MODUL MTEMATIKA KELAS XII

a

BAB I
MATRIKS
Kompetensi Dasar
1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama
yangdianutnya.
1.2 Menghayati perilaku disiplin, sikap
kerjasama, sikap kritis dan cermat dalam
bekerja menyelesaikan masalah kontekstual
1.3 Menganalisis konsep, nilai determinan dan
sifat operasi matriks serta menerapkannya
dalam menentukan invers matriks dan dalam
memecahkan masalah
1.4 Menyajikan dan menyelesaikan model
matematika dalam bentuk persamaan matriks
dari suatu masalah nyata yang berkaitan
dengan persamaan linier.
Pengalaman Belajar
Melalui pembelajaran matriks, siswa
memperoleh pengalaman belajar :
1. Mengamati dan menemukan konsep
determinan matriks beserta sifat operasi
dterminan matriks
2. Mengamati dan menemukan konsep
invers dari matriks
3. Menerapkan konsep matriks dalam
menyelesaikan masalah sehari-hari.
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
1

PETA KONSEP
MATRIKS
Determinan
Matriks
Invers
Matriks
Penerapan
Matriks Ordo1x1 ,
2x2 , 3x3
Syarat Invers
Masalah Nyata
Minor dan
Kofaktor
Adjoint
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
2

BAB I MATRIKS
A. DETERMINAN
Misalkan A adalah matriks kuadrat maka determinan matriks tersebut
dinyatakan dengan det(A) atau | A |. Determinan A dikatakan berordo n, jika A
merupakan matriks kuadrat berordo nxn.
Cara menghitung nilai determinan suatu matriks :
1. Determinan Matriks berordo Satu
Misalkan A adalah matriks bujursangkar berordo 1
A = [a11], maka det A = | A | = a11
2. Determinan Matriks berordo dua dan tiga (2x2, 3x3)
Determinan matriks yang berordo 2x2 didefinisikan sebagai :
A
a
a
11
21
a
a
12
22
a
11
a
22
a
12
a
21
Sebagai contoh :
Determinan dari matriks
A
2
1
3
4
A
2
1
3
4
5
2
4
3
1
adalah :
Determinan matriks yang berordo 3x3
Jika
A
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
maka nilai determinan dari matriks A adalah:
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
3

Dengan Cara Sarrus :
A
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
det
A
a
11
a
22
a
33
a
12
a
23
a
32
a
13
a
23
a
32
a
13
a
22
a
31
a
11
a
23
a
32
a
12
a
21
a
33
Sebagai contoh :
Jika matriks
1
0 3
A 2
1 4 maka nilai determinannya adalah :
0
2 0
A
det A
det A
1 0 3 1 0 3 1 0
2 1 4 2 1 4 2 1
0 2 0 0 2 0 0 2
1.1.0 0.4.0 3.2.2 3.1.0 1.4.2 0.2.0
0 0 12 0 8 0 4
Catatan : Cara Sarrus hanya boleh digunakan pada matriks 3 x 3
3. Nilai Determinan dengan Kofaktor
Untuk mencari nilai matriks berordo nxn dapat diselesaikan dengan cara
menggunakan kofaktor, tetapi haruslah dikenal dulu minor dari elemen matriks.
Minor dari elemen aij, dimana aij merupakan satu elemen dari matriks kuadrat A,
dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan sebagai determinan dari bagian matriks A
diluar baris ke-i dan kolom ke-j. Bilangan (-1) i+j . Mij dinyatakan dengan cij dan
disebut kofaktor dari elemen aij :
cij = (-1) i+j . Mij
Determinan dari matriks kuadrat A dengan ordo nxn dapat dihitung
dengan mengalikan elemen-elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan
kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan, yakni
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
4

untuk setiap
1
i
n
dan
1
j
n
, maka :
A
a c a c ...
1 j
1 j
2 j
2 j
a
nj
c
nj
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j), dan
A
a c a c ...
i1
i1
i2
i2
a
in
c
in
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i)
Sebagai contoh :
1
0 3
Jika matriks A 2
1 4 maka nilai determinannya adalah :
0
2 0
a) Dengan mempergunakan baris ke-1 (i=1)
Det A = | A | = a11 c11 + a12c12 + a13c13
M
M
M
11
12
13
cij = (-1) i+j . Mij
c11 = (-1) 1+1 . (-8) = -8
c12 = (-1) 1+2 . (0) = 0
c13 = (-1) 1+3 . (4) = 4
A a
1 4
2 0
2 4
0 0
2 1
0 2
11
c
11
a
1.0 4.2 8
2.0 4.0 0
2.2 1.0 4
12
12
a
13
13
1.( 8)
0.0 3.(4)
4
c
c
b) Dengan mempergunakan kolom ke-1 (j=1)
M
11
1 4
2 0
1.0
4.2
8
M
21
0
2
3
0
0.0
3.2
6
M
31
0 3
1 4
0.4
3.1
3
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
5

cij = (-1) i+j . Mij
c11 = (-1) 1+1 . (-8) = -8
c21 = (-1) 2+1 . (-6) = 6
c31 = (-1) 3+1 . (-3) = -3
A a
11
c
11
a
21
21
a
31
31
1.( 8)
2.6 0. 3
4
Contoh Lain` :
Jika matriks
Jawab :
c
c
3
4 2 7
2
3 3 2
A maka nilai determinannya adalah ?
5 7 3 9
2
3 2 3
Dengan menggunakan bari ke-1 (i=1)
c
11
(
1)
11
3 3
7 3
3 2
2
3 9 7 9 7 3
9 13
3
2
2 3 3 3 3 2
3
3(9
18)
3(21
27) 2(14 9)
3(
9)
3(
6)
2(5)
1
c
c
12
13
(
1)
(
1)
12
13
2
5
2
2
5
2
3
3
2
3
7
3
2
3 9 5 9 5 3
9 12
3
2
2 3 2 3 2 2
3
2(9 18)
3(15
18)
2(10 6)
2( 9)
3(
3)
2(4)
( 18
9 8)
1
2
7 9 5 9 5 7
9 12
3
2
3 3 2 3 2 3
3
2(21
27) 3(15
18)
2(15 14)
2( 6)
3(
3)
2(1)
1
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
6

c
14
(
1)
14
2
5
2
3
7
3
3
7
3 12
3
2
10 12
3
1
3 5
3
2 2
2(5) 3(4)
3(1)
3 5
3
2 2
2(14 9) 3(10
6) 3(15
14)
7
3
A a11
a12
a13
a14
3(1)
4(1) 2( 1)7(
1)
2
Jadi det(A) = -2
Soal Latihan
1. Hitung determinan dari matriks – matriks berikut ini :
a.
2
0
1
2. Diketahui :
1
A5
3
2
1
2
1
1
4
4
2
1
1
3
4
b.
k
1
2
2
2
k 2
Hitung determinan matriks A dengan cara :
a. Sarrus
b. Kofaktor
- Menggunakan baris ke-1 (i=1)
- Menggunakan kolom ke-1 (j=1)
1
1
3
k 3
3. Carilah semua nilai dimana determinan berikut sama dengan 0
2
3
4
3
4. Dengan menggunakan kofaktor cari determinan dari matriks A berikut :
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
7

3
1
A
2
3
5
2
4
7
2
1
1
5
6
1
5
3
B. INVERS MATRIKS
Matriks persegi A mempunyai invers, jika ada matriks B sedemikian hingga
AB BA
I n n
A dan B disebut saling invers.
dengan I matriks identitas. Pada persamaan
AB BA
I n n
,
Berikut ini adalah syarat suatu matriks A mempunyai invers:
• Jika │A│= 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu,
dikatakan matriks A sebagai matriks singular.
• Jika │A│≠ 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu,
dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.
Contoh:
Tunjukkan bahwa
Penyelesaian:
5
A
2
7
3
dan
3
B
2
Kita harus membuktikan bahwa AB=BA=I2×2.
5
7
3 7
1
0
AB
2
3
2 5 0
1
3 75
71
0
BA
2 5 2
30
1
7
saling invers!
5
Perhatikan bahwa AB=BA=I2×2 sehingga dapat dikatakan bahwa A dan B
saling invers..
Untuk matriks
inversnya sebagai berikut
a
b
A berordo 2 ×2 ini, kita dapat menentukan
c d
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
8

A
A
1
1
1
Adj A
det A
1 d
ad bc
c
b
a
Untuk menentukan invers suatu matriks dengan ordo 3× 3, kalian harus
memahami tentang matriks minor, kofaktor, dan adjoint.
B.1. Adjoint
Misalkan suatu matriks A berordo n × n dengan Aij kofaktor dari matriks A,
maka
Adjoint A (Adj A) =
A
A
A1
11
12
n
A
A
A
21
22
2n
An
1
An
2
A
nn
Untuk matrik A berordo 3×3 maka
Adj
A
A A
A
11
12
13
A
A
A
21
22
23
A
A
A
31
32
33
Contoh:
Tentukan invers dari matriks
1
A 2
1
2
5
0
3
3
8
Penyelesaian:
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
9

Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
10
2
2
0
0
1
2
1
5
3
8
8
1
3
1
16
0
16
8
0
3
2
5
5
0
0
1
5
2
13
3
16
8
1
3
2
40
0
40
8
0
3
5
1
32
0
15
0
6
40
0
1
5
2
2
1
8
0
1
3
5
2
3
2
1
23
22
21
13
12
11
A
A
A
A
A
A
A
A
1
2
5
3
5
13
9
16
40
1
1
2
5
3
5
13
9
16
40
1
2
5
3
5
13
9
16
40
1
4
5
5
2
2
1
3
6
3
3
2
3
1
9
15
6
3
5
3
2
1
33
32
31
A
A
Adj
A
A
Adj
A
A
A

Soal Latihan
1. Tentukanlah syarat agar matriks
2. Diketahui matriks
3. Diketahui matriks
1
A
2
4
A
3
3
4
7
5
a
b
a
a
a b
tidak mempunyai invers!
. Tunjukkan bahwa (A -1 ) t = (A t ) -1 !
dan
Jika │A t │= k│B t │,tentukan nilai k!
4. Tunjukkan bahwa
2
3
3
4
7
1
8
4
0
9
3
7
1
2
1
7
9
6
2
5
5
8
2
3
4
2
B
4
1
3
habis dibagi 19!
C. Menyelesaikan Masalah dengan Mempergunakan Matriks
Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang penyelesaian system
persamaan linear dengan menggunakan metode grafik, metode eliminasi, dan
metode substitusi. Pada bab ini, kita akan menyelesaikan system persamaan linear
tersebut dengan menggunakan matriks. Misalkan, sistem persamaan linear berikut.
ax + by = e
cx + dy = f
Sistem persamaan linear tersebut dapat kita tuliskan dalam persamaan matriks
berikut.
a
c
b
x
d
y
e
f
Persamaan matriks ini dapat kita selesaikan dengan menggunakan sifat berikut :
1. Jika XA=B, maka X=A -1 B, dengan |A| ≠ 0
2. Jika XA=B, maka X=BA -1 , dengan |A| ≠ 0
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
11

Contoh:
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut!
3x - 4y = 5
5x + 6y = 1
Penyelesaian:
Terlebih dahulu, ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi persamaan
matriks berikut.
3
4
x 5
5
6
y
1
A X B
Kemudian, tentukan determinan matriks A, yaitu :
A
3
5
4
18
6
20 38
Penyelesaian sistem persamaan linear tersebut dapat kita tentukan dengan
cara berikut.
A
1
x
y
A
jadi,
x
1 6
38
5
1 6
38
5
A
1
17
19
4
3
17
45
19
31
11
19
dan
B
11
y
19
Selain dengan cara di atas, sistem persamaan linear dapat juga diselesaikan
dengan menggunakan aturan Cramer berikut.
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
12

Jika AX=B maka
x
A1
A2
, x2
, , x
A A
1
j
A
j
A
Aj adalah matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen pada
kolom-j dari matriks A dengan elemen-elemen matriks B.
Contoh:
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut!
3x - 4y = 5
5x + 6y = 1
Penyelesaian:
Terlebih dahulu tentukan │A│,│A1│, dan │A2│
3
4
A 38
5
6
5
4
A1
34
1
6
3
5
A2
22
5
1
A1
34 17
jadi x
A 38 19
dan y
A
2
A
22 11
38 19
Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah
17
x
19
dan
11
y
19
Contoh lain
Diketahui: 2x - 5y + 2z = 7 ; x + 2y - 4z = 3 ; 3x – 4y - 6z = 5
Penyelesaian:
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
13

SPLTH tsb mempunyai m=n dan akan dihitung apakah det(A)0
A
2
1
3
5
2
4
2
4
6
0
1
0
9
2
10
10
4
6
9
1
10
10
6
46
0
x
7
3
5
5
2
4
46
2
4
6
=
7
17
26
5
8
19
46
2
0
0
17 8
2
26 19
46
5
2 7 2
1 3 4
3 5 6
y =
46
2
5
9
7
17
26
46
2
0
0
5
2
9
17
26
46
1
z
2
1
3
5
2
4
46
7
3
5
=
0
1
0
9
2
10
46
1
3
4
9 1
1
10
4
46
1
Jadi x=5, y=1, z=1
Soal Latihan
1. Selidikilah apakah matriks-matriks berikut mempunyai invers? Jika mempunyai
invers, tentukan inversnya!
a). A =
2
3
3
4
c). C =
2
1
4
3
e). E =
8
2
4
1
b). B =
4
2
2
1
d). D =
7
4
6
3
2. Carilah nilai x dan y pada sistem persamaan linier berikut dengan cara matriks !
a). 5x
2y
4
2x
y 7
c).
2x
y 6
3x
4y
2 0
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
14

).
2x
3y
9
4x
5y
7
d).
7x
3y
13
0
x 2y
14
0
3. Carilah matriks X pada persamaan matriks berikut.
a).
2
3
12
14
X
3
4
17
19
b).
2
X.
1
5
6
3 7
13
18
c).
2
3
1
X
6
5
12
1
6
5. Carilah nilai x ,y dan z pada sistem persamaan linier berikut dengan cara
matriks !
a).
2x
3y
4z
8
3x
4y
2z
5
x
2y
2z
11
b).
3x
4y
z 11
5x
2y
3z
19
2x
3y
4z
17
c).
2x
3y
23
2x
2z
6
2y
z 13
d).
x 2z
4
2y
3z
3
3x
y 3
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
15

Soal-soal Pilihan ganda
Berilah tanda silang pada huruf A , B , C , D dan E sesuai dengan pilihan jawaban
yang paling tepat !
1. Diketahui K =
a
2 3
5
4 b
8
3c
11
dan L =
6
5
8
2
4
4b
3
21
11
jika K =L maka c adalah . . .
a. 16 b. 15 c. 14 d. 13 e. 12
2. Diketahui
4 2
4
2
5p
q 5
2
q 3
maka . . .
a. p = 1 dan q = -2 d. p = 1 dan q = 8
b. p = 1 dan q = 2 e. p = 5 dan q = 2
c. p = -1 dan q = 2
3. Jika A =
1
3
2
4
B =
2
0
3
1
dari (A+C) – (A+B) adalah . . . .
a.
5
5
4
4
C =
c.
5 2
1
0
4 0
4
4
makabentuk yang paling sederhana
e.
7
1
1
1
4
7
b.
2
5
3 1
d.
1
1
4 . Hasil kali
1
4
2
5
3
6
1
3
5
2
4
6
adalah . . . .
a.
22
49
28
64
c.
1
4
4
15
6
30
e.
1
3
5
2
4
6
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
16

.
22
28
49
64
d.
2
4
8
15
16
30
5 . 2
1
1
2
1
2
+ 3
3
0
3
+ k
2
1
3
=
2
3
2
maka k adalah . . . .
a. -4 b. -2 c. 2 d. 3 e. 4
6 . Jika
4
3
1
a
1
2a
b
1
7
=
1
15
7
20
maka nilai b adalah . . . .
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
7 . Jika diketahui matriks A =
1
2
1
2
dan B =
1
4
1
2
maka (A + B) 2 sama
dengan . . .
a.
4
6
0
9
c.
4 0
12
16
e.
4 0
6
9
b.
4
6
0
9
d.
4
6
0
9
8. Diketahui matriks A =
a
2b
4
3c
dan B =
2c
3b
a
2a
1
jika A = 2B t maka
b 7
nilai c = ….
a. 2 b. 3 c. 5 d. 8 e. 10
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
17

BAB II
BUNGA,
PERTUMBUHAN
, PELURUHAN
Kompetensi Dasar
2.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama
yang dianutnya.
2.2 Menghayati perilaku disiplin, sikap kerjasama,
sikap kritis dan cermat dalam bekerja
menyelesaikan masalah kontekstual
2.3 Mendeskripsikan konsep barisan dan deret
pada konteks dunia nyata, seperti bunga,
pertumbuhan dan peluruhan.
2.4 Mengidentifikasikan, menyajikan model
matematika dan menyelesaikan masalah
keseharian yang berkaitan dengan barisan dan
deret aritmatika, geometri dan yang lainnya.
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
Pengalaman Belajar
Melalui pembelajaran pertumbuhan dan peluruhan
siswa memperoleh pengalaman belajar :
1. Mengamati dan mendeskiripsikan
karakteristik masalah pertumbuhan dan
peluruhan
2. Mengamati dan menerapkan konsep
barisan dan deret geometri untuk
menyelesaikan masalah pertumbuhan dan
peluruhan
18

PETA KONSEP
BUNGA,
PERTUMBUHAN,
PELURUHAN
BUNGA PERTUMBUHAN PELURUHAN
BUNGA
TUNGGAL
BUNGA
MAJEMUK
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
19

BAB II BUNGA, PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN
A. Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk
A.1 BUNGA TUNGGAL
Pengertian Bunga
Bunga adalah jasa dari simpanan atau pinjaman yang dibayarkan
pada akhir suatu jangka waktu yang ditentukan atas persetujuan bersama.
Pengertian Bunga Tunggal
Bunga tunggal adalah bunga yang timbul pada setiap akhir jangka waktu
tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal (besarnya modal tetap).
Besarnya bunga berbanding senilai dengan persentase dan lama
waktunya dan umumnya berbanding senilai pula dengan besarnya modal.
Jika modal sebesar M dibungakan dengan bunga p % setahun maka:
a. Setelah t tahun, besarnya bunga:
I
p
M t
100
b. Setelah t bulan, besarnya bunga:
I
p t
M
100 12
c. Setelah t hari, besarnya bunga:
- Jika satu tahun 360 hari, maka:
I
p t
M
100 360
- Jika satu tahun 365 hari, maka:
I
p t
M
100 365
- Jika satu tahun 366 hari (tahun kabisat), maka:
p t
I M
100 366
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
20

Contoh:
Budi meminjam uang sebesar Rp 1.000.000,00 kepada Edi dengan tingkat
bunga 18% pertahun. Hitung besarnya bunga selama:
a) 2 tahun
b) 6 bulan
c) 50 hari
d) 2 tahun 6 bulan dan 50 hari!
Penyelesaian
M = 1.000.000 dan p = 18
a) Besarnya bunga selama 2 tahun
i =
i = = 360000
Jadi besarnya bunga selama 2 tahun sebesar Rp 360.000,00
b) Besarnya bunga selama 6 bulan:
i =
x M x
i = x 1000000 x = 90000
Jadi besarnya bunga adalah Rp 90.000,00
c) Besarnya bunga selama 50 hari:
i =
x M x
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
21

i = x 1000000 x = 25000
Jadi besarnya bunga dalam 50 hari adalah sebesar Rp 25.000,00
d) Besarnya bunga dalam 2 tahun 6 bulan dan 50 hari dapat dicari
dengan jalan menjumlahkan bunga 2 tahun + bunga 6 bulan + bunga 50
hari:
Atau dapat dicari dengan jalan menghitung waktu seluruhnya dalam hari,
sehingga 2 tahun 6 bulan 50 hari = 950 hari, sehingga:
i =
x M x
i = x 1000000x = 475000
Jadi besarnya bunga selama 2 tahun 6 bulan dan 50 hari adalah Rp
475.000,00
Soal Latihan
1. Adelia meminjam uang sebesar Rp. 800.000,- dan harus mengembalikan
setelah satu bulan sebesar Rp. 1.000.000,-. Berapa persen perbulankah bunga
tunggal atas hutang Adelia?
2. Jika besar bunga tunggal sebuah pinjaman perbulan adalah 8 %, berapa
jumlah uang yang harus dikembalikan Bagus jika ia meminjam Rp.
1.000.000,- dan dikembalikan setelah 10 bulan?
3. Canda harus mengembalikan pinjamannya setelah 6 bulan sebesar Rp.
800.000,- Jika pada pinjaman tersebut berlaku bunga tunggal 3 % perbulan,
berapakah hutang Canda sebenarnya.
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
22

B. BUNGA MAJEMUK
Jika kita menyimpan modal berupa uang di bank selama periode bunga
tertentu, misalnya satu tahun maka setelah satu tahun kita akan mendapatkan
bunga sebesar p % kali modal yang kita bungakan. Jika bunga itu tidak kita ambil,
tetapi ditambahkan pada modal awal untuk dibungakan lagi pada periode
berikutnya, sehingga besarnya bunga pada setiap periode berikutnya berbeda
jumlahnya (menjadi bunga berbunga), maka dikatakan modal tersebut dibungakan
atas dasar bunga majemuk.
a. Perbedaan Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk
Bunga tunggal dihitung berdasarkan modal yang sama setiap periode
sedangkan bunga majemuk dihitung berdasarkan modal awal yang sudah
ditambahkan dengan bunga.
b. Perhitungan Nilai Akhir Modal
a. Dengan menggunakan rumus
Jika modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuk sebesar p
% setahun selama n tahun, maka besarnya modal setelah n tahun
adalah:
• Setelah satu tahun
M
M
1
P
M
100
P
M 1
100
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
23

• Setelah dua tahun
M
2
P P P
M 1
M 1
100 100 100
P P
M 1
1
100 100
P
M 1
100
2
• Setelah n tahun
M
n
P
M1
100
n
Contoh soal
Modal sebesar Rp 1.000.000,00 diperbungakan dengan dasar bunga majemuk 3%
setahun. Hitunglah nilai akhir modal setelah 3 tahun.
Jawab : Misalkan M = 1.000.000,00, n = 3 tahun, p = 3%.
M 3 = M (1+i) 3
= 1.000.000 (1+0,03) 3
= 1.000.000 (1,03) 3
= 1.000.000 x 1,092727
= 1.092.727
Jadi nilai akhir setelah 3 tahun = Rp 1.092.727,00
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
24

Soal Latihan
1. Carilah nilai akhir modal besarnya Rp 200.000,- yang diperbungakan dengan
bunga majemuk 10 % tiap semester selama 1 tahun 3 bulan.
2. Hitunglah nilai tunai dari Rp 16.900,- yang harus dibayar 2 tahun kemudian
dengan bunga majemuk 30 % setahun.
3. Uang sebesar Rp 100.000 diperbungakan dengan bunga majemuk 3 ½ %
setiap triwulan. Setelah berapa lamakah uang itu diperbungakan, agar supaya
uang itu jumlahnya menjadi Rp 198.978,88.
4. Modal sebesar Rp 50.000,- disimpan dengan bunga majemuk 10 % tiap catur
wulan. Hitunglah nilai akhir modal itu setelah satu tahun.
5. Hitung nilai akhir modal yang besarnya Rp 20.000,- diperbungakan selama 1
tahun 3 bulan atas dasar bunga majemuk 20 % tiap setengah tahun.
6. Hitunglah nilai tunai dari Rp 185.900,- yang harus dibayarkan 2 tahun 4 bulan
kemudian, dengan bunga majemuk 30 % setahun.
7. Hitung nilai tunai uang Rp 200.000,- yang harus dibayar 8 tahun 2 bulan
kemudian, apabila dasar bunga majemuk 4 % setiap semester.
8. Carilah nilai tunai dari Rp 250.000,- yang harus dibayar 5 tahun 2 bulan
kemudian dengan bunga majemuk 2 1/2 % tiap triwulan.
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
25

C. Model Pertumbuhan Penduduk
Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah
dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh
Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Secara matematik,
hal ini dapat dirumuskan sebagai :
Pt = P1R t-1
Dimana
R = 1 + r
P1
Pt
r
t
= jumlah pada tahun pertama (basis)
= jumlah pada tahun ke-t
= persentase pertumbuhan per-tahun
= indeks waktu (tahun)
Contoh Soal
1. Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta pada tahun 1991, tingkat
pertumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada
tahun 2006.
Jawaban :
P1 = 1.000.000
r = 0,04
R = 1,04
P2006 = P16= 1000000 (1,04) 15
= 1.000.000 ( 1,800943)
= 1.800.943
2. Jumlah penduduk kota X pada tahun 1994 mencapai 2 juta jiwa. Bila jumlah
penduduk di kota tersebut meningkat dengan laju 2,5% pertahun dan andaikan
laju pertambhan itu tetap sebesar itu dalam setiap tahunnya, tentukanlah
banyaknya penduduk di kota X pada tahun 1999.
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
26

Jawaban :
Pertumbuhan penduduk pada dasarnya sama dengan pertambahan tabungan yang
disimpan di Bank. Jadi, apabila banyaknya penduduk mula-mula P dengan tingkat
kenaikan penduduk I%, sedangkan banyaknya penduduk setelah t tahun adalah Pt,
maka tentunya banyaknya penduduk pada saat t tahun adalah :
Pt = P(1 + I) t
Jadi, dari soal di atas kita dapatkan, banyaknya penduduk di kota X pada tahun
1999 (setelah 5 tahun) menjadi :
P5 = 2.000.000 (1 + 0,025) 5
= 2 . 10 6 . (1,025) 5
Dengan bantuan kalkulator, kita dapatkan
P5 = 2 . 10 6 (1,025) 5
= 2 . 10 6 (1,1314)
= 2.262.816 (dibulatkan).
Soal Latihan
1. Pada tahun 2010, jumlah penduduk Kabupaten A adalah 278.741 jiwa.
Berapakah perkiraan jumlah penduduk Kabupaten A pada tahun 2020, jika
diketahui laju pertumbuhan penduduk geometriknya adalah 3,03 persen.
2. Pada tahun 2000, jumlah penduduk Kabupaten A adalah 206.730 jiwa.
Kemudian pada tahun 2010, jumlah penduduk Kabupaten A menjadi 278.741
jiwa. Berapakah laju pertumbuhan penduduk geometrik Kabupaten A per
tahun?
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
27

BAB III
BARIS DAN DERET ARITMATIKA
Kompetensi Dasar:
3.1 Memiliki motivasi internal,
kemampuan bekerjasama, konsisten,
sikap disiplin, rasa percaya diri, dan
sikap toleransi dalam perbedaan
strategi berpikir dalam memilih dan
menerapkan strategi menyelesaikan
masalah.an
3.2 Memprediksi pola barisan dan deret
aritmatika dan geometri atau barisan
lainnya melalui pengamatan dan
memberikan alasannya.
3.3 Menyajikan hasil menemukan pola
barisan dan deret dan
penerapannya.dalam penyelesaian
masalah sederhana.
Pengalaman Belajar:
Melalui pembelajaran matriks, siswa
memperoleh pengalaman belajar:
1. Terlibat aktif dalam pembelajaran
barisan dan deret bilangan
2. Memprediksi pola barisan aritmatika
3. Menyajikan hasil menemukan pola
barisan aritmatika
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
28

PETA KONSEP
BARIS DAN DERET
ARITMATIKA
POLA, BARISAN
DAN NOTASI
BARISAN
ARITMATIKA
DERET
ARITMATIKA
POLA DAN BARISAN
BILANGAN
NOTASI SIGMA
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
29

BAB III
BARIS DAN DERET ARITMATIKA
A. POLA BILANGAN, BARISAN BILANGAN, DAN NOTASI
BILANGAN
1. Pola dan Barisan Bilangan
• Barisan bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5, …
• Barisan bilangan genap: 2, 4, 6, 8, …
• Barisan bilangan gajil: 1, 3, 5, 7, …
Pola bilangan digunakan dalam menentukan urutan atau letak suatu
bilangan dari sekumpulan bilangan. Misalkan bilangan kelima dari
sekumpulan bilangan genap : 9, 12, 15, 18, 21, …adalah 21. Bagaimana
menentukan bilangan kelima belas?
Dengan mengetahui pola atau aturan bilangan, maka bilangan ke-n dapat
ditentukan dengan mudah.
Barisan bilangan adalah susunan anggota suatu himpunan bilangan yang
diurutkan berdasarkan pola atau aturan tertentu.
Anggota barisan bilangan disebut suku barisan yang dinyatakan sebagai
berikut:
U 1 , U 2 , U 3 , . . . , U n
Sedangkan penjumlahan dari suku-suku suatu barisan disebut deret. Bentuk
umum deret bilangan adalah sebagai berikut:
U 1 + U 2 + U 3 + . . . + U n
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
30

Menurut banyak suku-suku pembentuknya deret bilangan dibedakan menjadi
deret hingga dan deret tak hingga, Misalnya:
• 2 + 5 +8 + 11 + 14 + 17 adalah suatu deret hingga.
• 2 + 5 +8 + 11 + . . . adalah suatu deret tak hingga.
2. Notasi Sigma
Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ……….. (1)
Pada bentuk (1)
Suku ke-1 = 1 = 2.1 – 1
Suku ke-2 = 3 = 2.2 – 1
Suku ke-3 = 5 = 2.3 – 1
Suku ke-4 = 7 = 2.4 – 1
Suku ke-5 = 9 = 2.5 – 1
Suku ke-6 = 11 = 2.6 – 1
Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan dalam bentuk:
2k – 1, k { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
1
3 5 7 9 11
Dengan notasi sigma bentuk penjumlahan (1) dapat ditulis
Untuk menuliskan jumlah dari suku-suku barisan bilangan dapat
digunakan notasi sigma atau penjumlahan sebagai berikut:
6
k1
(2k -1)
U 1 + U 2 + U 3 + . . . + U n =
n
U k
k 1
Sifat-sifat Notasi Sigma :
n
1.
ak a1
a2
a3...
an.
2.
3.
4.
k 1
n
k m
n
k n
m
k m
n
Cak C
n
k m
(ak bk)
ak
n
p
k m
p
ak
n
k m
ak p
5.
C ( n m 1)
C
k m
ak
n
k m
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
bk
31

6.
7.
p1
k m
m 1
k m
ak
Contoh1:
n
k p
ak 0
ak
n
k m
ak
Hitunglah
Jawab:
5
k 2
k 1
...
5
k 2
k 1
2
13
14
15
1 3 4 5 6 18
Contoh 2:
Tunjukkan bahwa:
Jawab:
Contoh 3 :
Hitung nilai dari:
3
i1
3
j1
3
k1
(4i
2)
3
j1
(4 j 2)
(4i
2) (4.1
2) (4.2 2) (4.3
3) 30
(4 j 2) (4.1
2) (4.2 2) (4.3 2) 30
3
k 1
6k
2
6
k 4
6k
2
Jawab:
3
k 1
6k
2
6
k 4
6k
2
6
k 1
6k
2
6
6
k 1
k
2
= 6 (1 2 +2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 )
= 6 (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)
= 6.91
= 546
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
32

Latihan Soal
1. Tulislah lima suku pertama barisan berikut:
a. U n
n
2 2n
b.
U n
n
n 2 1
2. Tulislah lima suku berikutnya dari barisan:
a. 7, 12, 17, …
b. 3, 8, 15, …
3. Tentukan hasil penjumlahan berikut:
10
a.
k 1
11
b.
k 2
3k
1
3k
k
2
4. Nyatakan penjumlahan berikut dalam notasi sigma.
a. 3 + 6 + 9 + . . . + 33
b. 1 +
2
3
3
5
...
11
21
5. Tulislah lima suku pertama barisan berikut:
a.
b.
U n
n
2 2n
U n
n
n 2 1
6. Tulislah lima suku berikutnya dari barisan:
a. 7, 12, 17, …
b. 3, 8, 15, …
7. Tentukan hasil penjumlahan berikut:
10
a.
k 1
3k
1
11
b.
k
2
3k
k
8. Tentukan penjumlahan berikut dalam notasi sigma.
a. 3 + 6 + 9 + . . . + 33
2
2 3 11
b. 1
...
3 5 21
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
33

B. BARISAN ARITMETIKA
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, …, Un-1, Un. Barisan
bilangan tersebut dikatakan barisan aritmetika, jika selisih untuk setiap suku
ke-n (Un) dengan suku sebelumnya (Un-1) adalah tetap (konstan). Selisih
tersebut dinamakan beda (b).
Misalkan suku pertama = a, beda = b, maka
U1, U2, U3, ..., Un
a, a + b, a + 2b, …, a+(n – 1)b
Dengan demikian, rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah:
U n = a + (n -1)b
Contoh:
1. Tentukan suku pertama, beda, dan rumus suku ke-n dari barisan bilangan 6, 11,
16, . . . .
Jawab:
a = 6
b = 11 – 6 = 5
Un = a + (n – 1)b
= 6 + (n – 1). 5
= 6 + 5n – 5
= 5n + 1
2. Diketahui barisan aritmatika 14, 9, 4, .... Tentukan suku ke-9 dari barisan
tersebut.
Jawab
a = 14
b = 9 – 14 = -5
Un = a + (n – 1)b
U9 = 14 + (9 – 1). (-5)
= 14 + 8.(- 5)
= 14 - 40
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
1

= - 26
3. Diketahui barisan aritmetika dengan U5 = 18 dan U10 = 38. Tentukan Suku ke-
15 dari barisan tersebut?
Jawab
a + 9b = 38
a + 4b = 18 b = 4 disubstitusikan ke persamaan a + 9b = 38
5b = 20 a + 9b = 3
b = 4 a + 9(4) = 38
a = 38 – 36
a = 2
U15 = a + 14 b = 2 + 14(4) = 2 + 56 = 58
C. DERET ARITMATIKA
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika. Jika U1, U2, U3,
…,Un adalah barisan aitmatika, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupakan deret
aritmatika. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan Sn.
Sn = U1 + U2 + U3 + …,Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah :
Sn =
Sn =
1
n 2a
( n 1)
b
2
1
n(
a Un)
2
U S
n
n
S
n1
Contoh:
1. Diketahui deret aritmetika 10 + 17 + 24 + . . . .
Tentukan:
a. Rumus jumlah n suku pertama (Sn)
b. Jumlah 10 suku pertama
Jawab:
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
2

1a. Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika 10 + 18 +
26 + . .
S
S
S
S
S
n
n
n
n
n
a = 10
b = 8
1
n2
a ( n 1)
b
2
1
. n2.10
( n 1).8
2
1
. n20
8n
8
2
1
. n12
8n
2
2
6n
4n
b. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika 10 + 18 + 26 +
. . . .
S
S
S
S
S
10
10
10
10
10
1
n2
a ( n 1)
b
2
1
.102.10
(10 1).8
2
5 20 72
5.92
460
2. Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn =
n
(5n 19)
2
Jawab:
Sn =
S1 =
n
(5n 19)
2
. Tentukan Suku pertama dari deret tersebut?
1
(5.119)
2
Sn =
n
(5n 19)
2
1
S2 = (5.2 19)
2
1
1
S1 = (5 19)
S2 = (10 19)
2
2
S1 = 1 .( 14)
2
S2 = 1
.( 9
2
)
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
3

S1 = - 7 S2 =
9
.
2
U S
U
U
1
1
n
n
S
2
S
S
9
2
n1
1
7
9
7
2
5
2
Latihan Soal
1. Tentukan suku pertama, beda, dan rumus suku ke-n dari barisan
bilangan 5, 11, 17, ..., 53.
2. Diketahui barisan aritmatika 3, 7, 11, .... Tentukan suku ke-9 dari
barisan tersebut.
3. Diketahui barisan aritmetika dengan U5 = 5 dan U10 = 15. Tentukan
Suku ke-20 dari barisan tersebut?
4. Diketahui barisan aritmetika dengan U3 = 16 dan U6 = 7. Tentukan
Suku ke-8 barisan tersebut ?
5. Diketahui deret aritmetika 10 + 16 + 22 + ... Tentukan:
a. Rumus jumlah n suku pertama (Sn)
b. Jumlah 8 suku
6. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan
tersebut 21 dan hasil kalinya 280. Carilah bilangan-bilangan itu?
7. Jumlah deret aritmetika 4 + 7 + 10 + ... adalah 5.550.
a. Hitung banyaknya suku pada deret tersebut.
b. Tentukan suku ke-20 dan suku terakhir dari deret tersebut.
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
4

BAB IV
BARIS DAN DERET GEOMETRI
Modul Matematika SMK Kelas XII geometri Semester I
KOMPETENSI DASAR
4.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama
yang dianutnya
4.2 Memiliki motivasi internal , kemampuan bekerja
sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan
sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir
dalam memilih dan menerapkan strategi
menyelesaikam masalah.
4.3 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku
jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin
dalam melakukan tugas belajar matematika.
4.4 Menunjukkan sikap tanggungjawab, rasa
ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.
4.5 Memprediksi pola barisan dan deret aritmatika
dan geometri atau barisan lainnya melalui pengamatan
dan memberikan alasannya
4.6 Menyajikan hasil menemukan pola barisan dan
deret dan penerapannya dalam penyelesaian masalah
sederhana
Pengalaman Belajar :
Melalui pembelajaran baris dan deret geometri, siswa
memperoleh pengalaman belajar :
1. Menemukan konsep barisan aritmatika
2. Menemukan konsep deret aritmatika
3. Menentukan suku ke- n barisan aritmatika
4. Menghitung jumlah n suku pertama deret
aritmatika
5. Menemukan konsep barisan geometri
6. Menemukan konsep deret geometri
7. Menentukan suku ke- n barisan geometri
8. Menghitung jumlah n suku pertama deret
5
9. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
barisan dan deret aritmatika

PETA KONSEP
BARIS DAN DERET
GEOMETRI
BARIS GEOMETRI DERET GEOMETRI DERET GEOMETRI
TAK HINGGA
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
6

BAB IV
BARIS DAN DERET GEOMETRI
A. BARISAN GEOMETRI
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri, jika nilai perbandingan
untuk setiap suku ke–n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap. Nilai
perbandingan itu disebut rasio ( r ), ditulis :
U
r
U
n
n1
Dimana r ≠ 0 atau r ≠ 1
Misalkan suku pertama sama dengan a, rasio sama dengan r, maka :
U1, U2, U3, ..., Un
a, ar, ar 2 , … ,ar n – 1
Dengan demikian, rumus suku ke – n barisan geometri adalah :
U n = ar n-1
Contoh:
1. Diketahui barisan geometri 5, 10, 20,....
Tentukan:
a. Suku pertama
b. Rasio
c. Rumus suku ke-n
d. Suku ke-6
Jawab:
a. Suku pertama = a = 5
U
n 10
b. Rasio = r 2
U 5
n1
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
7

c. Rumus suku ke-n = Un = ar n-1 = 5 . 2 n-1 = 5.
2 n
1
2
=
5
.2
2
n
d. Suku ke-6 = U6 =
5 6 5
.2
2
5.2
5.32 160
2. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp. 80.000.000,00.setiap tahun
nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual
setelah 3 tahun?
Jawab:
a = 80.000;
r =
3
4
Un = a.r n-1
U3 = a.r 2 = 80.000.000.
3
4
2
U3 = 80.000.000.
U3 = 45.000.000
9
16
B. DERET GEOMETRI
Jika suku-suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka diperoleh :
(a) + (ar) + (ar 2 ) + (ar 3 ) + .. + (ar n-1 ) = Sn
U1 + U2 + U3 + U4 + .. + Un = Sn
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri diperoleh dengan cara
berikut :
Sn = ( a ) + ( ar ) + ( ar 2 ) + ( ar 3 ) + ... + (ar n-1 ) → kalikan
kedua ruas r.
Sn = ( ar ) + ( ar 2 ) + ( ar 3 ) + ... + (ar n-1 ) + (ar n ) dengan r,
maka:
Sn - r.Sn = a + 0 + 0 + 0 + ... + 0 - (ar n )
(1 - r)Sn = a - ar n
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
8

= a(1 - r n )
Keterangan:
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku
Sn = Jumlah n suku yang pertama
C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Jika nilai mutlak rasio deret geometri a + ar + ar 2 + ar 3 + .. lebih dari satu,
yaitu |r| > 1, maka semakin tinggi indeksnya (n) akan semakin membesar
nilai suku tersebut. Dapat dikatakan bahwa jika n mendekati bilangan tak
hingga, maka suku ke-n pun akan mendekati bilangan tak hingga. Jika
suku-sukunya mendekati bilangan tak hingga, maka jumlah suku-sukunya
pun akan mendekati bilangan tak hingga. Pernyataan tersebut dapat ditulis
dalam notasi matematika berikut :
S
n
ar
1 lim r
x
1
Dengan demikian, jumlah deret geometri tersebut tidak dapat
ditentukan. Deret geometri tak hingga dengan |r| > 1 tersebut dinamakan
deret geometri divergen.
Jika deret geometri a + ar + ar 2 + ar 3 + .. mempunyai rasio 0 < |r| < 1,
maka semakin tinggi indeksnya (n) akan semakin kecil (mendekati nol)
nilai sukunya. Jika suku ke-tak hingga mendekati nol, maka jumlah sukusukunya
akan mendekati bilangan tertentu. Pernyataan tersebut dapat
ditulis dalam notasi matematika berikut :
S
n
r
1 a1
0
lim
a
a
r 1
x
(1 r)
1
r
lim
x
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
9

Sehingga untuk x →
, maka jumlah deret geometri tersebut berupa
bilangan tertentu. Deret geometri tak hingga dengan 0 < |r| < 1 tersebut
dinamakan deret geometri konvergen.
Latihan Soal
1. Diketahui barisan geometri 4,8,16,....Tentukan:
a. Suku pertama
b. Rasio
c. Rumus suku ke-n
d. Suku ke-6
2. Diketahui barisan geometri dengan suku ke-5 = 162 dan suku ke-2 = -6
Tentukan rasio barisan tersebut?
3. Jika (p + 1), (p - 2),(p - 8), . . . . membentuk barisan geometri, maka tentukan
rasionya?
4. Diketahui 4, a, b, c, 100 membentuk barisan geometri. Tentukan nilai dari
ac
b
?
5. Pertambahan penduduk tiap tahun di suatu daerah mengikuti deret geometri.
Pertambahan pendudk pada tahun 2000 sebesar 45 orang dan tahun 2002
sebesar 180 orang. Berapakah pertambahan penduduk tahun 2007?
6. Tentukan jumlah n suku pertama deret geometri berikut :
a. 2 + 6 + 18 + ...
b. 4 + 8 + 16 + ...
7. Hitunglah jumlah 10 suku pertama dari deret geometri 4 + 8 + 16 + ...
8. Tentukan banyaknya suku deret geometri 6 + 12 + 24 + … = 12.282
9. Diantara deret geometri berikut, mana yang dapat (konvergen) dan mana yang
tidak dapat (divergen) ditentukan jumlahnya :
a. 2 + 4 + 8 + ...
b. 16 + 8 + 4 + ...
c. 5 + 25 + 125 + ...
10. Tentukan jumlah sampai suku tak hingga deret geometri 625 + 125 + 25 + 5+
…
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
10

BAB V
INDUKSI MATEMATIKA
Kompetensi Dasar :
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester matematis I
5.1. Menghayati dan mengamalkan ajaran
agama yang dianutnya
5.2. Menghayati perilaku disiplin, sikap
kerjasama, sikap kritis dan cermat
dalam bekerja menyelesaikan masalah
kontekstual.
5.3. Memiliki dan menunjukkan rasa ingin
tahu, motivasi internal, rasa senang dan
tertarik dan percaya diri dalam
melakukan kegiatan belajar ataupun
memecahkan masalah nyata
5.4. Mendeskripsikan prinsip induksi
matematis dan menerapkannya dalam
membuktikan rumus jumlah deret
persegi dan kubik.
5.5. Mengidentifikasi, menyajikan model
matematika dan menyelesaikan masalah
induksi matematis dalam membuktikan
rumus jumlah deret persegi dan kubik.
Pengalaman Belajar :
Melalui pembelajaran Induksi
matematis siswa memperoleh
pengalaman belajar:
1. Mengamati dan menemukan pola
induksi matematis
2. Memanipulasi bentuk aljabar untuk
membuktikan suatu pernyataan
3. Menduga keberlakuan suatu
pernyataan matematis
4. Membuktikan suatu pernyataan
menggunakan induksi matematis
5. Menemukan kesalahan dalam pernyataan
11

PETA KONSEP
INDUKSI
MATEMATIKA
PENGERTIAN
INDUKSI
MATEMATIKA
PRINSIP-PRINSIP
INDUKSI
MATEMATIKA
INDUKSI
SEDERHANA
INDUKSI YANG
DIRAMPATKAN
INDUKSI KUAT
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
12

BAB V
INDUKSI MATEMATIKA
A. Pengertian Induksi Matematika
Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk
membuktikan pernyataan. Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil
proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu. Indukasi
Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements n A S(n)
dengan A N dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan
asli. S(n) adalah fungsi propositional.
B. Prinsip-prinsip Induksi Matematika
1. Induksi Sederhana.
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita
ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk
membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:
a. p(1) benar, dan
b. Jika p(n) benar maka p(n + 1) juga benar, untuk semua bilangan
bulat positif n 1,
Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah
induksi.
Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar.
Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi.
Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah
membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Contoh 1. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah
bilangan ganjil positif pertama adalah n 2 .
Penyelesaian:
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
13

(i) Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama
adalah 1 2 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama
adalah 1.
(ii) Langkah induksi: Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n 2
adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah
(2n– 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1) 2
juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)
= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n +1)
= n 2 + (2n + 1)
= n 2 + 2n + 1
= (n + 1) 2
Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan
benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n 2 .
2. Prinsip Induksi yang Dirampatkan
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin
membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n n 0 . Untuk
membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:
a. p(n 0 ) benar, dan
b. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar,untuk semua bilangan
bulat n n 0 ,
Contoh 2.
Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik
bahwa 2 0 + 2 1 + 2 2 + … + 2 n = 2 n+1 - 1
Penyelesaian:
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
14

(i)
Basis induksi. Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita peroleh:
2 0 = 2 0+1 – 1.
Ini jelas benar, sebab 2 0 = 1
= 2 0+1 – 1
= 2 1 – 1
= 2 – 1
= 1
(ii) Langkah induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu
2 0 + 2 1 + 2 2 + … + 2 n = 2 n+1 - 1
adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga
benar, yaitu
2 0 + 2 1 + 2 2 + … + 2 n + 2 n+1 = 2 ( n +1) + 1 - 1
juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:
2 0 + 2 1 + 2 2 + … + 2 n + 2 n+1 = (2 0 + 2 1 + 2 2 + … + 2 n ) + 2 n+1 = (2 n+1 – 1) + 2 n+1 (hipotesis
induksi)
= (2 n+1 + 2 n+1 ) – 1
= (2 . 2 n+1 ) – 1
= 2 n+2 - 1
= 2 ( n +1) + 1 – 1
Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua
bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 2 0 + 2 1 + 2 2 + … + 2 n = 2 n+1 – 1
3. Prinsip Induksi Kuat
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin
membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n n 0 . Untuk
membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:
a. p(n 0 ) benar, dan
b. jika p(n 0 ), p(n 0 +1), …, p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk
semua bilangan bulat n n 0 ,.
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
15

Contoh 4.
Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika bilangan bulat tersebut
habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kita ingin membuktikan bahwa setiap
bilangan bulat positif n (n 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau
lebih) bilangan prima. Buktikan dengan prinsip induksi kuat.
Penyelesaian:
Basis induksi. Jika n = 2, maka 2 sendiri adalah bilangan prima dan di sini 2 dapat
dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.
Langkah induksi. Misalkan pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …, n dapat
dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima adalah benar
(hipotesis induksi). Kita perlu menunjukkan bahwa n + 1 juga dapat dinyatakan
sebagai perkalian bilangan prima. Ada dua kemungkinan nilai n + 1:
(a) Jika n + 1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia dapat dinyatakan sebagai
perkalian satu atau lebih bilangan prima.
(b) Jika n + 1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat positif a yang
membagi habis n + 1 tanpa sisa. Dengan kata lain,
(n + 1)/ a = b atau (n + 1) = ab
yang dalam hal ini, 2 a b n. Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat
dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Ini berarti, n + 1 jelas
dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima, karena n + 1 = ab.
Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa setiap
bilangan bulat positif n (n 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau
lebih) bilangan prima
Latihan Soal
1. Buktikan 1+3+5+7+9... +(2n-1) = n 2 , n ∈ Bilangan Asli.
2. Buktikan 1 2 + 2 2 + 3 2 +4 2 ...+n 2 = 1/6 n (n+1) (2n+1), n ∈ bilangan asli.
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
16

3. Buktikan 2 + 5 + 8 + … , n ∈ bilangan asli.
4. Buktikan 3 + 7 + 19 + … , n ∈ bilangan asli.
5. Buktikan 1 + 4 + 7 + 10 + … , n ∈ bilangan asli.
Modul Matematika SMK Kelas XII Semester I
17