1 Classi Numeriche Fondamentali, Formula di Eulero, .... ecc.

2 Metodi Matematici per TLC – A. Visintin
che il polo nord stesso sia poiettato nel cosiddetto punto all’infinito (denotato con ∞), resta
così definita una corrispondenza biunivoca e continua tra la sfera e C ∪ {∞}; quest’ultimo
insieme è anche denominato sfera di Riemann.
Ricordiamo che per ogni numero complesso z = a + ib (con a, b ∈ R) si definiscono la parte
reale Re(z), la parte immaginaria Im(z), ed il coniugato z ∗ come segue:
pertanto
Re(z) =
Re(z) :=a, Im(z) :=b, z ∗ := a − ib;
z + z∗
, Im(z) =
2
z − z∗
2i
z ∗ =Re(z) − i Im(z) ∀z ∈ C. (1.1)
L’insieme C può sì essere identificato con R 2 ,maè dotato di proprietà algebriche ben più
ricche di quelle dello spazio vettoriale R 2 , in quanto in C sono definiti anche un prodotto ed una
divisione. Tale prodotto non va confuso con quello tra elementi di R 2 e scalari di R, né con il
prodotto scalare ed il prodotto vettoriale di R 2 , che forniscono elementi di R. 4 D’altra parte,
a differenza di questi altri prodotti, il prodotto di C è invertibile: l’inverso della moltiplicazione
per un qualsiasi complesso w = 0è la divisione per w. 5
In C vale poi il teorema fondamentale dell’algebra: per ogni n ≥ 1, ogni equazione della
forma
z n + an−1z n−1 + ... + a1z + a0 =0 (con coefficienti a0, ..., an−1 ∈ C)
ha almeno una soluzione z ∈ C. 6
La Formula di Eulero e le Funzioni Circolari. I punti del piano, ovvero di R 2 , possono
essere rappresentati non solo mediante le coordinate cartesiane ma anche mediante le coordinate
polari (ρ, θ) (distanza dall’origine ed anomalia): ogni z ∈ C è della forma z = ρ(cos θ + i sin θ).
È allora conveniente porre la formula di Eulero
epiù in generale 7
e iθ :=cos θ + i sin θ ∀θ ∈ R, (1.2)
e a+iθ := e a (cos θ + i sin θ) ∀a, θ ∈ R. (1.3)
È chiaro che ogni z ∈ C può anche essere scritto nella forma z = ρe iθ . Grazie alle formule di
addizione del seno e del coseno, si verifica facilmente l’identità
e z1+z2 = e z1 e z2 ∀z1,z2 ∈ C.
4 2 Il prodotto vettoriale di due elementi di R è considerato come uno scalare, in quanto è perpendicolare ad
R2 .
5C può anche essere rappresentato mediante l’insieme A delle matrici reali antisimmetriche, tramite la
corrispondenza
a b
C →A: a + ib ↦→ A =
;
−b a
in effetti le quattro operazioni in C si traducono nelle stesse operazioni in A.
6Più precisamente, ne ha esattamente n, se queste sono considerate con la loro molteplicità (definita
opportunamente...).
7Nel capitolo dedicato al Calcolo Complesso vedremo che questa formula può essere giustificata esprimendo
l’esponenziale e le funzioni seno e coseno come serie di potenze. Comunque l’uso della notazione esponenziale è
basato sul fatto che la funzione h(θ) := cos θ+i sin θ soddisfa una proprietà tipica dell’esponenziale: h(θ1 +θ2) =
h(θ1)h(θ2), per ogni θ1,θ2 ∈ R.