Programma - Dipartimento di Matematica

Corso: Teoria Geometrica della Misura Università di Pisa
Docente: Valentino Magnani Dipartimento di Matematica
Anno Accademico: 2012-2013 Largo Bruno Pontecorvo 5
Ore previste per il corso: 42 I-56127, Pisa
Crediti formativi: 6 magnani@dm.unipi.it
Laurea in Matematica. Semestre II.
Pisa, 25 Settembre 2012
Programma del corso
1. Misure esterne, Borel regolari e di Radon. Misure su σ-algebre e loro nessi con le
misure esterne sull’insieme delle parti. Misure vettoriali e loro variazione totale.
2. Teoremi di ricoprimento di tipo Vitali, Misure di Carathéodory, di Lebesgue, di
Hausdorff e dimensione di Hausdorff. Insiemi di Cantor, frattali e costruzioni alla
Hutchinson. Teorema di differenziabilità di Lebesgue in spazi metrici doubling.
3. Disuguaglianza isodiametrica e uguaglianza tra misura di Hausdorff e misura di
Lebesgue della stessa dimensione.
4. Funzioni a variazione limitata, assolutamente continue e loro differenziabilità quasi
ovunque sulla retta reale. Teorema di Rademacher per funzioni di più variabili reali.
5. Elementi di algebra multilineare, formula di area per mappe vettoriali lipschitziane
di più variabili reali ed il caso del cambiamento di variabile. Formula di coarea per
mappe lipschitziane vettoriali di più variabili reali.
6. Spazi di Sobolev e funzioni a variazioni limitata in più variabili reali. Teoremi di
Meyers-Serrin e di Anzellotti-Giaquinta.
7. Caratterizzazione delle funzioni di Sobolev e a variazione limitata per restrizioni
unidimensionali. Principali teoremi di immersione di Sobolev e di compattezza.
Alcuni cenni riguardanti mappe di Sobolev su sottovarietà e teoremi di traccia.
8. Insiemi a perimetro finito, loro proprietà, teorema della divergenza per insiemi con
perimetro finito e disuguaglianze isoperimetriche.
9. Nozioni di differenziabilità approssimata e di differenziabilità nella topologia degli
spazi di Sobolev. Differenziabilità quasi ovunque delle funzioni di Sobolev W 1,p di
n variabili, con p > n.
10. Capacità di insiemi e sua relazione con la misura di Hausdorff. Continuità delle
funzioni di Sobolev a meno di insiemi con capacità piccola.
11. Insiemi rettificabili, spazi tangenti approssimati e rettificabilità. Formule di area e
coarea per mappe lipschitziane su insiemi rettificabili. Cenni sulla formula di coarea
per mappe di Sobolev, pubblicata nel 2003 da J. Mal´y, D. Swanson e W. P. Ziemer.
12. Frontiera ridotta e teorema di rettificabilità di De Giorgi. Alcuni cenni su superfici
minime e correnti.

Prerequisiti
È necessaria la conoscenza dei corsi di Analisi e di Geometria del primo biennio, ed in particolare
della teoria dell’integrazione secondo Lebesgue, le proprietà elementari riguardanti
sottovarietà e varietà astratte e la topologia degli spazi metrici. È auspicabile anche la
conoscenza dei primi elementi di Teoria della Misura quali integrazione astratta, teorema
di Fubini, teorema di convergenza Lebesgue in spazi mensurali e teorema di rappresentazione
di Riesz per funzionali su spazi di funzioni continue. È altrettanto utile conoscere
elementi di teoria dell’integrazione su superfici e sottovarietà. Tutti i risultati più avanzati,
che non siano contenuti in un corso del primo biennio, saranno comunque richiamati
con precise referenze.
Testi di riferimento
Il corso farà riferimento principalmente al testo di L. C. Evans e R. F. Gariepy dal titolo
“Measure theory and fine properties of functions”, CRC Press, Boca Raton, 1992. Saranno
indicati altri testi per specifici argomenti e approfondimenti.
Note sul corso
Le parti finali del programma saranno sviluppate nella misura in cui sarà rimasto ancora
tempo a disposizione. Potranno esserci piccoli aggiustamenti di programma al fine di
migliorare lo sviluppo delle lezioni. A fine corso sarà redatto un programma dettagliato
con la lista degli argomenti affrontati, anche ai fini della prova orale.
Obiettivi formativi
Il corso si rivolge al più ampio numero di studenti per fornire strumenti avanzati, che in
questo momento costituiscono la premessa fondamentale per ulteriori sviluppi dell’Analisi
Moderna. Il corso si soffermerà principalmente su misure geometriche, spazi di funzioni,
loro proprietà fini e relazioni con insiemi e misure geometriche. Alcune parti del corso
possono essere sviluppate come argomenti per una Tesi di Laurea Magistrale.
Metodi didattici
Lezioni frontali con assegnazione di esercizi.
Modalità di verifica dell’apprendimento
L’esame consisterà principalmente in una prova orale sugli argomenti trattati nel corso.
Parte della prova orale potrà anche vertere sulla discussione di alcuni esercizi. Contribuirà
alla formazione del giudizio d’esame la scelta (facoltativa) del candidato di presentare
anche un argomento di approfondimento concordato con il docente.