Alcune dimostrazioni Teorema (disuguaglianza triangolare). ∀ x, y ...

Alcune dimostrazioni
Teorema (disuguaglianza triangolare). ∀ x , y ∈ IR vale |x + y| ≤ |x| + |y|.
Dimostrazione.
Dalla definizione di valore assoluto si ricava −|x| ≤ x ≤ |x|, e questo per ogni x ∈ IR. Scrivendo
queste disuguaglianze per x, y ∈ IR e sommando, si ottiene
−|x| − |y| ≤ x + y ≤ |x| + |y|.
Ora, se x + y ≥ 0 si ha |x + y| = x + y, quindi la disuguaglianza appena dimostrata fornisce
immediatamente la tesi. Se x + y < 0 allora |x + y| = −x − y, e da −|x| − |y| ≤ x + y si ricava
|x| + |y| ≥ −x − y = |x + y|, e anche in questo caso la tesi è dimostrata.
Teorema. Sia {an}n successione monotona non decrescente, cioè tale che an ≤ an+1 per
ogni n. Se {an}n non è limitata, allora limn an = +∞.
Dimostrazione.
Essendo la successione monotona non decrescente, si ha an ≥ a1 per ogni n, quindi la successione
è inferiormente limitata, e quindi affermare che non è limitata equivale ad affermare che non
è superiormente limitata, e quindi equivale ad affermare che per ogni M ∈ IR esiste n tale che
an > M (infatti se non esistesse un tale n, la successione avrebbe M come maggiorante). Ma
essendo non decrescente, per ogni n > n si ha an ≥ an > M. Possiamo allora concludere che
per ogni M ∈ IR esiste n tale che per ogni n > n si ha an ≥ M, e questa è la tesi.
Nota: ragionando allo stesso modo, si dimostra che se {an}n è successione monotona non
crescente e non limitata allora limn an = −∞.
Teorema. Siano {an}n e {bn}n due successioni di numeri reali convergenti rispettivamente
ad a e a b, cioè limn an = a, limn bn = b e a e b sono numeri reali. Allora limn(an +bn) = a+b.
Dimostrazione.
Fissato ε > 0, siccome an converge ad a e bn converge a b, esistono due interi positivi N1 ed
N2 tali che
|an − a| < ε
∀n ≥ N1 e |bn − b| <
2
ε
∀n ≥ N2.
2
Poniamo N = max{N1, N2}, cosicché
|an − a| < ε
2
e |bn − b| < ε
2
1
∀n ≥ N.

Allora, usando la disuguaglianza triangolare, per ogni n ≥ N si ha:
|(an + bn) − (a + b)| = |(an − a) + (bn − b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < ε ε
+ = ε
2 2
e questa è la tesi, per definizione di successione convergente.
Teorema. Sia r > 1. Allora limn r n = +∞.
Dimostrazione.
Sia an = r n . È facile vedere che la successione {an}n è monotona non decrescente. Infatti
ovviamente an = r n > 0, e inoltre, essendo r > 1, an < anr = r n r = r n+1 = an+1. Supponiamo
che {an}n sia limitata. In tal caso essa, per il teorema 6.4 pag. 183 del testo, avrebbe un
limite finito che coincide con l’estremo superiore dei valori an. Sia l0 tale limite. Essendo
ovviamente an = r n > 1 per ogni n, si ha anche l0 > 1. Per definizione di an si ha, per ogni
n, an+1 = ran. Passando al limite su questa uguaglianza si ottiene l0 = rl0, e semplificando
r = 1, in contraddizione con l’ipotesi r > 1. Supponendo {an}n limitata si arriva ad una
contraddizione, e quindi essa deve essere non limitata. Ma una successione monotona non
decrescente e illimitata tende a +∞, come si è dimostrato in precedenza, e questo conclude la
dimostrazione.
Teorema. Sia |r| < 1. Allora limn r n = 0.
Dimostrazione.
Si ha 1/|r| > 1, quindi, per quanto sopra dimostrato, posto an = (1/|r|) n , si ha limn an = +∞.
Ma allora, passando agli inversi, limn 1/an = 0, il che significa limn |r| n = 0. Questo implica
naturalmente anche limn(−|r| n ) = 0. Ora, r = |r| se r ≥ 0, mentre r = −|r| se r < 0. Allora
r n = |r| n oppure r n = (−1) n |r| n . Dunque, in ogni caso r n o coincide con |r| n oppure con −|r| n .
Possiamo allora scrivere −|r| n ≤ r n ≤ |r| n per ogni n. Poiché entrambe le successioni −|r| n e
|r| n tendono a zero, per il teorema del confronto (teorema 6.5 pag. 184) anche la successione
r n tende a zero.
Teorema. 0, 9 = 1.
Dimostrazione. Ricordando che la serie geometrica di ragione x converge per |x| < 1 e ha per
, otteniamo che
somma 1
1
1−x , e applicando ciò per x = 10
0, 9 = 0, 999 . . . = 9 9 9 9
+ + + · · · =
10 100 1000 10
= 9
10 ·
1
1 − 1
10
= 1.
2
1 + 1
1
+ + · · · =
10 100 9
10
+∞
k=0
k 1
10

Teorema.
+∞
k=0
x k
k! = ex per ogni x ∈ IR.
Dimostrazione. Iniziamo a dimostrare che l’insieme di convergenza della serie di potenze
è tutto IR. A tale scopo calcoliamo il raggio di convergenza R usando la formula
+∞
k=0 xk
k!
Nel caso in esame ak = 1
k!
|ak+1|
|ak| =
R = 1
L
e quindi
1
(k+1)!
1
k!
=
dove L = lim
k→+∞
|ak+1|
.
|ak|
k! 1
= → 0 per k → +∞.
(k + 1)! k + 1
Dunque L = 0 e R = +∞, cioè la serie di potenze considerata converge su tutto IR. Poniamo
ora
+∞ x
y(x) =
k
(funzione somma della serie di potenze)
k!
k=0
e dimostriamo che y(x) = e x per ogni x ∈ IR. Per il teorema di derivazione delle serie di potenze
(cfr. Teorema 14.11, pag. 439 del testo di Bertsch), la funzione y(x) è derivabile per ogni x ∈ IR
e
y ′ (x) =
+∞
k=0
kxk−1 k! =
+∞ kx
k=1
k−1
k! =
+∞ (k + 1)x
k=0
k
(k + 1)! =
+∞ x
k=0
k
k! ).
Abbiamo così trovato che y ′ (x) = y(x) per ogni x ∈ IR. Inoltre
+∞
x
y(0) =
k
= 1 +
k!
x1
x2
+ + · · · = 1.
1! 2! x=0
k=0
x=0
Quindi y(x) è soluzione di y ′ = y
y(0) = 1.
Si tratta di un problema di Cauchy associato all’equazione differenziale lineare omogenea del
primo ordine y ′ = y, la cui soluzione generale è y(x) = Ce x . Imponendo la condizione iniziale
y(0) = 1 si trova C = 1, cioè y(x) = e x .
Teorema. Dati un punto P0 = (x0, y0) ∈ IR 2 , un intorno sferico N di P0 e una funzione
f ∈ C 1 (N), se ∇f(P0) = 0 allora il vettore ∇f(P0) individua la direzione di massima crescita
di f in P0.
Dimostrazione. Dato un versore u = (u1, u2), la derivata direzionale di f in P0 dà la crescita
(se positiva) o decrescita (se negativa) di f in P0 nella direzione del versore u. Ciò è dovuto al
fatto che, per definizione di derivata direzionale, si ha che
∂f
∂u (P0) = g ′ (0) dove g(t) = f(x0 + tu1, y0 + tu2)
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e g ′ (0) è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di g in 0. Inoltre, dal teorema di
rappresentazione della derivata direzionale mediante le derivate parziali e dalla definizione di
gradiente e di prodotto scalare tra vettori, si ha che
∂f
∂u (P0) = u1fx(P0) + u2fy(P0) = 〈u, ∇f(P0)〉.
D’altra parte, detto α l’angolo compreso tra le semirette dirette secondo u e ∇f(P0) (che è
supposto non nullo), vale che
〈u, ∇f(P0)〉 = u · ∇f(P0) · cos α = ∇f(P0) · cos α.
Tale espressione è massima quando è massimo il coseno di α, cioè quando cos α = 1, cioè per
α = 0. Ciò significa che la direzione di massima crescita è quella corrispondente ad un versore
u avente lo stesso verso e direzione di ∇f(P0). In altre parole, ∇f(P0) individua la direzione
di massima crescita di f in P0.
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