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IL PROBLEMA DEL FLUSSO DI COSTO MINIMO
DANIEL BUCCARELLA – 698102 – danielbuccarella@virgilio.it

1. Definizione del Problema
Spesso i problemi di ottimizzazione sono caratterizzati da una struttura di grafo. In
alcuni casi questa struttura nasce dal particolare modo in cui un problema viene
modellato, in altri emerge in modo del tutto naturale. Si pensi, ad esempio, ad una
rete stradale. Essa è rappresentabile naturalmente come un grafo in cui i nodi sono gli
incroci e gli archi le strade.
Nel seguito studieremo un problema di base definito su reti, enunciandone le
proprietà e introducendo un semplice algoritmo risolutivo.
Con il termine “rete” indichiamo un grafo G= N , A orientato e pesato. Ai nodi e
agli archi del grafo, infatti, sono associati dei valori numerici chiamati, appunto,
“pesi”.
Possiamo interpretare gli archi della rete come canali attraverso cui fluiscono dei
beni, rappresentabili per mezzo di grandezze discrete (pensiamo al numero di
messaggi attraverso una rete di comunicazione) o continue (quantità di petrolio che
fluisce in un oleodotto). I beni, inoltre, possono rappresentare valori assoluti oppure
valori relativi, ad esempio, ad unità di tempo.
Proviamo a pensare ai pesi dei nodi come la quantità dei beni che in quei nodi
entrano nella rete o ne escono. Ad ogni nodo i∈N è associato un valore reale b i
(bilancio o afflusso netto nel nodo), che può essere:
● Positivo: b i viene detto domanda del nodo, in quanto rappresenta la quantità
del bene che esce dalla rete al nodo i . Il nodo viene detto destinazione, pozzo
o nodo di output.
● Negativo: ­ b i viene detto offerta del nodo, in quanto rappresenta la quantità
del bene che entra nella rete al nodo i . Il nodo viene detto origine, sorgente o
nodo di input.
● Nullo: i viene detto nodo di trasferimento.
Pensando invece ai pesi degli archi come capacità e costi abbiamo che ad ogni arco
a =i , j k sono associati un costo ck (o cij ), indicante il costo che viene pagato per
ogni unità del bene che attraversi l'arco, ed una capacità inferiore l k ( lij ) e
superiore uk ( uij ), indicanti rispettivamente il minimo e massimo numero di unità di
bene che possono attraversare l'arco.
Un flusso ammissibile in una rete è una funzione f : N ×N R che assegna ad ogni
arco i , j un valore reale xij che soddisfa i seguenti requisiti:

● Requisito di Capacità: ∀ i , j∈N , l ij ≤x ij ≤u ij
● Requisito di Simmetria: ∀ i , j∈N , x ij = ­ x ji
● Requisito di Bilancio: ∀ i∈N ,∑ j ∈ N x ij =b i
Il bilancio rappresenta la differenza tra il flusso entrante e il flusso uscente da
un nodo; se il bilancio di un nodo i è nullo ( b i =0 ), si parla di equazione di
conservazione del flusso in quanto, in questo caso, il nodo produce la stessa
quantità di flusso che consuma.
Nei problemi di flusso la somma di tutte le domande (domanda globale) è uguale alla
somma, cambiata di segno, di tutte le offerte (offerta globale). Definiti, cioè, gli
insiemi D dei nodi di domanda e O dei nodi di offerta:
si ha che:
D={i∈N :b i 0},O={i∈N : b i 0},
∑ i ∈D b i = ­ ∑ i ∈O b i
Da ciò è facile dedurre che ∑ i ∈N b i =0 .
Il costo di un flusso ammissibile è definito come:
costox= ∑ c x ij ij
i , j∈ A
Il problema del flusso di costo minimo: è data una rete G= N , A , con ∣A∣=m . Ad
ogni arco i , j∈A sono associati un costo c ij , una capacità inferiore l ij =0 ed una
capacità superiore u ij . Ad ogni nodo i∈N è associato un bilancio b i . Intendiamo
trovare, fra tutti i flussi ammissibili in G , il flusso (un vettore x∈R m contenente i
valori del flusso su ogni arco) che rende minimo costox .

2. Condizioni di Ottimo
Lo studio delle condizioni di ottimo, cioè delle proprietà che ci permettono di
verificare se una data soluzione è ottima per il problema, costituisce il primo passo
per lo sviluppo di un algoritmo. Introduciamo quindi i concetti che ci torneranno utili
durante la trattazione.
Un vettore x∈R m che rispetta tutti i vincoli di capacità sugli archi, cioè tale che
0≤x≤u , è detto pseudoflusso.
Lo sbilanciamento di un nodo i rispetto a x è la quantità
Definiamo poi
e x i=∑ j ∈N x ij ­ b i
O x ={i∈N : e x i0}, D x ={i∈N :e x i0}
rispettivamente l'insieme dei nodi con eccedenza di flusso e quello dei nodi con
difetto di flusso. Se risulta D x =O x =∅ , se tutti i nodi sono, cioè, bilanciati, il vettore
x rispetta il Requisito di Bilancio.
Indicando con e x il vettore degli sbilanciamenti del vettore x ,
g x=∑ i ∈Ox
e x i
rappresenta lo sbilanciamento complessivo, calcolabile anche con la formula
gx = ­ ∑ j∈ Dx
e x j
Possiamo dunque affermare che x rispetta il Requisito di Bilancio se e solo se
g x=0 .
Dato un qualsiasi cammino P tra una qualunque coppia di nodi s e t del grafo,
consideriamo il verso di P quello che va da s a t . Gli archi del cammino
risultano, quindi, partizionati nei due insiemi degli archi concordi ( P ) e discordi
( P ) col verso del cammino. La capacità del cammino P rispetto al flusso x è
data da:

P , x=min { min { u ij ­ x ij :i , j∈P
} , min { x ij :i , j∈P
Questa formula rappresenta la quantità massima di flusso che non produce flussi
maggiori delle capacità se aggiunta agli archi di P e non produce flussi negativi se
sottratta agli archi di P . Se accade che almeno uno degli archi di P è saturo
oppure che almeno uno degli archi di P è vuoto, allora P , x=0 . Se, invece,
P , x0 , ciò significa che lungo P può essere inviata una quantità positiva di
flusso da s verso t . P In questo caso è detto cammino aumentante.
Dato uno pseudoflusso x , è possibile inviare lungo P una quantità di flusso
0≤P , x mediante l'operazione di composizione (⊕) nel modo seguente:
x ij ={
x
ij + , sei , j∈P
x ij ­ , sei , j∈P
x ij ,altrimenti
Lo pseudoflusso ottenuto ( x=x ⊕ P ) è tale che:
e x i ={
e
x s ­ , sei=s
e x t + , sei=t
e x i,altrimenti
Inviare flusso lungo un cammino aumentante modifica, quindi, solo lo
sbilanciamento dei nodi estremi del cammino, lasciando invariato quello di tutti i
nodi intermedi.
Il caso in cui s=t è un caso particolare di cammino aumentante: il cammino è, cioè,
un ciclo aumentante C su cui fissiamo arbitrariamente un verso di percorrenza.
L'invio di flusso attraverso un tale cammino aumentante, non modificherebbe,
ovviamente, lo sbilanciamento di alcun nodo. In particolare, a partire da un flusso
ammissibile x , l'operazione di composizione con un ciclo aumentante C permette
di costruire un diverso flusso ammissibile. In altre parole, se x è un flusso
ammissibile, allora, per 0≤≤C , x , ogni flusso x=x ⊕ C è ancora un flusso
ammissibile.
Il costo di un cammino (o di un ciclo) P è il costo di un'unità di flusso inviata,
secondo il verso fissato, lungo P :
}}

c P=∑ i , j∈P c ij ­ ∑ i , j∈P c ij
mentre il costo del nuovo pseudoflusso è dato da
(1) cx=cx ⊕ P=cxc P
Per determinare cammini o cicli aumentanti, si può utilizzare il grafo residuo
G x =N , A x rispetto allo pseudoflusso x : per ogni arco i , j∈A poniamo i , j in
A x , con costo c ij '=c ij , se e solo se x ij u ij , mentre poniamo j , i in A x , con costo
c ji ' = ­ c ji , se e solo se x ij 0 .
In base a questa costruzione, comunque si fissino s e t , per ogni cammino
aumentante da s a t rispetto a x in G , esisterà uno e un solo cammino orientato
da s a t in G x . Il cammino in G e quello in G x avranno lo stesso costo.
Teorema 1: Dati due pseudoflussi qualunque x ' ed x ' ' , esistono k≤nm
cammini o cicli aumentanti per x ' , P 1 , ... , P k , di cui al più m sono cicli, tali che
x 1 =x ' , x i1 =x i ⊕ i P i , per i=1, ... , k , x k1 = x' ' , dove 0 i = P i , x i ,i=1, ... , k . In
particolare, gli estremi di tutti i cammini aumentanti sono nodi in cui lo
sbilanciamento di x ' è diverso dallo sbilanciamento di x ' ' , per cui se x ' ed x ' '
hanno lo stesso vettore di sbilanciamenti, allora tutti i P i sono cicli.
Dimostrazione: la nostra dimostrazione è di tipo costruttivo: manteniamo uno
pseudoflusso x , inizialmente pari a x ' , e lo rendiamo uguale a x ' ' , utilizzando
cammini e cicli aumentanti per x ' , in un numero finito di passi.
' '
={i , j: xij xij } e
Per far questo definiamo il grafo G = N , A , Ax x x , dove Ax ' '
A ={ j ,i: xij xij } x
. Possiamo affermare che G x descrive la differenza tra x e x ' ' .
E', infatti, immediato verificare che A = Ax =∅ x se e solo se x ' '=x . Associamo ora
ad ogni arco i , j∈A x
' '
la quantità d i , j=x x ij
' '
quantità d j ,i=x x ij ­ x 0 ij e definiamo gli insiemi
­ x 0 ij e ad ogni arco j , i∈A x
O x ={i∈N : e x ie x '' i}, D x ={i∈N :e x ie x ' ' i}
contenenti rispettivamente i nodi che hanno sbilanciamento rispetto a x maggiore
dello sbilanciamento rispetto a x ' ' e i nodi per i quali avviene l'opposto.
Avviene allora che:
la

●
O x =D x =∅ se e solo se x ed x ' ' hanno lo stesso vettore di sbilanciamento
● tutti i nodi in O x hanno almeno un arco uscente in G x , tutti i nodi in D x
hanno almeno un arco entrante in G x , mentre tutti i nodi in N ∖O x ∪D x o
non hanno né archi entranti né archi uscenti oppure hanno sia almeno un arco
entrante che almeno un arco uscente.
Abbiamo ora la possibilità di costruire iterativamente i cicli e i cammini richiesti,
utilizzando G x . Se A = Ax =∅ x , ossia x= x' ' , il procedimento termina, altrimenti
prendiamo in considerazione i due insiemi O x e D x : se O ≠∅ x selezioniamo un
nodo s∈O x , altrimenti, per costruire un ciclo, selezioniamo un qualsiasi nodo s che
abbia almeno un arco uscente (e quindi almeno uno entrante). Visitiamo, dunque,
G x a partire da s , nodo che ha sicuramente un arco uscente. Siccome, poi, ogni
nodo, tranne al più quelli in Dx , ha almeno un arco uscente, in un numero finito di
passi, la visita:
● o raggiunge un nodo t∈D x
● oppure torna su un nodo già precedentemente visitato.
Nel primo caso determiniamo un cammino P in G x tra un nodo s∈O x e un nodo
t∈D x . Su questo cammino viene inviata una quantità di flusso pari a
=min { min { d x i , j:i , j∈P } , e x s ­ e x ' ' s ,e x '' t ­ e x t }
Nel secondo caso determiniamo un ciclo C in G x . Su questo ciclo viene inviata una
quantità di flusso pari a
=min {d x i , j:i , j∈C }
In entrambi i casi otteniamo un nuovo pseudoflusso x che potremmo definire “più
simile” ad x ' ' rispetto al precedente, in quanto, per ogni i , j di P (o C ),
d x i , j diminuisce della quantità 0 . In particolare, se si determina un cammino,
si avrà che o d x i , j=0 per almeno un i , j∈P , oppure lo sbilanciamento rispetto
ad x di almeno uno tra s e t diventa pari allo sbilanciamento rispetto ad x ' ' , e
quindi almeno uno tra s e t non comparirà più in O x o in D x ; se invece si
determina un ciclo, allora si avrà d x i , j=0 per almeno un i , j∈C , e quindi tale
arco non comparirà più in G x .

E' da notare che il flusso può solo aumentare sugli archi di A x ' , mentre può solo
' '
diminuire sugli archi di A x . Non appena x =x ij ij , il flusso su i , j non viene più
modificato, perciò in G x non può essere creato nessun nuovo arco.
Possiamo allora concludere che ogni grafo G x è un sottografo del grafo residuo
iniziale G x ' , e perciò un qualunque cammino o ciclo che viene utilizzato è
aumentante rispetto allo pseudoflusso iniziale x ' .
Ad ogni passo cancelliamo o almeno un nodo da O ∪D x x o almeno un aro da G x ,
quindi, tutti gli archi di G x vengono cancellati in al più nm passi. ◊
Il Teorema appena dimostrato ci permette di dare una caratterizzazione degli
pseudoflussi ottimi e quindi dei flussi ottimi. Definiamo minimale uno pseudoflusso
x di costo minimo tra tutti gli pseudoflussi aventi lo stesso vettore di
sbilanciamento e x . La soluzione ottima al nostro problema del flusso di costo
minimo è un flusso ammissibile minimale, un flusso, cioè, che ha costo minimo tra
tutti gli pseudoflussi aventi e x =0 .
Lemma 1: Uno flusso ammissibile (pseudoflusso) x è ottimo (minimale) se e solo
se non esistono cicli aumentanti rispetto ad x il cui costo sia negativo.
Dimostrazione: Se esiste un ciclo aumentante C rispetto ad x il cui costo cC è
negativo, allora x non è minimale: per ogni 0≤C , x , lo pseudoflusso
x=x ⊕ C ha lo stesso vettore di sbilanciamento di x , ma, ricordando (1),
cxcx .
Viceversa, sia x uno pseudoflusso tale che non esistono cicli aumentanti di costo
negativo rispetto ad x . Supponiamo che esista uno pseudoflusso x ' con lo stesso
vettore di sbilanciamento tale che cx 'cx , ossia supponiamo che x non sia
minimale. Allora per il Teorema 1:
x '=x ⊕ 1 C 1 ⊕ ... ⊕ k C k
dove C i sono cicli aumentanti per x . Ma i i sono tutti numeri positivi, quindi, il
fatto che sia cx 'cx e (1) implicano che cC i 0 per un qualche i , il che
contraddice l'ipotesi.

3. Soluzione Basata su Cammini Minimi Successivi
L'algoritmo basato su cammini minimi successivi sfrutta l'idea seguente: ad ogni
passo mantiene uno pseudoflusso minimale x e per diminuire lo sbilanciamento di
x , al minor costo possibile, determina un cammino aumentante di costo minimo tra
un nodo s∈O x e un nodo t∈D x . La minimalità degli pseudoflussi è conservata
grazie all'utilizzo di cammini aumentanti di costo minimo, come dimostra il seguente
Teorema 2: Sia x uno pseudoflusso minimale e, tra tutti i cammini che uniscono un
dato nodo s∈O x ad un dato nodo t∈D x , sia P il cammino aumentante rispetto a
x di costo minimo. In qualsiasi modo venga scelto ≤ P , x, x ⊕ P è uno
pseudoflusso minimale.
Dimostrazione: Fissato ≤ P , x , sia x ' uno pseudoflusso qualsiasi e sia e x il
suo vettore di sbilanciamento. Esistono, per il Teorema 1, k cammini aumentanti
P 1 , ... , P k da s a t (essendo s e t gli unici nodi per i quali differiscono e x ed
e x ) e h cicli aumentanti C 1 , ... ,C h rispetto ad x tali che
x '=x ⊕ 1 P 1 ⊕ ... ⊕ k P k ⊕ k1 C 1 ⊕ ... ⊕ k h C h
Inoltre, deve sicuramente essere 1 ... k = . x è minimale, perciò ciasuno degli
h cicli aumentanti deve avere costo non negativo; inoltre P ha costo minimo tra
tutti cammini aumentanti tra s e t , quindi si ha cP≤c P i ,i=1, ... , k . Allora:
cx '=cx 1 cP 1 ... k c P k k1 cC 1 ... k h cC h ≥cx c P=cx
Quindi, x è minimale. ◊
Ricordiamo che e x s0 e che e x t 0 . L'operazione di composizione tra lo
pseudoflusso x e il cammino P permette, con un'opportuna scelta di , di
diminuire lo sbilanciamento complessivo. Infatti per
(2) =min { P , x , e x s, ­ e x t } > 0
x è uno pseudoflusso minimale con sbilanciamento complessivo
g x=g x ­ gx . Tale scelta di corrisponde alla maggiore diminuzione

possibile dello sbilanciamento complessivo corrispondente al cammino P e allo
pseudoflusso x .
L'algoritmo, mostrato qui di seguito, termina se lo pseudoflusso minimale corrente ha
sbilanciamento nullo (è un flusso ottimo), oppure se non esistono più cammini
aumentanti tra nodi in O x e nodi in D x (il problema non ha soluzioni ammissibili).
Algoritmo camminiMinimiSuccessivi( G , c , b , u , x , caso )
{
inizializza( x );
caso := “ottimo”;
while ( g x != 0) and ( caso != “vuoto”) do
if trovaCamminoMinimo( G x , O x , D x , P , )
then aumentaFlusso( x , P , );
else caso := “vuoto”;
}
Partendo dal presupposto che non esistano archi con costo negativo e capacità
infinita, la procedura inizializza costruisce uno pseudoflusso x minimale nel
modo seguente:
x ij ={
0,
se c ij ≥0
u ij , altrimenti
I costi degli archi in G x risultano, così, tutti non negativi e perciò non esistono cicli
orientati in G x (e cioè cicli aumentanti rispetto a x in G ) di costo negativo. x è
allora minimale.
La procedura trovaCamminoMinimo risolve il problema dell'albero dei cammini
minimi con insieme di nodi radice O x su G x , determinando, quindi, un cammino
aumentante P di costo minimo da un qualsiasi nodo s∈O x a un qualsiasi nodo
t∈D x . Se, cioè, ∣O x∣1 , essa aggiunge a G x un nodo “radice” r collegato con
archi a costo nullo a tutti i nodi in O x e risolve il problema dell'albero dei cammini
minimi di radice r sul grafo così ottenuto; altrimenti utilizza come radice l'unico
nodo in O x . Se la procedura restituisce falso, il nostro algoritmo restituisce “vuoto”
(non esiste nessuna soluzione ammissibile per il nostro problema). In caso contrario,
la procedura restituisce un cammino aumentante P che unisce un nodo s∈O x a un
nodo t∈D x insieme alla quantità di flusso , definita in (2), che deve essere inviata

lungo P , invio del quale si occupa la procedura aumentaFlusso implementando
l'operazione di composizione ⊕.
Se =e s x , allora il nodo s risulterà bilanciato
rispetto al nuovo flusso, e lo stesso discorso vale per il nodo t se = ­ e t x ;
altrimenti, è determinato dalla capacità del cammino e ciò vuol dire che almeno
un arco di P diviene vuoto oppure saturo.
Se l'algoritmo descritto termina con gx=0 , allora x è un flusso ottimo. Per il
Teorema 2, infatti, ad ogni passo lo pseudoflusso x è minimale in quanto l'algoritmo
usa sempre cammini aumentanti di costo minimo. Nel caso in cui b e u siano interi
possiamo facilmente provare la terminazione dell'algoritmo. Lo pseudoflusso iniziale,
in questo caso, è anch'esso intero, e lo sono, quindi, la quantità a quell'iterazione e
lo pseudoflusso x ottenuto al termine dell'iterazione. Ad ogni iterazione, di
conseguenza, x è intero, ≥1 e g x diminuisce almeno di un'unità. L'algoritmo
termina, perciò, in un numero finito di iterazioni. Da quanto detto segue il
Teorema 3: Per qualsiasi scelta dei costi degli archi, se le capacità degli archi ed i
bilanci dei nodi sono interi, allora esiste almeno una soluzione ottima intera per il
problema MCF.
Lo sbilanciamento complessivo dello pseudoflusso x costruito dalla procedura
inizializza è limitato superiormente da g=∑ u ∑ b ij i . Il numero delle
cij0 bi0 iterazioni non potrà eccedere g dato che g x diminuisce di almeno un'unità ad
ogni iterazione. Inoltre, si vede chiaramente che tutte le operazioni effettuate durante
una singola iterazione hanno complessità al più On , esclusa l'invocazione della
procedura trovaCamminoMinimo. Se per tale procedura utilizziamo un algoritmo
di costruzione dell'albero dei cammini minimi che ha complessità Omn , la
complessità totale di camminiMinimiSuccessivi risulta essere Ogmn .

Data l'istanza del problema sopra mostrata, descriviamo, con l'aiuto della prossima
figura, il funzionamento dell'algoritmo basato su cammini minimi successivi.
Tutti i costo sono non negativi, quindi la procedura inizializza costruisce uno
pseudoflusso iniziale identicamente nullo. Mostriamo, per ogni iterazione, sulla
sinistra il grafo residuo G x e a destra lo pseudoflusso ottenuto al termine
dell'iterazione. Nel grafo residuo risulta evidenziato l'albero dei cammini minimi con
i valori delle corrispondenti etichette e viene mostrato il valore del flusso inviato
lungo il relativo cammino aumentante da 1 a 5. I valori del flusso e gli sbilanciamenti
non visualizzati sono da considerare pari a zero.
Al termine della quarta iterazione tutti i nodi hanno sbilanciamento nullo e la
soluzione è, perciò, ottima.

4. Bibliografia
● R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, J. B. Orlin ­ “Network flows. Theory, algorithms
and applications” ­ Prentice Hall – 1993
● M. S. Bazaraa, J. J. Jarvis, H. D. Sherali ­ “Linear programming and network
flows” ­ Wiley ­ 1990