ANALISI DI UNA SERIE TEMPORALE Analisi ... - Edu.ph.unito.it
ANALISI DI UNA SERIE TEMPORALE Analisi ... - Edu.ph.unito.it
ANALISI DI UNA SERIE TEMPORALE Analisi ... - Edu.ph.unito.it
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>ANALISI</strong> <strong>DI</strong> <strong>UNA</strong> <strong>SERIE</strong> <strong>TEMPORALE</strong><br />
• <strong>Analisi</strong> statistica elementare<br />
Abbiamo costru<strong>it</strong>o il grafico delle sst in funzione del tempo (dal 1880 al 1995).<br />
Si puo' osservare una media di circa 26°C e una deviazione std di 1.5°C.<br />
Creiamo un istogramma di dati che raggruppiamo in 30 bins.<br />
Il grafico presenta una simmetria ma l'andamento non e' propriamente gaussiano e<br />
presenta un minimo relativo centrale.<br />
Essendo la coda destra piu' pronunciata rispetto alla parte sinistra la distribuzione ha<br />
uno skewness pos<strong>it</strong>ivo.
Aumentando il numero di bins si ha un effetto di “bocca sdentata”
Usando solo 15 bins invece si ha una perd<strong>it</strong>a di dettagli.<br />
La media dei dati che abbiamo ottenuto e' di 25.72 °C', la varianza 1.47°C e la<br />
deviazione std 1.21°C. Sono quindi abbastanza ragionevoli con quelli stimati.<br />
Grafichiamo sst il funzione di t e indichiamo con il rosso il valor medio,<br />
con il verde ±1std e con il giallo ±2std.
• Autocorrelazione<br />
Grafico del coefficiente di autocorrelazione in funzione dei lags<br />
Non vi sono oscillazioni e si ha una “caduta” lineare dal valore 1 a lags 0 fino<br />
al valore 0 per lags massimo in valore assoluto.<br />
Grafico del coefficiente di autocovarianza in funzione dei lags<br />
?????????????????????????????????????????????????????
• Spettro di potenza<br />
Grafico delle sst in funzione del tempo dal 1880 al 1900<br />
Si osserva una periodic<strong>it</strong>a' dominante annuale che ha ampiezza di circa 2 °C.<br />
Togliamo la media ai dati e calcoliamo il periodogramma di tutta la serie.
Il picco dominante si trova a una frequenza di 0,08 mesi -1 . La periodic<strong>it</strong>a' annuale che<br />
prima avevamo osservato si r<strong>it</strong>rova nel picco piu' alto. Si riscontrano altri picchi a 0.02<br />
0.03 e 0.017 mesi -1 .<br />
Grafico del periodogramma in scala log log per poter osservare i picchi piu' bassi.<br />
Nel grafico log log sono piu' evidenti i picchi a basse frequenza mentre le<br />
ampieze sono piu' visibili in quello lineare.<br />
Grafico semilogar<strong>it</strong>mico dello spettro di potenza.
Nel grafico semilogar<strong>it</strong>mico si osservano bene entrambi gli aspetti dei grafici<br />
precedenti.<br />
Grafico con frequenza di campionamento annuale con l'asse delle ascisse<br />
rovesciato.<br />
Si osserva che il picco massimo corrisponde al periodo di un anno.<br />
Restringiamo il range di valori in ordinata per osservare meglio i picchi<br />
di ampiezza minore.<br />
Il secondo picco piu' alto e' a 4 anni e ne osserviamo un altro a 3 anni.<br />
L'andamento generale dello spettro non appare piatto.
• Intervalli di confidenza e di significativ<strong>it</strong>a' dei picchi.<br />
Troviamo il livello di significativ<strong>it</strong>a' per lo spettro di NINO3 al 95% e 99.9% di<br />
confidenza con fondo di rumore bianco a varianza un<strong>it</strong>aria.<br />
Grafico in cui si sovrappone il periodogramma ai livelli di significativ<strong>it</strong>a' e il rumore<br />
bianco<br />
I picchi che superano la confidenza al 99.9% sono quelli di 1, 3, 4 anni.<br />
Alla confidenza del 95% si aggiungono anche i picchi a 0.5, 1.2,6,13 anni.<br />
Usiamo lo stesso grafico sovrapponendo il fondo di rumore rosso e considerando<br />
solamente la confidenza al 95%.
• Wh<strong>it</strong>ening<br />
Nel test con rumore rosso i picchi con piu' anni restano esclusi. I picchi che passano il<br />
test sono quello di 1 anno e 6 mesi mentre quelli tra i 2 e 7 anni no.<br />
Si graficano adesso le anomalie di temperatura, filtrando le sst in modo da escludere<br />
il ciclo annuale<br />
La distribuzione ottenuta presenta un migliore andamento gaussiano rispetto<br />
all'istogramma relativo alle sst.<br />
Si osserva un aumento del valore di skewness e la comparsa un massimo<br />
assoluto centrale.<br />
La media delle anomalie e' di 0.012 °C, la deviazione std e' di 0.76°C.<br />
Grafico coefficiente di autocorrelazione delle anomalie
A differenza di quello precedente si hanno oscillazioni attorno a ρ= 0 per valori di<br />
lags diversi da 0. Infatti in questo caso si tratta di anomalie che non tengono conto dei<br />
cambiamenti stagionali.<br />
Grafico in cui si sovrappone il periodogramma delle anomalie ai livelli di<br />
significativ<strong>it</strong>a' al 95% e 99.9% di confidenza e il rumore bianco.<br />
Si e' fissato un nuovo lim<strong>it</strong>e superiore dell'asse y in quanto e' aumentato il valore<br />
assoluto dei picchi spettrali.<br />
I picchi tra i 2 e 7 anni superano il livello di confidenza mentre il ciclo annuale<br />
non si vede piu' essendo stato filtrato.
Infine si considerano i valori precedenti introducendo il fondo di rumore rosso.<br />
Al livello di significativ<strong>it</strong>a' piu' basso nessun picco passa il test, mentre con la<br />
significativ<strong>it</strong>a' del 5% si hanno alcuni picchi tra un 1 anno e 7 anni, in particolare tra 3<br />
e 7 anni.
<strong>ANALISI</strong> SPETTRALE EVOLUTIVA: CWT<br />
Si utilizzano le stesse anomalie di sst usate nell'analisi precedente su scala stagionale anziche'<br />
mensile, valutando una scala iniziale di 15 anni. Tale analisi viene esegu<strong>it</strong>a mediante la trasformata<br />
continua di wavelet complessa di Morlet e in segu<strong>it</strong>o si ripete con la wavelet complessa di Paul e reale<br />
DOG.<br />
• wavelet complessa di Morlet<br />
Si fissa il minimo fattore di scala di interesse a0 uguale a 2 e il parametro relativo alla wavelet<br />
di Morlet uguale a 6. L'intervallo di tempi considerato varia dal 1870 al 2000 e si generano <strong>it</strong>re<br />
seguenti grafici con i dati standardizzati:<br />
1. Serie temporale di anomalie sst in funzione del tempo<br />
2. Contour plot dello scalogramma in funzione del tempo in ascisse e del periodo di Fourier<br />
dimensionale in ordinate (anni)<br />
3. Spettro globale di Wevlet in funzione del periodo di Fourier in anni<br />
Osservando i grafici ottenuti si possono fare le seguenti osservazioni:<br />
Gli intervalli ad elevata attiv<strong>it</strong>a' di El Nino vanno dal 1880 al 1920 e dal 1960 al 1990<br />
mentre l'intervallo dal 1920 al 1960 pare essere relativamente calmo.<br />
Il cono di influenza rappresenta l'ampiezza della zona “disturbata” e si osserva che tale<br />
zona cresce al diminuire del periodo considerato.<br />
Osservando le mappe con linee di contorno si osserva nel periodo dai 2 ai 7 anni<br />
periodic<strong>it</strong>a' maggiore e sembrano esserci modulazioni di periodo di 15 anni.<br />
Confrontando lo scalogramma con la figura della varianza corrente notiamo che le<br />
bande relative al fenomeno del El Nino sono piu' evidenti e di facile lettura.
Tra il 1880 e 1915 si osserva un intervallo di periodic<strong>it</strong>a' di 2 anni mentre nel periodod<br />
successivo dal 1915 al 1920 si ha uno shift della potenza significativa in quanto la<br />
periodic<strong>it</strong>a' diventa di 4 anni.<br />
Dal 1960 al 1975 si osserva un intervallo di periodic<strong>it</strong>a' di 4 anni mentre nel periodo<br />
successivo si ha uno shift della potenza significativa a 2 anni.<br />
Guardando lo spettro globale di wavelet il periodo che supera il test di confidenza sono<br />
proprio quelli dai 2 ai 7 anni.<br />
• wavelet complessa di Paul<br />
Si fissa il minimo fattore di scala di interesse a0 uguale a 2 e il parametro relativo alla<br />
wavelet di Paul uguale a 4. L'intervallo di tempi considerato e' lo stesso della wavelet<br />
di Morlet ma la wavelet di Paul e' piu' stretta nel tempo.<br />
• wavelet reale DOG<br />
Questa caratteristica della wavelet di Paul ci consente una migliore<br />
localizzazione nel tempo in modo da osservare meglio gli anni di maggiore<br />
intens<strong>it</strong>a' dell'evento ma si osserva meno facilmente la sua periodic<strong>it</strong>a' (poiche'<br />
peggiora la localizzazione in frequenza).<br />
Si fissa il minimo fattore di scala di interesse a0 uguale a 1 e il parametro relativo alla<br />
wavelet di Paul uguale a 2.
Presenta una struttura di scala piu' fine dovuta al fatto che i picchi pos<strong>it</strong>ivi e negativi<br />
della serie si combinano in picchi piu' ristretti. Quindi nello scalogramma di DOG si ha<br />
maggiore estensione in frequenza e piu' stretta in tempo.<br />
SPETTRO GLOBALE <strong>DI</strong> WAVELET<br />
Si considerano le anomalie dei dati stagionali utilizzando una frequenza di campionamento di<br />
4 anni -1 . Grafichiamo il relativo periodogramma con fondo di rumore rosso e i livelli di<br />
signifcativ<strong>it</strong>a' del 5% e 0,01% con logar<strong>it</strong>mo in base 2 del periodo in anni sulle ascisse con<br />
asse delle ascisse rovesciate.
Si confronta tale periodogramma con quello ottenuto mediante l'analisi di Fourier sui dati<br />
mensili con frequenza di campionamento di 1 anno -1 .<br />
Confrontando i due periodogrammi si osserva che nel primo i picchi hanno ampiezza<br />
dimezzata rispetto a quelli del ciclo mensile.<br />
Si vuole adesso confrontare lo spettro globale di Morlet complessa con lo spettro<br />
ottenuto da metodi di Fourier .<br />
Si procede effettuando una media corrente su 5 campioni dello spettro di Fourier e si<br />
grafica il risultato, insieme allo spettro globale di wavelet con la sua curva globale di<br />
significativ<strong>it</strong>a'.
Confrontando le due curve si osserva che nello spettro globale di wavelet si ha<br />
un notevole smussamento dei picchi ad alta frequenza.<br />
Il periodo significativo alla confidenza del 95% nello spettro globale di wavelet<br />
e' quello tra i 2 e 4 anni.<br />
Rifacciamo lo stesso procedimento facendo la media corrente su 9 campioni.<br />
Si osserva che il periodogramma al crescere dello smoothing tende allo spettro di wavelet.