terdapat suatu r > 0 sehingga deret pangkat konvergen 

mutlak untuk |x| < r dan divergen untuk |x| > r (r > 0 

adalah jari-jari kekonvergenan) 







Deret Pangkat 


Latihan: Tentukan jari-jari dan selang kekonvergenan deret 

1 

2 

∑ ∞ 

n=0 

(−1) n+1 2 n 

n 2 

(x − 3) n 

∑ ∞ 

n=0 (−1)n+1 (n + 1) (x − 1) n 







Deret Pangkat 


Teorema: 

Misalkan deret pangkat 

∞∑ 

a n x n 

n=0 

memiliki jari-jari kekonvergenan r > 0. Maka, fungsi 

f (x) = ∑ ∞ 

n=0 a n x n dapat diturunkan pada (−r, r) dengan 

f ′ (x) = 

∞∑ 

n a n x n−1 

n=0 







Deret Pangkat 


Teorema: 

Misalkan deret pangkat 

∞∑ 

a n x n 

n=0 

memiliki jari-jari kekonvergenan r > 0. Maka, fungsi 

f (x) = ∑ ∞ 

n=0 a n x n dapat diintegralkan pada setiap selang bagian 

tertutup dari (−r, r) dan untuk setiap x ∈ (−r, r) berlaku 

∫ x 

0 

f (t) dt = 

∞∑ 

n 

a n 

n + 1 x n+1 

n=0 







Deret Pangkat 


Teorema Abel: 

Jika f (x) = ∑ ∞ 

n=0 a n x n , |x| < 1 dan deret ∑ ∞ 

n=0 a n konvergen, 

maka 

∞∑ 

a n = lim f (x) 

x→1 − 

dan 

∞∑ 

n=0 

n=0 

(−1) n a n = lim 

x→1 + f (x). 







Deret Pangkat 


Deret dan Hampiran Taylor 

Ilustrasi: 

Perhatikan fungsi f (x) = e x yang dapat diuraikan menjadi 

e x = 1 + x + x 2 

2 + x 3 

6 + . . . , x ∈ R, 







Deret Pangkat 


Bagaimana kita dapat menguraikan fungsi tersebut 

Seberapa banyak (sampai berapa suku) kita harus 

menguraikannya 







Deret Pangkat 


Deret pangkat 

∞∑ 

f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . = a n x n 

n=0 

dapat diturunkan suku demi suku sampai tingkat tak hingga, 

f (n) (x) = n!a n + 2.3 . . . n(n + 1)a n+1 x + . . . , 

untuk |x| < r. 







Deret Pangkat 


Apabila kita mengambil x = 0, 

atau 

a 0 = f (0); a 1 = f ′ (0) 

1! 

f (0) = a 0 , 

f ′ (0) = a 1 , 

f ′′ (0) = 2!a 2 

. 

f (n) (0) = n!a n 

; a 2 = f ′′ (0) 

; . . . ; a n = f (n) (0) 

2! 

n! 







Deret Pangkat 


Dengan demikian, deret pangkat dapat ditulis 

atau 

f (x) = f (0) + f ′ (0) 

1! 

x + f ′′ (0) 

2! 

f (x) = 

∞∑ 

n=0 

x 2 + . . . + f (n) (0) 

n! 

f (n) (0) 

n! 

x n , 

x n + . . . , 

untuk |x| < r, r > 0 jari-jari kekonvergenan, dan f (0) (0) = f (0). 







Deret Pangkat 


Deret tersebut dikenal dengan nama Deret MacLaurin. 







Deret Pangkat 


Jika titik pusatnya digeser ke c, maka 

f (x) = 

∞∑ 

n=0 

f (n) (c) 

n! 

(x − c) n , 

untuk |x − c| < r, r > 0 jari-jari kekonvergenan dan f (0) (c) = f (c). 

Deret ini disebut Deret Taylor yang berpusat di c dari fungsi f . 







Deret Pangkat 


Latihan: Tentukan deret Taylor dan selang kekonvergenan dari 

fungsi f berikut di titik c, 

1 f (x) = sin x di c = π 

2 f (x) = ln x di c = e 







Deret Pangkat 


Seberapa banyak (sampai berapa suku) kita harus menguraikan 

deret Taylor di titik c 







Deret Pangkat 


Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan deret Taylor sebagai 

dimana 

dan 

f (x) = P n (x) + R n (x) 

P n (x) = 

dengan ξ diantara c dan x. 

n∑ 

k=0 

f (k) (c) 

k! 

R n (x) = f (n+1) (ξ) 

(n + 1)! 

(x − c) k 

(x − c)n+1 







Deret Pangkat 


Teorema: 

Misalkan fungsi f dapat diturunkan sampai tingkat tak hingga 

pada selang (c − r, c + r). Misalkan barisan bilangan real {M n } 

konvergen ke nol. Jika untuk setiap n ∈ N, x, ξ ∈ (c − r, c + r) 

berlaku 

∣ ∣∣∣ f n ∣ 

(ξ) ∣∣∣ 

(x − c) n ≤ M n 

n! 

maka fungsi f dapat dinyatakan sebagai Deret Taylor pada selang 

(c − r, c + r). 







Deret Pangkat 


Latihan: Hitunglah, 

1 e 

2 ln 5 

dengan ketelitian sampai 4 desimal

Bab-9-Kalkulus-2A

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?