Alcune dimostrazioni Teorema (disuguaglianza triangolare). ∀ x, y ...

Allora, usando la disuguaglianza triangolare, per ogni n ≥ N si ha:
|(an + bn) − (a + b)| = |(an − a) + (bn − b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < ε ε
+ = ε
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e questa è la tesi, per definizione di successione convergente.
Teorema. Sia r > 1. Allora limn r n = +∞.
Dimostrazione.
Sia an = r n . È facile vedere che la successione {an}n è monotona non decrescente. Infatti
ovviamente an = r n > 0, e inoltre, essendo r > 1, an < anr = r n r = r n+1 = an+1. Supponiamo
che {an}n sia limitata. In tal caso essa, per il teorema 6.4 pag. 183 del testo, avrebbe un
limite finito che coincide con l’estremo superiore dei valori an. Sia l0 tale limite. Essendo
ovviamente an = r n > 1 per ogni n, si ha anche l0 > 1. Per definizione di an si ha, per ogni
n, an+1 = ran. Passando al limite su questa uguaglianza si ottiene l0 = rl0, e semplificando
r = 1, in contraddizione con l’ipotesi r > 1. Supponendo {an}n limitata si arriva ad una
contraddizione, e quindi essa deve essere non limitata. Ma una successione monotona non
decrescente e illimitata tende a +∞, come si è dimostrato in precedenza, e questo conclude la
dimostrazione.
Teorema. Sia |r| < 1. Allora limn r n = 0.
Dimostrazione.
Si ha 1/|r| > 1, quindi, per quanto sopra dimostrato, posto an = (1/|r|) n , si ha limn an = +∞.
Ma allora, passando agli inversi, limn 1/an = 0, il che significa limn |r| n = 0. Questo implica
naturalmente anche limn(−|r| n ) = 0. Ora, r = |r| se r ≥ 0, mentre r = −|r| se r < 0. Allora
r n = |r| n oppure r n = (−1) n |r| n . Dunque, in ogni caso r n o coincide con |r| n oppure con −|r| n .
Possiamo allora scrivere −|r| n ≤ r n ≤ |r| n per ogni n. Poiché entrambe le successioni −|r| n e
|r| n tendono a zero, per il teorema del confronto (teorema 6.5 pag. 184) anche la successione
r n tende a zero.
Teorema. 0, 9 = 1.
Dimostrazione. Ricordando che la serie geometrica di ragione x converge per |x| < 1 e ha per
, otteniamo che
somma 1
1
1−x , e applicando ciò per x = 10
0, 9 = 0, 999 . . . = 9 9 9 9
+ + + · · · =
10 100 1000 10
= 9
10 ·
1
1 − 1
10
= 1.
2
1 + 1
1
+ + · · · =
10 100 9
10
+∞
k=0
k 1
10