04. Pertemuan 04 - Persamaan Linier

Linear Equation 

Gauss Elimination 

Gauss-Jordan Elimination 

Homogen Equation 

RG141201 - 2 sks - Semester 1 

Yanto Budisusanto, S.T., M.Eng. 

Laboratorium Kadaster dan Kebijakan Pertanahan 

Jurusan Teknik Geomatika - FTSP – ITS 

Ph. 031 – 5929487 

Fax. 031 – 5929486 

Cell. 0852 2636 1602

Refference 

Aljabar Linear 

Elementer 

Howard Anton 

Drexel University 

Alih Bahasa : 

Pantur Silaban, Ph.D 

Drs. I. Nyoman Susila, M.Sc. 

Institut Teknologi Bandung 


Teknik Geomatika – FTSP – ITS


• Which one is linear equation 

• y = ½x + 3z + 1 

• 7 = x + 3y 2 

• 1 = √x 1 + 2x 2 + x 3 

• 7 = x 1 – 2x 2 – 3x 3 + x 4 

• 0 = y – sin x 

• Give your reason 




• Persamaan linear adalah persaman yang tidak 

mengandung atau melibatkan hasil kali atau akar 

variabel, semua variabel mempunyai pangkat 

satu dan tidak sebagai variabel bebas dari fungsi 

trigonometri, logaritma atau eksponen. 

• Contoh beberapa persamaan linear, yaitu : 

• 2x + 3y = 6 (1) 

• 4x1 + 3x2 + 2x3 = 12 (2) 

• a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn = b (3) 




• Persamaan 1 

persamaan linear dengan variabel x dan y, dengan 

koefisien 2 dan 3 yang merupakan persamaan garis 


persamaan linear dengan variabel x1, x2 dan x3, dengan 

koefisien 4, 3 dan 2 yang merupakan persamaan bidang 


persamaan linear dengan variabel xi dan koefisien ai dan 

b dengan i = 1, 2, 3, . . . , n 




• Show with a graphic or a picture and give an 

example that the equation system is inconsisten 

• What is the meaning the inconsisten equation 




• Sistem persamaan tidak konsisten adalah sistem 

persamaan yang tidak memiliki pemecahan 

• Contoh 1 : 

• x + y = 3 

• 3x + 3y = 8 

• Jika persamaan (2) diatas dibagi 3 maka menjadi : 

• x + y = 3 

• x + y = 8/3 




• Contoh 2 

• x + y = 4 

• 2x + 2y = 6 

• Jika persamaan diatas dibagi 2 maka menjadi : 

• x + y = 4 

• x + y = 3 

• Maka kedua contoh sistem persamaan tersebut 

tidak mempunyai pemecahan 




• Jika digambarkan sbb : 

• Garis l dan k sejajar sehingga 

tidak memiliki titik potong 

• Tidak ada perpotongan 

antara garis l dan k 

• Sistem persamaan yang tidak 

memiliki pemecahan di sebut sistem persamaan tidak 

konsisten (inconsisten equation) 




• Secara umum, ada tiga kemungkinan penyelesaian dari sistem 

persamaan linear, yang dapat diilustrasikan sebagai dua persamaan 

garis, yaitu : 

• a1x + b1y = c1 

• a2x + b2y = c2 

• Dan penyelesaiannya adalah : 




• Persamaan diatas adalah bentuk umum dari dua 

persamaan linier yang tidak diketahui nilai x dan y 

serta nilai a1, b1, c1, a2, b2, c2 dan tidak nol 

• Titik ( x , y ) adalah himpunan pasangan pemecahan 

persamaan tersebut, sehingga titik ( x , y ) terletak 

pada sebuah garis jika dan hanya jika bilanganbilangan 

x dan y memenuhi persamaan garis tersebut 

• Jika digambarkan seperti gambar di atas 




• Gambar a : 

Sistem linear mempunyai satu penyelesaian, jika dua garis 

tersebut berpotongan pada satu titik 

• Gambar b : 

Sistem linear mempunyai banyak penyelesaian (tak hingga), jika 

dua garis tersebut berimpit 

• Gambar c : 

Sistem linear tidak mempunyai penyelesaian, jika dua garis 

tersebut sejajar 

• Jika setidak-tidaknya ada satu pemecahan maka dikatakan sistem 

persamaan tersebut konsisten 




• Carilah salah satu pasangan himpunan 

pemecahan untuk masing-masing persamaan 

berikut : 

• 6x – 7y = 3 

• 2x 1 + 4x 2 – 7x 3 = 8 




• Soal 6x – 7y = 3 

• Himpunan 1 

• Jika x = t 

maka y = -3/7 + 6/7 t 


• Jika 

maka 

y = t 

x = 1/2 + 7/6 t 




• Soal 2x 1 + 4x 2 – 7x 3 = 8 


• Jika x1 = t dan x2 = s 

maka x3 = -8/7 + 2/7 t + 4/7 s 


• Jika x1 = t dan x3 = p 

maka x2 = 2 - 1/2 t + 7/4p 


• Jika x2 = t dan x3 = p 

maka x1 = 4 - 2 t + 7/2p 




• Untuk mencari himpunan penyelesaian maka : 

• Jika sistem persamaan linier terdapat dua peubah 

maka minimal harus ditentukan sebarang nilai untuk 

satu peubah sehingga dapat ditentukan peubah ke 

dua 

• Jika sistem persamaan linier terdapat tiga peubah 

maka minimal harus ditentukan sebarang nilai untuk 

setiap dua peubah sehingga dapat ditentukan peubah 

ketiga 

• dst


• Carilah salah satu pasangan himpunan 

pemecahan untuk masing-masing persamaan 

berikut : 

• 4x – 2y = 1 

• x 1 - 4x 2 + 7x 3 = 8 




• Soal 4x – 2y = 1 


• Jika x = t 

maka y = 2t - 1/2 


• Jika 

maka 

y = t 

x = 1/4 + 1/2 t 




• Soal x 1 - 4x 2 + 7x 3 = 8 


• Jika x1 = s dan x2 = t 

maka x3 = 8/7 + s/7 + 4/7 t 



maka x1 = 8 + 4 s - 7 t 



maka x2 = -2 + 7/4 t - s 




• Untuk mencari himpunan pemecahan sistem 

persamaan kita dapat menentukan sebarang nilai x 

(salah satu peubah) sehingga dapat memecahkan 

persamaan untuk mencari nilai y (peubah lainnya) 

atau sebaliknya 

• Jika diperhatikan himpunan pemecahan tersebut 

diatas (dalam contoh soal) memiliki rumus yang 

berbeda tetapi menghasilkan himpunan pemecahan 

yang sama jika peubahnya berubah pada semua 

bilangan riil 




• Tulis matrik yang diperbesar untuk setiap sistem 

persamaan linear berikut : 

• x 1 - 2x 2 = 0 

3x 1 + 4x 4 = -1 

2x 1 – x 3 = 3 

• x 1 + x 3 = 1 

-x 1 + 2x 2 – x 3 = 3 




• Augmented matrix ( matrik yang diperbesar ) 

• x 1 - 2x 2 = 0 

3x 1 + 4x 4 = -1 

2x 1 – x 3 = 3 





• x 1 + x 3 = 1 

-x 1 + 2x 2 – x 3 = 3 




• Tulis matrik yang diperbesar untuk setiap sistem 

persamaan linear berikut : 

• x 1 + x 3 =1 

2x 2 – x 3 + x 5 = 2 

2x 3 + x 4 = 3 

• x 1 = 1 

x 3 = 3 





• x 1 + x 3 =1 

2x 2 – x 3 + x 5 = 2 

2x 3 + x 4 = 3 





• x 1 = 1 

x 3 = 3


• Matrik yang diperbesar (Augmented Matrix) 

adalah penulisan sistem persamaan yang terdiri 

dari m persamaan linier dengan n peubah atau 

bilangan tidak diketahui dalam bentuk jajaran 

empat persegi panjang 




• Sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m 

persamaan linier dengan n bilangan tidak 

diketahui dapat ditulis sbb : 




• x1, x2, . . . , xn bilangan tidak diketahui 

• a dan b 

• m 

• n 

• a11 

• a12 

konstanta 

jumlah persamaan linier 

jumlah bilangan tidak diketahui 

terdapat pada persamaan 1 dan 

mengalikan bil. tidak diketahui x1 

terdapat pada persamaan 1 dan 

mengalikan bil. tidak diketahui x2 




• Jika dicermati letak +, x, dan = maka sistem 

persamaan yang terdiri dari m persamaan linier 

dengan n bilangan tidak diketahui dapat ditulis 

dlm bentuk jajaran empat persegi panjang sbb : 




• Tulis sistem persamaan linear berikut : 

1 0 -1 2 

2 1 1 3 

0 -1 2 4 

1 0 0 

0 1 0 

1 -1 1 





1 0 -1 2 

2 1 1 3 

0 -1 2 4 

• x1 – x3 = 2 

2x1 + x2 + x3 = 3 

-x2 + 2x3 = 4 

• x – z = 2 

2x + y + z = 3 

-y + 2z = 4 





1 0 0 

0 1 0 

1 -1 1 

• x1 = 0 

x2 = 0 

x1 - x2 = 1 

• x = 0 

y = 0 

x - y = 1 





1 2 3 4 5 

5 4 3 2 1 

1 0 0 0 1 

0 1 0 0 2 

0 0 1 0 3 

0 0 0 1 4 





1 2 3 4 5 

5 4 3 2 1 

• x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5 

5x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 1 

• x + 2y + 3z + 4w = 5 

5x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 1 



Gauss Elemination 

• Apa yang dimaksud dengan matriks dalam 

bentuk eselon baris (row-echelon form) dan 

eselon baris tereduksi (reduced row-echelon 

form) 

• Berikan contoh matriks 

• dalam bentuk eselon baris (row-echelon form) 

• eselon baris tereduksi (reduced row-echelon form) 




• Pecahkan sistem berikut dengan menggunakan 

eliminasi Gauss 

• x 1 + x 2 + 2x 3 = 8 

-x 1 – 2x 2 + 3x 3 = 1 

3x 1 – 7x 2 + 4x 3 = 10 

• 2x 1 - 3x 2 = -2 

2x 1 + x 2 = 1 

3x 1 + 2x 2 = 1 





eliminasi Gauss 

• 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 0 

-2x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 0 

-7x 1 + 7x 2 + x 3 =0 

• 4x 1 - 8x 2 = 12 

3x 1 – 6x 2 = 9 

-2x 1 + 4x 2 = -6 



Gauss-Jordan Elemination 


eliminasi Gauss-Jordan 

• x – y + 2z – w = -1 

2x + y – 2z – 2w = -2 

-x + 2y – 4z + w = 1 

3x – 3w = -3 



Gauss-Jordan Elemination 


eliminasi Gauss-Jordan 

• 3x 1 + 2x 2 – x 3 = -15 

5x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 0 

3x 1 + x 2 + 3x 3 = 11 

11x 1 + 7x 2 = -30 




• Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan 

linear homogen 

• Berikan contoh sistem persamaan linear 

homogen 

• Berikan bentuk umum dari sistem persamaan 

linear homogen 

• Apa yang dimaksud dengan pemecahan trivial 

(trivial solution) 




• Pecahkan sistem persamaan linear homogen 

berikut : 

• x 1 + 6x 2 - 2x 3 = 0 

2x 1 - 4x 2 + x 3 = 0 




• Pecahkan sistem persamaan linear homogen 

berikut : 

• 3x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 

5x 1 - x 2 + x 3 - x 4 = 0 



Thanks 

• Have a nice learning in Math

04. Pertemuan 04 - Persamaan Linier

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?