Il processo media mobile (MA)

Il processo media mobile (MA)
Il p.s. definito da
Z
t
= at
−θ1at
−1
−θ
2at
−2
−...
−θ
qat
−q
= θ ( B)
a
q
t
con a t ~ WN(0,σ 2 ) è detto processo media mobile, MA,
di ordine q.

2
0
-2
4
2
0
-2
θ =0.9
t
Il processo MA(1)
2
Z θ at = WN(
0,
σ )
= at
− 1at−1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
θ =-0.9
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Momenti di MA(1)
;
0
)
(
)
(
)
(
)
( 1
1
1
1
=
−
=
−
= −
− t
t
t
t
t
a
E
a
E
a
a
E
Z
E θ
θ
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1
2
)
1
(
]
[
]
[
2
]
[
]
2
[
]
)
[(
)
(
)
0
(
σ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
γ
+
=
=
+
−
=
+
−
=
=
−
=
=
−
−
−
−
−
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
a
E
a
a
E
a
E
a
a
a
a
E
a
a
E
Z
E
⎩
⎨
⎧
=
=
−
=
=
+
−
−
=
=
−
−
=
=
−
+
−
+
−
−
+
+
−
+
+
−
+
,...
4
,
3
,
2
0
1
]
[
)]
)(
[(
)
(
)
(
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
E
a
a
a
a
E
Z
Z
E
k
k
t
t
k
t
t
k
t
t
k
t
t
k
t
k
t
t
t
k
t
t
σ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
γ

Funzioni di autocorrelazione di MA(1)
ACF
PACF
⎧ θ1
⎪−
2
ρ(
k) = ⎨ 1+
θ1
⎪
⎩0
φ
kk
−θ
( 1−θ
)
k 2
1 1 = 2(
k + 1)
1−θ
1
k
k
= 1
=
2,
3,
4,...

1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
ACF
ACF e PACF di MA(1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
PACF
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Proprietà di MA(1)
• Stazionarietà: il processo MA(1) è sempre (debolmente)
stazionario, infatti i momenti non dipendono da t.
• Invertibilità: il processo MA(1) è invertibile se, e solo se,
|θ 1| < 1, infatti esprimendo il processo nella forma
Z t=(1 – θ 1B)a t
solo se |θ 1| < 1, l’espansione
(1 – θB) -1 =1 + θB + θ 2 B 2 + θ 3 Β 3 + ...
converge, e
(1 + θB + θ 2 B 2 + θ 3 Β 3 + ...)Z t = a t ;
Z t + θ Z t-1 + θ 2 Z t-2 + θ 3 Z t-3 + ... = a t ;
Z t = – θ Z t-1 – θ 2 Z t-2 – θ 3 Z t-3 – ... + a t .

E(
Z ) =
t
Momenti di MA(q)
0;
2
2 2 2
γ ( 0)
= E ( Zt
) = ( 1+
θ1
+ ... θ q ) σ
γ
⎧ 2
⎪σ
= ⎨
⎪
⎩0
q
k
∑− ( k)
j=
0
θ jθ
j+
k
k
k
=
=
1,
2,...,
q
q + 1,
q +
Dimostrare per esercizio.
2,...

Proprietà di MA(q)
• Stazionarietà: il processo MA(q) è sempre (debolmente)
stazionario, infatti i momenti non dipendono da t.
• Invertibilità: il processo MA(q) è invertibile se, e solo se,
le radici dell’equazione caratteristica in B
θ(B) = 1 – θ1B –… –θq Bq = 0
sono tutte esterne al cerchio unitario; infatti le q radici
permettono di fattorizzare θ(B) nel prodotto di q termini
−1
−1
θ
( B) = ( 1−
r1
B)(
1−
r2
B)
K(
1−
rq
B)
quindi l’espansione θ −1 (B) converge, se l’espansione di
ciascun (1 – r i -1 B) -1 converge, e ciò avviene se ciascuna
radice r i è, in modulo, maggiore dell’unità.
−1

Il processo autoregressivo (AR)
Il p.s. definito da
Z φ ... +
t
= 1Zt
−1
+ φ2Z
t−2
+ + φqZ
t−
p
o equivalentemente da
φ
( B ) Z =
p
t
con a t ~ WN(0,σ 2 ) è detto processo autoregressivo, AR,
di ordine p.
a
t
a
t

7.5
5.0
2.5
0.0
-2.5
φ=0.9
t
= 1Zt
−1
Il processo AR(1)
2
Z φ + a at = WN(
0,
σ )
t
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
5.0 φ=-0.9
2.5
0.0
-2.5
-5.0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Momenti di AR(1)
Per |φ 1| < 1 :
;
0
...
)
(
)
(
)
(
]
)
1
[(
)
(
2
2
1
1
1
1
1
=
+
+
+
=
=
−
=
−
−
−
t
t
t
t
t
a
E
a
E
a
E
a
B
E
Z
E
φ
φ
φ
)
1
(
)
0
(
)
(
)
(
]
)
[(
)
(
)
0
(
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
φ
σ
σ
γ
φ
φ
φ
γ
−
=
=
+
=
+
=
=
+
=
=
−
−
t
t
t
t
t
a
E
Z
E
a
Z
E
Z
E

[ ]
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
σ
φ
φ
γ
φ
φ
φ
γ
−
=
=
=
Ε
+
Ε
=
=
+
Ε
=
Ε
=
−
−
−
−
−
−
t
t
t
t
t
t
t
t
t
a
Z
Z
Z
Z
a
Z
Z
Z
.
[ ]
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
)
1
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
2
(
σ
φ
φ
γ
φ
φ
φ
γ
−
=
=
=
Ε
+
Ε
=
=
+
Ε
=
Ε
=
−
−
−
−
−
−
t
t
t
t
t
t
t
t
t
a
Z
Z
Z
Z
a
Z
Z
Z
2
1
1
1
)
( σ
φ
φ
γ
−
=
k
k

Funzioni di autocorrelazione di AR(1)
ACF
PACF
ρ ( = φ
φ
kk
k
k) 1
⎧φ1
= ⎨
⎩ 0
k
k
=
= 1
2,
3,...

1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
ACF
ACF e PACF di AR(1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
PACF
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Proprietà di AR(1)
• Invertibilità: il processo AR(1) è sempre invertibile, perché
funzione del proprio passato sommata ad un WN.
• Stazionarietà: il processo AR(1) è stazionario se, e solo se,
|φ 1| < 1, infatti la varianza del processo
γ ( 0)
2
σ
=
1−
φ
è infinita (per φ 1 = 1 il processo è un random walk).
2
1

Proprietà di AR(p)
• Invertibilità: il processo AR(p) è sempre invertibile, perché
funzione del proprio passato sommata ad un WN.
• Stazionarietà: il processo AR(p) è stazionario se, e solo se,
le radici dell’equazione caratteristica φ p(B) = 0 sono esterne
al cerchio unitario.

Momenti di un AR(p) stazionario
E(
Z ) =
t
0;
γ ( 0)
= φ γ ( 1)
+ φ γ ( 2)
+ ... + φ γ ( p)
+ σ
1
2
γ 2 p
( k) = φ1γ
( k −1)
+ φ γ ( k − 2)
+ ... + φ γ ( k − p)
ρ k) = φ ρ(
k −1)
+ φ ρ(
k − 2)
+ ... + φ pρ ( k −
φkk
( 1
2
⎧≠
0
⎨
⎩=
0
k
(Equazioni di Yule-Walker)
k
=
=
1,
2,...,
p + 1,
p
+
p
2,...
p
2
p)