hubungan aljabar trilinier umum operator kreasi dan ... - Fisik@net

SKRIPSI
HUBUNGAN ALJABAR TRILINIER UMUM OPERATOR
KREASI DAN ANIHILASI DENGAN TIPE SIMETRI
KEADAAN KUANTUM MULTIPARTIKEL IDENTIK TAK
TERBEDAKAN
Didik Pramono
01/147265/PA/08580
Departemen Pendidikan Nasional
Universitas Gadjah Mada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Yogyakarta
2006

SKRIPSI
HUBUNGAN ALJABAR TRILINIER UMUM OPERATOR
KREASI DAN ANIHILASI DENGAN TIPE SIMETRI
KEADAAN KUANTUM MULTIPARTIKEL IDENTIK TAK
TERBEDAKAN
Didik Pramono
01/147265/PA/08580
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh
derajat Sarjana S1 Program Studi Fisika pada Jurusan Fisika
Departemen Pendidikan Nasional
Universitas Gadjah Mada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Yogyakarta
2006

SKRIPSI
HUBUNGAN ALJABAR TRILINIER UMUM OPERATOR
KREASI DAN ANIHILASI DENGAN TIPE SIMETRI
KEADAAN KUANTUM MULTIPARTIKEL IDENTIK TAK
TERBEDAKAN
Didik Pramono
01/147265/PA/08580
Dinyatakan lulus ujian skripsi oleh tim penguji
pada tanggal 12 Januari 2006
Tim Penguji
Dr.Mirza Satriawan
Pembimbing I
Dr. Kuwat Triyana
Penguji I
Pembimbing II
Juliasih M.Si
Penguji II
Penguji III

Karya sederhana ini kupersembahkan
untuk seseorang yang memiliki senyum manis
di wajahnya
iii

Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam dan
siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang berakal, (yaitu) orang-orang yang
mengingat Allah sambil berdiri atau duduk atau dalam keadaan berbaring dan
mereka memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi (seraya berkata) : Ya Tuhan
kami, tiadalah Engkau menciptakan ini dengan sia-sia, Maha Suci Engkau, maka
peliharalah kami dari siksa neraka.
(Q.S. Ali Imran : 190 - 191)
Jika jiwa-jiwa itu besar maka tubuh kan lelah memenuhi keinginannya.
Ada saat-saat dimana hati itu menari-nari riang gembira dan jika para Raja
mengetahui perasaan ini maka niscaya mereka akan merebutnya dengan
pedang-pedangnya.
Orang yang sedang belajar seperti seorang yang sedang mendaki sebuah gunung
yang tinggi. Semakin keatas semakin luas pandangannya dan semakin indah
pemandangannya, semakin jelas hubungan antara titik awal pendakian dengan
hal-hal yang ada di sekelilingnya.
Jika wanita yang kita cintai tidak membalas perasaan kita, tak usah khawatir. Karena
masih ada bidadari-bidadari surga yang siap melayani kita dengan penuh rasa
cintanya, dan hal ini tentu jauh lebih baik daripada sekedar menangisi sesuatu yang
tlah pergi.
Bersabar dalam penantian demi mendapat sesuatu yang tepat lebih ringan
dibandingkan bersabar dari akibat buruk karena tergesa-gesa.
iv

PRAKATA
Puji syukur kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya dan limpahan rahmat-
Nya sehingga kami dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir ini. Satu tahapan kehidupan
telah terlewati, menyusul tahapan berikutnya yang tentunya akan lebih berat
dan lebih menantang dan kuliah di Fisika telah banyak memberikan bekal untuk terus
melaju di tahapan itu. Tidak ada kata mundur, itulah yang seharusnya dilakukan
agar menuai sebuah keberhasilan. Sungguh, inilah suatu hal yang sangat menggembirakan.
Kami mengucapkan banyak terimakasih kepada berbagai pihak yang telah
membantu kami dalam penulisan tugas akhir ini. Kami sengaja tidak menyebutkan
nama mereka satu persatu, karena yang demikian itu tidaklah dapat membalas jasa
atas kebaikan yang telah mereka lakukan untuk kami. Dan kami juga khawatir bila
nanti ada pihak yang tidak turut tercantumkan. Namun khusus kepada dosen kami
Bapak Dr. Mirza Satriawan yang telah membimbing kami dengan kebaikan hati
dan kesabarannya, kami mengucapkan Jazakumullahu Katsiran dan terimakasih yang
sebesar-besarnya. Dan juga khusus kepada teman kami Mas Pribadi dan Lalu Adi
Sopian yang telah banyak membantu kami.
Demikian yang dapat kami sampaikan dalam kata pengantar ini, kami berharap
semoga apa yang telah kami lakukan dapat bermanfaat bagi perkembangan ilmu
pengetahuan khususnya ilmu Fisika dan bagi siapa saja yang membaca tulisan ini.
Tak lupa penulis minta maaf yang sebesar-besarnya kepada teman-teman di prodi
Fisika jika kami memilki kesalahan dalam tingkah laku selama bergaul dengan temanteman.
Yogyakarta, 4 Januari 2006
Didik Pramono
v

DAFTAR ISI
Halaman Judul
i
Halaman Pengesahan
ii
Halaman Persembahan
iii
Halaman Motto
iv
PRAKATA
v
INTISARI
viii
I PENDAHULUAN 1
1. Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4. Ruang lingkup Kajian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5. Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6. Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II TEORI KUANTISASI MEDAN 6
1. Kuantisasi Medan Boson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Kuantisasi Medan Fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III SIFAT SIMETRI KEADAAN 13
1. Permutasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Tabel Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Sifat Simetri Keadaan Kuantum Multipartikel . . . . . . . . . . . . . 18
vi

vii
IV ALJABAR TRILINEAR UMUM (ATU) 31
1. Persyaratan Umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2. Analisa Aljabar Trilinear Umum ( ATU ) . . . . . . . . . . . . . . . . 31
a. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Tipe Simetrik
Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
b. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Tipe Anti Simetrik
Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
c. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Tipe Paraboson
Orde Dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
d. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Simetri Parafermion
Orde Dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3. Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
V KESIMPULAN dan SARAN 41
1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A Program Maple Untuk Mencari Nilai Norm dari Suatu Vektor Keadaan 44

INTISARI
HUBUNGAN ALJABAR TRILINIER UMUM OPERATOR
KREASI DAN ANIHILASI DENGAN TIPE SIMETRI
KEADAAN KUANTUM MULTIPARTIKEL IDENTIK TAK
TERBEDAKAN
Oleh :
Didik Pramono
01/147265/PA/08580
Telah dilakukan penyelidikan untuk mencari hubungan antara Aljabar Trilinier
Umum (ATU) operator kreasi dan anihilasi dan tipe-tipe simetri keadaan kuantum
sistem n partikel identik tak terbedakan. Tipe-tipe simetri keadaan kuantum
terkait dengan wakilan uniter tak tereduksi (WUTT) dari grup permutasi S n . Nilai
norma dari seluruh vektor keadaan yang terkait dengan tipe simetri tertentu dicari
dengan ATU. Nilai norma untuk vektor keadaan yang tidak termasuk dalam tipe
simetri yang dicari hubungannya dengan ATU dibuat lenyap. Dari persyaratan untuk
membuat nilai norma lenyap diperoleh persamaan atau nilai koefisien ATU yang
mendeskripsikan hubungan tersebut dengan tipe simetri yang dicari. Analisa pada
keadaan tipe simetrik total dan anti simetrik total dicari dengan membuang keadaankeadaan
tipe simetri selain tipe-tipe tersebut dan hanya diperoleh persamaan. Untuk
tipe simetri paraboson dan parafermion orde 2 (dua) diperoleh aljabar Govorkov.
viii

BAB I
PENDAHULUAN
1. Latar Belakang Masalah
Partikel-partikel yang telah terdeteksi kehadirannya di alam diketahui mematuhi
dua jenis statistika kuantum, yaitu statistika Bose-Einstein (BE) dan statistika
Fermi-Dirac (FD). Partikel yang mematuhi statistika BE disebut partikel boson dan
partikel yang mematuhi statistika FD disebut partikel fermion.
Selain dari statistika
BE dan FD masih ada teori-teori statistika kuantum lain sebagai usaha untuk
membuat generalisasi dari keduanya. Asas-asas yang ada dalam fisika kuantum tidak
mensyaratkan hanya ada dua jenis statistika kuantum saja. Diperoleh fakta dalam
eksperimen bahwa ada kondisi-kondisi tertentu dimana dapat muncul statistika kuantum
bentuk lain, seperti fenomena elektron pada sistem 2 dimensi yang ternyata
dapat dianalisa dengan statistika anyon.
Statistika kuantum berhubungan dengan
tipe simetri keadaan kuantum partikel-partikelnya. Tipe simetri keadaan kuantum
partikel-partikel boson bersifat simetrik total, sedang tipe simetri partikel-partikel
fermion bersifat anti simetrik total. Selain dari tipe simetrik total dan anti simetrik
total masih banyak kemungkinan tipe-tipe simetri lain yang terkait dengan sebuah
wakilan uniter tak tereduksi grup permutasi S n .
Pembahasan sistem multipartikel secara efektif dikaji dalam teori medan kuantum.
Dalam rumusan teori medan kuantum, statistika kuantum BE dan FD terkait
dengan bentuk aljabar operator kreasi a † dan anihilasi a yang berbentuk :
[a i , a † j ] − ≡ a i a † j − a† j a i = δ ij (I.1)
[a i , a † j ] + ≡ a i a † j + a† j a i = δ ij (I.2)
1

2
dimana relasi komutasi (−) untuk statistika BE dan relasi anti komutasi (+) untuk
statistika FD. Bentuk relasi komutasi tidak lain adalah generalisasi metode kuantisasi
Heisenberg pada sistem klasik osilator harmonik yang diperluas untuk teori medan
kuantum. Sedang relasi anti komutasi tidak memiliki padanan pada sistem klasik.
Bentuk relasi anti komutasi dipostulatkan oleh Jordan dan Wigner untuk mengatasi
kesulitan-kesulitan yang muncul ketika mengkuantisasi medan Dirac seperti munculnya
energi negatif dan probabilitas negatif (Ryder, 1996).
Untuk membangun statistika kuantum selain BE dan FD dapat dilakukan dengan
merumuskan kembali bentuk aljabar operator kreasi dan anihilasi (OKA). Usaha
tersebut telah dilakukan misalnya oleh Green (1953), Govorkov (1990), dan Greenberg
(1990). Green dan Govorkov mempostulatkan bentuk aljabar trilinier OKA (terdiri
dari 3 operator : 2 operator kreasi dan 1 operator anihilasi), sedangkan Greenberg
mempostulatkan bentuk aljabar bilinier (terdiri dari 2 operator : 1 operator kreasi
dan 1 operator anihilasi) yang disebut aljabar Quon. Aljabar Quon adalah bentuk
generalisasi dari aljabar bilinier boson dan fermion dengan memberikan parameter
q. Mengikuti ide dari Greenberg, bentuk aljabar trilinier Green dan Govorkov juga
dapat diperluas seperti yang dilakukan oleh Satriawan (2005). Dalam skripsi ini akan
diteliti bentuk aljabar trilinier OKA yang dikembangkan oleh Satriawan yang disebut
Aljabar Trilinier Umum dan menghubungkannya dengan tipe-tipe simetri keadaan
kuantum yang terkait dengan wakilan uniter tak tereduksi grup permutasi S n .
2. Tinjauan Pustaka
Statistika kuantum BE yang dipatuhi oleh partikel-partikel boson menggunakan
aljabar OKA berbentuk relasi komutasi pada persamaan (I.1). Statistika kuantum
FD yang dipatuhi oleh partikel-partikel fermion menggunakan relasi anti komutasi
persamaan (I.2). Bentuk-bentuk lain dari aljabar OKA muncul dengan cara

3
dipostulatkan. Alasannya adalah bahwa aljabar OKA FD sendiri juga dipostulatkan.
Green (1953) pertama kali memperkenalkan aljabar OKA yang dikenal dengan aljabar
parastatistik. Green mengganti kombinasi bilinier aljabar OKA BE dan FD
dengan kombinasi trilinear dengan bentuk :
[[a i , a † j ] ±, a † k ] = 2 p δ ika † j
(I.3)
dimana a † j dan a j secara berurutan adalah operator kreasi dan anihilasi partikel tunggal
pada keadaan j dan bilangan p adalah bilangan bulat selain nol.
Govorkov (1990), dengan deformasi pada aljabar parastatistik Green, mempostulatkan
aljabar trilinier OKA berbentuk :
[a i a † j , a† k ] = 1 p δ ika † j (I.4)
dengan bilangan p juga bilangan bulat selain nol. Greenberg (1990) mempostulatkan
aljabar bilinier OKA yang dikenal dengan aljabar Quon yang berbentuk :
a i a † j − qa† j a i = δ ij
(I.5)
dengan bilangan q adalah parameter interpolasi yang kontinyu bernilai (−1 ≤ q ≤ 1),
dimana nilai q = 1 tidak lain adalah aljabar BE sedang q = −1 tidak lain adalah
aljabar FD.
Selanjutnya Satriawan (2005) mengembangkan bentuk aljabar bilinier OKA
yang berbentuk :
a i a † j + Ba† j a i + Cδ ij = 0
(I.6)

4
dan aljabar trilinier OKA berbentuk :
a i a † j a† k + Ba† j a ia † k + Ca† j a† k a i + Da † k a† j a i + Ea † k a ia † j + F δ ika † j + Gδ ija † k = 0 (I.7)
Dari persamaan diatas, telah ditunjukkan bahwa dari aljabar bilinier OKA dapat diperoleh
aljabar Quon, sedangkan dari aljabar trilinier OKA diperoleh aljabar OKA Green
dan Govorkov (aljabar Green merupakan kasus khususnya dan aljabar Govorkov
diperoleh dengan kaidah pemisahan gugus).
Jadi aljabar bilinier persamaan (I.6)
adalah bentuk umum dari aljabar Quon, sedang aljabar trilinier OKA persamaan (I.7)
adalah bentuk umum dari aljabar Green dan Govorkov. Aljabar tilinier OKA persamaan
(I.7) kemudian dikenal dengan Aljabar Trilinier Umum yang disingkat ATU.
3. Tujuan Penelitian
Tujuan dari skripsi ini adalah melakukan penelitian untuk mencari hubungan
ATU dengan tipe-tipe simetri vektor-vektor keadaan kuantum multipartikel identik
tak terbedakan yang terkait dengan wakilan uniter tak tereduksi grup permutasi S n ,
khususnya hubungan nilai-nilai koefisien ATU yang sesuai untuk masing-masing tipe
simetri.
4. Ruang lingkup Kajian
Kajian dibatasi pada keadaan-keadaan kuantum multi partikel (multiparticle
quantum states) yang tidak lebih dari 4 partikel dan tipe simetri yang diselidiki hanya
4 tipe simetri yaitu tipe simetrik total, tipe anti simetrik total, tipe paraboson orde 2,
dan tipe parafermion orde 2.

5
5. Sistematika Penulisan
Skripsi ini terdiri dari 5 bab dengan uraian : Bab I berisi latar belakang
masalah, tinjauan pustaka, tujuan penelitian, ruang lingkup kajian, sistematika penulisan
dan metode yang digunakan dalam penelitian. Bab II berisi uraian singkat tentang
kuantisasi medan. Bab III berisi tentang sifat simetri keadaan kuantum multipartikel.
Bab IV berisi tentang analisa ATU disertai dengan pembahasannya. Dan bab terakhir
berisi tentang kesimpulan dan saran bagi penelitian selanjutnya.
6. Metode Penelitian
Penelitian dilakukan dengan kajian matematik disertai dengan bantuan program
komputer dalam bahasa Maple versi 9.5.

BAB II
TEORI KUANTISASI MEDAN
Teori medan kuantum adalah aplikasi mekanika kuantum pada medan yang
meyediakan kerangka kerja bagi fisika partikel. Teori ini digunakan untuk merumuskan
kembali teori kuantum yang konsisten untuk sistem kuantum multipartikel,
khususnya dalam menjelaskan interaksi-interaksi yang menyebabkan penciptaan dan
pemusnahan partikel. Operator yang berperan penting dalam teori medan kuantum
adalah operator kreasi dan anihilasi (OKA). Dari bentuk aljabar OKA dapat diketahui
sifat medannya dan juga sekaligus sifat simetri keadaan kuantum sistem multipartikel
yang dihasilkannya.
1. Kuantisasi Medan Boson
Medan skalar real relativistik memenuhi persamaan Klein-Gordon ( = c =
1, ✷ ≡ ∂2
∂t 2 − ∇ 2 )
(✷ + m 2 )ϕ = 0 (II.1)
yang dapat diturunkan dari prinsip variasi yang dikenakan pada suatu aksi
∫
S =
L(ϕ, ∂ u ϕ)d 4
(II.2)
dimana ∂ u ≡ ∂ϕ/∂x u dan dengan bentuk Lagrangiannya
L = 1 2 (∂ uϕ)(∂ u ϕ) − m2
2 ϕ2 = 1 2 [(∂ 0ϕ) 2 − ( → ∇ ϕ) 2 − m 2 ϕ 2 ] (II.3)
6

7
Dari sistem klasik menuju ke sistem kuantum, medan dijadikan operator Hermitian
yang ekspansi Fouriernya dituliskan :
∫
ϕ(x) =
d 3 k
(2π) 3 2ω k
[
a(k)e −ikx + a † (k)e ikx]
(II.4)
dengan ω = (k 2 + m 2 ) 1/2 , k adalah vektor gelombang sedang m adalah parameter
yang berdimensi kebalikan dari panjang. Koefisien a(k) dan a † (k) juga merupakan
operator. Kuantitas ϕ(x) sekarang dianalogikan seperti vektor posisi x dalam mekanika
partikel, oleh karena itu momentum konjugat Π(x) dari ϕ(x) dapat diperoleh dari
Π (x) =
δL
δ ˙ϕ (x)
= ˙ϕ (x)
(II.5)
Variabel ϕ (x) dan Π (x) memenuhi relasi komutasi Heisenberg, yaitu
[ϕ (x) , ϕ (x ′ )] = [Π (x) , Π (x ′ )] = 0
[ϕ (x) , Π (x ′ )] = iδ 3 (x − x ′ )
(II.6)
Dengan menggunakan normalisasi kubus, solusi persamaan Klein-Gordon diberikan
oleh
1
f k (x) =
[(2π) 3 e−ikx
(II.7)
1/2
2ω k ]
fk ∗ 1
(x) =
[(2π) 3 eikx
(II.8)
1/2
2ω k ]
yang berhubungan dengan energi positif dan negatif dan membentuk himpunan keadaan
kuantum ortonormal yaitu
∫
f ∗ k (x)i ↔ ∂ 0 f k ′(x)d 3 x = δ 3 (k − k ′ )
(II.9)

8
dimana ↔ ∂ 0 didefinisikan oleh
A(t) ↔ ∂ 0 B(t) = A(t) ∂B(t)
∂t
− ∂A(t) B(t)
∂t
(II.10)
Ekspansi Fourier medan kemudian dapat dituliskan
∫
ϕ(x) =
d 3 k
[(2π) 3 2ω k ] 1/2 [f k(x)a(k) + f ∗ k a † (k)]
(II.11)
bila dibalik dengan menggunakan persamaan (II.9) diperoleh
∫
a(k) = d 3 x [ ]
(2π) 3 1/2
2ω k f
∗
k (x)i ∂ ↔ 0 ϕ(x)
∫
a † (k ′ ) = d 3 x [ ]
(2π) 3 1/2
2ω k ϕ(x ′ )i ∂ ↔ 0 f k ′(x ′ )
(II.12)
(II.13)
dari persamaan (II.5),(II.6),(II.12)dan (II.13) diperoleh relasi komutasi
[
a(k), a † (k ′ ) ] = (2π) 3 2ω k δ 3 (k − k ′ ) (II.14)
[a(k), a(k ′ )] = [ a † (k), a † (k ′ ) ] = 0
(II.15)
Dari persamaan di atas, terlihat bahwa operator a(k) dan a † (k) memainkan
peranan yang sangat penting untuk memberikan tafsiran partikel dari medan yang
terkuantisasi. Pertama, dibentuk sebuah operator
(2π) 3 2ω k δ 3 (0)N(k) = a † (k)a(k)
(II.16)
yang dapat ditunjukkan bahwa N(k) dan N(k ′ ) komut yaitu
[N(k), N(k ′ )] = 0
(II.17)

9
sehingga swakeadaan dari operator ini dapat dijadikan sebagai basis. Misal swanilai
dari N(k) adalah n(k):
N(k) |n(k)〉 = n(k) |n(k)〉
(II.18)
dari persamaan (II. 14), (II.15), dan (II.16) diperoleh
[
N(k), a † (k) ] = a † (k)
[N(k), a(k)] = −a(k)
yang dapat dipakai untuk mendapatkan
N(k)a † (k) |n(k)〉 = a † (k)N(k) |n(k)〉 + a † (k) |n(k)〉
= [n(k) + 1] a † (k) |n(k)〉
(II.19)
dan
N(k)a(k) |n(k)〉 = a(k)N(k) |n(k)〉 − a(k) |n(k)〉
= [n(k) − 1] a † (k) |n(k)〉
(II.20)
Persamaan diatas menunjukkan jika keadaan |n(k)〉 memiliki swanilai n(k), keadaan
a † (k) |n(k)〉 dan a(k) |n(k)〉 adalah swakeadaan dari N(k) berkenaan dengan swanilai
n(k) + 1 dan n(k) − 1. Operator N(k) disebut operator bilangan partikel yang
digunakan untuk menghitung jumlah partikel.
Persamaan (II.20) bila terus bekerja pada suatu keadaan akan menyebabkan
swanilai n(k) berkurang 1 dan untuk menghindarinya bernilai negatif maka harus

10
ada keadaan dasar yang memenuhi
a(k) |0〉 = 0
(II.21)
oleh karena itu
N(k) |0〉 = a † (k)a(k) |0〉 = 0
(II.22)
keadaan dasar adalah keadaan vakum dimana tidak terdapat partikel dengan momentum
k. Aplikasi dari a † (k) menaikkan nilai N(k) sebanyak 1 sehingga nilai N(k)
adalah bilangan bulat. Operator a(k) dan a † (k) disebut operator kreasi dan anihilasi
partikel sebagai bentuk kuanta dari medan.
Kuanta medan diatas ternyata dapat ditunjukkan memenuhi statistika Bose-
Einstein. Dari persamaan (II.19), keadaan a † (k) |n(k)〉 dan keadaan |n(k) + 1〉 adalah
sebanding, sehingga dapat dituliskan
a † (k) |n(k)〉 = c + (n(k)) |n(k) + 1〉
atau lebih tepatnya
a † (k i ) |n(k 1 ), n(k 2 ), · · · , n(k i ), · · · 〉
= c + (n(k)) |n(k 1 ), n(k 2 ), · · · , n(k i ) + 1, · · · 〉 (II.23)
dimana c + (n(k)) adalah konstanta yang diperoleh dengan persyaratan bahwa seluruh
keadaan ternormalisasi :
|c + (n(k))| 2 〈n(k) + 1|n(k) + 1〉 = 〈 n(k) ∣ ∣ a(k)a † (k) ∣ ∣ n(k)
〉
= [n(k) + 1] 〈n(k)|n(k)〉 (2π) 3 2ω k

11
selanjutnya diperoleh nilai
|c + (n(k))| 2 = [n(k) + 1](2π) 3 2ω k
c + (n(k)) = ([n(k) + 1](2π) 3 2ω k ) 1/2
Keadaan sistem multipartikel dapat diperoleh dari
|n(k 1 ), n(k 2 ), · · · , n(k i ), · · · 〉
= ∏ i
{
}
1
(2π) 3 2ω ki [n(k i ) + 1] 1/2 [a† (k i )] n(k i)
|0〉 (II.24)
Tidak ada batasan nilai n(k), sembarang bilangan partikel dapat menempati keadaan
yang memiliki momentum yang sama. Sifat simetri keadaan partikel diperoleh dari
persamaan (II.15) yaitu
[
a † (k), a † (k ′ ) ] |0〉 = 0
(a † (k)a † (k ′ ) − a † (k ′ )a † (k)) |0〉 = 0
|k ′ , k〉 − |k, k ′ 〉 = 0
(II.25)
|k ′ , k〉 = |k, k ′ 〉
Jadi, relasi komutasi yang diperoleh pada persamaan (II.14) dan (II.15) telah
menuntun kepada kuantisasi medan yang menghasilkan partikel boson.
2. Kuantisasi Medan Fermion
Partikel fermion mematuhi prinsip eksklusi Pauli yang melarang dua atau
lebih partikel memiliki keadaan yang sama dalam sebuah sistem kuantum. Dijumpai
banyak kesulitan ketika mengkuantisasikan medan fermion dengan prosedur kuantisasi
yang sama seperti medan boson, misalnya muncul energi negatif dan probabili-

12
tas negatif (Ryder, 1996). Kesulitan-kesulitan tersebut ternyata dapat diatasi dengan
mengganti relasi komutasi persamaan (II.13) dan (II.14) menjadi relasi anti komutasi
berbentuk
[b(k), b † (k ′ )] + = (2π) 3 k 0
m δ3 (k − k ′ )
[b(k), b(k ′ )] + = [b † (k), b † (k ′ )] + = 0
(II.26)
(II.27)
Dapat ditunjukkan dari persamaan (II.26) keadaan multipartikel yang dibangun memiliki
sifat anti simetrik
[b † (k), b † (k)] |0〉 = 0
(b † (k)b † (k ′ ) + b † (k ′ )b † (k)) |0〉 = 0
|k ′ , k〉 + |k, k ′ 〉 = 0
(II.28)
|k ′ , k〉 = − |k, k ′ 〉
jika k = k ′ maka
|k, k〉 = − |k, k〉
|k, k〉 + |k, k〉 = 0
2 |k, k〉 = 0
|k, k〉 = 0
ini menunjukkan bahwa untuk sistem 2 partikel atau lebih fermion tidak boleh berada
pada keadaan yang memiliki momentum yang sama atau dengan kata lain sistem ini
patuh pada prinsip eksklusi Pauli.

BAB III
SIFAT SIMETRI KEADAAN
Sistem multipartikel identik tak terbedakan adalah sistem yang tediri dari
partikel-partikel yang memilki sifat-sifat kuantum intrinsik (massa, spin, muatan)
yang sama dan keadaan-keadaan kuantum yang saling tumpang tindih. Ruang Hilbert
yang mewakili sistem ini bersifat invarian terhadap aksi permutasi partikel. Tiaptiap
partikel berasosiasi dengan satu ruang Hilbert partikel tunggal yaitu H (1) . Secara
umum ruang Hilbert sistem n partikel H (n) merupakan subruang dari produk
perkalian tensor n buah H (1) yaitu H (n) ⊆ ⊗ n i=1H (1) .
Secara umum vektor dalam ⊗ n i=1H (1) dapat ditulis sebagai kombinasi linier
dari vektor monomial |i 1 , · · · i n 〉 = |i 1 〉 ⊗ · · · ⊗ |i n 〉, dimana |i α 〉 adalah vektor
monomial partikel tunggal dengan bilangan kuantum partikel tunggal {i α }. Himpunan
{|i α 〉} untuk i α yang berbeda diasumsikan membentuk himpunan lengkap dari
vektor-vektor keadaan ortonormal dalam H (1) , dan himpunan {|i 1 , · · · i n 〉} dengan
nilai yang berbeda untuk i 1 , · · · i n membentuk himpunan lengkap dari vektor-vektor
keadaan ortonormal dalam ⊗ n i=1H (1) .
Ruang Hilbert untuk sistem multipartikel identik yang vektor keadaannya dibentuk
oleh aksi operator kreasi dan anihilasi pada vektor keadaan vakum sering juga
disebut sebagai ruang Fock F. Dalam rumusan F, vektor keadaan sistem n partikel
dituliskan dengan kombinasi linier dari vektor monomial yang didefinisikan sebagai
berikut
|i 1 , i 2 , i 3 , · · · , i n 〉 ≡ a † i n · · · a † i 2
a † i n
|0〉 (III.1)
Vektor monomial kemudian diinterpretasikan sebagai vektor keadaan n partikel de-
13

14
ngan bilangan kuantum tunggal i 1 , · · · , i n karena keberadaan operator bilangan N i
yang mematuhi aturan
[N i , a † j ] = δ ija † j , N i |0〉 = 0 a i a † j |0〉 = δ ij |0〉 (III.2)
Aksi dari operator permutasi U(p) pada basis ini diberikan oleh
U (p) |i 1 , · · · , i n 〉 ≡ ∣ ∣ ip(1) , · · · , i p(n)
〉
(III.3)
dimana aksi ini linier untuk seluruh ⊗ n i=1H (1) .
Hamiltonian dari sistem multipartikel bersifat invarian terhadap aksi permutasi
partikel, oleh karenanya Hamiltonian tersebut komut dengan operator permutasi
yaitu
[H, U(p)] = 0
(III.4)
yang menunjukkan swafungsi energi dapat menjadi basis bagi ruang wakilan operator
permutasi.
Diberikan contoh kasus 2 (dua) partikel,
U(12) |1, 2〉 = λ |1, 2〉
|2, 1〉 = λ |1, 2〉
(III.5)
Permutasi sekali lagi menghasilkan
U 2 (12) |1, 2〉 = λ 2 |1, 2〉
|1, 2〉 = λ 2 |1, 2〉
(III.6)
Swanilai dari operator permutasi λ = ±1. Untuk swanilai λ = 1 menyebabkan swa-

15
fungsi bersifat simetrik , yaitu |1, 2〉 = |2, 1〉, sedang swanilai λ = 1 menyebabkan
swanilai bersifat anti simetrik yaitu |1, 2〉 = − |2, 1〉. Dua jenis tipe simetri terhadap
permutasi keadaan ini menggambarkan 2 jenis partikel yang berbeda, sifat simetrik
untuk partikel boson yang mematuhi statistika Bose-Einstein dan sifat anti simetrik
untuk partikel fermion yang mematuhi statistika Fermi-Dirac. Untuk sistem yang
lebih dari 2 partikel dapat muncul tipe-tipe simetri lain.
Untuk mengetahui lebih jauh tentang sifat simetri berkenaan dengan permutasi
keadaan kuantum n buah partikel identik digunakan grup permutasi S n . Wakilan S n
dapat direduksi menjadi wakilan-wakilan uniter tak tereduksi (WUTT) yang terkait
dengan sub-subruang yang invarian dinotasikan dengan H λ , dengan label λ adalah
partisi dari n. Partisi dari n didefinisikan sebagai berikut :
• Sebuah partisi dari n dituliskan λ ≡ λ 1 , λ 2 , · · · , λ r yang berupa barisan dari
bilangan bulat positif λ i , yang disusun secara menurun dengan aturan λ i
≥
λ i+1 , i = 1, ..., r dimana jumlah totalnya ∑ r
i=1 λ i = n
• Dua partisi λ, µ dikatakan sama jika λ i = µ i untuk seluruh i.
• Sebuah partisi λ terkait dengan sebuah Diagram Young yaitu sebuah gambar
grafis yang terdiri dari n buah kotak yang tersusun dalam r baris, baris ke i
terdiri dari λ i kotak.
Vektor-vektor di dalam H λ dikatakan memiliki tipe simetri λ dan dapat berdiri
sendiri sebagai ruang Hilbert yang mendeskripsikan suatu sistem fisis tertentu. WUTT
dari S n pada akhirnya dapat dicari dari diagram Young bersesuaian dengan partisi λ
dengan mengisikan indek bilangan-bilangan. Diagram Young yang berisi indek-indek
bilangan disebut Tabel Young. Sebelum membahas tentang Tabel Young, terlebih dulu
disajikan tentang permutasi dari n buah objek.

16
1. Permutasi
Permutasi dari sebuah himpunan yang terdiri dari n buah objek didefinisikan
sebagai sebuah pemetaan bijektif pada himpunan itu sendiri. Sembarang permutasi
dari n buah objek dituliskan
p =
⎛
⎞
⎜
⎝ 1 2 3 · · · n ⎟
⎠
p 1 p 2 p 3 · · · p n
dimana bilangan-bilangan pada baris pertama dipindahkan ke tempat yang bersesuaian
pada baris kedua. Himpunan dari permutasi n buah objek berjumlah n!.
Sembarang permutasi dari n buah objek dituliskan
p =
⎛
⎞
⎜
⎝ 1 2 3 · · · n ⎟
⎠
p 1 p 2 p 3 · · · p n
inversi dari p
p −1 =
⎛
⎜
⎝ p 1 p 2 p 3 · · · p n
1 2 3 · · · n
⎞
⎟
⎠
Elemen identitas e dituliskan
e =
⎛
⎜
⎝ 1 2 3 4 · · · n
1 2 3 4 · · · n
⎞
⎟
⎠
Notasi penulisan lain yang lebih sederhana yaitu dengan menggunakan struk-

17
tur siklus. Untuk lebih jelas diberikan contoh suatu permutasi
p =
⎛
⎜
⎝ 1 2 3 4 5 6
3 5 4 1 2 6
⎞
⎟
⎠
objek 1 dipermutasikan ke objek 3 dan objek 3 dipermutasikan ke objek 4 sedang
objek 4 ke objek 1, jadi ketiga objek ini membentuk 3-siklus dan dapat ditulis (134).
Objek yang lain yaitu 2 dan 5 membentuk 2-siklus dan dapat ditulis (25), Objek 6
tidak berubah oleh karenanya hanya membentuk 1-siklus dan ditulis (6). Jadi permutasi
di atas secara keseluruhan ditulis (134)(25)(6). Panjang struktur siklus dapat
digunakan untuk menentukan kelas dari seluruh elemen grup permutasi.
Sebagai
contoh, elemen dari S 3 terdiri dari 3 kelas yaitu; 1-siklus elemen identitas e, 2-siklus
teridiri dari elemen (12), (23), dan (13), 3-siklus terdiri dari (123) dan (321).
2. Tabel Young
Setiap WUTT dari S n yang terkait dengan sub-subruang invarian H λ dapat
dicari dengan metode Tabel Young. Indek bilangan yang muncul dalam satu baris
menunjukkan simetrik dan indek kolom menunjukkan anti-simetrik.
Contoh : untuk kasus n = 3 ada 3 buah partisi yang berbeda yaitu (3), (2,1)
dan (1,1,1). Diagram Youngnya secara berturutan
Pengisian indek bilangan 1, 2, ..., n pada kotak diagram Young tidak boleh
berulang. Ada dua macam Tabel Young yaitu Tabel Young Normal dan Tabel Young

18
Standar. Tabel Young Normal diperoleh dengan pengisian bilangan secara berurutan
dari kotak kiri ke kotak sebelah kanan kemudian dilanjutkan ke baris berikutnya.
Sedang Tabel Young Standar diperoleh dengan pengisian bilangan-bilangan
yang tidak secara berurutan asalkan bilangan tersebut semakin membesar dari kotak
paling kiri ke kotak sebelah kanan dan dari atas ke bawah. Contoh Tabel Young
Normal
1 2
3
dan
1 2 3
4
Contoh Tabel Young Standar
1 3
2
dan
1 3 4
2
Tabel Young Normal dituliskan Θ λ , sedang Tabel Young Standarnya untuk
partisi yang sama dituliskan Θ p λ atau pΘ λ, dengan p adalah permutasi dari bilangan
pada kotak diagram Young.
3. Sifat Simetri Keadaan Kuantum Multipartikel
Didefinisikan permutasi horisontal dan vertikal sebagai berikut : Diberikan
Tabel Young Θ p λ , permutasi horisontal hp λ
adalah permutasi bilangan yang muncul
dalam satu baris pada kotak diagram Young, sedang permutasi vertikal v p λ
adalah permutasi
bilangan yang muncul dalam satu kolom pada kotak diagram Young . Didefinisikan
operator Penyimetri s p λ
yang diperoleh dengan menjumlahkan seluruh permutasi

19
horisontal yakni
s p λ = ∑ h
h p λ
(III.7)
Didefinisikan operator Anti Penyimetri yang diperoleh dengan menjumlahkan seluruh
permutasi vertikal dengan aturan
a p λ = ∑ v
(−1) v λ
v p λ
(III.8)
Kemudian didefinisikan juga suatu operator penyimetri tak tereduksi atau disebut
Penyimetri Young e p λ
yang didefinisikan
e p λ = ∑ h,v
(−1) v λ
h p λ vp λ
(III.9)
Penyimetri Young di atas bila bekerja pada suatu vektor monomial akan membentuk
vektor-vektor keadaan kuantum dalam H λ yang memiliki tipe simetri λ sebagai ruang
wakilan WUTT dari S n .
Kemudian akan dicari semua vektor keadaan yang bersesuaian dengan partisipartisi
sistem n partikel sampai n = 4. Untuk sistem yang terdiri dari 2 (dua) buah
partikel, terdapat 2 partisi untuk S 2 yaitu (2) dan (1,1) yang bentuk Tabel Youngnya
secara berurutan
1 2 dan
1
2
Nilai Penyimetri untuk partisi (2) adalah s 1 = e+(12) dan Anti penyimetrinya adalah

20
a 1 = e. Nilai Penyimetri Young untuk partisi (2) adalah
e 1 = s 1 a 1 = (e + (12))e = e + (12)
Bila vektor monomial partikel tunggal dituliskan |1〉 dan |2〉 dan vektor monomial
untuk sistem 2 (dua) partikel |1〉 ⊗ |2〉 = |1, 2〉, diperoleh aksi operator Penyimetri
Young pada vektor monomial 2 (dua) partikel yaitu
e 1 |1, 2〉 = e + (12) |1, 2〉 = |1, 2〉 + |2, 1〉
(III.10)
Vektor keadaan di atas adalah vektor keadaan simetrik total untuk sistem 2 (dua)
partikel. Nilai Penyimetri untuk partisi (1,1) adalah s 2 = e dan Anti penyimetrinya
adalah a 2 = e − (12). Nilai Penyimetri Young untuk partisi (1,1) adalah
e 2 = s 2 a 2 = e(e − (12)) = e − (12)
Aksi operator Penyimetri Young pada vektor monomial 2 (dua) partikel akan menghasilkan
vektor keadaan :
e 2 |1, 2〉 = e − (12) |1, 2〉 = |1, 2〉 − |2, 1〉
(III.11)
Vektor keadaan di atas adalah vektor keadaan anti simetrik total untuk sistem 2 (dua)
partikel.
Untuk sistem yang terdiri dari 3 (tiga) partikel, terdapat 3 buah partisi untuk
S 3 yaitu (3), (2,1), dan (1,1,1). Bentuk Tabel Young untuk partisi (3) :
Θ 1 = 1 2 3

21
seluruh p yang ada berupa h λ sehingga nilai Penyimetrinya adalah s 1 = ∑ p p =
e + (12) + (13) + (23) + (123) + (321), sedang permutasi vertikal v λ hanya elemen
e sehingga nilai Anti penyimetrinya a 1 = e. Nilai Penyimetri Young
e 1 = s 1 a 1 =
( ∑
p
p
)
e = e + (12) + (13) + (23) + (123) + (321)
Bila vektor monomial untuk 3 (tiga) partikel dituliskan |1, 2, 3〉, aksi Penyimetri Youngnya
diberikan oleh
e 1 |1, 2, 3〉 =(e + (12) + (13) + (23) + (123) + (321)) |1, 2, 3〉
= |1, 2, 3〉 + |2, 1, 3〉 + |3, 2, 1〉 + |1, 3, 2〉 + |3, 1, 2〉
(III.12)
+ |2, 3, 1〉
Vektor keadaan di atas adalah vektor keadaan simetrik total untuk sistem 3 (tiga)
partikel.
Bentuk Tabel Young Normal partisi (2,1) adalah :
Θ 2 = 1 2
3
Nilai Penyimetri s 2 = e + (12) sedangkan nilai Anti penyimetrinya a 2 = e − (13)
sehingga diperoleh nilai Penyimetri Young :
e 2 = s 2 a 2 = (e + (12))(e − (13)) = e + (12) − (31) − (321)
Aksi operator Penyimetri Young di atas pada vektor monomial sistem 3 (tiga) partikel

22
akan menghasilkan vektor keadaan :
e 2 |1, 2, 3〉 = (e + (12) − (31) − (321)) |1, 2, 3〉
= |1, 2, 3〉 + |2, 1, 3〉 − |3, 2, 1〉 − |2, 3, 1〉
(III.13)
Bentuk Tabel Young Standar untuk partisi (2,1) :
Θ (23)
2 = 1 3
2
Nilai Penyimetri Young s 2 = e + (13) sedangkan nilai Anti penyimetrinya a 2 =
e − (12), sehingga diperoleh nilai Penyimetri Young :
e (23)
2 = s 2 a 2 = (e + (13)) (e − (12)) = e + (13) − (12) − (123)
Aksi operator Penyimetri Young di atas pada vektor monomial sistem 3 (tiga) partikel
:
e (23)
2 |1, 2, 3〉 = (e + (13) − (12) − (123)) |1, 2, 3〉
= |1, 2, 3〉 + |3, 2, 1〉 − |2, 1, 3〉 − |3, 1, 2〉
(III.14)
Bentuk tabel Young untuk partisi (1,1,1) :
1
Θ 3 =
2
3

23
Seluruh permutasi berupa v λ sehingga diperoleh nilai Penyimetri Young :
e 3 = s 3 a 3 =e((e) − (12) − (13) − (23) + (123) + (321))
=e − (12) − (13) − (23) + (123) + (321)
Aksi operator Penyimetri Young di atas pada vektor monomial sistem 3 (tiga) partikel
e 3 |1, 2, 3〉 = (e − (12) − (13) − (23) + (123) + (321)) |1, 2, 3〉
= |1, 2, 3〉 − |2, 1, 3〉 − |3, 2, 1〉 − |1, 3, 2〉 + |3, 1, 2〉 + |2, 3, 1〉
(III.15)
Vektor keadaan di atas adalah vektor keadaan tipe anti simetrik total untuk sistem 3
(tiga) partikel.
Grup S 4 memiliki elemen permutasi sebanyak 4! = 24 dan terdiri dari 5 partisi
yaitu (4), (3,1), (2,2), (2,1,1), dan (1,1,1,1). Bentuk diagram Youngnya secara
berturutan adalah
Nilai-nilai Penyimetri Young untuk masing-masing partisi adalah sebagai berikut :
Bentuk tabel Young untuk partisi (4)
Θ 1 = 1 2 3 4
Nilai Penyimetri Young untuk partisi (4) adalah jumlah dari seluruh permutasi yang

24
ada, yaitu
e 1 = ∑ p
p
Aksi operator Penyimetri Young di atas pada vektor monomial 4 (empat) partikel
menghasilkan vektor keadaan :
e 1 |1, 2, 3, 4〉 = ∑ p
p |1, 2, 3, 4〉
(III.16)
Vektor keadaan di atas adalah vektor keadaan tipe simetrik total untuk 4 (empat)
partikel.
Partisi (3,1) dapat dibuat 1 (satu) Tabel Young Normal dan 2 (dua) Tabel
Young Standar. Bentuk Tabel Young Normalnya :
Θ 2 = 1 2 3
4
Nilai Penyimetri Youngnya adalah
e 2 =e + (12) + (13) + (23) + (123) + (321) − (14) − (142)
− (14)(23) − (143) − (1423) − (1432)
Aksi operator Penyimetri Young di atas pada vektor monomial 4 (empat) partikel
akan menghasilkan vektor keadaan :
e 2 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉 + |2, 1, 3, 4〉 + |3, 2, 1, 4〉 + |1, 3, 2, 4〉
+ |3, 1, 2, 4〉 + |2, 3, 1, 4〉 − |4, 2, 3, 1〉 − |2, 4, 3, 1〉
(III.17)
− |4, 3, 2, 1〉 − |3, 2, 4, 1〉 − |3, 4, 2, 1〉 − |2, 3, 4, 1〉

25
Bentuk 2 (dua) Tabel Young standarnya
Θ 23
2 = 1 2 4
3
dan Θ (243)
2 = 1 3 4
2
Nilai Penyimetri Young secara berturutan
e 23
2 =e + (12) + (14) + (24) + (124) + (421)
− (13) − (132) − (13)(24) − (134) − (1324) − (1342)
dan
e (243)
2 =e + (13) + (14) + (34) + (134) + (431)
− (12) − (123) − (124) − (12)(34) − (1234) − (1243)
Aksi operator Penyimetri Young pada vektor monomial 4 (empat) partikel secara
berturutan akan menghasilkan vektor keadaan :
e 23
2 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉 + |2, 1, 3, 4〉 + |4, 2, 3, 1〉 + |1, 4, 3, 2〉
+ |4, 1, 3, 2〉 + |2, 4, 3, 1〉 − |3, 2, 1, 4〉 − |2, 3, 1, 4〉
(III.18)
− |3, 4, 1, 2〉 − |4, 2, 1, 3〉 − |4, 3, 1, 2〉 − |2, 4, 1, 3〉
dan
e (243)
2 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉 + |3, 2, 1, 4〉 + |4, 2, 3, 1〉 + |1, 2, 4, 3〉
+ |4, 2, 1, 3〉 + |3, 2, 4, 1〉 − |2, 1, 3, 4〉 − |3, 1, 2, 4〉
(III.19)
− |4, 1, 3, 2〉 − |2, 1, 4, 3〉 − |4, 1, 2, 3〉 − |3, 1, 4, 2〉
Partisi (2,2) terdiri dari 1 Tabel Young Normal dan 1 Tabel Young Standar.

26
Bentuk Tabel Young Normal partisi untuk (2,2)
Θ 3 = 1 2
3 4
Nilai Penyimetri Young untuk partisi (2,2)
e 3 =e + (12) + (34) − (13) − (24) − (124) − (132) − (143)
− (234) − (1432) − (1234) + (1324) + (1423)
+ (1432) + (12)(34) + (13)(24) + (14)(23)
Aksi operator Penyimetri Young pada vektor monomial 4 (empat) partikel akan menghasilkan
vektor keadaan :
e 3 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉 + |2, 1, 3, 4〉 + |1, 2, 4, 3〉 − |3, 2, 1, 4〉
− |1, 4, 3, 2〉 − |4, 1, 3, 2〉 − |2, 3, 1, 4〉 − |3, 2, 4, 1〉
− |1, 4, 2, 3〉 − |2, 3, 4, 1〉 − |4, 1, 2, 3〉 + |4, 3, 1, 2〉
+ |3, 4, 2, 1〉 + |2, 3, 4, 1〉 + |2, 1, 4, 3〉 + |3, 4, 1, 2〉 + |4, 3, 2, 1〉
(III.20)
Bentuk Tabel Young Standar untuk partisi (2,2)
Θ (23)
3 = 1 3
2 4

27
Nilai penyimetri Young untuk partisi (2,2)
e (23)
3 =e − (12) + (13) − (24) − (34) − (123) − (134) − (142)
− (432) + (1234) − (1324) − (1423) + (1432) + (13)(24)
+ (14)(32) + (12)(34)
Aksi operator Penyimetri Young di atas pada vektor monomial 4 (empat) partikel
akan menghasilkan vektor keadaan :
e (23)
3 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉 − |2, 1, 3, 4〉 + |3, 2, 1, 4〉 − |1, 4, 3, 2〉
− |1, 2, 4, 3〉 − |3, 1, 2, 4〉 − |4, 2, 1, 3〉 − |2, 4, 3, 1〉
− |1, 3, 4, 2〉 + |4, 1, 2, 3〉 − |4, 3, 1, 2〉 − |3, 4, 2, 1〉
(III.21)
+ |2, 3, 4, 1〉 + |3, 4, 1, 2〉 + |4, 3, 2, 1〉 + |2, 1, 4, 3〉
Partisi(2,1,1) terdiri dari 1 Tabel Young Normal dan 2 Tabel Young Standar.
Bentuk diagram Young Normal untuk partisi (2,1,1)
1 2
Θ 4 =
3
4
Nilai Penyimetri Young partisi (2,1,1)
e 4 =e − (13) − (14) − (34) + (134) + (431) + (12) − (132)
− (142) − (12)(34) + (1342) − (1432)
Aksi operator Penyimetri Young di atas pada vektor monomial 4 (empat) partikel

28
akan menghasilkan vektor keadaan :
e 4 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉 − |3, 2, 1, 4〉 − |4, 2, 3, 1〉 − |1, 2, 4, 3〉
+ |4, 2, 1, 3〉 + |3, 2, 4, 1〉 + |2, 1, 3, 4〉 − |2, 3, 1, 4〉
(III.22)
− |2, 4, 3, 1〉 − |2, 1, 4, 3〉 + |2, 4, 1, 3〉 − |2, 3, 4, 1〉
Bentuk diagram Young Standar untuk partisi (2,1,1)
Θ (23)
4 =
1 3
2
4
Nilai Penyimetri Young untuk partisi (2,1,1)
e (23)
4 =e − (12) − (14) − (24) + (124) + (421)
+ (13) − (123) − (143) − (13)(24) + (1243) + (1432)
Aksi operator Penyimetri Young di atas pada vektor monomial 4 (empat) partikel
akan menghasilkan vektor keadaan :
e (23)
4 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉 − |2, 1, 3, 4〉 − |4, 2, 3, 1〉 − |1, 4, 3, 2〉
+ |4, 1, 3, 2〉 + |2, 4, 3, 1〉 + |3, 2, 1, 4〉 − |3, 1, 2, 4〉
(III.23)
− |3, 2, 4, 1〉 − |3, 4, 1, 2〉 + |4, 1, 2, 3〉 + |2, 3, 4, 1〉
Bentuk diagram Young Standar yang lain untuk partisi (2,1,1)
Θ (234)
4 =
1 4
2
3

29
Nilai Penyimetri Youngnya
e (234)
4 =e − (12) − (13) − (23) + (123) + (321)
+ (14) − (124) − (134) − (14)(23) + (1234) − (1324)
Aksi operator Penyimetri Young di atas pada vektor monomial 4 (empat) partikel
akan menghasilkan vektor keadaan :
e (234)
4 |1, 2, 3, 4〉 = |1, 2, 3, 4〉 − |2, 1, 3, 4〉 − |3, 2, 1, 4〉 − |1, 3, 2, 4〉
+ |3, 1, 2, 4〉 + |2, 3, 1, 4〉 + |4, 2, 3, 1〉 − |4, 1, 3, 2〉
(III.24)
− |4, 2, 1, 3〉 − |4, 3, 2, 1〉 + |4, 1, 2, 3〉 − |4, 3, 1, 2〉
Bentuk diagram Young untuk partisi (1,1,1,1) adalah
1
Θ 5 =
2
3
4
Nilai penyimetri Youngnya sama dengan jumlah seluruh permutasi vertikal untuk 4
objek, yaitu
e 5 = ∑ p
(−1) p p = a
Oleh karena itu, aksi operator Penyimetri Young di atas pada vektor monomial 4
(empat) partikel akan menghasilkan vektor keadaan :
e 5 |1, 2, 3, 4〉 = a |1, 2, 3, 4〉
(III.25)

30
Vektor keadaan di atas adalah vektor keadaan simetrik total untuk sistem 4 (empat)
partikel.

BAB IV
ALJABAR TRILINEAR UMUM (ATU)
1. Persyaratan Umum
Untuk membangun aljabar OKA, maka vektor-vektor keadaan kuantum dalam
ruang Fock F untuk sistem multipartikel identik tak terbedakan harus memenuhi beberapa
persyaratan, yaitu :
1. Nilai produk skalar vektor-vektor pada F tidak bergantung pada bilangan kuantum
yang sedang diselidiki.
2. Ruang Fock F yang dibentang oleh seluruh vektor monomial dari keadaan n-
partikel harus invarian terhadap aksi S n .
3. Tidak ada nilai norma yang negatif untuk seluruh vektor keadaan kuantum.
Syarat pertama menghendaki bilangan kuantum untuk seluruh keadaan memiliki kedudukan
yang sama. Syarat kedua menyebabkan vektor monomial dapat menjadi
ruang wakilan bagi grup S n dan sebaliknya yaitu grup S n dapat membagi ruang Fock
menjadi sub-subruang tak tereduksi yang invarian. Syarat ketiga berhubungan dengan
sifat keuniteran (probabilitas).
2. Analisa Aljabar Trilinear Umum ( ATU )
ATU tersusun dari permutasi tiga operator yaitu 2 operator kreasi dan 1 operator
anihilasi dan kemungkinan kontraksinya. ATU berbentuk:
a i a † j a† k + Ba† j a ia † k + Ca† j a† k a i + Da † k a† j a i
+ Ea † k a ia † j + F δ ika † j + Gδ ija † k = 0 (IV.1)
31

32
Aplikasi persamaan (IV.1) pada vektor keadaan vakum
(a i a † j a† k + Ba† j a ia † k + Ca† j a† k a i + Da † k a† j a i
+ Ea † k a ia † j + F δ ika † j + Gδ ija † k ) |0〉 = 0 (IV.2)
diperoleh
a i a † j a† k |0〉 + (B + F ) δ ika † j |0〉 + (E + G) δ ija † k |0〉 = 0
(IV.3)
dikalikan dari kiri dengan 〈0| a l diperoleh
〈0| a l a i a † j a† k |0〉 + (B + F ) δ ikδ lj + (E + G) δ ij δ lk = 0 (IV.4)
Diasumsikan bahwa seluruh vektor monomial memilki nilai norm 1. Dari persamaan
(IV.4), nilai norma vektor monomial untuk 2 partikel sama dengan 1 akan mengakibatkan
E + G = −1
(IV.5)
Dimisalkan analisa ATU pada 〈2, 1| (12) |1, 2〉 menghasilkan nilai norma α, maka
diperoleh
B + F = −α
(IV.6)
Untuk mencari hubungan antara ATU dengan vektor keadaan yang memiliki
tipe simetri keadaan kuantum yang dikehendaki dapat dilakukan cara sebagai berikut
:
1. Seluruh vektor keadaan yang terkait dengan bentuk partisi tertentu dari n dicari

33
nilai normanya dengan ATU (Lamp. A).
2. Nilai norma dibuat 0 untuk vektor-vektor keadaan selain tipe simetri yang dikehendaki
ada.
3. Untuk mendapatkan nilai norma 0 dapat diambil suatu persamaan atau suatu
nilai koefisien ATU sebagai persyaratan. Persyaratan yang diperoleh digunakan
untuk mengevaluasi seluruh nilai norma dari kasus partikel itu dan untuk kasus
partikel di atasnya.
4. Persamaan atau nilai koefisien yang diambil merupakan hubungan yang dicari
antara ATU dengan vektor keadaan bertipe simetri yang dikehendaki.
a. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Tipe Simetrik Total Tipe
simetrik total dicirikan dengan bentuk partisi (n) (n= jumlah partikel) yang bentuk
diagram Youngnya hanya terdiri 1 baris saja. Sampai kasus 4 partikel, terdapat 3 buah
partisi simetrik total yaitu (2), (3), dan (4). Hubungan ATU dengan vektor keadaan
bertipe simetrik total ini diperoleh dengan membuat 0 nilai norma vektor keadaan
selain tipe simetrik total.
Analisa ATU untuk kasus 2 partikel pada vektor keadaan partisi (2) yang
diberikan oleh persamaan (III.10) dan pada vektor keadaan partisi (1,1) diberikan
oleh persamaan (III.11), secara berturutan menghasilkan nilai norma
nilai norma partisi (2) = −2E − 2G + 2B + 2F = 2 + 2α (IV.7)
nilai norma partisi (1,1) = 2B + 2F − 2E − 2G = 2 − 2α (IV.8)
persamaan (IV.7) dibuat sama dengan 0 , diperoleh nilai
α = 1
(IV.9)

34
Jadi, untuk kasus 2 partikel diperlukan nilai α = 1 agar diperoleh vektor keadaan
bertipe simetrik total saja.
Untuk kasus 3 partikel, analisa ATU pada vektor-vektor keadaan untuk partisi
(3), (2,1), dan (1,1,1) yang diberikan oleh persamaan (III.12), (III.13), (III.14) dan
(III.15), dengan memakai nilai α = 1 secara berturutan menghasilkan nilai norma
nilai norma partisi (3) = 48 + 12F + 12G − 12C − 12D (IV.10)
nilai norma partisi (2,1) = −4F − 4G + 4C + 4D − 4 (IV.11)
nilai norma partisi (2,1) = 2F + 2G − 2C − 2D + 2 (IV.12)
nilai norma partisi (1,1,1) = 0 (IV.13)
agar diperoleh vektor keadaan yang bertipe simetrik total saja maka persamaan (IV.11)
dan (IV.12) dibuat sama dengan 0 , diperoleh nilai
F = G − C − D + 1
(IV.14)
Jadi, untuk kasus 3 partikel, diperlukan persamaan (IV.9) dan (IV.14) agar vektor
keadaan yang ada hanya bertipe simetrik total saja.
Untuk kasus 4 partikel, analisa ATU dan dengan memakai persamaan (IV.9)
dan (IV.14) telah menghasilkan vektor keadaan yang ada hanya vektor keadaan bertipe
simetrik total saja yaitu pada partisi (4), sehingga untuk kasus 4 partikel tidak diperoleh
persyaratan lagi.
Jadi, vektor-vektor keadaan bertipe simetrik total dapat diperoleh dari ATU

35
dengan persamaan
B = C − G + D
F = G − C − D + 1
(IV.15)
(IV.16)
b. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Tipe Anti Simetrik Total
Partisi dengan bentuk (1, 1, 1, · · · ) dikatakan memilki tipe anti simetrik total. Sampai
kasus 4 partikel, terdapat 3 buah partisi anti simetrik total yaitu (1,1), (1,1,1),
dan (1,1,1,1). Hubungan ATU dengan vektor keadaan bertipe anti simetrik total ini
dipero-leh dengan membuat 0 nilai norma seluruh vektor keadaan selain tipe anti
simetrik total.
Persamaan (IV.7) dibuat sama dengan 0 , diperoleh nilai
α = −1
(IV.17)
Jadi untuk kasus 2 partikel diperoleh persamaan α = −1.
Untuk kasus 3 partikel, analisa ATU pada vektor-vektor keadaan untuk partisi
(3), (2,1), dan (1,1,1) yang diberikan oleh persamaan (III.12), (III.13), (III.14) dan
(III.15), dengan memakai nilai α = −1 secara berturutan menghasilkan nilai norma
nilai norma partisi (3) = 0 (IV.18)
nilai norma partisi (2,1) = 0 (IV.19)
nilai norma partisi (2,1) = 6F − 6G + 6C − 6D − 6 (IV.20)
nilai norma partisi (1,1,1) = 48 − 12F + 12G − 12C + 12D (IV.21)
agar diperoleh vektor keadaan yang anti simetrik saja maka persamaan (IV.20) dibuat

36
0 , diperoleh
F = G − C + D + 1
(IV.22)
Jadi, untuk kasus 3 partikel, diperlukan persamaan (IV.17) dan (IV.22) agar vektor
keadaan yang ada hanya bertipe anti simetrik total saja.
Untuk kasus 4 partikel, analisa ATU dan dengan memakai persamaan (IV.17)
dan (IV.22) telah menghasilkan vektor keadaan yang ada hanya bertipe anti simetrik
total saja yaitu pada partisi (1,1,1,1), sehingga untuk kasus sampai 4 partikel tidak
diperoleh persyaratan lagi.
Jadi, vektor-vektor keadaan bertipe simetrik total dapat diperoleh dari ATU
dengan persamaan
B = C − G − D − 2
F = G − C + D + 1
(IV.23)
(IV.24)
c. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Tipe Paraboson Orde Dua
Vektor-vektor keadaan yang termasuk dalam tipe simetri parafermion orde 2 adalah
vektor keadaan yang bentuk diagram Youngnya tidak lebih dari 2 baris. Sampai kasus
4 partikel partisi-partisi diagram Young termasuk dalam elemen paraboson orde 2
adalah : (2), (1,1), (3), (2,1), (4), (3,1), dan (2,2). Secara berurutan bentuk diagram
Youngnya
Untuk mendapatkan vektor-vektor keadaan yang termasuk dalam tipe simetri paraboson
orde 2 saja, maka nilai norma dari vektor -vektor keadaan di atas dijaga agar

37
tidak bernilai 0 , sedangkan vektor -vektor keadaan selain dari bentuk di atas dibuat
sama dengan 0 .
Untuk kasus 2 partikel, tidak diperoleh persamaan karena semua nilai norma
tidak boleh 0 .
Untuk kasus 3 partikel, analisa ATU pada vektor keadaan partisi (1,1,1) yang
diberikan oleh persamaan (III.15) menghasilkan nilai norma
6(1 + B + F )(B 2 + BF + GB + GF + 2B + 2F + 1 + D − C) (IV.25)
dibuat 0 untuk suku yang kedua agar nilai norma vektor keadaan pada kasus 2 partikel
tetap ada, diperoleh
F = (−B2 − GB − D − 2B − 1 + C)
(B + 2 + G)
(IV.26)
Untuk kasus 4 partikel terdapat 3 vektor keadaan untuk partisi (2,1,1) akan
dibuat 0 yaitu vektor keadaan yang diberikaan oleh persamaan (III.21), (III.22), dan
(III.23). Nilai norma ketiga vektor keadaan ini setelah dimasukkan persamaan (IV.26)
ternyata dalam bentuk variabel B, C, D dan G dan tidak mengandung konstanta. Oleh
karena itu, untuk membuat nilai norma 0 untuk ketiga vektor keadaan ini, diambil
nilai-nilai
B = C = G = D = 0
(IV.27)
dengan pilihan di atas berakibat koefisien lainnya bernilai
E = −1
F = − 1 2
(IV.28)
(IV.29)

38
Bila nilai norma seluruh vektor keadaan dievaluasi dengan mengambil nilai-nilai di
atas, maka telah didapatkan vektor-vektor keadaan yang ada hanya bertipe simetri
paraboson orde 2 saja. Aljabar ATU persamaan (IV.1) kemudian menjadi
a i a † j a† k − a† k a ia † j − 1 2 δ ika † j = 0
(IV.30)
[a i a † j , a† k ] − = 1 2 δ ika † j
yang tidak lain lain adalah aljabar Govorkov persamaan (I.4) dengan nilai p = 2.
Jadi, diperoleh hubungan antara ATU dengan vektor keadaan tipe paraboson orde 2
berupa aljabar Govorkov.
d. Hubungan ATU dengan Vektor-vektor Keadaan Simetri Parafermion Orde
Dua Vektor-vektor keadaan yang termasuk dalam tipe simetri parafermion orde 2
adalah vektor keadaan yang bentuk diagram Youngnya tidak lebih dari 2 kolom. Untuk
kasus sampai 4 partikel, partisi-partisi yang termasuk dalam elemen parafermion
orde 2 adalah ; (2), (1,1), (2,1), (1,1,1), (2,2), (2,1,1) dan (1,1,1,1), secara berturutan
bentuk diagram Youngnya
Nilai norma vektor-vektor keadaan dengan partisi di atas dijaga agar tidak bernilai 0
, sedang nilai norma vektor keadaan yang lain yakni vektor keadaan dengan bentuk
partisi (3), (4), dan (3,1) dibuat 0 .
Untuk kasus 2 partikel, semua nilai norma tidak dibuat 0 .
Untuk kasus 3 partikel, analisa ATU pada vektor keadaan partisi (3) pada per-

39
samaan (III.12) menghasilkan nilai norma
6(−1 + B + F )(−B 2 − BF + GB + GF + 2B + 2F − 1 + D1 + C) (IV.31)
Nilai di atas dibuat 0 untuk suku kedua agar nilai norma pada kasus 2 partikel tetap
ada, diperoleh
F = −( B2 − GB − D − 2B + 1 − C
) (IV.32)
B − 2 − G
Untuk kasus 4 partikel terdapat 3 vektor keadaan untuk partisi (3,1) yaitu vektor
keadaan yang diberikaan oleh persamaan (III.17), (III.18), dan (III.19). Nilai norma
ketiga vektor keadaan ini setelah dimasukkan persamaan (IV.32) ternyata berupa
variabel B, C, D dan G dan tidak mengandung konstanta. Oleh karena itu, untuk
membuat 0 nilai norma ketiga vektor keadaan ini, diambil nilai-nilai
B = C = G = D = 0
(IV.33)
dengan pilihan di atas berakibat koefisien lainnya bernilai
E = −1
F = 1 2
(IV.34)
(IV.35)
Aljabar ATU persamaan (IV.1) menjadi
a i a † j a† k − a† k a ia † j + 1 2 δ ika † j = 0
[ ]
a i a † j , a† k
= − 1 2 δ ika † j
(IV.36)
yang tidak lain lain adalah aljabar Govorkov persamaan (I.4) dengan nilai p = 2.

40
Jadi, diperoleh hubungan antara ATU dengan vektor keadaan tipe parafermion orde 2
berupa aljabar Govorkov.
3. Pembahasan
Analisa nilai norma dengan ATU untuk mendapatkan vektor-vektor keadaan
bertipe simetrik total dan antisimetrik total saja pada kasus sampai 4 partikel tidak dihasilkan
nilai-nilai koefisien pada ATU, namun hanya berupa persamaan-persamaan.
Persamaan-persamaan ini menunjukkan adanya hubungan antara koefisien satu dengan
koefisien lainnya.
Untuk keadaan simetri paraboson orde 2 , analisa nilai norma untuk kasus 4
partikel dengan persyaratan yang diperoleh dari kasus 3 partikel diperoleh nilai norma
vektor keadaan untuk partisi (2,1,1) berupa variabel B, C, D dan G dan tidak terdapat
konstanta. Oleh karena itu, untuk membuat 0 nilai norma partisi (2,1,1) diambil nilai
B = C = D = G = 0, yang berakibat nilai koefisien E dan F bernilai E = −1
dan F = −1/2. Hasil tersebut tak lain adalah nilai koefisien-koefisien pada aljabar
Govorkov untuk paraboson dengan nilai p = 2.
Untuk keadaan simetri parafemion orde 2 , analisa nilai norma untuk kasus 4
partikel dengan persyaratan yang diperoleh dari kasus 3 partikel diperoleh nilai norma
vektor keadaan untuk partisi (3,1) berupa variabel B, C, D dan G dan tidak terdapat
konstanta. Oleh karena itu, untuk membuat 0 nilai norma partisi (3,1) diambil nilai
B = C = D = G = 0, yang berakibat nilai koefisien E dan F bernilai E = −1
dan F = 1/2. Hasil tersebut tak lain adalah nilai koefisien-koefisien pada aljabar
Govorkov untuk parafermion dengan nilai p = −2.
Jadi untuk keadaan tipe simetri paraboson dan parafermion orde 2 , ATU tereduksi
menjadi aljabar Govorkov (pers. I.4) dengan nilai p = ±2 (+ untuk paraboson
dan - untuk parafermion). Nilai norma untuk seluruh vektor keadaan bernilai positif.

BAB V
KESIMPULAN dan SARAN
1. Kesimpulan
1. Nilai-nilai koefisien ATU akan menentukan nilai norma vektor keadaan dengan
tipe simetri tertentu.
2. Nilai-nilai koefisien tertentu akan memberikan hanya vektor keadaan dengan
tipe simetri tertentu yang memiliki norma tidak 0. Agar diperoleh vektor keadaan
bertipe simetrik total saja, maka persyaratannya adalah
B = C − G + D
F = G − C − D + 1
sedangkan agar diperoleh vektor keadaan bertipe antisimetrik total saja, maka
persyaratannya adalah
B = C − G − D − 2
F = G − C + D + 1
Untuk vektor keadaan bertipe simetri paraboson orde 2, diperlukan persyaratan
B = C = G = D = 0
E = −1
F = − 1 2
yang sesuai dengan koefisien-koefisien pada aljabar Govorkov untuk parabo-
41

42
son dengan nilai p = 2.
Sedangkan untuk vektor keadaan bertipe simetri
parafermion orde 2 diperlukan persyaratan
B = C = G = D = 0
E = −1
F = 1 2
yang sesuai dengan koefisien-koefisien pada aljabar Govorkov untuk parafermion
dengan nilai p = −2.
2. Saran
Perlu diteliti hubungan ATU dengan bentuk tipe-tipe simetri yang lain yang
belum ditinjau dalam skripsi ini, misalnya tipe simetri yang terkait dengan diagram
Young yang berbentuk :
· · ·
.
dimana tipe simetri di atas menghendaki muanculnya tipe simetrik dan anti simetrik
secara bersamaan.

DAFTAR PUSTAKA
Feynman, R. P., 1972, Statistical Mechanics, Addison-Wesley, United States of
America.
Green, H. S, 1953, Physical Review, Vol. 90, Hal. 270.
Greenberg, O., W., 1990, Physical Review Letter, Vol. 64, Hal. 705.
Greiner, W., Neise, L. dan Stocker, H., 1995, Thermodynamics and Statistical Mechanics,
Springer-Verlag, New York.
Griffiths, D.J., 1994, Introduction to Quantum Mechanics, Printice Hall inc., New
Jersey.
Govorkov, A., B., 1990, Theoretical Mathematical Physics, Vol. 85, Hal. 1167.
Mandl, F., Shaw, G., 1984, Quantum Field Theory, John Wiley and Sons, Inc., Cichester
Satriawan, M., 2002, Ph.D Thesis, University of Illinois, Chicago
Satriawan, M., 2005, Physics Journal of the Indonesian Physical Society, Vol. C7,
Hal. 0221.
Tung, Wu-Ki, 1985, Group Theory In Physics, World Scientific Publishing, Singapura.
Ryder, L.,H., 1996, Quantum Field Theory, edisi kedua, Cambridge University Press,
Cambridge
43

LAMPIRAN A
Program Maple Untuk Mencari Nilai Norma dari Suatu Vektor
Keadaan
44