soluzione degli esercizi sulle codifiche numeriche - Politecnico di ...

12BHD - Informatica - soluzioni Appendice B del quaderno di testo - v. 1.05
Esercizio 1
Effettuare i seguenti cambiamenti di codifica su numeri naturali:
• 12310 = x2
• 0111012 = x10
• 2310 = x5
• 1235 = x10
• 12310 = xH
• A1H = x10
• 91H = xQ
• 12310 = xBCD
• 10010110BCD = x10
• 10100110BCD = x10
• 10010110BCD = x2
[ 11110112 ]
[ 2910 ]
[ 435 ]
[ 3810 ]
[ 7B16 ]
[ 16110 ]
[ 2218 ]
[ 000100100011BCD ]
[ 9610 ]
[ impossibile: 1010 non è una cifra valida in BCD ]
[ 11000002 ]
Esercizio 2
Effettuare i seguenti cambiamenti di codifica su numeri relativi considerando numeri binari da 6 bit:
• +1310 = xMS
• -1310 = xMS
• +3210 = xMS
• -3210 = xMS
• +1310 = xCA2
• -1310 = xCA2
• +3210 = xCA2
• -3210 = xCA2
• 010001MS = x10
• 010001CA2 = x10
• 100001MS = x10
• 100001CA2 = x10
1
[ 001101MS ]
[ 101101MS ]
[ non rappresentabile in codifica MS su 6 bit ]
[ non rappresentabile in codifica MS su 6 bit ]
[ 001101CA2 ]
[ 110011CA2 ]
[ non rappresentabile in codifica CA2 su 6 bit ]
[ 100000CA2 ]
[+1710 ]
[+1710 ]
[−110 ]
[−3110 ]

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Esercizio 3
Effettuare le seguenti operazioni considerando numeri binari da 6 bit ed indicando sempre se si è
verificato errore e di quale tipo:
• (binario puro) 010101 + 000111 [ 011100, ok ]
• (binario puro) 010101 + 010001 [ 100110, ok ]
• (binario puro) 010101 - 000111 [ 001110, ok ]
• (binario puro) 010101 - 011001 [ 111100, overflow: borrow su MSB ]
• (CA2) 010101 + 000111 [ 011100, ok ]
• (CA2) 010101 + 010001 [ 100110, overflow: cambio di segno ]
• (CA2) 010101 - 000111 [ 001110, ok ]
• (CA2) 010101 - 011001 [ 111100, ok ]
• (binario puro) 010101 ≪ 1 [ 101010, ok ]
• (binario puro) 010101 ≪ 2 [ 010100, overflow: scarto di un bit a 1 ]
• (binario puro) 110101 ≫ 1 [ 011010, troncamento: scarto di un bit a 1 ]
• (CA2) 001101 ≪ 1 [ 011010, ok ]
• (CA2) 010101 ≪ 1 [ 101010, overflow: cambio di segno ]
• (CA2) 010101 ≪ 2 [ 010100, overflow: cambio di segno al primo passo ]
• (CA2) 110101 ≫ 1 [ 111010, troncamento: scarto di un bit a 1 ]
Esercizio 4
Indicare la precisione assoluta e relativa dei seguenti numeri decimali:
n10 = 15 30 15.0 30.0 15.4 15.44
ε10(n)= [ 1 ] [ 1 ] [ 0.1 ] [ 0.1 ] [ 0.1 ] [ 0.01 ]
η10(n)= [ 6.7% ] [ 3.3% ] [ 0.67% ] [ 0.33% ] [ 0.65% ] [ 0.065% ]
Esercizio 5
Indicare la precisione assoluta binaria e decimale dei seguenti numeri binari:
n2 = 0 10 1.1 1.01 1.001 1.0001
ε2(n)= [ 1 ] [ 1 ] [ 1/2 ] [ 1/4 ] [ 1/8 ] [ 1/16 ]
ε10(n)= [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 0.1 ]
Esercizio 6
Effettuare le seguenti conversioni in binario puro con la precisione decimale indicata:
• 0.910 = x2 (ε=0.1) [ 0.11102 ]
• 12.510 = x2 (ε=0.01) [ 1100.10000002 ]
• 12.6310 = x2 (ε=0.001) [ 1100.10100001012 ]
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Esercizio 7
Effettuare la seguenti conversioni mantenendo la stessa precisione assoluta:
• 10.0112 = x10
• 10.01102 = x10
• 0.01010010002 = x10
[ 210 ]
[ 2.310 ]
[ 0.32010 ]
Esercizio 8
Discutere applicabilità, vantaggi e svantaggi delle seguenti codifiche nel caso di un sensore digitale
di temperatura che deve operare nel campo -20 ◦ . . . +44 ◦ C:
• numeri da 6 bit in binario puro, MS, CA2
• numeri da 8 bit in binario puro, MS, CA2
[ L’esercizio richiede di codificare 65 temperature diverse (20 negative, 44 positive e la temperatura
zero).
Poiché con numeri da 6 bit si possono codificare al più 2 6 (ossia 64) oggetti diversi, ne consegue che
non si può usare nessuna codifica basata su 6 bit.
Le tre codifiche su 8 bit possono invece tutte essere teoricamente utilizzate perché in grado di rappresentare
2 8 (ossia 256) oggetti diversi.
La codifica in complemento a due su 8 bit è quella più diretta perché è in grado di rappresentare tutti
i numeri interi relativi nell’intervallo:
−2 8−1 ...+2 8−1 − 1 ossia − 128...+127
Le operazioni di codifica e decodifica sono però complesse ed il loro prezzo è più facilmente giustificabile
se poi si dovessero svolgere dei calcoli sulle temperature (es. calcolo della media).
La codifica in modulo e segno su 8 bit è in grado di rappresentare tutti i numeri interi relativi
nell’intervallo:
−2 8−1 − 1...+2 8−1 − 1 ossia − 127...+127
Le operazioni di codifica e decodifica sono semplici ma si deve fare attenzione al doppio zero (+0 e
−0). Nel caso si debbano svolgere dei calcoli sulle temperature (es. calcolo della media) allora è da
sconsigliare perché le operazioni aritmetiche su questa codifica spono complesse.
La codifica in binario puro su 8 bit è in grado di rappresentare tutti i numeri interi nell’intervallo:
0...2 8−1 ossia 0...255
Non può quindi essere usata direttamente per rappresentare le temperature indicate ma sarebbe
necessario effettuare una codifica “eccesso 20” ossia:
n(T)=T + 20
ove T è la temperatura registrata e n il numero che la rappresenta. A seguito di questa codifica anche
le eventuali operazioni aritmetiche che si dovessero svolgere diventerebbero semplici (perché svolte
su numeri interi positivi). ]
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Esercizio 9
Spiegare qual è il potenziale vantaggio di una codifica BCD per numeri reali frazionari rispetto ad
una codifica floating-point.
[ La codifica BCD permette di codificare in modo esatto i numeri decimali frazionari, senza alcun
errore di rappresentazione. ]
Esercizio 10
Convertire il numero decimale −3.25 in binario con le codifiche specificate, indicando anche la
precisione assoluta decimale del numero binario risultante:
• binario fixed-point CA2 4I + 4F [ 1100 1100,ε=10 −1 ]
• binario floating-point IEEE-754 SP [ 1 10000000 10100000000000000000000,ε=10 −6 ]
Esercizio 11
Per ciascuna delle seguenti codifiche binarie, indicare l’intervallo di valori numerici rappresentabile
(in modo naturale, senza particolari ipotesi o accorgimenti) e la precisione assoluta:
• binario puro su 6 bit [ 0...63,ε=1 ]
• modulo e segno su 6 bit [−31...+31,ε=1 ]
• complemento a due su 6 bit [−32...+31,ε=1 ]
• BCD su 12 bit [ 0...999,ε=1 ]
• fixed-point 6I + 3F [ 0...63.875,ε10 = 1,ε2 = 1/8 ]
• fixed-point complemento a due 6I + 3F [−32...+31.875,ε10 = 1,ε2 = 1/8 ]
• codice eccesso 16 su 8 bit [ −16...239,ε=1 ]
Esercizio 12
Indicare le basi in cui valgono le seguenti uguaglianze:
• 201x+ 33x = 351x
• 201z− 33z = 135z
Esercizio 13
Convertire in formato IEEE-754 SP i seguenti numeri decimali:
[ nessuna base ]
• −7 [ 1 10000001 11000000000000000000000 ]
• +3.54·10 −3 [ 0 01110110 11001111111111101011000 ]
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[ 7 ]

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Esercizio 14
Convertire in decimale i seguenti numeri binari in formato IEEE-754 SP, esprimendo il risultato in
forma esponenziale ingegneristica con la stessa precisione del numero binario:
• 01101100001010000000000000000000 [+812.3981·10 24 ]
Il MSB rappresenta il segno: il numero è quindi positivo. Gli 8 bit successivi al MSB rappresentano
l’esponente (in codifica “eccesso 127”):
110110002− 12710 = 216−127=89
I restanti 23 bit rappresentano la parte frazionaria del modulo della mantissa (che ha la parte
intera “1.” sottintesa), quindi il numero codificato è:
+1.01012· 2 89 = +101012· 2 85
= +21·2 85
= +812,398,150,781,030,805,402,550,272
= +812.3981·10 24
Si noti che, trattandosi di un numero in codifica IEEE 754 SP, il risultato è stato scritto con 7
cifre significative. Inoltre, essendo stata richiesta la rappresentazione in formato esponenziale
ingegneristico, si è scelta come esponente decimale il massimo multiplo di tre che permette di
avere una parte intera non nulla.
• 10000111100000000000000000000000 [ −192.5930·10 −36 ]
Il MSB rappresenta il segno: il numero è quindi negativo. Gli 8 bit successivi al MSB rappresentano
l’esponente (in codifica “eccesso 127”):
000011112− 12710 = 15−127=−112
I restanti 23 bit rappresentano la parte frazionaria del modulo della mantissa (che ha la parte
intera “1.” sottintesa), quindi il numero codificato è:
−1.02· 2 −112 = −2 −112
= −1.925929944·10 −34
= −192.5930·10 −36
Si noti che, trattandosi di un numero in codifica IEEE 754 SP, il risultato è stato scritto con 7
cifre significative. Inoltre, essendo stata richiesta la rappresentazione in formato esponenziale
ingegneristico, si è scelta come esponente decimale il massimo multiplo di tre che permette di
avere una parte intera non nulla.
• 01111111100000000000000000000000 [ +∞ ]
Poiché la parte frazionaria della mantissa (i 23 bit meno significativi della codifica) è nulla
e l’esponente codificato (gli 8 bit successivi al MSB) ha il valore massimo possibile, si tratta
di una delle codifiche “speciali” IEEE 754, che corrisponde ad infinito. Guardando il segno
(rappresentato dal MSB) si può concludere che si tratta della codifica +∞.
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