Achille e la tartaruga - Riflessioni.it

Alberto Viotto
Achille e la tartaruga
e altri paradossi
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2 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Introduzione
Un giorno di più di duemila anni fa, in qualche località non meglio
specificata della Magna Grecia, si svolse una gara di corsa che avrebbe
fatto discutere per secoli e secoli. Il velocissimo Achille è di fronte alla
lenta tartaruga e, per rendere la contesa meno impari, le dà diversi metri di
vantaggio. L’esito della gara sembrerebbe scontato, ma, secondo fonti
autorevoli, pur essendo in ottima forma e per quanti sforzi facesse, Achille
non riuscì mai a raggiungere la tartaruga.
La vicenda di Achille e la tartaruga è un esempio di paradosso (un
ragionamento in apparenza logico, ma che sembra portare a conseguenze
assurde). Un altro famoso paradosso è quello del cretese mentitore, che
afferma: “Tutti i cretesi mentono”. Ha ragione o torto?
Questo libro descrive alcuni celebri paradossi e indica come possono
diventare completamente inoffensivi, se soltanto si adottano modi di
pensare che superano i nostri schemi abituali.

La gara
Achille e la tartaruga
L’autore del paradosso di “Achille e la tartaruga” è il filosofo greco
Zenone di Elea, che visse attorno al 500 avanti Cristo nella Magna Grecia.
Zenone intendeva difendere le tesi del suo maestro Parmenide, uno dei più
importanti filosofi presocratici, che sosteneva che il movimento non è
altro che illusione.
Parmenide Zenone di Elea
Zenone venne in suo aiuto proponendo un curioso esempio, qua descritto
con le parole del poeta e scrittore argentino Jorge Louis Borges (1899-
1986):

4 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
“Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di
lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede
dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga
percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un
decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un
centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un
millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un
decimo di millimetro, e così via all’infinito; di modo che Achille può
correre per sempre senza raggiungerla.”

Prime ovvie confutazioni
Achille e la tartaruga 5
Ognuno di noi sa perfettamente che un corridore può raggiungere
facilmente una persona più lenta; la confutazione di quanto sostenuto da
Zenone potrebbe sembrare banale. Il filosofo Diogene, davanti a chi gli
ricordava gli argomenti di Zenone contro il movimento, silenziosamente si
mise a camminare. Nella realtà Achille raggiunge la tartaruga; resta aperta
la questione di come ciò possa avvenire.
Da un punto di vista matematico la spiegazione sta nel fatto che gli
infiniti intervalli impiegati ogni volta da Achille per raggiungere la
tartaruga diventano sempre più piccoli, ed il limite della loro somma
“converge”. Una somma di infiniti elementi o, più precisamente, il limite
di una somma di infiniti elementi non è necessariamente infinito.
Prendiamo ad esempio la somma di tutte le frazioni che si possono
ottenere dimezzando ogni volta un intero:
1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ...
La somma di tutti questi elementi è sempre inferiore ad uno. Arrivati
all’elemento numero n, la somma sarà pari ad uno meno la frazione di
ordine n. Arrivati ad esempio al terzo elemento, la somma sarà uguale a
sette ottavi, pari ad uno meno un ottavo (un mezzo elevato alla terza).
Arrivati al decimo elemento, la somma sarà uno meno un
milleventiquattresimo (un mezzo elevato alla decima; infatti due elevato

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alla decima potenza è 1024). Da un punto di vista matematico si può
affermare che il limite di questa somma di infiniti termini è uno.
1/2 1/4 1/8 1/16 ....
La somma degli infiniti intervalli percorsi dalla tartaruga con i presupposti
di Zenone è finita, ed è inferiore al tratto di pista che Achille deve
percorrere per raggiungerla. Achille supererà la tartaruga dopo che essa ha
percorso un cammino che corrisponde alla somma di infiniti intervalli.

Un secondo che non finisce
Achille e la tartaruga 7
Il paradosso può essere esaminato anche dal punto di vista del
trascorrere del tempo. Immaginiamo che Achille impieghi nove decimi di
secondo per percorrere i primi dieci metri, il che significa che
impiegherebbe nove secondi per percorrerne cento (un po’ meglio degli
attuali primatisti; il record mondiale è di nove secondi e 78 centesimi).
Nel frattempo la tartaruga si sarebbe spostata di un ulteriore metro; per
coprire anche questa distanza Achille impiegherebbe nove centesimi di
secondo; per il successivo decimetro nove millesimi, e così via. La somma
degli intervalli di tempo impiegati (espressa in secondi) sarebbe quindi:
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...
Questa somma converge come la precedente ed è sempre minore di uno.
Da un punto di vista matematico si può dire che anche il limite di questa
somma di infiniti termini è dieci. Ogni intervallo, inoltre, è maggiore della
somma di tutti quelli che lo seguono.
Con i presupposti di Zenone, quindi, il tempo “si ferma”, e non si riesce
a superare il primo secondo. Parrebbe che Zenone, alla fine, si sia limitato
a provare che Achille non riesce a raggiungere la tartaruga prima che sia
trascorso un certo tempo (con le nostre ipotesi, un secondo). Se il tempo
continua a scorrere, però, Achille raggiunge e supera la tartaruga.

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Uno sguardo meno superficiale
Inutile dirlo, la spiegazione che abbiamo descritto ci lascia in qualche
modo insoddisfatti (non si spiegherebbe altrimenti l’enorme popolarità di
questo esempio). Come è possibile che ci sia un tempo dopo la serie
infinita di attimi, in ognuno dei quali Achille raggiunge il punto in cui
precedentemente si trovava la tartaruga? Come è possibile che il tempo
vada avanti lo stesso, fino al momento in cui la tartaruga viene raggiunta?
Ci resta la convinzione che in qualche modo Zenone abbia ragione. Ma
come è possibile?
Parmenide e Zenone
Un punto fondamentale di questa discussione consiste nel capire che
cosa volesse dimostrare Zenone. Il suo obbiettivo era di difendere le idee
del filosofo Parmenide, anch’egli di Elea e suo contemporaneo.
Parmenide considerava ingannevoli i sensi e riteneva che la realtà fosse
un unico, immutabile tutto. Secondo Parmenide molte cose che diamo per
scontate, come la pluralità ed il movimento, non sono altro che illusione.
Con il paradosso di Achille e la tartaruga, Zenone voleva dimostrare che il
movimento è pura illusione. In altri termini, ci sembra che Achille
raggiunga la tartaruga, ma entrambi non sono altro che parti di un unico
essere immutabile, ed il loro movimento è illusorio.

Lo specchio della natura
Achille e la tartaruga 9
Per dare una risposta a questi interrogativi si può riflettere sulla nostra
abituale concezione della realtà. Noi tutti normalmente riteniamo che, al
di fuori di noi, esistano cose che si comportano secondo leggi ben precise
Oggetti come Achille e la tartaruga hanno ben determinate proprietà, tra
cui una traiettoria che possiamo conoscere con precisione illimitata.
In realtà, non è indispensabile adottare questa concezione, pur
profondamente radicata in noi. Critiche a questo modo di pensare sono
state formulate da filosofi del Novecento, come Ludwig Wittgenstein
(1889-1951) e Richard Rorty (1931-2007). Le nostre concezioni, ed in
particolare le teorie scientifiche, non riflettono le cose come stanno là
fuori, ma semplicemente ci servono, ci permettono di fare fronte
all’ambiente naturale in cui ci troviamo. Il valore di una teoria sta nel suo
buon funzionamento, nella sua utilità.
Ludwig Wittgenstein Richard Rorty
Una teoria di questo tipo è la meccanica quantistica, che nasce attorno
al 1920 ad opera di scienziati come Erwin Schroedinger(1887-1961),

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Niels Bohr (1885-1962) e Werner Heisenberg (1902-1976) e risolve le
incongruenze che si ottengono applicando la meccanica tradizionale al
mondo subatomico.
Erwin Schroedinger Werner Heisemberg & Niels Bohr
In meccanica quantistica non è possibile crearsi una rappresentazione
che descriva esattamente ciò che succede nel mondo che ci circonda. Ad
esempio, se vogliamo misurare la posizione di una particella elementare,
tutto ciò che possiamo sapere è la probabilità dei vari valori che può
assumere; da questi dati si possono poi ricavare “valore medio” e “scarto
medio". Lo scarto medio di una grandezza è chiamato indeterminazione e
non può essere nullo.
In altre parole, non possiamo crearci un modello del mondo subatomico
che lo rappresenti esattamente; gli elettroni non sono piccole sfere, come
vengono spesso rappresentati, ma entità che si comportano in modo del
tutto peculiare. La meccanica quantistica non ci dà un modello della realtà
esterna, ma ci serve per prevedere il risultato delle misure.

Il processo di misura
Achille e la tartaruga 11
Di solito si pensa che, in linea teorica, si possa sapere tutto ciò che si
vuole a proposito di un determinato fenomeno. In meccanica quantistica,
poiché non si può sapere tutto, è importante determinare che cosa si
vuole conoscere e che strumento di misura usare. Definita la domanda che
ci si vuole porre, ad esempio quale sia la posizione di una particella, si
può effettuare il processo di misura.
In meccanica quantistica non esiste conoscenza dello stato di una
entità al di fuori di una misurazione. Prima della misura il valore di una
grandezza non esiste: si può parlare di tale valore solo in seguito
all'effettuazione di una misura.
Alcuni calcoli sulla indeterminazione
In meccanica quantistica l’indeterminazione indica il livello di
imprecisione di una misura e si applica non ad una singola grandezza
(come la posizione), ma a coppie di grandezze "complementari". Sono
complementari, ad esempio, la posizione e la quantità di moto (che
corrisponde alla massa per la velocità). Tanto più precisa è la misura di
una grandezza, tanto meno lo sarà la misura della grandezza
complementare.
Il "quanto" minimo di indeterminazione (la costante di Planck) è il
prodotto della indeterminazione di una grandezza per quella dell'altra
grandezza, ed indica il livello minimo di imprecisione di una misura. Il

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suo valore, espresso in chilogrammi per metri al secondo (l'unità di misura
della quantità di moto) per metri (l'unità di misura della posizione), è
rappresentato da uno diviso un numero che si può scrivere come “1”
seguito da trentaquattro zeri.
Nel caso di un oggetto di un chilo di peso, ad una indeterminazione
della posizione di un milionesimo di miliardesimo di millimetro
corrisponderebbe una indeterminazione della velocità dell'ordine del
milionesimo di miliardesimo di millimetro al secondo.
1 chilogrammo 1/1000.000.000.000.000.000 millimetri
È evidente che una indeterminazione di questo genere non ha alcun
interesse pratico se si devono misurare metri, o millimetri, o anche
millesimi di millimetro.

Quando Achille raggiunge la tartaruga
Achille e la tartaruga 13
Che cosa succede, però, quando Achille sta per raggiungere la tartaruga?
La distanza tra i due, inizialmente di dieci metri, diventa rapidamente, già
nella narrazione di Borges, di un decimo di millimetro, e poi di un
miliardesimo di millimetro (bastano altri otto intervalli), e poi di un
milionesimo di miliardesimo di millimetro. In breve, dopo poche decine di
intervalli ci ritroviamo ad avere a che fare con dimensioni in cui la
meccanica quantistica entra decisamente in gioco.
Adottando la concezione della meccanica quantistica, Achille e la
tartaruga non sono oggetti che possiamo rappresentarci con esattezza, ma
semplicemente delle entità su cui possiamo effettuare delle misurazioni.
Ad un certo punto la distanza tra i due diventa così piccola che non ha
più senso effettuare una misura: l’indeterminazione sarebbe
eccessivamente elevata. La situazione non cambierebbe neppure
considerando tutti gli intervalli successivi: ogni intervallo, infatti, è
maggiore della somma di tutti quelli che lo seguono.

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Il punto fondamentale di questo ragionamento non è l’effettiva
fattibilità della misura: la misura non ha senso neppure da un punto di
vista teorico. L’indeterminazione è una proprietà intrinseca alla natura di
qualsiasi entità che vogliamo misurare.
Se adottiamo la concezione secondo cui una teoria scientifica non deve
darci un’immagine del mondo, ma serve soltanto ad incrementare la
nostra conoscenza, affermare che una entità, ad esempio un intervallo,
non può essere misurata neppure da un punto di vista teorico vuol dire
che dobbiamo evitare di comprenderla nella nostra visione del mondo,
vuol dire che non esiste.
Dopo breve tempo la distanza tra Achille e la tartaruga non esiste più:
si può affermare che alla fine l’inseguitore ha raggiunto il suo obbiettivo.
Zenone aveva ragione
Anche se Achille raggiunge la tartaruga, questo non significa che
Zenone avesse torto. Il suo obbiettivo era dimostrare che non esiste il
movimento. La meccanica quantistica fa una affermazione molto simile.
Ricorriamo alle parole del fisico russo Lev Landau (1918-1968), premio
Nobel nel 1962, che nel primo capitolo del volume “Meccanica
quantistica” del suo corso di fisica teorica dice testualmente:
“Nella meccanica quantistica il concetto di traiettoria della particella
non esiste, ciò che trova sua espressione nel cosiddetto principio di

Achille e la tartaruga 15
indeterminazione, uno dei principi basilari della meccanica quantistica,
scoperto da W. Heisenberg nel 1927”.
Lev Landau
L’indeterminazione prevista dalla meccanica quantistica ha rilevanza
solamente nel mondo subatomico, a causa del valore molto piccolo del
quanto di indeterminazione. La sua validità, però, è del tutto generale, e
può portare a ripensare la nostra concezione del mondo. Non è necessario
pensare che, là fuori, ci siano delle entità che “esistono” e si comportano
in maniera determinata. Non è necessario pensare che “esista” il
movimento; l’importante è che possiamo effettuare delle misure e
prevederne il risultato. L’esempio di Achille e la tartaruga rappresenta un
caso in cui questa concezione ci aiuta ad uscire da un vicolo cieco.

Il mucchio
Il sorite
Il paradosso del sorite (o “mucchio”, secondo il significato del termine
greco “sorites”) afferma che nulla si può trasformare: un girino non può
diventare una rana, un mucchio di grano rimane tale anche se ridotto ad
un solo chicco, un mendicante non può in alcun modo diventare ricco.
La versione più antica di questo paradosso risale al filosofo greco
Eubulide di Mileto, vissuto attorno al 350 avanti Cristo. Secondo
Eubulide, se da un mucchio di grano si sottrae un chicco, si può con
sicurezza affermare che quello che rimane è ancora un mucchio. Lo stesso
ragionamento si può applicare per un secondo chicco, e così via, fino ad
arrivare all’ultimo chicco.
Si giunge quindi alla conclusione che un solo chicco di grano
rappresenta un mucchio, il che è evidentemente assurdo. Ne consegue,
secondo Eubulide, l’impossibilità del discorso scientifico.

Il mendicante
Il sorite 17
Un’altra versione di questo paradosso prende in considerazione un
povero che chiede la carità ad un passante, augurandosi di ricevere tanti
soldi da diventare ricco.
Il passante, però, gli dice che questo suo sogno è irrealizzabile. Se infatti
il povero ottiene un soldo, non diventerà di certo ricco. Se ottiene un altro
soldo, ugualmente non si potrà dire che è ricco. Questo ragionamento si
può applicare all’infinito e si può concludere che il povero non diventerà
mai ricco.

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Il girino
Una versione moderna del paradosso è da attribuire a James Cargile,
dell’Università della Virginia. In una pozza d’acqua si trova un girino, che
viene filmato fino a quando diventa una rana. Se si esaminano in
successione i fotogrammi del filmato, si può convenire che la differenza
tra ogni fotogramma ed il successivo è minima, e consiste
nell’accrescimento di un numero limitato di cellule.
Sembra quindi impossibile che ciò che in un fotogramma è un “girino”,
nel fotogramma successivo sia diventato una “rana”. Applicando
ripetutamente questo ragionamento si giunge alla conclusione che il girino
non potrà mai diventare una rana.

Che cosa è un “mucchio”?
Il sorite 19
La chiave di questo paradosso risiede nel concetto di “mucchio” (e nei
concetti di “ricchezza” e “rana”). La concezione che abitualmente usiamo
(riconducibile al filosofo greco Platone) assume che le idee, ad esempio
l’idea di “mucchio”, abbiano una origine innata ed esistano
indipendentemente da noi. Una cosa che vediamo, quindi, o è un mucchio
o è qualcosa di diverso, indipendentemente da ciò che noi percepiamo.
Se si utilizza questa concezione, il paradosso del sorite è irrisolvibile. Se
una entità si trasforma in un’altra entità, completamente distinta dalla
prima, si deve essere in grado di individuare il momento esatto in cui
questa trasformazione avviene. Ma qual è il momento in cui un mucchio
cessa di essere tale? Il fatto che non si possa individuare con precisione
questo evento rende “impossibile” la trasformazione.

20 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
I concetti
Un diverso approccio permette di fare a meno dell’esistenza di idee e
concetti astratti ed ha come precursore lo scienziato e filosofo austriaco
Ernst Mach (1838-1916). Secondo questa linea di pensiero i concetti non
sono altro che il frutto di una operazione riassuntiva che ci permette di
catalogare un gran numero di percezioni simili. L'idea di cerchio, ad
esempio, è una nostra creazione mentale per raggruppare tutti gli oggetti
circolari che abbiamo percepito. L'idea di mucchio, allo stesso modo, è
una nostra creazione mentale che serve a raggruppare tutte le esperienze
sensoriali in cui ci siamo trovati di fronte ad una moltitudine di oggetti.
Ernst Mach
Poiché i concetti astratti sono nostre creazioni mentali, non abbiamo
nessuna garanzia che un nostro concetto sia identico ad un concetto

Il sorite 21
elaborato da altre persone: la mia idea di cerchio, o di mucchio, può essere
diversa da quella di un'altra persona.
I giudizi
Quando diciamo che una cosa "è" una determinata entità, ad esempio
che l’animale che abbiamo di fronte è una rana, implicitamente pensiamo
che esistano delle categorie oggettive ed indiscutibili, a cui possiamo
assegnare ciò che percepiamo.
Se abbandoniamo questa concezione, le cose possono essere affrontate
da un punto di vista completamente diverso: dire che ciò che percepiamo
è una determinata entità, ad esempio che ciò che vediamo è un mucchio o
che l’animale che abbiamo di fronte è una rana, non è altro che un
giudizio, con il quale confrontiamo con un nostro personale concetto
quello che percepiamo.
I giudizi sono, per loro natura, soggettivi ed imprecisi. La soggettività
dei giudizi è palese quando affermiamo, ad esempio, che un determinato
oggetto è “bello” o “brutto”, ma può essere estesa ad ogni nostro
giudizio. I giudizi, inoltre, sono intrinsecamente imprecisi, esattamente
come le misure della meccanica quantistica; non si può ottenere una
precisione assoluta. Se ci chiediamo quanto è lunga una sbarretta di
metallo o quanto pesa una mela, non possiamo darci una risposta del tutto
precisa, come si è visto nel primo capitolo; questa affermazione è valida
anche se ci chiediamo se una persona è "alta" o "bassa", o se ciò che
vediamo è una “rana” o un “girino”.

22 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Quando il girino diventa rana
Se guardiamo la successione di fotogrammi che riprendono il girino che
sta per diventare una rana, ad un certo momento il nostro giudizio cambia.
La nostra decisione, però, è per sua natura soggettiva, perché la nostra
stessa idea di “rana” è soggettiva.
È chiaro che nella grande maggioranza dei casi vi è concordanza tra un
giudizio espresso da diverse persone; quasi sempre la situazione è tale che
non si può non concordare, ad esempio, sul fatto che il girino è diventato
una rana. Vi sono però circostanze in cui due diverse persone (o la stessa
persona in diversi momenti o circostanze) possono esprimere, in maniera
del tutto ragionevole, giudizi diversi. Non può esistere un criterio del
tutto oggettivo su cui fondare il giudizio.
Questa intrinseca soggettività non potrebbe essere eliminata neppure
adottando una definizione di “rana” particolarmente dettagliata, ad
esempio specificando il numero minimo di cellule necessarie perché una
entità possa essere considerata una “rana”.
Ci si limiterebbe, infatti, a spostare il problema: come trovare un criterio
oggettivo su ciò che può essere definito una “cellula”? Vi sono
innumerevoli istanti in cui una cellula si sta formando, ed il problema è

Il sorite 23
esattamente identico al precedente; anche affermare che si è formata una
nuova cellula è un giudizio.
L’uscita dal paradosso
Utilizzando il nostro comune modo di pensare, abbiamo a che fare con
qualcosa che deve essere o una “rana” o un “girino”. Come si trasformi da
una entità all’altra non è chiaro; la nostra ragione rifiuta l’idea che
l’accrescimento di un numero limitato di cellule possa provocare questo
cambiamento.
Nella nuova concezione, invece, percepiamo qualcosa che possiamo
chiamare “rana” o “girino” in base ad una nostra personale decisione. Il
fatto che il momento in cui il nostro giudizio cambia non sia
determinabile con precisione è una inevitabile conseguenza della
intrinseca imprecisione dei giudizi. L’esempio della rana che si trasforma
in girino, come quello del mucchio o del mendicante, perde così ogni
aspetto paradossale.

24 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Una rana è una rana
Tutti i giudizi sono soggettivi, ma gli uomini riescono a trovare
l’accordo sulla stragrande maggioranza delle affermazioni. Come è
possibile? La risposta è che nel mondo sono presenti innumerevoli
regolarità. Nella maggior parte dei casi persone diverse non possono fare
a meno di giudicare in maniera simile.
Ciò che una persona chiama una “rana”, quasi sempre sarà una “rana”
anche per chiunque altro. Lo stadio del suo sviluppo in cui potrebbero
essere ragionevolmente espressi giudizi diversi è molto breve. Allo stesso
modo, è probabile che diverse persone concordino sul fatto che un
insieme di semi è un “mucchio”, o che una persona è “ricca”.
La concordanza dei giudizi è una caratteristica molto importante delle
relazioni tra le persone, ma non deve trarci in inganno. I giudizi non
possono essere del tutto oggettivi; se lo pensassimo, non riusciremmo a
districarci da questo tipo di paradossi.

Io mento
Il cretese mentitore
Il paradosso del mentitore, come il paradosso del sorite, è noto in molte
formulazioni diverse. Una delle più conosciute si trova nella “Lettera a
Tito” di San Paolo, che cita un verso del poeta cretese Epimenide:
“Del resto uno di loro, proprio un loro profeta, ha detto: “I Cretesi
sono sempre bugiardi, male bestie, ventri pigri”. E tale testimonianza è
verace”.
San Paolo non sembra cogliere l’evidente paradosso: Epimenide è
cretese e, quindi, ciò che dice deve essere falso; ma se Epimenide mente,
la sua affermazione diventa vera.
Epimenide di Knosso

26 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Una formulazione molto più semplice, nota come pseudomenos, si limita
ad affermare “Sto mentendo”, ma è chiaro che si possono costruire
infinite varianti (come la frase “questa affermazione non è vera”).
Il paradosso è stato commentato da quasi tutti i filosofi dell’antichità, a
cominciare da Aristotele. Si dice che il logico Fileta di Cos, che visse
attorno al 300 avanti Cristo, sia morto per la frustrazione causata dalla sua
incapacità di risolvere il problema.

Il coccodrillo pietoso
Il cretese mentitore 27
Un paradosso che può essere ricondotto a quello del mentitore racconta
di un coccodrillo che ha catturato un bambino e sta per mangiarlo. La
madre implora il coccodrillo di salvare il suo bambino, e questi dice che
non mangerà il bambino se la madre indovinerà le sue azioni. Se invece la
madre non indovinasse, mangerà il bambino.
La madre, piangendo disperata, afferma “tu mangerai il mio bambino”.
A questo punto il coccodrillo non può più mangiare il bambino: se lo
facesse la madre avrebbe detto la verità, e quindi il bambino dovrebbe
essere salvo. Il coccodrillo, però, non può nemmeno evitare di mangiare il
bambino: se si comportasse così la madre avrebbe mentito, e il coccodrillo
ha detto che se la madre mente il bambino viene mangiato.

28 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Il barbiere
Un altro paradosso che può essere ricondotto a quello del mentitore è
stato proposto dal matematico e filosofo Bertrand Russell (1872-1970) nel
1918.
In un villaggio c’è un solo barbiere, ben sbarbato, che rade tutti e soli
gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Chi fa la barba al
barbiere?
Il barbiere, se si rade da solo, viola la condizione secondo la quale il
barbiere rade solamente quelli che non si radono da soli. Viceversa, se non
si rade, viola la condizione secondo la quale il barbiere rade tutti coloro
che non si radono da soli.

Il cretese mentitore 29
La struttura dei paradossi dell'autoreferenza
I tre paradossi hanno una struttura comune: una parte del loro enunciato
si riferisce in modo contraddittorio all’altra parte. Tutti i paradossi di
questo genere possono essere ricavati partendo da una frase
contraddittoria ma non misteriosa:
“Io faccio una cosa se non la faccio”
Nel caso del paradosso del coccodrillo, la frase può essere formulata in
questo modo:
“Io mangio il bambino se non lo mangio”
Sostituendo “se non lo mangio” con l’equivalente “se dici che lo
mangio e dici il falso” (che ha un riferimento alla prima parte della frase),
si ottiene la minaccia del coccodrillo:
“Io mangio il bambino se dici che lo mangio e dici il falso”
La struttura del paradosso del barbiere è analoga. Dire:
“Io rado soltanto chi non si rade”
equivale a dire:
“Se mi rado da solo non mi posso radere”

30 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Nel caso del paradosso del mentitore, che dice “io mento”, si deve
considerare una condizione implicita. Ognuno sostiene implicitamente la
validità di quanto sta affermando. Aggiungendo questa condizione si
ottiene:
“Io mento e dico la verità”
Un giudizio preciso
Anche in questo caso, inutile dirlo, la spiegazione non ci soddisfa. La
frase “io mento” è vera o falsa? Per uscire da questo vicolo cieco
possiamo ritornare alle considerazioni dello scorso capitolo.
Noi siamo abituati a pensare che i concetti di “vero” e di “falso”
esistano indipendentemente da noi e siano applicabili con esattezza. Una
frase, quindi, deve essere vera o falsa e una persona deve mentire o dire la
verità, indipendentemente dal nostro pensiero. Se invece adottiamo la
concezione introdotta nel capitolo dedicato al sorite, non vi sono cose
“vere” e cose “false”, ma semplicemente entità su cui possiamo esprimere
un giudizio soggettivo.
Per renderci conto della soggettività di questo tipo di giudizi, possiamo
chiederci che cosa significhi esattamente “mentire”. Abitualmente si dice
che una persona “mente” se afferma il contrario di ciò che sa essere vero.
Ma che cosa significa “sapere” che qualcosa è vero? Talvolta sono
necessarie estenuanti discussioni per determinare se una persona ha
effettivamente mentito. Potrebbe darsi che in cuor suo questa persona
pensasse che l’informazione in suo possesso fosse falsa. Potrebbe darsi

Il cretese mentitore 31
che non si rendesse conto di mentire. Potrebbe semplicemente essersi
espressa male.
Se si afferma che una persona sta mentendo non si fa altro che
esprimere un giudizio, che per sua natura non può che essere impreciso e
soggettivo. Anche nel caso del mentitore il giudizio non può avere un
livello di precisione elevato. Non possiamo esprimere sulla frase “io
mento” un giudizio di verità o di falsità che possa essere accettato senza
riserve da noi stessi o dagli altri, come invece potrebbe essere un giudizio
sulla frase “due più due fa quattro”. Non si può richiedere che la frase “io
mento” sia totalmente vera o totalmente falsa.
Apparentemente la frase “io mento” è così semplice e definita che ci
sembra ovvio poter esprimere un giudizio preciso. In realtà non è così, ma
questo rappresenta soltanto una bizzarria e non un enigma inesplicabile.

32 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
L’impatto sulle teorie matematiche
Questo capitolo non sarebbe completo se non si accennasse all’impatto
matematico di questo genere di paradossi. Il paradosso del barbiere,
proposto da Bertrand Russell, è la versione semplificata di un altro
paradosso dello stesso Russell (proposto nel 1901) che chiedeva se
l’insieme di tutti gli insiemi che non contengono sé stessi fosse, a sua
volta, un elemento di sé stesso.
Bertrand Russell
Se si risponde positivamente a questa domanda si va incontro ad una
contraddizione, per la definizione costitutiva di questo insieme secondo la
quale esso non può contenere sé stesso. Ma anche se si risponde in
maniera negativa si va incontro ad una contraddizione: se questo insieme
non contiene sé stesso, allora dovrebbe fare parte di sé.

Il cretese mentitore 33
Il paradosso dell’insieme degli insiemi che non contengono sé stessi
colpì profondamente Gottlob Frege (1848-1925), il fondatore della logica
moderna.
Gottlob Frege
Frege ricevette una lettera da Russell che gli proponeva il paradosso
mentre il suo libro “I principi dell’Aritmetica” stava per andare in stampa.
Frege aggiunse al libro una appendice che inizia con le seguenti parole:
“Difficilmente uno scienziato può incappare in qualcosa di più
spiacevole che vedere le fondamenta crollare appena il lavoro è
terminato. Sono stato messo in questa condizione da una lettera di
Bertrand Russell”.
Il filosofo americano Willard V. Quine (1908-2000) osservò che il
paradosso dell’insieme degli insiemi che non contengono sé stessi ci porta

34 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
a mettere in discussione il principio di astrazione. Per specificare un
insieme di solito si definisce una condizione necessaria e sufficiente per
appartenervi. L’insieme così definito potrebbe ovviamente essere vuoto
(ad esempio, “l’insieme di tutti i numeri pari che finiscono con la cifra
1”), ma non si riesce ad immaginare che tale insieme possa non esistere
per nulla, come avviene in questo caso.
Willard V. Quine
Questo paradosso, infine, è strettamente imparentato con il teorema
sulla incompletezza delle teorie assiomatiche del logico austriaco Kurt
Goedel (1906-1978), che rivoluzionò la logica matematica del XX secolo.
Questo argomento è piuttosto complesso e verrà trattato nell’Appendice.

Il gatto quantistico
Un gatto fuori dall’ordinario
Il paradosso del “Gatto di Schroedinger” venne proposto nel 1935 da
Erwin Schroedinger (1887-1961), uno dei fondatori della meccanica
quantistica. Secondo questa teoria gli oggetti non possono essere descritti
con precisione, con conseguenze paradossali: una particella si può trovare
in più di un posto contemporaneamente, un elettrone può passare
attraverso barriere invalicabili.
Tutti questi effetti, però, sono confinati al mondo microscopico: nella
realtà di tutti i giorni non percepiamo nulla di simile. Nel caso del
paradosso di Schroedinger, invece, la m.q. sembra applicarsi ad un gatto
“quantistico”, invadendo il campo delle normali esperienze. Per risolvere
questo paradosso dobbiamo applicare il paradigma quantistico anche
all’esperienza quotidiana.

36 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Le onde e l’interferenza
Per comprendere i fenomeni quantistici serve una parentesi sui
fenomeni ondulatori, come le vibrazioni che si producono in una corda
tesa quando viene pizzicata.
Le onde che si formano sulle corde di uno strumento come il violino si
trasmettono all'aria che le diffonde sotto forma di onde sonore.
La lunghezza d'onda caratterizza l'altezza del suono; minore la
lunghezza d'onda, più acuto il suono. Il violino, le cui corde sono corte,
produce un suono di tonalità più alta rispetto al contrabbasso.
Anche la propagazione della luce rientra nel campo della teoria
ondulatoria; la luce è composta da onde elettromagnetiche. In questo caso
la lunghezza d'onda determina il colore della luce; la radiazione con
lunghezza d'onda maggiore (poco meno di un millesimo di millimetro) ha

Il gatto quantistico 37
colore rosso, quella con lunghezza d'onda minore (circa mezzo millesimo
di millimetro) violetto. La normale luce atmosferica, la luce "bianca", è
composta dall'insieme della luce di tutti i colori, in cui può essere
scomposta. Un esempio di scomposizione naturale della luce è
l'arcobaleno, nel quale sono identificabili tutte le lunghezze d'onda
visibili; la luce rossa si trova ad una estremità, la luce violetta all'estremità
opposta.
Gli esperimenti di laboratorio confermano la natura ondulatoria della
luce; ad esempio i raggi luminosi possono fare osservare fenomeni di
diffrazione ed interferenza. Se si fa passare un raggio di luce attraverso
uno stretto forellino e si raccoglie la luce sullo schermo, si osserva una
macchia luminosa con i bordi colorati (la figura di diffrazione), spiegabile
dalla teoria ondulatoria.
Per rilevare l’interferenza si fanno passare raggi luminosi attraverso un
cartone con due sottili fenditure; chiudendo prima l'una e poi l'altra si
osservano due figure di diffrazione. Mantenendole invece tutte e due
aperte non si osserva la sovrapposizione delle due figure di diffrazione,
come ci si aspetterebbe, ma una successione di frange scure e luminose -
la figura di interferenza, che può essere spiegata con la teoria ondulatoria.
Nei vari punti dello schermo la luce proveniente da ciascuna delle due
fenditure percorre una distanza diversa; nella posizione centrale il
percorso è identico per i due raggi luminosi, spostandosi verso l'una o
l'altra delle fenditure il percorso del raggio proveniente dalla fenditura più
vicina è più breve rispetto a quello del raggio che viene dalla fenditura più
lontana.

38 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Se la differenza di percorso è uguale alla lunghezza d'onda della
radiazione (o ad un suo multiplo) i due raggi luminosi si trovano entrambi
nella parte "alta" o nella parte "bassa" dell'onda, per cui si sovrappongono
e si osserva una luminosità elevata. Se invece la differenza di percorso
corrisponde a metà della lunghezza d'onda (o ad un suo multiplo più un
mezzo) la parte "alta" di un raggio viene ad incontrarsi con la parte
"bassa" dell'altro raggio, per cui i due raggi si annullano a vicenda e si
osserva una frangia scura.

L’interferenza degli elettroni
Il gatto quantistico 39
Le particelle studiate dalla meccanica quantistica sono di dimensioni
infinitesimali, come l’elettrone. L'elettrone è uno dei componenti
dell'atomo (il più piccolo componente della materia), assieme a protone e
neutrone. Nella rappresentazione più comune l'atomo è costituito da un
certo numero di neutroni, elettricamente neutri, da un certo numero di
protoni, caratterizzati da carica elettrica positiva, e da un numero uguale
di elettroni, caratterizzati da carica negativa e che percorrono orbite
esterne.
Il numero di elettroni di un atomo lo individua univocamente. Gli atomi
di idrogeno hanno un solo elettrone, gli atomi di elio due elettroni, e così
via. L'elemento naturale con il maggior numero di elettroni (92) è l’uranio.
L'elettrone è normalmente rappresentato come una particella,
caratterizzata da una massa e da una carica elettrica. Questo modello
dell’elettrone è sfruttato in numerose applicazioni pratiche, come ad
esempio i raggi catodici.
In alcuni esperimenti, però, l’elettrone si comporta in maniera
sorprendente: se ad esempio si modifica l’esperimento delle due fenditure,

40 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
sostituendo alla sorgente di luce una sorgente di elettroni ed allo schermo
un rivelatore di particelle, si osserva una figura di interferenza (una
successione di zone colpite da molte particelle e di zone colpite da
pochissime particelle). In questo esperimento gli elettroni sembrano
comportarsi come onde.
L’onda di probabilità
La meccanica quantistica permette di spiegare l’interferenza degli
elettroni associando loro delle onde. L’onda che descrive l’elettrone,
però, non è un’onda ordinaria, ma un’onda di probabilità. Ogni particella
è descritta da una funzione d’onda che indica la probabilità che essa si
trovi in una determinata posizione.
L’interferenza tra gli elettroni si verifica perché una certa quota di
probabilità di un elettrone passa da una fenditura ed un’altra quota di
probabilità passa dall’altra fenditura. L’elettrone passa da entrambe le
fenditure.
L’aspetto più curioso è che non ci si può chiedere da quale fenditura sia
passato un elettrone. Se mettessimo un contatore di elettroni su una delle
due fenditure sapremmo con esattezza se un elettrone è passato da una
fenditura o dall’altra, ma allo stesso tempo il fenomeno di interferenza
scomparirebbe.

L’interpretazione di Copenhagen
Il gatto quantistico 41
Le formule della meccanica quantistica sono molto precise nel prevedere
i risultati degli esperimenti, ma la loro interpretazione è controversa.
L’interpretazione che abbiamo descritto è la più diffusa; è detta
“interpretazione di Copenhagen” dalla città di Niels Bohr (1885-1962),
che la propose nel 1927. In questa interpretazione il concetto di “processo
di misura” è fondamentale. Prima di una misura, l’elettrone si trova in uno
stato indefinito; possiamo soltanto calcolare la probabilità dei risultati che
la misura potrà dare. Il processo di misura richiede una interazione tra lo
strumento e l’elettrone, per cui è possibile che dopo la misura lo stato del
sistema sia diverso.
Niels Bohr
Nel caso dell’esperimento delle due fenditure, l’elettrone si trova in una
mescolanza di stati, il che genera l’interferenza. Per sapere a quale stato
effettivamente appartenga (e quindi da che fenditura sia effettivamente

42 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
passato) dobbiamo effettuare una misura; possiamo, per esempio, mettere
un rilevatore di particelle su ogni fenditura. La misura ci dice in quale dei
due stati si trova l’elettrone (si dice che la misura fa precipitare lo stato);
di conseguenza, dopo la misura non si potrà più osservare interferenza.
Effettuando la misura abbiamo scoperto che una delle due onde non
esiste, e quindi essa non può interagire con l’altra onda. Se invece non
sappiamo quale delle due onde effettivamente esista, esse possono
interagire tra loro.
Questa interpretazione ci costringe a ripensare il significato dei
fenomeni fisici. Secondo l’interpretazione di Copenhagen, un fenomeno
non è tale fino a che non viene osservato. Se non misuriamo la posizione
dell’elettrone, non possiamo sapere da quale fenditura passi e anzi questa
è una domanda priva di senso. In questo modo possiamo concepire l’idea
che l’elettrone passi contemporaneamente da entrambe le fenditure.
La carta nascosta
Immaginiamo che in una partita a carte il nostro avversario sia rimasto
con una sola carta; dall’andamento dei turni di gioco precedenti sappiamo
che questa carta può essere soltanto una Donna di picche o un Asso di
cuori. Secondo il nostro normale modo di pensare, questa carta è di fatto
una Donna di picche o un Asso di cuori. Quando la carta viene girata, ci
limitiamo a prendere atto della situazione.
Se invece interpretiamo questo esempio con i criteri della meccanica
quantistica, la carta si trova in uno stato indefinito, 50% Donna di picche

Il gatto quantistico 43
e 50% Asso di cuori. Solo quando giriamo la carta questa assume uno dei
due valori possibili.
Non è facile adeguarsi a questo modo di pensare e non sorprende che
molti fisici lo considerassero inaccettabile. Tra gli oppositori di questa
concezione ci fu anche il più grande fisico del Novecento, Albert Einstein
(1879-1955):
“Sembra difficile poter dare un’occhiata alle carte di Dio. Ma che Dio
giochi a dadi come la attuale teoria quantistica gli richiede, è un fatto
che non posso credere neppure per un solo momento.”
“Le teorie di Bohr mi interessano moltissimo, tuttavia non vorrei essere
costretto ad abbandonare la causalità stretta senza difenderla più
tenacemente di quanto abbia fatto finora. Trovo assolutamente
intollerabile l'idea che un elettrone esposto a radiazione scelga di sua
spontanea volontà la direzione del salto. In questo caso preferirei fare il
croupier di casinò piuttosto che il fisico”.

44 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
La camera del gatto
In tutti gli esempi che abbiamo visto le bizzarrie della meccanica
quantistica sono rimaste confinate al mondo dell’infinitamente piccolo;
nel primo capitolo abbiamo anche calcolato a che dimensioni gli effetti
quantistici entrano in gioco. Il paradosso proposto da Schroedinger,
invece, sembra indicare che la meccanica quantistica può invadere il
mondo macroscopico:
“Un gatto è posto all’interno di una camera d’acciaio assieme al
seguente marchingegno: in un contatore Geiger c’è una piccola quantità
di una sostanza radioattiva, tale che forse nell’intervallo di un’ora uno
degli atomi decadrà, ma anche, con eguale probabilità, nessuno subirà
questo processo; se questo accade il contatore genera una scarica e
attraverso un relay libera un martello che frantuma un piccolo recipiente
di vetro che contiene dell’acido prussico. Se l’intero sistema è rimasto
isolato per un’ora, si può dire che il gatto è ancora vivo se nel frattempo
nessun atomo ha subito un processo di decadimento. Il primo
decadimento l’avrebbe avvelenato. La funzione d’onda del sistema
completo esprimerà questo fatto per mezzo della combinazione di due
termini che si riferiscono al gatto vivo o al gatto morto, due situazioni
mescolate in parti uguali.”

Il gatto quantistico 45
Il decadimento di una sostanza radioattiva (l’emissione di una particella
da parte di un nucleo atomico che si trasforma in un altro elemento) è un
fenomeno regolato dai principi della meccanica quantistica. Fino a che
non effettuiamo una misura, non possiamo sapere se il decadimento ha
avuto luogo. Il nucleo della sostanza radioattiva si trova in una
mescolanza di stati, nucleo decaduto e nucleo non-decaduto, e soltanto
una misura può fare in modo che assuma uno di questi due stati.
Il meccanismo ideato da Schroedinger estende questa ambiguità al
mondo macroscopico. Legando la sorte dell’atomo radioattivo a quella del
gatto, si è costretti ad utilizzare il modello quantistico anche per
quest’ultimo: fino a che non si effettua la misura (aprendo la camera
d’acciaio), il gatto non è nè vivo nè morto: si trova in una mescolanza di
stati. Il gatto va descritto da una funzione d’onda, che sarà una
mescolanza dei due stati gatto-vivo e gatto-morto.

46 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
L’uscita dal paradosso
Il concetto di incertezza di stato sembra assurdo se esteso ad un gatto o
ad un altro essere vivente. Il gatto deve essere o vivo o morto, non
riusciamo ad ammettere un’altra possibilità, come invece richiede
l’esempio di Schroedinger.
Per uscire da questo paradosso dobbiamo ancora una volta ripensare la
nostra visione del mondo, come abbiamo fatto nel primo capitolo.
Normalmente riteniamo che, al di fuori di noi, vi siano cose che esistono
indipendentemente da noi; il gatto esiste, e questo implica che debba
essere o vivo o morto.
Proviamo invece ad accettare completamente il paradigma
dell’interpretazione di Copenhagen: quando un oggetto o un essere
vivente non influenza i nostri sensi (in altri termini, non viene misurato)
possiamo dire di sapere qualcosa su di esso? Fino a quando non apriamo
la gabbia del gatto (il che equivale ad effettuare una misura) ha senso
chiederci se sia vivo o morto? Rispondere negativamente a queste
domande non ci porta a conseguenze assurde.
Le nostre concezioni non riflettono le cose come stanno là fuori, ma
semplicemente ci servono, ci permettono di fare fronte all’ambiente
naturale in cui ci troviamo. Chiederci come siano le cose là fuori
indipendentemente da quanto possiamo osservare (chiederci se il gatto sia
vivo o morto prima che la gabbia venga aperta) è privo di senso. Il
paradosso del gatto può essere risolto soltanto attraverso questo cambio di
prospettiva.

Hal il protagonista
La stanza cinese
Fino a dove può arrivare l’evoluzione dei calcolatori? Nel celebre film
“2001 Odissea nello Spazio” di Stanley Kubrick uno dei principali
protagonisti è il calcolatore Hal, che dialoga con i personaggi umani e
sembra possedere sentimenti ed emozioni.
Il paradosso della “stanza cinese”, proposto dal filosofo statunitense
John Searle nel 1980, vuole invece dimostrare che un calcolatore,
qualunque cosa sia in grado di fare, si comporta in modo completamente
diverso da un essere umano. Secondo Searle, quindi, non si potrà mai dire
che un calcolatore sia in grado di “pensare”.

48 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
La macchina che pensa
Realizzare una macchina in grado di pensare è l’obbiettivo finale della
cosiddetta “Intelligenza Artificiale”, una disciplina delle scienze
cognitive. Pur avendo ottenuto indiscutibili successi, però, l’intelligenza
artificiale è ancora molto lontana da questo sogno.
Secondo alcuni ricercatori, per raggiungere un livello paragonabile a
quello dell’intelligenza umana sarà sufficiente continuare sulla strada
attuale, costruendo grandi basi di dati e confidando nell’aumento della
capacità di elaborazione dei calcolatori. A parere di altri ricercatori,
invece, è necessario un ripensamento degli schemi utilizzati finora;
l’intelligenza artificiale non potrà fare progressi decisivi fino a quando
non nasceranno nuove idee fondamentali.
Secondo John McCarthy, uno dei padri di questa disciplina, la potenza
di calcolo dei computer di 30 anni fa, migliaia di volte più lenti di quelli
attuali, sarebbe già stata sufficiente per emulare l’intelligenza umana, se
solo si fosse saputo come programmarli.
John McCarthy

Gli scacchi ed il gioco del go
La stanza cinese 49
La programmazione di macchine in grado di giocare a scacchi è stata il
campo in cui l’intelligenza artificiale ha raggiunti più rapidamente buoni
risultati. Per qualche tempo si è pensato, per usare le parole del ricercatore
russo Alexander Kronrod, che gli scacchi potessero essere la Drosophila
della intelligenza artificiale.
Le ricerche sulla riproduzione di questo insetto, infatti, hanno dato un
impulso decisivo alle ricerche di genetica all’inizio del XX secolo. I rapidi
risultati raggiunti nel gioco degli scacchi avevano fatto nascere la
speranza che li si potessero estendere ad altri settori di ricerca.
Al giorno d’oggi le macchine dell’intelligenza artificiale riescono a
giocare a scacchi meglio di qualsiasi giocatore umano, ma queste ricerche
sono rimaste fine a sé stesse. Gli aspetti competitivi e commerciali hanno
preso il sopravvento, e si sono organizzate con clamore sfide pubbliche tra
computer e campioni del mondo. Secondo le parole di John McCarthy:
“Sarebbe come se gli studiosi di genetica del 1910 avessero
organizzato gare tra gli insetti prodotti dalle loro ricerche e si fossero
concentrati su questi aspetti per ottenere finanziamenti”

50 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
D’altra parte, gli scacchi potrebbero essere una delle poche attività in
cui i meccanismi di cui ci è chiaro il funzionamento permettono di
raggiungere buoni risultati. In altri giochi le macchine dell’intelligenza
artificiali sono molto lontane dai livelli di un giocatore umano.
Nel gioco cinese del “Go”, un gioco di strategia basato sull’esame di
posizioni e subposizioni di pedine sul campo, nonostante molti sforzi i
programmi dell’intelligenza artificiale non hanno ottenuto risultati
apprezzabili.
Il gioco del “Go” evidenzia quanto siamo ancora lontani dal
comprendere i meccanismi intellettuali utilizzati dagli esseri umani per
giocare.

Il linguaggio naturale
La stanza cinese 51
Per una macchina parlare il normale linguaggio umano è molto più
difficile che giocare a scacchi. Una delle prime difficoltà è proprio la
comprensione del linguaggio. Il primo studioso ad affrontare il problema
del significato e della struttura del linguaggio umano è stato il filosofo
austriaco Ludwig Wittgenstein, che nel Tractatus Logico-Philosophicus
del 1918 scriveva:
“Il linguaggio comune è una parte dell’organismo umano, e non meno
complicato di questo ... Le tacite intese per la comprensione del
linguaggio comune sono enormemente complicate”
Ludwig Wittgenstein
In molti casi i programmi di intelligenza artificiale riescono
effettivamente a rispondere a domande in modo coerente. Il loro
approccio, però, è simile a quello adottato per il gioco degli scacchi; si
utilizza la “forza bruta”, eseguendo un enorme numero di operazioni. Se

52 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
un essere umano utilizzasse la stessa tecnica, impiegherebbe un tempo
molto alto per rispondere a delle domande.
La stanza cinese
L’approccio del filosofo statunitense John Searle è ancora più radicale:
secondo Searle è comunque impossibile che una macchina pensi. A
questo scopo ha proposto nel 1980 il “Paradosso della stanza cinese”.
Immaginiamo che una persona che non conosce il cinese sia chiusa in
una stanza con una serie di regole, scritte nella sua lingua madre, per
ordinare in una certa maniera i caratteri della lingua cinese. Queste
regole, se eseguite scrupolosamente, permettono di rispondere in modo
soddisfacente ad ogni possibile domanda. Nella stanza vengono
introdotti dei fogli con domande scritte in cinese. Utilizzando le
istruzioni scritte nella sua lingua, la persona che si trova nella stanza è
in grado di compilare in cinese dei fogli con le risposte.
John Searle

La stanza cinese 53
Chi si trova al di fuori della stanza e vede le risposte correttamente
formulate in cinese, immaginerà che all’interno della stanza si trovi una
persona che conosce il cinese. Chi è dentro la stanza, però, sa benissimo
di non conoscere il cinese.
Secondo Searle, quindi, se anche un giorno esisterà una macchina che ci
dia l’impressione di essere in grado di pensare, intrattenendo una
discussione con noi, non si potrà concludere che essa stia effettivamente
pensando, perché non farà altro che eseguire una serie di operazioni
guidate, esattamente come il finto cinese. A questa macchina mancherà
comunque ciò che Searle chiama il “contenuto mentale”, un concetto
simile a quello di “coscienza”.
Qualche obiezione
La “Stanza cinese” ha scatenato una quantità incredibile di commenti e
di articoli, e ancora adesso è un argomento molto dibattuto nei
newsgroups di Internet. Una delle principali osservazioni prende in esame
il “sistema” composto dalla persona nella stanza e dalle istruzioni. A

54 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
conoscere il cinese non è la persona da sola, ma il sistema composto dalla
persona e dalle istruzioni. A questa obiezione Searle ha ribattuto che, se
ciò che è dentro la stanza non ha “contenuto mentale”, questo non può
esserci nemmeno nell’elenco delle istruzioni.
Un’altra obiezione riguarda la velocità con cui la persona all’interno
della stanza deve eseguire le istruzioni. Per rispondere correttamente alle
domande, la quantità di regole da eseguire deve essere enorme. Esistono
programmi di Intelligenza Artificiale che sono in grado di dialogare con
una persona, sia pure in maniera molto limitata; per farlo, però, devono
eseguire milioni di istruzioni elementari al secondo. Come ha scritto
Steven Pinker, direttore del centro di scienze cognitive del MIT, “se
incontrassimo una persona che sembrasse conversare intelligentemente in
cinese, ma in realtà eseguisse in frazioni di secondo milioni di regole
memorizzate, negheremmo che capisca il cinese? Non è tanto sicuro.”
Steven Pinker

La questione della velocità
La stanza cinese 55
La differenza tra la velocità con cui un uomo può eseguire delle
operazioni e la velocità richiesta dall’esempio di Searle può cambiare i
termini del problema. Secondo Patricia e Paul Churchland, l’argomento di
Searle potrebbe essere usato contro la fondamentale teoria di Maxwell
delle onde elettromagnetiche, secondo cui la luce consiste di onde
elettromagnetiche. Un uomo che tiene in mano una calamita facendola
oscillare crea radiazione elettromagnetica, ma non esce luce. Seguendo
Searle si concluderebbe che la luce non è radiazione elettromagnetica, ma
ciò che fa fallire l’esperimento è l’insufficiente velocità del movimento.
Il test di Turing
La risposta alla domanda “un calcolatore può pensare?” dipende da ciò
che definiamo come “pensiero”. Nel 1950 il matematico Alan Turing
(1912-1954), uno dei padri della Intelligenza Artificiale, ha proposto un
criterio per rispondere a questa domanda.
Alan Turing

56 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Secondo Turing, per essere chiamata intelligente una macchina deve
essere in grado di far credere ad un osservatore esterno di essere una
persona. L’interazione tra la macchina e l’osservatore può avvenire
tramite una telescrivente o un dispositivo simile, per evitare la necessità di
emulare la voce o l’aspetto umano.
Il criterio di Turing deriva da una affermazione di Cartesio (Renato
Descartes, 1596-1650), che scrisse nel suo “Discorso sul metodo”:
“Si può ben concepire che una macchina sia fatta in modo tale da
proferire parole ... ma non si può immaginare che possa combinarle in
modi diversi per rispondere al senso di tutto quel che si dice in sua
presenza, come possono fare gli uomini, anche i più ottusi.”
Cartesio
Per superare il test di Turing, nell’interazione tra la macchina e
l’osservatore non vi possono essere indizi di un comportamento diverso da
quello che potrebbe avere una persona; anche investigando sulle emozioni
o sui sentimenti di ciò che si ha di fronte non si deve capire che non è un

La stanza cinese 57
essere umano. La macchina deve emulare completamente il
comportamento umano, includendo le emozioni, i sentimenti, la coscienza
e tutto ciò che può caratterizzare una persona.
Discriminare le macchine?
Questo obbiettivo è ancora molto lontano, ma se fosse raggiunto
potremmo negare che una macchina sia in grado di pensare? Searle pone
l’accento sul modo in cui si ottiene un comportamento che si possa
ritenere umano, ma non coglie un punto fondamentale: noi non sappiamo
che cosa succede nella mente delle altre persone, come non sappiamo che
cosa succede all’interno della stanza cinese. Per assurdo, non potremmo
escludere che tutte le altre persone del mondo siano state sostituite da
automi dall’aspetto umano in grado di superare il test di Turing, come in
alcuni film di fantascienza. Se una macchina riesce a comportarsi
esattamente come un altro uomo, non possiamo fare a meno di affermare
che pensi, né più né meno di come affermiamo che gli altri uomini
pensano. Se non adottassimo questo criterio, il paradosso del traduttore
dal cinese resterebbe irrisolvibile

Appendice A: Gli altri paradossi di Zenone
Parmenide
Parmenide nacque ad Elea (l’odierna Velia in Campania, vicino a Capo
Palinuro) attorno al 510 a.C. A quei tempi la Campania era stata
colonizzata dai Greci e faceva parte della cosiddetta Magna Grecia. La
città di Elea era stata fondata pochi anni prima dagli esuli della città di
Focea, in Ionia.
Attorno al 470 a.C. Parmenide venne eletto alla carica di pritano, la più
elevata nelle città focee, e scrisse la costituzione della città, che rimase
famosa. Negli stessi anni completò il poema filosofico “Sulla natura”,
l’unica sua opera giunta fino a noi tramite diversi frammenti.
Parmenide di Elea

Gli altri paradossi di Zenone 59
Secondo Platone, attorno al 450 a.C. ebbe un colloquio con Socrate, che
ne fu profondamente influenzato. La data presunta della morte è il 435
a.C.
Parmenide è considerato uno dei più importanti filosofi presocratici;
mentre le concezioni degli altri presocratici appaiono in qualche maniera
arbitrarie e non motivate, la sua posizione è basata sul ragionamento e
sulla discussione.
Parmenide considerava ingannevoli i sensi e riteneva la moltitudine
delle cose sensibili una semplice illusione. Il solo vero essere è “l’Uno”,
infinito ed invisibile. L’Uno non può essere suddiviso, perché è presente
dovunque tutto intero.
Nel suo insegnamento ha estrema importanza la “strada della verità”.
Secondo questa concezione, non si può sapere ciò che non è, nè
esprimerlo. Ciò che è non può essere cominciato, nè terminato; ne
consegue l’abolizione del divenire e del dileguare.

60 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Zenone
Zenone nacque ad Elea nel 485 a.C., figlio di Teleutagora, amico di
Parmenide. Secondo alcune fonti il padre e la madre vennero uccisi a
causa di contrasti politici; Parmenide allora prese in casa il giovanissimo
Zenone, adottandolo come figlio.
Attorno al 445 a.C. Zenone accompagnò il padre adottivo ad Atene,
dove insegnò filosofia. In seguito tornò ad Elea e si unì a una cospirazione
per liberare la città dal tiranno Nearco; quando il complotto venne
scoperto, Zenone fu sottoposto a tortura e venne ucciso perché rifiutava di
denunciare i suoi compagni.
Zenone di Elea
La concezione di Zenone ricalca quella di Parmenide. Sono rimasti
pochi frammenti dei suoi scritti; la sua fama è legata soprattutto a quanto
di lui scrive Aristotele, che lo considerava il padre della dialettica, intesa

Gli altri paradossi di Zenone 61
come tecnica della discussione a partire dalle premesse ammesse
dall'avversario.
Per sostenere la sua concezione, Zenone elaborò diversi paradossi, quasi
tutti basati sulle dimostrazioni per assurdo (in cui si tenta di negare la
validità di un’ipotesi; se questo porta a conseguenze assurde, si può
ritenere valida l’ipotesi). I suoi paradossi più famosi vogliono affermare
l’impossibilità del movimento e sono noti tramite la descrizione che ne fa
Aristotele nella “Fisica”; essi sono:
• Achille e la tartaruga
• la dicotomia
• la freccia
• lo stadio

62 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
La dicotomia
Il paradosso della dicotomia sfrutta un meccanismo simile al paradosso
di Achille per affermare l’impossibilità del movimento.
Immaginiamo di volere raggiungere la fine di una pista. Per riuscirci
dobbiamo superare la metà della distanza, e poi la metà della distanza
rimanente (un quarto del totale), e poi la metà della distanza che ancora
rimane (un ottavo), e così via. In questo modo, conclude Zenone, non
riusciremo mai a raggiungere il nostro punto di arrivo.
Da un punto di vista matematico il paradosso può essere affrontato con
gli stessi strumenti utilizzati nella discussione sul paradosso di Achille.
Sommando un mezzo ad un quarto, ad un ottavo, ad un sedicesimo e così
via non si arriva all’unità. La somma
1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ...
è sempre inferiore ad uno. Arrivati all’elemento numero n, la somma sarà
pari ad uno meno la frazione di ordine n. Arrivati ad esempio al terzo
elemento, la somma sarà uguale a sette ottavi, pari ad uno meno un ottavo
(un mezzo elevato alla terza), e così via.
1/2 1/4 1/8 1/16 ....

Gli altri paradossi di Zenone 63
Anche in questo caso, come nel paradosso di Achille, si può andare
oltre alla constatazione matematica della convergenza di una serie infinita:
gli intervalli presi in considerazione diminuiscono rapidamente fino a
raggiungere dimensioni in cui entra in gioco la meccanica quantistica.
Quando gli intervalli diventano così piccoli che la loro misura non ha
senso, si può dire che la meta è stata raggiunta.
Aristotele critica il paradosso della dicotomia, come aveva fatto per il
paradosso di Achille, sostenendo che il tempo e lo spazio sono divisibili
all’infinito in potenza, ma non sono divisibili all’infinito in atto. Una
distanza finita (che secondo Zenone non è percorribile perché divisibile in
frazioni infinite) è infinita nella considerazione mentale, ma in concreto si
comporta di parti finite e può essere percorsa.
Aristotele

64 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
La distinzione tra la divisibilità in potenza e la divisibilità in atto (pur
importantissima nella filosofia di Aristotele) sembra piuttosto arbitraria,
ma si può notare una somiglianza con l’argomento proposto nel primo
capitolo. Se da un punto di vista matematico si può pensare di suddividere
all’infinito una distanza, da un punto di vista fisico è impossibile dividerla
al di là di un certo limite, oltre il quale la misura dell’intervallo non ha più
senso.
La freccia
In questo paradosso si considera la traiettoria di una freccia lanciata da
un arco. In ogni istante, la freccia occupa uno spazio uguale a sé stessa.
Ma, se la freccia occupa uno spazio uguale a sé stessa, in quell’istante
essa non può essere in movimento. Si deve quindi concludere che la
freccia è immobile per tutto il tempo della sua traiettoria e che il
movimento dovrebbe consistere in una serie di stati di quiete. Da queste
considerazioni deriva, ancora una volta, l’impossibilità del movimento.

Gli altri paradossi di Zenone 65
Aristotele critica il paradosso della freccia sostenendo che si fonda
sull’erronea premessa che l’istante non abbia durata. Poiché un oggetto
sia in quiete, esso deve rimanere nella stessa posizione per un periodo di
tempo caratterizzato da una determinata durata. Una frazione di tempo,
per quanto piccola, deve comunque avere una sua durata.
Lo stadio
Il paradosso dello stadio è più articolato degli altri paradossi del
movimento e la sua interpretazione è incerta.
In uno stadio si trovano tre file di corpi delle medesime dimensioni; una
fila si trova al centro dello stadio, mentre le altre due si estendono dal
centro dello stadio alle estremità, come indicato nella figura:
BBBBB
AAAAA
CCCCC
La fila centrale è ferma, mentre le altre due file si muovono con la
medesima velocità verso la parete opposta dello stadio, la fila in alto verso
destra, la fila in basso verso sinistra.

66 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Quando il primo elemento della fila in alto avrà raggiunto l’ultimo
elemento della fila centrale, esso avrà superato o raggiunto quattro
elementi della fila in basso, ma soltanto due elementi della fila centrale.
BBBBB
AAAAA
CCCCC
Secondo Zenone il tempo necessario per superare un corpo della fila
centrale o un corpo della fila in basso deve essere lo stesso, in quanto
hanno la stessa lunghezza. Zenone conclude che il tempo necessario per
superare due elementi della fila centrale è uguale al suo doppio, necessario
per superare quattro elementi della fila inferiore. Poiché questo è
impossibile, si deduce ancora una volta che il movimento è impossibile.
Aristotele critica correttamente l’assunzione di Zenone che un oggetto
con una determinata velocità impieghi lo stesso tempo per superare un
corpo di una determinata lunghezza, sia che si trovi in quiete o che si stia
muovendo. Questa osservazione oggi può sembrare ovvia, ma implica il
concetto di velocità relativa; la velocità relativa della prima fila rispetto
alla fila centrale è diversa dalla velocità relativa rispetto alla fila inferiore.
La conseguenza di questa osservazione è che la velocità non deve essere
considerata una proprietà intrinseca di un oggetto, come fa lo stesso
Aristotele nei suoi libri di fisica, ma è relativa ad un altro oggetto rispetto

Gli altri paradossi di Zenone 67
al quale viene misurata. Aristotele evidenziò il punto in cui la
dimostrazione di Zenone è scorretta, ma non ne colse appieno le
implicazioni. Il concetto di velocità relativa non sarà completamente
chiarito fino al XVII secolo.

Appendice B: Il teorema di Goedel
La vita di Kurt Goedel
Kurt Goedel nacque nel 1906 a Brunn, in Moravia, allora parte
dell’impero Austriaco ed ora (con il nome “Brno”) nella Repubblica Ceca.
Nella sua città natale completò brillantemente gli studi secondari e nel
1924 si iscrisse all’università di Vienna, frequentata anche dal fratello
maggiore Rudolf.
A Vienna Goedel seguì corsi di fisica e di filosofia ed incontrò la futura
moglie Adele. Iniziò ad occuparsi di logica matematica dopo avere
assistito ad un seminario condotto da Moritz Schlick, il fondatore del
Circolo di Vienna (un gruppo di filosofi che diede origine al
neopositivismo). Goedel ottenne il titolo di dottore nel 1930 e pubblicò
diversi articoli di logica matematica, tra cui, nel 1931, il famoso scritto in
cui presentava il teorema di incompletezza. Questo articolo ebbe un
fortissimo impatto su tutta la logica matematica moderna.
Kurt Goedel

Il teorema di Goedel 69
Nel 1933 Goedel visitò per la prima volta gli Stati Uniti e conobbe
Albert Einstein a Princeton, dove sarebbe ritornato diverse volte.
Kurt Goedel ed Albert Einstein
Nel 1936 l’uccisione di Moritz Schlick da parte dei nazisti gli procurò il
primo dei suoi tanti esaurimenti nervosi. Nel gennaio del 1940, poco dopo
l’inizio della seconda guerra mondiale, temendo di essere arruolato
nell’esercito nazista, fuggì negli Stati Uniti con un viaggio avventuroso
attraverso la Russia ed il Giappone.
Negli Stati Uniti continuò ad occuparsi di logica matematica, lavorando
tra l’altro ad una rielaborazione della prova ontologica dell’esistenza di
Dio di sant’Anselmo d’Aosta. Negli ultimi anni le sue psicosi
peggiorarono; portava sempre una mascherina per proteggersi dai germi,
puliva continuamente tutti gli utensili per mangiare e finì per rifiutare il
cibo per paura di essere avvelenato. Kurt Goedel morì nel 1978 a
Princeton.

70 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Il programma di Hilbert
Uno dei più importanti risultati della matematica del XIX secolo è la
teoria degli insiemi di Georg Cantor (1845-1918), che permise di chiarire
il concetto di infinito. Diversi studiosi dell’epoca, tra cui Leopold
Kronecker (1823-1891), non credevano però ai risultati di Cantor, non
ritenendoli vera matematica. Secondo questi autori l’unico fondamento
sicuro per la matematica erano i principi dell’aritmetica, la scienza che
studia i numeri interi (o numeri naturali). Questa concezione era coerente
con la filosofia di Immanuel Kant (1724-1804), che attribuiva
all’aritmetica un ruolo privilegiato.
Georg Cantor
David Hilbert (1862-1943), uno dei più grandi matematici del XX
secolo, vide nella logica matematica una via per risolvere le obiezioni
sollevate da Kronecker. L’idea di Hilbert era di dimostrare la coerenza
delle teorie matematiche usando solamente l’aritmetica, associando dei

Il teorema di Goedel 71
numeri al linguaggio della teoria. Il cosiddetto “programma di Hilbert”
prevedeva di aritmetizzare il linguaggio delle teorie matematiche e di
dimostrare l’esistenza di una funzione aritmetica in grado di decidere la
validità dei teoremi della teoria.
David Hilbert
Il programma di Hilbert (o “metamatematica”) mobilitò i matematici nei
primi decenni del XX secolo, con l’obbiettivo di giungere ad una
completa formalizzazione delle matematiche. Il teorema di Goedel inferse
un colpo mortale a questo progetto, dimostrando che era irrealizzabile.

72 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Il teorema di Goedel
Il famoso articolo di Goedel apparve sul numero 38 della “Rivista
mensile di Matematica e Fisica” di Lipsia, nel 1931, con il titolo “Delle
proposizioni formalmente indecidibili del “Principia Mathematica” e
sistemi analoghi”. Il sistema formale preso ad esempio è quello sviluppato
da Bertrand Russell ed Alfred Whitehead. Nell’articolo si dimostra che in
questo tipo di sistemi formali esistono delle formule di cui non si può
provare nè la verità nè la falsità. Tali sistemi sono quindi incompleti.
Alfred Whitehead
L’articolo occupa una ventina di pagine e riporta una dimostrazione
molto dettagliata, ma la sua prima sezione presenta la prova nelle linee
essenziali e può essere utilizzata per comprendere l’argomento.
L’approccio di Goedel alla metamatematica consiste nell’associare ai
segni ed alle serie di segni che appaiono in una formula dei numeri
naturali. Questo approccio ricorda quello di Cartesio, la cui geometria
analitica permette di identificare ogni punto di un piano mediante l’uso di

Il teorema di Goedel 73
coordinate. Goedel associa ad ogni segno fondamentale del sistema
formale un numero primo, ed elabora un metodo per ricavare dall’assieme
dei segni di una formula un “numero di Goedel” che la identifica
univocamente.
Nella prima sezione dell’articolo si ipotizza di ordinare secondo il loro
numero di Goedel tutte le formule con una sola variabile appartenenti ad
un sistema formale del tipo dei “Principia Mathematica”. Le formule (ad
una variabile) che non possono essere provate ne rappresentano un
sottoinsieme. E’ possibile costruire una formula S(n) (dove n rappresenta
la variabile) che indica che la formula il cui numero di Goedel è n
appartiene al sottoinsieme delle formule non provabili. Anche la formula
S, però, ha un numero di Goedel, che indicheremo con q. La formula S(q)
non è nè provabile nè confutabile.
Come evidenzia lo stesso Goedel, la formula S(q) afferma di non essere
essa stessa provabile, e quindi rappresenta la trasposizione matematica
della frase “Io mento”. Se S(q) fosse vera, q rappresenterebbe il numero di
Goedel di una formula non provabile, il che comporterebbe la falsità di
S(q) stessa. Se S(q) fosse falsa, q rappresenterebbe il numero di Goedel di
una formula provabile, il che comporterebbe la verità di S(q).

Appendice C: I protagonisti della meccanica
quantistica
La nascita della meccanica quantistica
Tra la fine del XIX secolo e l’inizio del XX secolo i fisici si resero conto
dell’esistenza di alcuni fenomeni che non era possibile inquadrare nello
schema delle leggi classiche. I più importanti erano l’emissione di
radiazioni da parte di un corpo nero (una cavità con pareti riflettenti ed
un piccolo foro) e da parte del gas di atomi di idrogeno.
Il corpo nero
Un “corpo nero” ha la proprietà di assorbire tutte le radiazioni che lo
colpiscono.
Secondo un teorema termodinamico dimostrato da Gustav Kirchoff
(1824-1887), per un corpo in equilibrio termico il rapporto tra l’energia

I protagonisti della meccanica quantistica 75
emessa e l’energia assorbita è una funzione universale che dipende dalla
temperatura e dalla frequenza della radiazione.
Gustav Kirchoff
Si può quindi partire dallo studio dell’energia emessa da un corpo nero
per ricavare la funzione universale. Utilizzando l’impostazione classica,
l’energia emessa da un corpo nero può essere calcolata con la legge di
Boltzmann (1844-1906) e dovrebbe costantemente aumentare
all’aumentare della frequenza. Gli esperimenti, invece, hanno verificato
che l’energia cresce solo fino ad un determinato valore della frequenza,
per poi diminuire.
L’emissione degli atomi di idrogeno
Le teorie classiche portano a risultati incompatibili con gli esperimenti
anche nello studio della emissione di radiazioni dell’idrogeno. Gli
esperimenti di Ernest Rutherford (1871-1937), realizzati attorno al 1910,
avevano portato ad un modello dell’atomo costituito da un nucleo e da

76 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
uno o più elettroni immersi nel suo campo elettrico, che gli girano attorno
come i pianeti attorno al sole.
Applicando le leggi della meccanica e della elettrodinamica classica a
questo modello, l’elettrone dell’atomo di idrogeno dovrebbe irraggiare
onde elettromagnetiche di frequenza uguale alla sua frequenza di
rivoluzione orbitale. Questo porterebbe ad una rapida diminuzione
dell’orbita dell’elettrone, causando il collasso dell’atomo. La frequenza
della radiazione emessa, inoltre, dovrebbe diminuire con continuità.
Gli atomi di idrogeno, invece, sono caratterizzati da una emissione di
righe a frequenze rigorosamente costanti (detta spettro).

Le due soluzioni del problema
I protagonisti della meccanica quantistica 77
Attorno al 1925 vennero elaborati in maniera del tutto indipendente due
modelli teorici che risolvevano questi problemi. La prima soluzione,
dovuta ad Erwin Schroedinger, è gia stata sostanzialmente descritta nei
capitoli precedenti. L’elettrone, come ogni altra particella, può essere
associato ad un’onda di probabilità; per questo motivo si può trovare
soltanto in una di quelle orbite la cui estensione è pari alla sua lunghezza
d’onda oppure ad un suo multiplo.
L’emissione di radiazione avviene quando l’elettrone passa da una di
queste orbite ad un’altra, e questo spiega che nel suo spettro siano presenti
solo determinate frequenze.
Allo stesso modo, nel caso del corpo nero, gli atomi che lo compongono
possono trovarsi solo in determinati livelli energetici e possono emettere
energia solo in certe condizioni. Per questo motivo l’emissione di energia
del corpo nero diminuisce al di là di una certa frequenza.
La seconda soluzione, sviluppata da Werner Heisenberg, è formulata
nel linguaggio delle matrici e prende il nome di “meccanica delle matrici”
(le matrici sono delle tabelle con un certo numero di righe e di colonne, su
cui si possono effettuare operazioni matematiche).
Le due teorie portano agli stessi risultati, nonostante il diverso
formalismo matematico. L’equivalenza delle due teorie fu dimostrata anni
dopo grazie alle ricerche dello stesso Schroedinger e di Paul Dirac (1902-
1984).

78 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Heisenberg
Werner Heisenberg nacque nel 1901 a Wurzburg, in Baviera. Nel 1920
si iscrisse all’università di Monaco, dedicandosi alla fisica teorica con il
professor Arnold Sommerfeld (1868-1951), che riconobbe
immediatamente il suo talento. Nel 1923 ottenne il dottorato, completando
gli esami in soli tre anni, e nel 1927 fu nominato professore di fisica
teorica a Leipzig, diventando il più giovane professore universitario in
Germania.
Heisenberg intraprese lo studio della fisica teorica proprio nel periodo in
cui stava nascendo la meccanica quantistica, inserendosi subito nel
dibattito scientifico. Nel 1925 presentò la sua teoria della meccanica
quantistica, la “meccanica delle matrici”. Questa teoria ebbe difficoltà ad
imporsi, perché molto difficile dal punto di vista matematico. Nel 1926
Schroedinger presentò la sua teoria “ondulatoria”, più semplice ed
intuitiva, che incontrò maggiore favore presso la comunità dei fisici.
Werner Heisemberg

I protagonisti della meccanica quantistica 79
Nel 1926 Heisenberg si trasferì a Copenhagen per lavorare come
assistente di Niels Bohr. Le relazioni di indeterminazione che resero
famoso il suo nome vennero ricavate nel febbraio del 1927. Le
implicazioni di queste relazioni erano molto profonde, e furono una delle
componenti essenziali della cosiddetta interpretazione di Copenhagen
della meccanica quantistica.
Nel 1933, a soli 32 anni, Heisenberg ottenne il premio Nobel. Con
l’avvento al potere dei nazisti, nel 1933, iniziarono in Germania gli
attacchi verso la moderna fisica teorica, che comprendeva la teoria della
relatività e la meccanica quantistica, chiamata “fisica ebrea”. Heisenberg
venne internato in un campo di concentramento e sottoposto per un anno e
mezzo ad una spaventosa indagine della Gestapo. Scagionato da ogni
accusa, decise di rimanere comunque in Germania.
Nel 1939, allo scoppio della seconda guerra mondiale, Heisenberg
divenne il capo di un progetto per l’utilizzo dell’energia atomica a scopi
bellici. Il suo ruolo in questo periodo è oggetto di interpretazioni
controverse; secondo alcuni Heisenberg partecipò al progetto per
sabotarlo, come confermerebbero gli scarsissimi risultati ottenuti, mentre
l’analogo progetto statunitense giunse rapidamente alla costruzione della
bomba atomica. Secondo altri, invece, le difficoltà del progetto erano
dovute alla scarsa inclinazione di Heisenberg per gli aspetti pratici ed alla
sua incapacità di rilevare gli errori commessi in fase iniziale.
Alla fine della seconda guerra mondiale, Heisenberg e gli altri scienziati
atomici tedeschi vennero internati per sei mesi in una grande proprietà
terriera vicino a Cambridge, in Inghilterra. Dopo il rilascio dalla prigionia,

80 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Heisenberg si dedicò alla ricostruzione della ricerca scientifica nella
Repubblica Federale Tedesca, battendosi contro il divieto imposto dagli
Alleati ad ogni ricerca sulla fissione nucleare. In seguito divenne il capo
della commissione politico-scientifica del CERN, l’organizzazione
europea per la ricerca nucleare, e pubblicò una monografia dal titolo
“Fisica e filosofia”. Morì nel 1976.
Bohr
Niels Bohr nacque a Copenhagen nel 1885 e studiò presso la locale
università, laureandosi nel 1911.
Niels Bohr bambino (ultimo a dx) con la sua famiglia
Dopo la laurea fu uno dei primi ospiti del laboratorio di Manchester,
diretto da Ernest Rutherford, dove pose le basi del modello “planetario”
dell’atomo di idrogeno.

I protagonisti della meccanica quantistica 81
Nel 1920 divenne direttore dell’Istituto di fisica teorica di Copenhagen,
che rappresentò il centro propulsore per lo sviluppo della meccanica
quantistica. Il suo nome è legato in particolare alla “interpretazione di
Copenhagen” della meccanica quantistica, con la quale sviluppò
l’intuizione di Max Born (1882-1970) secondo la quale la funzione
d’onda di un sistema quantistico rappresenta la probabilità che una misura
lo rilevi in un determinato punto. Bohr presentò questa interpretazione
alla fine del 1927 in una conferenza tenuta in Italia, sul lago di Como.
Durante la seconda guerra mondiale fuggì dalla Danimarca occupata
dai nazisti per rifugiarsi negli Stati Uniti. Nel 1941, poco prima di partire,
ricevette una misteriosa visita del suo ex allievo Werner Heisenberg, ai
tempi a capo del progetto tedesco per la costruzione della bomba atomica.
Gli storici hanno elaborato diverse ipotesi su questo incontro, che guastò
profondamente i rapporti tra i due scienziati. Secondo alcuni Heisenberg
voleva rassicurare il suo maestro, oppositore del regime nazista, sul fatto
che la bomba atomica non avrebbe potuto essere realizzata.
Negli Stati Uniti collaborò al progetto della prima bomba atomica,
senza però prendervi parte attiva. Si oppose al mantenimento del segreto
sul progetto, temendo le conseguenze degli sviluppi della nuova arma, per
la quale riteneva necessario un controllo a livello internazionale.
Al termine della guerra ritornò a Copenhagen, dove si impegnò per
promuovere lo sfruttamento pacifico dell’energia atomica e morì nel 1962.
Il nome di Bohr è legato, oltre che alla interpretazione di Copenhagen, al
principio di “complementarità”. Bohr fece notare che tutti gli esperimenti
necessari per determinare gli aspetti corpuscolari e gli aspetti ondulatori

82 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
dei processi fisici (come nel caso della interferenza degli elettroni)
risultano di fatto impossibili da realizzare. L’aspetto ondulatorio e
l’aspetto corpuscolare della materia sono quindi “complementari”, ed è
impossibile avere accesso nello stesso tempo ad entrambi.
Bohr propose questa idea come un paradigma generale, anche al di fuori
dell’ambito dei processi microscopici. Secondo la sua concezione la
natura è misteriosa ed estremamente ricca di sfaccettature; a noi è
concesso cogliere solamente alcuni aspetti di questa complessa realtà, ed i
procedimenti necessari per avere accesso ad una delle facce del reale sono
incompatibili con quelli necessari per accedere ad altri aspetti. Per
accertare se dei microrganismi sono vivi od inerti, ad esempio,
inevitabilmente li si uccide, rendendo impossibile accertare altre
proprietà.
Schroedinger
Erwin Schroedinger nacque a Vienna nel 1887. Nel 1906 si iscrisse alla
facoltà di Fisica dell’università di Vienna, dove si laureò nel 1910. Nel
1914 ottenne il titolo di “Privatdozent”, ma venne richiamato alle armi
allo scoppio della prima guerra mondiale: Al termine del conflitto fu
nominato professore di fisica teorica presso l’università di Zurigo, dove
sviluppò la teoria ondulatoria della meccanica quantistica.
Nel 1927 Schroedinger fu chiamato a succedere a Max Planck sulla
prestigiosa cattedra di fisica teorica di Berlino ma, quando i nazisti
salirono al potere nel 1933, abbandonò la Germania per riparare ad

I protagonisti della meccanica quantistica 83
Oxford in Inghilterra e successivamente ritornare in Austria, a Graz. Nel
1938, quando Hitler annesse l’Austria, si dichiarò a favore dell’invasione,
ma venne comunque epurato perché “politicamente inaffidabile” e dovette
rifugiarsi a Dublino.
Erwin Schroedinger
Dopo la guerra, Schroedinger attese per ritornare in Austria la
conclusione del trattato di pace, che fu firmato solo nel 1955. Nel 1956 fu
finalmente nominato professore presso l’università di Vienna. Morì nel
1961.
Schroedinger raggiunse la fama grazie alla teoria ondulatoria della
meccanica quantistica, ed ottenne il premio Nobel nel 1933. Fu un
personaggio eccentrico e molto diretto nei giudizi; è rimasta famosa la sua
stroncatura della complementarità di Bohr:
“Quando non si capisce una cosa, si inventa un nuovo termine e si
crede di averla capita”

84 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Secondo Schroedinger, che fu sempre molto critico nei confronti
dell’interpretazione di Copenhagen, non si poteva liquidare il problema di
che cosa accada ad un elettrone nel corso di un esperimento affermando
che si tratta di una domanda priva di senso. Su questo punto la sua
posizione era simile a quella di Einstein.
In tempi in cui un abbigliamento formale era di rigore, Schroedinger si
presentava ai congressi in maglietta e con lo zaino. Le sue vicende
famigliari furono a dir poco movimentate: pur essendo sposato, ebbe tre
figlie da tre donne diverse, nessuna delle quali era la moglie. Costituì una
famiglia a quattro con la moglie, la prima figlia e la madre di lei; rifiutò
un posto all’università di Princeton perché negli Stati Uniti non avrebbe
potuto vivere apertamente in bigamia.
Schroedinger ammirava i mistici ed era un seguace della filosofia
idealista del Vedanta. I suoi interessi non erano limitati alla fisica, ma
spaziavano alla biologia, alla cosmologia, alla filosofia. Nel suo libro
“Che cosa è la vita” tentò di delineare una spiegazione fisica dei
meccanismi riproduttivi degli esseri viventi.
In “ Mente e materia” Schroedinger affrontò il problema della coscienza,
che riteneva sintomo di una evoluzione incompleta. Secondo
Schroedinger l’uomo si sta trasformando da essere individualista in un
superiore essere sociale, e a trasformazione avvenuta diventerà parte di un
organismo che non richiederà più la sua partecipazione cosciente (come
avviene ad esempio per le formiche e le api).
Negli anni 40 Schroedinger lavorò alla grande unificazione della fisica,
in grado di inglobare la meccanica quantistica e la teoria della relatività

I protagonisti della meccanica quantistica 85
generale. Raggiunse una formulazione che presentò con grande clamore,
attirandosi dure critiche da Einstein quando la nuova teoria si rivelò del
tutto inadeguata.
L’interpretazione del paradosso del gatto
Il paradosso del gatto fu presentato da Schroedinger per dimostrare che
l’interpretazione di Copenhagen della meccanica quantistica comportava
conseguenze inaccettabili. Non ottenne però questo scopo, e la
maggioranza dei fisici continuò a seguire l’inquadramento concettuale di
Bohr.
Paradossalmente, al giorno d’oggi l’esempio del gatto viene visto non
come un non senso insostenibile, ma come una eccellente illustrazione
degli aspetti peculiari della meccanica quantistica; lo si può persino
considerare, come in questo libro, la dimostrazione della opportunità di
utilizzare gli schemi concettuali dell’interpretazione di Bohr anche al di
fuori della fisica delle particelle.

Appendice D: L’intelligenza artificiale
La nascita dell’intelligenza artificiale
L’intelligenza artificiale ha come obbiettivo la creazione di macchine in
grado di emulare l’intelligenza umana (intesa come la capacità degli esseri
umani di raggiungere determinati scopi tramite il pensiero).
Di solito si considera come atto di nascita dell’intelligenza artificiale
una conferenza che il matematico inglese Alan Turing (1912-1954) tenne
nel 1947. Il nome “Intelligenza Artificiale” fu coniato nel 1956 in una
conferenza tenuta a Dartmouth, negli Stati Uniti, per iniziativa di Marvin
Minsky, Nathaniel Rochester, Claude Shannon e John McCarthy. In
questa conferenza venne mostrato un programma, sviluppato da Allen
Newell, J. Clifford Shaw e Herb Simon, in grado di dimostrare teoremi
matematici in modo automatico.
Claude Shannon

I meccanismi della mente umana
L’intelligenza artificiale 87
Le macchine prodotte dagli studiosi dell’intelligenza artificiale sono
quasi sempre realizzate utilizzando dei computer appositamente
programmati. Non sempre queste macchine imitano i meccanismi della
mente umana; a volte i ricercatori utilizzano metodi che prevedono calcoli
ben al di là delle capacità umane.
I programmi che giocano a scacchi sono uno caso evidente. Un
computer che gioca a scacchi è in grado di battere qualsiasi grande
maestro, ma usa una strategia completamente diversa da quella umana.
Questi programmi utilizzano ciò che si può definire “forza bruta”:
esaminano un enorme numero di combinazioni che si possono originare
da una mossa, ma sono privi dell’intuizione che può avere un giocatore
umano.
Per battere un campione del mondo un calcolatore deve essere in grado
di calcolare centinaia di milioni di combinazioni al secondo. Se un
giocatore umano utilizzasse gli stessi criteri seguiti da un calcolatore,
giocherebbe molto peggio di quanto può fare abitualmente.

88 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Le applicazioni dell’intelligenza artificiale
I giochi sono una delle applicazioni in cui l’intelligenza artificiale ha
raggiunto i risultati più clamorosi; altri campi sono il riconoscimento
vocale, la comprensione del linguaggio ordinario (il linguaggio che
usiamo nella vita di tutti i giorni, molto diverso dai linguaggi con cui si
programmano i calcolatori) ed i sistemi esperti.
L’obbiettivo di questi sistemi è svolgere i compiti di un esperto in un
determinato campo. Uno dei primi fu Mycin, realizzato negli anni 70
presso l’università di Stanford, in grado di diagnosticare le infezioni
batteriche del sangue. Questo programma era scritto in LISP ed era stato
realizzato consultando i migliori esperti del settore. Le sue diagnosi erano
più accurate di quelle degli stessi dottori (la validità di una diagnosi
veniva verificata confrontandola con i risultati di una coltura batterica),
ma per motivi legali non venne mai utilizzato su veri pazienti.

La stanza di Searle
L’intelligenza artificiale 89
Il paradosso della stanza cinese presuppone che esistano programmi
capaci di superare i test di Cartesio (o di Turing). Al momento attuale
nessun programma può superare questi test in maniera indiscutibile; Hal
ed altri calcolatori inventati dalla fantascienza sono gli unici in grado di
farlo.
Una delle prime difficoltà di questo test è la comprensione del
linguaggio ordinario. In molti casi i programmi di intelligenza artificiale
riescono effettivamente a rispondere a domande in modo coerente, ma il
loro approccio è simile a quello adottato per il gioco degli scacchi; si
utilizza la “forza bruta”, eseguendo un enorme numero di operazioni.
Se un essere umano utilizzasse la stessa tecnica, impiegherebbe un
tempo pressoché infinito per rispondere a delle domande. La situazione
descritta da Searle, quindi, è del tutto irrealizzabile allo stato attuale della
conoscenza.
La fuzzy logic
Nella progettazione di sistemi esperti spesso si utilizza la fuzzy logic (o
“logica sfumata”). In questo sistema logico le ipotesi non sono, di norma,
completamente vere o completamente false, ma sono caratterizzate da un
grado di verità. La fuzzy logic può essere vista come un’estensione della
logica binaria a due valori (“vero” e “falso”) usata dai calcolatori.
Immaginiamo che un sistema esperto debba effettuare determinate
operazioni basandosi sulla temperatura dell’acqua contenuta in un

90 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
recipiente. Se il criterio è che l’acqua stia “bollendo”, la logica binaria è
adeguata: l’acqua o bolle o non bolle. Se però il criterio è che l’acqua sia
“calda” (ad esempio, si deve abbassare una fiamma se l’acqua è “calda”) ,
il giudizio non può essere preciso. In un sistema fuzzy si può risolvere il
problema attribuendo dei gradi di appartenenza alle classi dell’acqua
“fredda”, “tiepida”, “calda”.
Se l’acqua si trova a 25 gradi, ad esempio, si può dire che appartiene alla
classe “fredda” con un grado di appartenenza di 0.8 e che appartiene alla
classe “tiepida” con un grado di appartenenza di 0.4. Se l’acqua si trova a
cinquanta gradi si può dire che appartiene alle classi “tiepida” e “calda”
con gradi di appartenenza, rispettivamente, di 0.2 e 0.9.
Questo approccio è vantaggioso in molte applicazioni, ad esempio nei
programmi di gestione di una lavastoviglie, che può ottimizzare i cicli di
lavaggio utilizzando il computer che è integrato in tutti gli
elettrodomestici moderni.
La nascita della fuzzy logic viene fatta risalire ad un articolo dello
studioso statunitense Lotfi Zadeh pubblicato nel 1965, in cui si faceva
l'esempio della classe degli animali.
Cani, cavalli, uccelli appartengono a questa classe, mentre
chiaramente non vi appartengono le rocce o le piante. Le stelle marine o le
spugne, invece, non possono essere facilmente assegnate ad una specifica
classe.

Lofti Zadeh
L’intelligenza artificiale 91
Contrariamente a quanto si potrebbe pensare, la logica sfumata non è
essa stessa intrinsecamente imprecisa, ma è una logica che permette di
gestire l’imprecisione e di trattare più agevolmente l’incertezza del
linguaggio naturale, aiutando le macchine a "ragionare" in modo più
simile a quello umano.
Negli ultimi anni sono stati sviluppati diversi compilatori (gli strumenti
che permettono di programmare i calcolatori usando un linguaggio di
“alto livello”, come il LISP, e non le istruzioni macchina dei computer)
che facilitano la creazione di sistemi esperti basati sulla logica sfumata.
Sono state realizzate molte applicazioni, in particolare nella gestione degli
elettrodomestici. Sono in commercio televisori, videocamere,
aspirapolvere, macchine fotografiche, fotocopiatrici che utilizzano la
logica sfumata.

92 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
L’inferenza bayesiana
L’inferenza è il processo logico con cui da certe ipotesi si possono
ricavare determinate conseguenze; per estensione viene chiamato
inferenza anche il procedimento con il quale si cerca di prevedere nuovi
fatti basandosi su fatti che conosciamo.
Prevedere le esperienze future è una delle più importanti capacità
dell’intelletto umana ed uno degli obbiettivi principali dell’intelligenza
artificiale. Nella nostra vita effettuiamo continuamente previsioni basate
sulle nostre esperienze; se tutti gli uccelli che vediamo volano, possiamo
inferire che, se vedremo un altro uccello, anch’esso potrà volare.
Ovviamente i procedimenti di inferenza non sono sempre così semplici;
possiamo imbatterci in uccelli che non possono volare, come i pinguini, e
quindi può essere necessario calcolare la probabilità di un evento futuro,
nel nostro esempio la probabilità che il prossimo uccello che vedremo
sappia volare.
I sistemi esperti utilizzano regole di inferenza per effettuare previsioni
attendibili. Ad esempio, basandosi sui comportamenti abituali di chi
falsifica carte di credito, si può prevedere quali transazioni o richieste di
emissione di nuove carte sono a rischio di frode. Per catalogare un testo o
un sito Web senza doverlo esaminare interamente ci si può basare sulla
frequenza con cui certe espressioni appaiono nelle prime pagine,
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Alcune tecniche di inferenza sfruttano concetti e formule matematiche
sviluppate dal reverendo Thomas Bayes (1702-1761).

Thomas Bayes
L’intelligenza artificiale 93
Bayes, noto per la sua abilità matematica, non pubblicò quasi nulla in
vita, ma poco dopo la sua morte il suo amico Richard Price presentò
alcuni suoi scritti alla Royal Society di Londra, proponendoli come una
risposta alla filosofia scettica di David Hume (1711-1776). Hume aveva
messo in discussione le basi teoriche della nostra conoscenza, ed
affermava che non si poteva essere sicuri di nessun evento del futuro,
nemmeno del fatto che domani il sole sorgerà.
David Hume

94 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Le formule di Bayes, fatte alcune assunzioni di base, permettono di
valutare con precisione la probabilità di un determinato evento, ad
esempio del fatto che domani sorga il sole, basandosi sugli eventi passati,
ad esempio sul numero di volte in cui abbiamo visto il sole sorgere.
Questa probabilità è molto vicina ad uno e, secondo Price, questo
rappresenta una prova della certezza del sorgere del sole.
L’approccio bayesiano è agli antipodi dell’approccio a priori, nel quale
si ricavano le conseguenze partendo dai principi di base. L’inferenza
bayesiana parte da un minimo di presupposti ed utilizza l’esperienza per
accrescere la propria conoscenza. Questo modo di procedere può essere
sfruttato con profitto dalle macchine dell’intelligenza artificiale.
Se in una roulette esce sempre il rosso, secondo il normale approccio
teorico la probabilità che in una nuova estrazione esca il nero è del 50%.
L’approccio bayesiano, invece, porta a concludere che con ogni
probabilità la roulette è truccata.

Achille, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14,
15, 61, 62, 63
Anselmo d’Aosta, 69
Aristotele, 26, 60, 61, 63, 64, 65, 66
Bayes, 92, 94
Bohr, 41, 43, 79, 80, 81, 82, 83, 85
Boltzmann, 75
Borges, 3, 13
Born, 81
Cantor, 70
Cargile, 18
Cartesio, 56, 72, 89
Churchland, 55
Diogene, 5
Dirac, 77
Einstein, 43, 69, 84, 85
Epimenide, 25
Eubulide, 16
Fileta, 26
Frege, 33
Goedel, 34, 68, 69, 71, 72, 73
Hal, 47, 89
Heisenberg, 10, 15, 77, 78, 79, 81
Hilbert, 70, 71
Hume, 93
Kant, 70
Kirchoff, 74
Kronecker, 70
Kronrod, 49
Kubrick, 47
Landau, 14
Mach, 20
Maxwell, 55
Indice dei nomi
McCarthy, 48, 49, 86
Minsky, 86
Mycin, 88
Nearco, 60
Newell, 86
Niels Bohr, 10, 41, 80
Parmenide, 3, 8, 58, 59, 60
Pinker, 54, 55
Planck, 11, 82
Platone, 19, 59
Price, 93
Quine, 33
Rochester, 86
Rorty, 9
Russell, 28, 32, 33, 72
Rutherford, 75, 80
San Paolo, 25
Schlick, 68, 69
Schroedinger, 9, 35, 44, 45, 46, 77,
78, 82, 83, 84, 85
Searle, 47, 52, 53, 54, 55, 57, 89
Shannon, 86
Shaw, 86
Simon, 86
Socrate, 59
Sommerfeld, 78
Teleutagora, 60
Turing, 55, 56, 57, 86, 89
Whitehead, 72
Wittgenstein, 9, 51
Zadeh, 90
Zenone, 3, 5, 6, 7, 8, 14, 60, 61, 62,
63, 66, 67

96 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
Sommario
INTRODUZIONE ........................................................................................ 2
ACHILLE E LA TARTARUGA............................................................ 3
LA GARA.................................................................................................. 3
PRIME OVVIE CONFUTAZIONI................................................................... 5
UN SECONDO CHE NON FINISCE................................................................ 7
UNO SGUARDO MENO SUPERFICIALE........................................................ 8
PARMENIDE E ZENONE............................................................................. 8
LO SPECCHIO DELLA NATURA .................................................................. 9
IL PROCESSO DI MISURA ......................................................................... 11
ALCUNI CALCOLI SULLA INDETERMINAZIONE ........................................ 11
QUANDO ACHILLE RAGGIUNGE LA TARTARUGA .................................... 13
ZENONE AVEVA RAGIONE ...................................................................... 14
IL SORITE ............................................................................................ 16
IL MUCCHIO ........................................................................................... 16
IL MENDICANTE ..................................................................................... 17
IL GIRINO ............................................................................................... 18
CHE COSA È UN “MUCCHIO”?................................................................. 19
I CONCETTI ............................................................................................ 20
I GIUDIZI ................................................................................................ 21
QUANDO IL GIRINO DIVENTA RANA........................................................ 22
L’USCITA DAL PARADOSSO .................................................................... 23
UNA RANA È UNA RANA......................................................................... 24
IL CRETESE MENTITORE ............................................................... 25
IO MENTO .............................................................................................. 25
IL COCCODRILLO PIETOSO...................................................................... 27
IL BARBIERE........................................................................................... 28
LA STRUTTURA DEI PARADOSSI DELL'AUTOREFERENZA ......................... 29
UN GIUDIZIO PRECISO ............................................................................ 30
L’IMPATTO SULLE TEORIE MATEMATICHE.............................................. 32
IL GATTO QUANTISTICO ................................................................ 35
UN GATTO FUORI DALL’ORDINARIO ....................................................... 35
LE ONDE E L’INTERFERENZA.................................................................. 36

97
Indice
L’INTERFERENZA DEGLI ELETTRONI....................................................... 39
L’ONDA DI PROBABILITÀ........................................................................ 40
L’INTERPRETAZIONE DI COPENHAGEN................................................... 41
LA CARTA NASCOSTA............................................................................. 42
LA CAMERA DEL GATTO......................................................................... 44
L’USCITA DAL PARADOSSO .................................................................... 46
LA STANZA CINESE........................................................................... 47
HAL IL PROTAGONISTA .......................................................................... 47
LA MACCHINA CHE PENSA...................................................................... 48
GLI SCACCHI ED IL GIOCO DEL GO .......................................................... 49
IL LINGUAGGIO NATURALE..................................................................... 51
LA STANZA CINESE................................................................................. 52
QUALCHE OBIEZIONE............................................................................. 53
LA QUESTIONE DELLA VELOCITÀ ........................................................... 55
IL TEST DI TURING ................................................................................. 55
DISCRIMINARE LE MACCHINE?............................................................... 57
APPENDICE A: GLI ALTRI PARADOSSI DI ZENONE ................ 58
PARMENIDE ........................................................................................... 58
ZENONE................................................................................................. 60
LA DICOTOMIA....................................................................................... 62
LA FRECCIA ........................................................................................... 64
LO STADIO ............................................................................................. 65
APPENDICE B: IL TEOREMA DI GOEDEL................................... 68
LA VITA DI KURT GOEDEL ..................................................................... 68
IL PROGRAMMA DI HILBERT................................................................... 70
IL TEOREMA DI GOEDEL......................................................................... 72
APPENDICE C: I PROTAGONISTI DELLA MECCANICA
QUANTISTICA..................................................................................... 74
LA NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA....................................... 74
IL CORPO NERO ...................................................................................... 74
L’EMISSIONE DEGLI ATOMI DI IDROGENO............................................... 75
LE DUE SOLUZIONI DEL PROBLEMA........................................................ 77
HEISENBERG.......................................................................................... 78
BOHR..................................................................................................... 80
SCHROEDINGER ..................................................................................... 82

98 Alberto Viotto - Achille e la tartaruga
L’INTERPRETAZIONE DEL PARADOSSO DEL GATTO................................. 85
APPENDICE D: L’INTELLIGENZA ARTIFICIALE...................... 86
LA NASCITA DELL’INTELLIGENZA ARTIFICIALE ...................................... 86
I MECCANISMI DELLA MENTE UMANA .................................................... 87
LE APPLICAZIONI DELL’INTELLIGENZA ARTIFICIALE............................... 88
LA STANZA DI SEARLE ........................................................................... 89
LA FUZZY LOGIC .................................................................................... 89
L’INFERENZA BAYESIANA...................................................................... 92
INDICE DEI NOMI .............................................................................. 95