sillogismi sfumati, triangolo oppositivo, quadrilatero ... - Arrigo Amadori
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SILLOGISMI SFUMATI, TRIANGOLO OPPOSITIVO, QUADRILATERO NUMERICO,<br />
INTER-BIVALENZA. CON UN’APPENDICE STORICA SULLA QUANTIFICAZIONE DEL PREDICATO.<br />
di Cavaliere Ferdinando Via della Libertà 5, 47042 Cesenatico (FC) t. 0547-672469<br />
Laureato in Filosofia, Fac. Lettere e Filosofia - Università degli Studi di Bologna, tesi in Storia del<br />
Pensiero Scientifico (Prof. Giuliano Pancaldi), biennalizzazione Storia della Logica (Prof. Maurizio<br />
Ferriani).<br />
Sommario<br />
Abstract<br />
INTRODUZIONE: FINALITÀ DELLO STUDIO, CON CENNI SULLA SILLOGISTICA TRADIZIONALE<br />
PARTE I SILLOGISMI DISTINTIVI PRE-NUMERICI D<br />
Sillogismi Distintivi semplici:<br />
Sillogismo Triangolare Categorico D3<br />
Sillogismo Triangolare Esclusivo D3e<br />
Sillogismo Esagonale D6<br />
Sillogismi Poligonali<br />
Sillogismi Quasi-numerici DQ<br />
Sillogismi Distintivi composti:<br />
Polisillogismo con Complementari D7c<br />
Espressioni base, inferenze immediate<br />
Regole deduttive mediate<br />
Polisillogismo con Soggetto “ad infinitum” D7s<br />
Estensioni Tri-Esagonali delle Logiche Classiche<br />
Sillogismo Relazionale Iconico R7<br />
Triangolo <strong>oppositivo</strong> nella Logica degli Enunciati<br />
Triangolo <strong>oppositivo</strong> nelle Logiche Modali<br />
Altre interpretazioni/applicazioni<br />
PARTE II SILLOGISMI DISTINTIVI NUMERICI N<br />
Sillogismi Distintivi Numerici semplici DN<br />
Quadrilatero Distintivo Numerico<br />
Poli<strong>sillogismi</strong> Numerici PN<br />
Sillogismi Singolari: caso limite D2<br />
Prospettive di sviluppo teorico<br />
PARTE III INTERPRETAZIONI LOGICHE NON-STANDARD<br />
Trasposizione dei Quantificatori ai Valori di Verità: Inter-bivalenza<br />
Super-bivalenza<br />
Logica Pre-Numerica (generalizzante)<br />
Logiche Numeriche (puntualizzanti)<br />
Logica Graduata o Naturale (discreta)<br />
Logica Sfumata o Continua (razionale, reale)<br />
Sillogismi e Poli<strong>sillogismi</strong> <strong>sfumati</strong> tridimensionali<br />
Prospettive applicative<br />
APPENDICE STORICA: SULLA QUANTIFICAZIONE DEL PREDICATO<br />
Il modello teorico: il Polisillogismo Distintivo con Inversa D10<br />
Da D10 alla “Quantificazione del Predicato”, e dal modello alla storia<br />
Sistemi isomorfi a D10: Lambert, Gergonne, Stanhope, Holland, Bentham, Hamilton<br />
Sistemi isomorfi alla Sillogistica Tradizionale : Ploucquet, De Morgan 1<br />
Sistema ibrido : De Morgan 2 composto D12<br />
BIBLIOGRAFIA<br />
Ringraziamenti<br />
1
ABSTRACT<br />
I. Vengono qui sviluppate inedite Sillogistiche, dette “Distintive”, D. Una nuova categorica, la “Particolare<br />
Distintiva”, esprimibile tramite il quantificatore U (=Solo qualche, Qualche ma non ogni), equivalente alla<br />
congiunzione delle Particolari tradizionali (quantificatori I ed O), a queste viene preferita, come primitiva, perché<br />
più vicina al linguaggio comune e all’ intuizione estensionale (riferimenti più distinuibili). “Solo qualche b è a”<br />
è resa con Uba. Assieme alle predicazioni Universali (con A ed E), costituisce il “Triangolo dei contrari”, T.<br />
Quest’ultimo si integra col Quadrato tradizionale, Q, in un Esagono delle opposizioni, Eo, in cui compare l’<br />
“Universale Distintiva” (O ogni o nessun b è a: Yba). Inferenza tipica del sistema è l’obversione senza<br />
negazione di copula o qualità del quantificatore: Uba = Uba’ , Yba = Yba’. Su queste basi si generano:<br />
- Sillogismi Distintivi, D: Triangolari D3, D3a, inclusi nell’ Esagonale D6, Poligonali DP, fra i quali i Quasinumerici<br />
DQ (“la maggioranza di”, “quasi nessun”...), dotati di schemi, modalità e strutture proprie;<br />
- Poli<strong>sillogismi</strong> Distintivi, D7, ove ogni premessa (e -quando possibile- la conclusione) è una congiunzione di 2<br />
categoriche di D3 o D3a tale da identificare biunivocamente ciascuna delle 7 relazioni estensionali possibili<br />
tra due insiemi diversi dalle classi Vuota e Universo. Le espressioni di questo sistema, più economico della sua<br />
traduzione in catene di Sillogismi tradizionali, S, possono fungere da primitivi per S e D.<br />
Vengono fornite: dei sistemi D (eccetto DQ, da approfondire tramite R.D. Carnes e P.L. Peterson), le regole di<br />
inferenza immediata e le tabelle con le conclusioni sillogistiche; di D7, anche le regole di deduzione<br />
polisillogistica e una versione relazionale diadica, iconica dei 7 diagrammi; inoltre applicazioni di T, Eo e D in<br />
ambito Enunciativo (semi-implicazione), Modale, Semiotico (sinonimie-antonimie).<br />
II. Lo schema poligonale, tramite quantificatori D numerici, si amplia in Sillogismi e Poli<strong>sillogismi</strong> D-<br />
Numerici, DN, DPN, a cui sono riconducibili quelli, più indefiniti, di S (categorici, singolari, soriti, Exponibilia, ecc)<br />
o D. Il Q, l’ Eo ed i Poligoni vengono ricondotti ad un Quadrilatero Distintivo Numerico, QDN (base per<br />
deduzioni mediate con diagramma, in fase di studio). Le regole deduttive di questi sistemi sono da accordare ai<br />
Sillogismi Numerici, SN di W. Parry ,E.T. Hacker, H.A.Finch, P.L.Peterson, tenuto conto di alcune differenze<br />
d’impostazione, ed a principi della Matematica discreta (inclusione-esclusione, formule Da Silva, Sylvester). La<br />
struttura logica dei D essendo articolata in soggetto-predicato (logica dei termini) per estendersi alla pluriargomentalità<br />
e alle relazioni può recuperare alcuni concetti dall’approccio algebrico fra ‘8 e ‘900, e connettersi<br />
alla Numerical Term Logic di W. Murphree, F. Summers, e G. Englebretsen, alternativa alla moderna logica<br />
predicativa, ma che in S. Lindell pare possa con questa coniugarsi, in vista di applicazioni informatiche e di I.A.<br />
III. Privando la classe-soggetto del quantificatore e trasferendone il valore pre-numerico o numerico alla<br />
copula o al valore di verità, si rivelano isomorfismi fra D, bivalenti, e Logiche Non-Standard: da un lato, le D prenumeriche,<br />
possono tradursi in una Logica Inter-bivalente, LI, che ammette alla predicazione un valore<br />
intermedio al vero ed al falso, dunque principi indeboliti del Terzo escluso e di Contraddizione; dall’altro, le<br />
DN, in Logiche Pluri-Inter-bivalenti, LPI che assegnano una misura alla verità (e falsità) di una predicazione.<br />
Si perviene così alla Logica Sfumata (o Vaga o Fuzzy): all’inizio, tra due classi crisp (nette) la relazione<br />
predicativa è conteggiata per gradi discreti; poi si attribuisce anche ad ogni elemento la misura (o verità) della<br />
sua appartenza alla classe, che diviene classe fuzzy), esprimibile aggiungendo la dimensione della profondità<br />
al QD, che diviene un “Cubo fuzzy delle opposizioni”; infine arricchendo i valori numerici naturali dello spigolo<br />
A-E coi razionali ed i reali, ampliando il potere quantificazionale da collezioni discrete a entità continue.<br />
(utilizzabile in vari modi: commensurativo assoluto, statistico-correlativo, relativo-probabilistico, frazionariopercentuale,<br />
ecc). Si accennano confronti di LI e LPI con Super-bivalenza, Paraconsistenza, Dialettica,<br />
Trivalenza, Polivalenza, Non-monotonicità.<br />
Per analogia e ad integrazione delle fuzzy-tecnologie, si propone l’applicazione di LI LPI e D, a svariate campi<br />
specie interdisciplinari (pluralità di codici) ad es. in linguistica (traduttori, dizionari), biblioteconomia<br />
(indicizzazioni), informatica (data base, motori di ricerca, pattern recognition, A.I.), ingegneria<br />
(progettazione).<br />
IV. Nella Appendice storica sarà presentato un sistema polisillogistico, sempre su base T, in cui ogni premessa è<br />
costituita dalla congiunzione di 2 categoriche di D3 o D3a, aventi ciascuna le medesime classi dell’altra, ma in<br />
ordine inverso, ossia un sistema che preveda la quantificazione della inversa. Questa variante di D7, sarà<br />
presa come modello correttivo capace di spiegare i “fallimenti” di vari sistemi deduttivi dei secoli scorsi che, per<br />
rifondare la sillogistica tradizionale, ricorsero alla “quantificazione del predicato”. Una tabella comparativa<br />
elencherà le forme espressive dei vari autori e le sostanziali equivalenze semantiche.<br />
2
Introduzione: finalità dello studio, con cenni sulla sillogistica tradizionale<br />
Prendiamo una striscia chiusa ad anello, tipicamente dotata di una faccia interna ed<br />
una esterna. Se la tagliamo in un punto trasversalmente e la distendiamo, produciamo un<br />
lungo rettangolo. Se poi rovesciamo, torcendola, una delle estremità ottenute, ed infine<br />
ricolleghiamo quest’ultima all’altra estremità, quella non rovesciata, otteniamo un anello di<br />
Moebius, caratterizzato dall’avere una sola faccia ed un solo bordo. Percettivamente,<br />
osservandone una piccola porzione, sembrerebbe ancora dotato di due facce e due bordi,<br />
ma basta seguire con un dito il percorso di un bordo o di una faccia per convincersi che,<br />
globalmente, potremmo dire in realtà, non ve ne sono altre.<br />
Questo procedimento può essere una metafora di quanto vorremmo mostrare nel<br />
presente studio, ossia come due facce solitamente contrapposte (concettualmente,<br />
istituzionalmente, tecnologicamente) della logica contemporanea, possano riunificarsi: quella<br />
classica e quella delle cosiddette logiche non-standard, o di almeno alcune fra queste ultime,<br />
come la logica fuzzy.<br />
Il dito designato a seguire il bordo unico, ossia il modello di partenza per la nostra traduzione,<br />
che passo dopo passo subirà la torsione, ci sarà fornito dalla più classica delle teorie<br />
standard, comprensibile tanto per i logici-filosofi, quanto dai logici-matematici: la Sillogistica,<br />
di derivazione scolastica. Qui ne sarà sviluppata una variante inedita, denominata Distintiva,<br />
che, evidenziando strutture latenti alla prima (Triangolo dei Contrari), le inquadrerà in un più<br />
ampio punto di vista (Inter-bivalenza), e ne consentirà la finale evoluzione in una Sillogistica<br />
“Fuzzy”: come un rettangolo ed un cerchio che sembrino inconciliabili, considerati su due<br />
dimensioni, ma entrambi si rivelino coerenti proiezioni di un’unica forma, se pensati in tre<br />
dimensioni, come cilindro. O come, se ci è consentita un’ultima immagine, nonostante<br />
l’esperienza “locale” ci releghi al fissismo delle specie viventi (“dalle lepri nascono solo le<br />
lepri”), il ragionamento su un più ampio contesto di fatti (fossili, genetica, ecc..) ci convinca<br />
dell’evoluzionismo.<br />
Il passaggio nodale infatti si articola in tre fasi. Nella prima si opera una estensione dello<br />
schema classico e si creano i quantificatori intermedi fra l’”Ogni” ed il “Nessuno” : il “Solo<br />
qualche” pre-numerico ed i “Numerici”. Nella seconda occorre un rovesciamento: questo si<br />
ottiene traslando o trasferendo la “misura” o tipicità di una predicazione / relazione dal suo<br />
quantificatore al suo valore di verità , si tratti di quantificatore distintivo, numerico naturale,<br />
razionale o continuo; in questa fase diviene fuzzy la relazione tra insiemi, mentre<br />
sottoinsiemi ed elementi mantengono la bivalenza. Nella terza fase si opera una completa<br />
saldatura con la logica fuzzy applicando un quantificatore ad ogni elemento delle classe<br />
considerata, che ne misuri l’appartenenza (membership) alla classe stessa e la nonappartenenza<br />
alla classe complementare.<br />
Per riportare il discorso a riferimenti concreti, occorre un breve inquadramento storico.<br />
A partire dal 1910, il logico russo N. A. Vasiliev, volendo creare in Logica l’equivalente<br />
della svolta non-euclidea della geometria “immaginaria” di Lobacevskij, parlò di “curvatura dei<br />
concetti”, in apparenza e localmente ”aristotelici”, ma globalmente rispondenti ad una logica<br />
“immaginaria”, che supera i principi di terzo escluso e di non contraddizione, posti alla base<br />
della logica tradizionale. Nello stesso anno, dalla riflessione critica su tali principi classici, J.<br />
Lukasiewicz diede sviluppo ad una intuizione di Aristotele circa l’esistenza di affermazioni “né<br />
vere, né false”, che porterà nei decenni seguenti lui ed altri logici e matematici alla<br />
produzione di logiche trivalenti e polivalenti.<br />
4
Mentre la messa in discussione del Principio di non contraddizione indusse alcuni a<br />
fondare le cosiddette logiche dialettiche e paraconsistenti, gli studi teorici sulla polivalenza e<br />
sugli insiemi “vaghi” di L. Zadeh e di altri, portarono alla formulazione delle cosiddette logiche<br />
“sfumate” o fuzzy, particolarmente adatte alle applicazioni tecnologiche. Tutto ciò sullo<br />
sfondo del rigoglioso sviluppo della Logica-matematica moderna, soprattutto nei due grandi<br />
filoni algebrico e logicista, che avevano scosso la secolare stagnazione della Logica, in<br />
particolare della Sillogistica Scolastica.<br />
E’ da tempo acquisito come quest’ultima, ancorché di portata assai più limitata, sia<br />
valida non meno del moderno calcolo dei predicati, in quanto a questo riconducibile. Dunque<br />
tutto ciò che in essa è derivabile, a fortiori lo è nella logica predicativa (che comprende anche<br />
quella enunciativa).<br />
Prima di proporre le nostre elaborazioni, conviene richiamare alcune nozioni basilari della<br />
Sillogistica (in forma abbreviata, S) che ai fini del presente studio, considereremo<br />
indistintamente come tradizionale, classica, scolastica, o moderna. Esempi manualistici di tali<br />
sistemi sono Bird, Otto: Syllogistic and its estensions (Englewood Cliffs; Prentice-Hall,1964)<br />
Thomas, Ivo, O.P. “ CS(n): An Exstension of CS” , Dominican Studies, 2 ( 1949), 145-160 ,<br />
una estensione ai termini negativi del sistema proposto in Bochenski, I.M., “On the<br />
Categorical Syllogism”, Dominican Studies, 1 (1948), 35-47; o prima ancora da Miller, J. W.,<br />
the Structure of Aristotelian Logic. London: Routeledge & Kegan Paul, L t d.,1938.<br />
Come noto, data una coppia ordinata di classi, di cui una classe-soggetto “b” ed una<br />
classe-predicato “a”, S prevedeva 4 possibili predicazioni, nel medioevo illustrate col celebre<br />
Quadrato <strong>oppositivo</strong> (Q). Ai vertici superiori venivano collocate le categoriche (o<br />
predicazioni) “Universali” : affermativa “Ogni b è a” (Aba) e negativa “Nessun b è a” (Eba).<br />
Agli angoli opposti si collocavano le loro contraddittorie, ovvero le negazioni delle Universali,<br />
dette “Particolari”, rispettivamente: negativa “Qualche (almeno un) b non è a” (Oba) e<br />
affermativa “Qualche (almeno un) b è a” (Iba) (v. fig.1A). I quantificatori A e I derivano dalla<br />
parola latina “AdfIrmo”, i quantificatori E ed O da “nEgO”. Un Sillogismo è un ragionamento<br />
costituito da tre categoriche in sequenza, due che fungono da premessa, ed una da<br />
conclusione. I termini che in quest’ultima fungono da soggetto e predicato (s e p)<br />
compaiono ciascuno separatamente in una delle due categoriche in premessa (anche in<br />
ruolo diverso da quello conclusivo) accanto ad un terzo termine detto medio (m). A seconda<br />
della posizione, nelle premesse e nella conclusione, dei 3 termini, otteniamo le 4 figure<br />
sillogistiche classiche, schematizzabili come segue :<br />
I II III IV<br />
mp pm mp pm<br />
sm sm ms ms<br />
sp sp sp sp<br />
La combinatoria dei 4 quantificatori con le 3 premesse nelle 4 figure dà luogo a 256 possibili<br />
<strong>sillogismi</strong> di cui solo 24 (6 per figura) costituiranno deduzioni valide (le cui formule<br />
mnemoniche sono le famose “Barbara, Celarent, …”). Un tipico esempio di sillogismo valido<br />
è il seguente: “ogni greco è europeo e ogni ateniese è greco, dunque ogni ateniese è<br />
europeo” (Age * Aag)-> Aae. La sillogistica classica e quella moderna hanno stabilito delle<br />
regole per discriminare rapidamente i modi validi da quelli non validi, estendendola anche ai<br />
termini negativi o complementari (“ad infinitum”), di seguito indicati con l’ apostrofo (ad es.:<br />
a’ = non a), segno di negazione applicabile anche ad espressioni più complesse ( es.: (Aba)’<br />
= non Aba)<br />
5
Come è stato dimostrato dagli autori sopra citati e da molti altri, la sillogistica moderna,<br />
con termini positivi e negativi, ingloba la sillogistica tradizionale (quella dei 24 modi validi),<br />
come caso particolare, poiché l’uso di classi negative e delle regole connesse, assieme ad<br />
un più vasto uso del calcolo degli enunciati, ne estende la portata deduttiva. Analogamente i<br />
sistemi inediti qui presentati sono intesi quali estensioni della sillogistica moderna, includenti<br />
quest’ultima.<br />
La sillogistica classica ha una portata descrittiva e deduttiva limitata, essendo ancorata<br />
alla struttura quantificatore-soggetto-copula-predicato che non si presta a situazioni un po’<br />
più complesse, come quelle descrivibili tramite la logica delle relazioni, o quelle booleane,<br />
poliargomentali.<br />
Nel panorama della logica contemporanea la sillogistica classica, da molti, è ritenuta<br />
una disciplina di interesse esclusivamente storico (vedi ad es E.J. Lemmon).<br />
Gunther Patzig afferma: “La sillogistica era importante quando la scienza era intenta<br />
all’impresa di sistemare i concetti particolari entro quelli più generali e stabilire classificazioni;<br />
e la scienza moderna non si occupa più di cose del genere. Ma le prove sillogistiche si usano<br />
ancora nell’applicazione dei risultati scientifici, come nelle applicazioni giuridiche e nella<br />
terapia medica.” (evidenziazioni nostre).<br />
Tale considerazione va ampliata considerando che, negli ultimi decenni, la crescita<br />
esponenziale delle specializzazioni scientifiche, nonché le necessità di creare nuovi linguaggi<br />
o codici interdisciplinari ripropone una situazione “aurorale” in molte branche particolari del<br />
sapere.<br />
Per districarsi in queste reti semantiche può tornare d’attualità la sillogistica, in quanto<br />
sistema sintattico (insieme di regole formali e di entità astratte) naturalmente portato al<br />
chiarimento terminologico ed alla trasmissione delle conoscenze. Si può perciò dire con<br />
Carruccio: ”Anche se non possiamo accettare la vecchia opinione secondo la quale ogni<br />
deduzione consta di <strong>sillogismi</strong>, è opportuno soffermarsi su questa forma di argomentazione<br />
(…), di cui è notevole specialmente, ma non esclusivamente, l’importanza storica”<br />
(evidenziazioni nostre).<br />
Questa concessione diviene più persuasiva alla luce di alcune novità comparse in<br />
ambito filosofico: la Old New Logic, sviluppata negli anni ’60 da Fred Sommers, ed arricchita<br />
dai contributi dei continuatori negli anni ’90 (Englebretsen G., Murphree W., e altri) ha<br />
espanso l’approccio classico basato sul linguaggio naturale, creando un sistema (Numerical<br />
Term Logic) dalla potenza deduttiva ed espressiva in grado di competere con il calcolo dei<br />
predicati di 1° ordine, ed in grado di cogliere anche la logica delle relazioni.<br />
Gli ampliamenti della sillogistica, presentati in questo lavoro, si inseriscono nel filone di<br />
approccio alla logica a partire dal linguaggio naturale e dall’intuizione comune. Tenteremo di<br />
illustrare come la loro interpretazione li agganci ad attuali campi della logica per tradizione<br />
considerati lontani dalla sillogistica, interessanti teoricamente e per i possibili risvolti<br />
applicativi.<br />
Si considerino le seguenti inferenze (le formule con simboliche saranno spiegate più avanti):<br />
1. Solo qualche scienziato è logico<br />
se, e solo se, solo qualche scienziato non è logico. Usl Usl’<br />
2. Solo qualche sillogismo è aristotelico;<br />
ogni sillogismo è un ragionamento;<br />
dunque solo qualche ragionamento non è aristotelico. Usa * Asr Ura’<br />
3. Una sola parte, maggioritaria, di bestie è ammalata ;<br />
nessuna ammalata è comprabile ;<br />
6
dunque nessuna, o una sola parte, minoritaria, di bestie è comprabile (>ba * Eac) (E<br />
2 c)<br />
5. solo qualche film sonoro è a colori, ma non lo è nessun film muto;<br />
solo qualche film a colori è film di Tornatore, ma non lo è nessun film in bianco e nero;<br />
dunque: solo qualche film sonoro è film di Tornatore, ma non lo è nessun film muto.<br />
Uscs’E * Uctc’EUsts’E<br />
6. Ogni uomo è mortale, e non viceversa;<br />
solo qualche mortale è volatile, e non viceversa;<br />
dunque qualche non-uomo è non-volatile. AumO * UmvY Iu’v’<br />
7. Tutti gli uomini sono solo alcuni mortali<br />
solo alcuni mortali sono tutti i volatili<br />
dunque qualche non-uomo è non-volatile. AuUm * UmAv Iu’v’<br />
8. Che gli uomini siano mortali è vero, viceversa, che i mortali siano uomini, è vero in parte;<br />
che i mortali siano volatili è vero in parte, viceversa, che i volatili siano mortali è vero;<br />
dunque, che i non-uomini siano non-volatili è vero almeno in parte.<br />
Questi 8 esempi si riferiscono ad inferenze logicamente valide, anche se non<br />
inquadrabili nella sillogistica tradizionale. La “1.” è una inferenza immediata, la “2.” una<br />
specie di sillogismo semplice, la 3. un sillogismo quasi numerico, la 4. un sillogismo numerico<br />
, la “5.” un polisillogismo col soggetto preso sia “ad finitum” sia “ad infinitum”, la “6.” un<br />
polisillogismo con premesse a struttura “simmetrica” fra soggetto e predicato, la 7. un<br />
sillogismo con quantificazione del predicato, equivalente alla 6, la 8. una interpretazione nonbivalente<br />
dello stesso.<br />
Queste forme deduttive troveranno giustificazione nel presente lavoro. Nei sistemi<br />
inediti che qui illustreremo, che abbiamo chiamato Sillogistiche Distintive, la caratteristica<br />
di fondo è riconducibile all’uso di una serie di nuove predicazioni (ed alle loro<br />
contraddittorie), la prima delle quali è la Particolare distintiva. Il quantificatore che la<br />
caratterizza, in seguito ad alcuni arricchimenti concettuali, si trasformerà quindi in<br />
quantificatore numerico, che, a sua volta, sarà posto alla base di nuove Sillogistiche<br />
Numeriche .<br />
(Avvertenza: per evitare un eccessivo uso di “virgolette” nella menzione di proposizioni o<br />
simboli, spesso useremo i caratteri tipografici in grassetto o corsivo, peraltro usati anche<br />
come evidenziatori; il contesto chiarirà quale dei due utilizzi viene di volta in volta adoperato.<br />
Analogo discorso per l’intercambiabilità del prodotto logico reso con “&” o * , o della somma<br />
logica con ” +” o “V” o, se esclusiva, ” V “).<br />
PARTE I SILLOGISMI DISTINTIVI PRE-NUMERICI D<br />
Sillogismi Distintivi semplici:<br />
7
Cominciamo illustrando la più semplice delle nostre varianti della sillogistica classica.<br />
Sillogismo Triangolare Categorico D3<br />
Nella Sillogistica Distintiva più primitiva abbiamo sostituito al quadrato <strong>oppositivo</strong>, un<br />
“<strong>triangolo</strong>” dei contrari, che presenterà le seguenti 3 categoriche-base: Universale<br />
affermativa, Universale negativa, e, anziché le 2 Particolari, la loro congiunzione logica, che<br />
chiamiamo Particolare Distintiva (v.fig.1B). Il quantificatore di quest’ultima è interpretabile<br />
nel linguaggio naturale con espressioni come “solo qualche” in senso esclusivo della<br />
universalità, “almeno uno ma non tutti”, “solo alcuni”, “tutti i … tranne alcuni”, “né tutti né<br />
nessun”, “solamente una parte (tra tutti i)”, ecc.<br />
Dal punto di vista della Logica Scolastica la Particolare Distintiva potrebbe figurare,<br />
come una forma inedita, tra gli “Exponibilia” (esponibili), in quanto la congiunzione di due<br />
categoriche (in questo caso due sub-contrarie) appare sotto forma di predicazione con un<br />
solo soggetto ed un solo predicato. Potremmo definirla “Distinctiva” ed accostarla alle<br />
“Exceptivae” (eccettuative): queste ultime hanno una struttura del tipo “tutti i b eccetto x sono<br />
a”, simile, ma più informativa, perché triargomentale, alla prima, che ha una struttura<br />
biargomentale ( “tutti i b, eccetto alcuni, sono a”).<br />
Data una coppia ordinata di classi, di cui una classe-soggetto “b” ed una classepredicato<br />
“a”, possiamo simbolizzare le 3 categoriche di cui sopra nel modo seguente : Aba<br />
(=ogni b è a); Eba (=nessun b è a); Uba (=solo qualche b è a) (quantificatori dalla formula<br />
scolastica modificata “Adfirmo, nEgo, distingUo”). La scelta terminologica di Distintivo<br />
accanto ad affermativo e negativo è motivata dalla necessità di porre accanto ai giudizi<br />
compatibili con la totalità di un insieme dei giudizi che appunto operino una distinzione fra le<br />
parti di una totalità per poter affermare di alcune quel che si deve negare di altre.<br />
[N.b. : ai fini del presente studio utilizzeremo come sinonimi i termini classe ed<br />
insieme, in senso ingenuo, salvo quando il discorso renda necessaria la distinzione, peraltro<br />
rilevante in logica]<br />
In fig.1B, vicino ad ogni categorica, compaiono i diagrammi che, presi disgiunti, ne<br />
rappresentano le sue possibili interpretazioni insiemistiche.<br />
In tali diagrammi il rettangolo di cornice rappresenta l’Universo del discorso, UD,<br />
tranne nel caso 5, per il motivo seguente: per lo sviluppo del nostro discorso, è fondamentale<br />
rilevare la differenza tra il caso 4. e il 5. : in entrambi, le classi “b” ed “a” si intersecano in<br />
senso stretto, ma nel secondo caso la loro unione copre l’intero Universo, rappresentato<br />
dunque dai due insiemi senza altra “cornice” esterna. Ugualmente importanti sono le<br />
analoghe differenze ricavabili dal confronto fra i casi 6. e 7.<br />
Quali esempi di questi 7 casi, possono essere presi i seguenti: 1. UD=triangoli,<br />
b=equilateri, a=equiangoli 2. UD=triangoli, b=equilateri, a=isosceli 3. UD=quadrilateri,<br />
b=rettangoli, a=quadrati 4. UD=quadrilateri, b=rombi a=rettangoli 5. UD=poligoni b=pol. con<br />
meno di cinque lati a=pol. con più di tre lati 6. UD=poligoni b=triangoli a=quadrati 7.<br />
UD=triangoli b=isosceli a=scaleni.<br />
I 7 diagrammi sono notoriamente esaustivi dei rapporti fra due insiemi diversi dalla<br />
classe Universale e dalla classe Vuota (vedi ad es. Bird, O. : cap. 3 par. 27). Ovviamente<br />
perché vi siano i casi 2., 4. e 5. la classe a deve consistere di almeno 2 elementi; stessa<br />
sorte per b nei casi 3., 4., e 5. In particolare b, essendo soggetto, se consistesse di 1 solo<br />
elemento non saremmo più neppure in presenza di Categoriche, ma di Singolari, e non<br />
avrebbe più senso parlare di particolari. Tornemo su questo più avanti.<br />
8
Il “<strong>triangolo</strong>” delle opposizioni opera una partizione di questi 7 casi, circostanza che<br />
non si realizza nel quadrato delle opposizioni, ove ciascuna Particolare, non essendo<br />
esclusiva della Universale della stessa qualità affermativa o negativa, può designare tanto i<br />
casi di quest’ultima quanto quelli della distintiva.<br />
Possiamo pertanto porre come Assioma di base (Aba) V (Eba) V (Uba), ove per V si<br />
intende la disgiunzione esclusiva (o or esclusivo), ossia l’AUT.<br />
Leggi di inferenza immediata:<br />
a = a’’<br />
Aba = Aa’b’ (contrapposizione)<br />
Eba = Eab (conversione)<br />
Aba = Eba’ (obversione)<br />
Eba = Aba’ (obversione)<br />
Uba = Uba’ (obversione)<br />
Quest’ultima può essere così dimostrata , all’interno della sillogistica tradizionale:<br />
Uba =def: Iba *Oba<br />
Iba * Oba = (Eba)’ * (Aba)’ = (Aba’)’ * (Eba’)’ = Oba’ * Iba’ = def: Uba’<br />
(Qualcuno potrebbe obiettare che quando inferiamo “Solo qualche b non è a” da “Solo qualche b è a”,<br />
il soggetto quantificato nella prima categorica non è lo stesso della seconda, ancorché indicato dalla<br />
medesima espressione (solo qualche b) : incorreremmo cioè nella fallacia dell’amphibolia o<br />
ambiguità. Tuttavia una inferenza vale anche se cambiamo il soggetto: ad es da “Ogni uomo è<br />
mortale”, inferiamo correttamente “Nessun immortale è uomo”.)<br />
La obversione della Particolare distintiva, con copula o predicato affermativi,<br />
genera, senza un cambio nella qualità del quantificatore (come invece avviene per i 4<br />
tradizionali), una Particolare distintiva equivalente, con copula o predicato negativi,<br />
proprio perché abbiamo distinto due sottoinsiemi propri nella classe del soggetto, uno dei<br />
quali incluso nella classe del predicato, l’altro escluso.<br />
Tali sottinsiemi – un tempo da molti (fra gli altri J. Lambert) interpretabili come “specie”<br />
del “genere” - sono ciascuno il complemento dell’altro nel soggetto , pertanto la partizione del<br />
soggetto è esaustiva.<br />
Sulla base di queste tre categoriche è possibile costruire una sillogistica, che d’ora in poi<br />
chiameremo “triangolare” (o “primitiva”) o D3, sul modello di quella classica.<br />
Tra i 108 modi possibili i 6 validi saranno così distribuiti fra le 4 figure:<br />
nella 1^ avremo <strong>sillogismi</strong> in AAA ( Barbara), EAE (Celarent), nella 2^ : EAE ( Cesare) AEE<br />
(Camestres); nella 3^: UAU (Unavult = ”li vuole in uno” nuovo modo), nella 4^: AEE (<br />
Camenes).<br />
Si può prendere il modo UAU in 3^ come assioma, ma qui vogliamo dimostrare come<br />
esso può essere derivato dalla sillogistica tradizionale.<br />
DIMOSTRAZIONE VALIDITA’ DEL MODO UAU NELLA 3^ FIGURA<br />
Tesi Uba *<br />
Abc<br />
Uca<br />
9
Dimostrazione:<br />
1. ( Iba * Abc ) ( Ica ) ( Disamis )<br />
2. ( Oba* Abc ) ( Oca ) ( Bocardo )<br />
(1.* 2. ) Ica * Oca ( Per logica degli enunciati )<br />
(1.* 2. ) Uca ( Definizione Uca = Ica * Oca )<br />
[( Iba * Abc ) * ( Oba * Abc )] Uca<br />
1. 2.<br />
[( Iba * Oba ) * Abc] Uca ( Distributività del prodotto logico)<br />
[ Uba * Abc ] Uca ( Definizione Uba )<br />
Sillogismo Triangolare Esclusivo D3e<br />
Nella Logica Scolastica le predicazioni del tipo ”Soltanto (tantum) b è a” ossia “Solo i b sono<br />
a” erano chiamate “Exclusivae”. Erano un tipo di “Exponibilis”, ossia di quelle proposizioni<br />
composte da prodotti e somme di predicazioni semplici. In questo caso “Soltanto i b sono a”<br />
veniva tradotta con Iba * Eb’a; senonchè Iba per legge di assorbimento è già implicato da<br />
Eb’a, per cui alla fine ci troviamo con una predicazione assimilabile alle categoriche semplici,<br />
con qualche termine negativo. Nella nostra simbologia potremmo indicarla con Sba. Alla luce<br />
delle interpretazioni sillogistiche moderne, data una coppia ordinata di insiemi, una Esclusiva<br />
risulta l’equivalente di una Universale Affermativa con i medesimi termini volti al negativo –<br />
ossia, come si diceva allora – con ogni termine “ad infinitum” : Sba = Ab’a’.<br />
Alla Esclusiva può esser data anche una veste eccettuale speciale: Sba equivale a: Nessuno (o<br />
niente), tranne (i) b è (sono) a.<br />
Anche dalle Esclusive si ottenevano i quadrati oppositivi (vedi qui sotto, fig 2):<br />
Sba ---- Sba’<br />
I X I<br />
(Sba’)’---- (Sba)’<br />
(le formule mnemoniche per le Universali affermative e negative erano rispettivamente Dives<br />
e Orat, per le Particolari affermative e negative Anno ed Heli).<br />
Sba significa che non vi sono a che non siano b, mentre è lasciato indefinito se vi siano b che<br />
non sono a. Sba’ significa: Soltanto b non è a. Pertanto Sba = Ab’a’ = Aab = Sa’b’ mentre<br />
Sba’ = Aa’b = Ab’a = Sab’.<br />
Quanto alle particolari, anche qui, allontanandoci dalla Logica Scolastica, possiamo operare<br />
una congiunzione delle particolari per generare un <strong>triangolo</strong> delle opposizioni. Volendo<br />
mantenere i termini tutti al positivo e nell’ordine iniziale, potremmo dare la seguente<br />
interpretazione vicina al linguaggio naturale : Sba =Soltanto il b è a; Cba =il complemento di<br />
b è a (ogni b “ad infinitum” è a); Jba =Solo qualche complemento di b è a (Solo qualche b<br />
“ad infinitum” è a). Vedi qui fig.2 bis:<br />
Jba<br />
/ \<br />
Sba ----- Cba<br />
10
Per tali predicati varranno regole d’inferenza ed assiomi del tutto analoghi a quelli delle<br />
categoriche. Anche per le esclusive potremmo dunque generare una sillogistica distintiva,<br />
che riteniamo però superflua in quanto equivalente a quella ordinaria con le dovute<br />
sostituzioni dei termini negativi nelle giuste occorrenze.<br />
Sillogismo Esagonale D6<br />
A questo punto integriamo Categoriche triangolari e Categoriche tradizionali, arricchite<br />
anche dei termini negativi, in un Sillogismo Esagonale o allargato.<br />
Dall’ assioma di base ( Aba v Eba v Uba ) ricaviamo le contraddittorie, ossia le<br />
negazioni, delle categoriche-base. Così (Aba)‘ (Uba v Eba) ; (Eba)‘ (Aba v Uba);<br />
(Uba)’(Aba v Eba). Riconosciamo le tradizionali Iba = def. ( Aba v Uba ) ed Oba = def.<br />
(Eba v Uba), mentre compare una nuova categorica che chiameremo Universale<br />
“distintiva”, esprimente la negazione della particolare distintiva e che simbolizzeremo<br />
Yba=def. (Aba v Eba) (o ogni o nessun b è a) (quantificatori dalla formula scolastica<br />
modificata “AdfIrmo, nEgO, distingUo: sYllogizo”).<br />
Anche per l’Universale distintiva vale l’obversione: Yba = Yba’. La obversione della<br />
universale distintiva, con copula o predicato affermativi, genera, senza un cambio nella<br />
qualità del quantificatore (come invece avviene per i 4 tradizionali) una universale<br />
distintiva equivalente, con copula o predicato negativi. Infatti ammettendo solo i due<br />
casi distinti dal quantificatore (o ogni o nessun…) se neghiamo il predicato in un caso lo<br />
affermiamo dell’altro e viceversa.<br />
E. Casari, in “Lineamenti di logica matematica”, chiama la Particolare distintiva<br />
“Particolare neutra” e la sua contraddittoria “Universale alternativa”. Sceglie poi di utilizzare<br />
gli altri quantificatori, in linea con la tradizione logico matematica, pur ammettendo la<br />
legittimità di altre scelte. Non abbiamo adottato l’aggettivo “neutra” perché vogliamo tenere<br />
equidistante la distintiva sia dal concetto di diversità dalle universali (“ne-uter”, non entrambe)<br />
sia dal concetto di coesistenza (“uter” , entrambe) di una affermazione ed una negazione,<br />
ancorchè parziali, poichè riferite ai 2 sottinsiemi . “Distintiva” rende l’idea di una pluralità di<br />
livelli coinvolti nella predicazione di cui trattasi, anche nel caso della Universale, in cui a livello<br />
disgiuntivo si può avere una equivalenza che a livello atomico pare una incompatibilità<br />
(giustamente “alternativa”, anche se inesaustiva) .<br />
Il <strong>quadrilatero</strong> delle opposizioni che rappresentava la sillogistica tradizionale viene<br />
dunque inglobato in un esagono a 6 categoriche (vedi fig.1C); chiameremo Sillogismo<br />
“Esagonale” (o”allargato”) o D6 il sistema deduttivo che ne scaturisce. Nell’esagono le<br />
categoriche contraddittorie sono disposte simmetricamente rispetto al centro, mentre le<br />
contrarie (o sub-contrarie) lo sono rispetto all’asse verticale. Un ideale asse orizzontale<br />
separa le primitive, poste nella parte alta dell’esagono, dalle derivate, in basso. Due triangoli,<br />
uno col vertice in alto, l’altro verso il basso, nello schema equilateri, uniscono rispettivamente<br />
le Particolari e le Universali.<br />
Le possibili rappresentazioni insiemistiche delle categoriche derivate Iba, Oba, Yba,<br />
sono visualizzabili in fig.1B, raggruppando, per ciascuna di esse, i diagrammi associati ad<br />
entrambe le categoriche primitive che le costituiscono in disgiunzione, oppure escludendo<br />
quelle che ne rappresentano le contraddittorie.<br />
(Se vogliamo distinguere la sillogistica tradizionale da entrambi i sistemi qui presentati,<br />
potremmo qualificare la prima come sillogistica “assoluta”, e gli altri come sillogistiche<br />
“distintive”)<br />
In fig.1C compaiono le inferenze immediate di questo sistema a 6 categoriche-base.<br />
11
Da notare innanzitutto la differenza tra la negazione della sola copula di una<br />
Particolare distintiva, negazione che produce null’altro che la obversione della Particolare<br />
distintiva di partenza, che è doppiamente implicata da quella ( “ solo qualche b è a “, “<br />
solo qualche b non è a “) e la negazione di una intera Particolare distintiva che, per l’assioma<br />
di base, equivale a “o ogni o nessun b è a”.<br />
Poiché Eba=Eab allora (Eba)’=(Eab)’ ; inoltre (Eba)’=(Aba v Uba), come (Aab)’= (Aab<br />
v Uab), perciò (Aab v Uab)=(Aba v Uba). Quest’ultima equivalenza ricostruisce la classica<br />
inferenza immediata Iab=Iba. Viene così individuata una legge generale del sillogismo<br />
secondo la quale per ciascuna categorica vale la stessa legge di inferenza immediata della<br />
categorica ad essa contraddittoria: contrapposizione per le categoriche contraddittorie<br />
Universale affermativa-Particolare negativa, conversione per le Universale negativa -<br />
Particolare affermativa, obversione per la Particolare distintiva - Universale distintiva.<br />
Oltre a ciò vale poi la generalissima legge di obversione per cui ogni categorica<br />
equivale alla propria obversione se se ne nega al contempo la copula: Aba= ogni b non è<br />
non-a, Eba= nessun b non è non-a, Uba= solo qualche b non è non-a, Yba= ogni, o nessun<br />
b non è non-a, Iba= almeno un b non è non-a, Oba= almeno un b è non-a.<br />
Aggiungendo i due casi di obversione della Particolare distintiva - Universale distintiva<br />
alle regole di inferenza immediata già note nelle sillogistiche con termini anche negativi ( Aba<br />
= Aa’b’, ecc.) ed estendendo sistematicamente tutte le trasformazioni di equivalenza ad una<br />
coppia non ordinata di termini presi sia negativi che positivi, si ottengono in tutto 16 enunciatibase<br />
diversi per significato gli uni dagli altri.<br />
In tabella 1 presentiamo questi enunciati-base nelle varie forme equivalenti.<br />
tab.1<br />
Aba=Aa’b’=Ea’b=Eba’ Contraddittoria di Oba=Oa’b’=Iba’=Ia’b<br />
Eba=Eab=Aab’=Aba’<br />
" Iba=Iab=Oba’=Oab’<br />
Uba=Uba’<br />
" Yba=Yba’<br />
Ab’a’=Aab=Eab’=Eb’a " Ob’a’=Oab=Iab’=Ib’a<br />
Eb’a’=Ea’b’=Aa’b=Ab’a<br />
" Ib’a’=Ia’b’=Oa’b=Ob’a<br />
Ub’a’=Ub’a<br />
" Yb’a’=Yb’a<br />
Uab=Uab’ " Yab=Yab’<br />
Ua’b’=Ua’b " Ya’b’=Ya’b<br />
Nelle ultime tre righe compaiono espressioni non comprese nell’esagono iniziale,<br />
costruito sulla coppia b,a. Tali espressioni, non riconducibili agli altri casi, sono comunque<br />
espressioni-base del sistema, generate dall’ esagono costruito sulla coppia b’a’.<br />
Esempi di questi 16 enunciati-base sono elencati nelle intestazioni delle colonne della<br />
tab. 2., ove sono presi in considerazioni tutti i possibili rapporti di predicazione tra la classe m<br />
( o m’ ) e la classe a ( od a’ ). Analogamente nelle denominazioni delle righe della tabella 2 gli<br />
stessi rapporti intercorrono tra la classe m ( o m’ ) e la classe c ( o c’ ) dall’altro.<br />
La tab.2.(suddivisa per esigenze tipografiche in due parti, a e b, la seconda<br />
idealmente giustapponibile a destra della prima) riassume tutti i <strong>sillogismi</strong> ammissibili nel<br />
sistema esagonale, con le intestazioni di colonne e righe che fungono rispettivamente da I e<br />
II premessa, mentre all’interno delle caselle ciascun enunciato rappresenta la conclusione più<br />
“ stretta” o “forte” (cioè sono sottintesi i cosiddetti modi subalterni) del sillogismo avente come<br />
premesse le coordinate della casella medesima. Ad es. (Uma*Amc) implica Uca; da questa<br />
conclusione in via subalterna ricaviamo Ica, o anche Oca, conclusioni, queste ultime due, che<br />
lasciamo sottintese.<br />
12
Operando le dovute trasformazioni (inversioni nell’ordine delle premesse, conversioni,<br />
ecc.) la tabella renderà conto (caratteri neri) non solo di tutti i modi validi sia del sillogismo<br />
tradizionale (24 modi) nonché di quello con termini anche negativi, ma altresì di nuove forme<br />
sillogistiche (caratteri blu e rossi) dovute all’introduzione dei nuovi quantificatori. Compaiono<br />
inoltre altre forme deduttive (caratteri verdi) non propriamente sillogistiche, ma valide (e<br />
derivabili) come ad es.: Yma * Umc Uca * Uc’a’. (n.b. nella tabella al posto del segno V si<br />
è adoperato il segno”+”).<br />
A dimostrazione che la sillogistica tradizionale vi è realmente inglobata basti<br />
considerare che nel sistema di cui trattasi compaiono i due modi Barbara e Celarent<br />
(rispettivamente I e III colonna, II riga della tab.2a -non contando le intestazioni- con la<br />
dovuta trasformazione di Am’c’ in Acm) dai quali, come noto, sono derivabili tutti gli altri modi<br />
del sillogismo classico e, con le appropriate trasformazioni, anche quello con termini negativi.<br />
Fra i modi nuovi : Hydrargyr in I° figura, Yma *Acm Yca ; Lycurgo in II° figura, Yam *<br />
Ucm Oca .<br />
Tralasciando gli altri, pur nuovi, in cui compare la Universale distintiva, ci paiono<br />
interessanti i <strong>sillogismi</strong> validi in cui una premessa è Particolare distintiva.<br />
Ordinati nelle classiche figure, questi nuovi modi così si distribuiscono: nella I^ figura<br />
abbiamo i modi AUI, EUO; nella II^ AUO, EUO; nella III^ AUI, UAU, UAI, UAO, EUO; nella<br />
IV^ UAI, EUO.<br />
Dal capostipite Unavult (Uma * Amc Uca in III° figura) per la logica degli enunciati si<br />
giunge ai modi subalterni UAI e UAO (U I, e UO). Dal primo di questi, tramite la<br />
conversione della conclusione e lo scambio delle premesse, si giunge ad AUI; da<br />
quest’ultimo, per obversione della conclusione nonché della I^ premessa, si ottiene il modo<br />
EUO. Da EUO in III^ fig. si può passare a EUO in IV^ con la conversione della I^ premessa;<br />
da questo modo per riduzione indiretta si giunge a UAI, sempre in IV^ fig. ; da questo, per<br />
conversa della conclusione e scambio di premesse si giunge a AUI nella I^ che per<br />
obversione di conclusione e I^ premessa genera EUO, che per conversa della prima<br />
premessa genera EUO nella II^ figura. Da AUI nella I^ si genera AUO nella II^ nel seguente<br />
modo: si contrappone la I^ premessa, e si obvertono la II^ premessa e la conclusione.<br />
Questo sistema si presenta equivalente, per potenza deduttiva, alle sillogistiche con<br />
termini positivi e negativi, assestatisi nella modernità, da Lewis Carroll a Lukasiewicz e oltre.<br />
La sillogistica tradizionale, come quella coi termini negativi, (comprese le forme non<br />
tipiche come il sorite e l’entinema) può essere quindi considerata come un caso particolare,<br />
per quanto ampio, di questo nuovo sistema. Dal punto di vista assiomatico tutte le nuove<br />
forme sono riconducibili, tramite trasformazioni dirette o indirette, al solo modo UAU della III^<br />
figura. Pertanto tutte le sillogistiche citate sono riconducibili ai soli modi Barbara, Celarent, e<br />
UAU della III^ figura. Come metodo di controllo metateoretico della correttezza di questi modi<br />
e dei loro derivati abbiamo adottato i diagrammi di Venn.<br />
13
tab.2a Ama Am'a' Ema Em'a' Ima Im'a' Oma Om'a'<br />
Amc Ica Ac'a' Oca Ec'a' Ica Oca<br />
Am'c' Aca Ic'a' Eca Oc'a' Ic'a' Oc'a'<br />
Emc Oc'a' Eca Ic'a' Aca Oc'a' Ic'a'<br />
Em'c' Ec'a' Oca Ac'a' Ica Oca Ica<br />
Imc Ica Oca<br />
Im'c' Ic'a' Oc'a'<br />
Omc Oc'a' Ic'a'<br />
Om'c' Oca Ica<br />
Umc Uac Ua'c'<br />
Um'c' Ua'c' Uac<br />
Ucm Ica Oca Oca Ica<br />
Uc'm' Oc'a' Ic'a' Ic'a' Oc'a'<br />
Ymc Yac Ya'c'<br />
Ym'c' Ya'c' Yac<br />
Ycm Aca+Oc'a' Eca+Ic'a' Eca+Ic'a' Aca+Oc'a' Aca+Oc'a' Eca+Ic'a' Eca+Ic'a' Aca+Oc'a'<br />
Yc'm' Ica+Ec'a' Oca+Ac'a' Oca+Ac'a' Ica+Ec'a' Ica+Ec'a' Oca+Ac'a' Oca+Ac'a' Ica+Ec'a'<br />
14
tab.2b Uma Um'a' Uam Ua'm' Yma Ym'a' Yam Ya'm'<br />
Amc Uca Ica Oca Yc'a' Oca+Ac'a' Ica+Ec'a'<br />
Am'c' Uc'a' Oc'a' Ic'a' Yca Eca+Ic'a' Aca+Oc'a'<br />
Emc Uc'a' Oc'a' Ic'a' Yca Eca+Ic'a' Aca+Oc'a'<br />
Em'c' Uca Ica Oca Yc'a' Oca+Ac'a' Ica+Ec'a'<br />
Imc Oca+Ac'a' Ica+Ec'a'<br />
Im'c' Eca+Ic'a' Aca+Oc'a'<br />
Omc Eca+Ic'a' Aca+Oc'a'<br />
Om'c' Oca+Ac'a' Ica+Ec'a'<br />
Umc Uca+Uc'a'<br />
Um'c' Uca+Uc'a'<br />
Ucm Oca Ica<br />
Uc'm' Ic'a' Oc'a'<br />
Ymc Uca+Uc'a' Yca+Yc'a'<br />
Ym'c' Uca+Uc'a' Yca+Yc'a'<br />
Ycm Oc'a' Ic'a' Eca+Ic'a' Aca+Oc'a'<br />
Yc'm' Ica Oca Oca+Ac'a' Ica+Ec'a'<br />
15
Sillogismi Poligonali<br />
La Particolare Distintiva ha evidenziato che un quantificatore collocato sull’asse di simmetria<br />
fra affermative e negative, idealmente equidistante dalle due Universali, consente la legge di<br />
obversione senza negazione della copula o del quantificatore stesso.<br />
Viene così spezzato il segmento A-E o, se si preferisce, ne viene colmato lo iato, in modo<br />
non ambiguo, operazione impossibile con le Particolari tradizionali.<br />
Possiamo a questo punto concepire ulteriori interruzioni, intermedie ma non necessariamente<br />
equidistanti rispetto agli estremi A ed E. Tali nuovi quantificatori, e corrispondenti<br />
predicazioni, se scelti in modo da essere incompatibili fra loro ed esaustivi, possono dare<br />
origine a nuovi Poligoni delle opposizioni, base per la costruzione di Sillogismi<br />
Poligonali. Questi vanno sempre considerati Distintivi in quanto le situazioni intermedie<br />
presuppongono sempre giudizi che distinguono nel soggetto un sottinsieme cui viene<br />
attribuito (affermativamente o negativamente) il predicato ed uno cui non viene attribuito. La<br />
differenza principale con D3, D3a e D6 consiste, oltre al maggior numero di quantificatori<br />
(potenzialmente illimitato), nel fatto che alcuni di essi, non equidistanti da A ed E,<br />
nell’obversione dovranno tramutarsi nel proprio simmetrico, similmente a quanto accade<br />
nell’obversione fra A ed E, e diversamente da U (che essendo simmetrico a se stesso, non<br />
muta).<br />
Va precisato che i precedenti D3, D3a e D6 debbono considerarsi casi particolari di<br />
Sillogismi Poligonali, caratterizzati da 3 categoriche contrarie (6 con le contraddittorie).<br />
Vedremo più avanti che, in questa ottica, pure i Sillogismi Singolari rientrano, come caso<br />
degenere, nei Poligonali.<br />
Ora esaminiamo un esempio di questi Poligoni delle opposizioni.<br />
Sillogismi Quasi-numerici DQ<br />
Lo schema sotto riportato illustra le relazioni oppositive tra 5 quantificatori: i tradizionali A ed<br />
E, ed altri tre i cui simboli: !! , > , < , significano, rispettivamente, la metà esatta di ; una<br />
sola parte maggioritaria di ; una sola parte minoritaria di. Definiamo i nuovi quantificatori<br />
Quasi-numerici, Qn, in quanto forniscono una stima della quantità del soggetto coinvolta nella<br />
predicazione (ed indirettamente della quantità coinvolta nel complementare del predicato),<br />
che nasce dal confronto con una ideale metà degli elementi (2 sottoinsiemi equipotenti), ma<br />
senza una unità di misura che definisca numericamente né tale metà né le differenze. Il Qn ci<br />
informa della sua superiorità o inferiorità o coincidenza con detta metà, nonché della sua<br />
diversità da A ed E (in termini scolastici potremmo usare il verbo “Comparo”). Tra i 5<br />
quantificatori vige perciò una semplice relazione d’ordine. E’ chiaro che, per classi-soggetto<br />
con un numero dispari di elementi il quantificatore !! non ha senso, come non ne hanno > e <<br />
, se il soggetto ha meno di 3 elementi; dunque per avere i 5 Qn il soggetto deve avere<br />
almeno 4 elementi. La somma logica disgiunta (>ba) + ( !! ba) + (
di queste espressioni intermedie, vale come disgiunzione; nel diagramma vengono sottintese<br />
le equivalenti di Iba, ossia A > !! < ba (ogni, o una sola parte maggioritaria di, o la metà esatta<br />
di, o una sola parte minoritaria di b è a) ed Oba, ovvero E < !! > ba (nessun o una sola parte<br />
minoritaria di, o la metà o una sola parte maggioritaria di b è a). Vedi qui fig 3<br />
!! ba<br />
> ba < ba<br />
A ba E ba<br />
A > ba E < ba<br />
A > !! ba<br />
E < !! ba<br />
I ba Oba<br />
AE !!< ba AE !! >ba<br />
AE> < ba<br />
Ai vertici opposti si trovano espressioni reciprocamente contraddittorie. Si sarà notato<br />
l’incremento più che proporzionale dei vertici (14, tetradecagono) rispetto all’esagono (6),<br />
raffrontato all’aumento di 2 soli primitivi (5 contro 3). Se i primitivi fossero stati 4 il poligono<br />
avrebbe avuto 10 lati (decagono), se 2 il poligono avrebbe collassato in segmento (vedi<br />
Sillogismi singolari)<br />
Per analogia con l’ esagono, anche qui i vertici superiore e inferiore saranno occupati dalle<br />
predicazioni che ammettono l’obversione senza cambio di quantificatore, ossia dalla<br />
predicazione !! ba, equivalente a !! ba’, e dalla sua contraddittoria.<br />
I due vertici a contigui a !! ba saranno occupati, a sinistra da >ba, a destra da ba !! ba E < !!<br />
ba’ . Abbiamo dunque reciprocità fra > e < , come fra A ed E e fra I ed O, mentre !! è<br />
reciproco a se stesso. Considerando anche le forme inverse, i complementari e la riduzione<br />
delle forme equivalenti otteniamo un sistema con16 espressioni-base irriducibili:<br />
Aba Aba’ Ab’a Ab’a’<br />
>ba !! ba < ba >b’a !! b’a < b’a >ab !!ab < ab >a’b !!a’b < a’b<br />
cui aggiungere le 16 contraddittorie e le disgiunzioni a 3 a 3, a 2 a 2…<br />
La sillogistica che ne deriva prevede una casistica vasta. A titolo puramente<br />
esemplificativo citiamo la seguente inferenza:<br />
17
(>ba * Eac) (E < bc) (Se una sola parte maggioritaria di b è a e nessun a è c, allora<br />
nessuno o una sola parte minoritaria di b è c).<br />
Qui la conclusione è interpretabile anche con un ulteriore quantificatore, come<br />
“nessuno o quasi dei b è c”. Infatti, complicando ancor più il sistema, altri quantificatori si<br />
potrebbero aggiungere, ad es. ”Quasi tutti”, ”Molti”, ”Pochi”, ”Quasi nessuno”, anche se<br />
bisognerebbe meglio definirli. E’ quanto analizzato negli studi su forme argomentative<br />
analoghe ai <strong>sillogismi</strong>, con quantificatori denominati “intermediate”, da R.D. Carnes e P.L.<br />
Peterson. Ai loro lavori si rimanda per lo sviluppo di una DQ, anche se l’impostazione diversa<br />
richiede un adattamento analogo a quello operato nel passaggio da S a D. La ragione<br />
apparirà più chiara operando una semplificazione del poligono. Questo infatti mantiene<br />
inalterate le sue proprietà logiche anche se ne comprimiamo i lati, riducendo i vertici, tranne i<br />
4 canonici, come punti interni al Quadrato classico: vedi fig. 4 qui sotto.<br />
L’unica informazione che diviene meno evidente in questo diagramma è<br />
l’allineamento, sulla stessa riga, dei quantificatori che si sostituivano reciprocamente<br />
nell’obversione: qui lo sono quelli simmetrici rispetto all’asse verticale centrale (asse che<br />
idealmente sussiste anche nei casi di classe-soggetto con elementi in numero dispari).<br />
L’impostazione Distintiva predilige, come primitivi, i Qn posti sul lato orizzontale superiore del<br />
Quadrilatero. Invece, in analogia alla S, gli Autori citati utilizzano i Qn posti sui lati, per noi<br />
derivati. La traduzione reciproca è assicurata tramite congiunzioni o disgiunzione dei rispettivi<br />
primitivi. Così >ba può derivare per prodotto logico di A>ba congiunta a Oba ossia a E < !! ><br />
ba. Quando gli Autori parlano di majorty (=Most) e half (=Half) si riferiscono ai quantificatori<br />
da noi collocati immediatamente sotto Aba, e non alla sua destra, in quanto le loro<br />
espressioni sottintendono “or more”. Questa maggiore generalità si paga ricadendo nella<br />
consueta controintuitività: nel linguaggio comune dicendo “la metà delle mele sono mature” di<br />
solito si esclude che lo siano tutte.<br />
A parte questo, riteniamo fattibile la traduzione degli studi citati nei nostri termini<br />
primitivi, con annesse leggi inferenziali, per sviluppare una DQ basata sulla solida<br />
impostazione algebrica di calcolo degli Autori menzionati e di altri ad essi collegati. Vi è<br />
anche un’altra ragione per non sviluppare in questa sede un DQ: le espressioni di<br />
quest’ultimo sono infatti riconducibili alla sintassi dei Sillogismi Distintivi Numerici, che<br />
vedremo nella Parte II.<br />
All’estremo opposto della moltiplicazione infinita dei lati del poligono (che porterebbe<br />
questo alla forma limite del cerchio), troviamo il caso limite che riduce a semplice segmento<br />
le figurazioni finora trattate: se b è costituito da 1 solo elemento o è a o è a’. Tale struttura è<br />
analoga a quella delle tanto discusse Predicazioni Singolari, spesso assimilate alle<br />
Universali, ma che non riuscivano ad essere collocate nel quadrato delle opposizioni in<br />
quanto prive delle corrispondenti subordinate Particolari. Il motivo di questa “singolarità” si<br />
18
evidenzia chiaramente dalla struttura dinamica dei <strong>sillogismi</strong> poligonali. Si può concepire che<br />
il poligono esista, al limite, anche per una Singolare, collassato.<br />
Sillogismi Distintivi composti<br />
A questo punto vorremmo produrre una sillogistica ancora più univoca nei suoi riferimenti<br />
estensionali.<br />
Come si è visto con le sole 3 categoriche di un <strong>triangolo</strong> delle opposizioni abbiamo<br />
operato una partizione delle 7 situazioni topologiche di fig.1B. Queste ultime per essere<br />
discriminate l’una dall’altra, in modo inequivoco, da espressioni predicative, dovranno vedere<br />
integrata l’informazione, fornita dalla categorica di riferimento, da ulteriori predicazioni.<br />
Infatti la singola predicazione ha una struttura che, per quanto si potenzi la precisione<br />
del suo quantificatore (ad es. anche se numericamente definito), ci fornisce informazioni<br />
concernenti essenzialmente gli elementi della classe-soggetto, e solo incidentalmente quelle<br />
relative alla classe-predicato. Come vedremo in appendice, la tentazione di quantificare<br />
semplicemente anche il predicato, in cui caddero alcuni logici dei secoli scorsi, presenta delle<br />
insidie. Per evitare tali problemi qui adotteremo un approccio basato sulla congiunzione di<br />
due predicazioni, alla maniera degli Esponibili della tradizione Scolastica. Dobbiamo cioè<br />
trovare delle espressioni di base più informative, e di conseguenza i <strong>sillogismi</strong> cui potranno<br />
dar luogo dovranno propriamente essere definiti Poli<strong>sillogismi</strong>, in questo caso Poli<strong>sillogismi</strong><br />
Distintivi.<br />
Polisillogismo con Complementari D7c<br />
Espressioni base, inferenze immediate<br />
Le informazioni aggiuntive di cui avevamo bisogno per individuare i 7 casi ci possono essere<br />
fornite dalle Esclusive. In fig. 5, il <strong>triangolo</strong> categorico (caratteri in grassetto) viene<br />
sovrapposto al <strong>triangolo</strong> esclusivo (caratteri in corsivo), quest’ultimo per comodità grafica col<br />
vertice particolare posto in basso.<br />
Fig.5<br />
Ab’a’ 3 Uba’ 5 Ab’a Eb’a’<br />
Sba Uba C ba<br />
^ ^ ^<br />
I I I<br />
1 O ( () ) 4 I 7<br />
I I I<br />
v v V<br />
Aba Jba Eba Aba’<br />
2 Ub’a<br />
Ub’a’ 6<br />
In questa figurazione (una sorta di stella di Davide schiacciata), da ogni raffigurazione<br />
topologica partono le 2 frecce che indicano 2 predicazioni che, congiunte, la rappresentano.<br />
Viceversa ad ogni espressione predicativa convergono le frecce che partono dalle sole<br />
possibili situazioni topologiche riferibili a quella singola predicazione. Vicino ad ogni<br />
espressione ne compaiono alcune equivalenti.<br />
19
In tabella 3, II° colonna (denominata “scolastica”), sono elencate le combinazioni di<br />
Categoriche ed Esclusive della medesima coppia ba, che identificano in modo biunivoco i 7<br />
casi topologici, indicati nella I°colonna.<br />
Tab.3<br />
I II III IV V VI<br />
casi “scolastica” esplicita pratica alternativa sintetica<br />
1 Aba *Sba Aba *Ab'a' AbaA,, Aba *Eb’a Abab’E<br />
2 Aba *Jba Aba *Ub'a' AbaU,, Aba *Ub'a Abab’U<br />
3 Uba *Sba Uba *Ab'a' UbaA,, Uba *Eb'a Ubab'E<br />
4 Uba *Jba Uba *Ub'a' UbaU,, Uba *Ub'a Ubab’U<br />
5 Uba *Cba Uba' *Ab'a Uba'A,, Uba *Ab'a Ubab'A<br />
6 Eba *Jba Aba' *Ub'a Aba'U,, Eba *Ub'a Ebab'U<br />
7 Eba *Cba Aba' *Ab'a Aba'A,, Eba *Ab'a Ebab'A<br />
Nella colonna III (esplicita) per ciascuna espressione “scolastica” abbiamo fornito una<br />
versione equivalente, che utilizza solo congiunzioni di categoriche, che limita i quantificatori ai<br />
soli A ed U, e che presenta nella seconda categorica della congiunzione la coppia dei termini<br />
complementari alla prima.<br />
Si noti che la 7. può essere considerata una forma Eccettuale, semplificata rispetto a quella<br />
Scolastica, e diversa da quelle in precedenza esaminate (potremmo chiamarla”Moderna”, perché<br />
frequente nella manualistica attuale), e interpretabile nel seguente modo: Tutto/i, tranne (i) b, è(sono)<br />
a.<br />
Le residue espressioni categoriche o esclusive primitive non considerate nello<br />
schema, o sono equivalenti a quelle considerate, o sono equivalenti alle seguenti quattro, per<br />
le quali forniamo gli equivalenti casi insiemistici:<br />
Uab = 2 aut 4 aut 5<br />
Ua' b' = 3 aut 4 aut 6<br />
Fra le non primitive restano, oltre alle particolari tradizionali, Yba o Yb’a’, facilmente<br />
individuabili nella fig 7,<br />
Yab = 1 aut 3 aut 6 aut<br />
7<br />
Ya'b' = 1 aut 2 aut 5 aut<br />
7<br />
Ognuna di queste “doppie” categoriche, o bi-categorica, può diventare una premessa di un<br />
sillogismo distintivo composto o polisillogismo distintivo con i complementari,<br />
coinvolgente 3 insiemi – di cui uno avente funzione di termine medio e gli altri due presenti in<br />
premessa ed in conclusione - nonchè i 3 corrispondenti insiemi complementari. Trattasi di un<br />
polisillogismo in quanto le 2 bi-premesse costituiscono una congiunzione di 4 categoriche<br />
triangolari (in taluni casi, quando sono coinvolte le particolari distintive, di 6 o 7 categoriche<br />
tradizionali, in teoria pure 8, senonché in tal caso non vi sono conclusioni valide). Loro<br />
caratteristica saliente sarà quella di trarre le conclusioni delle 49 combinazioni di bi-premesse<br />
risultanti dai 7 casi possibili per ogni bi-premessa, in base alle regole di deduzione valide per<br />
il sistema.<br />
20
La colonna IV (pratica) proprio in vista del calcolo polisillogistico opera una semplificazione<br />
della formula di ciascun caso, omettendo il segno di congiunzione e la seconda coppia di<br />
termini, segnalata qui (per motivi che si chiariranno in seguito) dalla doppia virgola, ma<br />
totalmente ignorata in sede di calcolo; della seconda coppia, che sarà da intendersi con i<br />
componenti della prima al negativo, conserviamo però il quantificatore.<br />
Per visualizzare facilmente il riferimento topologico di una espressione pratica si potrà<br />
considerare la formula con le seguenti regole di ausilio mnemonico:<br />
1) due classi coi propri segni, affiancate, afferma che la loro intersezione non è vuota,<br />
come non lo è quella fra le stesse classi- termine, con i segni invertiti;<br />
2) se il quantificatore a fianco di un termine è A, significa che un Argine non permette<br />
alla classe di estendersi oltre l’intersezione;<br />
3) se il quantificatore a fianco di un termine è U, significa che una Uscita permette alla<br />
classe di estendersi oltre l’intersezione (ossia di intersecarsi anche con il complementare<br />
dell’altra classe).<br />
Anzitutto diamo le regole di inferenza immediata, (si farà riferimento alla colonna IV,<br />
“pratica”) :<br />
A..A invertire il segno di complementazione di entrambi i termini. Inoltre è immediatamente<br />
convertibile.<br />
A..U o U..A invertire sia il segno di complementazione di ciascun termine sia la successione<br />
dei quantificatori. La conversione dei termini va accompagnata da analogo cambio di<br />
posizione dei quantificatori.<br />
U..U si può invertire il segno di complementazione anche di un solo termine. Inoltre è<br />
immediatamente convertibile.<br />
E’ ovvio inoltre che, per le leggi del calcolo enunciativo, ogni espressione composta con la<br />
congiunzione di più predicazioni, implica tutte le predicazioni implicate dalle sue componenti.<br />
Regole deduttive mediate<br />
Quanto alle regole per la deduzione della conclusione da due bi-premesse del<br />
Polisillogismo distintivo, occorre precisare quanto segue.<br />
Se vogliamo mantenere la conclusione sempre omogenea ad espressioni bi-composte, allora<br />
anticipiamo fin d’ora che si otterrà la seguente risultanza sui 49 poli<strong>sillogismi</strong> base:<br />
1 sola combinazione di bi-premesse non avrà alcuna conclusione, ciò accade quando le bipremesse<br />
sono entrambe strutturate come il caso 4;<br />
8 combinazioni danno come soluzione una disgiunzione di cinque casi, equivalente ad una<br />
categorica particolare assoluta (tradizionale);<br />
8 combinazioni danno come soluzione una disgiunzione di tre casi, equivalente ad una<br />
categorica particolare distintiva;<br />
32 combinazioni daranno luogo ad 1 bi-conclusione, ossia ad 1 dei sette possibili casi.<br />
Per sinteticità, nel presentare la tabella 4. e le regole deduttive del Polisillogismo,<br />
indichiamo le conclusioni utilizzando sia bi-categoriche, sia particolari distintive, sia particolari<br />
assolute. Ad essere rigorosamente formali, il sistema Polisillogistico richiederebbe una<br />
coerenza di espressioni tratte esclusivamente dal suo interno. Anzi, in tal modo, si<br />
evidenzierebbe come il Polisillogismo distintivo può essere posto come sistema primitivo, da<br />
21
cui derivare le sillogistiche distintive ed assolute. Oppure, a rovescio, potremmo presentare le<br />
regole deduttive del Polisillogismo come derivanti dalla sillogistica tri-esagolare considerando<br />
“atomicamente” le componenti delle bi-predicazioni.Tuttavia, essendo ormai chiare le<br />
equivalenze tra i vari sistemi, e potendo comunque controllare la correttezza del tutto<br />
metateoricamente, tramite i diagrammi di Venn, abbiamo scelto una presentazione ibrida, ma<br />
più scorrevole – anche se ugualmente valida – visto anche il taglio metalinguistico o<br />
metalogico adottato in questo lavoro.<br />
In tabella 4. le conclusioni estraibili dalle 49 coppie di bi-premesse, modi equivalenti e<br />
subordinati esclusi.<br />
Tab. 4 1 2 3 4 5 6 7<br />
AbaA,, AbaU,, UbaA,, UbaU,, Uba'A,, Aba'U,, Aba'A,,<br />
1 AacA,, AbcA,, AbcU,, UbcA,, UbcU,, Ubc'A,, Abc'U,, Abc'A,,<br />
2 AacU,, AbcU,, AbcU,, Ibc Ucb Ubc'A,, Ib'c Ubc'A,,<br />
3 UacA,, UbcA,, Ib'c' UbcA,, Uc'b Ibc' Abc'U,, Abc'U,,<br />
4 UacU,, UbcU,, Ub'c Ubc Ubc Ub'c UbcU,,<br />
5 Uac'A,, Ubc'A,, Ib'c Ubc'A,, Ucb Ibc AbcU,, AbcU,,<br />
6 Aac'U,, Abc'U,, Abc'U,, Ibc' Uc'b UbcA,, Ib'c' UbcA,,<br />
7 Aac'A,, Abc'A,, Abc'U,, Ubc'A,, UbcU,, UbcA,, AbcU,, AbcA,,<br />
Quanto alle regole di deduzione pratica si procederà come segue.<br />
Preliminarmente dobbiamo raggiungere la forma standard:<br />
1) disponiamo le premesse in sequenza, come nella prima figura del sillogismo<br />
tradizionale con premesse invertite 2) volgiamo il termine medio allo stesso segno in<br />
entrambe le premesse (operazioni sempre eseguibili grazie alle leggi di inferenza immediata).<br />
Saranno trascurate le virgole, da riposizionare a fine calcolo, se la conclusione sarà bipredicativa.<br />
Quindi si dovranno seguire le seguenti regole deduttive:<br />
A) Quando almeno una delle premesse ha forma A..A, il termine non-medio in essa<br />
contenuto può sostituire il medio nell’altra premessa, generando così la<br />
conclusione.<br />
B) Se le premesse hanno forma A..U ovvero U..A, e, messe in sequenza risultano<br />
ugualmente “orientate” (AU*AU, UA*UA), i medi possono essere eliminati<br />
assieme ai quantificatori vicini, lasciando la sequenza conclusiva; se invece<br />
“l’orientamento” è simmetrico (AU*UA,UA*AU), si avrà una conclusione Particolare<br />
affermativa, i cui termini avranno il segno come in premessa se i quantificatori<br />
centrali (vicini ai medi) sono A A, il segno opposto se i centrali sono U U .<br />
C) Quando una premessa di tipo U..U si combina con una di forma A..U ovvero U..A,<br />
la conclusione sarà una particolare distintiva, in cui il soggetto sarà il termine<br />
22
non medio che compare nella premessa A..U ovvero U..A, e che avrà il segno<br />
come in premessa se nella stessa è accompagnato da U, altrimenti opposto.<br />
D) Due premesse U..U non danno luogo ad alcuna conclusione, essendo in questo<br />
caso possibili tutte e 7 le relazioni tra i termini non medi.<br />
In termini insiemistici la regola B) significa: se la classe media è inclusa (in senso stretto)<br />
nelle altre due allora l’intersezione fra queste non è vuota; se la classe media include le altre<br />
due, allora saranno le complementari di queste ultime ad avere una intersezione non vuota.<br />
La regola C) significa che se il medio è incluso (s.s.) in un primo insieme ed è in relazione XX<br />
con un secondo, gli elementi del primo che sono nel medio in parte saranno nel secondo in<br />
parte no, (situazione tipica da U) , e così via .<br />
Come esempio di D7 possiamo vedere il 5. presentato in apertura della I° parte in altra<br />
forma, che vedremo al prossimo paragrafo:<br />
solo qualche film sonoro è a colori, e ogni film muto è in bianco e nero;<br />
solo qualche film a colori è film di Tornatore, e ogni film in bianco e nero è non suo;<br />
dunque: solo qualche film sonoro è film di Tornatore e ogni film muto è non suo<br />
( UscA,, * UctA,, ) UstA,,<br />
Polisillogismo con Soggetto “ad infinitum” D7s<br />
Altre varianti di Polisillogismo distintivo, equivalenti a questo, sono possibili. Ad esempio (vedi<br />
colonna V “alternativa” di tab. 3) potremmo utilizzare due categoriche di cui la seconda<br />
presenti in negativo solo il soggetto della prima, mantenga inalterato il predicato ed utilizzi<br />
anche l’universale negativa; in una versione “sintetica” (colonna VI), per non ripetere il<br />
predicato “a”, la seconda categorica viene letta da destra a sinistra. Secondo questa<br />
notazione, avremmo un sillogismo equivalente al precedente nella forma seguente:<br />
( Uscs’E * Uctc’E)Usts’E<br />
solo qualche film sonoro è a colori, e (non) lo è nessun film muto;<br />
solo qualche film a colori è film di Tornatore, e (non) lo è nessun film in bianco e nero;<br />
dunque: solo qualche film sonoro è film di Tornatore, e (non) lo è nessun film muto.<br />
N.B. “e (non) lo è nessun film muto” significa “nessun film muto lo è”; il “non” di troppo,<br />
inserito per evitare sgrammaticature, ma privato di valore logico, sconta il difetto della<br />
grammatica della lingua italiana, ove la doppia negazione è richiesta a conferma della<br />
negazione. Latini ed anglosassoni, (invidiatissimi in questo da un italiano come il sottoscritto),<br />
non hanno mai avuto questi problemi.<br />
Forse un simile Polisillogismo sarebbe piaciuto agli scolastici in quanto presenta il soggetto<br />
sia “ad finitum” sia “ad infinitum”, tuttavia lo stile linguistico forse più elegante rispetto a quello<br />
precedente, si sconta con una maggiore complessità nella pratica del calcolo inferenziale.<br />
Questo schema ci sarà però utile quando tratteremo dei <strong>sillogismi</strong> numerici.<br />
Comunque, al di là delle differenti versioni, ci pare evidente come i Poli<strong>sillogismi</strong> distintivi<br />
risultino più economici della loro traduzione negli equivalenti <strong>sillogismi</strong> tradizionali con<br />
categoriche uniti da connettivi enunciativi.<br />
23
Esistono ovviamente varie altre possibilità di <strong>sillogismi</strong> composti. Sono possibili <strong>sillogismi</strong><br />
composti misti di predicazioni elementari, quasi-numeriche, singolari, ecc., interessanti anche<br />
se molto complicati.<br />
Combinando predicazioni quasi-numeriche fra loro, possiamo dedurre relazioni d’ordine<br />
matematiche. Infatti se >ba * b. Se, congiuntamente, abbiamo >ac * b, ove però il segno “ >” ha l’ordinario significato di<br />
“è maggiore di” diverso dal nostro “una sola parte, maggioritaria di...è…”. Restano<br />
ovviamente da re-interpretare – ammesso sia possibile- all’interno dei <strong>sillogismi</strong> quasi<br />
numerici, espressioni come b>a. Questi <strong>sillogismi</strong> non saranno trattati nel presente lavoro.<br />
Estensioni Tri-Esagonali delle Logiche Classiche<br />
Vogliamo ora riproporre la tab.3, sviluppata da ulteriori interpretazioni (tab. 3bis).<br />
I VI III IV VII VIII<br />
Tri<br />
IX X XI<br />
casi<br />
relazionale iconica relazioni sinonimie antonimie<br />
1 Abab’E Aba *Ab'a' AbaA,, AbaA,, bVa bVa Vale sinonimo<br />
2 Abab'U Aba *Ub'a’ AbaU,, AbaU,, b))a b))a Diminuisce iponimo<br />
3 Ubab'E Uba *Ab'a’ UbaA,, Ab’a'U,, b’))a’ b((a Contiene iperonimo<br />
4 Ubab’U Uba *Ub'a' UbaU,, UbaU,, bXXa bXXa Multimixa meronimo<br />
5 Ubab'A Uba' *Ab'a Uba'A,, Ab’aU,, b’))a b()a Hyper-integra ipercomplemento<br />
6 Ebab'U Aba' *Ub'a Aba'U,, Aba'U,, b))a’ b)(a Respinge ipocomplemento<br />
7 Ebab'A Aba' *Ab'a Aba'A,, Aba'A,, bVa’ b\ a Nega complemento<br />
Sillogismo Relazionale Iconico R7<br />
Se la struttura predicativa del Polisillogismo Distintivo lo inquadra entro un linguaggio di<br />
tipo naturale e tradizionale, la traduzione della colonna IV, attraverso le equivalenze della<br />
colonna VII, alla colonna VIII, porta tale sistema all’interno della Logica Simbolica moderna,<br />
anche se di tipo limitato, in quanto bi-argomentale e speciale, per il tipo di simbologia e la<br />
referenza ai 7 casi. Nella colonna VII abbiamo i 7 casi descritti in modo “equivalente” alle già<br />
viste espressioni della colonna “pratica”. Ora possiamo adottare una notazione di tipo<br />
relazionale (colonna VIII) secondo il seguente codice di traduzione (i puntini stanno per le<br />
variabili):<br />
A..A diviene V,<br />
A..U diviene )),<br />
U..U diviene XX<br />
I tre tipi di relazioni V )) XX (equi-valenza, in-clusione, multi-mixaggio) traducono le bicategoriche<br />
in relazioni diadiche di tipo insiemistico speciale. La successiva ed equivalente<br />
colonna IX ne evidenzia l’ iconicità diagrammatica, e si determina tramite le regole di<br />
inferenza immediata della nuova notazione: la semplice regola di rotazione speculare della<br />
parentesi o altro grafema vicino ad un termine. Quest’ultimo, in concomitanza della<br />
rotazione della sua parentesi o simbolo, va invertito nella qualità. La relazione ”V” va intesa<br />
come costituita da 2 parti, ognuna riferibile ad un termine: se ruota una sola delle parti<br />
facendo perno sulla punta, essa va a sovrapporsi all’altra e si ha la relazione \ ovvero / , se<br />
ruotano entrambe si ricostituisce la “V”. Invece le rotazioni di XX non cambiano nulla. Nella<br />
24
colonna IX si crea graficamente uno schema in miniatura delle situazioni topologiche di<br />
riferimento per ogni coppia ordinata di insiemi b a. Si sono cercati dei simboli (le parentesi)<br />
che per la loro disposizione e grafia indichino intuitivamente le condizioni estensionali dei<br />
termini cui si riferiscono. Es. il grafema “))” richiama la situazione in cui il primo insieme è una<br />
parte interna del secondo, )( quella in cui i 2 insiemi si ignorano, ma con qualcosa che si<br />
frappone tra loro, mentre \ oppure / richiamano la situazione in cui dove finisce l’uno comincia<br />
l’altro, mentre \/ identifica i due insiemi dentro lo stesso confine; in ( ) entrambi sconfinano<br />
l’uno sull’altro, occupando insieme l’intero! V, mentre con XX oltre allo sconfinamento<br />
reciproco si crea uno spazio ove non stanno né l’uno né l’altro.<br />
Gli schemi notazionali di cui alle colonne VIII e IX configurano un sistema che, pur<br />
presentando un codice di traduzione semplice nel polisillogismo distintivo, se ne distanzia per<br />
il riferimento immediato ed intuitivo alle 7 situazioni insiemistiche, rappresentabili<br />
simbolicamente al di fuori dello schema predicativo quantificato. Tali sistemi potrebbero esser<br />
definiti, a seconda del numero di relazioni utilizzate, Polisillogismo trirelazionale (E3), o<br />
Polisillogismo eptarelazionale (E7). o Sillogismo Iconico Relazionale R7 Limitatamente alle<br />
sillogistiche, potremmo anzi rovesciare la costruzione fin qui perseguita e porre come<br />
primitive le 3 o 7 relazioni illustrate e partendo da esse definire i sistemi sillogistici distintivi.<br />
Diamo in Tab. 4 bis il quadro completo delle deduzioni del Sillogismo Iconico Relazionale R7<br />
tab 4 bis 1 2 3 4 5 6 7<br />
AbaA,, AbaU,, Ab'a'U,, UbaU,, Ab'aU,, Aba'U,, Aba'A,,<br />
b V a b )) a b((a b XX a b( ) a b ) ( a b \ a<br />
1 AacA,, a V c b V c b )) c b((c b XX c b( ) c b ) ( c b \ c<br />
2 AacU,, a )) c b )) c b )) c Ibc Ucb b ( ) c Ib'c b( ) c<br />
3 Aa'c'U,, a((c b((c Ib'c' b((c Uc'b Ibc' B ) ( c b ) ( c<br />
4 UacU,, a XX c b XX c Ub'c Ubc Ubc Ub'c b XX c<br />
5 Aa'cU,, a ( ) c b( ) c Ib'c b( ) c Ucb Ibc b )) c b)) c<br />
6 Aac'U,, a ) ( c b ) ( c b ) ( c Ibc' Uc'b b((c Ib'c' b((c<br />
7 Aac'A,, a \ c b \ c b ) ( c b( ) c b XX c b((c b )) c b V c<br />
Avendo trasformato delle doppie predicazioni in relazioni diadiche meriterebbe<br />
indagare come questi argomenti si possano collocare –come in effetti dovrebbero- nella<br />
moderna Logica delle Relazioni, tuttavia ciò esula dal presente lavoro.<br />
Triangolo <strong>oppositivo</strong> nella Logica degli Enunciati<br />
Per l’isomorfismo che sussiste fra logica delle classi e Logica degli Enunciati,<br />
possiamo esportare a quest’ultima lo schema tri-esagonale della sillogistica distintiva.<br />
Partendo dalle somiglianze strutturali fra l’ Universale Aba e l’implicazione b a , o fra Aba’<br />
e b a’, possiamo generare una nuova implicazione distintiva, o semiimplicazione, per<br />
analogia con la Particolare Distintiva, esprimibile come b :> a, e interpretabile come “Solo in<br />
parte b implica a” equivalente alla propria obversione “Solo in parte b implica a’ “.<br />
25
Espressioni analoghe a “solo in parte” possono essere date da “Solo in un certo senso”,<br />
“Solo in un certo verso, o modo”, e simili.<br />
Anche i Poli<strong>sillogismi</strong> D7 possono ispirare forme omologhe nella Logica Enunciativa.<br />
Basta sostituire la relazione di implicazione alle categoriche Universali, e la semiimplicazione<br />
alle Particolari distintive.<br />
Forniamo qualche esempio. Siano gli enunciati: V (il sole è Visibile), G (è Giorno), E (è<br />
Estate), P (Piove), I (il sole è Invisibile). Potremmo allora dire che G semiimplica V , G:>V, ma<br />
V implica G, VG (o se preferiamo G’ V’), avremo così l’omologo del caso 3. Riconducibile<br />
al caso 4 saranno situazioni come E :>P, insieme a E’:>P’ , mentre al caso 5 potremmo riferirci<br />
per situazioni come I :> G e G’ I.<br />
L’omologia citata va necessariamente integrata con le restrizioni esistenziali alla<br />
base della sillogistica distintiva, il cui sistema presuppone accanto ad ogni insieme l’esistenza<br />
anche del proprio complementare, nonché la diversità di tutti dall’universo. Naturalmente<br />
valgono qui le regole definitorie ed inferenziali analoghe alla sillogistica distintiva.<br />
Determinate interpretazioni possono dare al sistema connotazioni temporali (“sempre,<br />
mai, solo alcune volte”,”Solo in un dato periodo”…)<br />
Trasponendo alla Logica degli Enunciati la quantificazione numerica (e quasinumerica)<br />
potremmo dare un valore di probabilità alle relazioni tra eventi, facendo sempre<br />
riferimento ai 7 casi, coinvolgenti l’Universo, inteso come sfondo degli eventi.<br />
Le considerazioni effettuate, specialmente quando entriamo in interpretazioni temporali o<br />
probabilistiche, a nostro avviso dimostrano come una logica enunciativa distintiva possa<br />
fornire una saldatura fra logica degli enunciati e, come di seguito illustrato, logiche<br />
modali.<br />
Triangolo <strong>oppositivo</strong> nelle Logiche Modali<br />
La struttura triangolare (e conseguentemente esagonale) là dove può applicarsi come<br />
costituita da uno dei 3 elementi base per il quale valga la legge di obversione analoga a<br />
quella dei sistemi D, è forse in grado di semplificare alla radice alcuni sistemi deduttivi<br />
complessi, come quelli modali. Tale impostazione può ad esempio modificare l’approccio alle<br />
Logiche Deontiche, specie in campo legalistico, ove per analogia ai quantificatori A, E, U,<br />
potremmo porre Obbligatorio (Prescritto), Vietato, Facoltativo (o Libero o Consentito o<br />
Permesso) a determinate azioni. Valgono infatti le obversioni per cui: è Obbligatorio b = è<br />
Vietato b’ ; è Vietato b = è Obbligatorio b’ ; è Facoltativo b = è Facoltativo b’. Qui il<br />
quantificatore si trasforma in operatore modale che opera su una variabile enunciativa,<br />
anzichè su due classi. Si può anche mantenere una struttura bi-argomentale ed esprimersi<br />
come segue: E’ obbligatorio che b sia a; è vietato che b sia a; è facoltativo che b sia a.<br />
Come per la logica enunciativa possiamo descrivere i 7 casi con una doppia proposizione<br />
che segue gli stessi schemi di D7 , con A, E, U sostituiti da Obbl, Viet, Fac.<br />
Analoghe convenzioni interpretative, anche se più ardite, perché meno evidenti, possono<br />
dare una struttura triangolare di altre Logiche Modali : Evidente (Necessario, Certo),<br />
Impossibile (o Assurdo), Incerto (Possibile), ove Ev b = Imp b’ , Imp b = Ev b’, Inc b = Inc b’<br />
. Sulla scia di S. Kripke, potremmo anche definire vero in tutti i mondi possibili, falso in<br />
tutti i mondi possibili, vero solo in alcuni mondi possibili.) Anche qui possiamo scegliere<br />
fra interpretazioni mono- o bi-argomentali, ed elaborare sistemi isomorfi a D7. Altri esempi<br />
sperimentali:<br />
Epistemici: Asserire Denegare (Credere Misconoscere) Dubitare.<br />
Teoria della dimostrazione (tautologico, contraddittorio, derivato)<br />
26
Bulomatici: Desiderare Paventare Noncurare<br />
Valutativa : è buono, è cattivo, è indifferente.<br />
Infine nei campi della Semiotica, Epistemologia, e in generale in tutte le discipline, le<br />
Definizioni possono avvalersi della triade Essenziale, Estraneo, Accidentale, con l’ultimo<br />
elemento concepito in analogia alla Particolare distintiva cioè per un verso estraneo e per<br />
l’altro essenziale alla nozione in giudizio.<br />
Agganciata alle nozioni di Essenziale e Accidentale può figurare una predicazione<br />
“Esponibile” della Logica Scolastica nota come “Reduplicativa”, che a nostro parere si<br />
colloca in una area semantica di frontiera tra logica modale, enunciati e predicati distintivi. Un<br />
esempio :” I sovrani, in quanto Sovrani, sono obbediti”. Ossia: è parte essenziale, o<br />
necessaria, del sovrano essere obbedito, ma accidentale, o contingente, non esserlo. Da una<br />
certa angolazione vale quello che non vale da un’altra.<br />
Altre interpretazioni / applicazioni<br />
In colonna X fig 3 abbiamo voluto interpretare con verbi transitivi le 7 relazioni riferendoli<br />
sempre alla coppia ordinata di classi b a , cercando espressioni che potessero ricostruire<br />
tutte le condizioni di ciascun caso, a costo di inventarne qualcuna, con un minimo di<br />
plausibilità. Abbiamo cercato dei verbi la cui iniziale ricordasse il grafema delle 7 relazioni,ove<br />
possibile. Il risultato ci pare interessante anche se un po’ irrigidito, imbalsamato<br />
semanticamente.<br />
Da ultimo, in colonna XI, abbiamo voluto interpretare in termini di sinonimie le 7 relazioni; le<br />
prime tre e l’ultima sono già utilizzate in ambito linguistico e nei dizionari dei sinonimi e<br />
contrari; le residue tre sono state da noi coniate per sottolineare l’importanza dello Sfondo<br />
concettuale, o Ambito lessicografico, nella definizione delle voci, un ruolo analogo a quello<br />
dell’Universo del discorso, nella definizione delle classi. La rilevanza scientifico-culturale di<br />
tale completamento può essere la più svariata: dalle assiomatizzazioni delle teorie che<br />
coinvolgono definizioni, alle indicizzazioni biblioteconomiche e documentali, alla<br />
programmazione di database e di traduttori automatici. Possiamo ad esempio pensare di<br />
poter riunire in un database relazionale basato sulle 7 relazioni diadiche un intero thesaurus<br />
terminologico ottenendo così una rete semantica in parte gerarchizzata, idonea ad essere<br />
assiomatizzata in maniera economica ed iconica.<br />
PARTE II SILLOGISMI DISTINTIVI NUMERICI N<br />
Sillogismi Distintivi Numerici semplici DN<br />
Nell’ambito delle Predicazioni Distintive, quando possiamo specificare con dei numeri positivi<br />
(in termini scolastici potremmo usare il verbo “Metior” o un equivalente =misurare) la quantità<br />
della classe-soggetto (o, se si preferisce la cardinalità del sottoinsieme) coinvolta nella<br />
predicazione, quest’ultima può essere definita Numerica, ed i numeri che affiancano i teminiclasse,<br />
Quantificatori Distintivi Numerici. Rispetto ai Quantificatori Numerici già<br />
riconosciuti dalla Sillogistica contemporanea (autori che citeremo più avanti), quello di tipo<br />
Distintivo si differenzia per le seguenti caratteristiche:<br />
1- sottintendendo davanti ai numeri l’espressione “solo” o “esattamente”, perchè indica la<br />
quantità numerica esatta, non minima, ritenendo la interpretazione minimale meno intuitiva,<br />
soggetta ad ambiguità del tipo: “2 uomini sono sopravvissuti”, dove “2” può significare “solo 2”<br />
o “2 o più”; la Distintiva va intesa nel primo dei due sensi mentre, per indicare il secondo, al<br />
27
numero va premesso il simbolo > (maggiore o uguale), così come, in casi opposti, verrà<br />
usato < (minore o uguale);<br />
2- prevede il riferimento a tre numeri per ogni termine, il primo (numeratore) indicante la<br />
quantità del sottoinsieme del soggetto coinvolta nella predicazione, il secondo la quantità<br />
entro la quale (totale) il primo si distingue, ed il terzo dalla quale (residuo), sempre il primo,<br />
si distingue; essendo il residuo definibile dalla differenza fra totale e numeratore, di solito<br />
viene sottinteso.<br />
3- può esprimere numeri Naturali (in termini scolastici potremmo usare il verbo “Numero”=<br />
contare, enumerare) ma anche in generale razionali, reali, in teoria anche negativi e<br />
immaginari.<br />
Nella Parte III vedremo in quale senso possano essere utilizzati quelli non naturali; in questa<br />
Parte diamo per scontato che le operazioni presentate coi naturali, mutatis mutandis, siano<br />
estendibili agli altri.<br />
Quanto al punto 2) nel presente lavoro adottiamo la convenzione di sottintendere il residuo,<br />
almeno nella sillogistica non composta; tuttavia per edificare una sillogistica distintiva<br />
numerica completa, in un prossimo lavoro, per disporre di un primitivo più adatto a tradurre<br />
quelli numerici più tradizionali, dovremo affiancare esplicitamente al numeratore il residuo,<br />
anziché il totale.<br />
Vediamo un esempio di formula di predicazione distintiva numerica:<br />
(3) s8 5 p = (mentre i 3 residui non lo sono) di totali 8 s, 5 sono p<br />
Il numero che quantifica la predicazione (numeratore) viene indicata apicalmente in<br />
posizione staccata ed intermedia fra soggetto e predicato, per sottolineare la<br />
quantificazione della stessa relazione ovvero della intersezione fra le classi soggetto e<br />
predicato, nonchè la natura simmetrica o convertibile di quest’ultima. E’ infatti evidente che<br />
se, di totali (x) s, 5 sono p, pure dei totali (y) p, 5 sono s, e viceversa. Il numero indicante la<br />
quantità totale del soggetto, gli sarà posto immediatamente adiacente (e di solito a destra);<br />
se invece ci si riferisce alla quantità del soggetto dalla quale il numeratore si distingue, il<br />
numero di questa viene posto apicalmente e staccato alla sinistra del soggetto (posizione<br />
intermedia fra il soggetto ed un sottinteso complementare del predicato).<br />
Lo “spirito dIstintivo” porta naturalmente anche una “quantificazione numerica del<br />
predicato”: “di totali 8b solo (o esattamente) 5 sono fra le totali 6 a”. Il totale del predicato<br />
sarà posto adiacente (ed a sinistra) dello stesso, mentre il numeratore resta in posizione<br />
intermedia ed apicale, essendo in comune col soggetto). Per inquadrare poi una simile<br />
“doppia predicazione” nell’intero Universo, dovremo infine quantificare numericamente il<br />
complementare del soggetto, o della intersezione fra i complementari di soggetto e<br />
predicato, o dell’UD stesso. Stiamo quindi parlando di predicazioni composte, base per<br />
Poli<strong>sillogismi</strong> Distintivi Numerici, sui quali torneremo più avanti.<br />
Nell’uso pratico spesso il numero totale dell’insieme è superfluo; in questi casi, anche nel<br />
presente lavoro, quando parliamo di “quantificatore” o “quantificato”, intendiamo riferirci al<br />
numeratore ; quando la distinzione sarà necessaria la sottolineeremo, anche se il contesto<br />
chiarirà facilmente la situazione.<br />
Come per le Quasi-numeriche anche per le predicazioni Distintive Numeriche<br />
possiamo usare i Poligoni oppositivi.<br />
Supponiamo ad esempio che l’insieme b consti in tutto di 4 elementi (vedi qui sotto fig<br />
6; le cifre si riferiscono al numeratore, lasciando sottinteso il totale e la parte predicativa).<br />
28
Indichiamo il numero zero col simbolo Ø, (per non equivocare la cifra 0 con la lettera O,<br />
simbolo della particolare negativa).<br />
fig 6<br />
2<br />
3 1<br />
Aba 4 Ø Eba<br />
4v3 Ø v1<br />
4v3v2 Ø v1v2<br />
Iba 4v3v2v1 Ø v1v2v3 Oba<br />
Ø v2v3v4 Ø v1v2v4<br />
Ø v1v3v4<br />
Dire che “ogni b è a” equivale a dire che “di 4 b, 4 sono a”; che “nessun b sia a” equivale a “di<br />
4 b, Ø sono a”. “Solo qualche b è a” significa “(di 4 b, solo 1 è a) o (di 4 b, solo 2 sono a) o (di<br />
4 b, solo 3 sono a)” (numeratori in rosso). Questi 3 casi sono incompatibili, ossia contrari.<br />
Dunque in questo sistema abbiamo cinque contrari primitivi. Il <strong>triangolo</strong> delle opposizioni sarà<br />
sostituito da un pentagono <strong>oppositivo</strong> (irregolare, vertici 0-1-2-3-4-, come in fig 3).<br />
Dicendo che di 4 b 4 sono a, di conseguenza avremo che di 4b Ø a’, di 4 b zero sono a’,<br />
ossia nessuno dei 4 b è a’. Il “4” rappresenta il valore massimo (MX), “Ø” il minimo (mn). Le<br />
categoriche con MX e mn rappresentano le Universali, le restanti tre primitive sono le<br />
Particolari Distintive (Numeriche). Con b4 3 a diremo che esattamente 3 dei 4b sono a, che<br />
equivale ad b 4 1 a’, e viceversa. Questa obversione, con scambio dei quantificatori 4_ 3 e<br />
4_1, esprime la loro posizione simmetrica rispetto all’asse verticale del valore mediano,<br />
mentre la obversione b4 2 a b4 2 a’ spiega perché il quantificatore 4_2 o mediano (Md)<br />
sia posto proprio sull’asse sopradetto, in analogia all’ U pre-numerico.<br />
Il valore di un quantificatore simmetrico ad uno dato è calcolabile (nella parte del<br />
numeratore) come differenza fra i due valori espressi fra il totale e il numeratore del<br />
quantificatore dato. Ossia la formula generale prevede che sM N p sM M-N p’<br />
Come si può vedere nella fig 6 la parte inferiore del poligono contiene le contraddittorie ai 5<br />
primitivi, ciascuna caratterizzata dalla disgiunzione delle restanti primitive. La contraddittoria<br />
di Uba (disgiunzione di 1, 2 e 3) per le leggi di de Morgan equivale alla congiunzione di 1’ 2’ e<br />
29
3’ (in blu; l’apostrofo sta per negazione di quel numero ovvero disgiunzione dei restanti<br />
ovvero per “≠ da”.). Ai lati del poligono sono poste delle disgiunzioni che fungono da<br />
predicazioni intermedie fra le due universali e le loro subordinate classiche. Ciascuna di<br />
queste intermedie è posizionata in modo da trovarsi diametralmente opposta alla propria<br />
contraddittoria; sulla stessa riga compaiono i numeratori che si scambiano fra due<br />
obversioni equivalenti. Anziché utilizzare i simboli > e < abbiamo usato le disgiunzioni dei<br />
vari numeri, ma chiaramente 2 v 3 v 4 equivale a > 2.<br />
Per le quattro predicazioni equivalenti alle categoriche classiche valgono naturalmente le<br />
inferenze immediate viste in D6, con la differenza che qui A E I O sono sostituiti da MX, Ø,<br />
>1 , < MX -1.<br />
In tutto abbiamo 14 lati. In generale la formula prevede che, se il soggetto è costituito da n<br />
elementi, il poligono abbia 4n-2 lati. Se proseguiamo con la moltiplicazione dei lati possiamo<br />
arrivare al caso limite del cerchio con infiniti lati, che ospita infiniti quantificatori numerici, che<br />
potrebbero essere le frazioni tra 1 e Ø (col totale che diviene denominatore), le percentuali<br />
fra 100 %(totale) e Ø % e simili. Attenzione però, questa interpretazione contiene una<br />
riduzione: la frazione 5/10 dell’insieme s se interpretata come la metà di s (perché<br />
aritmeticamente ½ = 5/10) ci fa perdere i dati assoluti di s lasciandocene solo alcuni rapporti,<br />
importanti in taluni contesti, fuorvianti in altri. Facciamo un esempio:<br />
5 cammelli su 10 si sono abbeverati, non so quali. Ho 1 possibilità su 2 di sceglierne uno<br />
giusto (dissetatosi) per affrontare il deserto, perchè qui conta il rapporto 10 : 5 = 2 . Voglio<br />
portare all’ombra i 6 che si sono accasciati, e dispongo di 3 stalle monoposto, quanti ne<br />
restano fuori? Ovvio, qui non uso il rapporto, ma la sottrazione 6 – 3 = 3 , posso anche<br />
trascurare il totale dei cammelli.<br />
Come già accennato, possiamo proseguire e far assumere ai quantificatori i valori dei numeri<br />
reali.<br />
Possiamo anche concepire sistemi numerici semplicissimi. Se il MX è 2 abbiamo un<br />
<strong>triangolo</strong>, ove 1 è Md. Con MX pari a 3 non abbiamo un Md, ed abbiamo un ottagono, con le<br />
contraddittorie. In generale un sistema in cui la classe b abbia un numero dispari di elementi<br />
un quantificatore mediano non potrà esserci, a meno di concepire frazioni di elementi o<br />
elementi ambivalenti. Anche nel caso di Sillogismi Numerici privi di mediano riteniamo<br />
corretta la qualifica di Distintivi, perché in essi si verifica che solo qualche elemento<br />
dell’insieme soggetto sia predicato ed allo stesso tempo che solo qualche elemento non lo<br />
sia.<br />
Quadrilatero Distintivo Numerico<br />
Abbiamo utilizzato i Poligoni oppositivi per sottolineare la continuità dei sistemi Distintivi<br />
numerici coi precedenti, Distintivi pre-numerici. Ora ci preme invece integrare il Sillogismo<br />
Distintivo Numerico con altri di impostazione più classica. A questo scopo modifichiamo il<br />
Poligono <strong>oppositivo</strong> costringendolo entro un <strong>quadrilatero</strong> delle opposizioni, come vediamo<br />
nelle figure 7 e 8 qui sotto.<br />
fig.7<br />
30
fig. 8<br />
Otteniamo così una rappresentazione dei quantificatori intermedi in una scala ordinata fra i<br />
due estremi del segmento Aba-Eba.<br />
La figura 7 vale sostanzialmente come il poligono di fig 6, essendo ogni quantificatore<br />
diametralmente opposto al suo contraddittorio. > sta per almeno, < per al più, =<br />
(sottinteso) per esattamente , ≠ per o maggiore o minore, ossia per non uguale.<br />
La differenza maggiore è la seguente: come accaduto con i Quasi numerici, ciascun<br />
quantificatore sul lato superiore (A-E) è collocato simmetricamente, secondo la linea verticale<br />
mediana, rispetto al proprio reciproco obvertito (nel senso dell’equivalenza ad es sM M-2 p =<br />
sM 2 p ); però sul poligono ciò era evidenziato dall’essere tali quantificatori collocati anche<br />
sulla medesima linea orizzontale.<br />
Nelle fig. 7 e 8 sono state apportate modifiche generalizzatici e informative.<br />
Ognuna di esse è più generalizzante, non essendo legata ad un numero prestabilito di<br />
elementi del soggetto. Il valore massimo stabilito dalla sola lettera M, cui viene sottratto zero<br />
in coincidenza con Aba, poi 1 , 2 ecc fino a sottrarre M stessa in corrispondenza di Eba (M-M<br />
= zero). Dei puntini lasciano aperta l’espansione ad ulteriori intermedi.<br />
Si possono così interpretare i quantificatori in senso Eccettuale : tutti eccetto (o tranne o<br />
meno) 1, tutti eccetto 2, e cosi fino a “tutti eccetto tutti”, cioè nessuno. Tutti eccetto Ø,<br />
naturalmente sarà uguale a tutti. Una lunga tradizione, dagli “excepta” scolastici a J. Lambert,<br />
da De Morgan fino ai numerici di Murphree, ha utilizzato interpretazioni come questa,<br />
31
assimilabile all’operazione insiemistica di differenza asimmetrica: s\p = gli s che non sono<br />
p. Con l’aggiunta di una quantificazione numerica tale operatore può trasformarsi in una<br />
predicazione, come nel seguente esempio, da prendere con beneficio d’inventario perchè<br />
puramente sperimentale: 2 Ms\p = sM 2 p’.<br />
In fig 7 e 8 con delle frecce sono state evidenziate le implicazioni, quelle sui lati indicano i<br />
rapporti di subalternanza. Nella fig 8, esse mettono in rilievo che i numeri posti sul lato A-E,<br />
implicano le espressioni che, congiunte, li potrebbero definire in un sistema tradizionale. Nel<br />
nostro sistema, analogamente a quanto accadeva per l’esagono, proponiamo un<br />
ribaltamento nella scelta dei primitivi tradizionali.<br />
La figura 8 consente di visualizzare tutti gli intermedi compresi in determinati intervalli sul<br />
segmento A-E Ad es. alla destra del numeratore 2 sono presenti tutti quelli < 2, come la<br />
freccia che va a destra indica, mentre quella di sinistra indica quelli > 2 . L’ intervallo<br />
compreso tra < M-1 e > 1 illustra i numeratori che disgiunti compongono Uba, mentre<br />
l’intervallo complementare o esterno indica Yba.<br />
In tabella 5 riportiamo le definizioni reciproche degli operatori-quantificatori numerici:<br />
b N a = N b sono a (né più, né meno)<br />
> N = più di N = ( < N …)' = non al più N = > N + 1<br />
> N = almeno N = ( < N …)' = non meno N = > N - 1<br />
< N = meno di N = ( > N )' = non almeno N = < N + 1<br />
< N = al più N = ( > N.)' = non più di N = < N - 1<br />
al più = al massimo<br />
almeno = come minimo, quantomeno , perlomeno<br />
Forniamo un esempio di sillogismo numerico: (b6 4 a * a9 Ø c) al massimo, di 6 b, 2 sono c.<br />
I predicati numerici della sillogistica contemporanea ignorano sistematicamente il lato<br />
superiore del quadrato numerico, potremmo pertanto ritenerli teoricamente basati su di un<br />
<strong>quadrilatero</strong> numerico non distintivo. Tuttavia il loro apparato deduttivo, ancorché ampliabile,<br />
appare solido, fondato su sviluppi algebrici e verifiche diagrammatiche consolidate. Pertanto<br />
ad essi si rimanda per costruire una eventuale Sillogistica Distintiva Numerica, come una<br />
analoga Polisillogistica, che concilii i nostri primitivi e le regole annesse, con detti sistemi.<br />
Le regole deduttive di questi sistemi sono riferibili ai “Numerical Sillogisms” di E. A.<br />
Hacker e W. T. Parry. (fine anni ’60), di W. Murphree, (anni ’90) e altri, ed ai principi della<br />
matematica discreta (inclusione-esclusione, formule Da Silva, Sylvester, ecc.).<br />
Convinti però di dover salvaguardare la scelta dei primitivi nel solco della intuibilità immediata<br />
e della non sovrapposizione dei 7 casi, in attesa di realizzare una fusione con quei sistemi,<br />
continuiamo qui a sviluppare la sintassi dei nostri sistemi Distintivi.<br />
Forniamo però qualche esempio di sillogismo numerico valido nei termini degli autori sopra<br />
citati, utilizzando la nostra simbologia, per darne almeno un’idea.<br />
(m >60 p) & (m ≤10 s’ ) (s >50 p) (tipo Disamis)<br />
(m >16 p’ ) & (m ≤10 s’ ) ( s > 6 p’ ) (tipo Bokardo)<br />
32
Come sappiamo il modo Unavult, tipico del Sillogismo Triangolare, è derivabile dai classici<br />
modi Disamis e Bocardo, pertanto gli esempi sopra riportati ne originano un analogo modo,<br />
nella Sillogistica Numerica .<br />
( >16 m >60 p ) & ( m ≤10 s’ ) > 6 s >50 p (tipo Unavult)<br />
Procediamo quindi con alcune precisazioni sintattiche.<br />
Una predicazione numerica, è una relazione copulativa tra due classi non vuote, una<br />
classe-soggetto s ed una classe-predicato p, entro un Universo del discorso, UD, distinto<br />
da ciascuna delle due, definita tramite dei numeri (usualmente interi naturali) M, N, Q, R, W,<br />
T, ecc, associati eventualmente ai funtori ≤ (al più) o ≥ (almeno). Per elementari definizioni<br />
aritmetiche vale che ≥ n equivale a > n –1, come ≤ n equivale a < n+1.<br />
Numeri e funtori hanno la funzione di quantificatori numerici delle classi e della relazione<br />
copulativa. La predicazione è semplice asimmetrica se coinvolge solo il soggetto, o la<br />
relazione, composta simmetrica o incompleta informativamente, se coinvolge anche la<br />
classe predicato, composta asimmetrica o completa informativamente, cioè che permette<br />
di quantificare anche il complementare del soggetto o l’UD o l’intersezione delle classi<br />
complementari. I <strong>sillogismi</strong> composti sono detti anche poli<strong>sillogismi</strong>, anche i distintivi<br />
numerici. Da quanto detto finora è chiaro che i <strong>sillogismi</strong> semplici non sono altro che versioni<br />
meno informative della struttura dei poli<strong>sillogismi</strong> completi, di cui andiamo ora ad analizzare<br />
le basi.<br />
Vale la regola per cui, data una predicazione Universale, invertendo i valori estremi (M e<br />
Ø) del numerale ed il segno del predicato, otteniamo una predicazione logicamente<br />
equivalente. Questo vale a prescindere dal numero del quantificatore, purchè sia M o Ø (per<br />
l’appunto Universale). Se invece il numerale è intermedio (N), per ottenere l’equivalente<br />
obvertita occorrerà ricavare il nuovo numerale con l’operazione MX – N.<br />
Poli<strong>sillogismi</strong> Numerici PN<br />
Possiamo esprimerne la formula generale delle predicazioni composte incomplete come<br />
segue:<br />
sM N W p ossia: degli s, che in tutto sono M, solo N sono fra i W p.<br />
Più analiticamente, s...M …Q(...R) ...W p<br />
I puntini valgono come occorrenze dei funtori ≤ (al più) o ≥ (almeno), che possono<br />
mancare, nel qual caso il numero seguente è da intendersi come esatto, con conseguente<br />
aumento dell’informazione. Con tale notazione è possibile esprimere anche intervalli di valori<br />
numerici.<br />
Così, s6 ≥3 ≤5 ≥7p , si leggerà: Fra gli s, che sono in tutto 6, dai 3 ai 5 sono fra i p,<br />
che in tutto sono almeno7, mentre s6 ≤3 ≥5 ≥7p vorrà dire: Fra gli s, che sono in<br />
tutto 6, o al più 3 o almeno 5 sono fra i p, che in tutto sono almeno7.<br />
Il numero accanto a s, come quello accanto a p, definibile come il massimo relativo a quella<br />
classe, ne esprime la consistenza numerica totale ossia cardinale. Le cifre intermedie della<br />
...Q (…R)<br />
formula,<br />
, quantificano il numero degli elementi di s interessati anche<br />
all’appartenenza a p: in termini insiemistici, all’intersezione delle due classi.<br />
33
Notiamo la convertibilità di una formula, dovuta alla quantificazione dell’intersezione: se 9,<br />
(almeno 9, al più 9) s sono p altrettanti p devono essere s, ciò anche in assenza di<br />
determinazione della quantità totale di s, di p, o di entrambi.<br />
Vi sono ovvie condizioni che rendono non ben formate alcune occorrenze numeriche della<br />
formula, ma non stiamo qui a espletarle. Valgano per tutti un paio di esempi:<br />
- non ha senso dire che esattamente 4 e ≥ 5 s sono p, o 6 e 8; così sarebbe<br />
ridondante dire 3 e ≤ 4; pertanto, o sia Q che R sono accompagnati dai segni di ≤ (al più) o<br />
≥ (almeno), o altrimenti deve comparire uno solo dei due quantificatori;<br />
- una intersezione non avrà mai più elementi di ogni insieme di cui è parte.<br />
Se Q ≠ R, tale numero risulta essere in realtà un intervallo; altrimenti, se Q = R e uno di<br />
questi è preceduto dal segno ≤ mentre l’altro dal segno ≥ , come risultato otteniamo l’esatto<br />
numero (Q ovvero R) degli elementi comuni. Se tale numero è zero, non vi è alcun elemento<br />
comune fra s e p. Vi è anche la possibilità che compaia uno solo fra Q ed R, preceduto da<br />
almeno; in questo caso l’intervallo sarà comprensivo del massimo della classe meno<br />
numerosa fra s e p.<br />
Possono esservi espansioni della formula che considerino più di due intervalli, o la esaustività<br />
di tali intervalli rispetto all’intero segmento; qui non esamineremo tali casi complessi.<br />
Possiamo invece vedere come questo tipo di notazione possa esprimere le categoriche<br />
tradizionali e distintive.<br />
Se sappiamo che M=N, possiamo sostituire M con la A dell’ Universale affermativa : As N<br />
W p. Ad es.: tutti gli 8 s sono fra i W p, se supponiamo M = 8 = N<br />
Tutti i tipi di quantificatori tradizionali possono in ultima analisi essere ricondotti alla<br />
struttura numerica generalizzata bX Y a. Come possiamo facilmente constatare Aba si<br />
realizza quando X=Y, Eba quando Y= Ø, Uba quando (X ≠ Y) * (Y ≠ Ø), Iba quando Y ≠ Ø,<br />
Oba quando X ≠ Y, Yba quando (X=Y aut Y= Ø),<br />
Inoltre possiamo disporre dellla informazione, non contemplata dai <strong>sillogismi</strong> classici,<br />
di quanti in tutto siano i componenti la classe soggetto ossia X, anche lasciando indefinito<br />
Y, sostituito dall segno “?”, . Naturalmente, possiamo lasciare anche la X indefinita, ed allora<br />
la traduzione nelle categoriche classiche è perfetta!<br />
E’ quasi superfluo dire che anche un’espressione indefinita come “di ? b 3 sono a” ( dove il<br />
segno interrogativo non definisce di quanti elementi sia costituito b ) è comunque più<br />
informativa della implicata Iba classica.<br />
Anche i Sillogismi Quasi-Numerici sono riconducibili allo schema numerico, con<br />
variabili numeriche sottoposte a condizioni: quando Y >½ X possiamo affermare che “solo<br />
una parte, maggioritaria, di b è a”, esprimibile direttamente con “>ba”, quando Y =½ X, allora<br />
“esattamente la metà dei b sono a” ossia !!ba, quando Y < ½ X ,“solo una parte, minoritaria,<br />
di b è a” esprimibile direttamente con “
differenza tra totale e numeratore ci indica la potenza dell’intersezione fra il soggetto ed il<br />
complementare del predicato. Dai totali di soggetto e predicato, sottraendo l’intersezione (per<br />
non contarla due volte, secondo il principio di inclusione-esclusione della matematica<br />
discreta) otteniamo il totale dell’insieme unione di soggetto e predicato, e per differenza di<br />
quest’ultima sottratta al numero dell’ UD, il totale del complemento dell’unione stessa. Se nel<br />
corso delle operazioni compaiono degli zeri, alcune sezioni saranno assenti.<br />
Su queste basi possono essere effettuate deduzioni polisillogistiche con conclusioni<br />
numeriche o quasi numeriche. Inoltre, anche in presenza di dati parzialmente indefiniti, in<br />
molti casi e’ possibile procedere a deduzioni parziali.<br />
Un possibile sviluppo numerico del sistema iconico relazionale può portare ad una<br />
semplificazione del sistema. Possiamo infatti attribuire un numero a ciascuno dei<br />
due\tre\quattro settori di ognuno dei 7 casi, settori separati dalle parentesi o sbarre inclinate<br />
(con una lieve modifica anche dalla relazione xx). La tabella 6 sottostante mostra come<br />
tradurre le espressioni del polisillogismo numerico in quello iconico (e viceversa), oltre a<br />
mostrare la corrispondenza, riduttiva, coi vari casi pre-numerici.<br />
pratica sintetica casi numerica completa iconica numerica iconica<br />
AbaA,, Abab’E 1 bM M Ma Ø Rb' \M/R bVa<br />
AbaU,, Abab’U 2 bM M Qa N Rb' M)Q-M) R-N b))a<br />
UbaA,, Ubab'E 3 bM N Na Ø Rb' R (M-N(N b((a<br />
UbaU,, Ubab’U 4 bM N Qa T Rb' (M-N (N)T) R-T bXXa<br />
Uba'A,, Ubab'A 5 bM N Qa R Rb' M-N(N)R b()a<br />
Aba'U,, Ebab'U 6 bM Ø Qa Q Rb' M)R-Q(Q b)(a<br />
Aba'A,, Ebab'A 7 bM Ø Ra R Rb' M \ R b\ a<br />
Possiamo fare degli esempi:<br />
• b \8/ a 5 = b ed a sono 8 in tutto ed equivalenti, i restanti sono 5 [oppure b8Va 5 ]<br />
• b8)3)a 6 = i b sono 8 gli a 11, i non b non a sono 6<br />
• 6 b(3(8a = i non b non a sono 6, i b sono 11 gli a 8,<br />
• b(5(3)7)a 9 = i b sono 8, gli a 10, i non a e non b sono 9 [oppure b5x3x7a 9 ]<br />
• b 5(3)7 a = i b sono 8 , gli a 10, i non a 5, i non b 7<br />
• b8) 2 (11a = i b sono 8, gli a 11 , 2 non sono nè b nè a<br />
• b4 \ 3a = i b sono 4, i complementari, a , sono 3<br />
Ancorché riduttiva, la correlazione con i sistemi pre-numerici prospetta alcune deduzioni<br />
polisillogistiche che quantomeno restringono il campo delle corrette inferenze numeriche.<br />
Confrontando i 7 casi con le formule di doppia predicazione Distintiva Numerica, possiamo<br />
notare che in termini algebrico-booleni e diagrammi di Venn, quando un settore manca gli si<br />
può attribuire un valore numerico pari a zero. Ciò permetterà di trarre immediatamente<br />
alcune inferenze, arricchite da eventuali successive condizioni restrittive.<br />
35
A questo punto possiamo suggerire una ipotesi di diagramma comparativo (attualmente in<br />
fase di studio e altamente sperimentale), ispirato al <strong>quadrilatero</strong> numerico <strong>oppositivo</strong>, che<br />
confidiamo possa produrre delle soluzioni grafiche sul modello delle disequazioni<br />
matematiche (e che tenta superare analoghi modelli erronei, come quelli di Liebnitz e<br />
Lambert, o molto limitati come “the Demonstrator” di Stanhope; v. Appendice). Il diagramma<br />
risulta dall’affiancamento, a destra del <strong>quadrilatero</strong> graduato con soggetto b, del quadrilatrero<br />
con soggetto b’, ma in modo che gli elementi totali dell’ UD evidenzino su una duplice fila la<br />
loro consistenza numerica in questo o quello dei sottinsiemi ba, ba’, b’a, b’a’. In fig. 9 qui di<br />
seguito un esempio.<br />
ba b b' b'a<br />
b4 3 a b' 6 4 a<br />
a 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 a<br />
a' 1 2 3 4 6 5 4 3 2 1 a'<br />
b4 1 a' b' 6 2 a'<br />
ba' b b' b'a'<br />
4+3=7 esistono 7a nell' universo<br />
1+2=3 esistono 3 a' nell' universo<br />
6+4=10 esistono 10 elementi nell'universo<br />
La situazione sopra rappresenta una bi-predicazione numerica riconducibile al caso 4 dei 7<br />
soliti. Diamo di seguito (fig. 10) esempi relativi agli altri casi, 1, 2, 3, 5, 6, 7. (N.B. causa<br />
problemi di incollaggio tabelle alcune formule non riportano la giusta collocazione delle cifre,<br />
es 0\3 ba significa b3 0 a , tuttavia è sufficientemente intuitivo quali correzioni vadano<br />
apportate, il valore fondamentale del diagramma essendo quello topologico).<br />
1 3\3ba 0\2b'a<br />
3 2 1 1 2<br />
1 2 3 2 1<br />
0\3ba' 2\2 b'a'<br />
2 3\3ba 4\6 b'a<br />
36
3 2 1 1 2 3 4 5 6<br />
2 3 4 6 5 4 3 2 1<br />
0\3ba' 2\6 b'a'<br />
3 3\4ba 0\2b'a<br />
4 3 2 1 1 2<br />
1 2 3 4 2 1<br />
1\4ba' 2\2b'a'<br />
5 3\4ba 4\4 b'a<br />
4 3 2 1 1 2 3 4<br />
1 2 3 4 4 3 2 1<br />
1\4ba' 0\4 b'a'<br />
6 0\1ba 4\6 b'a<br />
1 1 2 3 4 5 6<br />
1 6 5 4 3 2 1<br />
1\1ba' 2\6 b'a'<br />
7 0\1ba 4\4 b'a<br />
1 1 2 3 4<br />
1 4 3 2 1<br />
1\1ba' 0\4 b'a'<br />
L’idea dovrebbe prevedere dei modi corretti di allineare, in analogia coi sistemi delle<br />
disequazioni, le 2 bi-premesse numeriche di un sillogismo ed osservare le corrispondenze<br />
37
numeriche possibili fra soggetto della conclusione o suo complementare e predicato della<br />
stessa o suo complementare<br />
Esaminiamo ora un caso particolare di distintiva numerica.<br />
Sillogismi Singolari: caso limite D2<br />
Sia data una classe-soggetto s costituita esattamente da un solo elemento. Si consideri<br />
una seconda classe-predicato p, che consista di almeno un elemento. Se l’elemento unico<br />
di s è anche elemento di p, diciamo s è p. Se non lo è diciamo s non è p o, se preferiamo, s<br />
è non-p (s è p’). Tali predicazioni, per tradizione, sono denominate rispettivamente Singolare<br />
affermativa e Singolare negativa; noi le simbolizzeremo rispettivamente con Fsp e Gsp (da<br />
“adFirmo” e “neGo”, in analogia con quanto facevano gli Scolastici per le categoriche).<br />
Solitamente non sono interpretate in chiave numerica, il che ne diminuisce la espressività in<br />
quanto si priva il predicato di quantificazione (W.T.Parry ha identificato una specie nontradizionale<br />
di quantificatore, α , che determina la unità numerica e l’identificazione di<br />
entrambi i termini di una predicazione singolare, ma non andiamo molto oltre).<br />
Si può discutere se nel caso di s composto di 1 solo elemento abbia senso sostenere che sia<br />
vero o meno che “Ogni s è p” o “Nessun s è p”. Se le singolari dovessero considerarsi tra loro<br />
contrarie o contraddittorie, universali o particolari, è una vecchia querelle all’intero della logica<br />
tradizionale, risolta dal moderno calcolo dei predicati. Anche con la notazione numerica sopra<br />
proposta tale problema non si pone, come già visto anche con le Quasi-numeriche .<br />
In termini classici una singolare è assimilabile ad una universale composta da un solo<br />
elemento, tuttavia se l’unico b è a, allora qualche b è a; se non lo è allora qualche b non è a,<br />
ossia è non a. Ma siccome Aba e Aba’ non sono mai vere insieme, ed in questo caso non<br />
possono neppure entrambe false (caso che si verifica allorquando sono vere entrambe le<br />
particolari), allora deve essere vera Yba (o tutti, cioè 1, o nessuno), quindi Uba è falso. Yba ,<br />
diviene una sorta di espressione del principio di non contraddizione.<br />
Utilizzare funtori o quantificatori numerici ci esprimeremo così: Fsp diviene “di 1 s dato,<br />
esattamente 1 è fra gli almeno 1 p”, in simboli s1 1 ≥1p mentre Gsp diventa “di 1 s dato,<br />
esattamente Ø (zero) sono fra gli almeno 1 p” ossia s1 Ø ≥1p. Quest’ultima equivale<br />
logicamente a “di 1 s dato, esattamente 1 è fra gli almeno 1 non-p ossia s1 1 ≥1p’.<br />
In generale restano valide le 8 formule deduttive dei Sillogismi Singolari moderni (vedi<br />
Bird,O.: cap.5 par 45), tuttavia occorre trovare una adeguata simbolizzazione per aggiungere<br />
gli schemi che coinvolgono l’ Universale Distintiva, o meglio la sua omologa nella logica delle<br />
classi. Senza soffermarci nella loro esplicitazione forniamo un esempio: [(b incluso in a)*(c<br />
elemento di b)] c incluso in a ; questa conclusione può essere banalmente espansa<br />
come c incluso in a o a’, espressione Singolare isomorfa di Yca.<br />
Se avessimo il soggetto costituito di 2 elementi, già potremmo avere il <strong>triangolo</strong> o l’esagono<br />
<strong>oppositivo</strong> in quanto all’interno della classe madre si potrebbero costituire 2 sottoinsiemi fra i<br />
quali 1 potrebbe avere un attributo che l’altro non ha. Ne conseguirebbe l’ interruzione del<br />
segmento A-E con il quantificatore intermedio. Tra due Singolari opposte non è data la<br />
situazione intermedia. A meno che, con un salto di livello, si passi ad una “scissione<br />
dell’atomo”, ovvero si concepisca che l’individuo stesso possa avere parti, per una delle quali<br />
l’attribuzione di un dato predicato possa sussistere, mentre per l’altra no.<br />
In una logica a due valori, il vero ed il falso, le due Singolari, affermativa e negativa, sono<br />
necessariamente una vera e l’altra falsa, sono cioè incompatibili, ed esaustive. Dalla verità<br />
dell’una se ne deduce la falsità dell’altra, dalla falsità dell’una se ne deduce la verità dell’altra.<br />
38
Diverso sarebbe in un sistema che ammettesse una condizione intermedia tra<br />
l’appartenenza e la non appartenenza di un predicato ad un soggetto : ad es. un frutto<br />
potrebbe essere maturo o non maturo (acerbo), ma anche quasi-maturo. Lo stesso Aristotele<br />
ammetteva che tra estremi contrari potevano darsi stati intermedi, ma non tra contraddittorie.<br />
Tratteremo questi temi nella prossima parte, qui ci servono solo per concepire dei<br />
quantificatori che usino non solo i numeri Naturali, ma anche quelli razionali e reali, o del<br />
continuo. Quanto agli Immaginari, solo i limiti della nostra fantasia non ne hanno ancora<br />
concepito un utilizzo, ma sicuramente prima o poi ci si arriverà. Buttiamo là un’idea senza la<br />
minima pretesa: potremmo sfruttare la componente immaginaria di un numero per definirne<br />
in termini modali (possibile, necessario, impossibile, contingente ecc…), o temporali<br />
(passato, presente, futuro, eterno, transeunte, provvisorio, precedente ecc..) la presenza o<br />
assenza di determinanti fattori numerici, magari negativi?<br />
Prospettive di sviluppo teorico<br />
A conclusione della rassegna dei sistemi distintivi, e prima della loro interpretazione in chiave<br />
non standard, occorre mettere in rilevo qualche punto.<br />
I limiti, come i pregi, dei sistemi D esposti derivano dal fondarsi sulla struttura del linguaggio<br />
naturale della sillogistica, articolato in soggetto-predicato (logica dei termini) inadatto ad<br />
esprimere le complessità di funzioni pluri-argomentali e della logica delle relazioni.<br />
Basti pensare che la conclusione di un sillogismo, anche numerico composto, che utilizza tre<br />
termini-classe, nonché i complementari, in generale non riesce ad informarci sulla<br />
consistenza numerica dell’intersezione comune a tutte e tre le classi, limitandosi ai rapporti a<br />
due a due: in ciò manifesta la sua inferiorità rispetto all’algebra della logica da Boole in poi.<br />
Tuttavia negli anni ’90 almeno un filone di ricerca pare sia stato esplorato per superare questi<br />
limiti: parliamo della Old New Logic o Numerical Term Logic di W. Murphree, F.<br />
Summers, e G Englebretsen, per certi versi ispiratasi a Liebnitz, per altre derivata dalla<br />
impostazione algebrico-logica a cavallo tra ‘8-‘900, alternativa alla moderna logica<br />
predicativa, ma che in S. Lindell pare possa con questa coniugarsi (in vista di applicazioni<br />
informatiche e di I.A.). F. Summers avrebbe creato un sistema che a partire dalla struttura<br />
soggetto-predicato, base della lingua naturale, e della logica, attraverso progressive<br />
espansioni (fra cui la sillogistica numerica di Murphree) potrebbe generare un sistema<br />
deduttivo di potenza paragonabile al calcolo dei predicati del primo ordine ed<br />
espandibile anche alle relazioni.<br />
Non siamo attualmente in grado di valutare tali sistemi, tuttavia le risultanze del nostro lavoro<br />
paiono suggerire che l’analisi delle predicazioni riveli strutture più articolate di quanto appaia<br />
ad una prima occhiata. Abbiamo visto che la logica tradizionale, il cui riferimento linguisticosemantico<br />
è quello naturale, proprio in nome di tale riferimento è suscettibile di una<br />
presentazione più intuitiva, da un lato più semplice, dall’altro più completa, tramite un<br />
rimescolamento, legittimo entro il suo stesso sistema, di qualche suo elemento. Tale<br />
presentazione rivela simmetrie sottostanti alla sua struttura linguistico-logica. Queste<br />
sottostrutture riconducono ad una comune matrice filoni della riflessione logica mantenutisi<br />
storicamente e teoricamente indipendenti (in appendice ne vedremo alcuni). Queste<br />
sottostrutture mostrano come le predicazioni distintive ed altre assimilabili contengano in<br />
nuce aspetti poliargomentali, anche se esternamente diadici,<br />
L’ apparente struttura biargomentale di una predicazione distintiva nasconde una relazione<br />
a quattro-cinque argomenti, in cui i primi due si spartiscono iI terzo (soggetto), e si<br />
relazionano ad un quarto, e anche ad un quinto argomento (il predicato e la sua negazione).<br />
39
Il tutto è però così ben incastrato da essere criptato sotto le spoglie di una predicazione del<br />
soggetto quantificato.<br />
Nello sviluppo storico della logica classica, vedi ad es. gli studi del Lambert (op.cit., par.235<br />
ssgg) espressioni come “tutti i b che sono c non sono a” escono dalle relazioni diadiche della<br />
predicazione classica, e si avvicinano ai funtori booleani. La predicazione Esponibile<br />
Scolastica Eccettuale, manifesta una struttura poliargomentale che, in questo caso, vuol<br />
dire distintiva. Strutture del tipo “ Ogni b, eccetto c, è a ”, Xbca, non possono<br />
immediatamente essere tradotte da relazioni di tipo biargomentale, come le predicazioni<br />
distintive semplici.<br />
Si potrebbe basare una nuova sillogistica “iperdistintiva” sulla struttura eccettuale Xbca. Se c<br />
non è alcun b allora Xbca = Aba. Se tutti i b sono c allora Xbca = Eba. Vale inoltre in<br />
generale che Xbca = Xbac. Se c costituisce solo una parte di b siamo in presenza della<br />
Eccettuale Scolastica, implicante Uba, ma più informativa di quest’ultima. Per “esporre” la<br />
Eccettuale scolastica adeguatamente occorreranno probabilmente particolari congiunzioni di<br />
più predicazioni distintive. Tutto ciò pare indicare possibilità di ampliamento delle variabili<br />
predicative e argomentali della sillogistica.<br />
Abbiamo poi visto una interpretazione relazionale, semplice ma quantificabile<br />
numericamente. Tutto ciò fa pensare che, se non per la via della numerical term logic, per<br />
qualche analogo percorso sia edificabile un sistema basato su linguaggio ed intuizione<br />
naturale che esprima la ricchezza del calcolo dei predicati.<br />
Un altro limite dei sistemi distintivi deriva dall’ancoraggio all’impostazione bivalente della<br />
Sillogistica. Tale limite però può essere superato, come vedremo nella prossima parte.<br />
PARTE III: INTERPRETAZIONI LOGICHE NON-STANDARD<br />
I Sillogismi D ed N, come visto nelle parti I e II, sono uno sviluppo di quelli tradizionali, ma<br />
rappresentano una prima fase della traduzione in logiche non-standard.<br />
Per proseguire in questa direzione ora occorre un rovesciamento: questo si ottiene traslando<br />
o trasferendo la “misura” o tipicità di una predicazione / relazione dal suo quantificatore al<br />
suo valore di verità, si tratti di quantificatore distintivo, numerico naturale, razionale o<br />
continuo. In questa fase diviene fuzzy la relazione tra insiemi, mentre sottoinsiemi ed<br />
elementi mantengono la bivalenza.<br />
Nella ultima fase si opererà una completa saldatura con la logica fuzzy applicando un<br />
quantificatore ad ogni elemento delle classe considerata, che ne misuri l’appartenenza<br />
(membership) alla classe stessa e la non-appartenenza alla classe complementare. Se<br />
avremo una predicazione semplice il quantificatore del soggetto ci dirà la misura della verità<br />
dell’ “interezza” di questi al predicato, a seconda del tipo di quantificatore: Categorico<br />
(affermativo, negativo, intermedio), Quasi-numerico, Numerico (discreto o continuo). Se la<br />
predicazione sarà congiunta a quella del complemento del soggetto (Polisillogismo) avremo<br />
una descrizione di tutti i valori di verità da attribuire alle relazioni in gioco, perciò più<br />
completa, e massimamente accurata se i quantificatori saranno di tipo Numerico completo.<br />
Per operare il “rovesciamento” e la “saldatura” occorre partire da alcuni principi<br />
fondamentali della logica.<br />
Trasposizione dei Quantificatori ai Valori di Verità: Inter-bivalenza<br />
40
Partiamo dal Principio di Non-Contraddizione (Pnc) alla base della logica standard: non è<br />
possibile che S sia p e insieme non p: (Sp * Sp’)’.<br />
Aristotele parlando del Pnc sottolineava che “lo stesso attributo non può<br />
contemporaneamente appartenere e non appartenere allo stesso soggetto dallo stesso<br />
punto di vista”.<br />
Tale principio trova piena espressione nelle predicazioni Singolari (e nei Sillogismi<br />
Singolari con queste costruibili), dove al soggetto, non “quantificato”, perché unitario,<br />
monolitico (saremmo tentati di definirlo “parmenideo”), può vedersi interamente attribuito o<br />
interamente negato un determinato attributo.<br />
La contraddittoria ovvero la negazione di una predicazione Singolare sarà la Singolare<br />
che nega al medesimo soggetto lo stesso predicato, e viceversa: ad es. “Socrate è un<br />
politico” viene negata da “Socrate non è un politico”, o da “Socrate è un non-politico” oppure<br />
ancora, tramite uno spostamento dal livello linguistico “0” al livello “1” o meta-livello superiore,<br />
da “non è vero che ”. Una Singolare può essere anche indicata<br />
ostensivamente “Quel cane è tranquillo”. Per visualizzarne la relazione oppositiva utilizzando<br />
un modello analogo al celebre Quadrato delle Opposizioni dovremmo ricorrere a Due Punti<br />
posti su un Segmento orizzontale ai cui estremi si pongono da un lato la Singolare<br />
affermativa dall’altro quella negativa. Il Segmento non rappresenta altro se non la relazione di<br />
reciproca negazione tra i due estremi.<br />
Tale modello – col sottinteso PnC – non è limitato alle Singolari, giacché funziona<br />
anche con le predicazioni Plurali Indivise, contenenti soggetti genericamente collettivi e/o<br />
indefiniti, cioè privi di quantificatori (“tutti, alcuni, nessuno, uno, due” e simili). Ad es. “il cane<br />
è fedele”, significa “i cani sono fedeli” in senso generale, senza specificare se vi siano poche,<br />
molte o nessuna eccezione; ben maggiore definizione possiamo infatti riscontrare<br />
nell’Universale “tutti i cani sono fedeli”. La contraddittoria di una Indivisa affermativa, è una<br />
Indivisa negativa, ad es. “i cani non sono fedeli”, altrettanto generica. Qui l’entità collettiva dei<br />
cani, ancorché plurale, viene trattata in modo indiviso, per cui si può predicare di essa in<br />
modo affermativo o negativo solo in blocco.<br />
(Vi è stato chi ha visto nella indefinita il significato proprio della particolare aristotelica,<br />
ed ha chiamato “parziale” la nostra particolare distintiva (v. Blanché, R). Questa ri-definizione<br />
sarebbe in effetti più corretta ed economica, ma la storia ha ormai consolidato talmente il<br />
concetto di “particolare” che sottrarsi all’uso dominante rischierebbe troppi fraintendimenti.)<br />
Il modello presenta una crisi - di crescita, potremmo dire - quando accanto al soggetto<br />
introduciamo i quantificatori. Questi portano ad una più complessa articolazione del Pnc. Una<br />
predicazione Universale sarà contraddetta da una Particolare e viceversa. Dal modello<br />
unidimensionale a Segmento passiamo allo sviluppo bidimensionale del Quadrato <strong>oppositivo</strong>,<br />
in cui accanto alle contraddittorie compaiono le contrarie, le sub-contrarie e le subalterne. Per<br />
ottenere una contraddittoria ad una predicazione data, occorrerà scambiare fra loro il<br />
quantificatore Universale con quello Particolare, non bastando più la semplice negazione<br />
della copula o del predicato, come nelle Singolari. Il Quadrato <strong>oppositivo</strong> si può dunque<br />
vedere come uno sviluppo su di un piano del Segmento di retta delle Singolari o Plurali<br />
Indivise, o viceversa il Segmento si può interpretare come un collassamento del Quadrato,<br />
dove contraria e contraddittoria si sovrappongono in un tutt’uno indistinto (al punto che<br />
ancora oggi v’è chi discute se le Singolari siano assimilabili a Particolari o ad Universali).<br />
Ma qual è la ragione profonda di questo sviluppo dimensionale del Segmento in<br />
Quadrato, che abbiamo con i quantificatori?<br />
Riprendiamo la citazione di Aristotele, rimarcandone la parte finale: “lo stesso attributo<br />
non può contemporaneamente appartenere e non appartenere allo stesso soggetto dallo<br />
41
stesso punto di vista” (o traduzioni analoghe: oggetto considerato sotto il medesimo<br />
riguardo, rispetto, senso, verso, prospettiva, taglio, interpretazione, parallelo, ecc.).<br />
Chiediamoci : e se cambiassimo punto di vista ?<br />
A nostro avviso una molteplicità di punti di vista si introduce implicitamente proprio con la<br />
quantificazione del soggetto. Riteniamo che la quantificazione sorga per l’esigenza di<br />
distinguere delle partizioni o sottoinsiemi all’interno della classe del soggetto, non più visto<br />
come un tutto monolitico.<br />
Tale disarticolazione diviene più evidente con la riduzione del Quadrato <strong>oppositivo</strong> a<br />
Triangolo, o Esagono, come abbiamo visto coi Sillogismi Distintivi. L’apparente struttura<br />
biargomentale di una Particolare distintiva nasconde una relazione a cinque argomenti, in cui<br />
i primi due (sottoclassi) si spartiscono iI terzo (soggetto), e si relazionano ad un quarto<br />
(predicato), ma anche ad un quinto argomento (il complemento del predicato). Il tutto è però<br />
così ben incastrato da essere criptato sotto le spoglie di una predicazione del soggetto<br />
quantificato dal “solo qualche”.<br />
Nella Particolare Distintiva la classe-soggetto, formalmente unitaria, è costituita<br />
sostanzialmente da due sottoclassi disgiunte e, relativamente alla classe-madre, esaustive,<br />
per le quali si determinano predicazioni opposte, dunque riguardanti necessariamente, per<br />
via del Pnc, soggetti diversi. Se a livello “0” (zero) poniamo gli elementi della classe soggetto,<br />
al livello “1”, troveremo i due sottoinsiemi: in entrambi i livelli restiamo entro una logica<br />
bivalente, e rispettiamo il Pnc e del terzo – o medio – escluso. Così quando diciamo “solo<br />
qualche europeo è greco” insieme a ”solo qualche europeo non è greco” non violiamo il Pnc,<br />
in quanto il sottinsieme degli europei soggetto della prima predicazione non è lo stesso della<br />
seconda. Però ora saliamo al livello “2” , che contiene l’insieme di tutti gli europei, e<br />
chiediamoci “gli europei sono greci?”. Per il Pnc o lo sono o non lo sono. A rigore, ossia nella<br />
generalità, non lo sono. Ma, se ogni greco è un europeo, ed in quanto europeo non è greco<br />
(come abbiamo appena visto) egli è greco e non greco al tempo stesso, il che è<br />
contraddittorio. Concediamo allora che gli europei siano greci. Che dire di un inglese? E’<br />
europeo, ma non greco; in quanto europeo è però greco (come concesso), quindi è greco e<br />
non greco. Siamo di nuovo ad una contraddizione, o meglio ad un paradosso.<br />
In altre parole se nel soggetto di una distintiva quel che vale per una parte, non vale<br />
per l’altra, come possiamo sostenere per l’intero che, in base al Pnc, anche per esso aut<br />
valga aut non valga il dato predicato?<br />
Un paio di esempi chiariranno la differenza tra una situazione che non crea problemi<br />
nel suo inserimento in una logica bivalente ed una che ne chiede una estensione.<br />
Ad una collezione di anatre come uno stormo in migrazione, possiamo attribuire,<br />
poniamo: una formazione di volo a “V”, un numero di componenti dispersi, un fronte ampio<br />
30 m, ecc. Tali caratteristiche non possono certo attribuirsi alle singole anatre; invece<br />
l’andare verso una certa direzione, è attribuibile ad entrambi i livelli del discorso. Ad entrambi<br />
i livelli, senza problemi sussiste la bivalenza.<br />
Ora prendiamo il soggetto di una universale, inteso come classe, ad esempio della<br />
categorica “ogni mammifero è allattato (da piccolo)”. La verità di tale predicazione si può<br />
riscontrare a livello di ogni elemento, come a livello di insieme, o concetto generale di<br />
“mammifero”. Prendiamo ora il soggetto di una particolare distintiva, inteso come classe, ad<br />
esempio della categorica “Solo qualche mammifero è oviparo (come l’ornitorinco femmina e<br />
specie affini)” Ciascun elemento costitutivo della classe “mammifero” o è oviparo o non lo<br />
è, non si possono (nella nostra epoca) deporre mezze uova, e tertium non datur. Ma se<br />
riflettiamo sull’insieme “mammifero” o, se preferiamo, sul suo concetto…a questo livello<br />
possiamo ancora considerare un attributo passibile di appartenere o non appartenere<br />
all’insieme dato ? in realtà qui se affermiamo che il mammifero, in quanto tale, non è oviparo,<br />
42
diciamo il falso, così come se dichiariamo che lo sia, poiché il concetto sottende realtà<br />
individuali non omogenee relativamente a quell’attributo. Ma se qualcosa risulta in parte<br />
solidale ad una qualità, in parte no, e tuttavia ci teniamo a mantenere l’integrità di tale<br />
soggetto, pare ragionevole abbandonare la bivalenza vero-falso ed introdurre un valore<br />
intermedio. Avremo così in modo “de re” la formulazione bivalente “solo qualche b è a “ , in<br />
modo “de dicto” , (equivalente, per omogeneità con l’obversione,<br />
a ”parzialmente falso”).<br />
Forse per questa via si possono dissolvere i problemi generati dalla suddivisione fra<br />
connotazioni accidentali ed essenziali in un concetto e nella sua estensione.<br />
Possiamo venir fuori dal paradosso in un modo semplice: indebolendo il Pnc, al<br />
livello “2”, cioè violandolo in parte, tramite una bivalenza flessibile. Le risposte possibili e<br />
alternative alla domanda “Gli europei sono greci?” saranno così tre: T (ingl. True o V) = si, è<br />
Vero; F = no, è Falso; Γ = in parte, è Moderato (o Relativo, Parziale, Riduttivo, Limitato,<br />
Circoscritto, Semivero, Flessibile, Scomponibile, Analizzabile, Misurato-abile, Variegato,<br />
Frazionato, Razionato, Delimitato, Attenuato ecc). Se una proposizione è in parte vera, è<br />
anche in parte falsa, dunque in parte non falsa ed in parte non vera. La tripartizione ogni /<br />
nessuno / solo qualche, si sposta così dal quantificatore al valore di verità, o anche, se si<br />
preferisce, alla copula è / non è / è in parte. Da notare che la “terza” opzione valoriale non è<br />
altro che un ibrido delle altre due, si compone esclusivamente di porzioni delle altre due, non<br />
risulta perciò “aliena” al vero ed al falso, come richiederebbe una autentico terzo valore. Essa<br />
si riferisce a tutti quei casi collocati idealmente nell’intervallo tra i due estremi dell’”Ogni” e del<br />
“Nessuno”, perciò l’abbiamo denominata Inter-bivalenza (o Meso-bivalenza).<br />
Volendo esprimerci in termini modali, diremmo che in “solo una parte di b è a”<br />
abbiamo bivalenza e il quantificatore svolge la funzione modale De re, in “ è vero<br />
solo in parte” abbiamo Inter-bivalenza con modalità De dicto.<br />
Se poi volessimo portarci ad un ulteriore livello logico, al livello 3, nulla ci impedirebbe<br />
di ripristinare la bivalenza pura: ad es che “è in parte vero che gli europei sono greci” o è vero<br />
o è falso. Oppure potremmo mantenere anche a livello 3 l’inter-bivalenza e giudicare<br />
parzialmente vero che “è vero che gli europei sono greci”.<br />
Spesso nel linguaggio comune scegliamo proprio l’Inter-bivalenza a livello 3<br />
Se io dico che tutte le donne sono bionde, quando lo sono solo alcune, dico il falso? No, dico<br />
un vero parziale. Direi il falso totale solo se non lo fosse nessuna. E se dico che solo qualche<br />
italiano è europeo, quando lo sono tutti, o anche quando non lo fosse nessuno, dico il falso<br />
solo parzialmente.<br />
Si noti che a giudicare parzialmente vere a livello 3 le affermazioni di livello 2, se si<br />
sbaglia…lo si fa solo in parte!! Ecco forse il motivo del successo del noto adagio: “In medio<br />
stat virtus”. Purtroppo – o per fortuna- in molte cose non basta essere approssimativi, ci<br />
occorre la misura esatta…<br />
A questo punto si rende necessaria una distinzione concettuale.<br />
Esistono due formulazione ritenute da sempre sinonime: da un lato il principio<br />
aristotelico di esclusione del μεταξυ (=medio, intermedio), in inglese "Excluded<br />
Middle", dall’altro la sua versione latino-scolastica del "tertium non datur" (terzo escluso).<br />
Tuttavia a nostro avviso non è lo stesso dire che si esclude un valore di verità intermedio, per<br />
esempio entro un sistema bivalente (ma anche tri- o pluri-valente, come nella fuzzy logic) o<br />
un valore “terzo”, sempre rispetto alla bivalenza (o quarto, rispetto alla trivalenza, come per<br />
N. A. Vasiliev, o quinto, etc...) La differenza consiste in questo, che un valore medio o<br />
43
intermedio rappresenta un ibrido, una miscela degli altri due, composto di nient’altro che dei<br />
medesimi, in misura inversamente proporzionale l’uno dell’altro, mentre un autentico “terzo”<br />
valore deve essere totalmente alieno, eterogeneo al vero ed al falso, extra-bivalente come ad<br />
es. essere “privo di senso/significato”, “non ben formato”, “convenzionale/ato”, “extracategoriale/contestuale”<br />
“improprio, inappropriato” (A. Zinov’iev, H. Wessel, quest’ultimo<br />
autore di un esagono <strong>oppositivo</strong> strutturalmente identico al nostro distintivo, ma basato sulla<br />
trivalenza a livello dei termini, e bivalente a livello proposizionale), “indecidibile/indimostrabile”<br />
(dove vero e falso si intendono come dimostrabili o assiomatizzabili) “irrilevante” (si pensi alle<br />
logiche della rilevanza) etc... Potremmo anche denominare il terzo valore come neutro (lat.<br />
ne-uter=nessuno dei due, né vero nè falso ±), tuttavia va chiaramente postulato che vero e<br />
falso non sono più sufficienti per qualificarsi vicendevolmente tramite negazione: “non vero”<br />
non significa automaticamente falso, può anche significare neutro, ed analogamente il “non<br />
falso” non significa necessariamente vero, potendo essere neutro. Tipico esempio per<br />
illustrare l’inadeguatezza della bivalenza in taluni contesti: se essere scapoli significa non<br />
essere sposati e viceversa, e il sole non è sposato, allora il sole è scapolo. In realtà il<br />
contesto sensato per trattare della complementarietà fra scapoli e sposati è l’essere uomo<br />
maschio adulto (in determinate società), qualsiasi estensione dell’universo del discorso<br />
comporta il passaggio dalla bivalenza alla trivalenza, con la possibilità di giudizi neutrali. Altro<br />
esempio è l’irrompere di termini insensati come “i leoni sono tttccwwxzz”<br />
Alla luce delle considerazioni esposte, appare chiaro perché i sistemi qui proposti non<br />
vanno qualificati come Trivalenti, bensì Inter-bivalenti.<br />
Super-bivalenza<br />
Storicamente vi è stata anche un’altra modalità, molto controversa, per restare al di<br />
qua della bivalenza (cis-bivalenza), violando il Pnc e che potremmo definire della Superbivalenza<br />
: quella delle cosiddette Logiche Dialettiche o Paraconsistenti, per le quali una<br />
cosa può essere insieme vera e falsa ( Ŧ ) , e non falsa e non vera. Sempre partendo dalla<br />
citazione dello Stagirita si può sottolineare infatti che il Pnc vale perché “lo stesso attributo<br />
non può contemporaneamente appartenere e non appartenere allo stesso soggetto dallo<br />
stesso punto di vista”. Dunque poiché nel tempo, nella storia, quasi ogni cosa muta nei propri<br />
attributi, a volte stravolgendoli nei loro contrari, per comprendere la realtà è forse meglio un<br />
logica “eraclitea” che ammetta la dinamica “coincidentia oppositorum”.<br />
Le interpretazioni di fenomeni storici, biologici, antropologici ostinatamente refrattarie<br />
ai riduzionismi classici, possono essere sottratti ad irrazionalismi arbitrari attraverso logiche<br />
Inter-bivalenti. Esempi di campi predisposti ad una lettura in questa chiave possono essere<br />
dati dal lavoro di W.R. Bion e più in generale dal pensiero psicanalitico, con l’interazione fra<br />
livello conscio ed inconscio (v. applicazioni del quadrato logico da parte di F. Fornari<br />
nell’interpretazione dei sogni, ne “Il codice vivente”), dagli studi di G. Bateson e della scuola<br />
di psicoterapia sistemica di Palo Alto, (Watszlawik et al.), e da vaste aree dell’ intelligenza<br />
artificiale, nella simulazione dei processi della mente umana, primo fra tutti l’apprendimento..<br />
L’avverbio “contemporaneamente” sopra sottolineato può intendersi non solo in senso<br />
temporale, ma anche riferito alla pluralità dei livelli linguistico-logici delle proposizioni<br />
(sintattico-semantici).<br />
Esiste un piano, quello reale, dove accettiamo valga la bivalenza, e nel quale risulta<br />
tautologico, perciò vero, che “x è aut vero aut falso”; ma esiste un piano ideale (linguistico-<br />
gnoseologico) nel quale non sappiamo quale delle 2 sia l’opzione reale, e dobbiamo<br />
immaginarle entrambe, per esempio per prepararci ad ogni evenienza. Così per assumere<br />
44
comportamenti razionali dobbiamo paradossalmente adottare la contraddizione. Qui non<br />
dobbiamo prepararci ad un via di mezzo, che potrebbe risultare sbagliata in entrambi i casi,<br />
ma ad una soluzione che serva in entrambi i casi o, se ciò non fosse possibile, al più<br />
probabile dei due.<br />
Riteniamo che tali Logiche, che gli stessi sostenitori vogliono esplicitamente salvare da<br />
una totale inconsistenza, o siano in realtà Trivalenti o Polivalenti (la stessa fisica<br />
contemporanea, nelle teorie quantistica e probabilistica, è stata interpretata come<br />
presupponente logiche di questo tipo) o in qualche modo riconducibili all’Inter-bivalenza (o<br />
a possibili sviluppi Inter-trivalenti, Inter-quadrivalenti ecc..). Questa traduzione ci pare<br />
possibile, se ad essere tradotto in termini di valenza non sia il quantificatore, ma<br />
trasversalmente, lo stesso livello logico “0”, ossia con un salto “meta-logico”. Facciamo<br />
un esempio. Le autoambulanze salvano vite. Le autoambulanze inquinano mortalmente.<br />
Sono due verità piene, a livello 1, che riguardano tutte le ambulanze, non solo alcune. Se le<br />
poniamo sullo stesso piano o livello per la bivalenza otteniamo due affermazioni a livello 2<br />
contraddittorie: “è vero che le ambulanze salvano vite” ed “e’ vero che non salvano vite”. Ma<br />
se le consideriamo su due piani diversi (diciamo x, y) e riformuliamo il giudizio su tali piani<br />
trasversali (sovrapposizione, crossover) anziché sulle ambulanze, ossia “solo su qualche<br />
piano le ambulanze salvano vite”, e “solo su qualche piano le distruggono”, alla luce<br />
dell’Inter-bivalenza possiamo infine valutare: “è vero in parte che le ambulanze salvano vite”<br />
– seguono specificazioni.<br />
Un’analogia di riconducibilità di una Logica Non–Standard all’Inter-bivalenza o alla<br />
Super bivalenza, può essere fornito dalle Logiche Non-Monotoniche. In queste, a livello “0”,<br />
una “situazione qualificata a” si può rivelare, alla luce di sopraggiunte conoscenze,<br />
“situazione b” in parte identica in parte contraddittoria alla prima; vi è tuttavia una<br />
memorizzazione dell’intero processo (e dell’ordine di sequenza) che funge da analogon della<br />
classe-madre a livello “1”, interpretabile in termini interbivalenti (o inter-trivalenti ecc.).<br />
Una predicazione Esponibile Scolastica, l’ Eccettuale, potrebbe rivelare nella sua<br />
forma predicativa una struttura Non-monotona. Strutture del tipo “ Ogni b, eccetto c, è a ”,<br />
Xbca, sembrano fatte apposta per seminare zizzania nella bivalenza. Non è forse un<br />
paradosso logico il detto che “l’eccezione conferma la regola”? Non è forse<br />
autocontraddittorio affermare che “tutti gli uomini tranne gli italiani corrono”? Le pur acute<br />
analisi degli scolastici, scomponendo frasi come questa in più elementari frasi in<br />
congiunzione, come le seguenti:<br />
1. tutti gli uomini che non sono italiani corrono<br />
2. gli italiani sono uomini<br />
3. gli italiani non corrono<br />
si sono arrestate davanti a frasi come la 1. Hanno considerato in blocco come un soggetto<br />
“gli uomini che non sono italiani”, senza analizzarla ulteriormente, in ciò seguiti poi da altri<br />
logici (ad es. Lambert, Lewis Carroll, che tratteranno simili locuzioni come categoriche<br />
universali). L’espressione “TRANNE” svolge un ruolo analogo, nell’insiemistica moderna,<br />
all’operazione logica di differenza asimmetrica fra classi. Ma, in una logica strettamente<br />
bivalente, se all’insieme degli uomini togliamo gli italiani, il “tutti” andrebbe sostitituito con il<br />
“solo qualche”. Se non lo facciamo vuol dire che ci muoviamo in una logica a più livelli, e che<br />
le stesse operazioni logiche (la differenza), che “trasformano” un insieme in un altro,<br />
presuppongono, in questo “divenire” una equivalenza tra una situazione statica (il risultato<br />
dell’operazione) ed una trasformazione di due stati logicamente contrapposti mediati da una<br />
operazione/quantificazione.<br />
45
A voler essere esaustivi la prima valenza da passare in rassegna dovrebbe essere la<br />
monovalenza, nelle due versioni “tutto è vero” e “nulla è vero”, già scartate da Aristotele come<br />
inadeguate e prive di senso (poiché una affermazione presuppone un distinzione), da lui<br />
attribuite (libro IV della Metafisica) rispettivamente ad Eraclito (in quanto nel divenire i contrari<br />
sono entrambi veri) e ad Anassagora (perché vedeva in ogni realtà una indistinta<br />
mescolanza).<br />
Di quest’ultima concezione se ne può vedere una versione moderna nella Logica Simmetrica,<br />
descritta da Matte Blanco e altri, come la logica dell’inconscio e degli schizofrenici, che non<br />
distinguono la parte dal tutto, il soggetto dal predicato o dal complemento. La Logica<br />
Simmetrica diviene interessante allorché interagisce con la Logica Bivalente classica,<br />
generando la Bi-logica, la sola effettivamente capace, secondo gli autori, di comprendere i<br />
processi psichici ed intellettivi umani, e di spiegarne la ricchezza dei comportamenti, normali<br />
o patologici (vedi Oneroso Fiorangela, in bibliografia).<br />
“ .... è caratteristica del pensiero inconscio, o “primario”, l’incapacità del soggetto di<br />
distinguere tra “ alcuni “ e “tutti”, e l’incapacità di distinguere tra “non tutti” e “nessuno”.<br />
Sembra che queste distinzioni siano compiute da processi mentali superiori o più<br />
consci, i quali nell’individuo non psicotico servono a correggere il pensiero “bianco e nero”<br />
dei livelli inferiori.” ( Gregory Bateson, “ Verso un’ecologia della mente”, Milano, Adelphi,<br />
1976, pag.225).<br />
Da questo punto di vista le logiche dei sistemi Distintivi e dell’Inter-bivalenza –<br />
inclusiva della Super-bivalenza- si pongono come una nuova fonte di equilibrio o integrazione<br />
dei punti di vista conscio ed inconscio, emotivo e razionale, nelle psicoterapie o nella<br />
psicopedagogia. Possono cioè rappresentare quella Logica formalmente ineccepibile che è<br />
sempre mancata a teorie, come ad es. la Psicanalisi ma non solo, spesso bollate come<br />
antiscientifiche perché non ascrivibili a logiche bivalenti. (con questo non vogliamo<br />
assicurarne la scientificità, solo non la vogliamo respingere sulla semplice base della parziale<br />
violazione del Pnc). Un altro campo applicativo può essere la didattica della logica e del<br />
pensiero astratto in età evolutiva.<br />
A questo punto si impone un chiarimento per evitare una riduzione dell’ Inter-bivalenza al<br />
calcolo delle probabilità, equivoco spesso capitato alla fuzzy logic. Un esempio-metafora,<br />
ispirato ad uno simile in B. Kosko. chiarisce molto bene le differenze. Una flotta è sorpresa<br />
da un uragano. Perdiamo i contatti e non sappiamo fine abbia fatto. Nell’incertezza totale<br />
diciamo che le probabilità la considerano ½ affondata. Poi accertiamo cosa è successo e<br />
scopriamo che metà delle navi sono affondate e metà no. La flotta è ancora per ½ affondata,<br />
ma stavolta non c’è alcuna incertezza o probabilità. Ma supponiamo un’altra situazione:<br />
passato l’uragano, scopriamo che tutte le navi siano in una baia a basso fondale, incagliate a<br />
pelo dell’acqua, molto danneggiate, forse recuperabili. Si può dire che la flotta sia affondata?<br />
Si e no, dunque concludiamo che è ½ affondata. Abbiamo tre diverse descrizioni di stati di<br />
cose, non importa quale sia reale o creduto. Abbiamo usato un ente collettivo per sottolineare<br />
il gioco fra i livelli di elementi, insiemi, valori di verità, ma il discorso era lo stesso se usavamo<br />
una mela di cui ignorassimo se è marcia o no, o di cui sapessimo che è marcia in una sua<br />
precisa metà o che è uniformemente non troppo marcia. La prima descrizione è in termini<br />
probabilistici ossia: Super-bivalente come possibile sovrapposizione di stati contraddittori<br />
(insieme affondata & non-affondata), Poli-Inter-bivalente come attribuzione numerica di<br />
probabilità. La seconda è Inter-bivalente, numerica come grado della relazione fra l’insieme<br />
delle navi della flotta e quello delle navi affondate. La terza è di tipo fuzzy con valore<br />
numerico di appartenenza delle singole navi all’attributo di “affondata”. L’incertezza<br />
probabilistica scompare ad evento accaduto, la fuzzy no.<br />
46
La cosa interessante è che la stessa struttura o modello logico, con la stessa legge di<br />
obversione, calcolo inferenziale ecc. presiede a logiche diverse, con riferimenti semantici e<br />
disciplinari diversi ma, in determinate interpretazioni, scambiabili.<br />
A conclusione delle considerazioni sulla bivalenza ci pare interessante rilevare che<br />
l’abbandono della bivalenza classica, per dar luogo all’Inter-bivalenza, scaturisce non da<br />
necessità di tipo modale, temporale, metafisico o fisico/probabilistico (libero arbitrio,<br />
indeterminismo), come storicamente è accaduto per Aristotele (qualche breve accenno) o<br />
Lukasiewicz (logica trivalente) ed altri in seguito, ma da un modo pluriprospettico,<br />
stratificato di guardare le relazioni semantico-topologico fra insiemi, sottinsiemi ed<br />
elementi. Ciò non toglie che la “parzialità” di un Pnc indebolito, possa interpretare non solo la<br />
relazione tra due classi soggetto/predicato, ma anche insiemi contraddittori in qualche<br />
dimensione, prospettiva (spazio-temporale/topologica, categoriale, modale, metalinguistica,<br />
strutturale, ecc). giudizi dubbiosi problematici esitante incerto oscillante<br />
Logica Pre-Numerica (generalizzante)<br />
Possiamo a questo punto produrre un elenco completo delle espressioni della sillogistica triesagonale<br />
tradotte in termini Inter-bivalenti. Possiamo chiamare questa particolare Interbivalenza<br />
Pre-numerica, perchè limita la distinzione dei quantificatori/valori di verità<br />
particolari distintivi/interbivalenti o parziali alla generalità dei casi compresi nell’intervallo tra<br />
gli estremi Ogni;Nessuno/Vero;Falso, senza ulteriori specificazioni numeriche.<br />
Nell’elencazione che segue il verbo “risultare”, introdotto per motivi stilitico-grammaticali,<br />
svolge il medesimo ruolo di copula del verbo essere; inoltre il segno “=”, non deve intendersi<br />
come identità, bensì come “traducente/-ibile in”.<br />
Aba = V ba = risulta Vero che “b sia a” , Falso che “b sia a’ ”<br />
Eba = F ba = risulta Falso che “b sia a” , Vero che “b sia a’ ”<br />
Uba = M ba = risulta Moderato che “b sia a” = risulta Moderato che <br />
Iba= > M ba = risulta almeno Moderato che b sia a = ris. al più Moderato che b sia a’<br />
Oba= < M ba = risulta al più Moderato che b sia a = ris. almeno Moderato che b sia a’<br />
Yba= ≠ M ba = non risulta Moderato che b sia a = ris. o Vero o Falso che b sia a<br />
I 7 casi del polisillogismo saranno così interpretabili:<br />
1 bVa Abab’E è vero che b sia a, che lo sia b’ è falso T bab’ F<br />
2 b))a Abab’U è vero che b sia a, che lo sia b’ è moderato T bab’ Γ<br />
3 b((a Ubab'E è moderato che b sia a, che lo sia b’ è falso Γ bab' F<br />
4 bXXa Ubab’U è moderato che b sia a, che lo sia b’ è moderato Γ bab’ Γ<br />
5 b( )a Ubab'A è moderato che b sia a, che lo sia b’ è vero Γ bab' T<br />
6 b)(a Ebab'U è falso che b sia a, che lo sia b’ è moderato F bab' Γ<br />
7 b \ a Ebab'A è falso che b sia a, che lo sia b’ è vero F bab' T<br />
oppure in altra formulazione<br />
1 bVa Abab’E essere a è vero per i b, falso per i restanti T bab’ F<br />
2 b))a Abab’U essere a è vero per i b, moderato per i restantiT bab’ Γ<br />
3 b((a Ubab'E essere a è moderato per i b, falso per i restanti Γ bab' F<br />
47
4 bXXa Ubab’U essere a è moderato per i b, moderato per i restanti Γ bab’ Γ<br />
5 b( )a Ubab'A essere a è moderato per i b, vero per i restanti Γ bab' T<br />
6 b)(a Ebab'U essere a è falso per i b, moderato per i restanti F bab' Γ<br />
7 b \ a Ebab'A essere a è falso per i b, vero per i restanti F bab' T<br />
Restano valide tutte le leggi inferenziali visite con le distintive pre-numeriche, in particolare la<br />
legge dell’obversione che rende tipico il sistema tri-esagonale rispetto al quadrato <strong>oppositivo</strong>.<br />
Vediamo ora un sillogismo semplice ricondotto alla Inter-bivalenza<br />
(Solo qualche Barboncino è Ammalato * Ogni Barboncino è Cane) Solo qualche<br />
Cane è Ammalato. In Inter-bivalenza risulterebbe: che i "Barboncini siano Ammalati" è<br />
moderatamente vero * che "i Barboncini siano Cani" è [totalmente] vero che "i Cani siano<br />
Ammalati" è moderatamente vero (ossia moderatamente falso).<br />
Logiche Numeriche (puntualizzanti)<br />
Queste vanno oltre una distinzione generica dell’intermedio dai casi estremi, in quanto<br />
assegnano una precisa misura della verità di una predicazione di una classe-soggetto verso<br />
una classe-predicato (utilizzabile in vari modi: commensurativo assoluto, statistico-correlativo,<br />
relativo-probabilistico, frazionario-percentuale, ecc). Utilizzando il modello del <strong>quadrilatero</strong><br />
graduato o continuo possiamo far corrispondere un valore di verità ad un punto o ad un<br />
intervallo definito da punti sul segmento fra i quantificatori universali. Naturalmente la misura<br />
della verità, derivando la sua struttura dai quantificatori dei <strong>sillogismi</strong> numerici si presenta bidimensionale,<br />
per il doppio riferimento da un lato alla totalità numerico-esistenziale della<br />
classe soggetto, dall’altro alla quantità numerica di quest’ultima coinvolta nella predicazione;<br />
trattasi dunque di verità relativa ad una totalità, quella della classe-soggetto. In pratica la<br />
bidimensionalità viene però ripiegata, nel modello del <strong>quadrilatero</strong> graduato, sul segmento A-<br />
E, o Massimo-Zero, dove la totalità è indicata dal Massimo e il valore di verità da un punto<br />
intermedio. Anche qui, come nei sistemi seguenti, abbiamo il puntuale riscontro di tutte le<br />
leggi e regole deduttive valide per i sistemi sillogistici corrispondenti (numerici).<br />
La misura del valore di verità presuppone una unità di misura che rappresenta la verità<br />
piena. Può essere 1 ma può anche essere il numero totale degli elementi dell’universo<br />
considerato. La legge fondamentale delle verità numeriche, o misurabili, assegna ad ogni<br />
valore di verità intermedio la sua equivalenza al valore di falsità complementare rispetto<br />
all’assoluto o totale. Da porre in rilievo la diversità da interpretazioni probabilistiche.<br />
Logica Graduata o Naturale (discreta)<br />
I Sillogismi Numerici Naturali visti in precedenza vengono qui tradotti in una sorta di Poli-<br />
Inter- bivalenza. Utilizzando una metafora ottica, se la bivalenza utilizza il bianco ed il nero e<br />
l’ Inter-bivalenza aggiunge un tono intermedio alla predicazione (cioè al suo valore di verità),<br />
la Logica Graduata moltiplica, in base ad unità discrete, i toni intermedi, organizzati in<br />
scala, assicurando così una maggiore accuratezza al giudizio. E’ una prima<br />
approssimazione alle predicazioni sfumate, fra classi-termini dai confini netti (crisp, rough),<br />
per i quali cioè è ancora chiaramente definibile l’appartenenza o la non appartenenza alle<br />
classi di qualsiasi elemento.<br />
48
Logica Sfumata o Continua (razionale, reale)<br />
Con l’utilizzo di quantificatori numerici razionali o reali, viene raggiunta finalmente la<br />
gamma infinita di sfumature di grigio, senza soluzione di continuità: fuor di metafora, la logica<br />
fuzzy, (detta anche flou, sfuocata, morbida) sempre però riferita alla relazione o<br />
predicazione fra insiemi crisp. Cessa a questo punto una interpretazione ingenua degli<br />
insiemi come individui discreti e si apre a enti continui, ad esempio superfici, distanze, ecc.<br />
conservando però il riferimento al linguaggio naturale, garantito dalla struttura predicativa.<br />
Abbiamo così conseguito Sillogismi e Poli<strong>sillogismi</strong> Sfumati<br />
Da quanto riferito emerge l’inadeguatezza della denominazione “vaga” spesso attribuita<br />
alla logica fuzzy, capace al contrario della massima precisione. Interessante potrebbe<br />
risultare un confronto diretto tra questo linguaggio logico ed il calcolo infinitesimale o<br />
integrale.<br />
Sillogismi e Poli<strong>sillogismi</strong> <strong>sfumati</strong> tridimensionali<br />
Per completare l’ approdo alla logica fuzzy (secondo metafora, ottenere le sfumature, non<br />
solo di grigio, ma colorate), resta l’ultimo passo: attribuire non solo alla relazione, ma anche<br />
ad ogni elemento di una classe, la misura (o verità) della sua appartenza (membership)<br />
alla classe stessa (dunque trasformandola in classe fuzzy), esprimibile aggiungendo una<br />
terza dimensione al modello discreto del <strong>quadrilatero</strong> graduato, che diviene un “Cubo fuzzy<br />
delle opposizioni”(vedi di seguito fig. 11).<br />
Se possibile, occorrerà ora individuare le funzioni matematiche che descrivano le<br />
progressioni dei valori individuali ordinati (membership function).<br />
In base al cubo fuzzy, ed alle regole acquisite in ambito bivalente, sarà così possibile<br />
dar luogo a Sillogismi e Poli<strong>sillogismi</strong> Sfumati tridimensionali.<br />
Riprendendo la struttura delle Singolari, se volessimo introdurre una predicazione sfumata<br />
dovremmo far svolgere ad un nuovo quantificatore il ruolo mediano, e “sfondare” il piano<br />
bidimensionale generando un <strong>triangolo</strong> non sul piano ordinario, del quadrato, ma in una terza<br />
49
dimensione, in cui ad es. “Solo in parte Socrate è conosciuto”. Tale quantificatore<br />
“Esclusivamente Parziale” si contrapporrebbe ad un “Alternativo Totale” sia affermativo che<br />
negativo.<br />
Se possono esistere elementi che appartengono solo parzialmente ad un insieme b<br />
accanto ad altri che totalmente vi appartengano e ad altri ancora che totalmente non vi<br />
appartengano, potremmo stabilire le seguenti notazioni delle rispettive 3 classi di<br />
appartenenza: b ,b b’ ove la virgola anteposta ad un termine lo quantifica solo<br />
parzialmente . Ora se vogliamo creare predicazioni bivalenti con intermedio dobbiamo<br />
combinare tale terzetto con un altro terzetto, a ,a a’ come in tab 7 qui sotto .<br />
a ,a a’<br />
b b a b ,a b a’<br />
,b ,b a ,b ,a ,b a’<br />
b’ b’ a b’ ,a b’ a’<br />
Si noti che solo ai quattro angoli si trovano espressioni compatibili con la bivalenza, e<br />
raggruppabili 2 a 2 per i soliti assunti esistenziali. Altre riduzioni possono essere fatte, ma<br />
non approfondiamo il discorso in questa sede.<br />
Se vogliamo creare <strong>sillogismi</strong> occorrerà combinare uno dei terzetti visti con un ultimo<br />
terzetto c ,c c’ poi stabilire le regole di deduzione.<br />
Prendiamo ad es l’Univ dei cani, suddivisibile in barboncini, non barboncini, barboncini<br />
bastardini. Mettiamo le tre sezioni in relazione ai cani ammaestrati professionalmente (ad es.<br />
come nei circhi), non ammaestrati, ammaestrati più o meno bene (dai proprietari domestici).<br />
Pensiamo ora ad una tripartizione teorica per i barboncini in relazione<br />
all’ammaestramento: A) di alcuni (o in numero di...sul totale di...) possiamo dire che sono<br />
ammaestrati al 100% B) di alcuni ammaestrati allo 0% C) di alcuni ammaestrati<br />
parzialmente tra lo 0% e il 100% (o in maniera indefinita). Se non compaiono elementi C)<br />
siamo in presenza di verità assolute, se non compaiono A) e B) di verità intermedie, se poi<br />
compaiono A), B) e C) un sistema misto.<br />
Già nel formulare una predicazione di tal fatta possiamo configurare una ipotesi<br />
scientifica, soggetta a verifica o falsificazione, ad es: I barboncini sono più adatti degli altri<br />
cani ad essere ammaestrati, specie se un po’ bastardini. Mancano solo i numeri, o le curve<br />
funzionali.<br />
Possiamo però imboccare un sentiero alternativo, e fare qualche passo indietro: mantenere<br />
l’appartenenza fuzzy degli elementi alla classe, ma stabilire relazioni crisp fra le classi stesse;<br />
penso che qualcosa del genere si raggiunga quando B. Kosko, o altri, parlano di “defuzzificazione”<br />
di insiemi o funzioni fuzzy.<br />
Si possono analizzare ovviamente tutte le possibili combinazioni di classi e predicazioni di<br />
tipo crisp, graduato, sfumato ecc. Il campo è talmente vasto che converrà concentrarsi sulle<br />
combinazioni che paiono più interessanti sul piano applicativo.<br />
Resta ovviamente necessario selezionare, all’interno del bagaglio concettuale proprio<br />
della logica fuzzy, le espressioni, i problemi, le formulazioni che possano attagliarsi al<br />
50
epertorio delle sillogistiche qui illustrate, ma anche verificare quest’ ultime quali estensioni<br />
formali, semantiche e pragmatiche possano indurre nel campo della meno classica, si dice,<br />
delle logiche.<br />
Prospettive applicative<br />
Una sillogistica “sfumata” potrebbe rivelarsi capace di concettualizzare adeguatamente<br />
situazioni ambivalenti ad es indagate dai cosiddetti “pattern recognitions” (vedi fig 12 qui<br />
sotto), là dove modelli bivalenti risultano poco adeguati o dispendiosi. Nell’esempio, di ogni<br />
segno-lettera può essere predicato l’essere “H” secondo un certo grado di verità,<br />
esattamente inverso al grado di verità del suo essere “A”. Nelle situazioni estreme vale una<br />
interpretazione inter-bivalente di una sillogistica conforme a quella aristotelica, in quelle<br />
intermedie vale in generale il sillogismo esagonale, e per ogni singola lettera un sillogismo<br />
numerico.<br />
L’esempio ci è stato suggerito dal prof. Antonio Donnarumma (Università di Salerno e<br />
Napoli). Questi, dalla fine degli anni ’60, dapprima a livello pionieristico poi via via con<br />
maggiori realizzazioni, sviluppò le potenzialità applicative nella progettazione ingegneristica<br />
(specialmente Disegno tecnico di macchine, Geometria proiettiva) della Fuzzy Logic e di altre<br />
Logiche non-standard. Precedette quindi di circa un decennio quella che è stata definita una<br />
rivoluzione culturale in campo tecnologico e industriale. Infatti, dopo qualche anno, lo<br />
sviluppo di tecnologie a logica fuzzy (in particolare negli elettrodomestici, ma non solo) vide<br />
su scala mondiale gli USA e soprattutto il Giappone invadere i mercati ed estenderne il<br />
successo applicativo alle tecnologie più disparate, soprattutto nei sistemi di regolazione e<br />
controllo.<br />
Oggi restano comunque vaste aree in cui le logiche applicate sono quelle classiche, ed<br />
altre in cui le logiche, di qualsiasi tipo, stentano a trovare una traducibilità nei termini del<br />
linguaggio naturale (es in campo psicolinguistico, socioeconomico, biomedico ecc…)<br />
Riteniamo che lo sviluppo di una sintassi comune fra la Fuzzy Logic e le Logiche<br />
Distintive potrebbe ridurre un divario teorico culturale e disciplinare importante, e ampliare le<br />
applicazioni tecnologiche e scientifiche di entrambi i filoni.<br />
Pare teoricamente legittimo cercare, per sistemi formali o sintattici, quali le sillogistiche<br />
“sfumate”, delle interpretazioni semantiche nelle applicazioni tecnologiche dell’attualità.<br />
Per analogia e ad integrazione delle fuzzy-tecnologie, si ritiene promettente sul piano<br />
pragmatico proporre l’applicazione di LI LPI e D, nella progettazione, specie interdisciplinare<br />
(pluralità di codici), ad es. in linguistica (traduttori), biblioteconomia (indicizzazioni),<br />
informatica (data base, motori di ricerca, pattern recognition).<br />
51
APPENDICE STORICA: SULLA QUANTIFICAZIONE DEL PREDICATO<br />
Il modello teorico: il Polisillogismo Distintivo con Inversa D10<br />
Consideriamo una qualsiasi categorica primitiva caratterizzata da una coppia ordinata<br />
di classi b,a. Potremmo chiederci quali categoriche primitive sono compatibili con essa, tra<br />
quelle caratterizzate dalla medesima coppia in ordine inverso, a,b e verificare quali<br />
congiunzioni primitive sono possibili tra 2 categoriche ciascuna con l’ordine invertito rispetto<br />
all’altra.<br />
La tabella A. illustra le risposte a tale quesito; in essa le celle vuote esprimono<br />
l’incompatibilità delle coordinate.<br />
Tabella A<br />
Aba Uba Eba<br />
Aab Aba*Aab Uba*Aab<br />
Uab Aba*Uab Uba*Uab<br />
Eab Eba*Eab<br />
In tabella B è evidenziato come alle 5 congiunzioni binarie possibili corrispondano<br />
biunivocamente le 5 relazioni di Gergonne (1816) che possono sussistere tra due insiemi.<br />
Tabella B<br />
Rappresentazioni<br />
insiemistiche<br />
Congiunzione<br />
Forma<br />
Gergonne di categoriche<br />
sintetica<br />
inverse<br />
O Caso 1 a I b Aba*Aab AbaA AbAa<br />
(°) Caso 2 a ) b Aba*Uab AbaU AbUa<br />
(o) Caso 3 a ( b Uba*Aab UbaA UbAa<br />
( () ) Casi 4 o 5 () a X b Uba*Uab UbaU UbUa<br />
O O Casi 6 o 7<br />
I a H b Eba*Eab EbaE EbEa<br />
Quantificazione<br />
del predicato<br />
A fianco di ogni espressione di congiunzione tra due categoriche, abbiamo introdotto<br />
una nuova notazione, logicamente equivalente alla precedente, ma più sintetica: al posto<br />
della seconda categorica e del segno di congiunzione con la prima, abbiamo posto il solo<br />
quantificatore della seconda. L’assenza di virgole in coda alla formula marca la differenza<br />
con le predicazioni con complementare del sistema D7. La formula verrà interpretata e letta<br />
normalmente fino al secondo termine, poi si intenderà la congiunzione come sott’intesa;<br />
quindi si leggerà, procedendo da destra a sinistra, la seconda categorica che, nell’ordine,<br />
presenterà: il secondo quantificatore, il secondo termine (soggetto della seconda categorica),<br />
primo termine (predicato della seconda categorica); infine ci si arresterà prima del<br />
quantificatore di sinistra. I termini nella lettura da dx a sin. saranno dunque invertiti rispetto<br />
alla prima categorica. Ad es. AbaU sarà letto: “ogni b è a e solo qualche a è b”.<br />
53
Il codice di traduzione tra espressioni con inversa e relazioni di Gergonne è il seguente<br />
(i puntini stanno per le classi) :<br />
A..A = . I .<br />
A..U = . ( .<br />
U..A = .) .<br />
U..U = .X.<br />
E..E = .H.<br />
(Il caso dell’incrocio, bXa, può avere anche la seguente interpretazione: solo alcuni b, fra gli altri ( b’ ),<br />
sono a.)<br />
Come ampiamente dimostrato (fra gli altri da Kneale, O.Bird, Thomas I.,citati) il sistema di<br />
Gergonne a 5 relazioni (per brevità lo chiameremo G5) è una coerente e valida sillogistica,<br />
anzi per Kneale una “sottostruttura della o per la sillogistica”.<br />
Considerando due classi, le relazioni estensionali possibili sono le 5 di Gergonne; se<br />
però vogliamo involgere anche le loro classi complementari, dobbiamo riferirci ai famosi 7<br />
casi di fig.1b.<br />
Estendendo dunque la congiunzione di categoriche, con inverse compatibili, ai termini<br />
negativi, la casistica darà luogo a 10 espressioni, irriducibili per significato le une alle altre,<br />
più altre 6, equivalenti all’una o all’altra delle 10, nonché ad altre 4, formate da Universali<br />
negative, rese però superflue dall’uso dei termini negativi, poiché riconducibili a disgiunzioni<br />
del tipo Aba’A aut Aba’U . In tabella C diamo l’elenco dei 10 casi, con accanto le<br />
interpretazioni insiemistiche, le forme equivalenti, quindi le espressioni subordinate, ossia<br />
implicate.<br />
Tabella C<br />
Casi<br />
Quantificazione della inversa<br />
Fig1b<br />
1<br />
2<br />
3<br />
AbaA Ab'a'A --><br />
--><br />
AbaU Ub'a'A --><br />
--><br />
UbaA Ab'a'U --><br />
--><br />
Citazione di 1 sola<br />
categorica Rappresentazioni insiemistiche<br />
Eba'E<br />
Eb'aE Aba e viceversa O<br />
Ub'aU<br />
Eba'E Aba ma non viceversa (°)<br />
Uba'U<br />
Eb'aE Uba ma non viceversa (o)<br />
4+2 Ub'aU Ub'a e viceversa (°) ( () )<br />
4+3 Uba'U Uba' e viceversa (o) ( () )<br />
4+5 UbaU Uba e viceversa () ( () )<br />
4+6 Ub'a'U Ub'a' e viceversa o o ( () )<br />
5<br />
6<br />
7<br />
Uba'A Ab'aU --><br />
--><br />
Aba'U Ub'aA --><br />
--><br />
Aba'A Ab'aA --><br />
--><br />
UbaU<br />
Eb'a'E Uba' ma non viceversa ()<br />
Ub'a'U<br />
EbaE Aba' ma non viceversa o o<br />
EbaE<br />
Eb'a'E Aba' e viceversa I<br />
54
Può essere fornita una versione con 1 sola predicazione, seguita dalle espressioni “e<br />
viceversa” o “ma non viceversa”. Ad esser precisi la “non viceversa” di una Universale<br />
affermativa o negativa è una Particolare, rispettivamente O o I, non una U, come prospettato<br />
finora; tuttavia come sappiamo O ed I sono disgiunzioni di una U ed una Universale; in<br />
questo caso l’Universale viene neutralizzata (incompatibile) dalla predicazione iniziale, ed il<br />
risultato complessivo è equivalente, ad es. AbaU AbaO; analogamente UbaA <br />
UbaY.<br />
Abbiamo così generato una estensione del sistema di Gergonne ai termini negativi. In<br />
questo sistema che potremmo chiamare D10, diviene superflua la relazione “H”.<br />
Come possiamo vedere le 4 espressioni con forma U..U hanno sempre 2 possibili<br />
interpretazioni insiemistiche, e per questo le definiamo “ambigue”.<br />
Le altre 6 si riferiscono ciascuna ad una sola e precisa situazione topologica,<br />
biunivocamente, pertanto le definiamo “chiare”.<br />
Le regole mnemoniche di visualizzazione sono analoghe a quelle di D7, tranne che<br />
per le ambigue, riguardo parte della regola 1) : ogni termine, col suo segno, testimonia che<br />
l’intersezione con il termine vicino non è vuota, ma non si può affermare o negare lo stesso<br />
per i medesimi termini col segno invertito, proprio per la natura ambigua della predicazione.<br />
Le ambigue sono compatibili tra loro, anzi due qualsiasi di esse congiunte, implicano<br />
anche le altre due.<br />
Le chiare sono reciprocamente esclusive.<br />
La regola di inferenza immediata stabilisce che si possono i invertire i segni di<br />
entrambi i termini se e solo se si scambiano i quantificatori: tale regola non vale però per le<br />
ambigue.<br />
Le ambigue 4+2, 4+3, 4+5, 4+6 sono rispettivamente compatibili con la 2, la 3, la 5, la<br />
6.<br />
Per ricavare, da una chiara della forma AU o UA, la ambigua ad essa conseguente,<br />
basta sostituire nell’espressione il quantificatore universale con il particolare distintivo, ed<br />
invertire il segno del termine ad esso riferito. Ad. es. AbaU Ub’aU oppure Uba’A UbaU.<br />
Col procedimento inverso da una ambigua si può risalire alla chiara con essa compatibile.<br />
Rispetto alle 4 categoriche tradizionali, a ciascuna delle quali potevano riferirsi o 2 o 5<br />
interpretazioni insiemistiche, poi ridotte a 2 o 3 dal sillogismo triangolare, possiamo qui<br />
registrare un deciso passo avanti nell’avvicinare il linguaggio sillogistico alle interpretazioni<br />
topologiche intuitive. Vogliamo però anche evidenziare come nessuna espressione di<br />
questo sistema riesca a rappresentare biunivocamente il caso 4 di cui alla iniziale figura<br />
1b.<br />
Congiungendo come premesse 2 espressioni di tale sistema aventi fra loro un solo<br />
termine comune, e verificando nella conclusione quali relazioni possono essere dedotte fra i<br />
restanti 2 termini, avremo realizzato un sillogismo complesso.<br />
In tale sistema ogni premessa è formata da 2 categoriche triangolari congiunte,<br />
pertanto il sillogismo che ne scaturisce in realtà sottintende, come premesse congiunte, 4<br />
categoriche triangolari; quindi trattasi di un polisillogismo, basato sulla quantificazione<br />
della inversa, che prevede 10 espressioni base, che denominiamo Pi10. Le conclusioni<br />
valide sono perciò deducibili considerando “atomicamente” i <strong>sillogismi</strong> triangolari, ed<br />
eventualmente esagonali, sottesi dalle premesse, oppure, metateoreticamente, esaminando i<br />
diagrammi di Venn. Quanto alle regole di deduzione pratica si procederà come segue.<br />
Preliminarmente dobbiamo raggiungere la forma standard come nel Polisillogismo<br />
Distintivo coi Complementari. Quindi si dovranno seguire le seguenti regole deduttive:<br />
E) Come nel Polisillogismo Distintivo con Complementari.<br />
55
F) Idem.<br />
G) Quando una chiara di forma A..U ovvero U..A si combina con una ambigua,<br />
dovremo distinguerere 2 casi: se la A compare a fianco del medio l’ambigua dovrà<br />
essere trattata alla stregua di una bi-predicazione del tipo U..U,, di PRC7<br />
(conclusione in U), altrimenti sarà equiparata alla chiara con essa compatibile<br />
(abbiamo visto come ottenerla: avremo solo cura di mantenere i medi con lo stesso<br />
segno) (conclusione in I). In entrambi i casi procederemo con le regole di PRC7.<br />
H) Due premesse ambigue non danno luogo ad alcuna conclusione.<br />
In tabella D diamo il quadro completo delle conclusioni, modi subordinati esclusi.<br />
tab.D 1 2 3 4+2 4+3 4+5 4+6 5 6 7<br />
AbaA AbaU UbaA Ub'aU Uba'U UbaU Ub'a'U Uba'A Aba'U Aba'A<br />
1 AacA AbcA AbcU UbcA Ub'cU Ubc'U UbcU Ub'c'U Ubc'A Abc'U Abc'A<br />
2 AacU AbcU AbcU Ibc Ucb Ibc Ucb Ib'c Ubc'A Ib'c Ubc'A<br />
3 UacA UbcA Ib'c' UbcA Ib'c' Uc'b Ibc' Uc'b Ibc' Abc'U Abc'U<br />
4+2 Ua'cU Ub'cU Ub'c Ibc Ubc Ib'c UbcU<br />
4+3 Uac'U Ubc'U Ib'c' Ubc Ibc' Ub'c Ub'c'U<br />
4+5 UacU UbcU Ib'c Ubc Ibc Ub'c Ub'cU<br />
4+6 Ua'c'U Ub'c'U Ub'c Ibc' Ubc Ib'c' Ubc'U<br />
5 Uac'A Ubc'A Ib'c Ubc'A Ib'c Ucb Ibc Ucb Ibc AbcU AbcU<br />
6 Aac'U Abc'U Abc'U Ibc' Uc'b Ibc' Uc'b Ib'c' UbcA Ib'c' UbcA<br />
7 Aac'A Abc'A Abc'U Ubc'A UbcU Ub'c'U Ub'cU Ubc'U UbcA AbcU AbcA<br />
Di questo sistema può essere fornita una versione anche più sciolta verbalmente, come<br />
indicato in tabella 7, ricorrendo alla congiunzione della prima categorica con, anziché la<br />
seconda, espressioni come “e viceversa” o “ma non viceversa”, tenendo presente che tali<br />
espressioni fanno sempre riferimento ai quantificatori A od U, presenti o assenti nella prima<br />
premessa.<br />
56
Dal D10 alla “Quantificazione del Predicato”, e dal modello alla storia<br />
Del sistema testé presentato può essere elaborata una ulteriore interpretazione.<br />
Operando inizialmente una pura modifica stilistica delle espressioni con inversa,<br />
potremmo anteporre al secondo termine il quantificatore finale; se però a questo punto<br />
leggiamo solamente da sinistra a destra l’intera sequenza, otteniamo una vera e propria<br />
“quantificazione del predicato”. Ad esempio AbaU, trasformato in AbUa può esser letto<br />
come “Tutti i b sono solo alcuni a”. Se poi vogliamo applicare una simmetrica lettura da<br />
destra a sinistra, a questo punto superflua, dovremo leggere “Solo alcuni a sono tutti i b”,<br />
tenendo legato ogni quantificatore al suo termine.<br />
Questa modifica stilistica risulta linguisticamente più “artificiale” della precedente, ma<br />
anche più sintetica, come pure abbastanza intuitiva, visualizzabile.<br />
Vi abbiamo ricorso per mostrare che può esistere una interpretazione chiara e<br />
funzionante dei sistemi sette-ottocenteschi, noti per aver tentato di innovare la sillogistica<br />
con la “quantificazione del predicato”, anche se non hanno raggiunto l’obbiettivo storico<br />
compiutamente. L’oscurità di cui sono stati accusati di quei sistemi, diventano più intelleggibili<br />
se le espressioni “barbare” su cui si basano sono interpretate come equivalenti a<br />
congiunzioni binarie fra una qualsiasi categorica ed una seconda coi termini invertiti rispetto<br />
alla prima.<br />
Riteniamo che il D10, basato sulla sillogistica triangolare ed equivalente al sistema G-<br />
10, possa essere un modello paradigmatico per quasi tutti quei sistemi, utile per chiarirne la<br />
fondatezza, gli errori, i limiti strutturali, le potenzialità di sviluppo.<br />
Lo scopo di questa parte del lavoro non è perciò uno studio storico su questi sistemi,<br />
bensì quello di fornire alcune categorie di confronto. L’applicazione del modello ai vari<br />
sistemi storici non ha alcuna pretesa storico-scientifica, non basandosi sull’attento studio<br />
delle fonti, bensì sulla manualistica diffusa e tradotta prevantemente in italiano; vuole essere<br />
solo uno strumento, il cui uso corretto è rimesso agli storici della scienza: la nostra<br />
indagine di ispirazione storica ha un semplice valore esemplicativo.<br />
Da tale confronto saranno esclusi i tentativi esperiti nell’ambito di sillogistiche<br />
intensionali, anche per la comprovata inadeguatezza di queste ultime.<br />
Ad esempio J. Lambert ebbe l’idea di una quantificazione del predicato, ma la scarsa<br />
chiarezza del concetto dal punto di vista della comprensione (o intensione), non ne permise<br />
lo sviluppo in un sistema di calcolo efficace (v. Blanchè, pag.295).<br />
Rimarremo pertanto nella prospettiva di sillogistiche con riferimenti estensionali.<br />
I sistemi con le caratteristiche in questione possono idealmente essere suddivisi in<br />
due gruppi: quelli che, oltre alle universali, hanno utilizzato la particolare “distintiva”, e quelli<br />
che hanno utilizzato esclusivamente i quantificatori tradizionali. In un solo caso avremo un<br />
sistema “ibrido” fra i due gruppi.<br />
Per non disperderci nelle interpretazioni dei vari sistemi abbiamo messo in<br />
corrispondenza una a una le espressioni base di D10 con le omologhe dei vari sistemi,<br />
(v allegata tabella E) dando per concessa una interpretazione distintiva del quantificatore<br />
particolare di quei sistemi medesimi. In seguito abbiamo considerato anche i sistemi con<br />
particolare tradizionale v. allegata tabella F<br />
Nella tabella abbiamo omesso espressioni, presenti nei sistemi considerati, o<br />
palesemente erronee, o tali da non rappresentare dei veri casi-base, ma risultanti dalla<br />
congiunzione di alcuni di questi ultimi. Sono perlopiù forme negative, dagli stessi autori<br />
epurate dai loro sistemi in fasi avanzate.<br />
57
Ci siamo concessi la libertà di integrare, là dove non viene tradito lo spirito del<br />
sistema in esame, eventuali carenze di espressione, specie nell’uso dei termini negativi, con<br />
“restauri” o completamenti, miranti non a falsificazioni storiche, quanto a sottolineare la<br />
strutturale, organica convergenza di alcune architetture logiche succedutesi nel tempo.<br />
In tabella le espressioni in grassetto sono quelle degli autori, in normale abbiamo<br />
indicato le espressioni che, pur da noi non riscontrate nell’autore, ci paiono un plausibile<br />
completamento del sistema, mentre abbiamo posto in corsivo quelle più improbabili dal punto<br />
di vista storico. In rosso abbiamo evidenziato la nostra aggiunta di espressioni con termini al<br />
negativo.<br />
Va comunque precisato che la nostra interpretazione della quantificazione del<br />
predicato, come congiunzione di due categoriche, di cui la seconda coi termini della prima<br />
invertiti nell’ordine, è appunto una interpretazione, non l’unica possibile. Ci sembra anzi che<br />
storicamente sia stato perseguito dagli stessi autori un diverso approccio, che anziché<br />
poggiarsi sulla simmetria delle due categoriche, ha puntato sulla simmetria dei termini,<br />
spesso sostituendo il verbo predicativo con l’equivalenza matematica. Questo approccio<br />
riteniamo sia il responsabile ultimo delle oscurità, contraddizioni e sterilità dei risultati dei<br />
sistemi considerati.<br />
Se ci si allontana dal fermo riferimento alla categorica distintiva, il concetto di “Parte”<br />
rischia di naufragare in un mare di ambiguità. Mancando infatti dell’esclusivo “Solo”, torna ad<br />
essere ambiguo come il “qualche” della logica tradizionale, ed applicandolo anche al<br />
predicato, la confusione non può che aumentare.<br />
Insomma, col “Parte” non esclusivo è come se dicessi: “sto parlando solo di questa<br />
parte e di essa dico…”; con “Soltanto alcuni” è come se dicessi “Sto per dirvi qualcosa che<br />
vale per una sola parte di…, ma per la parte residua vale il contrario!”.<br />
Purtroppo non sempre questa distinzione risulta chiara agli autori che tratteremo.<br />
I sistemi che andiamo esaminando, infatti, paiono procedere, in generale, nel modo<br />
seguente.<br />
Si considera dapprima una quantità del primo termine, determinata dal quantificatore,<br />
la si isola, e la si confronta estensionalmente con la quantità associata al secondo termine,:<br />
se vi è perfetta sovrapposizione (biunivoca) si pone l’equivalenza, altrimenti la si nega. Per<br />
illustrare la differenza facciamo due esempi. Sia UbaU b=benestanti a=artisti Nella nostra<br />
interpretazione significa che vi sono benestanti artisti, benestanti non-artisti, non-benestanti<br />
artisti, e resta indefinito se vi siano non-benestanti non-artisti. Nell’interpretazione tradizionale<br />
prendiamo una sola parte di benestanti, una sola parte di artisti, constatiamo che coincidono<br />
e ci dobbiamo fermare lì, per evitare inferenze indebite. Infatti in questa interpretazione,<br />
UbaU potrebbe essere valida anche in una situazione, non compatibile nella precedente<br />
interpretazione, in cui la totalità dei benestanti coincidesse con la totalità degli artisti AbaA :<br />
ad esempio considerando solo alcuni benestanti (quelli nati i giorni dispari) e solo alcuni<br />
artisti (pure nati i giorni dispari). Allo stesso modo potrebbe non esser valida se cambiamo un<br />
sottinsieme (i benestanti nati i giorni pari confrontati con gli artisti nati i giorni dispari).<br />
Le nefande conseguenze della confusione tra particolari distintive ed affermative risultano<br />
anche più evidenti in considerazione delle leggi di inferenza immediata che coinvolgono i<br />
concetti negativi o complementari, e le negazioni ai diversi livelli del costrutto categorico.<br />
Come abbiamo visto ogni categorica equivale alla propria obversione se se ne nega<br />
al contempo la copula: Aba= ogni b non è non-a, Eba= nessun b non è non-a, Uba= solo<br />
qualche b non è non-a, Yba= ogni, o nessun b non è non-a, Iba= almeno un b non è non-a,<br />
Oba= almeno un b è non-a. Tuttavia per legge di inferenza immediata alla Particolare<br />
distintiva l’obversione si applica, anche senza negare la copula.<br />
58
La obversione della particolare distintiva genera una particolare distintiva<br />
equivalente: con essa si può tanto affermare quanto negare il predicato, ovvero si può<br />
affermare o negare indifferentemente la copula: Uba = solo qualche b è non-a. Uba=Ub<br />
non è a=Uba’=Ub non è a’. Questo non accade per nessuna categorica tradizionale, anzi<br />
apparentemente qui se ne violano gli schemi. Si possono quindi capire le difficoltà incontrate<br />
dagli autori considerati, allorquando dovevano districarsi tra le forme negative ai vari livelli del<br />
costrutto predicativo, imbattendosi nelle particolari distintive. Ricordiamo la differenza tra la<br />
negazione della sola copula di una Particolare distintiva, negazione che produce la<br />
obversione della categorica originaria, che è doppiamente implicata da quella (solo qualche<br />
b è a solo qualche b non è a solo qualche b è non-a solo qualche b non è<br />
non-a ) e la negazione di una intera Particolare distintiva che, per l’assioma di base, equivale<br />
all’ Universale distintiva (“o tutti o nessun b è a”).<br />
Sul piano delle scienze cognitive è stato accertato sperimentalmente che la frequenza<br />
degli errori logico-deduttivi aumenta significativamente quando intervengono espressioni<br />
negative. (vedi Wason, P.C. e Johnson-Laird, P.N. )<br />
Prima di esaminare i due gruppi di sistemi, ci sembra comunque doveroso chiarire che<br />
le elaborazioni sette ed ottocentesche ebbero una lunga e complessa incubazione storica. La<br />
quantificazione del predicato, intesa da un lato come approfondimento della struttura<br />
linguistica della predicazione, dall’altro come studio dei correlati estensionali – semantici delle<br />
medesime espressioni linguistiche, in vista di espansioni della sillogistica, muoveva da<br />
concetti presentatisi fin dagli albori della logica, e nel suo corso intrecciati a tematiche oggi<br />
inquadrabili come poliargomentalità, polivalenza, insiemistica.<br />
Prima di Aristotele, il procedimento della Dieresi di Platone (considerato il primo<br />
tentativo, inconcludente, di sistema deduttivo), nella ricerca socratica delle definizioni,<br />
stabiliva delle divisioni, in genere dicotomie, esaustive all’interno di una classe. Analogie con<br />
questa impostazione possono echeggiare in costruzioni concettuali posteriori come l’Albero di<br />
Porfirio.<br />
Già a Boezio erano note le 5 relazioni estensionali poi rese in diagrammi da Liebnitz ,<br />
Eulero e Gergonne (v. Kneale a proposito di Gergonne e Hamilton).<br />
Una predicazione Esponibile Scolastica, l’ Eccettuale, ha una forma predicativa<br />
poliargomentale che, in ultima analisi, è alla base della sillogistica distintiva. Strutture del<br />
tipo “Ogni b, eccetto c, è a”, non possono immediatamente essere tradotte da relazioni di<br />
tipo biargomentale, come le predicazioni distintive semplici, tuttavia le suggeriscono, come<br />
forme semplificate: “Ogni b, eccetto alcuni, è a”: è una particolare distintiva. Tutto ciò<br />
accadde prima che, negli studi del Lambert (op.cit., par.235 ssgg) espressioni come “tutti i b<br />
che sono c non sono a”, uscendo dalle relazioni diadiche della predicazione classica, si<br />
avvicinassero ai funtori booleani. Anche la predicazione Esponibile nota come<br />
“Reduplicativa”, rappresenta una struttura distintiva che spacca l’unità del soggetto. Nell’<br />
esempio :” I sovrani, in quanto Sovrani, sono obbediti” da una certa angolazione vale quello<br />
che non vale da un’altra<br />
Quando parliamo di logica tradizionale ci riferiamo chiaramente a quella del mondo<br />
occidentale. Altre tradizioni logiche, come quella dell’ India, ad un certo momento del loro<br />
sviluppo (secolo XIV) concepirono le tre predicazioni di base, fra cui quella con il<br />
quantificatore particolare distintivo (ovviamente con altra denominazione: v. Bochenski cit.).<br />
Probabilmente esiste un nesso culturale profondo che lega questa circostanza con taluni<br />
aspetti della filosofia buddista, gli stessi che hanno indotto il logico Bart Kosko a contrapporre<br />
la logica binaria di Aristotele a quella “fuzzy” di Budda (nella sua interpretazione chiaramente<br />
riduttiva e simbolica del Budda). Si è visto come <strong>triangolo</strong> <strong>oppositivo</strong> e logica inter-bivalente si<br />
59
possano evocare vicendevolmente. A proposito di polivalenza e terzo escluso, I. Husic e<br />
Bochenski hanno posto in rilievo come lo stesso Aristotele si rese conto dell’esistenza di<br />
almeno un sillogismo corretto che violava il principio di non contraddizione, e che oltretutto il<br />
principio stesso non poteva esser posto tra gli assiomi primitivi del suo sistema (v.Bochenski<br />
I° vol cit. 12.26, pag.88).<br />
Chi riuscì effettivamente a concepire una sillogistica (da lui chiamata “Logica delle Nozioni”)<br />
basata effettivamente sul quantificatore “solo qualche” fu il logico russo N. A. Vasiliev, nel<br />
1910. Accanto alle proposizioni che lui chiamava Generali (cioè le Universali) poneva le<br />
Accidentali, ed i Giudizi potevano essere non solo Affermativi o Negativi, ma anche<br />
Indifferenti. La sua Logica corrispondeva grosso modo alla nostra “triangolare”, ma<br />
mettendo in discussione terzo escluso e principio di non contraddizione avviarono<br />
interpretazioni e gli sviluppi paraconsistenti o polivalenti, e non ne derivò la quantificazione<br />
del predicato, neanche nella interpretazione polisillogistica qui illustrata. I suoi contemporanei<br />
erano ormai lontani dalla sillogistica, e le sue idee non incisero nella storia della logica del<br />
‘900. Così la quantificazione multipla, includente anche quella del predicato, su tutt’altre basi,<br />
divenne prerogativa della filone dominante, quello logico-matematico. Recentemente Avi<br />
Sion ha riconosciuto validità alla quantificazione del predicato, in linea di principio (ma del<br />
resto lo fa anche Martin Gardner, salvo poi stroncarne le realizzazioni storiche), ma ritiene<br />
superfluo ricorrervi; peraltro è forse tra i pochi ad aver riconosciuto la validità al modo UAU in<br />
terza figura, da lui visto in modo composto, utilizzando IO laddove noi usiamo U (e AE al<br />
posto di Y) e chiamando Giudizi contingenti i nostri Particolari Distintivi.<br />
Detto questo passiamo ad esaminare i due gruppi di cui si parlava ad inizio paragrafo.<br />
60
Sistemi isomorfi a D10: Lambert, Gergonne, Stanhope, Holland, Bentham, Hamilton<br />
La prima cosa che colpisce dando uno sguardo d’insieme a tali sistemi è il diverso numero<br />
delle categoriche base. Il sistema paradigma da noi scelto ne ha 10. In Holland sono 9, in<br />
Bentham 8, come pure in Hamilton, che però poi le riduce a 5 (tante quanto i casi di<br />
Gergonne), in Stanhope 4. e, se vogliamo includere anche l’abbozzo di sistema implicito in<br />
Lambert, le riduciamo addirittura a 3. Poi vengono le diverse simbologie, e le loro<br />
interpretazioni. Come estrarre unità da tante varianti? Ecco, caso per caso, la spiegazione di<br />
come siamo approdati alla tabella, che rappresenta la sintesi del lavoro comparativo svolto.<br />
J. H. Lambert (1764) tra i primi esplicitò l’idea che ><br />
[“Neues Organon” (Dianoiologia, terza sezione, par.143-144, e quarta sezione,<br />
par.235), anno 1764 – trad. Lambert, “Nuovo Organo”, Bari, Laterza, 1977, pp.76-77 e<br />
p.117].<br />
Lambert non sviluppò un calcolo che utilizzasse questo nuovo quantificatore.<br />
Di Gergonne (1816) abbiamo già detto quando abbiamo presentato G10. Di Gergonne va<br />
aggiunto che il suo sistema –perfettamente funzionante- non è definibile formalmente come<br />
una sillogistica con quantificazione del predicato, anche se in effetti perfettamente traducibile<br />
in essa; tra l’altro tale sistema risulta privo di termini negativi, seppure quest’ultimi fossero già<br />
disponibili, senza scomodare Aristotele, almeno fin dai tempi della Scolastica (terminus<br />
infinitus ossia negativo) o grazie a simbolismi come, ad esempio, quello ideato da von<br />
Segner (1740) che anteponeva un segno “ – “ al termine da negare.<br />
Stanhope (1816, pubblicato 1879) fornisce una interpretazione riduttiva delle categoriche<br />
classiche facendo uso del quantificatore parziale “some” inteso come “solo alcuni” che<br />
applica sistematicamente al predicato. Come nei diagrammi a cerchio o segmento di Liebnitz,<br />
Lambert ed Eulero, l’universale A viene ricondotta al solo caso 2.,di fig 1b, la E al caso 6.,<br />
mentre le particolari I ed O assumono la bivalenza interpretativa rispettivamente dei casi 4+5<br />
e 4+6. Precisando che la sua restrizione delle categoriche tradizionali è impropria,<br />
interpretato nei nostri termini il suo sistema base è corretto, e poteva perciò approdare ad<br />
alcune inferenze immediate di Pi10. Forse non è per caso che di tutti gli autori che trattiamo<br />
sia stato l’unico a produrre una macchina logica, “the Demonstrator”, capace di produrre<br />
meccanicamente <strong>sillogismi</strong>, tra l’altro la prima del genere in tutta la storia della logica. Tale<br />
macchinetta si presta anche ad elementari <strong>sillogismi</strong> numerici e probabilistici, a testimonianza<br />
di un legame che abbiamo perseguito in questo nostro lavoro. Vista la relazione simmetrica di<br />
equivalenza che pone tra i termini quantificati e l’uso che fa dei termini negativi, si ritiene che<br />
solo l’aderenza originaria al modello del quadrato delle opposizioni abbia impedito a<br />
Stanhope di estendere la sua notazione ai casi 3, 4+5, 4+6. Certo, per arrivare ai casi 1 e 7,<br />
sarebbe occorso un ulteriore sforzo di fantasia.<br />
Bentham (1827) questo sforzo lo fece a metà, e concepì il caso 1. Preferendo il latino<br />
all’inglese, invece di “all” e “some” usò i quantificatori “in toto” ed “ex parte”, ma, non usando i<br />
termini negativi, le espressioni base si fermano, per combinatoria, alle prime quattro del<br />
nostro Pi10. Anche qui, l’adesione allo schema del quadrato <strong>oppositivo</strong>, produce le quattro<br />
negazioni di ciascuno dei casi precedenti (espresse sostituendo fra i due termini la relazione<br />
= con la II ); ciascuna di tali negazioni non può coincidere con una qualsiasi delle restanti 9<br />
espressioni base di Pi10, ma con la loro disgiunzione. Se invece di privilegiare la negazione<br />
della relazione di equivalenza si fosse ricorso all’uso sistematico dei termini negativi, si<br />
sarebbe riprodotta la base completa di Pi10. Invece Bentham si confonde strada facendo,<br />
61
delle sue 8 forme ne elimina due in quanto mere simmetrie di altre due (una da noi indicata in<br />
corsivo), poi ne scarta un’altra ancora perchè meglio rappresentabile da una ulteriore. In<br />
conclusione ritiene fondamentali, fra le cinque residue, due espressioni negative, tX II tY e pX<br />
II pY, i cui significati restano assai confusi.<br />
Si consideri l’affermazione pA=pB, ove A stia per Animali, B per Balene. E’ vera?<br />
Parrebbe di no, essendo esclusa dalla più appropriata pA=tB. Però dipende da quale parte di<br />
animali stiamo parlando: è pur vero che le balene spiaggiate in California in una certo anno<br />
sono al medesimo tempo una parte degli animali ed una parte delle balene, e se pensiamo a<br />
quegli sfortunati cetacei l’equivalenza pA=pB è vera. Però è anche vero che una parte di<br />
animali, ad esempio i rettili, non ha nessun individuo in comune con le balene, per cui è vero<br />
anche pA II pB.<br />
Analoghe considerazioni possono essere sviluppate con insiemi in totale corrispondenza<br />
biunivoca, ad esempio triangoli e trilateri: a seconda dei sottinsiemi, propri o impropri, che<br />
vogliamo scegliere possiamo affermare: p=p, p II p, t=t, p II t .<br />
Da questo quadro emerge l’inadeguatezza dell’equivalenza fra parti di insiemi quale<br />
proposizione base indipendente del sistema di Bentham, specialmente con le forme negative,<br />
notoriamente plurivoche nei riferimenti estensionali. Questo accade perché nella fioritura di<br />
forme nuove che non si possono più collocare nel semplice quadrato <strong>oppositivo</strong>, la<br />
mancanza di una struttura di riferimento genera una confusione dei livelli delle negazioni.<br />
Con Hamilton (1833) si torna alla lingua inglese (anche se poi questi inventa notazioni più<br />
simboliche e sintetiche); l’equivalenza matematica lascia il posto alla copula “is” o ”are”,<br />
mentre il segno “II” diviene “is not”. Nelle negative l’universale All diviene Any. Delle 5 forme<br />
da lui considerate fondamentali solo 4 coincidono con espressioni Pi10, essendo la “Any a is<br />
not any b”, a rigore, una disgiunzione di 9 casi di Pi10, mentre nella sua intenzione una<br />
equivalente della universale negativa (la gergonniana relazione H). Sostanzialmente restiamo<br />
al punto di Bentham, solo che Hamilton costruisce effettivamente un complesso edificio<br />
sillogistico (in Bentham solo abbozzato) che non può che crollare per incoerenza interna,<br />
come sottolineato da vari commentatori. Dal nostro punto di vista valgono le stesse<br />
considerazioni svolte per Bentham.<br />
Holland (1765) rappresenta un caso più complesso. Il simbolismo e i procedimenti deduttivi<br />
sono permeati di una impostazione algebrica, dotata di una sua compiutezza, salvo perdere<br />
in alcuni punti nodali la corrispondenza con la sostanza predicativa che vorrebbe riformulare.<br />
L’ uguaglianza è posta tra frazioni di termini. Il numero delle espressioni base, nove, è<br />
determinato dalla combinatoria dei due termini (uniti da una relazione di identità) corredati<br />
ciascuno da 3 possibili quantificatori: 1/1, 1/f, 1/∞, forme frazionarie col significato,<br />
rispettivamente, di “tutti, solo alcuni, nessuno”, ossia i funtori A, U, E. Qui emerge subito un<br />
problema. Se rimaniamo fortemente ancorati ad una interpretazione algebrica, il<br />
quantificatore 1/∞ azzerando l’insieme che lo segue, non può essere equivalente ad una<br />
parte o ad una totalità di un altro insieme diverso da zero; eppure 4 dei 9 casi sono proprio<br />
equivalenze di questo tipo! (da notare che i restanti 5 casi corrispondono a quelli di<br />
Gergonne). L’unica equivalenza valida in cui compaia 1/∞ è l’ultima della lista, ove appunto vi<br />
è corrispondenza fra due insiemi azzerati, ma questa forma alla fin fine si riduce ad una sorta<br />
di pura tautologia, valida per qualsiasi insieme nullo si consideri. Probabilmente per non<br />
cadere in queste assurdità, Holland introduce il concetto di classe negativa e, scostandosi<br />
dall’analogia algebrica, traduce 1/∞ con “Tutti i non…”, se applicato al soggetto, a volte con<br />
“non…”, se al predicato. Circa l’applicazione al soggetto, nella sillogistica di base questo è un<br />
errore: invece di una valida obversione (Eba Aba’) qui abbiamo una erronea inferenza<br />
immediata (EbaAb’a). Interpretando la quantificazione del predicato come congiunzione<br />
62
di 2 categoriche a termini invertiti l’una rispetto all’altra, se applichiamo le obversioni corrette,<br />
dobbiamo respingere i medesimi 4 casi citati perché non ben formati, ossia formati dalla<br />
congiunzione di 2 categoriche incompatibili. Rigettando invece il quantificatore Nessuno o<br />
Zero, e volendo adottare termini negativi, ci si chiede perché prevedere per essi solo il<br />
quantificatore Tutti e non anche il Solo qualche, visto che lo spirito iniziale era un<br />
dispiegamento combinatorio completo? Nella tabella di confronto abbiamo proprio applicato<br />
la sostituzione dei quantificatori “ad infinitum” di Holland con l’ intero o frazioni proprie,<br />
facendole precedere dal segno “ – “ del von Segner (1740) , per adottare un segno già<br />
inventato in logica all’epoca di Holland, ampliando poi la casistica alle forme mancanti o<br />
riducendola per quelle equivalenti. Riteniamo comunque di aver mantenuto intatto il nucleo<br />
originario e lo spirito del sistema anche in questo caso. Ne è risultata anche qui una casistica<br />
corrispondente al D10.<br />
Non abbiamo analizzato cosa resti del procedimento deduttivo del sistema di Holland dopo le<br />
correzioni conseguenti a quanto finora esposto, ma riteniamo che debba per forza essere,<br />
almeno in parte riconducibile alle regole deduttive del D10.<br />
63
Tab E<br />
Pi 10 Holland Holland modificato con von Segner Stanhope<br />
Bentham (<br />
- )<br />
Hamilton (-)<br />
Gergonne (<br />
- )<br />
1.<br />
AbaA b/1=a/1 , b/∞=a/∞ b/1=a/1 -b/1=-a/1 all b = all a Tb=Ta all b is all a b I a<br />
2.<br />
3.<br />
4+2<br />
AbaU b/1=a/f b/1=a/f -b/f= -a/1 --> b/h= -a/k all b = some a Tb=Pa all b is some a b ( a<br />
UbaA b/f=a/1 b/f=a/1 -b/1= -a/g -->-b/h=a/k some b = all a Pb=Ta some b is all a b ) a<br />
Ub'aU b/∞/f=a/g -b/f=a/g some not-b = some a Pb'=Pa some b' is some a b' X a<br />
4+3<br />
Uba'U b/f=a/∞/g b/f=-a/g some b = some not-a Pb=Pa' some b is some a' b X a'<br />
4+5 UbaU b/f=a/g b/f=a/g some b = some a Pb=Pa some b is some a b X a<br />
4+6 Ub'a'U b/∞/f=a/∞/g -b/f=-a/g some not-b = some not-a Pb'=Pa' some b' is some a' b' X a'<br />
5.<br />
Uba'A b/f=a/∞ , b/∞=a/f b/f=-a/1 -b/1=a/g -->b/h = a/k some b = all not-a Pb=Ta' some b is all a' b ) a'<br />
6. Aba'U b/1=a/∞/f , b/∞/f=a/1 -b/f=a/1 b/1= -a/f --> -b/h= -a/k all b = some not-a Tb=Pa' all b is some a' b ( a'<br />
7. Aba'A b/1=a/∞ , b/∞=a/1 b/1= -a/1 -b/1=a/1 all b = all not-a Tb=Ta' all b is all a' b I a'<br />
Espressioni proprie dell'autore espressioni di completamento estranee all'autore<br />
espressioni di completamento plausibili (-) arricchito delle classi negative<br />
64
Sistemi isomorfi alla sillogistica tradizionale : Ploucquet, De Morgan 1<br />
Riteniamo che questo gruppo, sebbene possa stimolare interessanti riflessioni sulla<br />
struttura linguistica del sillogismo tradizionale, non se ne discosti a livello semantico. Infatti pur<br />
generando, con la quantificazione del predicato, categoriche di forma nuova, il significato di<br />
queste coincide perfettamente con quello delle tradizionali: non opera una restrizione dei casi<br />
insiemistici descritti dalle categoriche classiche. In allegata tabella F abbiamo anche voluto<br />
mostrare la corrispondenza tra talune espressioni “esponibili” della scolastica spesso annoverate<br />
tra gli antenati della quantificazione del predicato da alcuni degli autori citati, come le Esclusive, o<br />
alcuni schemi che sviluppano le negazioni latine.<br />
Tutto ciò per mostrare come da queste forme non si potesse ricavare altro che sillogistica<br />
tradizionale, a meno di ricorrere a combinatorie che generassero il quantificatore particolare<br />
distintivo, base per ulteriori sviluppi polisillogistici.<br />
La necessità di accostamento fra le formulazioni logiche e le equazioni matematiche può essere<br />
all’origine dell’ introduzione nella storia della logica della quantificazione del predicato, dovuta a<br />
Gottfried Ploucquet (1763).<br />
Questi elaborò un sistema notazionale ed un calcolo logico che, ove si discosta dalla logica<br />
tradizionale, cade in ambiguità ed errori significativi (per altri versi stimolanti) anche se queste<br />
anomalie lo apparentano in parte all’altro gruppo da noi considerato. Si prenda ad es.<br />
l’apparentemente innovativa predicazione “Nessun uomo è qualche animale” ossia “Tutti gli<br />
uomini non sono alcuni animali”: se intesa come l’affermazione che “alcuni animali (ad es. quelli<br />
“irrazionali”) non sono uomini”, alla fin fine risulta del tutto equivalente alla tradizionale “Qualche<br />
animale non è uomo”. A meno che non sia intesa come “tutti gli uomini sono SOLO ALCUNI<br />
animali” ovvero equivalente al caso AuaU del nostro P10; ma non è in questo senso,<br />
generalmente, che Ploucquet la usa, anche se conosceva quella che noi abbiamo chiamato la<br />
particolare distintiva. In un’opera del 1763 Ploucquet aveva distinto tra il senso esclusivo da parte<br />
del linguaggio comune del quantificatore “qualche”, ed il senso comprensivo del “qualche” usato in<br />
logica, osservando che le categoriche particolari affermative o negative, nel primo senso erano<br />
complementari, nel secondo (sub)contrarie.<br />
La compiuta realizzazione di un sistema corretto di calcolo logico con quantificazione del<br />
predicato si avrà un secolo dopo con Augustus De Morgan (1846-68), ma sempre all’interno di<br />
una impostazione che nulla aggiunge al sillogismo tradizionale. De Morgan, riconducendo ai<br />
termini negativi alcune negazioni poco chiare negli altri sistemi, eviterà errori, ma anche<br />
significative innovazioni. Si tenga presente che la Scolastica aveva già esplorato modi diversi di<br />
esprimere le Categoriche classiche con la trattazione dei termini negativi e delle Esclusive.<br />
Quest’ultime nelle formule Dives, Orat, Anno ed Heli sono rispettivamente equivalenti alle forme<br />
demorganiane con le minuscole a, e, i, o, da lui utilizzate al posto di A, E, I, O, per le coppie coi<br />
termini al negativo Nella traduzione delle predicazioni classiche in forme notazionali che<br />
prevedono la quantificazione del predicato, la categorica classica Iba viene da lui tradotta in A ( )<br />
B. Una parentesi chiusa verso la variabile ad essa vicina ne indica la universalità, una aperta la<br />
particolarità. I punti intermedi e le variazioni dal minuscolo al maiuscolo, unitamente ai cambi di<br />
parentesi, regolano le inferenze immediate secondo regole precise e valide. In tabella 10 l’elenco<br />
delle forme equivalenti. Rimandiamo all’analisi di Mangione C. (cit.) e Barone (cit.13) le<br />
considerazioni critiche su questo suo sistema, che per molti aspetti è meno intuitivo e più lontano<br />
dal linguaggio naturale della stessa logica classica. . Indubbiamente il sistema di De Morgan<br />
possiede un certo fascino estetico e non a caso qualche storico della logica, con intento a onor<br />
del vero più dispregiativo, ha paragonato autori come questo a coloro che negli edifici dipingono<br />
65
finestre finte per amor di simmetria. Dalle leggi di equivalenza del suo sistema si è portati a fare<br />
degli accostamenti (che non vogliono essere equivalenze) con i successivi sviluppi booleani,<br />
secondo il seguente codice:<br />
A( )B A*B , A)( B A’ * B’ , A).)B A’ *B , A(.(B A * B’<br />
A(.)B AvB , A).(B A’ v B’ , A))B A’ v B , A((B AvB’<br />
Visto che il nostro S7 utilizza in parte le parentesi, vale la pena sottolinearne la differenza con il significato<br />
e l’uso che ne fa De Morgan, come appare chiaro dal confronto tra le rispettive tabelle di riferimento.<br />
tab F<br />
Ploucquet Sillogismo con negativi De Morgan Esclusive<br />
Ba Aba = Aa'b'= Eba'= Ea'b A B))A B'((A' B'(.)A B).(A' Sab= Sb'a'<br />
ba Iba = Iab= Oba'= Oab' I B( )A B')(A' B').)A B(.(A'<br />
b>a Oba = Oa'b'= Iba'= Ia'b O B( )A' B(.( A B').)A' B')(A<br />
B>A B>a Eba = Eab= Aba'= Aab' E B))A' B).(A B'(.)A' B'((A Sa'b= Sb'a<br />
Eb'a' = Ea'b'= Ab'a= Aa'b e B(.)A B').(A' B'))A B((A' Sab'= Sba'<br />
Ib'a' = Ia'b'= Ob'a= Oa'b i B)(A B'( )A' B'(.(A B).)A'<br />
bA Ab'a' = Aab= Eb'a= Eab' a B((A B'))A' B').(A B(.)A' Sa'b'= Sba<br />
Ob'a' = Oab= Ib'a= Iab' o B).)A B'(.(A' B'( )A B)(A'<br />
Sistema ibrido : De Morgan 2 composto D12<br />
66
Quando produce <strong>sillogismi</strong> composti per congiunzione di 2 categoriche del suo sistema –<br />
base, De Morgan va senz’altro oltre il sillogismo tradizionale. Diciamo subito di non aver<br />
esaminato direttamente il testo di tale sistema complesso; pertanto parleremo di esso in via<br />
ipotetica, sulla base dei dati fornitici da alcuni manuali e testi critici, sufficienti però a delinearne<br />
alcuni aspetti rilevanti per la nostra analisi. Dalle informazioni in nostro possesso si deduce che<br />
tale sistema si basa sulla congiunzione di coppie di predicazioni tratte dall’altro suo sistema<br />
sillogistico. Si veda in tabella 11. la casistica delle 12 espressioni-base che, al di là della<br />
simbologia usata da De Morgan, che in parte ignoriamo(ad es. AbaA viene da lui espressa con A<br />
II B, tuttavia il significato è lo stesso), ne possono logicamente scaturire, sfrondata delle forme<br />
equivalenti. Per dar conto della novità in essa contenuta, abbiamo scelto di dargli una forma<br />
paragonabile a Pi10, ove possibile.<br />
Tab.G.<br />
casi<br />
casi<br />
disgiunti<br />
1 AbaA = Aba*Aab 3+4+5 Uba = Iba * Oba<br />
2 AbaO = Aba*Oab 2+4+6<br />
Ub'a = Ib'a * Ob'a<br />
3 ObaA = Oba*Aab 2+4+5 Uab = Iab * Oab<br />
5 Oba'A = Oba' * Aa'b<br />
3+4+6 Ua'b = Ia'b * Oa'b<br />
6 Aba'O = Aba' * Oab 1+2+3+4 Iba * Ib’a’<br />
7 Aba'A = Aba' * Aa'b 4+5+6+7 Oba * Ob’a’<br />
Questo sillogismo composto, quanto a precisione referenziale, rimane leggermente<br />
inferiore a quello di P10, non riuscendo a restringere altrettanto bene della relazione “X”<br />
(interpretabile in 2 delle 7 relazioni base) la casistica contemplata dalla propria congiunzione Iba *<br />
Oba (3 casi possibili su 7), nella quale riconosciamo la particolare distintiva. Quest’ultima<br />
tuttavia emerge all’apice del suo sistema e, per quanto ne sappiamo, non diventa la base di<br />
ulteriori aggregati categorici. Abbiamo perciò definito il sillogismo composto di De Morgan un<br />
sistema di ibrido fra il sillogismo esagonale ed il polisillogismo con inversa, in effetti più vicino a<br />
questo, tuttavia con alcune forme assai ridondanti.<br />
In De Morgan vi sono certamente altri grandi temi innovativi, si pensi solo ai <strong>sillogismi</strong><br />
numericamente definiti, per non parlare della logica delle relazioni, tuttavia sul tema del<br />
polisillogismo non ci risultano sviluppi ulteriori.<br />
Come già accennato chi avrebbe potuto pervenire alla quantificazione del predicato<br />
correttamente era N. Vasil’iev, che nel 1910 individuò la Particolare Distintiva, da lui chiamata<br />
Accidentale. Individuò certamente la legge di obversione che la riguarda, e individuò i 6 modi validi<br />
del sillogismo triangolare, da lui denominato “Logica delle Nozioni”. Tuttavia pare che il sistema<br />
cominciasse a scricchiolare per una confusione di livelli interpretativi fra bivalenza, interbivalenza,<br />
polivalenze o paraconsistenza, che lo portarono a concepire dapprima una legge del “Quarto<br />
escluso” poi la “Logica immaginaria”.<br />
Recentemente Avi Sion ha individuato correttamente l’uso sillogistico di entrambe le<br />
distintive, nei modi UAU in terza figura ed YAY in prima; lui chiama la nostra U “Contingente” e la<br />
simbolizza come IO, mentre la Y equivale alla sua AE. In ciò sottolinea la natura derivata di tali<br />
predicazioni; la tendenza a non vedere nella IO una primitiva pare la ragione di un mancato<br />
67
sviluppo di un sistema polisillogistico, dunque di una quantificazione del predicato, che lui valuta<br />
correttamente in taluni tardi epigoni anglosassoni, ma ritiene poco conveniente.<br />
Concludendo, ci pare che il giudizio storico, spesso sferzante, sugli autori dei sistemi con<br />
“quantificazione del predicato”, possa tener conto di quelle interpretazioni ed agganci che<br />
abbiamo cercato di valorizzare nel presente lavoro. Probabilmente pesò su tale giudizio, in<br />
prevalenza negativo, il confronto con il successivo e più fecondo periodo dell’”algebra della<br />
logica”, se non addirittura del logicismo. Riteniamo tuttavia opportuno riprendere il cammino<br />
precocemente abbandonato della quantificazione del predicato, ereditandone l’aspirazione ad una<br />
sintesi fra trasparenza semantica del linguaggio naturale e univocità di referenza insiemistica. E,<br />
perché no, anche alla creazione di forme esteticamente più belle, cioè più complete e simmetriche<br />
rispetto alla sillogistica tradizionale.<br />
68
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65 [vol 1 da Liebniz a Kant: pp.73-75 (Ploucquet), 102-103 (Holland)], [vol 2 L’ algebra della<br />
logica: pp. 8-15 e 24-26 ( su Bentham e Hamilton)<br />
Kneale, W.C. e M.: Storia della logica, Einaudi, Torino, 1972. pp.399-403 (Gergonne e Hamilton)<br />
Gardner, Martin: Logic machines and diagrams, The University of Chicago Press, II ed. 1982<br />
(pp. 34-39, 80-90) (esiste una edizione più recente, in italiano)<br />
Blanché, Robert: La logica e la sua storia, da Aristotele a Russell, Ubaldini, Roma, 1973 v.<br />
cap IX, pp.273-276 (Gergonne), 292-296 (Hamilton e Bentham), 336-338 (De Morgan)<br />
Bochenski, Joseph M.: La logica formale (vol. 1 dai presocratici a Liebniz), Einaudi, Torino, 1972<br />
Mugnai, Massimo, antologia a cura di: La logica da Liebniz a Frege, Loescher, Torino, 1982<br />
(Introduzione par 3; Parte II pp. 91-92 (Ploucquet), 104-107(Holland), 118-131(Gergonne); in<br />
Avvertenza e Nota bibligafica importanti approfondimenti bibliografici)<br />
Thom, Paul: The syllogism, citato, v. Appendice 1 pp.253-255 sulle relazioni di Gergonne, vedi<br />
anche la Bibliografia.<br />
Omodeo, Eugenio G. “L’automazione della Sillogistica” in Le Scienze” nr.218, ottobre 1986,<br />
pp. 120-128, con bibliografia a pag.143., fra cui Gardner, citato.<br />
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Ringraziamenti<br />
Ringrazio il Prof. <strong>Arrigo</strong> <strong>Amadori</strong>, che ospitando questo studio nel sito da lui creato, mi offre la<br />
possibilità di un confronto con la comunità scientifica altrimenti impossibile, data la mia lontananza<br />
da mondi editoriali o accademici. E’ per me un onore partecipare alla sua “missione” culturale e<br />
scientifica: spero di meritarlo, non tanto per il valore intrinseco di questo scritto, soggetto alla<br />
fallibilità come tutte le imprese umane, quanto per il comune amore per la conoscenza, maturato<br />
anche grazie a lui negli anni del Liceo.<br />
Ringrazio il Professor Ing. Antonio Donnarumma, Accademico Pontaniano e già docente alla<br />
Facoltà di Ingegneria dell’Università di Salerno, con cui tuttora collaboro per l’applicazione<br />
tecnologica delle teorie qui illustrate e che ha sempre incoraggiato e creduto nel mio lavoro,<br />
fornendo continui stimoli e, ad ogni colloquio con lui, facendo decollare la ricerca in direzioni prima<br />
insospettate.<br />
Ringrazio i docenti dell’Università di Bologna: il Prof. Maurizio Ferriani (Storia della Logica), che<br />
per primo mi instradò e appassionò agli studi della Logica; il mio relatore di tesi Prof. Giuliano<br />
Pancaldi (Storia del Pensiero Scientifico), per l’insegnamento del metodo della ricerca storicoscientifica;<br />
la Prof.ssa Marilena Barnabei per un importante chiarimento riguardante la Matematica<br />
Discreta; il Prof. Bruno D’Amore per i contatti (alcuni molto lontani nel tempo) favoriti presso alcuni<br />
suoi colleghi Logico-Matematici, le cui osservazioni hanno inciso significativamente<br />
sull’impostazione dell’originario lavoro, permettendone un più maturo sviluppo: fra questi,<br />
recentemente, il Prof. Giorgio Bagni (Università di Udine).<br />
Ringrazio la dr.ssa Mireille Staschok, Ricercatrice di Logica presso la Università Humboldt di<br />
Berlino, per l’incoraggiante apprezzamento di alcune idee contenute nel lavoro e per alcune linee<br />
di approfondimento suggeritemi.<br />
Gli errori o i travisamenti rintracciabili nel presente scritto sono ovviamente imputabili<br />
esclusivamente al sottoscritto.<br />
Infine ringrazio soprattutto mia moglie Alfonsa che, con la sua pazienza e generosità, in questi<br />
anni, ha reso possibile lo studio e la stesura di questa appassionata ricerca, senza che la nostra<br />
famiglia ne pagasse lo scotto.<br />
Cesenatico, 21.01.2007.<br />
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