ELEMENTI DI GONIOMETRIA E DI TRIGONOMETRIA - di Lucia Argilla
ELEMENTI DI GONIOMETRIA E DI TRIGONOMETRIA - di Lucia Argilla
ELEMENTI DI GONIOMETRIA E DI TRIGONOMETRIA - di Lucia Argilla
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Corso <strong>di</strong> laurea: BIOLOGIA<br />
Tutor: Floris Marta; Max Artizzu<br />
PRECORSI <strong>DI</strong> MATEMATICA<br />
<strong>ELEMENTI</strong> <strong>DI</strong> <strong>GONIOMETRIA</strong><br />
E <strong>DI</strong> <strong>TRIGONOMETRIA</strong><br />
Goniometria e trigonometria sono due termini che derivano dal greco e<br />
significano rispettivamente misura degli angoli e misura dei triangoli.<br />
Le origini della goniometria e della trigonometria sono assai lontane nel<br />
tempo; risalgono a qualche secolo prima <strong>di</strong> Cristo e sono inizialmente ispirate<br />
da esigenze legate alla risoluzione <strong>di</strong> vari problemi pratici <strong>di</strong> geodesia, <strong>di</strong><br />
navigazione, <strong>di</strong> astronomia, problemi che in genere richiedono <strong>di</strong> risalire dalla<br />
determinazione dì angolazioni e <strong>di</strong>stanze misurabili alla determinazione <strong>di</strong><br />
altre angolazioni e <strong>di</strong>stanze non <strong>di</strong>rettamente misurabili.<br />
A partire dal se<strong>di</strong>cesimo secolo la trigonometria si sviluppa e si affer-<br />
ma anche come <strong>di</strong>sciplina autonoma, raggiungendo quel rigore teorico e<br />
quell’aspetto formale e simbolico caratteristici del linguaggio matematico.<br />
Nel frattempo però sempre più numerose <strong>di</strong>vengono le implicazioni dei<br />
concetti goniometrici con le applicazioni della matematica nel campo scien-<br />
tifico e tecnologico; ben pochi sono infatti i rami della fisica, sia classica che<br />
moderna, che non contemplano per la loro trattazione il calcolo goniometrico<br />
e trigonometrico.<br />
Angoli ed archi<br />
Se in un piano si tracciano due semirette aventi l’origine in comune, il<br />
piano viene <strong>di</strong>viso in due parti, ciascuna delle quali viene chiamata angolo.<br />
Le due semirette vengono dette i lati dei due angoli e l’origine comune il<br />
loro vertice.<br />
Data una circonferenza avente il centro nel vertice <strong>di</strong> un angolo, si chiama<br />
1
arco circolare quella parte <strong>di</strong> circonferenza interna all’angolo e avente per<br />
estremi i punti <strong>di</strong> intersezione con i lati dell’angolo stesso (nella figura 1 è<br />
rappresentato l’arco AB <strong>di</strong> una circonferenza corrispondente ad un angolo<br />
α; il punto O, vertice dell’angolo, è il centro della circonferenza).<br />
Figura 1: Angoli ed archi corrispondenti<br />
Misura degli angoli e degli archi<br />
Per misurare una grandezza occorre fissare l’unità <strong>di</strong> misura. Le più<br />
usate unità <strong>di</strong> misura degli angoli sono il grado ed il ra<strong>di</strong>ante. Si chiama<br />
grado la 360 a parte dell’angolo giro. I suoi multipli sono il minuto pri-<br />
mo (o semplicemente primo), che è 1<br />
60<br />
semplicemente secondo), che è 1<br />
60<br />
<strong>di</strong> primo.<br />
<strong>di</strong> grado, ed il minuto secondo (o<br />
Si chiama ra<strong>di</strong>ante l’angolo al centro <strong>di</strong> una circonferenza, <strong>di</strong> raggio<br />
arbitrario, che sottende un arco <strong>di</strong> lunghezza uguale al raggio stesso (si tenga<br />
presente che se un angolo al centro <strong>di</strong> una circonferenza sottende un arco<br />
lungo quanto il raggio ciò succede per ogni altra circonferenza concentrica<br />
con la prima).<br />
Ovviamente, se la lunghezza dell’arco sotteso è ad esempio, metà <strong>di</strong> quella<br />
del raggio, l’angolo è <strong>di</strong> mezzo ra<strong>di</strong>ante; se è doppia <strong>di</strong> quella del raggio,<br />
l’angolo è <strong>di</strong> due ra<strong>di</strong>anti; e così via. L’angolo giro, che sottende l’intera<br />
circonferenza (la cui lunghezza è 2π volte quella del raggio), è <strong>di</strong> 2π ra<strong>di</strong>anti;<br />
l’angolo piatto è <strong>di</strong> π ra<strong>di</strong>anti; l’angolo retto <strong>di</strong> π<br />
2 ra<strong>di</strong>anti.<br />
In generale, la misura in ra<strong>di</strong>anti <strong>di</strong> un angolo che sottende un arco<br />
circolare <strong>di</strong> lunghezza l, è l<br />
r , essendo r il raggio della circonferenza <strong>di</strong> cui<br />
l’arco è parte.<br />
2
Per quanto concerne l’unità <strong>di</strong> misura degli archi circolari risulta conve-<br />
niente come unità l’arco il cui angolo al centro corrispondente è l’unità <strong>di</strong><br />
misura degli angoli. Si ha così l’arco grado, che è l’arco <strong>di</strong> circonferenza che<br />
corrisponde all’angolo al centro <strong>di</strong> un grado, e l’arco ra<strong>di</strong>ante, che è l’ar-<br />
co <strong>di</strong> circonferenza che corrisponde all’angolo al centro ra<strong>di</strong>ante. Seguendo<br />
questa convenzione la misura <strong>di</strong> un arco <strong>di</strong> circonferenza e la corrispondente<br />
angolo al centro sono espresse dallo stesso numero.<br />
È <strong>di</strong> importanza pratica sapere come si passa dalla misura <strong>di</strong> un angolo<br />
(o <strong>di</strong> un arco) in gra<strong>di</strong>, alla misura in ra<strong>di</strong>anti dello stesso angolo (o arco),<br />
e viceversa. Dette x ◦ e x r le misure, rispettivamente in gra<strong>di</strong> ed in ra<strong>di</strong>anti,<br />
<strong>di</strong> uno stesso arco) si ha:<br />
360 ◦ : 2π = x ◦ : x r<br />
Da questa proporzione si ricavano le due formule:<br />
x r = x◦<br />
180 ◦ π x◦ = xr<br />
π 180◦<br />
la prima delle quali da la misura in ra<strong>di</strong>anti, nota quella in gra<strong>di</strong>, la seconda<br />
la misura in gra<strong>di</strong>, nota quella in ra<strong>di</strong>anti.<br />
Esempi<br />
1) Esprimere in ra<strong>di</strong>anti la misura dell’angolo <strong>di</strong> 25 ◦ .<br />
Ponendo x ◦ = 25 ◦ nella prima formula si ha:<br />
x r = 25◦ 5<br />
π =<br />
180◦ 36 π<br />
2) Esprimere in gra<strong>di</strong> la misura dell’angolo ra<strong>di</strong>ante.<br />
Ponendo x r = 1 nella seconda formula si ottiene:<br />
x ◦ = 1<br />
π 180◦ 57 ◦ 17 ′ 5 ′′<br />
Riportiamo nella seguente tabella le misure in ra<strong>di</strong>anti <strong>di</strong> alcuni angoli<br />
particolari:<br />
Gra<strong>di</strong> 0 ◦ 30 ◦ 45 ◦ 60 ◦ 90 ◦ 180 ◦ 270 ◦ 360 ◦<br />
Ra<strong>di</strong>anti 0 π<br />
6<br />
π<br />
4<br />
π<br />
3<br />
3<br />
π<br />
3π<br />
2 π 2<br />
2π
Angoli ed archi orientati e loro misura<br />
Un angolo si <strong>di</strong>ce orientato quando i suoi lati sono considerati in un<br />
certo or<strong>di</strong>ne, quando cioè è stabilito quale dei due deve considerarsi come<br />
primo. In tal caso l’angolo può essere pensato come generato dalla ro-<br />
tazione del primo lato (lato origine) verso il secondo (lato termine), fino<br />
alla sovrapposizione dei due.<br />
Nella figura 2 sono rappresentati due angoli; se in entrambi si conside-<br />
ra a come lato origine e b come lato termine (la scrittura ab viene usata<br />
per in<strong>di</strong>care l’angolo nel caso <strong>di</strong> questa scelta), il primo (fig. 2a)) risulta<br />
orientato in senso antiorario, cioè <strong>di</strong>scorde quello <strong>di</strong> rotazione delle lancette<br />
dell’orologio, il secondo (fig. 2b)) in senso orario.<br />
Figura 2: Angoli orientati<br />
Convenendo <strong>di</strong> considerare positiva una rotazione che avviene nel verso<br />
antiorario e negativa quella che avviene nel verso orario, l’angolo della figura<br />
2a viene detto angolo positivo mentre quello della figura 2b viene detto<br />
angolo negativo.<br />
La misura <strong>di</strong> un angolo orientato si ottiene premettendo alla sua misura<br />
assoluta il + se l’angolo è positivo, il segno - se è negativo.<br />
Quanto si è detto per gli angoli vale anche per gli archi. Nella figura 3a è<br />
rappresentato un arco <strong>di</strong> circonferenza AB positivo; nella figura 3b un arco<br />
AB negativo.<br />
4
Figura 3: misure <strong>di</strong> angoli<br />
Seno, coseno, tangente e cotangente <strong>di</strong> un angolo (o <strong>di</strong> un arco)<br />
orientato<br />
Date due variabili, si <strong>di</strong>ce che la seconda è una funzione della prima se<br />
esiste una qualunque legge che ad ogni valore della prima (appartenente ad<br />
un determinato insieme numerico) ne fa corrispondere uno ed uno solo della<br />
seconda.<br />
Le funzioni nelle quali la variabile in<strong>di</strong>pendente è un angolo (o un arco)<br />
vengono goniometriche o circolari.<br />
Per definire le funzioni goniometriche elementari risulta opportuno consid-<br />
erare fisso il lato origine degli angoli e variabile il secondo. Riferito un pi-<br />
ano ad un sistema cartesiano ortogonale xOy conveniamo <strong>di</strong> assumere come<br />
semiretta origine degli angoli il semiasse positivo delle ascisse.<br />
Nella figura 4 è rappresentato l’angolo orientato (positivo) a il cui primo<br />
lato è il semiasse positivo delle ascisse ed il secondo la semiretta r.<br />
Sia P un generico punto della semiretta r, siano xp e yp le sue coor<strong>di</strong>nate<br />
e sia P O la <strong>di</strong>stanza assoluta <strong>di</strong> P dall’origine O. I quattro rapporti:<br />
yp<br />
P O<br />
xp<br />
P O<br />
non <strong>di</strong>pendono dalla posizione <strong>di</strong> P su r. Lo si può verificare prendendo<br />
su r un secondo P’ e considerando la similitu<strong>di</strong>ne che intercorre tra i due<br />
triangoli rettangoli PHO e P’H’O.<br />
I quattro suddetti rapporti <strong>di</strong>pendono solo dall’ampiezza dell’angolo α;<br />
sono dunque funzioni <strong>di</strong> α. Al primo si da il nome <strong>di</strong> seno <strong>di</strong> α (senα), al<br />
5<br />
yp<br />
xp<br />
xp<br />
yp
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
y<br />
P (xp, yp)<br />
H H’<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
P’<br />
Figura 4: .<br />
secondo <strong>di</strong> coseno <strong>di</strong> α (cosα), al terzo <strong>di</strong> tangente <strong>di</strong> α (tgα), al quarto<br />
<strong>di</strong> cotangente <strong>di</strong> α (ctgα), È dunque:<br />
senα = yp<br />
P O<br />
cosα = xp<br />
P O<br />
r<br />
tgα = yp<br />
xp<br />
x<br />
ctgα = xp<br />
yp<br />
Tra le dette quattro funzioni goniometriche <strong>di</strong> un medesimo angolo α<br />
intercorrono le seguenti relazioni:<br />
senα<br />
cosα<br />
= tgα<br />
cosα<br />
1<br />
= ctgα ctgα =<br />
senα tgα<br />
Se si considera l’arco <strong>di</strong> circonferenza <strong>di</strong> centro O, <strong>di</strong> raggio OP e <strong>di</strong><br />
origine A (figura 5), le funzioni goniometriche ora introdotte vengono anche<br />
rispettivamente dette seno, coseno, tangente e cotangente dell’arco orientato<br />
AP .<br />
La circonferenza goniometrica. Una seconda definizione delle<br />
funzioni goniometrihe<br />
Si chiama circonferenza goniometrica una circonferenza orientata<br />
alla quale è associato un sistema <strong>di</strong> riferimento cartesiano ortogonale, la cui<br />
origine coincide con il centro della conferenza stessa e la cui unità <strong>di</strong> misura<br />
è assunta uguale al raggio <strong>di</strong> quest’ultima. Il senso positivo <strong>di</strong> percorso<br />
sulla circonferenza è, convenzionalmente, quello antiorario. Nella figura 6a è<br />
6
Figura 5: .<br />
rappresentata una circonferenza goniometrica; A è il suo punto d’intersezione<br />
con il semiasse positivo delle x (lato origine degli angoli) e P il suo punto<br />
tersezione con la semiretta r, formante con il semiasse positivo x un angolo<br />
orientato α.<br />
La circonferenza tracciata in 6a), che ha centro nell’origine O e raggio<br />
unitario, viene detta circonferenza goniometrica; P è il suo punto d’inter-<br />
sezione con la semiretta r, secondo lato dell’angolo orientato α. In 6b) è<br />
in<strong>di</strong>cato che le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> P rappresentano rispettivamente il coseno ed il<br />
seno dell’angolo α.<br />
Figura 6: circonferenza goniometrica<br />
Ciò premesso, si chiamano seno e coseno dell’angolo orientato α (o del-<br />
l’arco orientato AP ) rispettivamente l’or<strong>di</strong>nata e l’ascissa <strong>di</strong> P (fig. 6b).<br />
Queste definizioni <strong>di</strong> seno e coseno coincidono, in pratica, con quelle date<br />
7
precedentemente. Infatti, essendo in questo caso P O = 1, da quelle si<br />
ottiene:<br />
senα = yp<br />
P O<br />
= yp<br />
1<br />
= yp<br />
cosα<br />
= xp<br />
P O<br />
Figura 7: tangente e cotangente<br />
= xp<br />
1<br />
= xp<br />
Se si considerano le due rette a e b, tangenti alla circonferenza goniome-<br />
trica nei suoi due punti A e B <strong>di</strong> intersezione con i semiassi positivi delle<br />
x e delle y, e i punti T e C d’intersezione <strong>di</strong> queste con la semiretta r (fig.<br />
7), vengono dette tangente e cotangente dell’angolo orientato α(o dell’arco<br />
orientato AP ) rispettivamente l’or<strong>di</strong>nata <strong>di</strong> T e l’ascissa <strong>di</strong> C.<br />
Anche queste definizioni coincidono con quelle date precedentemente.<br />
Infatti, usando le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> T per definire la tangente <strong>di</strong> α si ha:<br />
tgα = yT<br />
xT<br />
= yT<br />
1<br />
= yT<br />
Analogamente, usando le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> C per definire la cotangente <strong>di</strong><br />
α, si ha:<br />
ctgα = xC<br />
yC<br />
= xC<br />
1<br />
= xC<br />
Se la semiretta r non interseca le dette tangenti alla circonferenza a e<br />
b, si devono considerare le intersezioni <strong>di</strong> queste ultime con la semiretta r ′<br />
opposta della r (fig. 8).<br />
8
Figura 8: circonferenza goniometrica<br />
Variazione del seno e del coseno<br />
Per semplicità <strong>di</strong> linguaggio d’ora in poi parleremo sempre <strong>di</strong> funzioni<br />
goniometriche <strong>di</strong> un angolo orientato; tuttavia, le proprietà e le relazioni che<br />
esaminaneremo relativamente a queste valgono, in modo del tutto analogo,<br />
per le funzioni goniometriche <strong>di</strong> un arco orientato.<br />
Dalla fig. 9, nella quale r rappresenta una semiretta che ruota attorno<br />
all’origine O, è facile dedurre le seguenti proprietà del seno e del coseno<br />
dell’angolo orientato α formato da r con il semiasse positivo x:<br />
Figura 9: Variazioni del seno e del coseno<br />
• sen 0 ◦ = sen 0 = 0, cos 0 ◦ = cos 0 = 1;<br />
9
• al crescere <strong>di</strong> α da 0◦ a 90◦ (cioè da 0 a π<br />
2<br />
0 a 1 mentre il coseno decresce da 1 a 0;<br />
• sen 90◦ = sen π<br />
2 = 1, cos 90◦ = cos π<br />
2<br />
= 0;<br />
ra<strong>di</strong>anti) il seno cresce da<br />
• al crescere <strong>di</strong> α da 90◦ a 180◦ (cioè da π<br />
2 a π ra<strong>di</strong>anti) il seno decresce<br />
da 1 a 0 ed il coseno decresce da 0 a - 1 ;<br />
• sen 180 ◦ = sen π= 0, cos 180 ◦ = cos π = - 1;<br />
• al crescere <strong>di</strong> α da 180◦ a 270◦ (cioè da π a 3<br />
2π ra<strong>di</strong>anti) il seno decresce<br />
da 0 a -1 mentre il coseno cresce da - 1 a 0;<br />
• sen 270 ◦ = sen 3<br />
2π = - 1, cos 270◦ = cos 3<br />
2<br />
π = 0;<br />
• al crescere <strong>di</strong> α da da 270◦ a 360◦ idoè da 3<br />
2π a 2π ra<strong>di</strong>anti il seno<br />
cresce da - 1 a 0 ed il coseno decresce da 0 a 1;<br />
• sen 360 ◦ = sen 2π = 0, cos 360 ◦ = cos 2π = 1;<br />
• al crescere <strong>di</strong> α oltre i 360 ◦ (cioè oltre 2π ra<strong>di</strong>anti) la semiretta r ritorna<br />
ad assumere, ogni giro, le medesime posizioni assunte nel primo giro;<br />
ne consegue che il seno ed il coseno <strong>di</strong> α riprendono perio<strong>di</strong>camente gli<br />
stessi valori corrispondenti all’intervallo 0 ◦ ≤ α ≤ 360 ◦ ; <strong>di</strong>remo quin<strong>di</strong><br />
che il seno ed il coseno sono funzioni perio<strong>di</strong>che <strong>di</strong> periodo 360 ◦ (o 2<br />
π ra<strong>di</strong>anti), e scriveremo:<br />
sen(α + k360 ◦ ) = sen(α + 2kπ) = senα,<br />
cos(α + k360 ◦ ) = cos(α + 2kπ) = cosα,<br />
dove k è un qualunque numero intero, positivo, negativo o nullo;<br />
• il seno ed il coseno assumono, al variare dell’angolo α, tutti e soli i<br />
valori reali compresi tra - 1 e 1; per senα e cosα valgono dunque le<br />
con<strong>di</strong>zioni:<br />
−1 ≤ sinα ≤ 1, −1 ≤ cosα ≤ 1<br />
10
Figura 10: Andamento del seno<br />
Nelle figure 10 e 11 sono graficamente rappresentate nel piano cartesiano<br />
le due funzioni y = sen x e y = cos x. I due grafici sono stati ottenuti ripor-<br />
tando sull’asse delle ascisse alcuni valori dell’angolo x, espresso in ra<strong>di</strong>anti, e<br />
sull’asse delle or<strong>di</strong>nate i corrispondenti valori del seno e del coseno, dedotti<br />
da un cerchio goniometrico. Alla prima curva si da il nome <strong>di</strong> sinusoide, alla<br />
seconda <strong>di</strong> cosinusoide.<br />
Figura 11: Andamento del coseno<br />
Variazione della tangente e della cotangente<br />
Dalla figura 12, nella quale r rappresenta ancora una semiretta che ruo-<br />
ta attorno all’origine O, mentre r’ è la semiretta opposta, si deducono le<br />
seguenti proprietà della tangente:<br />
• tg 0 ◦ = tg 0 = 0;<br />
• al crescere <strong>di</strong> α da 0◦ a 90◦ (cioè da 0 a π<br />
2 ra<strong>di</strong>anti) il punto T si<br />
allontana sempre più da A verso l’alto e per α = 90◦ la semiretta r<br />
11
Figura 12: Variazione della tangente<br />
e la retta a vengono ad essere tra loro parallele; ne consegue che al<br />
crescere <strong>di</strong> α da 0 ◦ a 90 ◦ la tangente cresce, senza nessuna limitazione,<br />
tendendo a +∞; in<strong>di</strong>cheremo ciò scrivendo:<br />
per α → 90 ◦<br />
(con α < 90 ◦ ) tgα → +∞;<br />
• per α compreso tra 90◦ e 180◦ (cioè tra π<br />
2 e π ra<strong>di</strong>anti) la semiretta r<br />
non interseca la retta a; l’intersezione T <strong>di</strong> a con la semiretta r’ (op-<br />
posta della r) è nel quarto quadrante; la tangente <strong>di</strong> α risulta pertanto<br />
negativa e tanto più grande in valore assoluto quanto più α è prossimo<br />
a 90 ◦ ; in<strong>di</strong>cheremo ciò scrivendo:<br />
per α− > 90 ◦<br />
• tg 180 ◦ = tg π = 0;<br />
(con α > 90 ◦ ) tgα rightarrow − ∞<br />
• quando l’angolo α cresce da 180◦ a 270◦ (cioè da π a 3<br />
2π ra<strong>di</strong>anti) la<br />
tangente risulta positiva e riprende i valori assunti per α compreso tra<br />
0◦ e 90◦ ; analogamente, per α compreso tra 270◦ e 360◦ (cioè tra 3<br />
2π e<br />
2π ra<strong>di</strong>anti) la tangente riprende i valori assunti tra 90◦ e 180◦ ; <strong>di</strong>remo<br />
quin<strong>di</strong> che la tangente è una funzione perio<strong>di</strong>ca dì periodo 180 ◦ (o π<br />
ra<strong>di</strong>anti) e scriveremo:<br />
tg(α + k 180 ◦ ) = tg(α + k π) = tgα<br />
dove k è un qualunque numero intero, positivo, negativo o nullo;<br />
12
• la tangente <strong>di</strong> un angolo orientato α, al variare dell’angolo può as-<br />
sumere qualunque valore reale; cioè varia, come suoi <strong>di</strong>rsi, da −∞ a<br />
+∞.<br />
Figura 13: Andamento della tangente<br />
Nella figura 13 è graficamente rappresentata, nel piano cartesiano, la<br />
funzione y = tgx. Questa curva viene detta tangentoide.<br />
Lo stu<strong>di</strong>o della variazione della cotangente <strong>di</strong> un angolo orientato α è<br />
del tutto analogo a quello fatto per la tangente. Nella figura 14 è riportata<br />
la cotangentoide, rappresentazione grafica della funzione y = ctgx.<br />
Figura 14: Andamento della cotangente<br />
13
arco)<br />
Relazioni tra le funzioni goniometriche <strong>di</strong> uno stesso angolo (o<br />
Tra le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente <strong>di</strong> uno<br />
stesso angolo α sussistono le relazioni:<br />
senα<br />
cosα<br />
= tgα<br />
cosα<br />
1<br />
= ctgα ctgα =<br />
senα tgα<br />
Applicando il teorema <strong>di</strong> Pitagora al triangolo rettangolo PHO della<br />
figura 15 si può dedurre quest’altra relazione:<br />
sen 2 α + cos 2 α = 1 (1)<br />
secondo la quale la somma dei quadrati del seno e del coseno <strong>di</strong> uno stes-<br />
so angolo è ugnale ad 1. A questa identità si da il nome <strong>di</strong> relazione<br />
fondamentale della goniometria.<br />
Figura 15: .<br />
Dalla relazione fondamentale della goniometria si può ricavare il seno <strong>di</strong><br />
un angolo, noto il suo coseno, e viceversa:<br />
sen α = ± <br />
1 − cos 2 α, cos α = ± <br />
1 − sen 2 α<br />
Il doppio segno deriva dal fatto che il seno ed il coseno <strong>di</strong> un angolo a<br />
assumono valori positivi o negativi a seconda del quadrante nel quale giace<br />
la semiretta r, secondo lato dell’angolo.<br />
14
Esempi<br />
1. Sapendo che 0◦ < α 0, avremo<br />
e pertanto:<br />
cos α = + <br />
1 − sen2 <br />
α = 1 − 4<br />
9 =<br />
tg α = senα<br />
cosα =<br />
2<br />
3<br />
√ 5<br />
3<br />
2. Sapendo che 3<br />
3<br />
2π < α < 2π e che cos α = 5<br />
ctg α.<br />
Per 3<br />
2π<br />
< α < 2π è sen α < 0; quin<strong>di</strong>:<br />
= 2<br />
√ 5 = 2√ 5<br />
5<br />
sen α = − <br />
1 − cos2 <br />
α = − 1 − 9<br />
= −4<br />
25 5<br />
tg α = senα<br />
cosα<br />
, determinare sen α, tg α e<br />
1<br />
= −4 , ctg α = = −3<br />
3 tg α 4<br />
Dalla relazione fondamentale della goniometria e dalle altre relazioni<br />
precedentemente riportate si possono ricavare delle formule me<strong>di</strong>ante le<br />
quali, noto il valore <strong>di</strong> una delle funzioni goniometriche e noto il quadrante<br />
in cui giace la semiretta r, si calcolano i valori delle altre funzioni gonio-<br />
metriche elementari. Nella tabella <strong>di</strong> seguito riportata sono riunite tutte le<br />
formule che danno i valori <strong>di</strong> tre funzioni goniometriche in funzione <strong>di</strong> una<br />
quarta, supposta nota.<br />
15
VALORI<br />
NOTO sen α cos α tg α ctg α<br />
sen α sen α ± √ 1 − sen 2 α ±<br />
√ sen α<br />
1−sen2 α<br />
cos α ± √ 1 − cos2 √<br />
1−cos2 α<br />
α cos α ±<br />
tg α ±<br />
√ tg α<br />
1+tg2 α<br />
1<br />
ctg α ± √<br />
1+ctg2 α<br />
Esempi<br />
±<br />
√ 1<br />
1+tg2 α<br />
± ctg α √<br />
1+ctg2 α<br />
√<br />
1−sen2 α ± sen α<br />
cos α<br />
cos α ± √<br />
1−cos2 α<br />
tg α<br />
1<br />
ctg α<br />
1<br />
tg α<br />
ctg α<br />
1. Esprimere in funzione <strong>di</strong> sen α, e poi semplificare, la seguente espres-<br />
sione goniometrica:<br />
2cosec 2 α − 3 + cos2 α<br />
1 − cos 2 α<br />
dove cosec = 1<br />
sen α . Dalla definizione <strong>di</strong> cosecante e dalla relazione<br />
fondamentale della goniometria si ottiene:<br />
2<br />
sen2 α − 3 + 1 − sen2 α<br />
sen2 =<br />
α<br />
sen2 α − 2<br />
sen2 α<br />
2. Esprimere in funzione <strong>di</strong> tg α, e poi semplificare, la seguente espres-<br />
sione:<br />
<br />
2sen2 α<br />
sen α + cos α .<br />
cos α<br />
Tenendo presenti le relazioni esaminate si ha:<br />
sen α 2sen2 α + cos2 α<br />
=<br />
cos α<br />
sen α<br />
<br />
= tg α 1 + tg2 α<br />
1 + tg2 <br />
α<br />
16<br />
cos α (1 + sen2 α) =<br />
= tg α(1 + 2tg2 α)<br />
1 + tg 2 α
Funzioni goniometriche <strong>di</strong> alcuni angoli (o archi) particolari<br />
Servendoci delle definizioni date <strong>di</strong> seno, coseno, tangente e cotangente<br />
<strong>di</strong> un angolo (o arco) orientato, vogliamo ora determinare il valore <strong>di</strong> queste<br />
funzioni per gli angoli <strong>di</strong> 30 ◦ , 60 ◦ , 45 ◦ e 18 ◦ .<br />
Per risolvere il problema che ci siamo proposti occorre tenere presenti<br />
le relazioni che intercorrono tra i lati <strong>di</strong> un triangolo rettangolo avente gli<br />
angoli acuti <strong>di</strong> 30 ◦ e 60 ◦ , tra i lati <strong>di</strong> un triangolo rettangolo isoscele e tra il<br />
lato <strong>di</strong> un decagono regolare ed il raggio del cerchio ad esso circoscritto.<br />
Figura 16: .<br />
Nelle figure 16a) e 16b) sono rappresentati due angoli orientati, rispet-<br />
tivamente <strong>di</strong> 30 ◦ e 60 ◦ . In entrambe il triangolo rettangolo OPH è la metà<br />
<strong>di</strong> un triangolo equilatero <strong>di</strong> lato OP = 1. Ne consegue che per l’angolo <strong>di</strong><br />
30◦ (o π<br />
6 ) si ha:<br />
sen30 ◦ = sen π<br />
6<br />
tg30 ◦ = tg π<br />
6<br />
sen30◦<br />
= =<br />
cos30◦ mentre per l’angolo <strong>di</strong> 60◦ (o π<br />
3 ) si ha:<br />
1<br />
=<br />
2 , cos30◦ = cos π<br />
6 =<br />
√ 3<br />
√ 3<br />
3 , ctg30◦ = ctg π<br />
6 = √ 3<br />
sen60 ◦ = sen π<br />
3 =<br />
√<br />
3<br />
2 , cos60◦ = cos π<br />
3<br />
tg60 ◦ = tg π<br />
3 = √ 3, ctg60 ◦ = ctg π<br />
3 =<br />
2<br />
1<br />
=<br />
2<br />
√<br />
3<br />
Nella figura 17 è rappresentato un angolo <strong>di</strong> 45 ◦ . Il triangolo rettangolo<br />
isoscele OPH è in questo caso la metà <strong>di</strong> un quadrato <strong>di</strong> <strong>di</strong>agonale OP = 1.<br />
17<br />
3
Ne consegue che:<br />
Ricapitolando:<br />
sen45 ◦ = sen π<br />
4 =<br />
Figura 17: .<br />
√<br />
2<br />
2 , cos45◦ = cos π<br />
4 =<br />
√<br />
2<br />
2<br />
tg45 ◦ = tg π<br />
4 = 1, ctg45◦ = ctg π<br />
4<br />
FUNZIONI<br />
= 1<br />
ANGOLI (x) sen x cos x tg x ctg x<br />
0 = 2π 0 1 0 +∞<br />
π<br />
6<br />
π<br />
4<br />
π<br />
3<br />
1<br />
2<br />
√ 2<br />
2<br />
√ 3<br />
2<br />
√ 3<br />
2<br />
√ 3<br />
3<br />
√ 3<br />
√ 2<br />
2 1 1<br />
1<br />
2<br />
√ 3<br />
√ 3<br />
3<br />
π<br />
2 1 0 +∞ 0<br />
π 0 −1 0 −∞<br />
18
etta<br />
Interpretazione goniometrica del coefficiente angolare <strong>di</strong> una<br />
Nella figura 18 è tracciata una retta r passante per l’origine O del sistema<br />
<strong>di</strong> riferimento e formante un angolo α con la <strong>di</strong>rezione positiva dell’asse x.<br />
Com’è noto l’equazione della retta è:<br />
y = mx<br />
dove m è una costante detta coefficiente angolare della retta stessa. Per ogni<br />
punto P della retta è dunque:<br />
yP<br />
xP<br />
= m<br />
Figura 18: .<br />
Ma essendo anche (per la definizione <strong>di</strong> tangente data nei paragrafi<br />
precedenti):<br />
se ne deduce che:<br />
yP<br />
xP<br />
= tg α<br />
m = tg α.<br />
cioè che il coefficiente angolare <strong>di</strong> una retta è la tangente goniometrica del-<br />
l’angolo che essa forma con la <strong>di</strong>rezione positiva dell’asse x. Ne consegue<br />
che una retta che forma con la <strong>di</strong>rezione positiva dell’asse x un angolo, ad<br />
√<br />
3<br />
3 e quin<strong>di</strong> per equazione<br />
√<br />
3<br />
3 x; una retta che forma un angolo <strong>di</strong> 60◦ ha per coefficiente angolare<br />
esempio <strong>di</strong> 30 ◦ , ha per coefficiente angolare m =<br />
y =<br />
m = √ 3 e quin<strong>di</strong> per equazione y = √ 3x; e così via.<br />
19
FORMULE <strong>DI</strong> AD<strong>DI</strong>ZIONE<br />
Verranno fornite senza <strong>di</strong>mostrazione.<br />
• formula <strong>di</strong> sottrazione per il coseno<br />
cos(α − β) = cos α · cos β + sen α · sen β (2)<br />
Ex: Calcola il valore <strong>di</strong> cos π<br />
12 .<br />
Poichè<br />
π π π<br />
= −<br />
12 4 6 ,<br />
applicando la formula (2) si ha:<br />
cos π<br />
<br />
π<br />
= cos<br />
12 4 −π<br />
<br />
6<br />
= cos π<br />
4<br />
·cos π<br />
6<br />
• formula <strong>di</strong> ad<strong>di</strong>zione per il coseno<br />
π π<br />
+sen ·sen<br />
4 6 =<br />
√<br />
2<br />
2 ·<br />
√<br />
3<br />
2 +<br />
√<br />
2<br />
2 ·1<br />
2 =<br />
√ √<br />
2( 3 + 1)<br />
4<br />
cos(α + β) = cos α · cos β − sen α · sen β (3)<br />
Ex: Calcola il valore <strong>di</strong> cos 5<br />
12 π.<br />
Poichè<br />
5 π π<br />
π = +<br />
12 4 6 ,<br />
applicando la formula (3)si ha:<br />
cos 5<br />
<br />
π<br />
π = cos<br />
12 4 +π<br />
<br />
6<br />
= cos π<br />
4<br />
• formula <strong>di</strong> ad<strong>di</strong>zione per il seno<br />
·cos π<br />
6<br />
π π<br />
−sen ·sen<br />
4 6 =<br />
√<br />
2<br />
2 ·<br />
√<br />
3<br />
2 −<br />
√<br />
2<br />
2 ·1<br />
2 =<br />
√ √<br />
2( 3 − 1)<br />
4<br />
sen(α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β (4)<br />
• formula <strong>di</strong> sottrazione per il seno<br />
Ex. Risolvi l’equazione<br />
sen(α − β) = sen α · cos β − cos α · sen β (5)<br />
<br />
π<br />
sen − x = 2cos x<br />
6<br />
Applicando la formula (5)<br />
<br />
<br />
π<br />
π<br />
sen cos x − cos sen x = 2cos x<br />
6<br />
6<br />
20
√<br />
1 3<br />
cos x − sen x = 2cos x<br />
2 2<br />
√<br />
3sen x = −3cos x<br />
Dividento tutto per cos x = 0 ⇒ x = π<br />
2<br />
tg x = − 3 √ 3 ⇒ tg x = √ 3 ⇒ x = 2<br />
3 π<br />
FORMULE <strong>DI</strong> DUPLICAZIONE<br />
• Formula <strong>di</strong> duplicazione per il coseno<br />
• Formula <strong>di</strong> duplicazione per il seno<br />
cos 2α = cos 2 α − sen 2 α (6)<br />
Ex. Risolvi l’equazione cos 2x + sen 2 x = 1.<br />
Per la (6) si ha<br />
Ex. Verifica che<br />
sen 2α = 2senα · cos α (7)<br />
cos 2 x − sen 2 x + sen 2 x = 1<br />
cos 2 x = 1 ⇒ cos x = ±1 ⇒ x = 0<br />
cos 2 α =<br />
FORMULE <strong>DI</strong> BISEZIONE<br />
cos2α + 1<br />
2<br />
• Formula <strong>di</strong> bisezione per il coseno<br />
cos α<br />
2<br />
=<br />
<br />
1 + cos α<br />
±<br />
2<br />
Ex. Verifica che<br />
sen 2 α =<br />
1 − cos2α<br />
2<br />
• Formula <strong>di</strong> bisezione per il seno<br />
sen α<br />
2<br />
=<br />
<br />
1 − cos α<br />
±<br />
2<br />
Ex. Calcola il seno e il coseno <strong>di</strong> π<br />
8 .<br />
sen π<br />
8 =<br />
<br />
2 − √ 2<br />
⇒ cos<br />
2<br />
π<br />
8 =<br />
21<br />
<br />
2 + √ 2<br />
2<br />
(8)<br />
(9)
Teoremi relativi al triangolo rettangolo<br />
Nella figura 19 è rappresentato un triangolo rettangolo. Con A è in<strong>di</strong>cato<br />
il vertice dell’angolo retto, con B e C sono in<strong>di</strong>cati gli altri due vertici; α, β, γ<br />
sono gli angoli <strong>di</strong> vertici rispettivamente A, B, C ed a, b, e le misure dei lati<br />
ad essi opposti.<br />
Stabiliamo <strong>di</strong> seguire le convenzioni ora descritte per denominare, d’ora<br />
in poi, gli elementi <strong>di</strong> ogni triangolo rettangolo (cioè le misure dei suoi lati<br />
e dei suoi angoli).<br />
Figura 19: .<br />
Nella figura 20 è rappresentato il medesimo triangolo rettangolo della<br />
figura precedente, riferito in questo caso ad un sistema <strong>di</strong> assi cartesiani<br />
ortogonali avente l’origine in B, l’asse delle x nella <strong>di</strong>rezione e nel verso del<br />
segmento BA, orientato da B verso A. Il punto C giace nel primo quadrante<br />
del suddetto sistema.<br />
I valori delle funzioni goniometriche dell’angolo acuto β possono venir<br />
determinati me<strong>di</strong>ante le misure a, b, c. Per le definizioni date nel paragrafo<br />
iniziale è infatti:<br />
sen β = b<br />
a<br />
, cos β = c<br />
a<br />
b<br />
c<br />
, tg β = , ctg β =<br />
c b ,<br />
Da queste relazioni <strong>di</strong> ricavano (nell’or<strong>di</strong>ne) queste altre:<br />
b = a · sen β, c = a · cos β, b = c · tg β, c = b · ctg β,<br />
22
Figura 20: .<br />
Tenendo presente il significato convenzionale attribuito ad a, b, e e ad<br />
α, β, γ le uguaglianze trovate possono venir generalizzate ed interpretate<br />
come teoremi relativi al triangolo rettangolo. Enunciamo detti teoremi:<br />
• in ogni triangolo rettangolo la misura <strong>di</strong> un cateto è uguale a quella<br />
dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto al cateto;<br />
• in ogni triangolo rettangolo la misura <strong>di</strong> un cateto è uguale a quella<br />
dell’ipotenusa moltiplicata per il coseno dell’angolo acuto a<strong>di</strong>acente al<br />
cateto;<br />
• in ogni triangolo rettangolo la misura <strong>di</strong> un cateto è uguale a quella<br />
dell’altro cateto moltiplicata per la tangente dell’angolo opposto al<br />
primo;<br />
• in ogni triangolo rettangolo la misura <strong>di</strong> un cateto è uguale a quel-<br />
la dell’altro cateto moltiplicata per la cotangente dell’angolo acuto<br />
a<strong>di</strong>acente al primo.<br />
Di questi teoremi valgono ovviamente anche gli inversi. Dal primo, ad<br />
esempio, possiamo trarre i due inversi:<br />
• in ogni triangolo rettangolo la misura dell’ipotenusa è uguale al rap-<br />
porto tra la misura un cateto ed il seno dell’angolo ad esso opposto;<br />
• in ogni triangolo rettangolo il seno <strong>di</strong> un angolo acuto è uguale al<br />
rapporto tra le misure del cateto opposto e dell’ipotenusa.<br />
23
E così via per gli altri.<br />
Esempi<br />
1. In un triangolo rettangolo le misure dei cateti sono: b = 14 cm e c = 48<br />
cm. Risolvere il triangolo. (Risolvere un triangolo significa, noti<br />
tre dei suoi elementi <strong>di</strong> cui almeno uno sia un lata, trovare<br />
gli altri tre).<br />
Per l’ipotenusa a si ha:<br />
Per l’angolo β si ha:<br />
a = <br />
b 2 + c 2 = 50cm.<br />
tgβ = 14<br />
0, 29167.<br />
48<br />
Da apposite tavole, o me<strong>di</strong>ante l’uso della calcolatrice tascabile, si<br />
ricava:<br />
Ne consegue che:<br />
β 16 ◦ 16 ′<br />
γ = 90 ◦ − β 73 ◦ 44 ′<br />
2. In un triangolo rettangolo si ha: a = 40cm e β = 18 ◦ . Risolverlo.<br />
Si ha:<br />
√<br />
5 − 1<br />
b = a senβ = 40 · cm = 10(<br />
4<br />
√ 5 − 1)cm<br />
<br />
10 + 2<br />
c = a · cosβ = 40 ·<br />
√ <br />
5<br />
cm = 10 10 + 2<br />
4<br />
√ 5cm;<br />
γ = 90 ◦ − 18 ◦ = 72 ◦ .<br />
II teorema della corda ed il teorema dei seni<br />
Teorema della corda: La misura <strong>di</strong> una corda <strong>di</strong> una circonferenza è<br />
uguale al prodotto tra la misura del <strong>di</strong>ametro ed il seno <strong>di</strong> uno qualunque<br />
degli angoli alla circonferenza che esistono su uno dei due archi sottesi dalla<br />
corda .<br />
24
Figura 21: .<br />
Nella figura 21 è rappresentata una circonferenza <strong>di</strong> raggio r e centro O<br />
ed è tracciata una sua corda PQ.<br />
I punti A e A’ appartengono rispettivamente all’arco P Q maggiore e<br />
all’arco P Q minore. Osserviamo che gli angoli P AQ e P A Q sono supple-<br />
mentari (angoli opposti <strong>di</strong> un quadrilatreo inscritto in una circonferenza) e<br />
pertanto hanno il medesimo seno. Tracciamo il <strong>di</strong>ametro avente un estremo<br />
in Q e sia R il suo secondo estremo. Osserviamo che gli angoli P RQ e P AQ<br />
sono uguali (angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco). Il<br />
triangolo RPQ, essendo inscritto in una semicirconferenza, è rettangolo in<br />
P e pertanto per il suo cateto PQ vale la relazione:<br />
Ma poiché è anche, come s’è detto:<br />
si ha pure:<br />
e la tesi risulta <strong>di</strong>mostrata.<br />
P Q = QR sen α = 2 r sen α.<br />
sen(π − α) = sen α<br />
P Q = 2rsen(π − α)<br />
Me<strong>di</strong>ante il teorema della corda si può <strong>di</strong>mostrare il teorema dei seni<br />
(o <strong>di</strong> Eulero), che stabilisce una relazione tra gli elementi <strong>di</strong> un triangolo.<br />
Questo afferma che in un triangolo qualunque è costante il rapporto tra la<br />
misura <strong>di</strong> un lato ed il seno dell’angolo opposto; cioè che, in<strong>di</strong>cati con A, B,<br />
25
C i tre vertici <strong>di</strong> un triangolo, con α, β, γ i tre angoli corrispondenti con a,<br />
b, c le misure dei lati rispettivamente opposti agli angoli <strong>di</strong> vertici A, B, C<br />
(seguiremo d’ora in poi questa convenzione per in<strong>di</strong>care gli elementi <strong>di</strong> un<br />
triangolo), si ha:<br />
a b<br />
=<br />
sen α sen β<br />
= c<br />
sen γ<br />
Infatti, se consideriamo la circonferenza circoscritta al triangolo (fig. 22)<br />
e applichiamo ad ogni lato il teorema della corda, otteniamo:<br />
e quin<strong>di</strong>:<br />
a = 2rsenα, b = 2rsenβ, c = 2rsenγ<br />
a<br />
= 2r,<br />
sen α<br />
b<br />
sen β<br />
= 2r,<br />
c<br />
sen γ<br />
Per la proprietà transitiva dell’uguaglianza si ha perciò:<br />
Esempio<br />
a b<br />
=<br />
sen α sen β<br />
Figura 22: .<br />
= c<br />
sen γ<br />
= 2r<br />
In un triangolo è a = 20 cm, α = 25 ◦ , β = 80 ◦ . Determinare gli altri<br />
elementi.<br />
Per il teorema dei seni si ha l’uguaglianza:<br />
a b<br />
=<br />
sen α sen β<br />
26
dalla quale si ricava:<br />
Essendo:<br />
si ottiene:<br />
Essendo poi:<br />
si ha anche:<br />
b =<br />
asen β<br />
sen α<br />
sen β 0, 98481, senα 0, 42262<br />
b =<br />
γ = 180 ◦ − (α + β) = 75 ◦<br />
c =<br />
asen γ<br />
sen α<br />
20 · 0, 98481<br />
cm 46, 60499cm<br />
0, 42262<br />
e sen75 ◦ = 0, 96593<br />
20 · 0, 96593<br />
cm 45, 71151cm<br />
0, 42262<br />
II teorema delle proiezioni ed il teorema del coseno<br />
Teorema delle proiezioni: In un qualunque triangolo la misura <strong>di</strong><br />
un lato è uguale alla somma dei prodotti <strong>di</strong> quelle degli altri due lati per il<br />
coseno dell’angolo che ciascuno <strong>di</strong> questi forma con il primo; cioè che tra<br />
gli elementi <strong>di</strong> un qualsiasi triangolo valgono ie relazioni:<br />
a = b cos γ + c cosβ<br />
b = a cos γ + c cosα<br />
c = a cosβ + b cosα<br />
Per <strong>di</strong>mostrarlo consideriamo la figura 23.<br />
Nella prima l’altezza AH del triangolo ABC cade internamente al lato BC;<br />
si ha pertanto:<br />
a = BH + HC = c cosβ + b cosγ.<br />
Nella seconda l’altezza AH cade esternamente al lato BC; in questo caso si<br />
ha pertanto:<br />
a = BH − CH = c cosβ − b cos(π − γ) = c cosβ + b cosγ.<br />
Per il lato a vale dunque, in ogni caso, il teorema delle proiezioni; in modo<br />
analogo si <strong>di</strong>mostra che vale anche per ciascuno degli altri lati.<br />
27
Figura 23: .<br />
Come imme<strong>di</strong>ata conseguenza del teorema delle proiezioni si ha il teore-<br />
ma del coseno (o <strong>di</strong> Carnot): In un triangolo qualsiasi, il quadralo della<br />
misura <strong>di</strong> ogni lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli al-<br />
tri due, <strong>di</strong>minuita del doppio prodotto delle misure <strong>di</strong> questi per il coseno<br />
dell’angolo tra essi compreso; valgono cioè le relazioni:<br />
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα<br />
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cosβ<br />
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cosγ<br />
Lo <strong>di</strong>mostriamo per un lato, ad esempio per a.<br />
Consideriamo le tre uguaglianze che esprimono il teorema delle proiezioni<br />
per ciascuno dei lati e, seguendo l’or<strong>di</strong>ne nel quale sono state scritte, molti-<br />
plichiamo ambo i membri della prima per a, ambo i membri della seconda<br />
per - b, ambo i membri della terza per - c:<br />
a = ab cos γ + ac cosβ<br />
−b 2 = −ab cos γ − bc cosα<br />
−c 2 = −ac cosβ − bc cosα<br />
Sommando membro a membro queste tre uguaglianze e riducendo i<br />
termini simili, si ottiene:<br />
da cui si ricava:<br />
a 2 − b 2 − c 2 = −2bccosα<br />
a 2 = b 2 + c 2 − 2bccosα<br />
28
che è quanto volevamo <strong>di</strong>mostrare.<br />
Osservazione: Il teorema <strong>di</strong> Pitagora può essere considerato un caso<br />
particolare del teorema <strong>di</strong> Carnot.<br />
Infatti, se α = 90 ◦ è cosα = 0 e pertanto, per il teorema <strong>di</strong> Carnot, si ha:<br />
a 2 = b 2 + c 2<br />
che è appunto la relazione tra ipotenusa e cateti espressa dal teorema <strong>di</strong><br />
Pitagora.<br />
Esempio<br />
In un triangolo si ha: a=12cm, b=18cm, γ = 60 ◦ . Determinare la misura<br />
c del terzo lato.<br />
Dal teorema del coseno si ha:<br />
c =<br />
<br />
a2 + b2 <br />
− 2ab cosγ = (144 + 324 − 216)cm2 15, 87cm<br />
29