Metodi di Approssimazione I

300
250
200
150
100
50
Metodi di Approssimazione I
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Anno accademico 2003/2004
Docente del corso prof. D. Trigiante
Giacomo Sacchetti
Stefano Ceri
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25 marzo 2005

2
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Il presente elaborato è stato scritto per poter sostenere l’esame di “Metodi di approssimazione I”,
del corso di laurea in Informatica a Firenze. Esso si basa sugli appunti presi durante le lezioni
dell’anno accademico 2003/2004.
In copertina: Onde di popolaxione decrescenti per il metodo di Leslie
Il testo è stato composto dagli autori mediante L ATEX 2ε.

Indice
1 Conto bancario 17
1.1 Analisi della situazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Conto senza interessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Conto con interessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Mutui bancari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Dinamica dei prezzi 23
2.1 Descrizione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Domanda ed offerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Prezzo di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Modello del Cobweb esteso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Punto di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Modello economico di Paul A. Samuelson 35
3.1 Analisi della situazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Implementazione e grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Una particolare tribù d’indiani 41
4.1 Analisi della situazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Modello sociale di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3 Modello sociale con incentivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Corsa agli armamenti 51
5.1 Analisi della situazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Matrici Positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 Torniamo a fare la guerra... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 La guerra mondiale simulata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3

4 INDICE
6 Dinamica delle popolazioni 59
6.1 Modello di Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.1.1 Descrizione e implementazione . . . . . . . . . . . . . 60
6.1.2 Grafici e conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2 Modello di Leslie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2.1 Descrizione del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3 Implementazione e grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7 Modello di un sistema burocratico 71
7.1 Analisi della situazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8 Equazioni alle differenze 79
8.1 Operatori su J + x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.2 Equazioni alle differenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.3 Principio del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.4 Lemma di Gronwall nel discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.5 Lemma di Gronwall nel continuo . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.6 Equazioni alle differenze lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.7 Esempi di equazioni alle differenze . . . . . . . . . . . . . . . 98
9 Algoritmo di Miller 101
9.1 Problema ai valori iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.2 Problema ai valori al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.3 Bit Fatale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10 I numeri complessi 109
10.1 Breve storia sui numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.2 Perché i numeri complessi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.3 Rappresentazione algebrica dei numeri complessi . . . . . . . 113
10.4 Rappresentazione geometrica dei numeri complessi . . . . . . 114
10.5 Rapp. trig. dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . 116
10.6 Rappresentazione esponenziale dei numeri complessi . . . . . 118
11 Stabilità delle soluzioni 121
11.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.2 Stabilità delle soluzioni delle equazioni alle differenze . . . . 122
11.3 Zone di stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.4 Polinomi di Schur e di Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . 124
11.5 Criterio di Schur e criterio di Von Neumann . . . . . . . . . . 125
12 Metodi per l’approssimazione delle eq. diff. 127
12.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
12.2 Metodi lineari multistep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12.3 Famiglia dei procedimenti multistep . . . . . . . . . . . . . . 132
12.3.1 Metodo di Eulero esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . 132

INDICE 5
12.3.2 Metodo di Eulero implicito . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.3.3 Metodo dei trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.3.4 Metodo Mid-point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.3.5 Applicazioni pratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13 Teoria delle matrici 155
13.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
13.1.1 Proprietà delle matrici costituenti . . . . . . . . . . . . 160
13.2 Sistemi di equazioni differenziali nel discreto . . . . . . . . . 163
13.3 Successioni di funzioni di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . 165
14 Sistemi differenziali del primo ordine 167
14.1 Problema lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
14.1.1 Eulero esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
14.1.2 Eulero Implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
14.1.3 Metodo dei trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
14.1.4 Metodo Mid-Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
14.1.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
14.2 Moto armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
14.2.1 Eulero esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
14.2.2 Eulero Implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
14.2.3 Metodo dei trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
14.2.4 Metodo Mid-Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
A Autovalori e Autovettori 183
A.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
A.2 Il metodo delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
B Norme 187
B.1 Norma vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
B.2 Norme matriciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
C GNU Free Documentation License 191

6 INDICE

Elenco delle figure
1.1 Conto con interessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Estinzione mutuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1 Simulazione dell’andamento del prezzo nel caso di convergenza 27
2.2 Simulazione dell’andamento del prezzo nel caso di stabilità . 28
2.3 Simulazione dell’andamento del prezzo nel caso di instabilità 29
2.4 Simulazione dell’andamento del prezzo in relazione alla domanda
e all’offerta nel caso di convergenza . . . . . . . . . . 30
2.5 Simulazione dell’andamento del prezzo in relazione alla domanda
e all’offerta nel caso di stablità . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Simulazione dell’andamento del prezzo in relazione alla domanda
e all’offerta nel caso di instablità . . . . . . . . . . . . 32
2.7 Convergenza Cobweb esteso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 Simulazione del reddito di una nazione in progressione . . . . 37
3.2 Simulazione del reddito di una nazione in bancarotta . . . . . 38
3.3 Investimenti statali e dei privati (stabilità) . . . . . . . . . . . 39
3.4 Investimenti statali e dei privati (crack finanziario) . . . . . . 40
4.1 Grafico del modello dei Natchez senza incentivi . . . . . . . . 45
4.2 Grafico del modello dei Natchez con incentivi . . . . . . . . . 49
6.1 Crescita della popolazione, a = 0.015 e b = 0.06 . . . . . . . . 61
6.2 Estinzione della popolazione, a = 0.05 e b = 0.015 . . . . . . . 61
6.3 Ipotesi di Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4 Vita di un individuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.5 Crescita della popolazione, |λ| = 1.1065 e n = 90 . . . . . . . 67
6.6 Decrescita della popolazione, |λ| = 0.94788 e n = 40 . . . . . 68
6.7 Onde di popolazione, |λ| = 0.93485 e n = 50 . . . . . . . . . . 68
7.1 Struttura del modello gerarchico . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7

8 ELENCO DELLE FIGURE
7.2 k = 50, n = 15, v = [100, 10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.3 Organizzazione in livelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.4 Rapporto Competenti / Incompetenti con n = 15 . . . . . . . 77
9.1 Soluzioni dell’equazione yn+2 − 102yn+1 + 200yn = 0 . . . . . 102
9.2 ¢¡¤£ nella risoluzione di yn+2 − 102yn+1 + 200yn = 0 . . . . . 103
9.3 ¢¡¤£ con l’algoritmo di Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.4 Grafico Bit fatale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.1 Rappresentazione cartesiana del numero complesso z . . . . . 115
10.2 Radici del numero −32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.3 Rotazione del vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11.1 Regioni di stabilità (caso continuo e caso discreto) . . . . . . 123
12.1 Intervallo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
12.2 Soluzione esatta e soluzione approssimata . . . . . . . . . . . 128
12.3 Metodo di Eulero esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.4 Regione di assoluta stabilitá per Eulero Esplicito . . . . . . . . 138
12.5 Eulero esplicito - Asintotica stabilità . . . . . . . . . . . . . . 139
12.6 Eulero esplicito - Errore asintotica stabilità . . . . . . . . . . . 139
12.7 Eulero esplicito - Stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
12.8 Eulero esplicito - Errore stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
12.9 Eulero esplicito - Instabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
12.10Eulero esplicito - Errore instabilità . . . . . . . . . . . . . . . 141
12.11Regione di assoluta stabilitá per Eulero Implicito . . . . . . . 142
12.12Eulero implicito - Asintotica stabilità . . . . . . . . . . . . . . 143
12.13Eulero implicito - Errore asintotica stabilità . . . . . . . . . . 144
12.14Eulero implicito - Instabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
12.15Eulero implicito - Errore instabilità . . . . . . . . . . . . . . . 145
12.16Regione di assoluta stabilitá per Trapezi . . . . . . . . . . . . 145
12.17Metodo dei trapezi - Asintotica stabilità . . . . . . . . . . . . . 147
12.18Metodo dei trapezi - Errore asintotica stabilità . . . . . . . . . 147
12.19Metodo dei trapezi - Instabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
12.20Metodo dei trapezi - Errore instabilità . . . . . . . . . . . . . 148
12.21Metodo dei trapezi - Stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.22Metodo dei trapezi - Errore stabilità . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.23Regione di assoluta stabilitá per Mid-Point . . . . . . . . . . . 150
12.24Metodo Mid-Point - Stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
12.25Metodo Mid-Point - Errore stabilità . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.26Metodo Mid-Point - Instabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.27Metodo Mid-Point - Errore instabilità . . . . . . . . . . . . . . 153
14.1 Approssimazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
14.2 Approssimazione in dettaglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

ELENCO DELLE FIGURE 9
14.3 Errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
14.4 Errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
14.5 Metodo Eulero Esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
14.6 Metodo Eulero Implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
14.7 Metodo dei Trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

10 ELENCO DELLE FIGURE

Listings
1.1 Conto senza interessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Conto con gli interessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Mutuo bancario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1 Modello del Cobweb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Modello del Cobweb esteso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1 Modello di Samuelson - Reddito Lordo . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Modello di Samuelson - Investimenti privati e spese statali . . 37
4.1 Modello indiani Natchez senza incentivi . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Modello indiani Natchez con incentivi . . . . . . . . . . . . . 48
5.1 Armamento delle nazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1 Modello di Maltus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2 Modello di Leslie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.1 Modello di Peter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1 Soluzione calcolata per ricorrenza . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.2 Risoluzione problema ai valori al contorno . . . . . . . . . . . 105
9.3 Bit fatale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.1 Criterio di Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
12.1 Eulero esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12.2 Eulero implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
12.3 Metodo dei trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
12.4 Metodo Mid-Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
14.1 Metodo di Eulero Esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
14.2 Metodo di Eulero Implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
14.3 Metodo dei trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
14.4 Risoluzione del sistema 14.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
14.5 Listato del problema 14.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
11

12 LISTINGS

Ringraziamenti
Desideriamo ringraziare tutti i nostri colleghi più anziani, che ci hanno fornito
informazioni molto utili per la stesura di questo documento.
Una citazione particolare è doverosa per Daniele Ceccatelli che ci ha fornito
il supporto con cui lavorare per preparare l’elaborato il più velocemente
possibile.
Si rigrazia Sara Renzi per aver reso più comprensibile l’introduzione ai modelli
economici.
Ringraziamo inoltre tutti gli iscritti alla mailing-list ¨¡ ©§¤£¢ ©¦¨ © ,
il loro aiuto è stato prezioso per la formattazione dell’elaborato.
Certi di aver dimenticato qualcuno, ci scusiamo con coloro i quali non sono
rientrati in questo breve elenco e speriamo di poter ringraziarli personalmente
in futuro.
13
Giacomo Sacchetti
Stefano Ceri

14 LISTINGS

LISTINGS 15
La differenza fra noi e gli allievi
affidati alle nostre cure sta solo in
ciò: che noi abbiamo percorso un
più lungo tratto della parabola
della vita. Se gli allievi non
capiscono, il torto è
dell’insegnante che non sa
spiegare. Né vale addossare la
responsabilità alle scuole inferiori.
Dobbiamo prendere gli allievi
come sono, e richiamare ciò che
essi hanno dimenticato, o studiato
sotto altra nomenclatura. Se
l’insegnante tormenta i suoi
alunni, e invece di cattivarsi il
loro amore, eccita odio contro sè e
la scienza che insegna, non solo il
suo insegnamento sarà negativo,
ma il dover convivere con tanti
piccoli nemici sarà per lui un
continuo tormento.
Giuseppe Peano

16 LISTINGS

Capitolo 1
Conto bancario
1.1 Analisi della situazione
Se puoi contare i tuoi soldi, non
hai un miliardo di dollari.
Paul Getty
Come primo modello consideriamo l’evolversi del capitale di un conto bancario.
Indichiamo con yn la somma depositata in tal conto bancario nell’anno
n (per essere più precisi dovremmo dire alla fine dell’anno n). Mostreremo
nei seguenti paragrafi l’evolversi della situazione del conto bancario nei
seguenti casi:
• la banca è disonesta ed il capitale contenuto nel conto di anno in anno
non matura interessi
• la banca è onesta ed il capitale del conto matura annualmente anche
gli interessi
1.2 Conto senza interessi
È la situazione nella quale l’utente della banca deposita ogni anno una nota
quantità di denaro bn (che dipende cioè dall’anno) sul proprio conto corrente.
In prima istanza supponiamo che la somma versata annualmente sia
sempre costante, chiamiamola b. Ricaviamo pertanto la relazione:
yn+1 = yn + b
17

18 CAPITOLO 1. CONTO BANCARIO
Fissata la condizione iniziale y0 = 0 la soluzione è, banalmente, yn = nb.
Discosta di poco il caso di somme versate variabili, ma note:
yn =
n−1
j=n0
L’ implementazione di tale metodo è relativamente semplice:
bj
Listing 1.1: Conto senza interessi
1 ¢¡¤£¦¥¨§©¨£ conto_noint(Y,n,b,iniz)
2 # Calcolo capitale senza interessi
3 # Y capitale
4 # n anno
5 # b somma versata annualmente
6 # iniz capitale iniziale
7 tot=iniz;
8 ¨ j=1:n
9 g(j)=tot;
10 tot=tot+b;
11 Y(j)=(j−1)∗b+iniz;
12 endfor
13 base=[2003:2012];
14 §©§ (’Aumento capitale senza interessi’);
15 (’Capitale’);
16 (’Tempo’);
17 ¢§ (base,g,’r;Capitale calcolato per ricorrenza;’,base,Y,
18 ’∗b;Capitale calcolato con formula risolutiva;’);
19 £¤ ¡¤£¦¥§©¢¨£
1.3 Conto con interessi
Consideriamo adesso la situazione più comune (almeno speriamo), di banche
“oneste” e versamenti annuali variabili. Consideriamo quindi il calcolo
degli interessi sul capitale. L’ equazione diventa:
yn+1 = yn + ryn + bn
dove ryn sono gli interessi maturati in quell’anno ed in particolare consideriamo
r come frazione del capitale presente. Se esprimiamo tale equazione
nella forma:
yn+1 = (1 + r)yn + bn
essa dovrebbe risultare familiare alla formula generale delle equazioni alle
differenze, con p(x) = (1 + r) e q(x) = bn. Di tale equazione conosciamo la

1.4. MUTUI BANCARI 19
soluzione 1 :
yn = (1 + r) n−n0+1 y0 +
n−1
j=n0
bj(1 + r) n−j−1
L’ implementazione di tale metodo è riportata di seguito:
Listing 1.2: Conto con gli interessi
1 ¡¤£¦¥§©¢¨£ z=conto_withint(n, b, iniz, r)
2 # Calcolo capitale con interessi
3 # n anno
4 # b somma versata annualmente
5 # iniz capitale iniziale
6 # r tasso interessi
7 g= ¢¡ (1,n);
8 Y= ¢¡ (1,n);
9 g(1)=iniz;
10 Y(1)=iniz;
11 j=2:n
12 g(j)=(1+r)∗g(j−1)+b;
13 Y(j)=Y(1)∗(1+r)^(j−1)+b∗((1+r)^(j−1)−1)/r;
14 endfor
15 base=[2003:2012];
16 §©§ (’Aumento capitale con gli interessi’);
17 ¤ (’Capitale’);
18 ¤ (’Tempo’);
19 ¨§ (base,g,’r;Capitale calcolato per ricorrenza;’,base,Y,
20 ’∗b;Capitale calcolato con formula risolutiva;’);
21 z=Y(n);
22 §¢¡£
23 ¨£¤ ¢¡¤£ ¥§©¨£
Nella figura 1.1 è mostrato il grafico risultante dall’esecuzione del codice
appena descritto nel caso in cui b = 2500, n = 10, iniz = 1000 e r = 0.07. L’
output del programma è il seguente:
¢¤¥¡¤¦¡¤¦¤©¨©¨ ©© ¢ §
¡¤¤£
¨ ©¤¨¦¢¢
¢§¥
1.4 Mutui bancari
Consideriamo adesso la simulazione dei mutui bancari: un utente richiede
una somma di denaro ad una banca con la promessa della restituzione di
tale capitale dilazionato negli anni successivi in “piccole” quantità.
Con queste premesse, il debito che l’utente deve ancore estinguere all’anno
n + 1 risulta essere yn+1 = yn + ryn − bn. Questa risulta essere molto
1 Si veda il capitolo 8

20 CAPITOLO 1. CONTO BANCARIO
Capitale
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
Aumento capitale con gli interessi
Capitale calcolato per ricorrenza
Capitale calcolato con formula risolutiva
0
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Tempo
Figura 1.1: Conto con interessi
simile alla situazione analizzata in precedenza e come tale andrà risolta
(non ripetiamo le formule precedenti). Abbiamo pertanto:
yn = (1 + r) n−n0+1 y0 −
n−1
j=n0
bj(1 + r) n−j−1
L’ implementazione di tale metodo è analoga al listato precedente, vediamo:
Listing 1.3: Mutuo bancario
1 ¢¡¤£¦¥¨§©¨£ j=mutuo(Y, b, r)
2 # Restituzione di un capitale
3 # Y capitale da restituire
4 # n anni
5 # b somme versate
6 # r tasso (fisso)
7 tot=Y;
8 j=1;
9
¡
10 g(j)=tot;
11 tot=(1+r)∗tot−b;
12 j=j+1;
13 £¢
©¢ (tot>=0)
¡
©
mutuo’);
§©§
14 Y=tot;
15 g(j)=tot;
16 (’Estinzione

1.4. MUTUI BANCARI 21
17 ¤ (’Capitale’);
18 ¤ (’Tempo’);
19 ¨§ (g,’;Capitale da restituire;’);
20 §¢¡£
21 ¨£¤ ¢¡¤£ ¥§©¨£
Il codice appena implementato restituisce il tempo necessario ad estinguere
il mutuo. La figura 1.2 mostra il risultato nel caso in cui r = 0.03, b = 8000,
Y = 100000. Con questi parametri il mutuo sarebbe saldato in 17 anni:
¥¤¨¦¡£¢ §
¡¤¤£¡
© ¥
Capitale
100000
80000
60000
40000
20000
0
Estinzione mutuo
2 4 6 8 10 12 14 16 18
Tempo
Figura 1.2: Estinzione mutuo
Capitale da restituire

22 CAPITOLO 1. CONTO BANCARIO

Capitolo 2
Dinamica dei prezzi
2.1 Descrizione del modello
“...l’obbiettivo del marketing è
quello di trasformare un bisogno
in desiderio d’acquisto del nostro
prodotto”
Henault G.M., 1973
Il modello che descriveremo illustra come varia il prezzo di un bene in un
mercato chiuso. Come sappiamo, sono tantissimi i parametri che influiscono
nel fissare il prezzo di un determinato bene, ma per semplicità supporremo
che il prezzo del prodotto che considereremo sia determinato univocamente
dalla domanda e dall’offerta. A tal proposito è opportuno fare una distinzione
fra desiderio, bisogno e domanda. Il desiderio crea uno stato di necessità
pressante e latente, capace di influire sulle nostre azioni e decisioni. Il desiderio
non è, di per sé, soddisfacibile: anche se si manifesta in bisogni
specifici, tende a generarne sempre di nuovi. Il bisogno è invece un concetto
psicologico, e la domanda ne è una rappresentazione economica. Il
bisogno è insito nella natura dell’uomo ed è capace di orientare il suo comportamento
verso mezzi capaci di soddisfare quel bisogno stesso. Infatti,
con il consumo di un bene un individuo cerca di ridurre o eliminare la tensione
che deriva da un determinato bisogno. Il bisogno psicologico può allora
distinguersi dal bisogno economico, o domanda specifica, poiché il secondo
indica la disponibilità (eventuale) a sostenere dei costi, monetari nel caso
che affronteremo, per acquisire un certo prodotto, perché è percepito come
adeguato alla necessità di averlo.
23

24 CAPITOLO 2. DINAMICA DEI PREZZI
Supporemo allora che il “nostro” mercato sia governato dalle seguenti
leggi:
Legge della domanda: La domanda cresce con il diminuire del prezzo di
vendita del bene, diminuisce con l’aumentare dello stesso.
Legge dell’offerta: L’ offerta aumenta col crescere del prezzo per il prodotto
considerato. Diminuisce con il suo calare.
2.2 Domanda ed offerta
Supponiamo, per semplicità, che le leggi della domanda e dell’offerta siano
lineari. Sia p(t) il prezzo del bene al tempo t. Allora possiamo definire:
• La funzione domanda, D(t) sarà proporzionale al prezzo di vendita al
tempo t, quindi, fissata la domanda iniziale D(0) = d0, essa sarà una
funzione del tipo:
D(t) = −ap(t) + d0
• La funzione offerta, S(t) sará anch’essa proporzionale al prezzo di
vendita al momento della produzione (precedente alla distribuzione),
quindi p(t − 1). Fissata allora la domanda iniziale S(0) = s0, essa sarà
una funzione del tipo:
2.3 Prezzo di equilibrio
S(t) = bp(t − 1) + s0
Definiamo come prezzo di equilibrio, p, quel valore per il quale in ciascun
momento le quantità domanda ed offerta si eguagliano. Seguendo
la definizione, esso si ottiene eguagliando:
−ap(t) + d0 = bp(t − 1) + s0
Se scriviamo tale equazione nella forma:
p(t) = − b
a p(t − 1) + d0 − s0
a
Il prezzo di equilibrio p è quel valore per il quale:
p = − b
p +
a
d0 − s0
a
quindi
p = d0 − s0
a + b
(2.1)

2.3. PREZZO DI EQUILIBRIO 25
Notiamo che l’equazione 2.1 è alle differenze non omogenea del primo ordine
e quindi può essere risolta esplicitamente, come spiegato nel capitolo
8. La soluzione che si ricava è:
p(t) =
− b
a
t
p0 + d0 − s0
a + b
− d0 − s0
a + b
(2.2)
Come é evidente dell’equazione precedente, la dinamica della variazione
del prezzo dipende dai parametri a e b rispettivamente coefficiente angolari
della retta della domanda e dell’offerta. Allora, se poniamo α = p0 − p,
l’equazione 2.2 diventa:
Quindi:
p(t) = α − b
t + p
a
• se b < a allora per t → ∞ si ha che p(t) → p, quindi il prezzo si
arresta nel punto di equilibrio, determinato dal punto di intersezione
della retta della domanda con quella dell’offerta.
• se b = a allora per t → ∞ il prezzo p(t) oscilla fra p − α e p + α. In tal
caso le rette della domanda e dell’offerta sono ortogonali.
• se b > a per ogni t i prezzi subiscono oscillazioni, sempre più consistenti,
fra +∞ e −∞. In un mercato reale tale situazione non può
verificarsi poiché non si potrà mai avere un prezzo negativo per un
bene.
L’ implementazione di tale metodo è riportata quì di seguito:
Listing 2.1: Modello del Cobweb
1 ¡¤£¦¥§©¢¨£ e=cobweb(a,b,d,s,© ,n)
2 # Modello del cobweb
3 # a coefficiente retta della domanda
4 # b coefficiente retta dell’offerta
5 # d domanda iniziale
6 # s offerta iniziale
7 # pi prezzo iniziale
8 # n numero di iterazioni
9 ¥¤¢¡¢ ¤¢ ;
10 P= ¢¡ (1,n);
11 D= ¢¡ (1,n);
12 S= ¢¡ (1,n);
13 e=(d−s)/(a+b);
14 ba=−b/a;
15 dsa=(d−s)/a;
16 P(1)=© ;
17 D(1)=−a∗P(1)+d;

26 CAPITOLO 2. DINAMICA DEI PREZZI
18 S(1)=s;
19 ¨ j=2:n
20 P(j)=ba∗P(j−1)+dsa;
21 D(j)=−a∗P(j)+d;
22 S(j)=b∗P(j−1)+s;
23 endfor
24 ©¡ ¢¡ (1);
25 §©§ (’Rette domanda e offerta’);
26 (’Prezzo’);
27 (’Domanda, offerta’);
28 dy=−a∗[1:n]+d;
29 sy=b∗[1:n]+s;
30 ©¡ ¢¡ (2);
31 ¢§ (P,"b");
32 ©¡ ¢¡ (3);
33 ¢§ ([1:n],dy,"r",[1:n],sy,"b");
¡
¢ 34
on;
¨ 35 j=1:n
¤© £ 36 ([P(j),P(j)],[D(j),S(j+1)]);
¢ 37
on;
¡
£ 38 ([P(j),P(j+1)],[S(j+1),D(j+1)]);
¤©
¢§
39 endfor
40 ([1:n],P);
41 §¢¡¢£
42 £¤ ¡¤£¦¥§©¢¨£
Notiamo ora i risultati della modellazione di tale metodo nei casi di convergenza
(fig. 2.1), stabilità (fig. 2.2) e instabilità (fig. 2.3). Di seguito sono
riportati anche i grafici (2.4, 2.5 e 2.6) del prezzo in relazione alla domanda
e all’offerta (dalla visione di questi grafici possiamo meglio comprendere il
perchè del nome del metodo, ragnatela appunto). I grafici così ottenuti
derivano dai seguenti parametri, in calce è riportato anche il valore del
punto di equilibrio restituito dalla simulazione.
Convergenza Stabilità Instabilità
a 0.98 0.5 0.5
b 0.65 0.5 0.55
pi 10 10 10
d 20 20 25
s 10 12 11
n 30 30 30
e 6.1350 8 13.333
Tabella 2.1: Parametri modello del Cobweb e risultati

2.4. MODELLO DEL COBWEB ESTESO 27
Prezzo
10
9
8
7
6
5
4
Modello del CobWeb − convergenza
3
0 5 10 15
Tempo
20 25 30
Figura 2.1: Simulazione dell’andamento del prezzo nel caso di convergenza
2.4 Modello del Cobweb esteso
Modifichiamo il modello finora presentato dando al venditore del prodotto
la possibilità di “rischiare”. L’ esistenza di una domanda per il prodotto
considerato può ricondursi a 4 situazioni principali:
• la domanda può non avere natura spontanea, nel senso che il bisogno
psicologico è stato provocato dall’impresa produttrice del bene (ad
esempio, tramite la pubblicità)
• la domanda è allo stato latente, per cui l’offerta di un certo prodotto
costituisce una risposta esplicita ad un bisogno psicologico non ancora
espresso
• la domanda di un certo bene costituisce una specificazione di un desiderio,
che può trovare una soddisfazione anche in altri prodotti caratterizzati
però dalla stessa funzione essenziale (caso banale, il cellulare)
• la domanda del bene costituisce l’espressione di bisogni psicologici
specifici
Anche quando il venditore risponde ad una domanda già presente, può comunque
svolgere un ruolo di valorizzazione dei bisogni. Nel nostro caso,

28 CAPITOLO 2. DINAMICA DEI PREZZI
Prezzo
10
9.5
9
8.5
8
7.5
7
6.5
Modello del CobWeb − Stabilita’
6
0 5 10 15
Tempo
20 25 30
Figura 2.2: Simulazione dell’andamento del prezzo nel caso di stabilità
supponiamo allora che l’offerta del prodotto non sia più determinata dal
prezzo di vendita al tempo t − 1, ma dal prezzo previsto al tempo t. Il
prezzo previsto al tempo t è una quantità che dipenderà dalla tendenza dei
prezzi negli ultimi due anni (trend). Formalmente quindi il sistema è ora
“governato” dalle seguenti leggi:
D(t) = −a p(t) + d0
S(t) = b (p(t − 1) + ρ (p(t − 1) − p(t − 2))) + s0
La quantità ρ è il risultato delle indagini di mercato, tale da decidere se conservare
la tendenza (ρ > 0) o invertirla (ρ < 0).
Nota: per ρ = 0 si ha il modello del Conbweb semplice.
2.4.1 Punto di equilibrio
Uguagliando la legge della domanda a quella dell’offerta otteniamo la seguente
equazione alle differenze, del secondo ordine a coefficienti costanti:
b
b
p(t) + (1 + ρ)p(t − 1) − ρ p(t − 2) +
a
a
s0 − d0
= 0 (2.3)
a
Ed il punto di equilibrio è nuovamente:
p = d0 − s0
a + b

2.4. MODELLO DEL COBWEB ESTESO 29
Prezzo
80
60
40
20
0
−20
Modello del CobWeb − instabilita’
−40
0 5 10 15
Tempo
20 25 30
Figura 2.3: Simulazione dell’andamento del prezzo nel caso di instabilità
Per studiare le condizioni per la convergenza dell’equazione 2.3 al prezzo di
equilibrio, ricaviamo il polinomio caratteristico di quest’ultima. Esso risulta:
p(z) = z 2 + b
b
(1 + ρ)z − ρ
a a
La soluzione di questa equazione è p(t) = c1zt 1 + c2zt 2 + p. Condizione per
la convergenza sarà dunque che le radici z1 e z2 siano in modulo minori di
1. La “complessità” dell’esplicitare le radici z1 e z2 e studiare il loro comportamento
al variare di a, b e ρ è un prezzo troppo alto da pagare. Un strada
più conveniente è utilizzare il criterio di Schur, descritto nel capitolo 11,
che ci permette di determinare la convergenza del metodo senza calcolare
le soluzioni z1 e z2. Siano quindi:
p(z) =
q(z) =
k
i=0
piz i = −ρ b
a
b
+ (1 + ρ)z + z2
a
k
piz k−i = −ρ b
a z2 + b
(1 + ρ)z + 1
a
i=0
p (1) (z) = pkp(z) − p(0)q(z)
=
z
= z2 + b
b
a (1 + ρ)z − ρ a − −ρ b b
a (−ρ
z
az2 + b
a
(1 + ρ)z + 1)
=

30 CAPITOLO 2. DINAMICA DEI PREZZI
Domanda
e Offerta
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
Modello del cobweb − Convergenza
3 4 5 6
Prezzo
7 8 9
Domanda
Offerta
Prezzo
Figura 2.4: Simulazione dell’andamento del prezzo in relazione alla
domanda e all’offerta nel caso di convergenza
= z
1 −
ρ b
2
a
+ b
(1 + ρ) ρ
a b
+ 1
a
Verifichiamo se sono soddisfatte le condizioni del criterio di Schur. Deve
risultare |p0| < |pk|, quindi
ρ b
a
< 1 (2.4)
Inoltre deve risultare p (1) ∈ S e perciò la radice di quest’ultimo polinomio
deve essere in modulo minore di 1. Il polinomio p (1) è di primo grado, quindi
la radice z (1)
1 si può facilmente ricavare, infatti
|z (1)
1 | =
b
b
a (1 + ρ)(ρ a + 1)
b b
1 − ρ a 1 + ρ
a
=
(1 + ρ)
1 − ρ b
< 1 (2.5)
a
Le condizioni per l’asintotica stabilità sono allora date dai valori di a, b, ρ
che soddisfano la 2.5. Riportiamo di seguito l’implementazione del metodo.
Listing 2.2: Modello del Cobweb esteso
1 ¢¡¤£¦¥¨§©¨£ e=cobest(a,b,d,s,© ,pi2,n,rho)
2 # Modello del cobweb esteso
3 # a coefficiente retta della domanda
b
a

2.4. MODELLO DEL COBWEB ESTESO 31
Domanda
e Offerta
20
18
16
14
12
10
Modello del CobWeb − stabilita’
2 4 6 8
Prezzo
10 12 14
Domanda
Offerta
Prezzo
Figura 2.5: Simulazione dell’andamento del prezzo in relazione alla
domanda e all’offerta nel caso di stablità
4 # b coefficiente retta dell’offerta
5 # d domanda iniziale
6 # s offerta iniziale
7 # pi prezzo tempo 0
8 # pi2 prezzo tempo 1
9 # n numero di iterazioni
10 # rho tendenza
11 P= ¢¡ (1,n);
12 D= ¢¡ (1,n);
13 S= ¢¡ (1,n);
14 # controllo ass. stabilita’
15 v=[rho∗(b/a) (b/a)∗(1+rho) 1];
16 check=isschur(v);
17 ©¨ (check==0)
18 ©¡ (’C’’e’’ equilibrio.’);
19 e=(d−s)/(a+b);
20 ¤ ¡¨
21 ©¡ (’Non c’’e’’ equilibrio.’);
22 e=’’;
23 ¨£ ;
24 ba1rho=(−b/a)∗(1+rho);
25 dsa=(d−s)/a;
26 rhoba=rho∗(b/a);
27 P(1)=© ;
28 P(2)=pi2;
29 D(1)=−a∗P(1)+d;

32 CAPITOLO 2. DINAMICA DEI PREZZI
Domanda
e Offerta
21
20
19
18
17
16
15
Modello del CobWeb − divergenza
Domanda
Offerta
Prezzo
6 8 10 12 14 16 18 20
Prezzo
Figura 2.6: Simulazione dell’andamento del prezzo in relazione alla
domanda e all’offerta nel caso di instablità
30 D(2)=−a∗P(2)+d;
31 S(1)=s;
32 S(2)=b∗P(1)+s;
33 ¨ j=3:n
34 P(j)=ba1rho∗P(j−1)+rhoba∗P(j−2)+dsa;
35 D(j)=−a∗P(j)+d;
36 S(j)=b∗((1+rho)∗P(j−1)−rho∗P(j−2))+s;
37 endfor
38 §©§ (’Prezzo’);
39 ¢§ ([1:n],P, ’b;Prezzo;’);
40 §¢¡¢£
Il grafico 2.7 mostra la convergenza al prezzo di equilibrio. Fornendo i valori
¥ ¡ ¨¦¨
¥ ¡¢¤£¦¨
¥ ¦
¥¦
¥ ¥£ £©
¥ ¦£ £©¤
¥ ¦
¥ ¨¨¦¨
§¦¡
l’output della simulazione risulta:

2.4. MODELLO DEL COBWEB ESTESO 33
55
50
45
40
35
30
25
20
Prezzo
Prezzo
15
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Figura 2.7: Convergenza Cobweb esteso
¨¦©£¥¨¦ ¦
¢¡¤£¦¥¨§¦©©¡
© ©¨¦¤¨
©¤

34 CAPITOLO 2. DINAMICA DEI PREZZI

Capitolo 3
Modello economico di Paul A.
Samuelson
3.1 Analisi della situazione
Un politico pensa alle prossime
elezioni, un uomo di stato alle
prossime generazioni
John Clarke
Con questo modello l’economista Paul A. Samuelson si accreditò l’onoreficenza
del premio Nobel per l’economia nel 1970. In sintesi si propone di
approssimare la situazione economica di una nazione. Vediamo in dettaglio
in cosa consiste questo modello:
Indichiamo con la seguente equazione il Reddito Lordo
Yn = In + Cn + Gn
dove In indica gli investimenti che i privati eseguono, Cn sono le spese che
deve affrontare uno stato per acquistare dei beni di consumo (petrolio, risorse,
. . . ) e Gn sono le spese del governo necessarie per produrre ricchezza
(infrastrutture, incentivi, . . . ).
Visto che per investire in nuove spese lo stato deve attingere da quello
che ha risparmiato nell’unità di tempo precedente possiamo impostare che
Cn+1 = αYn. Allo stesso modo notiamo che i privati investono i loro
capitali considerando un più lungo lasso di tempo e cercano nella situazione
economica dello stato dei segnali di sicurezza. Per questo motivo
In = ρ(Cn−Cn−1) e quindi l’equazione precedente, per sostituzione, diventa
Yn = αρ(Yn−1 − Yn−2) + αYn−1 + Gn
35

36 CAPITOLO 3. MODELLO ECONOMICO DI PAUL A. SAMUELSON
Yn − α(1 + ρ)Yn−1 + αρYn−2 = G
dove per semplificare abbiamo supposto G costante nel tempo. Cerchiamo
adesso il punto di equilibrio:
y − α(1 + ρ)y + αρy = G ⇒ y = G
1 − α
È molto importante che y sia stabile altrimenti lo stato navigherà in cattive
acque.
Il rapporto 1
1−α è anche chiamato moltiplicatore di John M. Keynes1 . Dimostra
che in situazione di crisi finanziaria lo stato deve investire per far sì che
l’economia possa reagire. Dobbiamo notare che le cose non sono sempre
così semplici e spesso devono essere considerati fattori contingenti e imponderabili.
Inoltre il termine G è da considerarsi corretto solo se le spese
sono giustificate da studi appropriati: non è sicuramente produttivo la terza
corsia in una strada di campagna poco trafficata o risorse scialaquate in
tangenti.
3.2 Implementazione e grafici
Di seguito riportiamo il codice che implementa il metodo appena analizzato
focalizzando l’attenzione sul reddito dello stato:
Listing 3.1: Modello di Samuelson - Reddito Lordo
1 ¢¡¤£¦¥¨§©¨£ e=samuelson(a,p,G,I,C,n)
2 # Codice che implementa il modello di Paul A. Samuelson
3 # e visualizza il reddito lordo della nazione
4 #
5 # a percentuale delle spese per beni di consumo
6 # p percentuale investimenti di privati
7 # G spese costanti necessarie per le infrastrutture
8 # I reddito lordo della nazione iniziale
9 # C spese iniziali per beni di consumo
10 # n anni per il calcolo del modello
11 Y= ¢¡ (1,n+1);
12 Y(1)=I+C+G;
13 Cs=a∗Y(1);
14 Is=p∗(Cs−C);
15 Y(2)=Is+Cs+G;
16 ¨ k=3:n+1
17 Y(k)=a∗(1+p)∗Y(k−1)−a∗p∗Y(k−2)+G;
18 endfor
19 e=G/(1−a);
20 §©§ (’Modello di Samuelson’);
21 (’Capitale’);
1 economista americano che intuì la via d’uscita per la crisi finanziaria mondiale del 1929

3.2. IMPLEMENTAZIONE E GRAFICI 37
22 ¤ (’Anni’);
23 ¨§ (Y, ’;Reddito lordo della nazione;’);
24 ¨£¤ ¢¡¤£ ¥§©¨£
Mostriamo ora, nelle figure (3.1 e 3.2) il grafico ottenuto dalla simulazione
sulla macchina di tale codice: si evidenzia il reddito lordo sia nel caso di
investimenti di governo sufficientemente grandi da far crescere il capitale
(3.1), sia che questi siano tanto piccoli da portare al crack finanziario (3.2).
L’ output del metodo nel caso di stabilità è il seguente:
Capitale
63000
62000
61000
60000
59000
58000
57000
56000
55000
54000
53000
Modello di Samuelson
2 4 6 8 10
Anni
Reddito lordo della nazione
Figura 3.1: Simulazione del reddito di una nazione in progressione
£
¡¤¤£¢¥¨¡
¥ £ ¨¤¨¨¦¢¢
Mentre nel caso del crack finanziario:
£
¡¤¤£¢¥¨¡
¥ ¥¢¤¢ ¡¢ ©
La tabella 3.1 evidenzia i valori dei parametri per i codici.
Riportiamo adesso anche il codice che evidenzia i valori di I e C al variare
del tempo:
Listing 3.2: Modello di Samuelson - Investimenti privati e spese statali

38 CAPITOLO 3. MODELLO ECONOMICO DI PAUL A. SAMUELSON
Capitale
20000
18000
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
-2000
Modello di Samuelson
2 4 6 8 10
Anni
Reddito lordo della nazione
Figura 3.2: Simulazione del reddito di una nazione in bancarotta
Tabella 3.1: Parametri Modello Samuelson
¢ £ ¤ ¥
¡
©¨
¦ 4% 5% 35000 10000 8000 11
§¦
¤
¡ 4% 5% 100 10000 8000 11
1 ¢¡¤£¦¥¨§©¨£ e=samuelson1(a,p,G,I,C,n)
2 # Codice che implementa il modello di Paul A. Samuelson
3 # e visualizza spese statali e investimenti privati
4 #
5 # a percentuale delle spese per beni di consumo
6 # p percentuale investimenti di privati
7 # G spese costanti necessarie per le infrastrutture
8 # I reddito lordo della nazione iniziale
9 # C spese iniziali per beni di consumo
10 # n anni per il calcolo del modello
11 Y= ¢¡ (1,n+1);
12 Cs= ¢¡ (1,n+1);
13 Is= ¢¡ (1,n+1);
14 Cs(1)=C;
15 Is(1)=I;
16 Y(1)=Is(1)+Cs(1)+G;
17 Cs(2)=a∗Y(1);
18 Is(2)=p∗(Cs(2)−Cs(1));

3.2. IMPLEMENTAZIONE E GRAFICI 39
19 Y(2)=Is(2)+Cs(2)+G;
20 k=3:n+1
21 Cs(k)=a∗Y(k−1);
22 Is(k)=p∗(Cs(k)−Cs(k−1));
23 Y(k)=Is(k)+Cs(k)+G;
24 endfor
25 e=G/(1−a);
26 §©§ (’Modello di Samuelson’);
27 ¤ (’Capitale’);
28 ¤ (’Anni’);
29 ¨§ (Cs,’;Spese statali per beni di consumo;’);
30 ¨§ (Is,’;Investimenti dei privati;’);
31 ¨£¤ ¢¡¤£ ¥§©¨£
Di seguito riportiamo il grafico (3.3) che evidenzia i valori degli investimenti
dei privati (In) e le spese per beni di consumo (Cn) al variare degli anni.
È da notare come gli investimenti dei privati decrescano fino al valore di
equilibrio pari a zero. Riportiamo inoltre il grafico degli investimenti e per i
beni di consumo nel caso del crack finanziario.
Capitale
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
-5000
Modello di Samuelson
2 4 6 8 10
Anni
Spese statali per beni di consumo
Investimenti dei privati
Figura 3.3: Investimenti statali e dei privati (stabilità)

40 CAPITOLO 3. MODELLO ECONOMICO DI PAUL A. SAMUELSON
Capitale
10000
8000
6000
4000
2000
0
-2000
-4000
Modello di Samuelson
2 4 6 8 10
Anni
Spese statali per beni di consumo
Investimenti dei privati
Figura 3.4: Investimenti statali e dei privati (crack finanziario)

Capitolo 4
Una particolare tribù d’indiani
4.1 Analisi della situazione
Dio li benedisse e disse loro:
“Siate fecondi e moltiplicatevi,
riempite la terra; soggiogatela e
dominate sui pesci del mare e
sugli uccelli del cielo e su ogni
essere vivente che striscia sulla
terra”
Genesi 1,28
Durante le guerre per la spartizione delle terre del nord america, un gruppo
di coloni francesi entrò in contatto con una tribù autoctona nella valle
del Mississippi, la tribù dei Natchez. Non sono passati alla storia per le loro
gesta eroiche o per la loro indole bellicosa, ma perchè l’etnografo olandese
Antoine Simon Le Page Du Pratz analizzò la loro alquanto bizzarra organizzazione
sociale.
Essi infatti avevano diviso la società in 4 caste, che indicheremo rispettivamente
con Sun, Noble, Honored e Stinkard (intesi come guerrieri, sacerdoti,
commercianti e plebei) e per garantire la giustizia e l’equità fra le classi,
ogni matrimonio era dettato da leggi precise che regolavano quindi l’appartenenza
dei nascituri ad una certa classe. In generale le mogli garantivano
la dinastia al figlio, ma vediamo con la tabella 4.1 di spiegare meglio la
situazione. Nelle celle della tabella sono presenti i nomi delle caste di appartenenza
della prole. Si ricorda che come riga sono presenti le mogli e
come colonna sono invece presenti i mariti.
Quello che ci chiediamo è: riusciranno queste leggi a far sopravvivere la
società a lungo (ovviamente senza che nessuna classe si svuoti)? Cerchiamo
41

42 CAPITOLO 4. UNA PARTICOLARE TRIBÙ D’INDIANI
Uomini
Donne Sun Noble Honored Stinkard
Sun Sun
Noble Noble
Honored Honored
Stinkard Noble Honored Stinkard Stinkard
Tabella 4.1: Leggi dello stato sociale Natchez
quindi di formulare un modello matematico che, implementato sul calcolatore,
possa fornirci una stima effettiva della situazione al passare del tempo.
Per far questo imponiamo due ipotesi restrittive che facilitino il calcolo e
l’implementazione:
• Si suppone che non ci siano mai più di due generazioni per volta
(quindi i genitori al tempo k muoiono al tempo k + 1)
• Ogni coppia genera due figli: un maschio e una femmina
Introduciamo la seguente notazione per velocizzare l’analisi: indichiamo
con x1(k) il numero di persone nella classe Sun al tempo k. Di conseguenza
in ordine avremo x2(k), x3(k), x4(k) per indicare il numero di individui
nelle restanti caste al tempo k.
4.2 Modello sociale di base
Cominciamo a formalizzare le regole di discendenza, sopra descritte a parole,
in formule matematiche:
x1(k + 1) = x1(k)
x2(k + 1) = x2(k) + x1(k)
x3(k + 1) = x3(k) + x2(k)
x4(k + 1) = x3(k) + x4(k) − x1(k) − x2(k) − x3(k)
Quindi mettendo tutto in forma matriciale possiamo vederlo come:
X(k + 1) =
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
−1 −1 0 1
⎞
C
⎛
⎟ ⎜
⎟
⎠ × ⎜
⎝
x1(k)
x2(k)
x3(k)
x4(k)
⎞
⎟
⎠
X(k)

4.2. MODELLO SOCIALE DI BASE 43
e quindi ponendo, come di consueto, i valori iniziali nella forma x1(0), x2(0),
x3(0) e x4(0) scriviamo la soluzione 1 stabile del problema:
⎛
X(k) = C k
⎜
⎝
x1(0)
x2(0)
x3(0)
x4(0)
Segue che dobbiamo studiare C k : possiede un unico autovalore, esattamente
1, di molteplicità 4; vediamo di esplicitare i calcoli:
⎛
⎜
C = I + ⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
−1 −1 0 0
⎞
⎟
⎠
B
cioè Ck = (I+B) k che con lo sviluppo binomiale diventa I+kB+ k
2 B2 +. . .
ma se analizziamo meglio la matrice B ci accorgiamo che
B 2 =
⎛
⎜
⎝
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
−1 0 0 0
e quindi B 3 ≡ 0 segue che lo sviluppo sopra riportato si arresta alla seconda
potenza della B.
Infine scriviamo il regole di ricorrenza riscritte a seguito delle considerazioni
fatte fino ad ora:
x1(k) = x1(0)
⎞
⎟
⎠
x2(k) = kx1(0) + x2(0)
x3(k) =
k(k − 1)
x1(0) + kx2(0) + x3(0)
2
x4(k) =
k(k + 1)
− x1(0) − kx2(0) + x4(0)
2
ma esiste un k tale che x4(k) ≤ 0 e quindi ad un certo momento questa casta
si esaurirà e le prime ad accorgersi dei problemi saranno appunto le mogli
che non troveranno più mariti con cui sposarsi!
Vediamo quì di seguito il codice che implementa il modello appena descritto
e i grafici ottenuti dalla simulazione sul calcolatore.
1 Vedi capitolo 13

44 CAPITOLO 4. UNA PARTICOLARE TRIBÙ D’INDIANI
Listing 4.1: Modello indiani Natchez senza incentivi
1 ¢¡¤£¦¥¨§©¨£ Y=natchez(x1, x2, x3, x4, k)
2 # Restituisce la situazione della popolazione
3 # degli indiani Natchez dopo k generazioni
4 # x1 numero iniziale di Sun
5 # x2 numero iniziale di Noble
6 # x3 numero iniziale di Honored
7 # x4 numero iniziale di Stinkard
8 A=[1 0 0 0
9 1 1 0 0
10 0 1 1 0
11 −1 −1 0 1];
12 X=[x1 x2 x3 x4];
13 Y(:,1)=X’;
14 estinti=0;
15 ¨ i=2:k
16 Y(:,i)=A∗Y(:,i−1);
17 © (Y(4,i)

4.3. MODELLO SOCIALE CON INCENTIVI 45
Numero individui
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
Modello degli indiani Natchez
2 4 6 8 10 12
Generazioni
Sun
Noble
Honored
Stinkard
Figura 4.1: Grafico del modello dei Natchez senza incentivi
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4.3 Modello sociale con incentivi
Per evitare che la società collassi supponiamo di poter usuffruire di incentivi
per favorire o sfavorire alcune coppie nell’allevare figli. Con queste nuove
supposizioni semplifichiamo ulteriormente la situazione considerando solo
tre caste; quindi la tabella iniziale diventa:
Come sopra andiamo a definire la matrice A come segue:
⎛
A = ⎝
1 0 0
1 1 0
−1 1 1
⎞
⎠

46 CAPITOLO 4. UNA PARTICOLARE TRIBÙ D’INDIANI
dove la regola generale è esplicitata da
⎛
⎞ ⎛
xA(k + 1)
⎝ xB(k + 1) ⎠ = A ⎝
xC(k + 1)
xA(k)
xB(k)
xC(k)
e di conseguenza la potenza generica della matrice risulta
A k ⎛
1 0
⎞
0
= ⎝ k 1 0 ⎠
−k 1 1
come prima il −k nell’ultima riga sta a indicare che presto o tardi quella
casta si esaurirà.
Ricordiamo che se gli autovalori sono del tipo |z1| ≫ |z2| ≥ . . ., cioè con
un autovalore in modulo molto più grande di tutti gli altri, allora Akx0
zk 1 α0u (1) , dove x0 è un vettore qualsiasi e u (1) è l’autovettore relativo all’autovalore
z1, come è dimostrato nell’appendice A.
Se prendiamo quindi singolarmente la componente (cioè la riga) i-esima, la
formula sopra diventa (Akx0)i zk 1 α0ui (1) .
Sommiamo adesso tutti i termini appartenenti al vettore e poi otteniamo nel
seguente modo la percentuale di individui appartenenti alla classe rispetto
a quelli totali:
(Akx0)i
j (Ak
x0)j
zk 1α0ui (1)
zk 1 α0
j
ui
(1)
notiamo che il rapporto al secondo membro
⎞
⎠
ui (1)
P
j
ui
(1)
da un certo punto in
poi non dipende più da k.
Vediamo di applicare queste considerazioni al nostro problema: come distribuiamo
gli incentivi?
Il valore di xA(k + 1) prima era uguale a xA(k), mentre adesso dobbiamo
considerare gli incentivi e quindi diventa α1xA(k) e con lo stesso principio
possiamo estendere il ragionamento anche alle altre dinastie. Cioè
xA(k + 1) = α1xA(k)
xB(k + 1) = α3xB(k) + α2xA(k)
xC(k + 1) = −α5xA(k) + (α4 − α5)xB(k) + α5xC(k)
A B C
A Aα1
B Bα3
C Bα2 Cα4 Cα5
Tabella 4.2: Modello Natchez con incetivi

4.3. MODELLO SOCIALE CON INCENTIVI 47
Con queste consideranzioni quindi la matrice A diventa:
⎛
A = ⎝
α1 0 0
α2 α3 0
−α5 (α4 − α5) α5
da cui x(k) = A k x0.
Il nostro studio consiste nel vedere quanto a lungo questa società possa riuscire
a sopravvivere, quindi dobbiamo analizzare la situazione per k molto
grandi. Una società di questo tipo vive bene se le percentuali degli appartenenti
alle caste rimane circa costante nel tempo. Visto con le matrici il
ragionamento degli incentivi può essere tradotto cosí: si imposta un autovalore
come dominante e si controlla che con tale ipotesi nessuna casta si
svuoti. A prima approssimazione potremo pensare che la casta che necessiti
maggiormente di incentivi sia la casta che per prima si svuota e quindi vediamo
cosa succede a considerare α5 come autovalore dominante: calcolando
l’autovettore corrispondente ricaviamo
cioè ⎛
⎝
(A − α5I)u = 0
(α1 − α5) 0 0
α2 (α3 − α5) 0
−α5 (α4 − α5) 0
⎞ ⎛
⎠ ⎝
u1
u2
u3
⎞
⎠
⎞
⎠ = 0
ma (α1 − α5)u1 = 0 implica che la prima componente dell’autovettore sia
nulla, infatti la differenza fra gli inventivi è diversa da zero per definizione;
allo stesso modo (α3 − α5)u2 = 0 implica l’annullamento della seconda
componente. È chiaro quindi che la scelta dell’incentivi all’ultima casta si è
rivelata fallimentare.
Proviamo ora a cambiare strategia incentivando con α3 ≫ αi:
⎛
⎝
(α1 − α3) 0 0
α2 0 0
−α5 (α4 − α5) (α5 − α3)
⎞ ⎛
⎠ ⎝
u1
u2
u3
⎞
⎠ = 0
ma la prima riga della matrice è rimasta inalterata e quindi, come sopra, la
prima casta tende a svuotarsi. Dobbiamo quindi dedurre che anche questa
soluzione sia da scartare e non ci rimane che provare con l’ultimo autovalo-
re: α1 ⎛
⎝
0 0 0
α2 (α3 − α1) 0
−α5 (α4 − α5) (α5 − α1)
⎞ ⎛
⎠ ⎝
u1
u2
u3
⎞
⎠ = 0
ora, α1 > α3 e α1 > α5 per definizione e quindi otteniamo la seguente
uguaglianza: 0u = 0 che è banalmente vera per ogni u. Segue che questa

48 CAPITOLO 4. UNA PARTICOLARE TRIBÙ D’INDIANI
è la soluzione più adatta e addirittura non pone alcun vincolo sulla scelta
dell’autovettore. Calcoliamo ora le componenti di quest’ultimo:
α2u1 + (α3 − α1)u2 = 0 ⇒ u2 = α2
u1
α1 − α3
−α5u1 + (α4 − α5)u2 + (α5 − α1)u3 = 0 ⇒ u3 = (α4 − α5)u2 − α5u1
(α1 − α5)
Vogliamo che u3 sia positivo e quindi dobbiamo imporre che
−
α5
(α1 − α5) + α4 − α5
α1 − α5
× α2
α1 − α3
> 0
poichè α1 − α5 > 0, posso dividere per questa quantità e semplificare:
−α1α5 + α5α3 + α2α4 − α5α2 > 0
e infine abbiamo trovato la condizione corretta affinchè la società prosegua.
4.4 Conclusioni
Al contrario di ogni superficiale aspettativa la casta più bassa (ricordo, quella
che doveva all’inizio ricevere più contributi) deve ricevere più penalizzazioni.
Infatti α5 deve essere molto piccolo.
Inoltre, affinchè la popolazione sia contenta deve trovare il partner facilmente
e quindi sarebbe bello che u3 ≥ u1 + u2 e questo porterà a imporre
che α4 > α1. Con questi vincoli quindi possiamo ritenerci abbastanza
soddisfatti dello studio e credere che questa società prosperi in “eterno”.
Sfortunatamente i coloni francesi sterminarono presto la tribù e quindi non
potremo mai sapere se queste leggi simulate sul calcolatore abbiano un riscontro
uguale o diverso nella realtà.
Listing 4.2: Modello indiani Natchez con incentivi
1 ¢¡¤£¦¥¨§©¨£ Y=natchez_i(x1, x2, x3, alfa, k)
2 # Restituisce la situazione della popolazione
3 # degli indiani Natchez dopo k anni (con incentivi)
4 #
5 # x1 numero iniziale di Sun
6 # x2 numero iniziale di Honored
7 # x3 numero iniziale di Stinkard
8 # alfa vettore degli incentivi
9 A=[alfa(1) 0 0
10 alfa(2) alfa(3) 0
11 −alfa(5) alfa(4)−alfa(5) alfa(5)];
12 X=[x1 x2 x3];
13 Y(:,1)=X’;

4.4. CONCLUSIONI 49
14 estinti=0;
15 i=2:k
16 Y(:,i)=A∗Y(:,i−1);
17 ©¨ (Y(3,i)

50 CAPITOLO 4. UNA PARTICOLARE TRIBÙ D’INDIANI
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Capitolo 5
Corsa agli armamenti
5.1 Analisi della situazione
Ricordatevi che Roma “Doma”
Frase scritta sul confine
Italo-Francese
Simuliamo adesso la situazione nella quale due nazioni confinanti ricorrono
all’armamento per paura di aggressione del vicino. Verranno presi in considerazione
sia il livello di aggressività crescente di uno stato, sia le limitazioni
all’acquisto sconsiderato di armi, come il loro costo o l’impatto sull’opinione
pubblica.
Indicando con x e y il livello di armamenti delle rispettive nazioni possiamo
stabilire che, grazie al lavoro di intelligence, ogni nazione può impostare la
variazione nel tempo del livello di armamenti nel seguente modo:
∂x
∂t
= ay − bx + g e
∂y
∂t
= cx − dy + h
dove g e h indicano il livello di aggressività della nazione, b e d sono detti
termini di fatica mentre a e c sono detti termini di difesa.
In notazione vettoriale possiamo indicare le formule sopra così:
∂ x −b a x g
=
+
∂t y c −d y h
A
z
q
dove x e y sono positivi.
In generale ∂z
∂t = Az + q, quindi fissando come punto di “equilibrio” il momento
in cui la crescita è nulla, risulta Az + q = 0
51

52 CAPITOLO 5. CORSA AGLI ARMAMENTI
Quindi per trovare la soluzione possiamo scrivere direttamente z = −A−1q se e solo se A è una matrice invertibile, cioè se det(A) = 0. Vediamo per
quali condizioni è soddisfatta la: bd − ac = 0:
A −1 =
−d −a
1
bd − ac
−c −b
sono tutti negativi
e questo implica, affinchè il punto di equilibrio si positivo, che bd − ac > 0.
Bene, adesso che abbiamo stabilito il punto di equilibrio ci chiediamo quale
sia la natura dello stesso. Infatti dovrà verificarsi che Re(zi) < 0 ∀i, dove zi
sono gli autovalori. Vediamo se è così:
−b − λ a
det
= (b + λ)(d + λ) − ac
c −d − λ
quindi λ 2 + λ(b + d) + bd − ac = 0 e infine
λ = −(b + d) ± (b + d) 2 − 4(bd − ac)
2
La radice con il segno negativo non crea problemi poichè è reale e negativa,
mentre per l’altra soluzione occorrerebbe che:
b + d > (b − d) 2 + 4ac
bd − ac > 0
Quindi le condizioni per l’esistenza del punto di equilibrio positivo sono
riproposte per l’esistenza della sua asintotica stabilità. Notiamo che le considerazioni
sul determinante della matrice sono da tradursi nella richiesta
che i termini di fatica siano maggiori dei termini di difesa.
Vediamo ora un caso un po’ più generico . . . giochiamo alla guerra mondiale!
Cioè prendiamo in consederazione non più solo due stati limitrofi, ma il
caso più generale di n nazioni.
In questa prospettiva vediamo che x e y cambiano la loro struttura in vettori
e quindi diventano:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
x = ⎜
⎝
x1
x2
.
xn
⎟
⎠
⎜
y = ⎜
⎝
mentre i termini di fatica e difesa sono sintetizzati dalla matrice U della
seguente tipologia:
⎛
−
⎜
U = ⎝
. ..
⎞
+
⎟
⎠
+ −
y1
y2
.
yn
⎟
⎠

5.2. MATRICI POSITIVE 53
dove i termini di fatica stanno sulla diagonale mentre quelli di difesa sono
nel resto della matrice e quindi, la variazione del livello di armamento è
data dalla ∂x
∂t = Ux + g.
Ma dove si trova il punto di equilibrio? Se fosse molto vicino allo zero, saremmo
nella soluzione ideale: tutte le nazioni sono pressochè prive di armi
e il livello di collera sarebbe praticamente nullo. Purtroppo spesso la realtà
traccia dei sentieri diversi e quindi dobbiamo considerare una caso più generico.
Il calcolo del z risulta molto complesso poichè siamo in presenza di più dimensioni
e per far questo introduciamo la classe delle matrici positive.
5.2 Matrici Positive
Questo tipo di matrici fornisce le informazioni sull’autovalore di massimo
modulo senza doverlo calcolare e sono matrici definite così:
Definizione 5.1 Sia A matrice qualsiasi. È detta positiva se aij > 0 ∀i e ∀j.
Si indica con A > 0
Definizione 5.2 Sia A matrice qualsiasi. È detta positiva o nulla se aij ≥ 0
se ∃i, j tali che aij > 0 (basta che ne esista una coppia). Si indica con A ≥ 0
Definizione 5.3 A ≥ 0 se aij ≥ 0 (potrebbe essere anche nulla)
Proprietà: nelle equazioni alle differenze, se yk+1 = Ayk e se y0 ≥ 0 allora
A k > 0
Teorema 5.4 (di Perron-Frobenius) Se A > 0 allora ∃λ0 ≥ 0, u0 > 0 tale
che ogni altro autovalore di A è più piccolo in modulo di λ0 e inoltre λ0 è
semplice.
Praticamente si dice che tutti gli autovalori stanno dentro al cerchio di
raggio λ0
Corollario 5.5 Se A ≥ 0 ed ∃ m tale che A m > 0 allora vale il teorema
precedente.
Esempio 5.6 Matrici compagne o matrici di Frobenius.
Analogamente al procedimento usato nel capitolo della teoria delle matrici
vediamo che le matrici di Frobenius si comportano secondo il corollario
appena descritto. Infatti via via che i passi dell’algoritmo si succedono, la
matrice continua a riempirsi, fino a quando sarà completamente piena.

54 CAPITOLO 5. CORSA AGLI ARMAMENTI
I termini S1, S2, . . . , Sn rappresentano rispettivamente la somma degli
ai,1, ai,2, . . . , ai,n.
a1,1u 1 0 + a1,2u 2 0 + . . . + a1,nu n 0 = λ0u 1 0
a2,1u 1 0 + a2,2u 2 0 + . . . + a2,nu n 0 = λ0u 2 0
. = .
an,1u 1 0 + an,2u 2 0 + . . . + an,nu n 0 = λ0u n 0
n
S1u 1 0 + S2u 2 0 + . . . + Snu n 0 = λ0 u
i=1
i 0
L’ ultima riga rappresenta la media pesata delle colonne.
Da questo otteniamo che λ0 si trova fra la più piccola e la più grande Si
(max Si ≥ λ0 ≥ min Si). Ho così fatto una prima stima della posizione
dell’autovalore. Ma sappiamo che la matrice trasposta mantiene gli stessi
autovalori e quindi possiamo stimare con più accuratezza la posizione di λ0
grazie alle somme per riga (o le somme per colonna della matrice trasposta,
che è la stessa cosa). In questo modo ho una buona approssimazione della
sua posizione.
Esempio 5.7 Consideriamo la seguente matrice:
1 1
A =
1 1
allora 2 ≤ λ0 ≤ 2 ed infatti gli autovalori sono 0 e 2.
Esempio 5.8 Consideriamo la matrice di Fibonacci:
0 1
A =
1 1
la stima dice che 1 ≤ λ0 ≤ 2, infatti il rapporto aureo è circa 1, 618.
Nelle equazioni differenziali del modello, si vorrebbe che la posizione dell’autovalore
di modulo massimo fosse nel primo quadrante degli assi cartesiani,
cioè vorremmo che ∂x
∂y
∂t > 0 se x = 0 e che ∂t > 0 se y = 0 e questo è
vero se, dato
∂x
∂y
= αy − βx e = γy − δx
∂t ∂t
passando alle matrici
α β y se β > 0
γ δ x se δ > 0
K
dove la matrice K fa variare la corsa agli armamenti. Questo tipo di matrici
sono anche dette matrici di Metzler. Sono del tipo A ≥ 0 e quindi vale il
corollario 5.5 e di seguito il teorema 5.4.

5.2. MATRICI POSITIVE 55
Teorema 5.9 Sia A ≥ 0 e b > 0. Sia inoltre yn+1 = Ayn + b e y sia il punto
di equilibrio che soddisfa il sistema. Esiste y > 0 se e solo se λ0 < 1 (da cui
(I − A) −1 = A i )
DIMOSTRAZIONE:
(←) Se λ0 < 1 allora vale che (I − A) −1 = A i , proprietà che vedremo nel
capitolo 13 per le successioni di funzioni di matrici. Pongo Bn = n
i=0 Ai ,
moltiplicando entrambi i membri per la quantità (I − A) otteniamo:
(I − A)Bn =
n
A i −
i=0
n
A i+1
dove al secondo membro le sommatorie si semplificano a due a due e rimane
solo il primo e l’ultimo termine, da cui ricaviamo I − A n+1 . Se n tende a
infinito otteniamo la tesi, cioè
y =
+∞
i=0
A i b > 0
i=0
che è maggiore di 0 poichè prodotto di termini positivi.
(→) Viceversa, presa la matrice trasposta A T , allora
∃λ0 tale che, preso f0 > 0 allora f T A = λ0f T
allora moltiplicando le ipotesi per f T si ottiene
f T (I − A)y = f T b ⇒ (I − λ0)f T y T = f T b
ma sia I − λ0 che f T b sono positivi e quindi anche f T y T deve necessariamente
essere positivo. Questo indica asintotica stabilità, la quale dimostra
la tesi. ✷
Teorema 5.10 Sia A una matrice di Metzler, cioè del tipo
A = −cI + B
Sulla diagonale della matrice abbiamo tutti elementi uguali (−c) e B > 0.
Allora A è una matrice positiva.
Corollario 5.11 Se gli elementi sulla diagonale sono diversi ma sempre tutti
negativi, allora se prendiamo il più piccolo in modulo, la relazione di sopra è
rispettata.
Indichiamo ora gli autovalori di A e B rispettivamente con µ e λ e notiamo
che sono legati dalla seguente relazione:
µ = −c + λ ⇒ Reλ < λ0

56 CAPITOLO 5. CORSA AGLI ARMAMENTI
infatti i λi sono tutti posizionati alla sinistra di λ0 e quindi
Reµ ≤ −c + λ0
cioè sono traslati di c rispetto a λ0. Se c > λ0 allora sono tutti nel semipiano
negativo, cioè Reµ ≤ 0.
5.3 Torniamo a fare la guerra...
Considerando il caso a più nazioni, riprendendo i conti di prima, possiamo
ricavare informazioni sulle alleanze dall’autovettore corrispondente all’autovalore
più negativo. Infatti, supponendo che λn sia l’autovalore in questione
(ricorda che Reλn < 0), preso l’autovettore corrispondente f T n K = λnf T n ,
sia
zn(t) = f T n x
dove x è il vettore soluzione 1 . Dalle relazioni sopra vediamo che
che integrando 2 diventa:
∂zn(t)
∂t = f T n (Ux + g) = λnzn(t) + f T n g
zn(t) = e λnt z0 + f T n g
λn
(e λnt − 1)
se t tende a infinito allora e λnt tende a 0. Quindi zn tende rapidamente a
− f T n g
. Traducendo queste relazioni matematiche possiamo dire che appena
λn
scoppia una guerra, le alleanze si formano velocemente e rimangono costanti
per tutto il conflitto.
Per vedere le coalizioni basta considerare f T n : le sue componenti sono positive
e negative e quindi i termini concordi rappresentano le relative alleanze.
5.4 La guerra mondiale simulata
Con le premesse precedenti possiamo analizzare la situazione della seconda
guerra mondiale. La matrice 5.2 può esplicitare la situazione del conflitto.
Notiamo che tale matrice è stata generata da valori impostati sull’analisi
della situazione storica del momento. Variando tali valori potremo vedere
come l’esito delle alleanze possa modificarsi di conseguenza. Notiamo inoltre
come sulla diagonale siano presenti i termini di fatica e nel resto della
matrice quelli di difesa. Calcolando l’autovalore più negativo vediamo che
1 ∂x
Ricordiamo che ∂t
= Ux + g
R 2 t
Risulta 0 eλnsds = 1
λn (eλns − 1)

5.4. LA GUERRA MONDIALE SIMULATA 57
¢¡ £ ¥¥¤ ¦ ¤ ©¥¢¡
#
1 Cecoslovacchia +
2 Cina -
3 Francia +
4 Germania -
5 Inghilterra +
6 Italia -
7 Giappone -
8 Polonia +
9 Stati Uniti d’America +
10 U.R.S.S. +
Tabella 5.1: Legenda
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 -10 0 0 2 0 0 0 1 0 0
2 0 -10 0 0 0 0 4 0 0 2
3 0 0 -18 4 0 4 0 0 0 0
4 4 0 4 -10 2 0 0 1 0 8
5 0 0 0 4 -15 6 2 0 0 0
6 0 0 2 0 4 -5 0 0 0 2
7 0 4 0 0 0 0 -10 0 4 4
8 1 0 0 1 0 0 0 -10 0 1
9 0 0 0 2 2 2 4 0 -7 2
10 0 2 0 8 2 2 4 1 0 -10
Tabella 5.2: Situazione pre-guerra in forma matriciale
λ10 −22, 5. L’ implementazione del metodo è riportata di seguito; la procedura
determina l’esistenza o meno del punto di equilibrio.
Listing 5.1: Armamento delle nazioni
¡¤£¦¥§©¢¨£ 1 armamenti(A)
©
¡
¡
© ((j1)
©¨
2 # Corsa agli armamenti
3 v= (A)
4 j=1;
5 mass=0;
6
(v)) & (mass!=2))
8 mass=2;
¤ ¡
9
©¨ ( ¨¤¡ (v(j))==1)
10
11 mass=1;
12 ©¨ (j< £ ¤§
¡ (v))

58 CAPITOLO 5. CORSA AGLI ARMAMENTI
¡
13 £ ¤§
k=j+1: ¤
©
(v)
14 (v(j)=v(k))
15 mass=2;
16 £©
17 endfor
18 £©
19 £©
20 £©
21 j=j+1;
£¢ ©
22
©¨ 23 (mass==0)
¡
24 ©¡ (’Esiste il punto di equilibrio asin. stab.’);
25 ¤ ¡
26 © (mass==2)
27 ©¡ (’Non esiste il punto di equilibrio.’);
28 ¤ ¡
29 ©¡ (’Esiste il punto di equilibrio stab.’);
30 £©
31 £©
32 £¤ ¡¤£¦¥§©¢¨£
Fornendo in input la matrice che rappresenta la situazione prima della seconda
guerra mondiale, l’output è il seguente.
¡£§¨©
¥
¡¢ ¤©¢ ¨¨¦©
¡£ ¨ ¢ ¢ ¨¨¦©
¦
¨ ¡¢¤¢ © ¢ ¨¨¦©
©¦ ¦ ¨¨¦©
¡¢¤¢¨ © £©
¦¥¢
¡¢¤¢¨ © £©
¦¥¢
¥ ¨¨¦©
¦¡£
¢ ©¨ ¨¨¦©
©¤ £ ¨¨¦©
¦
¨¤¨ ¢ ¨¨¦©
¦
¡¤¢¢©©¤£¨¦¨¡©¡ ©¤©¨§©¤¡

Capitolo 6
Dinamica delle popolazioni
Gli uomini veramente grandi non
possono dubitare di un’esistenza
futura, perché sentono in sé
medesimi la propria immortalità.
Ugo Tarchietti
L’ utilizzo del calcolatore per la ricerca è risultato, fin dai primi tempi,
un valido aiuto per gli scienziati. Con l’approssimazione di modelli infatti è
possibile fare delle previsioni significative di molti fenomeni. Alcuni esempi
molto banali sono appunto le previsioni del tempo, il “progetto Genoma
Umano” per la codifica del DNA, . . .
In biologia, il calcolatore ha fornito un valido aiuto per la previsione della
crescita di popolazioni, quali batteri o insetti o . . . uomini.
Già alla fine del ′ 800 ci si era posti il problema della crescita della popolazione
mondiale, ma l’intuito e l’errata analisi del problema aveva portato a
un’inutile allarmismo sulla fine del mondo (maltusianesimo). Purtroppo il
problema si è riproposto nella metà del secolo scorso con le teorie filosofiche
del neo-maltusianesimo. Vedremo in questo capitolo come il computer
possa tranquillizare l’umanità e scongiurare l’ennesima fine del mondo.
6.1 Modello di Malthus
Thomas Robert Malthus nacque a Rookery, Surrey, nel 1766 e fu per breve
tempo vicario della parrocchia di Albury nel Surrey nonché, dal 1805, insegnante
di economia al College of East India di Haileybury. Nell’opera Saggio
sulla popolazione, pubblicata nel 1798, egli aprì la strada alla moderna
analisi dei popoli e del loro ritmo di crescita.
59

60 CAPITOLO 6. DINAMICA DELLE POPOLAZIONI
6.1.1 Descrizione e implementazione
Il modello che Malthus sviluppò immaginava la popolazione mondiale non
divisa in classi, ma descriveva che il numero di individui al tempo n + 1
era determinato dal numero degli individui al tempo precedente, a cui si
sommano i nati e si sottraggono i morti. Quindi
yn+1 = yn − ayn + byn = (1 − a + b)yn = γyn
È evidente che se y0 è la popolazione iniziale considerata, la soluzione
dell’equazione alle differenze precedente è:
yn+1 = γ n y0
La soluzione è un’equazione di tipo esponenziale, quindi per γ > 1 la popolazione
cresce, per γ = 1 è stabile e per γ < 1 descresce. L’ implementazione
del metodo è riportata di seguito:
Listing 6.1: Modello di Maltus
1 ¢¡¤£¦¥¨§©¨£ Y=malthus(y0,n,a,b)
2 # Modello di Malthus
3 # y0 popolazione iniziale
4 # a coefficiente di mortalita’
5 # b coefficiente di natalita’
6 # n anni considerati
7 y= ¢¡ (1,n);
8 y(1)=y0;
9 ¡ ¢ ¦ =1−a+b;
10 ¨ i=2:n
11 y(i)= ¤¡ £ ¦ ∗y(i−1);
12 endfor
13 Y=( ¡ ¢ ¦ ^n)∗y0;
14 ¢§ ([1:n],y,’;Numero di individui;’);
15 £¤ ¡¤£¦¥§©¢¨£
6.1.2 Grafici e conclusioni
I grafici (6.1) e (6.2) mostrano, rispettivamente, la crescita esponeziale e
l’estinzione di una popolazione di 56 milioni di individui. Le conclusioni
a cui arrivò Malthus furono che la popolazione raddoppia ogni 25 anni
(secondo la progressione geometrica: 1,2,4,8,16,. . . ), mentre le risorse alimentari
aumentano ad un ritmo molto più lento (progressione aritmetica:
1,2,3,4,. . . ). Quindi, pur essendovi inizialmente un surplus di risorse, dopo
un periodo di tempo più o meno lungo la situazione diverrebbe comunque
insostenibile, in quanto una parte della popolazione non avrebbe cibo per
nulla o addirittura tutta la popolazione ne avrebbe in quantità insufficiente.

6.2. MODELLO DI LESLIE 61
4.5e+09
4e+09
3.5e+09
3e+09
2.5e+09
2e+09
1.5e+09
1e+09
5e+08
Numero di individui
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Figura 6.1: Crescita della popolazione, a = 0.015 e b = 0.06
6e+07
5e+07
4e+07
3e+07
2e+07
1e+07
Numero di individui
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Figura 6.2: Estinzione della popolazione, a = 0.05 e b = 0.015
6.2 Modello di Leslie
La possibilità di prevedere l’andamento della popolazione di una certa specie,
sia essa umana o animale, ha portato alla nascita di svariati modelli
matematici. Uno dei piú semplici di questi modelli fu proposto da Lockta
nel 1920 e formalizzato da Leslie nel 1940: esso si basa sui tassi di natalità e
mortalità per fasce di età.

62 CAPITOLO 6. DINAMICA DELLE POPOLAZIONI
60000
50000
40000
30000
20000
10000
Crescita popolazione
Risorse alimentari
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
6.2.1 Descrizione del metodo
Figura 6.3: Ipotesi di Malthus
Supponiamo di avere una popolazione in cui l’età massima per ogni individuo
è T . Possiamo rappresentare allora la vita con l’intervallo [0, T ], inteso
come caso limite. Dividiamo l’intervallo in M sottointervalli, ciascuno dei
quali rappresenterà una classe di età. Sia yi(k) il numero degli individui
0 T
(M − 1)T T
M
M
Figura 6.4: Vita di un individuo
nella classe i al tempo k. Se βi è il tasso di sopravvivenza degli individui
dell’i-esima classe allora sussiste la seguente relazione di “evoluzione”:
yi(k + 1) = βiyi(k)
Se vogliamo rappresentare in forma matriciale l’evoluzione di tutta la popolazione
questa diventa:
⎛
α1
⎜ β2
⎜
y(k + 1) = ⎜ 0
⎜
⎝ .
α2
0
β3
. . .
. . .
0
. ..
. . .
. . .
. . .
αM
0
0
.
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎜
⎝
y1(k)
y2(k)
.
.
⎞
⎟
⎠
0 . . . . . .
B
βM 0
yM(k)

6.2. MODELLO DI LESLIE 63
Quindi, esplicitando i calcoli:
⎛
⎞
α1y1(k) + α2y2(k) + . . . + αMyM(k)
⎜
β2y1(k)
⎟
⎜
y(k + 1) = ⎜
β3y2(k)
⎟
⎜
⎟
⎝
.
⎠
βMyM−1(k)
con αi ≥ 0 coefficiente di natalità dell’i-esima classe e βi coefficiente di
mortalità (da notare che la prima classe è determinata dalla somma dei nati
da ciascuna classe, le altre sono determinate dai “sopravvisuti” della classe
precedente 1 ). Ci chiediamo come è possibile determinare, al variare del
tempo, la dinamica della popolazione considerata. Sappiamo che, se B ha
un’autovalore di modulo massimo, sia esso λ0, applicando il metodo delle
potenze 2 sussiste la seguente approssimazione:
y(k) λ k 0γu0
per cui potremmo non solo affermare che per λ0 > 1 la popolazione cresce
e per λ0 < 1 la popolazione decresce, ma
yi(k)
M
i=1 yi(k)
u (i)
0
M i=1 u(i) 0
cioè la popolazione rimane costante all’inerno di ogni classe. Così come è
formata, la matrice B potrebbe sembrare una matrice di Frobenius3 , ma per
essere di quest’ultimo tipo i βi dovrebbero essere tutti uguali a 1. Prendiamo
⎛
⎜
D = ⎜
⎝
d1
d2
. ..
dM
⎞
⎟
⎠
⎛
D −1 ⎜
= ⎜
⎝
Allora, scegliendo opportunamente i di, è possibile ottenere una matrice
A = D−1BD con la sottodiagonale uguale a 1. Quindi
⎛
⎞
⎜
A = ⎜
⎝
α1
d1 d1
β2
α2
d1 d2 . . . . . .
1
d1
1
d2
αM
d1 dM
d2 d1
0
0 . . . . . . 0
.
. .. . .. .
0 . . . 0
0
β3
d3 d2 0 . . . 0
βM
dM dM−1
1 Esistono particolari specie di insetti, come le cicale, che hanno tutti gli αi nulli eccetto
l’ultimo, cioè depongono le uova solo nell’ultima parte della loro vita.
2 Il metodo delle potenze è trattato in dettaglio nell’appendice A.
3 Tali matrici sono trattate nel capitolo 14
. ..
⎟
⎠
1
dM
⎞
⎟
⎠

64 CAPITOLO 6. DINAMICA DELLE POPOLAZIONI
Deve allora risultare:
β2
d2
Se prendiamo d1 = 1 allora
d1 = 1, , β3
d2 = 1, . . . , βM
dM−1 = 1
d3
d2 = β2
d3 = β2β3
.
dM = β2β3 . . . βM
dM
Quindi, dopo le dovute sostituzioni, la matrice A diventa
⎛
a1
⎜ 1
⎜
A = ⎜ 0
⎜
⎝ .
a2
0
1
. ..
. . .
. . .
0
. ..
. . .
. . .
. . .
. ..
aM
0
0
.
⎞
⎟
⎠
0 . . . 0 1 0
che è una matrice di Frobenius. Dall’equazione che dobbiamo risolvere,
tramite dei semplici passaggi algebrici, otteniamo:
e ponendo x(k) = D −1 y(k) si ha
y(k + 1) = By(k)
D −1 y(k + 1) = D −1 By(k)
D −1 y(k + 1) = D −1 BDD −1 y(k)
x(k + 1) = Ax(k)
(6.1)
cioè la forma che cercavamo. In questo modo il polinomio caratteristico4 della matrice A ha la forma:
(−1) n λ n − p1λ n−1
− . . . − pn
In base alla scelta che abbiamo fatto sugli elementi della matrice diagonale
D, risulta che in A ogni ai = 0 se e solo se il “corrispondente” αi in B è
nullo.
Teorema 6.1 (di Ostrowsky) Sia P(λ) il polinomio caratteristico della matrice
A. Se risulta ai ≥ 0, se i1, i2, . . . , is sono gli indici dei coefficienti strettamente
maggiori di 0 e questi hanno massimo comun divisore 1, allora esiste
un autovalore di modulo massimo.
4 Vedi capitolo 13.

6.2. MODELLO DI LESLIE 65
Quindi i coefficienti ai giocano un ruolo importante per determinare la
sopravvivenza della specie. Esaminiamo i seguenti casi:
• Se valgono le ipotesi del teorema di Ostrowsky allora sappiamo che
esiste un autovalore di modulo massimo λ0 e la soluzione del sistema,
y(k + 1) = A k y(0), tenderà ad allinearsi all’autovettore u0 relativo a
λ0, cioè
y(k + 1) α(λ0) k u0
Quindi, se λ0 > 1 la popolazione crescerà, mentre se questo risulta
minore di 1 si avrà asintotica stabilità, cioè convergenza verso lo zero,
che significa l’estinzione.
• Un caso interessante è quello in cui i coefficineti ai sono tutti nulli
eccetto l’ultimo, cioè la matrice A ha la forma:
⎛
0
⎜ 1
⎜
A = ⎜ 0
⎜
⎝ .
0
0
1
. ..
. . .
. . .
0
. ..
0
. . .
. . .
. ..
aM
0
0
.
⎞
⎟
⎠
0 . . . 0 1 0
Sebbene sia stato preso come caso limite, esso rappresenta come in natura
si riproducono cavallette, locuste, zanzare, cicale, cioè depongono le uova
solo alla fine della loro vita (i figli non vedono mai i genitori). In tale caso
il polinomio caratteristico ha la forma:
λ M − aM = 0
Quindi gli autovalori sono le radici M-esime di a, λ = a 1
M . Risulta pertanto
5 :
A n = λ n 1 Z11 + λ n 2 Z21 + . . .
= λ n 0 einω Z11 + λ n 0 e−inω Z21 + . . .
A n x0 = λ n 0 einω Z11x0 + λ n 0 e−inω Z21x0 + . . .
Prendiamo la componente j-esima:
xj(n) = λ n 0 einω cj + λ n 0 e−inω dj + . . .
dove cj = ρje iφj e dj = ρje −iφj . Quindi
xj(n) = λ n 0 ρj
inω+φj −inω+φj
e + e
2 + . . . = 2λ n 0 ρj cos [nω + φj] + . . .
2
L’ equazione ottenuta è un’equazione oscillante che diverge per λ0 > 1 e
converge per λ0 < 1. Tale fenomeno è chiamato onde di popolazione e
spiega il perchè si hanno le invasioni di cavallette a intervalli regolari, che
in questo caso sono ogni 12 anni circa.
5 Vedi capitolo 13

66 CAPITOLO 6. DINAMICA DELLE POPOLAZIONI
6.3 Implementazione e grafici
L’ implemetazione del modello è riportata di seguito.
Listing 6.2: Modello di Leslie
¢¡¤£¦¥¨§©¨£ last=leslie(alfa,¢§¤ 1 ,y0,n)
¡
(y0);
2 ¤§ £ N=
¢¡
¢¡
¨
A(j,j−1)=¢§
©
¢ ¨¡
©
¡ descresce.’);
©
3 Y= (N,n);
4 Y(:,1)=y0(:);
5 A= (N,N);
6 A(1,:)=alfa(:)’;
7 j=2:N
8 (j−1);
9 endfor
10 autoval= (A);
11 lambda= ( (autoval))
12 (lambda

6.3. IMPLEMENTAZIONE E GRAFICI 67
¥ ¢¤£
¨¦
¢©¤¡¤§¦¤
¢£¡£¡¨¦
¡¤ ¥
¢¢¦ ¢
¢ £¢
¥£¤¢¤£ £
£ ¨
¤¨¦¦
¢ £¤£
¨ £¤£¤¢ £
3e+006
2.5e+006
2e+006
1.5e+006
1e+006
500000
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Figura 6.5: Crescita della popolazione, |λ| = 1.1065 e n = 90
Utilizzando il vettore dei coefficienti ¥¢¡¢¥
£ ©¢¨© ¥ ¢¡¥ ¢©¨£¦¥ ¤£
£¢
¢¥ ¨§¢©
¥¦¥¢
¥¢ ¢ ¥¢¨ ¨¦© ¢©¡¤¢©¢ ¡©
£¢ ¨£
©¢
©¢
§¦§
©
invece:

68 CAPITOLO 6. DINAMICA DELLE POPOLAZIONI
¡£¤ ¦ ©
¨¦
300
250
200
150
100
50
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Figura 6.6: Decrescita della popolazione, |λ| = 0.94788 e n = 40
300
250
200
150
100
50
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Figura 6.7: Onde di popolazione, |λ| = 0.93485 e n = 50

6.3. IMPLEMENTAZIONE E GRAFICI 69
Infine utilizzando il vettore dei coefficienti ¨¢ ¨ :
¦¢¤¨ ¤ ¥¢
£¤£¡¥¢¦¢©¤
¥ ¡ ¨¨ £
¨¦
¢©¤¡¤¢¢§¦
¢£¡£¡¨¦
¥ ¡¤
¨ ¢¤£¨¦
¢¤ ¤£ ¢
¢ ©¤¨
¨ ¨¦ ©
¢¨¥¢
¨©

70 CAPITOLO 6. DINAMICA DELLE POPOLAZIONI

Capitolo 7
Modello di un sistema
burocratico
7.1 Analisi della situazione
Lo spirito generale della
burocrazia è il segreto, il mistero,
custodito entro di essa dalla
gerarchia, e all’esterno in quanto
essa è corporazione chiusa. Il
palesarsi dello spirito dello stato,
e l’opinione pubblica, appaiono
quindi alla burocrazia come un
tradimento del suo mistero.
Karl Marx, Critica della filosofia
hegeliana del diritto
Con questo modello si cerca di analizzare una qualsiasi sistema (azienda,
società, la mafia, . . . ) dove vige la burocrazia e i livelli gerarchici sono
determinati da regole preimpostate. L’ idea di fondo è di dimostrare il
famoso:
Definizione 7.1 Principio di Peter: In un sistema gerarchico, ogni individuo
raggiunge il proprio livello di incompetenza
Il sistema preso in esame è composto da n livelli gerarchici distinti per competenza
e relativa responsabilità. I livelli che compongono questo sistema
sono organizzati in modo che il livello meno qualificato abbia un numero
identificativo più basso, di conseguenza il livello massimo n sarà appunto il
71

72 CAPITOLO 7. MODELLO DI UN SISTEMA BUROCRATICO
più ambito. Ogni livello inoltre è scomposto in m sottolivelli, organizzati però
in maniera opposta: il primo sottolivello è più qualificato dell’m-esimo.
Per semplificare le cose, impostiamo che le assunzioni siano possibili solo
per il primo livello (le matricole cominciano dalla “gavetta”) e per tutti gli
altri livelli non sono previste nuove assunzioni. Questo è impostato affinché
l’incompetenza degli individui non possa derivare dall’esterno. Sempre per
semplificare, non sono permessi declassamenti (può essere una cosa molto
ingiusta . . . ma supponiamo di rappresentare una filiale delle Poste Italiane!).
La struttura dei livelli è rappresentata nella figura 7.1.
Usiamo la seguente notazione: gli individui del primo livello sono indicati
n
2
1
Livello piu’ alto
1
2
m
Livello piu’ basso
Sottolivello piu’ alto
Sottolivello piu’ basso
Figura 7.1: Struttura del modello gerarchico
da X1, un vettore di m componenti che indicano gli individui appartenenti
ai vari sottolivelli. Quindi l’espressione X (k)
1 r indica gli individui appartenenti
al livello 1, sottolivello r al tempo k.
Per effettuare delle gratifiche di sottolivello si usa la matrice R, mentre per le
promozioni di livello si utilizza la matrice P , detta matrice delle promozioni,
così definite:
Xi(k + 1) = PiXi−1(k) + RiXi(k)
dove Pi e Ri esprimono delle percentuali e quindi assumono valori compresi
fra 0 e 1. Vediamo che Ri indica gli individui che non cambiano di livello,
magari solo di sottolivello.
È naturale che per considerare le assunzioni (V0) dobbiamo considerare

7.1. ANALISI DELLA SITUAZIONE 73
X1(k + 1) = R1X1(k) + V0. Infine in forma matriciale diventa per ricorrenza
⎛
R1
⎜ P2
⎜
X(k + 1) = ⎜ 0
⎜
⎝ .
0
R2
P3
. ..
· · ·
0
. ..
. ..
· · ·
· · ·
. ..
Rn−1
0
0
.
0
⎞ ⎛
V0
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 0
⎟ ⎜
⎟ X(k) + ⎜ .
⎟ ⎜
⎠ ⎝ .
⎞
⎟ = A X(k) + b
⎟
⎠
0 · · · 0
Pn Rn
0
A
b
Se sommiamo i valori di ciascuna colonna, tale valore deve essere minore
di 1, infatti in ciascuna colonna è rappresentata la percentuale degli individui
che passano di livello. Risulta chiaro che la somma dei due elementi di
ciascuna colonna debba essere inferiore a 1: si suppone infatti che non sia
possibile il passaggio di livello per la totalità degli individui di una classe.
Per questo si può pensare che alcuni individui cambino lavoro o vadano in
pensione.
Visto che A ≥ 0 sappiamo che l’autovalore di modulo massimo sarà quindi
minore di 1, λmax < 1, poichè è compreso fra i valori delle somme delle
colonne e delle righe 1 .
Con queste premesse possiamo affermare che il sistema ha un punto di
equilibrio, infatti:
x = Ax + b (I − A)x = b ⇒ x = (I − A) −1 b
Il che significa che questo sistema presenta un punto di equilibrio asintoticamente
stabile, cioè dopo pochi anni arriveremo alla situazione indicata da
x.
Come è strutturato il punto di equilibrio?
Per semplificare i calcoli supponiamo m = 2, cioè solo due sottolivelli di
competenza: competenti e incompetenti.
Impostiamo quindi Ri = R e Pi = P e cerchiamo di trovare la struttura del
vettore incognito:
(I − R)x1 = V0
−P x1 + (I − R)x2 = 0
. = .
−P xn−1 + (I − R)xn = 0
Quindi conosco la prima componente: x1 = (I − R) −1 V0 e la componente
in generale −P xi + (I − R)xi+1 = 0, cioè xi+1 = (I − R) −1 P xi.
Vediamo ora di applicare in un esempio concreto le teorie fino ad ora espresse:
1 vedi capitolo della corsa agli armamenti, esempio 5.6

74 CAPITOLO 7. MODELLO DI UN SISTEMA BUROCRATICO
Esempio 7.2 Filiale delle Poste Italiane
0.6
R =
0
0.1 xiC
0.7 xiIn
e
0.2
P =
0.1
0
0.1
xiC
xiIn
Dall’analisi della matrice R possiamo dedurre che il 60% dei competenti rimane
competente nello stesso sottolivello, il 10% degli incompetenti diventa
competente nello stesso livello mentre il 70% degli incompetenti rimane tale
nello stesso sottolivello. La componente impostata a 0 indica la non possibilità
di tornare indietro nel sistema, cioè nessun competente può passare
a incompetente nello stesso livello. Ma il 20% degli individui che non sono
rientrati in queste percentuali? Beh, supponiamo che essi hanno cambiato
lavoro o sono andati in pensione (alcuni poterebbero essere deceduti).
Tuttavia dall’analisi della matrice P , quella delle promozioni di livello, si capisce
che il 20% dei competenti passano di livello e rimangono competenti,
il 10% dei competenti passa di livello ma diventa incompetente, il 10% degl’incompetenti
passa di livello e rimane ovviamente incompetente. Questo
come è possibile? Eh, in questo modello, molto obbiettivamente si prende
anche in considerazione errori dell’addetto al personale o bustarelle che
facilitano gli uni a discapito di altri. Per fortuna comunque nessun incompetente
riesce a passare di livello e addirittura diventare competente (lo indica
la componente P2,1 impostata a 0).
Dopo queste considerazioni politiche vediamo di calcolare per ricorrenza il
vettore incognito x:
e quindi
(I − R) = 1
10
4 −1
0 3
⇒ (I − R) −1 = 10
3 1
12 0 4
(I − R) −1 P = 1
7 1
12 4 4
Il che comporta, per n “abbastanza” grande, che xn ≈ λn 0 α u, dove λn0 indica l’autovalore di modulo massimo, α è un coefficiente che dipende dalle
condizioni iniziali e u è l’autovettore relativo a λn 0 . In questo caso λ0 = 8
12 e
u = 1 .
1
Si noti che il rapporto
xnC
= 1
xnIn
sempre, indipendentemente dalle assunzioni. Infatti anche supponendo che
ogni quanto di tempo siano assunti delle persone competenti, dopo pochi
passi il rapporto precedente è verificato.
Purtroppo questo modello presenta una visione piuttosto pessimistica della
situazione del sistema: comunque vada, nei livelli più alti e prestigiosi, gli
incompetenti e i competenti sono presenti in ugual misura. Come possiamo
fare in modo che questa simulazione non si avveri?

7.1. ANALISI DELLA SITUAZIONE 75
Tutto dipende dal valore di n, infatti con valori piuttosto bassi (2 o 3) si
ottengono risultati soddisfacenti; al contrario con valori più alti i risultati
sono sconcertanti.
Con questo modello sono stati simulati dei sistemi gerarchici che sono presenti
nel mondo da molti anni, per poter ricavare dei raffronti pratici con le
simulazioni. I due sistemi presi in esame sono la Chiesa Cattolica e la Mafia.
Di seguito riportiamo il listato del codice che implementa questo metodo e i
grafici con i parametri appropriati.
Listing 7.1: Modello di Peter
1 ¡¤£¦¥§©¢¨£ X=peter(R,P,kl,v,nl)
2 % Modello di Peter
3 % R matrice per passaggio di sottolivello
4 % P matrice per passaggio di livello
5 % kl passi di iterazione da compiere
6 % v vettore delle assunzioni
7 % nl numero di livelli utilizzati
8 Q= ¢¡ (2∗nl,kl+1);
9 X= ¢¡ (2∗nl,1);
10 I=[1 0;0 1];
11 Q(1,1)=v(1);
12 Q(2,1)=v(2);
13 X(1:2)= © £¡ (I−R)∗v(1:2);
14 F= © £¢ (I−R)∗P;
15 j=3:2:2∗nl
16 X(j:j+1)=F(1:2,1)∗X(j−2)+F(1:2,2)∗X(j−1);
17 ¨£
18 k=2:kl+1
19 Q(1:2,k)=R(1:2,1)∗Q(1,k−1)+R(1:2,2)∗Q(2,k−1)+v(1:2);
20 ¨ i=3:2:(2∗nl)−1
21 Q(i:i+1,k)=P(1:2,1)∗Q(i−2,k−1)+P(1:2,2)∗Q(i−1,k−1)+
22 R(1:2,1)∗Q(i,k−1)+R(1:2,2)∗Q(i+1,k−1);
23 ¨£¤
24 ¨£
25 k=1:nl
26 ZZ(k)=X(2∗k−1)/X(2∗k)
27 ¨£
28 ©¡ ¢¡¤ (1);
29 ¨§ (X);
30 ©¡ ¢¡¤ (2);
31 ¡ ¡¢ (Q);
32 ©¡ ¢¡¤ (3);
33 ¨§ (ZZ);
34 §¢¡£

76 CAPITOLO 7. MODELLO DI UN SISTEMA BUROCRATICO
Individui
Individui
300
250
200
150
100
50
Modello di Peter − Equilibrio
0
0 5 10 15
Passi
20 25 30
300
250
200
150
100
50
0
60
50
40
30
Figura 7.2: k = 50, n = 15, v = [100, 10]
20
Passi
10
0
Modello di Peter − Evoluzione gerarchia
30
25
20
Livelli x 2
Figura 7.3: Organizzazione in livelli
15
10
5
0

7.1. ANALISI DELLA SITUAZIONE 77
Rapporto Competenti / Incompetenti
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 5 10 15
Livelli
Figura 7.4: Rapporto Competenti / Incompetenti con n = 15

78 CAPITOLO 7. MODELLO DI UN SISTEMA BUROCRATICO

Capitolo 8
Equazioni alle differenze
La scienza è un’equazione
differenziale. La religione è una
condizione al contorno.
Alan M. Turing
Come risulta ormai chiaro il problema che stà alla base di questo corso è
senza dubbio il passaggio dallo studio dei problemi matematici nel continuo
allo studio di questi nel discreto, dato che i calcolatori elettronici lavorano
su tale spazio.
Indicheremo lo spazio discreto su cui lavoriamo con J + x che stà a indicare
l’insieme discreto dei numeri positivi a partire da x, cioè:
x, x + 1, x + 2, . . .
Il caso appena visto è un caso particolare, o più propriamente un sottoinsieme
di J +
x,h , l’insieme discreto dei numeri generati a partire da x e di passo
h, cioé:
x, x + h, x + 2h, x + 3h, . . .
Un altro spazio che talvolta utilizzeremo sarà l’ancor più generale J ±
x,h : esso
considera allo stesso modo anche l’asse negativo. Le funzioni definite su
questi spazi saranno indicate con i generici fn, f(x + i) e f(x + ih).
Ricordiamo che gli spazi da noi considerati sono insiemi su cui non vale
l’assioma di Dedekind1 .
1 Per ogni sezione A, B dell’insieme dei numeri reali esiste un unico numero c tale che
a ≤ c ≤ b, qualunque siano a ∈ A e b ∈ B.
79

80 CAPITOLO 8. EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE
8.1 Operatori su J + x
L’ analogo dell’operatore derivata nel discreto è l’operatore delta, ∆, definito
da:
∆y(x) = y(x + 1) − y(x) oppure ∆h y(x) = y(x + h) − y(x)
Definiamo poi gli operatori shift (E) e identitá (I) come segue:
E y(x) = y(x + 1) (oppure E y(x) = y(x + h))
I y(x) = y(x)
Teorema 8.1 (Linearità di ∆) L’ operatore ∆ è lineare.
DIMOSTRAZIONE:
∆(ky) = ∆ky(x) = ky(x + 1) − ky(x) = k(y(x + 1) − y(x)) = k∆y(x)
per k ∈ R e per ogni y : J + x → R. Inoltre:
per ogni y, z : J + x
∆(y + z) = (y(x + 1) + z(x + 1)) − (y(x) + z(x)) =
= y(x + 1) − y(x) + z(x + 1) − z(x) =
= ∆y(x) + ∆z(x).
→ R. ✷
Teorema 8.2 (Linearità di E) L’ operatore E è lineare.
DIMOSTRAZIONE:
per k ∈ R e per ogni y : J + x
per ogni y, z : J + x
E(ky) = Eky(x) = ky(x + 1) = k(Ey(x))
→ R. Inoltre:
E(y + z) = E(y(x) + z(x)) =
= y(x + 1) + z(x + 1) =
= Ey(x) + Ez(x).
→ R. ✷
Teorema 8.3 (Linearità di I) L’ operatore I è lineare.
DIMOSTRAZIONE:
I(ky) = Iky(x) = ky(x) = k(Iy(x))

8.1. OPERATORI SU J +
X
per k ∈ R e per ogni y : J + x → R. Inoltre:
per ogni y, z : J + x
I(y + z) = I(y(x) + z(x)) =
= y(x) + z(x) =
= Iy(x) + Iz(x).
→ R. ✷
Empiricamente possiamo dimostrare il valore della formula ∆ 2 :
∆ 2 = ∆(∆(y)) = ∆ (y(x + 1) − y(x)) =
= ∆y(x + 1) − ∆y(x) =
= y(x + 2) − y(x + 1) − y(x + 1) + y(x) =
= y(x + 2) − 2y(x + 1) + y(x) (8.1)
Vogliamo trovare una formula generale per ∆ k y(x).
Innanzitutto, per convenzione, si ha che ∆ 0 = I e E 0 = I, quindi 2 :
∆ 1 = E − I
∆ 2 = (E − I) 2 = E 2 − 2E + I
.
∆ k = (E − I) k =
k
(−1) k−j
k
E
j
j
j=0
Che deriva dalla generica formula del binomio di Newton
Di seguito ricaviamo:
(a ± b) k =
k
(±1) k−j
k
a
j
k−j b j
j=0
E k =
k
j=0
k
∆
j
j
Ma se k fosse negativo? A tale proposito analizziamo l’operazione corrispondente
all’integrazione nel continuo. Sia
∆y(x) = g(x)
con g(x) funzione nota e definita in J + x .
Per ricavare y(x) nel continuo usavamo l’operatore integrale , adesso
utilizzeremo la prima potenza negativa di ∆:
` ´ 2 k
Ricordiamo che per definizione = j
y(x) = ∆ −1 g(x) + w(x)
81
k!
, in seguito sarà approfondito l’argomento
(k−j)! j!

82 CAPITOLO 8. EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE
con w(x) funzione di periodo uno 3 , perchè esistono più funzioni la cui
differenza finita è g(x).
Teorema 8.4 (Posizione dell’operatore ∆) Risulta
mentre invece
DIMOSTRAZIONE: Abbiamo che
mentre invece
infatti
∆∆ −1 = I
∆ −1 ∆ = I + w(x)
∆ −1 ∆y(x) = ∆ −1 g(x) = y(x) − w(x)
∆∆ −1 y(x) = y(x)
g(x) = ∆y(x) = ∆∆ −1 g(x)
Nel continuo, l’operatore integrale è il limite fra due sommatorie, per
ribadire il parallelismo fra gli operatori, dimostriamo nel discreto che ∆ −1
si comporta in maniera analoga:
Teorema 8.5 (∆ −1 come sommatoria) Sia f(x) = ∆F (x), allora:
DIMOSTRAZIONE:
n
f(x + i) =
i=0
Segue che
∆ −1 f(x + i) n+1
0
n
∆F (x + i) =
i=0
=
n
i=0
n
f(x + i)
i=0
F (x + i + 1) − F (x + i) =
= F (x + 1) − F (x) + F (x + 2) − F (x + 1) + . . .
. . . + F (x + n + 1) − F (x + n) =
= F (x + n + 1) − F (x) = F (x + i) n+1
0
= ∆ −1 f(x + i) n+1
0
F (x) = ∆ −1 f(x) + w(x)
3 Cioè w(x + 1) = w(x) e quindi ∆w(x) = 0 per ogni x ∈ J + x .
=
✷
✷

8.1. OPERATORI SU J +
X
Cominciamo ora a calcolare alcune derivate notevoli. Si definiscono potenze
fattoriali di x e si indicano con x (n) le potenze
Dunque:
x (n) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3) · . . . · (x − n + 1)
∆x (n) = (x + 1) (n) − x (n) =
= (x + 1)x(x − 1) · . . . · (x − n + 2) − x(x − 1) · . . . · (x − n + 1) =
= x(x − 1) · . . . · (x − n + 2) · [x + 1 − x + n − 1] =
= nx (n−1)
Consideriamo poi i coefficienti binomiali:
x
j
=
x! x(x − 1) · . . . · (x − j + 1)(x − j)!
= =
j!(x − j)! j!(x − j)!
= x(x − 1) · . . . · (x − j + 1)
=
j!
= x(j)
j!
Abbiamo allora che:
x
∆
j
= ∆
= ∆x(j)
=
x (j)
=
j!
(x + 1)(j) − x (j)
j!
x(j−1)
= j
j! j!
x
j − 1
Proviamo adesso a calcolare la formula:
dove
Teorema 8.6
DIMOSTRAZIONE:
x (m)
∆ −1 ∆x (n) = n∆ −1 x (n−1)
∆ −1 x (n−1) = x(n)
n
= x(j−1)
(j − 1)! =
+ w(x)
x (m+n) = x (m) (x − m) (n)
(x−m) (n)
x (m+n)
= x(x − 1) . . . (x − m + 1) (x − m)(x − m − 1) . . . (x − m − n + 1)
Per ricorrenza possiamo definire tutti i valori delle potenze fattoriali:
=
83
✷

84 CAPITOLO 8. EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE
• per m = 0 risulta x (m+n) = x (n) = x (0) x (n) quindi x (0) = 1
• per m = −n risulta x (m+n) = x (−n) (x + n) (n) = 1 allora x (−n) =
1
(x+n) (n) quindi x (−n) = 1
(x+n)(x+n−1)...(x+1)
In conclusione, possiamo creare una corrispondenza fra le potenze usuali e
le potenze fattoriali, tale da associare:
Definiamo allora i seguenti vettori:
⎛
⎜
ξ(x) = ⎜
⎝
x (0) = 1 ← 1
x (1) = x ← x
x (2) = x(x − 1) ← x 2
1
x
x 2
.
x n
.
x N
⎞
⎟
⎠
.
⎛
⎜
η(x) = ⎜
⎝
1
x (1)
x (2)
.
x (n)
.
x (N)
Il vettore ξ è, ovviamente, la base canonica di R, mentre il vettore η è
chiamata la base di Newton. Con queste premesse possiamo enunciare il
seguente teorema:
Teorema 8.7 La matrice S, tale che ξ(x) = S η(x), esiste ed è triangolare
inferiore ed è così formata:
con Sn,n = Sn,1 = 1 e
x n =
n
i=1
Sn+1,i = Sn,i−1 + iSn,i
Sn,ix (i)
i = 2, 3, . . . , n
DIMOSTRAZIONE: La dimostrazione procede per induzione su n:
Caso Base: per n = 1 è banalmente verificata la proprietà, infatti S1,1 = 1
e x (1) = x 1 = x.
Ipotesi induttiva: Suppongo vero il teorema per n, cioè Sn,n = 1 e Sn,1 =
1.
⎞
⎟
⎠

8.1. OPERATORI SU J +
X
Passo induttivo: Devo dimostrare il teorema per n + 1:
x n+1 =
=
Sn+1,i = Sn,i−1 + iSn,i
n
Sn,ix (i) x =
i=1
n
i=1
iSn,ix (i) +
n
Sn,ix (i) (x − i + i) =
i=1
n
i=1
Sn,ix (i+1)
Pongo i + 1 = j e quindi la formula precedente diventa:
n+1
(j − 1)Sn,j−1x (j−1) n+1
+ Sn,j−1x (j)
j=2
j=2
85
(8.2)
(8.3)
(8.4)
adesso invece faccio un cambio di variabile (da j passo a i) e arresto
la sommatoria al valore n:
n
n
=
=
=
i=2
n
i=2
n
iSn,ix (i) +
i=2
Sn,i−1x (i) + Sn,1x (1) + Sn,nx (n+1) =
[iSn,i + Sn,i−1]x (i) + Sn,1x (1) + Sn,nx (n+1) =
Sn+1,ix (i) + Sn,1x (1) + Sn,nx (n+1) =
i=2
n+1
Sn+1,ix (i)
i=1
¤¡
I valori della matrice S sono detti numeri di Stirling di seconda specie,
£
¦
infatti la matrice stessa viene anche denominata Matrice di Stirling. Esistono
inoltre i numeri di Stirling di prima specie e si ricavano dal vettore
η(x) = S−1ξ(x); essi sono utilizzati per approssimare il fattoriale nei calcolatori.
Ricordiamo che la matrice in questione è invertibile, poiché è triangolare
inferiore e quindi ha gli autovalori (tutti diversi da 0) sulla diagonale.
Esplicitiamo la Matrice di Stirling di seconda specie (almeno parzialmente):
⎛
⎜
⎝
1
1 1
1 3 1
1 7 6 1
1 15 25 10 1
1 31 90 65 15 1
.
⎞
⎟
⎠
. ..
✷

86 CAPITOLO 8. EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE
Proprietà: Calcoliamo ora la differenza prima di e i(ax+b) . Risulta
∆e i(ax+b) = e i(a(x+1)+b) − e i(ax+b) =
= e i(ax+a+b) − e i(ax+b) = e i(ax+b) [e ia − 1]
∆e −i(ax+b) = e −i(ax+a+b) − e −i(ax+b) =
= e i(ax+b) [e −ia − 1]
Sommando membro a membro le precedenti formule otteniamo:
∆e i(ax+b) + ∆e −i(ax+b) = ∆[e i(ax+b) + e −i(ax+b) ] =
= 2∆ cos(ax + b)
Allo stesso modo posso vedere tale somma anche esplicitamente:
a
i(ax+b) i
e e 2
a
i(ax+b+
= ie 2 ) 2 sin
= 2i sin
a
2
a
i
e 2 − e
a
2
a
−i 2
−i(ax+b)
+ e
a
−i(ax+b−
− ie 2 ) 2 sin
a
i(ax+b+
e 2 ) a
i(ax+b−
− e 2 )
e
a
−i 2
a
2
a a
−i i
e 2 − e 2
=
=
La formula precedente, sfrutta la formula fondamentale dei numeri complessi
conosciuta sotto il nome di formula di Eulero 4 e quindi risulta:
a
−4 sin sin ax + b +
2
a
= 2∆ cos(ax + b)
2
e quindi
∆ cos(ax + b) = −2 sin
8.2 Equazioni alle differenze
a
sin ax + b +
2
a
2
Ricordiamo che in generale un’equazione alle differenze si presenta sotto la
seguente forma:
∆y(x) = g(x)
da cui si ricava
y(x) = ∆ −1 g(x) + w(x)
con w(x) funzione di periodo 1, x ∈ J + x . Cominciamo con il considerare alcune
equazioni alle differenze di cui sappiamo dare una soluzione esplicita,
ad esempio l’equazione
z(x + 1) − p(x)z(x) = q(x)
4 e ix = cos x+i sin x e quindi: e −ix = cos x−i sin x. Vedi il capitolo 10, relativo ai numeri
complessi, per dimostrazioni più dettagliate

8.2. EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE 87
Supponiamo di conoscere le funzioni p(x) e q(x) definite nell’insieme discreto
consueto e supponiamo di conoscere anche il valore iniziale, z0, della
funzione z(x). Ovviamente dobbiamo calcolare z(x) e per farlo cerchiamo
di usare:
Notiamo che, per definizione:
P (x) =
P (x0) =
x−1
t=x0
x0−1
t=x0
p(t)
p(t) = 1
poiché, sia nelle sommatorie come nelle produttorie, se il termine di partenza
è maggiore del termine d’arresto, allora il risultato è rispettivamente 0 e
1, elementi neutri delle relative operazioni.
Se divido la formula iniziale per P (x + 1) = P (x)p(x), che è sempre diverso
da zero in tutto il nostro intervallo, ottengo:
z(x + 1) p(x)
q(x)
− z(x) =
P (x + 1) P (x)p(x) P (x + 1)
Se adesso poniamo y(x) = z(x)
P (x) , l’equazione precedente diventa:
y(x + 1) − y(x) =
∆y(x)
q(x)
P (x + 1)
Visto che il termine destro dell’equazione sopra è noto, possiamo chiamarlo
con g(x) e l’equazione precendente diventa del tipo ∆y(x) = g(x), quindi:
y(x) = ∆ −1 q(x)
+ w(x)
P (x + 1)
Esplicitando l’operatore ∆−1 in forma di sommatoria l’equazione precedente
diventa:
x−1 q(s)
y(x) =
+ w(x)
P (s + 1)
s=x0
e quindi, dalla sostituzione della y(x) precedente, segue che
z(x) = P (x)
x−1
s=x0
q(s)
+ w(x)P (x)
P (s + 1)
Visto che P (x) non dipende da s posso portarlo dentro il termine della
sommatoria e (se s < x − 1) vederlo come
P (x)
P (s + 1) = p(x0)p(x0 + 1)p(x0 + 2) . . . p(x − 1)
p(x0)p(x0 + 1)p(x0 + 2) . . . p(s) =
x−1
t=s+1
p(t)

88 CAPITOLO 8. EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE
Infine la formula di z(x) diventa:
z(x) =
=
x−1
s=x0
x−1
t=x0
q(s)
x−1
t=s+1
p(t)z0 +
p(t) + w(x0)P (x) =
x−1
s=x0
q(s)
x−1
t=s+1
p(t) (8.5)
Risulta chiaro che z0 = w(x0) e che se q(x) = 0 manca il termine centrale
dell’equazione.
8.3 Principio del confronto
Il principio del confronto è utilizzato in applicazioni di Analisi Numerica
quando si presentano disequazioni alle differenze.
Teorema 8.8 Sia
yn+1 ≤ g(n, yn)
dove g : N + m × F → R, con F spazio delle funzioni. La funzione g è non
descrescente rispetto a y, cioè a parità di n,
con y ≥ z. Ora, se
g(n, y) ≥ g(n, z)
un+1 ≥ g(n, un)
Allora segue che yn0 ≤ un0 , si ha ∀n ≥ n0
yn ≤ un
DIMOSTRAZIONE: Per assurdo, supponiamo che esista n > n0 tale che
ma
Allora ottengo che
quindi
yn ≤ un
yn+1 > un+1
g(n, un) ≤ un+1 < yn+1 ≤ g(n, yn)
g(n, un) < g(n, yn)
Ma questo è assurdo, si contraddice l’ipotesi che g sia non descrescente. ✷
Vediamo una formula più generale del principio del confronto.

8.3. PRINCIPIO DEL CONFRONTO 89
Teorema 8.9 (seconda formulazione) Sia
(i) yn ≤
(ii) un =
n−1
s=n0
n−1
s=n0
con g non descrescente rispetto a y. Allora se
g(n, s, ys) + pn
g(n, s, us) + pn
yn0 ≤ un0 ⇒ yn ≤ un ∀n ≥ n0
DIMOSTRAZIONE: Consideriamo le formule (i) e (ii) con indice n + 1 e
facciamone la differenza, otteniamo:
yn+1 − un+1 ≤
n
s=n0
allora, supponiamo per assurdo che
Quindi
g(n + 1, s, ys) − g(n + 1, s, us)
∃n : yn − un ≤ 0 e yn+1 − un+1 > 0
n
s=n0
per la non descrescenza di g, cioè
g(n + 1, s, ys) − g(n + 1, s, us) ≤ 0
yn+1 − un+1 < 0
Ma questo è assurdo per l’ipotesi iniziale. ✷
Esempio 8.10 Prendiamo
(i) yn+1 ≤ knyn + pn
(ii) un+1 = knun + pn
con kn ≥ 0 per ogni n, quindi knyn è non descrescente. Per l’equazione 8.5 la
soluzione di (i) è:
yn ≤
un =
n−1
j=n0
n−1
j=n0
kjyn0 +
kjun0 +
n−1
pj
n−1
ks
j=n0 s=j+1
n−1
pj
n−1
ks
j=n0 s=j+1
Queste maggiorazioni sono spesso utilizzate per studiare il caso limite dell’errore
nel calcolo delle equazioni alle differenze.

90 CAPITOLO 8. EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE
Esempio 8.11
yn+1 ≤
n
[ksys + ps]
s=n0
con kn ≥ 0 per ogni n, quindi ksys + ps non descrecente rispetto a y.
e
Facendo la differenza ottengo
cioè:
un+1 =
un =
n
[ksus + ps]
s=n0
n−1
s=n0
[ksus + ps]
un+1 − un = knun + pn
un+1 − (1 + kn)un = pn
Dall’equazione 8.5 ricaviamo la soluzione:
un =
n−1
j=n0
Possiamo osservare che ∀k ≥ 0
(1 + kj)u0 +
1 + k ≤ e k
n−1
pj
n−1
j=n0 s=j+1
e questo deriva dallo sviluppo in serie di Taylor di e x , infatti
Quindi 5 :
n−1
j=n0
1 + k ≤ 1 + k + k2
2
(1 + kj) ≤
n−1
j=n0
Possiamo allora riscrivere la (8.6) come
un ≤ exp
5 Ricordiamo che exp x = e x
n−1
j=n0
kju0 +
+ k3
3!
+ . . .
e kj
n−1
= exp (kj)
n−1
j=n0
pj exp
j=n0
(1 + ks) (8.6)
n−1
j=n0
kj

8.4. LEMMA DI GRONWALL NEL DISCRETO 91
8.4 Lemma di Gronwall nel discreto
Questo lemma fornisce una maggiorazione che limita la soluzione dell’equazione
alle differenze ancor prima di calcolarla. Sia:
n
yn+1 ≤ pn+1 +
s=n0
ksys
con yn0 ≤ pn0 e ks ≥ 0 (affinchè la y sia non decrescente). Poniamo
vn =
Per sostituzione otteniamo
n−1
s=n0
ksys
yn ≤ pn + vn
con vn0
Moltiplicando entrambi i membri per kn la precedente disequazione diventa:
∆vn = knyn ≤ knpn + knvn
Visto che kn ≥ 0 non cambia il verso della disuguaglianza. Esplicitando il
∆:
= 0
vn+1 − vn ≤ knpn + knvn
vn+1 − (1 + kn)vn ≤ knpn
un+1 − (1 + kn)un = knpn
Applicando la 8.5 otteniamo, ricordando che un0 = 0,
e vn ≤ un. Da cui
un =
yn ≤ pn +
n−1
kjpj
n−1
j=n0 s=j+1
n−1
kjpj
n−1
j=n0 s=j+1
(1 + ks)
(1 + ks)
8.5 Lemma di Gronwall nel continuo
Per completezza citiamo anche la versione del precedente lemma nel continuo,
senza dimostrarla poiché questa si ricava semplicemente considerando
y(s)ds = vn. Se
con k(s) ≥ 0, allora
y(t) ≤ h(t) +
y(t) ≤ h(t) +
t
t0
t
t0
k(s)y(s)ds
R t
k(s)h(s)e s k(u)du ds

92 CAPITOLO 8. EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE
8.6 Equazioni alle differenze lineari
Un’equazione alle differenze lineare di ordine k è un’espressione del tipo:
yn+k + p1(n)yn+k−1 + . . . + pk(n)yn = gn
dove p0(n) = 1 e p1(n), . . . , pk(n), g(n) sono funzioni definite in J + n0 e pk(n) =
0. Per indicare tale tipo di equazione utilizzeremo spesso la notazione
k
i=0
pi(n)yn+k−i = gn
(8.7)
Come caso particolare possiamo considerare la situazione con i valori costanti
rispetto a n, cioè p1(n) = p1, p2(n) = p2, . . . , pk(n) = pk e parleremo
di equazioni alle differenze a coefficienti costanti. Il polinomio caratteristico
associato a queste equazioni sarà del tipo
P(z) =
k
piz k−i
i=0
All’equazione 8.7 si associano le condizioni iniziali
yn0 = c1, yn0+1 = c2, . . . , yn0+k−1 = ck
che per semplicità rappresenteremo con il vettore
⎛ ⎞
⎜
c = ⎜
⎝
E indicheremo la soluzione dell’equazione alle differenze che soddisfa le
condizioni iniziali precedenti con
Avremo pertanto
c1
c2
.
ck
y(n, n0, c)
⎟
⎠
y(n0, n0, c) = c1
y(n0 + 1, n0, c) = c2
y(n0 + 2, n0, c) = c3
y(n0 + k − 1, n0, c) = ck
Definiamo inoltre l’operatore L come segue
Lyn =
k
i=0
.
pi(n)yn+k−i

8.6. EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE LINEARI 93
Teorema 8.12 L’ operatore L è lineare.
DIMOSTRAZIONE: Risulta, per la linearità della somma,
Inoltre
Lαyn =
k
pi(n)αyn+k−i = α
i=0
L(yn + zn) =
=
k
i=0
k
pi(n)yn+k−i = αLyn
i=0
pi(n)(yn+k−i + zn+k−i) =
k
pi(n)yn+k−i +
i=0
= Lyn + Lzn
k
pi(n)zn+k−i =
questo conclude la dimostrazione. ✷
Sia S = {yn|Lyn = 0}, cioè S è lo spazio delle soluzioni dell’equazione
omogenea associata all’equazione alle differenze Lyn = gn.
Teorema 8.13 Ogni combinazione lineare di elementi di S appartiene a S.
Consideriamo i versori di Rk ⎛ ⎞
1
⎜ 0 ⎟
E1 = ⎜ ⎟
⎝ . ⎠
0
E2
⎛
⎜
= ⎜
⎝
0
1
.
0
⎞
i=0
⎛
⎟
⎠ . . . Ek
⎜
= ⎜
⎝
Lemma 8.14 Ogni soluzione di Lyn = 0 può essere espressa come combinazione
lineare delle y(n, n0, Ei).
DIMOSTRAZIONE: Sia y(n, n0, c) la soluzione avente c come condizioni iniziali.
La combinazione lineare
k
zn = ciy(n, n0, Ei)
i=1
è soluzione di Lyn = 0 infatti, vista la struttura degli Ei,
zn0 =
zn0+1 =
.
zn0+k−1 =
k
ciy(n0, n0, Ei) = c1
i=1
k
ciy(n0 + 1, n0, Ei) = c2
i=1
0
0
.
1
k
ciy(n0 + k − 1, n0, Ei) = ck
i=1
⎞
⎟
⎠

94 CAPITOLO 8. EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE
E quindi yn e zn coincidono. ✷
Qualsiasi soluzione è combinazione lineare di k soluzioni. Devo dire che sono
linearmente indipendenti per affermare che sono la base del mio spazio
vettoriale. Per definizione, la base è il minimo numero di vettori linearmente
indipendenti che generano uno spazio. Quello che adesso possiamo
chiederci è se effettivamente la dimensione dello spazio sia k. Siano
f1(n), f2(n), . . . , fk(n)
funzioni definite in J + n0 . Ricordiamo che:
Definizione 8.15 Le funzioni fi(n), i = 1, 2, . . . , k sono linearmente indipendenti
se
k
αifi(n) = 0
i=1
implica αi = 0 i = 1, 2, . . . , k per ogni n ≥ n0.
Quindi, se tale relazione intercorre per n, deve valere anche per n + 1. In
particolare, varrà anche fino a n + k − 1.
Definiamo ora la matrice
⎛
⎜
K(n) = ⎜
⎝
f1(n)
f1(n + 1)
.
.
f2(n)
f2(n + 1)
.
.
. . .
. . .
. ..
. . .
. . .
. ..
fk(n)
fk(n + 1)
.
.
⎞
⎟
⎠
f1(n + k − 1) f2(n + k − 1) . . . . . . fk(n + k − 1)
che è detta matrice di Casorati.
Teorema 8.16 Se esiste n ≥ 0 tale che det K(n) = 0, allora per i = 1, 2, . . . , k
le fi(n) sono linearmente indipendenti.
DIMOSTRAZIONE: Sappiamo che le fi(n) sono linearmente indipendenti per
ogni n, quindi anche per n + 1, per cui
⎛
f1(n + 1)
⎜
det K(n + 1) = det ⎝ .
. . .
. ..
fk(n + 1)
.
⎞
⎟
⎠
f1(n + k) . . . fk(n + k)
Ma
f1(n + k) = − 1
p0(n)
Ricordiamo che in generale,
a + b c + d
det
e f
k
pi(n)f1(n + k − i) (8.8)
i=1
a c
= det
e f
b d
+ det
e f

8.6. EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE LINEARI 95
quindi nel nostro caso
det K(n + 1) =
⎛
k
⎜
det ⎝
i=1
f1(n + 1) . . . fk(n + 1)
.
− pi(n)
p0(n) f1(n + k − i) . . . − pi(n)
p0(n) fk(n + k − i)
Possiamo portare fuori dal determinante la quantità comune all’ultima riga:
k
det K(n + 1) = −
i=1
pi(n)
p0(n) det
⎛
⎜
⎝
f1(n + 1)
.
f1(n + k − i)
. . .
. . .
⎞
fk(n + 1)
⎟
. ⎠
fk(n + k − i)
(8.9)
Possiamo osservare che in quest’ultima equazione la maggior parte dei derminanti
è nulla. Infatti
• per i = k − 1 la prima e l’ultima riga della matrice sono uguali, per cui
il determinante è nullo.
• per i = k −2 la seconda e la penultima riga sono uguali, di conseguenza
il determinante è nullo.
• . . .
Alla fine l’unico determinante che non si annulla è per i = k e quindi
l’equazione 8.9 si riduce a
k−1 pk(n)
pk(n)
det K(n + 1) = −(−1) det K(n) = (−1)k det K(n)
p0(n) p0(n)
Adesso, possiamo scegliere un n opportuno, poiché abbiamo dimostrato che
va bene per uno qualsiasi. Scegliendo n = n0 si ha
⎛
1
⎜ 0
⎜
K(n0) = ⎜ .
⎜
⎝
0
1
0
. . .
0
. . .
. . .
0
0
. . .
. .
. ..
. ..
1
⎞
⎟
0 ⎟
0 ⎠
⇒ det K(n0) = 0
0 0 . . . 0 1
✷
Analogamente a quanto vale per le equazioni differenziali, è possibile definire
alcune proprietà per le soluzioni delle equazioni alle differenze.
Lemma 8.17 Siano xn e zn soluzioni dell’equazione alle differenze non omogenea
Lyn = gn. Allora la differenza di queste due soluzioni soddisfa l’equazione
omogenea associata.
.
⎞
⎟
⎠

96 CAPITOLO 8. EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE
DIMOSTRAZIONE: Se facciamo la differenza abbiamo
L(xn − zn) = gn − gn = 0
ed il lemma è banalmente dimostrato. ✷
Teorema 8.18 Siano y(n, n0, ci), i = 1, 2, . . . , k, k soluzioni linearmente indipendenti
dell’equazione omogenea Lyn = 0 e y n una soluzione di Lyn = gn.
Ogni altra soluzione dell’equazione non omogenea può scriversi nella forma
yn = y n +
k
αiy(n, n0, ci)
i=1
DIMOSTRAZIONE: Segue banalmente dal lemma precedente. ✷
Se torniamo alla notazione zn 1 , zn 2 , . . . , zn k , per rappresentare le soluzioni per
l’equazione alle differenze a coefficienti costanti (nel caso in cui le radici
del polinomio sono distinte), possiamo chiederci se esse formano una base.
Possiamo verificarlo utilizzando la matrice di Casorati: la matrice K(n) ha
la forma
Per n = 0 essa diventa:
K(n) =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
K(0) = ⎜
⎝
z n 1 . . . z n k
.
z n+k−1
1 . . . z n+k−1
k
1 . . . . . . 1
z 1 1 . . . . . . z 1 k
.
z k−1
1 . . . . . . z k−1
k
La matrice precedente prende il nome di matrice di Vandermonde e ha la
proprietà di avere determinante non nullo se le le zi sono tutte distinte.
Ma quest’ultime sono distinte per ipotesi, quindi la soluzione generale
dell’equazione alle differenze è:
yn =
k
i=1
αiz n i
Tutte le equazioni finora descritte assumono che le radici siano semplici,
ma che succede se le radici sono multiple? Innanzitutto abbiamo che una
radice zs è multipla se P(zs) = 0, P ′ (zs) = 0, . . . , P (ms−1) (zs) = 0. Da questa
definizione ricaviamo che
P ′ (z) =
k−1
pi(k − i)z k−i−1
i=0
.
.
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠

8.6. EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE LINEARI 97
P ′′ (z) =
.
P (j) (z) =
k−2
pi(k − i)(k − i − 1)z k−i−2
i=0
k−j
pi(k − i) (j) z k−i−j
i=0
Se le radici sono z1, z2, . . . , zq con q < k e le molteplicità sono m1, m2, . . . , mq,
presa la generica us(n)z n s voglio verificare che è soluzione dell’equazione
differenziale, con us polinomio di grado minore di ms, cioè del tipo
us = c1 + c2u + c3u 2 + . . . + cr+1u r con r < ms.
Osservazione 8.19 L’ operatore ∆ applicato m volte ad un polinomio di grado
minore di m dà 0.
k
i=0
Ora,
pius(n + k − i)z n+k−i
s = z n s
= z n s
= z n s
= z n s
= z n s
= z n s
= z n s
• per j < mj si annulla P (j) (zs)
k
i=0
k
i=0
pius(n + k − i)z k−i
s
piz k−i E k−i us(n) =
k
piz k−i
⎡
k−i
⎣
k − i
∆
j
j=0
j ⎤
us(n) ⎦ =
k
piz k−i
⎡
k−i
⎣
(k − i)
j=0
(j)
∆
j!
j ⎤
us(n) ⎦ =
k ∆j
us(n) k−j
piz
j!
k−i (k − i) (j)
=
i=0
i=0
j=0
k
j=0
k
j=0
• per j ≥ mj si annulla invece ∆ j us(n)
∆ j us(n)
j!
i=0
k−j
∆jus(n) P
j!
(j) (zs)
=
piz k−i (k − i) (j)
=
i=0
P
(j) (zs)

98 CAPITOLO 8. EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE
Con questo ho dimostrato che le soluzioni sono del tipo
yn =
q
i=0
αiui(n)z n i =
q
i=1
ms−1
s=0
αicsu s z n i
8.7 Esempi di equazioni alle differenze
Esempio 1: (Fibonacci) Consideriamo l’equazione alle differenze 6 :
yn+2 − yn+1 − yn = 0
con y0 = 0 e y1 = 1. Il polinomio caratteristico associato a questa equazione
è z 2 − z − 1 = 0 che ha radici:
z1 = 1 − √ 5
2
, z2 = 1 + √ 5
2
Le soluzione dell’equazione alle differenze sono pertanto date da yn = α1zn 1 +
α2zn 2 . In base alle condizioni iniziali che abbiamo posto ricaviamo il sistema:
α1 + α2 = 0
α1z1 + α2z2 = 1
Risolvendo il sistema otteniamo che la soluzione del problema iniziale è
yn =
√ 5
5 zn 1 −
√ 5
5 zn 2
Esempio 2: (Entropia di Shannon) Consideriamo un canale di comunicazione
in grado di trasmettere solo due diversi tipi di messaggi, di lunghezza
rispettivamente t1 e t2 (tipo alfabeto Morse). Quanti messaggi di lunghezza
generica t si possono inserire nel canale? Notiamo che il messaggio può
finire solamente come un t1 o t2, quindi
• Nt−t1 messaggi sono di tipo t1
• Nt−t2 messaggi sono di tipo t2
Quindi i messaggi Nt è così formato:
Nt = Nt−t2
+ Nt−t1
(8.10)
Senza perdere di generalità possiamo supporre t1 = 1 e t2 = 2, così l’equazione
8.10 diventa
Nt = Nt−2 + Nt−1
6 Tale equazione è nota come equazione di Fibonacci. Essa “simula” il crescere di una
popolazione di conigli in assenza di alcun fattore esterno.

8.7. ESEMPI DI EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE 99
che altro non è che l’equazione di Fibonacci. Risolvendola si ottiene
Nt = c1φ t + c2
− 1
t φ
Per t → +∞, il secondo addendo è infinitesimo, per cui
Nt = c1φ t + c2
− 1
t ≈ c1φ
φ
t
Definizione 8.20 (Shannon) La capacità di un canale è:
Quindi nel nostro caso:
log2 Nt
c = lim
t→+∞ t
log2 Nt
c = lim
t→+∞ t
log2 c1
= lim
t→+∞ t
+ tlog
2 φ
= log2 φ
t

100 CAPITOLO 8. EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE

Capitolo 9
Algoritmo di Miller
9.1 Problema ai valori iniziali
Consideriamo l’equazione:
Computer: macchina progettata
per velocizzare ed automatizzare
gli errori.
yn+2 − 102yn+1 + 200yn = 0 n = 0, 1, 2, . . .
Anonimo
con condizioni iniziali y0 = √ 3 e y1 = 2 √ 3. Questo è un problema che generalmente
viene chiamato problema ai valori iniziali. Il relativo polinomio
caratteristico è p(z) = z2 − 102z + 200 = (z − 2)(z − 100) e quindi le soluzioni
sono semplicemente z1 = 2 e z2 = 100. Segue che yn = c12n + c2100n .
Adesso dobbiamo calcolare i valori di c1 e c2:
c1 + c2 = √ 3
2c1 + 100c2 = 2 √ 3
c1 = √ 3
c2 = 0
La soluzione esatta (unica) è y n = 2 n√ 3 ed indicheremo la soluzione calcolata
dal calcolatore con yn.
Tramite l’algoritmo seguente, calcoliamo per ricorrenza la soluzione yn.
Listing 9.1: Soluzione calcolata per ricorrenza
1 ¡¤£¦¥§©¢¨£ y=ricorrenza(c,d,n)
2 # Calcolo per ricorrenza dell’equazione
3 # y_{n+2}+cy_{n+1}+dy_{n}=0
101

102 CAPITOLO 9. ALGORITMO DI MILLER
4 y= ¢¡ (1,n);
5 y(1)=¡¡ ¢§ (3);
6 y(2)=2∗¡¡ ¢§ (3);
7 ¨ i=3:n
8 y(i)=−c∗y(i−1)−d∗y(i−2);
9 endfor
10 ¢§ ([1:n],y,’r;Soluzione;’);
11 £¤ ¡¤£¦¥§©¢¨£
Prendendo n = 12 otteniamo il grafico nella figura 9.1, dove y12 è negativo!
Riportiamo i valori di y:
£
5000
0
-5000
-10000
-15000
-20000
-25000
-30000
Soluzione
-35000
0 2 4 6 8 10 12
Figura 9.1: Soluzioni dell’equazione yn+2 − 102yn+1 + 200yn = 0
© ¤
©¢© ©
¨§©
©
© ¤
©
¨¢©
¤©
©
© ©
©
§ ©
© §
©© ©
¢

9.1. PROBLEMA AI VALORI INIZIALI 103
Il problema fondamentale nella risoluzione sul calcolatore consiste nell’approssimare
il valore del numero irrazionale √ 3 in aritmetica finita: questo
per definizione possiede un numero infinito di cifre decimali, che non possono
ovviamente essere rappresentate sul computer. Sarà proprio questa
approssimazione, pur buona essa sia (non si pensi ad aumentare la memoria
o il numero di bit per rappresentare i numeri) a restituirci dei valori
completamente sbagliati in uscita.
Per misurare l’errore commesso nel calcolare la soluzione, utilizziamo due
parametri: l’errore relativo e l’SCD (Significant Computer Digit, cioè il numero
di cifre significative). Tali quantità sono definite rispettivamente come
segue:
en = |yn − yn|
Scd = − log10 en
|yn| Inserendo opportunamente il calcolo dell’Scd nell’algorimo precedente, in
modo poi da vederne il grafico, quello che otteniamo è rappresentato nella
figura 9.2. Vediamo di giustificare quello che succede sul calcolatore. In
Scd
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 9.2: ¢¡¤£
n
nella risoluzione di yn+2 − 102yn+1 + 200yn = 0
esso, i numeri sono rappresentati a meno di un errore, dato da εi e quindi:
y0 = √ 3(1 + ε1)
y1 = 2 √ 3(1 + ε2)
Scd
c1 + c2 = √ 3(1 + ε1)
2c1 + 100c2 = 2 √ 3(1 + ε2)
Da cui, focalizzando l’attenzione su c2, otteniamo come risultato 98c2 =
2 √ 3(ε2 − ε1) e quindi c2 = 2√3 98 (ε2 − ε1). Ma c2 adesso non può essere
0 poiché ε1 e ε2 saranno sempre diversi fra loro. Anzi, addirittura questa
quantità sarà sempre moltiplicata per 100n ad ogni iterazione (vedi codice)
e quindi diventerá presto un numero enorme.

104 CAPITOLO 9. ALGORITMO DI MILLER
9.2 Problema ai valori al contorno
Possiamo definire una soluzione da adottare per ovviare all’inconveniente
presentato precedentemente. Rinunciamo a soddisfare le due condizioni
iniziali e supponiamo di calcolare i valori della funzione fino ad un n fissato
a priori. Preso un N ≫ n, cerchiamo di soddisfare:
y0 = √
3(1 + ε) c1 + c2 =
yN = 0
√ 3(1 + ε)
c12N + c2100N = 0
Posto η = √ 3(1 + ε), ricaviamo i coefficienti c1 e c2:
c1 =
η 1
0 100N
100N 100
=
− 2N N
100N c2 =
η
− 2N
1 η
2N
0
100N 2
= −
− 2N N
100N η
− 2N Allora
yn = c12 n + c2100 n = c12 n
ma la quantità c2
c1 = −
1 N
50 , quindi
yn = c12 n
N 1
1 − 50
50
n
= c12 n
poichè η ≈
1 + c2
50
c1
n
1 −
N−n
1
≈ η2
50
N
1
1−50 −N η. In questo modo, l’errore che otteniamo in uscita è
circa quello considerato in ingresso, situazione che possiamo considerare
ottimale nel calcolo.
Ma come abbiamo fatto a calcolare le condizioni al contorno?
Dobbiamo calcolare l’equazione: yn+2 − 102yn+1 + 200yn = 0 e le nostre
condizioni iniziali sono y0 = √ 3 e yN = 0. Preso n = 0, 1, . . ., N −2 analizzo
il seguente sistema:
⎧
⎨
⎩
y2 −102y1 +200y0 = 0 n = 0
yn+2 −102yn+1 +200yn = 0 n = 1, . . ., N − 3
−102yN−1 +200yN−2 = 0 n = N − 2
Questo sistema lineare può essere espresso in forma matriciale
⎛
−102
⎜ 200
⎜
⎝
0
1
. .. . ..
. .. . ..
200
A
⎞ ⎛
0
−200y0
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 0
⎟ Y = ⎜
1 ⎠ ⎝ .
−102
0
⎞
⎟
⎠

9.3. BIT FATALE 105
Notiamo che la matrice A è di tipo tridiagonale e può essere fattorizzata
LU. L’ implementazione del metodo è riportata di seguito.
Listing 9.2: Risoluzione problema ai valori al contorno
1 ¡¤£¦¥§©¢¨£ miller(c,d,n);
2 # Algoritmo di Miller
3 N=n+10;
4 y0=¡ ¢§ (3);
5 A= ¢¡ (N−1,N−1);
6 j=1:N−2
7 A(j,j)=c;
8 A(j,j+1)=1;
9 A(j+1,j)=d;
10 endfor
11 A(N−1,N−1)=c;
12 b= ¢¡ (1,N−1);
13 b(1)=−d∗y0;
14 sol=risolvi(A,b);
15 scd= ¢¡ (1,N−1);
16 j=1:N−1
17 y(j)=(2^j)∗y0;
18 scd(j)=−¤¡ ¡ £¢ ( ¡ ((y(j)−sol(j))/ ¡ (y(j))));
19 endfor
20 ¨§ ([1:N−1],scd,’r’);
21 ¨£¤ ¢¡¤£ ¥§©¨£
Il grafico dell’ ¢¡¤£ è rappresentato in figura 9.3.
9.3 Bit Fatale
Supponiamo di dover calcolare l’equazione alle differenze a coefficienti co-
stanti yn+2 − 10
3 yn+1 + yn = 0 con n = 0, 1, . . .. Da quí vediamo che le
soluzioni del polinomio caratteristico sono z1 = 1
3 e z2 = 3. Se conside-
riamo le condizioni iniziali y0 = 1 e y1 = 1
3 otteniamo yn = ( 1
3 )n come
soluzione esatta. La soluzione sul calcolatore invece si comporterebbe come
yn = c3n , poiché in esso 1 n
3 diventa zero molto velocemente. Notiamo
che n è il punto oltre il quale la soluzione calcolata comincia a discostarsi
da quella esatta (vedi grafico 9.4 in scala logaritmica). Ricordiamo alcune
piccole nozioni di architetture degli elaboratori: i calcolatori rappresentano
i numeri in memoria attraverso la notazione floating point (virgola mobile)
e cioè secondo questo schema: ±0.β1β2 · · · βt × 2n Le macchine che utilizzano la rappresentazione dei numeri in doppia precisione
per esempio (i più usati per calcoli numerici) hanno t = 52 e n = 11,
da cui un numero è rappresentato in 8 byte.
Nel nostro esempio yn = (1 − c2)3−n + c23n dove c2 = ε
8 . Nei nostri calcoli
dobbiamo sapere a priori qual è il valore di ε, vediamo la conversione da

106 CAPITOLO 9. ALGORITMO DI MILLER
Scd
y n
16
14
12
10
8
6
4
2
Algoritmo di Miller
0
0 5 10 15
n
20 25 30
10 0
10 −2
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
10 −12
Figura 9.3: ¢¡¤£ con l’algoritmo di Miller
Bit fatale
Soluzione calcolata per ricorrenza
Soluzione esatta
10
0 5 10 15 20 25 30
−14
n
Figura 9.4: Grafico Bit fatale

9.3. BIT FATALE 107
base 10 a base 2, quella dei calcolatori:
1
= (0.010)2 = 2
3 10
−1
∞
2 −(2j+1) = 0.10
j=0
Ma qual’è la rappresentazione in virgola mobile di 1
3 ?
fl
1
= (0.1010. . .1011)2 × 2
3
−1 > 1
3
· 2−1
2
Notiamo infatti che le ultime cifre sono entrambe 1 poiché il numero è approssimato.
Le cifre di posizione dispari dovranno essere 1 mentre quelle
di posto pari 0; invece nella nostra approssimazione la t-esima cifra è posta
sempre a 1.
Possiamo adesso calcolare il valore di ε:
y1 = 1
(1 + ε) dove ε = 2−(t+1)
3
Dove la costante ε indica il più piccolo numero che la macchina riesce a
rappresentare. Da quì possiamo capire il perché del curioso nome di questo
tipo di problemi: 1
2 · ε = (0.1)2 × 2−t infatti nella ε c’è solo un bit diverso da
zero, da quì bit fatale.
Il nostro problema adesso è quello di determinare il valore di n per cui le
due soluzioni discostano, cioè cercheremo il valore di n per cui yn+1 > yn.
(1 − c2)3 −(n+1) + c23 (n+1) > (1 − c2)3 −n + c23 n
se moltiplico entrambi i membri per 3 (n+1)
(1 − c2) + c23 2(n+1) = (1 − c2) + 3c23 (2n+1) > (1 − c2)3 + c23 (2n+1)
c23 (2n+1) (3 − 1) > 2(1 − c2) ⇒ 3 (2n+1)
1 − c2
> > 0
se passo ai logaritmi
2n + 1 > log 3
1 − c2
c2
⇒ n > 1
log3 2
c2
1 − c2
c2
− 1
Sostituendo il valore appropriato di c2 e di ε posso ricavare i valori di n >
17, 18, . . . e infine n = 17. L’ implementazione del metodo è riportata di
seguito.
Listing 9.3: Bit fatale
1 ¡¤£¦¥§©¢¨£ nsegnato=bitfatale(c,d,n)
2 % Calcolo per ricorrenza dell’equazione
3 % y_{n+2}+cy_{n+1}+dy_{n}=0

108 CAPITOLO 9. ALGORITMO DI MILLER
4 % visualizza anche la soluzione esatta
5 y= ¢¡ (1,n);
6 yr= ¢¡ (1,n);
7 y(1)=1;
8 y(2)=1/3;
9 yr(1)=1;
10 yr(2)=y(2);
11 c2= ¨¤¡ /8;
12 nsegnato=0;
13 ¨ j=3:n
14 y(j)=c∗y(j−1)+d∗y(j−2);
15 yr(j)=(1/3)^(j−1);
16 © (nsegnato==0)
17 © (j>0.5∗( ((1−c2)/c2)/ ¡ (3)−1))
18 nsegnato=j;
19 £
¨£¤
20
¨£¤
¢§
21
22 ([1:n],y,’r’,[1:n],yr,’b’);
23 §¢¡¢£
L’ output del programma è il seguente:
££¡ ¥©¦¤¦¨
¨¡ ¥
©

Capitolo 10
I numeri complessi
e iπ + 1 = 0
Eulero
Sappiamo che non esiste alcun numero reale x tale che x 2 = −1 o, equivalentemente,
possiamo dire che l’equazione x 2 + 1 = 0 non ha soluzioni
reali. Vedremo, così come è possibile estendere i numeri razionali introducendo
i numeri reali, che è possibile estendere l’insieme R in modo che
l’equazione x 2 +1 = 0 abbia soluzioni. L’ insieme di numeri a cui si perviene,
i numeri complessi, è spesso sottovalutato negli insegnamenti, ma possiede
proprietà molto importanti che vedremo di descrivere.
10.1 Breve storia sui numeri complessi
La risoluzione di equazioni è una parte fondamentale della Matematica anche
da un punto di vista storico. Infatti, tale argomento si trova già affrontato
nelle tavolette di argilla dei Babilonesi. Poiché non è compito di questa
spiegazione ripercorrere tutta la storia dell’Algebra, ci limiteremo a descrivere
sinteticamente la nascita dell’Algebra classica, che si può collocare nel
XV I secolo. In tale periodo infatti si ha un affinamento delle procedure di
calcolo e si ricercano notazioni che non siano più legate alle figure geometriche.
All’inizio del Cinquecento, in Italia, la Matematica occupa un posto di
rilievo rispetto alle altre scienze. È da ricordare la notevole concentrazione
di eminenti matematici in tal periodo presso l’Università di Bologna, dove,
a breve distanza di tempo, insegnarono Luca Pacioli, Scipione Dal Ferro, Girolamo
Cardano. Tale concentrazione attirava l’attenzione di centinania di
allievi, anche stranieri, non a caso Albrecht Dürer fu allievo di Scipione dal
Ferro.
109

110 CAPITOLO 10. I NUMERI COMPLESSI
La risoluzione di equazioni di secondo grado era già nota ai Babilonesi. Euclide,
nel II libro degli Elementi risolve tale tipo di equazioni in forma geometrica.
L’ equazione cubica, se vogliamo accentuare i casi particolari, aveva
sfidato tanto i matematici, così tanto che Luca Pacioli (1445 − 1514) aveva
sostenenuto che la soluzione dell’equazione cubica generale era impossibile.
In tale impresa si erano cimentati anche molti matematici greci ed arabi fin
dai tempi di Archimede, ma essi erano arrivati a risolvere solo dei casi particolari,
senza trovare un metodo generale. Intorno al 1500, Scipione Dal
Ferro (1465 − 1526), professore di matematica a Bologna, riuscí a risolvere
le equazioni cubiche del tipo x 3 + px = q. Egli non pubblicò il suo metodo
risolutivo in quanto in tale periodo le scoperte venivano spesso tenute nascoste
per poi sfidare i rivali (colleghi) a risolvere lo stesso problema. Tale
metodo fu rivelato dallo stesso Scipione Dal Ferro alla fine della sua vita ad
un suo allievo, Antonio Maria Fior. Anche Nicolò Fontana (1500−1559), meglio
conosciuto col soprannome Tartaglia, aveva trovato indipendentemente
un metodo per risolvere le equazioni di terzo grado del tipo x 3 + px = q e
x 3 + px 2 = q con p e q positivi. Nel 1535 fu quindi organizzata una sfida matematica
tra Fior e Tartaglia. Ognuno dei due propose all’altro 30 problemi
che l’avversario doveva risolvere. Tartaglia riuscì a risolvere tutti e trenta i
problemi proposti da Fior, mentre quest’ultimo non riuscì a risolverne neache
uno. La notizia della vittoria di Tartaglia raggiunse Girolamo Cardano
(1501−1576). Quest’ultimo, dopo molte insistenze, convinse Tartaglia a farsi
rivelare il suo metodo, in cambio della solenne promessa di non rivelarlo.
Nonostante ciò Cardano pubblico la “sua” versione del metodo di risoluzione
delle equazioni di terzo grado nella sua opera Ars Magna, nel 1545. Lo
stile di Cardano è abbastanza oscuro e la sua algebra è allo stato retorico, si
pensi che le equazioni sono espresse quasi completamente a parole. Infatti
la procedura risolutiva dell’equazione x 3 + px = q è così descritta (a fianco
la scrittura algebrica attuale):
“Quando che ’l cubo con le cose appresso x3 Se agguaglia à qualche numero discreto
+ px = q p, q > 0
Trovan dui altri differenti in esso.
Da poi terrai questo per consueto
q = u − v
Che ’l lor prodotto sempre sia uguale uv = (p/3) 3
Al terzo cubo delle cose neto,
El residuo poi suo generale
3 √ u − 3√ v
Delli lor lati cubi ben sottratti
Varrà la tua cosa principale” x = 3√ u − 3√ v
Se vogliamo scrivere con il “nostro” linguaggio la soluzione dell’equazione
x3 + px = q proposta da Cardano essa ha la seguente formulazione:
x = 3
p
3
q
2 + +
3 2
q
p
3 3
q
2 − + −
2 3 2
q
2

10.1. BREVE STORIA SUI NUMERI COMPLESSI 111
È stato scritto molto sulla contesa fra Cardano e Tartaglia, al riguardo della
priorità del procedimento; tuttavia si è stabilito che il primo a trovare
il metodo risolutivo è stato Scipione Dal Ferro nel 1515, come Cardano indica
nella prima pagina dell’opera Ars Magna. La formula risolutiva delle
equazioni di quarto grado fu scoperta da Ludovico Ferrari (1522 − 1565)
ed anche questa fu pubblicata nell’Ars Magna. Fu invece Rafael Bombelli
(1526 − 1573), matematico bolognese, il primo che riconobbe la necessità
di ampliare i numeri allo conosciuti con altri numeri. Nella sua opera L’
Algebra 1 , egli raccolse e completò i risultati ottenuti in campo algebrico nella
prima metà del XV I secolo. Si propose cioè di completare i vari casi
di risoluzione delle equazioni di terzo grado, anche nel caso “irriducibile”,
cioè quando nella formula di Cardano ri presenta la radice quadrata di un
numero negativo,
p
3 +
3
q
2 < 0
2
Nella sua opera, Bombelli si occupò del calcolo con potenze e con radici di
equazioni algebriche. Si deve a lui l’introduzione degli esponenti per indicare
le potenze dell’incognita. Nel primo libro de L’ Algebra Bombelli prende
in esame le radici immaginarie delle equazioni, che egli chiama quantità silvestri,
ed arriva ad operare con i numeri che oggi chiamiamo complessi. Egli
introdusse i termini più di meno e meno di meno, che egli stesso abbrevia
con pdm e mdm, per indicare +i e −i. Ad esempio con
R c⌊2pdm11⌉
egli indica il numero complesso 3√ 2 + 11i. Stabilì inoltre le seguenti regole
(come prima, a sinistra il linguaggio di Bombelli ed a destra la notazione
attuale):
Più via più di meno, fa più di meno. (+1) × (+i) = +i
Meno via più di meno, fa meno di meno. (−1) × (+i) = −i
Più via meno di meno, fa più di meno. (+1) × (−i) = −i
Meno via meno di meno, fa più di meno. (−1) × (−i) = +i
Più di meno via più di meno, fa meno. (+i) × (+i) = −1
Più di meno via men di meno, fa più . (+i) × (−i) = +1
Meno di meno via più di meno, fa più. (−i) × (+i) = +1
Meno di meno via men di meno, fa meno (−i) × (−i) = −1
In definitiva Bombelli stabilì le leggi formali per il calcolo dei nuovi numeri,
che successivamente furono chiamati immaginari da Cartesio per indicare
delle soluzioni considerate fittizie e irreali, né vere né “surde” (negative).
Ne L’ Algebra troviamo la trattazione corretta di alcune equazioni di terzo
1 In realtà il titolo completo della sua opera è L’ Algebra, divisa in tre libri, con la quale
ciascuno da sé potrà venire in perfetta cognitione della teoria dell’Aritmetica. Tale opera fu
composta nel 1560 ma fu pubblicata in parte solo nel 1572

112 CAPITOLO 10. I NUMERI COMPLESSI
grado che, se risolte con il procedimento di Dal Ferro, Tartaglia e Cardano,
portano a radicali doppi coinvolgenti quantità non reali. Ad esempio,
viene data la soluzione dell’equazione x 3 = 15x + 4 tramite la formula di
“Cardano”:
x = 3
√−121 3 √−121
+ 2 − − 2
Essa è la somma di due radicali doppi, con radicando negativo, mentre per
sostituzione si sapeva già che x = 4 era l’unica radice positiva dell’equazione.
Bombelli dimostrò che si può scrivere:
e quindi concludeva scrivendo:
(i ± 2) 3 = 11i ± 2
x = 3√ 11i + 2 − 3√ 11i − 2 = i + 2 − (i − 2) = 4
A Bombelli spetta quindi il merito di aver introdotto nella matematica i numeri
complessi e le regole di calcolo con essi, oltre ad aver completato la
teoria della equazioni di terzo grado. Nei due secoli successivi si studiarono
le equazioni di quindo grado e di grado superiore tentando, invano, di risolverle
analogamente a quanto fatto per quelle di secondo, terzo e quarto
grado. Nel 1799, nella sua tesi di laurea, Gauss dette una prima dimostrazione
del teorema fondamentale dell’Algebra: ¢¡ ¤ © ¡ ¤¨
¥ ¤¤£¦¥ ¡
£
¥
£
¢¡
£
£
¡
©©¨ ¤¥¥£¥ ¤ ¥¥¤ ¨ ¡ ¥ £ £¨ ¡ ¤ £
¡§
¤
¡
£ ¤ ¤¥ ¥
¡ ¦
£ ¤
n §
£ ¡
¡
¡
£¨ ¡ ¤
. In base a questo risultato (e utilizzando
£
¡
il teorema di Ruffini)
si dimostra che ogni polinomio P (z) a coefficienti complessi si scompone in
un prodotto di n fattori, alcuni dei quali sono eventualmente ripetuti:
P (z) = z n + a1z n−1 + . . . + an−1z + an = (z − α1)(z − α2) · . . . · (z − αn)
Dopo tutti i lavori di Gauss, rimaneva però la questione di sapere se era
possibile risolvere “per radicali” le equazioni algebriche di grado superiore
al quarto. La risposta venne data da Paolo Ruffini (1765 − 1822) e Niels H.
Abel (1802 − 1822) in uno dei più celebri teoremi della Matematica, detto
appunto teorema di Ruffini-Abel: ¡ ¤ n > 4 ¥¥£ ¥ ¡¥ £© ¥ ¤ ¥ ¡ ¤¥ ¤ © ¤
soprattutto con Eulero, si ha un grande sviluppo dell’analisi complessa e
delle sue applicazioni alla fisica e all’ingegneria, che continuerà per tutto
l’Ottocento (si pensi alle applicazioni nella teoria delle correnti).
¥ ¥ £ ¨¥ £ ¥
¡ ¤
£
¦
¡
©
£
¤ ¤¤£¥ ¡ £ ¥ ¤ ¡ ¤¨
¤
¡§
10.2 Perché i numeri complessi?
¤ . Nel Settecento,
Nella premessa storica che abbiamo fatto, abbiamo accennato al motivo per
cui Cartesio ha chiamato questi numeri “immaginari” e si comprende perchè

10.3. RAPPRESENTAZIONE ALGEBRICA DEI NUMERI COMPLESSI 113
nell’Ottocento gli altri numeri sono stati chiamati “reali”. Quindi storicamente
il termine “numero immaginario” precede il termine “numero reale”
per più di due secoli, contrariamente a quanto ci viene presentato nell’insegnamento.
Chiediamoci dunque: perchè ampliare i numeri reali? Sappiamo
che l’insieme R, con le usuali operazioni di addizione e di moltiplicazione
possiede una serie di proprietà tali da renderlo un campo, è dotato di una
relazione d’ordine ed è continuo. Tutte queste proprietà permetto di affrontare
e risolvere in R una vasta classe di problemi. Eppure esistono problemi
particolari per cui la struttura di R è “insufficiente“, ad esempio x 2 + 1 = 0,
e x +1 = 0 che non ammettono alcuna soluzione in R. È quindi logico tentare
di ampliare questo insieme in modo da ottenerne, se possibile, un insieme
in cui tali problemi possono essere risolti 2 . Tale insieme esiste e si indica
con C.
10.3 Rappresentazione algebrica dei numeri complessi
La rappresentazione più semplice di un numero complesso è quella algebrica,
z = x + i · y. I numeri x, y sono rispettivamente la parte reale (Re z) ed
il coefficiente immaginario (Im z) del numero complesso considerato. Più
formalmente:
Definizione 10.1 Un numero complesso z è una coppia ordinata di numeri
reali (x, y).
Definizione 10.2 Due numeri complessi z = (x, y) e z ′ = (x ′ , y ′ ) si dicono
uguali se x = x ′ e y = y ′ .
Definizione 10.3 Nell’insieme C = R × R delle coppie ordinate di numeri
reali, definiamo una somma e un prodotto ponendo:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
È immediato verificare che queste operazioni sono commutative e associative
e vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
Definizione 10.4 Poiché per ogni numero complesso (x, y) si ha:
(x, y) + (0, 0) = (x, y) e (x, y) · (1, 0) = (x, y)
Allora (0, 0) è l’elemento neutro rispetto alla somma e (1, 0) è l’elemento neutro
rispetto al prodotto.
2 Come abbiamo visto, storicamente la motivazione dell’introduzione dei numeri
complessi è la risoluzione delle equazioni di terzo grado

114 CAPITOLO 10. I NUMERI COMPLESSI
Inoltre si verifica subito che (−a, −b) è l’opposto di (a, b). Di più:
Definizione 10.5 Per ogni numero complesso (a, b), se a e b non sono entrambi
nulli, risulta:
a
(a, b) ·
a2 b
, −
+ b2 a2 + b2
= (1, 0)
a cioè a2 +b2 , − b
a2 +b2
è l’inverso di (a, b) in C.
Con le proprietà presentate, C si dice essere un campo.
Osservazione 10.6 Con le proprietà appena mostrate R e C sono entrambi
campi, con le stesse proprietà, ma in C non è possibile definire alcuna relazione
di ordine tale che sia compatibile con la struttura algebrica di C. In altre
parole, se esistesse tale relazione si avrebbe, per ogni a, b:
a > 0
b > 0 ⇒
a + b > 0
a · b > 0
Infatti il prodotto dei numeri complessi positivi 3−5i e 4−5i risulta −13−35i,
che è evidentemente negativo.
Definizione 10.7 Il numero immaginario (0, 1) gode della proprietà che il
suo quadrato è eguale al numero reale (−1, 0); tale numero viene detto unità
immaginaria ed è indicato con il simbolo i. Quindi possiamo scrivere i 2 = −1.
10.4 Rappresentazione geometrica dei numeri complessi
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con assi X e Y , ed
un numero complesso z = x + i · y, i numeri reali x e y si possono interpretare
come coordinate cartesiane del punto P . Il piano ottenuto prende il
nome di piano di Argand-Gauss o piano di Gauss. In tal modo viene stabilita
una corrispondenza tra i punti del piano ed i numeri complessi. L’ asse delle
ascisse viene anche chiamato asse reale e l’asse delle ordinate viene chiamato
asse immaginario. Da un punto di vista geometrico il modulo |z| di un
numero complesso, pari a ρ = x 2 + y 2 , rappresenta la distanza del punto
P dall’origine. Il valore assoluto della differenza tra due numeri complessi
|z1 − z2| rappresenta la distanza tra i punti che rappresentano i due numeri
z1 e z2.
Definizione 10.8 Se z = x + iy, definiamo numero complesso coniugato di z
il numero z = x − iy.
Geometricamente z è il simmetrico di z rispetto all’asse reale.

10.4. RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI 115
Y
y
θ
ρ
Figura 10.1: Rappresentazione cartesiana del numero complesso z
Proposizione 10.9 Ogni numero complesso è un quadrato.
DIMOSTRAZIONE: Si ricava dall’uguaglianza
⎛
(a
(a
⎞
2
⎝
+ b2 ) + a
2 + b2 ) − a
+ i
⎠
2
2
x
P
X
2
= a + ib
Definizione 10.10 Dato un numero complesso z = a + ib, definiamo parte
reale Re(z), parte immaginaria Im(z) e norma N(z) di z le quantità seguenti:
Re(z) = a, Im(z) = b, N(z) = |z| 2 = a 2 + b 2
Proposizione 10.11 Per un numero complesso z valgono le seguenti proprietà:
1. (z) = z
2. z1 + z2 = z1 + z2
3. z1 · z2 = z1 · z2
4. |z| = |z|
5. |z| 2 = z · z
6. z ∈ R ⇐⇒ z = z
7. |z| = 0 ⇐⇒ z = 0
Proposizione 10.12 La somma ed il prodotto di due numeri complessi coniugati
sono due numeri reali.
✷

116 CAPITOLO 10. I NUMERI COMPLESSI
10.5 Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi
In riferimento alla figura 10.1 e considerando le osservazioni precedenti,
possiamo scrivere il numero complesso z nella forma trigonometrica
z = ρ(cos θ + i sin θ), dove θ è detto argomento del numero complesso ed
è definita a meno di multipli di 2π. Quindi l’argomento di z non è unico,
ed ogni numero reale θ + 2kπ con k ∈ Z è un argomento di z. Ricaviamo
inoltre:
x = ρ · cos θ
y = ρ · sin θ
Se analizziamo in dettaglio la moltiplicazione di due numeri complessi in
forma trigonometrica, otteniamo
che risulta
z = z1 · z2 = ρ1(cos θ1 + i sin θ1) · ρ2(cos θ2 + i sin θ2)
z = ρ1ρ2 · (cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2))
Quindi i moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano. Analogamente,
possiamo analizzare il risultato del rapporto tra due numeri complessi,
supposto z2 = 0:
z = z1
z2
da cui risulta
= ρ1(cos θ1 + i sin θ1) ρ1
= ·
ρ2(cos θ2 + i sin θ2) ρ2
(cos θ1 + i sin θ1)(cos θ2 − i sin θ2)
(cos θ2 + i sin θ2)(cos θ2 − i sin θ2)
z = z1
z2
= ρ1
(cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2))
ρ2
Cioè dobbiamo fare il quoziente dei moduli e la sottrazione tra gli argomenti.
Quindi i moduli hanno una struttura moltiplicativa mentre gli argomenti
una struttura additiva. Sfruttando la formula della moltiplicazione si
perviene al seguente teorema:
Teorema 10.13 (Formula di De Moivre) Per ogni n ∈ Z si ha
z n = [ρ(cos θ + i sin θ)] n = ρ n (cos nθ + i sin nθ)
Questo risultato permette di determinare la potenza di un numero complesso
in modo più facile rispetto al calcolo della potenza in forma algebrica.
Teorema 10.14 Ogni numero complesso z = 0 ha n radici n-sime distinte.

10.5. RAPP. TRIG. DEI NUMERI COMPLESSI 117
DIMOSTRAZIONE: Siano ρ e θ ripsttivamente il modulo e l’argomento di z.
Allora il modulo r e l’argomento φ di una radice n-esima di z devono esse
tali che r n = ρ e nφ ≡ θ (mod 2π). Quindi
r = n√ ρ e φ =
θ + 2kπ
n
con k ∈ Z
dove n√ ρ significa: radice n-esima aritmentica del numero reale positivo ρ.
Viceversa si deve subito che ogni numero complesso della forma
βk = n√
θ + 2kπ θ + 2kπ
θ cos + i sin con k ∈ Z
n
n
è una radice n-esima di z. È chiaro che al variare di k in Z la precedente
equazione non fornisce numeri tutti distinti, anzi due diversi valori k1 e k2
di k forniscono lo stesso numero complesso se e solo se
θ + 2k1π
n
≡
θ + 2k2π
n
(mod 2π)
cioè se k1 −k2 ≡ 0 (mod n). Per avere tutte le radici n-sime di z, e ciascuna
una sola volta, basta dunque attribuire a k i valori 0, 1, . . . , n − 1. La
dimostrazione è completata. ✷
Se rappresentiamo le radici n-esime di z nel piano complesso si ottengono
i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di
centro nell’origine degli assi e raggio n√ ρ. Ad esempio, le radici quinte del
numero −32 sono rappresentate nei vertici del pentagono regolare nella
figura 10.2. Nel caso particolare in cui z = 1 si ottengono le radice n-esime
w
5
w
4
w 1
Y
w
3
w
2
Figura 10.2: Radici del numero −32
dell’unità:
θ + 2kπ θ + 2kπ
εk,n = cos
+ i sin
n
n
X
con k = 0, 1, . . . , n − 1

118 CAPITOLO 10. I NUMERI COMPLESSI
10.6 Rappresentazione esponenziale dei numeri complessi
Questo tipo di rappresentazione è una delle più importanti dal punto di vista
applicativo, in essa si sfruttano le proprietà della funzione esponenziale per
rendere più facili i calcoli con i numeri complessi. La rappresentazione è
basata sulla seguente definizione, che si ricava dallo sviluppo in serie delle
funzioni seno e coseno,
e iθ = cos θ + i sin θ
Generalizzando si definisce:
e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y)
Queste idee e notazioni sono state introdotte da Eulero 3 e si possono ricordare
altre due sue formule:
sin x = eix − e −ix
2i
cos x = eix + e −ix
2
che introducono un legame tra le funzioni trigonometriche e quelle esponenziali
del campo complesso. Dato un numero complesso z = ρe iθ , possiamo
w=z e
i α
Y
O
Figura 10.3: Rotazione del vettore
dare un’interpretazione geometrica al prodotto ze iα . Infatti si ottiene
α
ze iα = ρe iθ e iα = ρe i(θ+α)
La figura 10.3 suggerisce che tale moltiplicazione determina una rotazione
del vettore OA, il quale rappresenta il numero z, di un angolo α in senso
antiorario (se α > 0).
3 Leonhard Euler (1707 − 1783)
θ
A
z
X

10.6. RAPPRESENTAZIONE ESPONENZIALE DEI NUMERI COMPLESSI119
Possiamo quindi pensare al numero complesso e iα come un operatore che determina
un rotazione attorno all’origine di un angolo α. Con questa interpretazione
dei numeri complessi è facile allora spiegare l’equazione e iπ +1 = 0.
Il numero complesso e iπ = −1 perchè rappresenta la rotazione del vettore 1
di un angolo π. Si ottiene dumque il numero complesso −1.

120 CAPITOLO 10. I NUMERI COMPLESSI

Capitolo 11
Stabilità delle soluzioni
Le proposizioni della matematica,
nella misura in cui si riferiscono
alla realtà non sono sicure, nella
misura in cui sono sicure non si
riferiscono alla realtà
Albert Einstein
È stato descritto informalmente in precedenza che un punto di equilibrio
è la soluzione di un’equazione differenziale che non cambia nel tempo. Non
abbiamo però spiegato l’importanza dello studio dell’intorno dei punti di
equilibrio delle equazioni differenziali.
Vogliamo mostrare come a volte sia possibile ottenere informazioni molto
precise sulle soluzioni di un’equazione differenziale ordinaria, senza bisogno
di risolverla esplicitamente. La cosa è molto interessante perchè ci sono
moltissime equazioni differenziali per cui è impossibile esplicitare la soluzione.
È anche vero che esistono metodi numerici che permettono di approssimare
queste soluzioni al calcolatore, ma spesso non è facile estrarre
valutazioni qualitative sull’evoluzione temporale del fenomeno.
11.1 Definizioni
Prima di entrare in dettaglio sulle condizioni di stabilità, diamo alcune
definizioni in merito.
Definizione 11.1 Un punto di equilibrio y è detto asintoticamente stabile se,
lim
n→+∞ yn − y = 0
121

122 CAPITOLO 11. STABILITÀ DELLE SOLUZIONI
Definizione 11.2 Un punto di equilibrio y si dice stabile se,
|yn − y| < k
Definizione 11.3 Un punto di equilibrio y è instabile se non è stabile.
11.2 Stabilità delle soluzioni delle equazioni alle differenze
Nei capitoli precedenti abbiamo ricavato che la soluzione dell’equazione alle
differenze a coefficienti costanti ha la forma
s
yn =
(11.1)
i=1
αiui(n)z n i
Quindi, supposto che il punto di equilibrio si trovi nell’origine degli assi
cartesiani, risulta:
• se |zi| < 1 per ogni i = 1, . . . , s allora la sommatoria a secondo
membro è convergente, quindi si ha l’asintotica stabilità
• se esiste almeno un j tale che |zj| > 1 allora si ha subito l’instabilità
• supponiamo che esista i tale che |zi| = 1. Allora l’equazione 11.1 può
essere scritta nella seguente forma:
yn = αiui(n) +
s
( j=1
j=i)
αjuj(n)z n j
È evidente che la convergenza di questa soluzione dipende dalla molteplicità
del polinomio ui(n). Se essa è maggiore di 1 si ha instabilità,
altrimenti si ha stabilità.
Vediamo adesso di generalizzare le considerazioni fatte estendendo il nostro
dominio al piano complesso C. In generale zi = (Re zi)+i(Im zi), ma se per
semplicità indichiamo con λi la parte reale e µi la parte immaginaria della
soluzione i-esima, possiamo vedere l’equazione di prima nella forma
y(t) =
Segue che otteniamo:
Quindi:
s
ui(t)e (λi+iµi)t
=
i=1
|y(t)| ≤
s
i=1
s
|ui(t)||e λit
|
i=1
ui(t)e λi(t) e iµi(t)

11.3. ZONE DI STABILITÀ 123
• se λi < 0 allora otteniamo l’ asintotica stabilità poichè la quantità al
secondo membro tende a 0.
• se per qualche valore di i abbiamo λi > 0 allora risulta l’instabilità.
• se ∃ j tale che λj = 0 allora e λit = 1 e quindi dobbiamo controllare
la molteplicità di uj. Se m > 1 otteniamo instabilità altrimenti, per
m = 1 otteniamo stabilità poichè la molteplicità singola limita i valori
degli ui.
11.3 Zone di stabilità
Per fare un parallelismo fra la situazione nel continuo e quella nel discreto
vediamo che nel primo caso la zona con l’assoluta stabilità è situata nel semipiano
negativo degli assi cartesiani (ovviamente sempre nell’ipotesi che
il punto di equilibrio sia posto nell’origine); per i valori che cadono esattamente
sull’asse si osserva la molteplicità e per i valori nel semipiano positivo
abbiamo instabilità. Nel discreto la situazione è analoga, ma viene conside-
Im z
Re z
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
Figura 11.1: Regioni di stabilità (caso continuo e caso discreto)
rata la circonferenza goniometrica: le radici che cadono all’interno del cerchio
portano all’asintotica stabilità; per quelle che cadono esattamente sulla
circonferenza dobbiamo vederne la molteplicità, mentre per i valori esterni
abbiamo instabilità.
Fino ad adesso abbiamo sempre supposto che il punto di equilibrio si
trovi sull’origine (soprattutto per facilitare i calcoli), ma se così non fosse?
Con un opportuna traslazione degli assi di riferimento cartesiano possiamo
riportare la situazione nel caso studiato. L’ esempio seguente illustra come
risolvere questo tipo di problema.
Esempio: Consideriamo l’equazione
yn+2 − yn+1 + 0.25yn = 2
Im z
1
Re z

124 CAPITOLO 11. STABILITÀ DELLE SOLUZIONI
Essa è un’equazione alle differenze a coefficienti costanti non omogenea;
per determinare il punto di equilibrio si risolve
¯y − ¯y + 0.25¯y = 2 ⇒
2
= ¯y = 8
0.25
Come abbiamo appena visto il punto di equilibrio non è nell’origine, ma
tramite una traslazione possiamo considerarlo come tale:
Sostituendo la variabile ottengo:
(yn+2 − ¯y) − (yn+1 − ¯y) + 0.25(yn − ¯y) = 0
xn+2 − xn+1 + 0.25xn = 0
e abbiamo così ottenuto il punto di equilibrio nell’origine (quello che cercavamo).
Adesso studiamo la condizione nell’origine e vediamo se effettivamente
è equivalente a quella nella situazione originale.
z 2 − z + 0.25 = 0 z1,2 = 1
2
Dalle considerazioni fatte in precedenza possiamo dire che abbiamo asintotica
stabilità (siamo dentro al cerchio di raggio 1). Posso infatti esimermi
dal calcolo della soluzione effettiva (spesso comporta calcoli molto laboriosi)
poichè conosco a priori il suo comportamento. In questo caso però, per
verificare l’uguaglianza con la situazione non traslata, esplicitiamo i calcoli:
xn =
1
2
n
(c0 + c1n)
se n tende a infinito xn tende a 0, come ci aspettavamo. Ma data la sostituzione
di prima, per tornare alla yn che cercavamo:
n 1
yn = 8 + (c0 + c1n)
2
che per n che tende a infinito tende a 8, come volevasi dimostrare.
11.4 Polinomi di Schur e di Von Neumann
Definizione 11.4 Un polinomio si dice di Schur se tutte le sue radici sono in
modulo minori di 1.
S = {p(z) : ∀i |zi| < 1}
Definizione 11.5 Un polinomio si dice di Von Neumann se le sue radici sono
in modulo minori o uguali di uno, e quelle tali che |zj| = 1 sono semplici.
N = {p(z) : |zi| ≤ 1, |zi| = 1 ⇒ zi semplice}

11.5. CRITERIO DI SCHUR E CRITERIO DI VON NEUMANN 125
Teorema 11.6 Un punto di equilibrio di un’equazione alle differenze lineari
a coefficienti costanti è asintoticamente stabile se e solo se il suo polinomio
caratteristico è di Schur.
Teorema 11.7 Un punto di equilibrio è stabile se e solo se il suo polinomio
caratteristico è di Von Neumann.
11.5 Criterio di Schur e criterio di Von Neumann
Il criterio di Schur permette di definire un algoritmo molto efficiente per stabilire
se le radici di un polinomio appartengono al cerchio unitario o se stanno
sulla circonferenza e sono semplici, in modo da decidere sulla stabilità
delle soluzioni delle equazioni alle differenze. Consideriamo il polinomio
con pi ∈ C. Poniamo
p(z) =
q(z) =
k
piz i
i=0
k
piz k−i
i=0
con pi complesso coniugato di pi. Poniamo inoltre
p (1) (z) = pkp(z) − p(0)q(z)
z
= q(0)p(z) − p(0)q(z)
z
Quest’ultimo è, evidentemente, un polinomio di grado k − 1. Allora:
Teorema 11.8 (Criterio di Schur) Il polinomio p(z) ∈ S se e solo se
|p0| < |pk| e p (1) (z) ∈ S
Ovviamente tale criterio può essere applicato a p (1) (z) e quindi dovrò studiare
le radici di p (2) (z), e così via, fino a ritrovarmi un polinomio di cui è
facile vedere le radici e quindi determinare se è di Schur.
Esempio: Consideriamo il polinomio caratteristico
Costruiamo q(z):
Quindi ricaviamoci p (1) (z):
p(z) = z 2 − z + 0.25 = 0
q(z) = 0.25z 2 − z + 1
p (1) (z) = z2 − z + 0.25 − 0.25(0.25z 2 − z + 1)
z
= 15 3
z −
16 4
Da cui z = 4
5 , quindi è di Schur. Analogamente al criterio di Schur possiamo
definire il criterio di Von Neumann.

126 CAPITOLO 11. STABILITÀ DELLE SOLUZIONI
Teorema 11.9 (Criterio di Von Neumann) Il polinomio p(z) ∈ N se e solo
se: |p0| < |pk|
p (1) (z) ∈ N
Esempio: Consideriamo il polinomio:
oppure
p(z) = z 2 − 1
p (1) (z) ≡ 0
p ′ (z) ∈ S
Ricaviamo da esso che q(z) = −z 2 + 1 e p (1) (z) = z 2 − 1 + (−z 2 + 1) ≡ 0,
quindi p ′ (z) = 2z che è di Schur, poichè ha un’unica radice uguale a 0.
Di seguito è riportata l’implementazione del criterio di Schur.
1 ¢¡¤£¦¥¨§©¨£ x=isschur(p)
Listing 11.1: Criterio di Schur
¡
¥
¡
2 % Verifica se un polinomio e’ di
3 % p vettore dei coefficienti
(p)−1;
4 grado= ¨£ ¤§
5 ©¨ (grado==1)
6 coeff= ¡ (p(1)/p(2));
7 © (coeff=1)
17 x=1;
18 ;
19 ¤ ¡
20 q= ¥ £¢¡ (p((grado+1):−1:1));
21 p1=(q(1)∗p)−(p(1)∗q);
22 x=isschur(p1(2:grado+1));
23 §¡¢£
24 ¨£¤
25 ¨£¤
¡

Capitolo 12
Metodi per l’approssimazione
delle equazioni differenziali
12.1 Introduzione
Consideriamo il problema di Cauchy
y ′ = f(t, y)
y(t0) = y0
In matematica esiste questa
astrazione che sono i numeri
reali: astrazione perchè essi
hanno precisione e informazione
infinita e perciò sono impossibili
da realizzare nella vita reale.
Infatti i numeri risultati di
misurazioni sono di necessità
finiti come lo sono i numeri
cosiddetti reali nel calcolatore.
Giuseppe Zito
(12.1)
Sappiamo, dall’Analisi Matematica, che se f è continua rispetto a t e lipschitziana
1 rispetto a y, allora per il teorema dello stesso Cauchy, il problema
ammette una soluzione ed essa è unica.
Nei capitoli precedenti abbiamo accennato al fatto che sono pochi i tipi di
equazioni differenziali di cui conosciamo la soluzione esplicita, inoltre molto
1 Ricordiamo che la funzione f(t, y) si dice lipschitziana se esiste L tale che |f(t, y1) −
f(t, y2)| < L|y1 − y2|. La quantità L prende il nome di costante di Lipschitz
127

128 CAPITOLO 12. METODI PER L’APPROSSIMAZIONE DELLE EQ. DIFF.
spesso non siamo interessati a conoscere quest’ultima, ma solo il comportamento
asintotico.
Nasce allora la necessità di trasformare i problemi differenziali in equazioni
alle differenze, in modo che esse possano essere “studiate” al calcolatore. Se
[t0, t0 + T ] è il dominio del problema 12.1, il “corrispondente” dominio di-
screto sarà un insieme di punti tn = t0 + nh, con n = 0, . . . , T , come mostra
h
la figura sottostante (h è ovviamente il passo dell’insieme J +
t0,h ).
Sia
t 0
Figura 12.1: Intervallo discreto
t 0 + T
Fh (yn, yn+1, . . . , yn+k, fn, fn+1, . . . , fn+k, ) = 0 (12.2)
con fn = f(tn, yn), l’equazione alle differenze di ordine k che approssima il
problema 12.1. Sostituendo le soluzioni nel discreto yn, yn+1, . . . , yn+k nell’equazione
alle differenze 12.2, con le soluzioni dell’equazione differenziale
y(tn), . . . , y(tn+k) il problema 2 diverrá:
Fh (y(tn), . . . , y(tn+k), f(yn, tn), . . . , f(yn+k, tn+k)) = 0 (12.3)
Il problema di Cauchy nel discreto necessita di k condizioni iniziali, ma
y
0
y(
t )
y
y(
t )
t t t t
0
0
1
1
1
y
2
y(
t )
2
2
y
4
y(
t )
Figura 12.2: Soluzione esatta e soluzione approssimata
da quello nel continuo conosciamo solo una di queste condizioni. Dobbiamo
ricavare le condizioni rimanenti per avere una buona approssimazione
2 Va precisato che sul calcolatore non risolveremo l’equazione alle differenze 12.2, ma
Fh (yn, yn+1, . . . , yn+k, fn, fn+1, . . . , fn+k, ) = εn
a causa dell’inevitabile errore di macchina. Tralasceremo per ora questo problema.
4
4
...

12.2. METODI LINEARI MULTISTEP 129
e questo si “traduce” nel far in modo che l’equazione così ottenuta soddisfi
le condizioni di consistenza e di convergenza. La figura 12.2 mostra chiaramente
quanto finora introdotto.
Condizione di consistenza
Un metodo si dice consistente se è soddisfatta
Fh (y(tn), . . . , y(tn+k), f(tn, yn), . . . , f(tn+k, yn+k) = τn(h) ≡ O(h p+1 )
dove p ≥ 1 è l’ordine del metodo multistep utilizzato. Con questa condizione
si richiede che i valori delle due funzioni siano vicini e non che queste
funzioni restituiscano lo stesso risultato.
Condizione di convergenza
Un metodo si dice convergente se
lim |y(tn) − yn| = 0
n→+∞
nh≤T
12.2 Metodi lineari multistep
Questo tipo di metodi definiscono Fh come segue
Fh =
k
αiyn+i − h
i=0
k
βifn+i = 0 (12.4)
Sostituiamo la soluzione dell’equazione differenziale nell’equazione precedente
per trovare le condizioni per la consistenza:
k
αiy(tn+i) − h
i=0
k
i=0
i=0
βiy ′ n+i = τn(h) (12.5)
Ricordando che tn+i = tn + ih e supponendo che f sia derivabile infinite
volte nell’intervallo considerato, otteniamo applicando Taylor:
y ′ (tn + ih) =
+∞
j=0
y (j+1) (tn) (ih)j
j!

130 CAPITOLO 12. METODI PER L’APPROSSIMAZIONE DELLE EQ. DIFF.
Che sostituito nella 12.5, restituisce 3
=
=
=
=
=
=
k
+∞
αi
i=0 j=0
k +∞
αi
i=0 j=0
k +∞
αi
i=0 j=0
+∞ y (j) (tn)hj j!
y (j) (tn) (ih)j
j!
− h
y (j) (tn) (ih)j
j! −
y (j) (tn) (ih)j
j! −
j=0
i=0
+∞ y (j) (tn)hj k
j!
j=0
i=0
+∞ y (j) (tn)hj j=1
+∞ y (j) (tn)hj j=1
j!
j!
k
αii j −
k
i=0
αii j −
k
+∞
βi y
i=0 j=0
(j+1) (tn) (ih)j
j!
+∞
βi y (j+1) (tn) ijhj+1 k
i=0
k
j=0
+∞
βi
i=0 s=1
+∞
y (s) (tn)h s
(s − 1)!
s=1
i=0
+∞ y (j) (tn)hj k
j=1
(j)!
j!
= (12.6)
= (12.7)
y (s) (ih)
(tn)
s
= (12.8)
i(s − 1)!
k
βii (s−1) = (12.9)
i=0
αii j − jβii (j−1)
+ y(tn)h 0
i j−1
k
(αii − jβi) + y(tn)h 0
Le condizioni necessarie affinché τn(h) sia almeno O(h 2 ) sono:
+∞ y (j) (tn)hj j=1
Definiamo
j!
i=0
y(tn)h 0
k
αi = 0 ⇒
i=0
i j−1
k
(αii − jβi) = 0 ⇒
ρ(z) =
i=0
k
αiz i
i=0
; σ(z) =
jβii (j−1) = (12.10)
k
i=0
k
αi =(12.11)
i=0
αi
k
αi = 0
i=0
k
(αii − βi) = 0
i=0
k
βiz i
In base a tale definizione e utilizzando l’operatore E possiamo scrivere
ρ(E)yn =
k
i=0
αiE i yn ≡
3 Riportiamo i passaggi relativi alle formule seguenti:
12.6 ⇒ 12.7 portando h dentro la seconda sommatoria
12.7 ⇒ 12.8 facendo la sostituzione s = j + 1
12.8 ⇒ 12.9 invertendo l’ordine delle sommatorie
12.9 ⇒ 12.10 facendo la sostituzione j = s
12.10 ⇒ 12.11 mettendo in evidenza la prima sommatoria
12.11 ⇒ 12.12 mettendo in evidenza i (j−1)
k
i=0
i=0
αiyn+i
(12.12)

12.2. METODI LINEARI MULTISTEP 131
σ(E)fn =
Quindi l’equazione 12.4 diventa
k
i=0
βiE i fn ≡
k
i=0
βifn+i
(12.13)
ρ(E)yn − hσ(E)fn = 0 (12.14)
Le condizioni necessarie per la consistenza per i polinomi ρ e σ sono:
ρ(1) ≡
ρ ′ (1) − σ(1) ≡
k
αi = 0 (12.15)
i=0
k
iαi −
i=0
k
βi = 0 (12.16)
Mettendo in 12.14 le soluzioni dell’equazione differenziale ottengo
i=0
ρ(E)y(tn) − hσ(E)f(tn, y(tn)) = τn
(12.17)
Posto en = y(tn) − yn e facendo la differenza fra 12.17 e 12.14 otteniamo
ρ(E)en − hσ(E) [f(tn, y(tn)) − fn]
Cnen
= τn
che esplicita l’equazione dell’errore nell’approssimazione dal continuo al
discreto. L’ espressione
ρ(E)en = τn + hσ(E)Cnen
(12.18)
rappresenta un’equazione alle differenze a coefficienti costanti. Determinare
il comportamento della 12.18 può essere fatto semplicemente solo
nei casi in cui f sia lineare, per cui ci limiteremo ad analizzare solo tale
eventualità 4 . Ora, se n → +∞ allora h → 0 per cui
ρ(E)en = 0
Quest’ultima è un’equazione alle differenze con punto di equilibrio nello 0,
quindi, affinché il metodo sia asintoticamente stabile è necessario che le soluzioni
siano tutte contenute nel cerchio di raggio 1. Sappiamo però che una
radice di ρ sta sulla circonferenza del cerchio e quindi non sono soddisfatti
i vincoli per l’asintotica stabilità. Dobbiamo trovare un’altra condizione
affinché il metodo multistep soddisfi la convergenza.
4 La stabilità di un metodo numerico dipende dalla forma dell’operatore numerico, che,
a sua volta, dipende anche dalla forma dell’equazione di partenza; perciò la stabilità di un
metodo è una quantità che dipende dall’equazione a cui il metodo si applica.

132 CAPITOLO 12. METODI PER L’APPROSSIMAZIONE DELLE EQ. DIFF.
Definizione 12.1 Un metodo è 0-stabile se ρ ∈ N.
Questa è la condizione che cercavamo, infatti:
Teorema 12.2 Un metodo è convergente se e solo se è consistente e 0-stabile.
Nella pratica, purtroppo, la 12.18 non è nulla, ma
ρ(E)en = τn − εn − hσ(E)fnen
la quale, per h → 0, non diventa zero (contrariamente a quanto potremmo
inizialmente pensare). Infatti, la quantità εn, che rappresenta l’errore di
approssimazione dovuto all’aritmetica finita del calcolatore, non è mai nulla,
anzi, potrebbe anche crescere al diminuire di h, come vedremo in seguito.
12.3 Famiglia dei procedimenti multistep
Descriviamo alcuni metodi multistep che hanno un ampio utilizzo nelle
applicazioni pratiche.
12.3.1 Metodo di Eulero esplicito
Questo metodo è detto anche metodo della tangente, poiché f(tn, yn) è il
coefficiente angolare della retta tangente alla soluzione in t = tn. È espresso
dalla seguente formula:
yn+1 − yn
h
che scriveremo più semplicemente
yn+1 − yn = hfn
Come è facile vedere dalla formula 12.4, abbiamo
α0 α1 β0 β1 ρ(z) σ(z)
−1 1 1 0 z − 1 1
= f(tn, yn) (12.19)
e k = 1. Sono soddisfatte le condizioni per la consistenza, infatti:
ρ(1) = 1 − 1 = 0
ρ ′ (1) = 1 = σ(1)
Per determinare il valore dell’ordine di convergenza dei metodi dobbiamo
determinare il valore massimo della s per cui la formula
k
(j s αj − sj s−1 βj) = 0 s = 0, . . ., 2k
j=0

12.3. FAMIGLIA DEI PROCEDIMENTI MULTISTEP 133
è verificata. Vediamo che in questo caso l’ordine è pari a 1 poichè se s = 2
l’equazione diventa:
0 2 α0 − 2 × 0 1 β0 + 1α1 − 2 × 1 1 β1 ? = 0
da cui 1 − 0 ? = 0 che è un’asserzione sempre falsa.
y
φ (t )
2
φ (t )
1
y
0
e
1
t 0
e
2
y
1
t 1
y= φ (t)
y
2
Figura 12.3: Metodo di Eulero esplicito
12.3.2 Metodo di Eulero implicito
Esso è espresso dalla formula
È facile poi ricavare
t 2
yn+1 − yn = hfn+1
α0 α1 β0 β1 ρ(z) σ(z)
−1 1 0 1 z − 1 z
t
e
2,cumul
Anche questo metodo soddisfa le condizioni di consistenza, infatti:
ρ(1) = 1 − 1 = 0
ρ ′ (1) = 1 = σ(1)
(12.20)
È banale poi verificare che il metodo è del primo ordine. Notiamo che nell’espressione
12.20 compare la derivata di valori ancora incogniti della variabile
indipendente. I metodi di questo tipo vengono detti impliciti o backward.
La distinzione del tipo di metodo si ricava facilmente osservando il valore
del termine βk:
• se βk = 0 allora il metodo è esplicito o forward,
• se βk = 0 allora il metodo è implicito o backward
In generale i metodi impliciti richiedono più calcoli degli espliciti, ma offrono
generalmente maggiore stabilità.

134 CAPITOLO 12. METODI PER L’APPROSSIMAZIONE DELLE EQ. DIFF.
12.3.3 Metodo dei trapezi
La definizione formale è la seguente:
In questo caso risulta:
yn+1 − yn = h
2 (fn + fn+1)
α0 α1 β0 β1 ρ(z) σ(z)
−1 1 1
2
1
2
z − 1
(1+z)
2
È un metodo ad un passo (k = 1), verifica le condizioni di consistenza:
ρ(1) = 1 − 1 = 0
= σ(1)
ρ ′ (1) = 1 = 1+1
2
Inoltre presenta convergenza del secondo ordine, poichè per s = 3 risulta
0 3 α0 − 3 × 0 2 β0 + 1 3 α1 − 3 × 1 2 β1 ? = 0
da cui 1 − 3
2 = 0. Per il metodo dei trapezi vale quindi τn = O(h 3 ).
12.3.4 Metodo Mid-point
È definito dalla seguente formula:
E risulta:
yn+2 − yn = 2hfn+1
α0 α1 α2 β0 β1 β2 ρ(z) σ(z)
−1 0 1 0 2 0 z 2 − 1 2z
È un metodo a due passi (k = 2), verifica le condizioni di consistenza:
ρ(1) = 1 − 1 = 0
ρ ′ (1) = 2 = σ(1)
L’ ordine di convergenza del metodo è 2, infatti per s = 3:
da cui −6 + 8 = 0.
1α1 − 3β1 + 2 3 α2 − 3 × 2 2 β2 ? = 0

12.3. FAMIGLIA DEI PROCEDIMENTI MULTISTEP 135
Considerazioni sull’errore del metodo di Eulero esplicito
Prendiamo y ′ = λy con λ ∈ C. Allora
yn+1 − yn = hλyn + ε (12.21)
y(tn+1) + y(tn) = hλy(tn) + τn (12.22)
Facendo la differenza fra 12.22 e 12.21 otteniamo
en+1 − en = hλen − ε + τn ⇒ en+1 − (1 + hλ)en = −ε + τn
Che é un’equazione alle differenze lineare, la cui soluzione è
en = (1 + hλ) n n−1
e0 +
(1 + hλ) n−j−1 (−ε + τn)
j=0
Dove e0 rappresenta l’errore iniziale, che supponiamo nullo. Quindi, supposto
1 + hλ > 0,
n−1
|en| ≤ |1 + hλ| n−j−1 |ε + max
n τn|
j=0
Posto τ = maxn τn e s = n − j − 1 la disequazione diventa
n−1
|en| ≤ (ε + τ) (1 + hλ) s
Ma la sommatoria al secondo membro, altro non è che una serie geometrica
di ragione 1 + hλ, quindi
|en| ≤ (ε + τ)
= (ε + h 2 1 − (1 + hλ)n
)
−hλ
12.3.5 Applicazioni pratiche
s=0
1 − (1 + hλ)n
−hλ
1 − (1 + hλ)n 2 1 − (1 + hλ)n
≤ ε + h
−hλ
−hλ
Abbiamo spiegato che con l’applicazione dei metodi finora descritti, l’efficienza
dell’approssimazione non dipende solo dal passo di discretizzazione
h, ma anche dalla derivata della funzione che andiamo a studiare. Nell’ambito
di questa trattazione analizzeremo solo il caso in cui la derivata è
un’equazione del tipo y ′ = λy. Tale semplificazione non vuol far perdere
la generalitá della presente trattazione, poiché sono “molti” i casi in cui la
derivata é lineare.

136 CAPITOLO 12. METODI PER L’APPROSSIMAZIONE DELLE EQ. DIFF.
In fisica, ingegneria, meccanica,. . . l’applicazione di questi metodi è implememtata
con h fisso e si cerca di risolvere la seguente equazione per
determinare l’errore possibile:
ρ(E)en − hσ(E)[f(tn, y(tn)) − fn] = τn(+εn)
Per risolvere questo tipo di problemi vi sono due approcci: ingegneristico
e matematico. Il primo approccio si propone di studiare il comportamento
nei casi più diffusi (casi dissipativi), mentre invece l’altro approccio usa un
teorema di stabilità in prima approssimazione. In ingegneria, se il modello
è dissipativo basta lo studio della parte lineare (più semplice da studiare)
per conoscerne il comportamento. Sia
f(y) = f(y) ± f ′ (y)(y − y) + O((y − y) 2 )
con f(y) = 0, lo sviluppo di Taylor della funzione che descrive il comportamento
di un generico sistema. Il segno dell’equazione sopra è stabilito
dal tipo di sistema in cui stiamo lavorando: se è dissipativo si considererà il
segno meno, il contrario altrimenti.
Linearizzare una funzione significa considerare solo il termine f ′ (y)(y − y).
Questa tecnica è usata per esempio nello studio dell’elasticità dei materiali
e in quell’ambito è denominata legge di Hooke: se un materiale è sottoposto
a pressione, questo si deforma linearmente con la forza, poi inizia una
fase plastica e la deformazione è permanente, infine vi è la fase di rottura5
. Le stesse considerazioni sono fatte nella prima legge di Ohm: si assume
che la differenza di potenziale è proporzionale alla corrente, ma sappiamo
che questo vale solo fino ad un certo carico. Quindi considereremo sempre
y ′ = f ′ (y)
λ
(y − y) e di seguito otteniamo
ρ(E)en − λhσ(E)en = τn(+εn)
Il nostro obbiettivo è mimimizzare l’errore con h fisso e ottenere il punto di
equilibrio che mantenga anche nel discreto l’asintotica stabilità.
Consideriamo l’equazione (senza considerare per ora la perturbazione)
ρ(E)yn − hλ
q
σ(E)yn = 0
che assomiglia di più alle equazioni considerate fino ad ora e vediamo che
il polinomio caratteristico risulta essere (z, q) = ρ(z) − qσ(z); questo deve
essere di Schur affinchè conservi l’asintotica stabilità, ma per quali valori di
q lo è? La regione di assoluta stabilità è espressa dalla seguente formula:
D = q ∈ C/
(z, q) ∈ S
5 Per legge, le costruzioni devono essere progettate fissando il limite di elasticità ad 1
6 del
punto effettivo e quindi risulta chiaro che non è utile studiare la situazione per la parte non
lineare.

12.3. FAMIGLIA DEI PROCEDIMENTI MULTISTEP 137
Se questa regione contiene il semipiano negativo siamo nelle condizioni del
criterio di Schur.
Eulero Esplicito
Consideriamo inizialmente questo metodo: il polinomio caratteristico risulta
= z −1−q ed è di Schur se z = 1+q è contenuto nel cerchio complesso
di raggio 1, cioè |1 + q| < 1:
1 + q < 1
1 + q > −1
q < 0
q > −2
Ma siccome q è complesso può essere espresso secondo la formula q = X +
iY , con X = Req e Y = Imq, allora
|1 + q| 2 = |1 + X + iY | 2 = (1 + X) 2 + Y 2 < 1
Solo se q soddisfa il vincolo di sopra, la soluzione dell’equazione alle differenze
si comporta come l’equazione differenziale.
Esempio 12.3 Consideriamo:
Se prendiamo
quindi
y ′ = −10 6 y h = 10 −2
yn+1 = yn + h(−10 6 )yn
yn+1 = (1 − 10 4 )yn
Non è una soluzione accettabile poichè non è verificata la −2 < −h106 < 0
con il valore di h proposto. Se considero q appartenente al cerchio centrato
in (−1, 0) di raggio 1, per esempio ponendo h = − 10−6
2 , si ottiene
yn+1 = 1 − 1
2 106 ∗ 10 −6
yn
e quindi il metodo risulta asintoticamente stabile. La regione di asintotica
stabilità di questo metodo è riportata nella figura 12.4. L’ implementazione
del metodo è riportata si seguito.
1 ¡¤£¦¥§©¢¨£ Y=euesp(a,b,n,lambda,y0)
2 # Metodo di Eulero esplicito
3 # a,b intervallo
4 # n numero punti
Listing 12.1: Eulero esplicito

138 CAPITOLO 12. METODI PER L’APPROSSIMAZIONE DELLE EQ. DIFF.
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
−1
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
Figura 12.4: Regione di assoluta stabilitá per Eulero Esplicito
5 # lambda coefficiente di linearita’
6 # y0 condizione iniziale
7 x= © £¡ ¥¢ (a,b,n);
8 q=lambda∗(b−a)/n;
9 re= ¤¢¤ (q);
10 im= © (q);
11 ©¨ ((1+re)^2+im^2)

12.3. FAMIGLIA DEI PROCEDIMENTI MULTISTEP 139
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
Soluzione reale
Soluzione approssimata
0
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.0012
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
Figura 12.5: Eulero esplicito - Asintotica stabilità
Errore commesso
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Figura 12.6: Eulero esplicito - Errore asintotica stabilità

140 CAPITOLO 12. METODI PER L’APPROSSIMAZIONE DELLE EQ. DIFF.
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
Soluzione reale
Soluzione approssimata
-0.05
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.0016
0.0014
0.0012
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
Figura 12.7: Eulero esplicito - Stabilità
Errore commesso
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Figura 12.8: Eulero esplicito - Errore stabilità

12.3. FAMIGLIA DEI PROCEDIMENTI MULTISTEP 141
5000
0
-5000
-10000
-15000
-20000
Soluzione reale
Soluzione approssimata
-25000
-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
Figura 12.9: Eulero esplicito - Instabilità
Errore commesso
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Figura 12.10: Eulero esplicito - Errore instabilità

142 CAPITOLO 12. METODI PER L’APPROSSIMAZIONE DELLE EQ. DIFF.
Il polinomio caratteristico è (1 − hλ)z − 1 = 0 e deve essere di Schur:
z = 1
1 − q
1
1
− q < 1 q = X + iY
1
|1 − X − iY | 2 < 1 (1 − X − iY )2 > 1 (1 − X) 2 + Y 2 > 1
In questo caso la regione di assoluta stabilità è costituita da tutto il piano
esclusa la circonferenza goniometrica complessa. L’ implementazione del
Y
Figura 12.11: Regione di assoluta stabilitá per Eulero Implicito
metodo è riportata di seguito.
Listing 12.2: Eulero implicito
1 ¢¡¤£¦¥¨§©¨£ Y=euimp(a,b,n,lambda,y0)
2 # Metodo di Eulero implicito
3 # a,b intervallo
4 # n numero punti
5 # lambda coefficiente di linearita’
6 # y0 condizione iniziale
7 x= © £¡ ¥¢ (a,b,n);
8 q=lambda∗(b−a)/n;
9 re= ¤¢¤ (q);
10 im= © (q);
11 ©¨ ((1−re)^2+im^2)>1
12 ©¡ (’q appartiene alla regione di stabilita’’. ’);
13 ¤ ¡
14 ©¡ (’q non appartiene alla regione di stabilita’’. ’);
15 £©
16 Y= ¢¡ (1,n);
17 Yr= ¢¡ (1,n);
18 Y(1)=y0;
19 Yr(1)=Y(1);
1
X

12.3. FAMIGLIA DEI PROCEDIMENTI MULTISTEP 143
20 j=2:n
21 Y(j)=Y(j−1)/(1−q);
22 Yr(j)=y0∗( (lambda∗x(j)));
23 endfor;
24 ©¡ ¢¡¤ (0);
25 ¨§ (¤¢¤ (Yr), © ¡ (Yr),’b;Soluzione reale;’,
26 ¤¢¤ (Y), © (Y),’r;Soluzione approssimata;’);
27 ©¡ ¢¡¤ (1);
28 e= ¨¤¡ (Yr−Y);
29 ¨§ ([1:n],e,’g;Errore commesso;’);
30 ¨£¤ ¢¡¤£ ¥§©¨£
I grafici seguenti mostrano le approssimazioni e l’errore commesso (figure
12.12, 12.13, 12.14 e 12.15).
Trapezi
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
Soluzione reale
Soluzione approssimata
-0.05
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 12.12: Eulero implicito - Asintotica stabilità
yn+1 − yn = hλ
2 (yn + yn+1)
(12.23)
Il procedimento è identico a quello dei metodi precedenti e quindi omettiamo
le spiegazioni, ma esplicitiamo solo i calcoli:
1 − q
z − 1 +
2
q
q
1 + 2
= 0 z = q
2
1 − 2

144 CAPITOLO 12. METODI PER L’APPROSSIMAZIONE DELLE EQ. DIFF.
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
Errore commesso
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Figura 12.13: Eulero implicito - Errore asintotica stabilità
8
7
6
5
4
3
2
1
Soluzione reale
Soluzione approssimata
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Figura 12.14: Eulero implicito - Instabilità

12.3. FAMIGLIA DEI PROCEDIMENTI MULTISTEP 145
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Errore commesso
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Figura 12.15: Eulero implicito - Errore instabilità
q
|1 + 2 | 2
q
|1 − 2 | 2 < 1
2
X + iY
X + iY
1 + < 1 −
2
2
1 + X2
4
2
1 + q
2
+ X < 1 + X2
4
2
< 1 − q
2
2
1 + X
2 +
2
Y 2
4 <
1 − X
2 +
2
Y 2
4
− X X < 0
Tutto il semipiano negativo costituisce la regione interessata, infatti Req < 0
per tutti i punti di questa regione. Segue l’implementazione del metodo.
Im z
Re z
Figura 12.16: Regione di assoluta stabilitá per Trapezi

146 CAPITOLO 12. METODI PER L’APPROSSIMAZIONE DELLE EQ. DIFF.
Listing 12.3: Metodo dei trapezi
1 ¢¡¤£¦¥¨§©¨£ Y=trapezi(a,b,n,lambda,y0)
2 # Metodo dei Trapezi
3 # a,b intervallo
4 # n numero punti
5 # lambda coefficiente di linearita’
6 # y0 condizione iniziale
7 x= © £¡ ¥¢ (a,b,n);
8 q=lambda∗(b−a)/n;
9 re= ¤¢¤ (q);
10 im= © (q);
11 ©¨ (re

12.3. FAMIGLIA DEI PROCEDIMENTI MULTISTEP 147
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
-0.3
Soluzione reale
Soluzione approssimata
-0.35
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 12.17: Metodo dei trapezi - Asintotica stabilità
0.0006
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
Errore commesso
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Figura 12.18: Metodo dei trapezi - Errore asintotica stabilità

148 CAPITOLO 12. METODI PER L’APPROSSIMAZIONE DELLE EQ. DIFF.
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
Soluzione reale
Soluzione approssimata
-160
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
12
10
8
6
4
2
Figura 12.19: Metodo dei trapezi - Instabilità
Errore commesso
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Figura 12.20: Metodo dei trapezi - Errore instabilità

12.3. FAMIGLIA DEI PROCEDIMENTI MULTISTEP 149
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
Soluzione reale
Soluzione approssimata
-1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
Figura 12.21: Metodo dei trapezi - Stabilità
Errore commesso
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Figura 12.22: Metodo dei trapezi - Errore stabilità

150 CAPITOLO 12. METODI PER L’APPROSSIMAZIONE DELLE EQ. DIFF.
e
p (1) (z) =
q(0)p(z) − p(0)q(z)
z
= z2 − 2qz − 1 − z 2 − 2qz + 1
z
= −2(q + q)
Segue che, affinché p (1) (z) = 0 deve risultare Req = 0 ed abbiamo soddisfatto
la prima condizione del criterio.
Calcoliamo allora:
p ′ (z) = 2z − 2q
Da cui ricaviamo che la seconda condizione per la stabilità risulta |q| < 1 e
questo vale per q ∈ (−i, i).
L’ implementazione ed i grafici relativi al metodo sono riportati di seguito.
Im z
+ i
− i
Re z
Figura 12.23: Regione di assoluta stabilitá per Mid-Point
Listing 12.4: Metodo Mid-Point
1 ¢¡¤£¦¥¨§©¨£ Y=midpoint(a,b,n,lambda,y0)
2 # Metodo dei Mid−Point
3 # a,b intervallo
4 # n numero punti
5 # lambda coefficiente di linearita’
6 # y0 condizione iniziale
7 x= © £¡ ¥¢ (a,b,n);
8 q=lambda∗(b−a)/n;
9 re= ¤¢¤ (q);
10 im= © (q);
11 ©¨ ((re==0) & ( ¨¡ (im)

12.3. FAMIGLIA DEI PROCEDIMENTI MULTISTEP 151
19 Y(2)=Y(1)∗( (lambda∗x(2)));
20 Yr(1)=Y(1);
21 Yr(2)=Y(2);
22 j=3:n
23 Y(j)=2∗q∗Y(j−1)+Y(j−2);
24 Yr(j)=y0∗( (lambda∗x(j)));
25 endfor
26 ©¡ ¢¡¤ (0);
27 ¨§ (¤¢¤ (Y), © (Y),’r;Soluzione reale;’,
28 ¤¢¤ (Yr), © ¡ (Yr),’b;Soluzione approssimata;’);
29 ©¡ ¢¡¤ (1);
30 e= ¨¤¡ (Yr−Y);
31 ¨§ ([1:n],e,’g;Errore commesso;’);
32 ¨£¤ ¢¡¤£ ¥§©¨£
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Soluzione reale
Soluzione approssimata
0
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
Figura 12.24: Metodo Mid-Point - Stabilità

152 CAPITOLO 12. METODI PER L’APPROSSIMAZIONE DELLE EQ. DIFF.
0.002
0.0018
0.0016
0.0014
0.0012
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
1e+10
-1e+10
-2e+10
-3e+10
-4e+10
-5e+10
-6e+10
Errore commesso
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0
Figura 12.25: Metodo Mid-Point - Errore stabilità
Soluzione reale
Soluzione approssimata
-7e+10
-5e+09 0 5e+09 1e+10 1.5e+10 2e+10 2.5e+10
Figura 12.26: Metodo Mid-Point - Instabilità

12.3. FAMIGLIA DEI PROCEDIMENTI MULTISTEP 153
4.5e+09
4e+09
3.5e+09
3e+09
2.5e+09
2e+09
1.5e+09
1e+09
5e+08
Errore commesso
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Figura 12.27: Metodo Mid-Point - Errore instabilità

154 CAPITOLO 12. METODI PER L’APPROSSIMAZIONE DELLE EQ. DIFF.

Capitolo 13
Teoria delle matrici
Io posso condurti fino alla soglia,
ma la porta la devi varcare da
solo
Morpheus a Neo, Matrix
Abbiamo considerato finora i problemi differenziali del primo ordine del
tipo:
y ′
y(t0)
=
=
f(t, y)
y0
(13.1)
Vogliamo ora studiare i sistemi di equazioni differenziali, cioè risolvere
y ′ = A y
y(t0) = y 0
con A matrice quadrata di tipo m × m e y 0 ∈ R m .
13.1 Definizioni
Sia
P(A) =
k
piA i
i=0
con pi ∈ R
(13.2)
Tale assunzione è l’analoga di p(z) = k
i=0 piz i .
NOTA: Sappiamo che se z = 0 allora z i = 0, ma, per come è definito il
prodotto tra matrici, se A = 0 non è detto che A i = 0.
Ricordiamo la definizione di autovalore
Aui = zui
155

156 CAPITOLO 13. TEORIA DELLE MATRICI
Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico P(z) = det(A−zI).
Per una trattazione più dettagliata dell’argomento si veda l’appendice A.
Indicheremo d’ora in poi le radici del polinomio con
e le relative molteplicità con
ed ovviamente risulta
z1, z2, . . . , zs
m1, m2, . . . , ms
m =
s
j=1
Teorema 13.1 (Cayley-Hamilton) Se P(z) = det(A − zI) allora P(A) = 0.
Esempio 13.2 Per semplicità consideriamo A = I. Allora
⎛
⎞
1 − z
⎜
P(z) = det(A − zI) = ⎝
. ..
⎟
⎠ = (1 − z)
1 − z
m
mj
Ora, ponendo z = A si ha banalmente (I − I) m = 0.
Teorema 13.3 Sia ψ(z) il polinomio monico di grado minimo m ≤ m che si
annulla in A. Ogni radice di ψ(z) è radice di P(z) e viceversa.
DIMOSTRAZIONE: (−→) Dividiamo P(z) per ψ(z), risulterà
Sostituiamo A al posto di z:
P(z) = q(z)ψ(z) + r(z)
0 ≡ P(A) = q(A)ψ(A) + r(A)
ma r(A) è il resto, quindi gr(r(A)) ≤ gr(ψ(A)), ma ψ(z) è il polinomio di
grado minimo e quindi r(A) ≡ 0. Da cui, in generale
P(z) ≡ q(z)ψ(z)
Sia ora λ radice del polinomio, cioè P(λ) = 0; segue che Au = λu dove u
è l’autovettore corrispondente all’autovalore λ. Vale anche A 2 u = λ 2 u ed in
generale
A v u = λ v u
Infine
αiA i
u =
ψ(A)
αiλ i
u
ψ(λ)

13.1. DEFINIZIONI 157
cioè ψ(λ) = 0.
(←−) Sia h(z) un polinomio di grado maggiore o uguale a m. Dividendolo
per ψ(z) otteniamo
h(z) = q(z)ψ(z) + r(z)
e analogamente a prima otteniamo h(A) = r(A). Quindi basta considerare
un polinomio di grado minore o uguale a m per ottenere tutto quello che si
otterrebbe con le matrici superiori. ✷
Le funzioni di matrici che indicano rispettivamente il polinomio caratteristico
e una sua scomposizione sono P(A) e Ψ(A).
P(z) =
P(A) =
s
(z − zi) mi Ψ(z) =
i=1
s
(A − ziI) mi Ψ(A) =
i=1
s
(z − zi) mi
i=1
s
(A − ziI) mi
Definiamo i polinomi h, g e d con le seguenti proprietà: h(A) = 0, g(A) = 0
e d(z) = h(z) − g(z), inoltre d(z) divisibile per Ψ(z). Segue che
d(z) = q(z)Ψ(z) = q(z)
i=1
s
(z − zi) mi
cioè si annulla negli autovalori di A e se mi > 1 si annulla anche nelle
derivate.
Teorema 13.4 Condizione neccessaria e sufficiente affinchè due polinomi rappresentino
la stessa matrice è che h e g assumino gli stessi valori sullo spettro 1
di A.
Corollario 13.5 Presa una qualunque f(z), definita sullo spettro di A insieme
alle sue derivate, possiamo considerarla nel polinomio minimale e non
necessariamente in quello generale.
DIMOSTRAZIONE: Definiamo la funzione di matrice f tramite il polinomio
interpolante r(z), cioè tale che f(A) = r(A):
⎧
r(z) =
⎪⎨
⎪⎩
Esso può essere scritto nella forma
r(z) =
i=1
f(z1), . . . , f(zs)
f ′ (z1), . . . , f ′ (zs)
.
f (mk−1) (z1), . . . , f (mk−1) (zs)
s mk
f (i−1) (zk)Φk i(z)
k=1 i=1
1 Ricordiamo che lo spettro di una matrice è l’insieme dei suoi autovalori.

158 CAPITOLO 13. TEORIA DELLE MATRICI
dove
Φ (r−1)
ki (zj) = δkjδri
con j, k = 1, 2, . . . , s e i, r = 1, 2, . . . , mk. Se consideriamo mk = 1 allora
possiamo scrivere r(z) attraverso la base di Lagrange, cioè
j=k (z − zj)
Φk 1(z) =
j=k (zk − zj) =
0 se j = k
1 se j = k
In questo modo è come se volessimo interpolare solo i valori della funzione,
allora i calcoli si semplificano in:
r(z) =
s
k=1
f(zk)Φk 1(z) dove Φk 1(zi) = δk i
NOTE: Ricordiamo che la funzione δk i, detta δ di Kronecker, è così definita:
1
δk i =
0
se
se
k = i
k = i
Tornando alla funzione di matrice iniziale, riscriviamo le Φ attraverso le
matrici fondamentali Zk i. Il polinomio matriciale sarà quindi definito da
r(A) =
s mk
f (i−1) (zk)Φk i(A)
k=1 i=1
e Φk i(A) = Zk i sono dette matrici costituenti di A. Queste matrici possono
essere calcolate anche senza ricorrere al polinomio interpolante, sono
polinomi di matrice.
r(A) =
s mk
k=1 i=1
f i−1 (zk)Zk i
(13.3)
Esempio 13.6 Mostriamo con un esempio il calcolo di due funzioni di matrice
standard: A 100 ed e A .
Presa la matrice A, così definita:
A =
Cerchiamo gli autovalori di A e quindi
6 −1
3 2
P(z) = det(A − zI) = det
6 − z −1
3 2 − z
=
= (6 − z)(2 − z) + 3 = z 2 − 8z + 12 + 3 =
= z 2 − 8z + 15

13.1. DEFINIZIONI 159
Da cui ricaviamo le radici
z1,2 = 8 ± √ 4
2
=
3
5
Sappiamo che il polinomio minimale e quello caratteristico sono gli stessi,
quindi calcoliamo A 100 : f(z) = z 100 , devo cercare il polinomio interpolante
della f in 3 e 5. Calcoliamoci la base di Lagrange prendendo la retta passante
per i punti fissati ed anche per 3 100 e 5 100 : da cui troviamo i punti
X ≡ (3, 3 100 ) e Y ≡ (5, 5 100 ).
Vediamo le Φ:
Φ1 1 =
z − 3
5 − 3
Φ2 1 =
z − 5
3 − 5
Se al posto di z sostituiamo A, otteniamo le Zk i; queste non dipendono
dalla funzione, ma solo dalle ascisse. Questa proprietà vale per ogni tipo di
funzione:
Infine:
f(A) =
Φ1 1(A) =
2
k=1
A − 3I
2
Φ2 1 =
100 A − 5I
f(zk)Φk i(A) = 3
−2
A − 5I
−2
+ 5100 A − 3I
2
Quindi adesso posso riscrivere la matrice A100 , dato che conosco la matrice
di partenza A:
= 5100
3 −1
+
2 3 −1
3100
1 −1
2 3 −3
esplicitando la somma troviamo il risultato. ✷
Passando al secondo esempio voglio calcolare la funzione eA : la parte iniziale
dell’analisi è identica alla precedente e non sarà ricalcolata.
e A = e5
3
2 3
−1
−
−1
e3
1
2 3
−1
−3
come sopra, esplicitando la sottrazione troviamo il risultato. ✷
Esempio 13.7 Oscillatore armonico
Data la matrice
J =
0 −1
1 0
vogliamo calcolare la funzione eJt con t parametro reale. Tramite il procedimento
precedente calcoliamo la funzione:
−z −1
det(J − zI) = det
= z
1 −z
2 + 1
=

160 CAPITOLO 13. TEORIA DELLE MATRICI
Quindi le soluzioni sono z = ±i, gli autovalori sono nel piano complesso e
in particolare abbiamo: z1 = −i e z2 = i.
Z1 1(J) =
J + iI
i + i
Z2 1 =
J − iI
−i − i
Quindi, senza esplicitare i ragionamenti mostriamo come arrivare alla soluzione:
e Jt =
−it J − iI J + iI
e + eit
−2i 2i =
=
eit − e−it e−it + eit J
+ I
=
2i
2
=
=
=
J sin t + I cos t =
0 − sin t cos t
+
sin t 0
0
cos t − sin t
sin t cos t
0
=
cos t
(13.4)
L’ ultima matrice è anche chiamata matrice di Givens o matrice di rotazione
degli assi.
13.1.1 Proprietà delle matrici costituenti
Consideriamo la funzione f(z) = z 0 = 1 la quale, riprendendo la formula
13.3, porta alle seguenti uguaglianze (perché mk = 1):
A 0 = I = f(A) =
Questa ultima riscrittura della formula generale 13.3 è anche detta proprietà
di Cauchy delle funzioni di matrice di base. Se cambiamo la funzione z
otteniamo ulteriori equazioni:
f(z) = z ⇒ A =
f(z) = z 2 ⇒ A 2 =
s
k=1
Zk1
s
(zkZk1 + 1 × Zk2) (13.5)
k=1
s
k=1
2
zkZk1 + 2zkZk2 + 2Zk3
(13.6)
Ma al tempo stesso possiamo vedere la potenza A2 come A × A e quindi
dalla 13.5 possiamo ricavare:
A 2
s
s
= (zkZk1 + 1 × Zk2) (zkZk1 + 1 × Zk2) =
k=1
k=1

13.1. DEFINIZIONI 161
=
=
s
s
k=1 j=1
s
k=1 j=1
(zkzjZk1Zj1 + zjZj1Zk2 + Zk2Zj2 + zkZk1Zj2) =
s
(zkzjZk1Zj1 + 2zkZk1Zj2 + Zk2Zj2) (13.7)
Se infine confrontiamo i valori ottenuti con la 13.6 e la 13.7 otteniamo le
seguenti proprietá:
• Zk1Zj1 = δkjZk1
• Zk1Zj2 = δkjZk2
• Zk2Zj2 = 2δkjZk3
Piú in generale potremo scrivere le seguenti relazioni:
1. ZkpZir = 0 per k = i
2. ZkpZk1 = Zkp
3. ZkpZk2 = pZk p+1
Da cui, per induzione, dall’ultimo caso possiamo ricavare la formula generale
p Zk2Zkp
1
=
p(p − 1) Z2 k2Zk =
p−2 =
. . . =
= 1
p! Zp
k2
Zkp =
1
(p − 1)! Zp−1
k2
Zk p+1 = 1
Modificando ancora la funzione f(z) otteniamo ulteriori proprietá; in particolare
se f(z) = z − zi allora:
Zi1(A − ziI) =
s
[(zk − zi)Zk1Zi1 + Zk2Zi1]
k=1
ed esplicitando la moltiplicazione di entrambi i membri per Zi1 e commutando,
porta direttamente a Zi2.
Da quest’ultima proprietà vediamo che é possibile ricavare le Zi2 grazie alle
Zi1 e quindi dalle formule precedenti si ha che
Zkp =
1
(p − 1)! Zk1(A − zkI) p−1
essendo Z p−1
k1
= Zk1

162 CAPITOLO 13. TEORIA DELLE MATRICI
Se torniamo a scrivere la formula f(A) della 13.3, questa diventa del tipo:
f(A) =
s mk
k=1 i=1
f (i−1) (zk)
(i − 1)! Zk1(A − zkI) i−1
Se la f(z) = (z−λ) −1 con λ = zi ∀i, otteniamo ancora proprietá interessanti.
Passando alla derivata f ′ (z) = (−1)(z − λ) −2 , da cui
(A − λI) −1 = −
Ma essendo
s
1
1
Zk1 +
λ − zk (λ − zk) 2 Zk2
1
+ . . . +
Zmk−1
mk (λ − zk) k2
k=1
(A − λI) = −
s
[(λ − zk)Zk1 − Zk2]
k=1
moltiplicando membro a membro la formula sopra ottengo:
I =
s
k=1
Zk1 − (λ − zk) −mk
mk Zk2 segue che le Z mk
k2 = 0 cioé queste matrici sono nilpotenti e questo permette
di arrestare la seconda sommatoria della 13.3 alla molteplicitá (mk) del
polinomio minimale:
f(A) =
s mk
k=1 i=1
f (i−1) (zk)
(i − 1)! Zk1(A − zkI) i−1
Consideriamo ora alcuni esempi esplicativi, ma ricordiamo prima:
ZkpZi2 = 0 k = i
ZkpZk1 = Zkp
ZkpZk2 = pZk p+1
Zkp =
1
(p − 1)! Zp−1
k2
Zk2 = Zk1(A − zkI)
Z mk
k2
= 0
Esempio 13.8 Sviluppiamo A n , e At e ∂eAt
∂t
z n = A n =
e zt = e At =
s mk
k=1 i=1
s mk
k=1 i=1
nella forma 13.3:
n (i−1) z n−i+1
k
Zki
t (i−1) e zkt Zki

13.2. SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI NEL DISCRETO 163
ma
quindi
e At A =
=
=
=
∂e At
∂t =
s mk i−2 zkt
(i − 1)t e + zkt i−1 e zkt Zki
k=1 i=1
s mk
k=1 i=1
⎡
s mk
k=1 i=1
s mk
k=1 i=1 j=1
k=1 i=1
A =
s
k=1
t (i−1) e zkt Zki
⎣t (i−1) e zkt Zki
s
(zkZk1 + Zk2)
⎛
⎛
⎝
⎝
s
j=1
s
j=1
(zkZk1 + Zk2)
(zkZk1 + Zk2)
⎞
⎞⎤
⎠ =
⎠⎦
=
t (i−1) e zkt
ZkiZjZj1 + t (i−1) e zkt
ZkiZj2
s mk i−1 zkt
t e ZjZk1 + t i−1 e zkt
iZk,i+1
13.2 Sistemi di equazioni differenziali nel discreto
In un sistema discreto avremo in generale:
yn+1 = Ayn
y(t0) = y0
e otterremo
Il punto di equilibrio sarà dato da
yn = A n y0 = A(A n−1 y0) = Ayn−1
(I − A)y = 0
y = 0
Studiamo ora la stabilità dei punti di equilibrio nei sistemi di equazioni alle
differenze. Nel caso delle equazioni, questa dipendeva dalle radici del polinomio
caratteristico, vedremo che nei sistemi questa invece dipende dagli
autovalori della matrice.
Ricordiamo che
Z mk
k2 = 0 mk ≤ mk
dove mk è la molteplicità del polinomio caratteristico.
Definizione 13.9 Se mk = 1 allora l’autovalore è detto semplice. Se mk > 1
e mk = 1 l’autovalore si dice semisemplice.
=

164 CAPITOLO 13. TEORIA DELLE MATRICI
Esempio 13.10 La matrice identità ha autovalore semisemplice e il polinomio
minimale è (z − 1) = 0, di grado 1.
Ci chiediamo per quali condizioni di A, eAt tende a 0: la risposta è ReZk < 0.
Infatti
s
A =
k=1
zkZk1 + Zk2
Ma gli zk = λ + iµ ed in modulo e zkt = e λt e iµt . Condizione necessaria
affinché tale quantità sia minore di 1 è λ = Rezk < 0. Supponiamo che
esista anche un solo indice j per cui Rezj > 0 e vediamo cosa succede:
e At =
s mk
k=j i=1
k=1
t i−1 ZktZki
Rezk0
La prima sommatoria dell’equazione precedente tende a zero, mentre la
seconda dipende da mj: se mj = 1 si ha un punto di equilibrio stabile,
infatti la seconda sommatoria rimane limitata. Se mj > 1 si ha instabilità di
tipo polinomiale.
Il caso discreto è analogo. Vogliamo però vedere quando A n → 0. Un caso
può essere |zk| < 1. Ma se |zk| < 1 per k = j e |zj| = 1 allora
s mk
k=j
k=1
i=1
n (i−1) z (k−ki)
k
mj
Zki +
i=1
n (i−1) z n−i+1
j
Zji
e quindi per mj > 1 si ha instabilità, stabilità se mj = 1.
Prendiamo ora una matrice A con autovalori semisemplici. Allora A può
essere scritta come:
s
A =
k=1
zkZk1
Moltiplichiamo entrambi i membri per Zj 1
AZj1 =
s
k=1
zkZk1Zj1 = zjZj1
Fissiamo un qualsiasi x ∈ R m e moltiplichiamolo all’equazione precedente
chiamo u (j) = Zj1x quindi
AZj1x = zjZj1x
Au (j) = zju (j)

13.3. SUCCESSIONI DI FUNZIONI DI MATRICI 165
Notiamo che u (j) è un autovettore, ma x è stato preso qualsiasi!
Quindi Zj1 è un proiettore che prende un qualsiasi vettore di R m e lo proietta
sull’autovettore.
Descriviamo brevemente un’ulteriore modo per calcolare A n : supponiamo
che sussista la seguente relazione fra gli autovalori di A:
Con z1 semisemplice. Allora
A n = z n 1 Z11 +
|z1| >> |z2| ≥ |z3| ≥ . . .
s mk
k=2 i=1
Se moltiplico per un qualsiasi x0 ∈ Rm ottengo
s mk
Ma se n → +∞ si ha
e
A n x0 = z n 1 Z11x0 +
A n x0 = z n 1
αu (1) +
k=2 i=1
s mk
n
k=2 i=1
z (n−i+1)
k n (i−1) Zki
z (n−i+1)
k n (i−1) Zki
(i−1) (zk) i
A n x0 ≈ z n 1 αu (1)
z1
x0
zkiZ (−i+1)
k
x0
La proprietà appena descritta prende il nome di metodo delle potenze ed è
descritta in dettaglio nell’appendice A.
13.3 Successioni di funzioni di matrici
Supponiamo di avere una successione di funzioni complesse
che sono definite sullo spettro di A.
f1(z), f2(z), . . .
Definizione 13.11 Si dice che la successione f1,f2,. . . converge sullo spettro di
A se per k = 1, 2, . . . , s e j = 0, 1, . . . , mk − 1 si ha
(j)
lim f
i→+∞
i (zk) = f (j) (zk)
Teorema 13.12 Una successione di funzioni di matrici fi(A) converge ad una
matrice f(A) se e solo se la successione converge sullo spettro di A.

166 CAPITOLO 13. TEORIA DELLE MATRICI

Capitolo 14
Sistemi differenziali del primo
ordine
In Italia nulla è stabile, fuorché il
provvisorio
Giuseppe Prezzolini
Proponiamoci adesso di calcolare la funzione di matrice dy
dt = Ay con A
consueta matrice n × n. Nel continuo, un problemna differenziale di questo
tipo è risolto con la soluzione y(t) = eAty0, che nel discreto diventa yn+1 =
Ayn e cioé yn = Any0. In questo caso si considerano però gli autovalori
delle matrici invece delle soluzioni dei polinomi.
La generica equazione alle differenze di ordine k è un’equazione del tipo:
yn+k + pyn+k−1 + . . . + pkyn = gn
Il nostro obbiettivo é quello di trasformare questa equazione in un sistema
di equazioni del primo ordine. Per fare questo definiamo i vettori Yn e Yn+1
nel seguente modo:
⎛
⎜
Yn = ⎜
⎝
yn
yn+1
.
yn+k−1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
Yn+1 = ⎜
⎝
yn+1
yn+2
.
yn+k
Ora, il nostro scopo non sarà solo quello di determinare la matrice A opportuna
affinché Yn+1 = AYn, ma risolveremo, più in generale, l’equazione non
167
⎞
⎟
⎠

168 CAPITOLO 14. SISTEMI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
omogenea Yn+1 = AYn + gn. Consideriamo la matrice A del tipo:
⎛
⎜
A = ⎜
⎝
0
0
.
.
0
1
0
.
.
0
0
1
0
.
. . .
0
0
. ..
. ..
. . .
. . .
. . .
. ..
1
0
0
0
.
0
1
⎞
⎟
⎠
−pk −pk−1 −pk−2 . . . −p2 −p1
tale matrice é chiamata matrice di Frobenius o matrice compagna.
Calcoliamo quindi gli autovalori di C = A − λI:
⎛
⎜
C = A − λI = ⎜
⎝
−λ
0
.
.
0
1
−λ
0
1
. ..
. . .
0
. ..
. ..
. . .
. . .
. ..
−λ
0
0
.
0
1
⎞
⎟
⎠
−pk . . . . . . . . . . . . −p1 − λ
Il polinomio caratteristico risulta:
k+1
(−1) pk + pk−1λ + pk−2λ 2 + . . . + (p1 + λ)λ k−1
Quando parlavamo delle equazioni gli autovalori dovevano essere semplici,
ma adesso nella nostra trasformazione basta che questi siano semisemplici.
Potrebbe sembrare un paradosso quindi considerare questo passaggio alla
matrice di Frobenius come positivo ma vedremo che l’apparenza inganna.
Teorema 14.1 Per le matrici compagne risulta m = m, cioé gli autovalori
semplici sono anche semisemplici e il polinomio caratteristico coincide con
quello minimale.
DIMOSTRAZIONE: Post-moltiplicando la matrice A per il vettore colonna Ek
otteniamo:
⎛ ⎞
0
⎜ ⎟
⎜
A ⎜
. ⎟
⎝ 0 ⎠
1
=
⎛
⎜
⎝
0
.
1
⎞
⎟
⎠
−p1
se invece utilizziamo il vettore Ek−1 ricaviamo:
⎛ ⎞
0
⎛
0
⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎜
. ⎟ ⎜
⎟ ⎜
A ⎜ 0 ⎟ = ⎜
⎟ ⎜
⎝ 1 ⎠ ⎝
.
1
0
⎟
⎠
0 −p2

14.1. PROBLEMA LINEARE 169
cioè il numero 1 sale di una posizione all’interno del vettore. Nel caso in
cui invece si pre-moltiplicasse la matrice per il vettore trasposto si ricava la
prima riga della matrice stessa:
(1 0 . . . 0)
E T 1
A = (0 1 0 . . . 0)
E T 2
cioé generalizzando ET 1 A = ET 2 , ET 2 A = ET 3 , . . . , ET k−1A = ET k e ET k A =
(−pk − pk−1 . . . − p1). Possiamo addirittura esprimere i vettori trasposti
tramite potenze della A: ET 1 A2 = ET 2 A = ET 3 , cioè in generale ET 1 Ai = ET i+1
con i = 1, 2, . . . , k − 1.
Infine notiamo che
E T 1 ≡ ψ(A) =
k
i=0
αiE T 1 A i =
k
i=0
αiE T i+1 = 0
dove, si ricorda, i vari E T i+1 sono i versori di Rn e che k < k; ma essendo
questi tutti linearmente indipendenti fra loro, questo implica che αi = 0 ∀i
e quindi non puó esistere un polinomio minimale. ✷
14.1 Problema lineare
Nel capitolo 12 abbiamo utilizzato i metodi multistep per risolvere il problema
di Cauchy per le equazione differenziali del primo ordine, nel caso in
cui la derivata è del tipo y ′ = λy. Sia ora y ′ = C(t)y + g(t), e cerchiamo
di trovare la regione di stabilità dei metodi finora descritti, considerando
y ∈ R m .
14.1.1 Eulero esplicito
Da quanto spiegato nel capitolo precedente, sappiamo che il metodo di Eulero
esplicito non è un metodo A-stabile 1 e questo limita notevolmente la
convergenza del metodo, poichè non si può né limitare l’errore né lo si può
quantificare. La complessità di questo metodo è data da N (numero dei passi)
valutazioni di funzione, come si denota dall’implementazione seguente.
Listing 14.1: Metodo di Eulero Esplicito
1 ¡¤£¦¥§©¢¨£ [Y]=euespm(a,b,n,A,gn,y0)
2 % Metodo di Eulero esplicito
3 % a,b intervallo
4 % n numero punti
1 Ricordiamo che un metodo di dice A-stabile se la parte negativa del piano complesso è
contenuta nella regione di stabilità del metodo.

170 CAPITOLO 14. SISTEMI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
¡
£ ¤§
¢
¨
5 % A matrice dei coefficienti
6 % gn vettore termini non omogenei
7 % y0 condizione iniziale
8 N= (A);
9 passo=(b−a)/n;
10 C= (N)+passo∗A;
11 gn=passo∗gn;
12 Y(:,1)=y0(:);
13 j=2:n
14 Y(:,j)=C∗Y(:,j−1)+gn(:,j−1);
15 ¨£¤
16 ¨£¤
14.1.2 Eulero Implicito
In questo caso abbiamo:
quindi
yn+1 = yn + h(C(tn+1)yn+1 + g(tn+1)
yn+1 = yn + hg(tn+1)
1 − hC(tn+1)
che si può scrivere come il sistema lineare:
(Im − hC(tn+1))yn+1 = yn + hg(tn+1)
In questo caso il costo computazionale è dato ad ogni passo da una valutazione
di funzione e dalla risoluzione di un sistema linare m×m. Riportiamo
di seguito l’implementazione del metodo.
Listing 14.2: Metodo di Eulero Implicito
¢¡¤£¦¥¨§©¨£ 1 [Y]=euimpm(a,b,n,A,gn,y0)
¡
£ ¤§
¢
¨
2 % Metodo di Eulero implicito
3 % a,b intervallo
4 % n numero punti
5 % A matrice dei coefficienti
6 % gn vettore termini non omogenei
7 % y0 condizione iniziale
8 N= (A);
9 h=(b−a)/n;
10 C= (N)−h∗A;
11 Y(:,1)=y0(:);
12 j=2:n
13 Y(:,j)=C\(Y(:,j−1))+h∗gn(:,j));
14 ¨£¤
15 §¢¡¢£

14.1. PROBLEMA LINEARE 171
14.1.3 Metodo dei trapezi
Quello che dobbiamo risolvere è:
Im − h
2 C(tn+1)
yn+1 = Im + h
2 C(tn)
yn + h
2 (g(tn+1) + g(tn))
Abbiamo quindi lo stesso costo computazionale del caso precedente, segue
l’implementazione.
Listing 14.3: Metodo dei trapezi
¡¤£¦¥§©¢¨£ 1 [Y]=trapezim(a,b,n,A,gn,y0)
¡
2 % Metodo dei Trapezi
3 % a,b intervallo
4 % n numero punti
5 % A matrice dei coefficienti
6 % gn termini noti
7 % y0 condizione iniziale
(A);
8 N= £ ¤§
9 h=(b−a)/n;
10 C=( ¢ (N)−h∗A/2);
11 Y(:,1)=y0(:);
12 j=2:n
13 Y(:,j)=C\((¤ (N)+h∗A/2)∗Y(:,j−1));%+h∗(gn(:,j)+gn(:,j−1))/2);
14 ¨£
15 §¢¡£
14.1.4 Metodo Mid-Point
In questo caso l’ area di assoluta stabilità del metodo è vuota, poiché è quella
regione nella quale i punti hanno radici entrambe negative. Il metodo è
perlomeno 0-stabile, poichè la regione di stabilità dello stesso è tutto il piano
complesso fatta eccezione per il segmento (−i, +i) sull’asse immaginario.
D1,1 = {q ∈ C : |z1(q)| < 1 < |z2(q)|}
Questo metodo non può essere affrontato come problema ai valori iniziali
poiché è a due passi, allo stesso modo non può essere risolto come problema
ai valori al contorno perché non è possibile calcolare ricorsivamente la
soluzione del sistema lineare:
⎧
⎨ y2 = y0 + 2hf1
n = 0
yn+2 = yn + 2hfn+1 n = 1, . . . , N − 3
⎩
−yN−2 − 2hfN−1 = −yN n = N − 2
Ma yN non si conosce! Dovremo utilizzare un metodo aggiuntivo per determinarlo.
L’ ultima equazione perciò diventa:
yN − yN−1 − hfN = 0

172 CAPITOLO 14. SISTEMI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
se per esempio utilizziamo Eulero implicito. Scriviamo questo sistema in
forma matriciale. Definiamo
⎛
0
⎜ −1
⎜
A = ⎜
⎝
1
. . .
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
0
⎞
⎟
1 ⎠
−1 1
Ora,
• se m = 1 si ha
• se m > 1 allora
⎛
2
⎜
B = ⎜
⎝
⎛
⎜
Y = ⎜
⎝
y1
y2
.
yN
⎞
⎟
⎠
. ..
2
1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
F = ⎜
⎝
⎛
⎜
AY − hBF = ⎜
⎝
y0
0
.
0
N×N
f1
f2
.
fN
⎞
N×N
⎞
⎟
⎠
⎟ ≡ η
⎠
(A ⊗ Im) Y − h (B ⊗ Im) F = η
dove ⊗ rappresenta il prodotto tensioriale2 , quindi, nel nostro caso
(A ⊗ Im) rappresenta
⎛
⎞
2
Che è così definito
0
B
@
a11
.
. . . a1n
.
am1 . . . amn
⎜ −Im ⎜
⎝
1
0m Im
. ..
. ..
C
A ⊗ (B)p×q =
. ..
. ..
0
B
@
. ..
0m Im
−Im Im
⎟
⎠
a11B . . . a1nB
.
.
am1B . . . amnB
1
C
A
mp×nq

14.1. PROBLEMA LINEARE 173
Nel caso in cui il problema sia lineare la F è della forma:
⎛
c(t1)
⎜
F = ⎝
. ..
⎞ ⎛
g(t1)
⎟ ⎜
⎠ Y + ⎝ .
⎞
⎟
⎠
c(tn)
g(tn)
bC
ˆg
Sostituendo si ha:
(A ⊗ Im) − h(B ⊗ Im)
C = η + h(B ⊗ Im)ˆg
La dimesione di questo sistema è (Nm) × (Nm). Solitamente questo è un
sistema sparso.
14.1.5 Esempi
Consideriamo il sistema del primo ordine:
y ′ 1 = y2
y ′ 2 = −y1 + e t
con condizione iniziale y(0) = (1, 1) T . Questo può essere scritto nella forma
matriciale:
y ′
0
=
−1
1 0
y +
0 et
(14.1)
La soluzione esatta di questo problema è data da
y = 1
sin t + cos t + et 2 cos t − sin t + et
Approssimando tale sistema con i metodi di Eulero implicito e dei trapezi, è
possibile vedere, attraverso il grafico dell’errore, la differenza dell’ordine di
convergenza dei metodi.
Il listato è riportato quì di seguito, i grafici sono 14.1 e 14.3.
Listing 14.4: Risoluzione del sistema 14.1
1 ¡¤£¦¥§©¢¨£ yab(a,b,N,y0)
2 A=[0 1;−1 0];
3 gn= ¡ (2,N); % inizializzo il termine noto
4 ¨ j=1:N % numero punti di discretizzazione
5 l=(b−a)/j; % dim. intervallo
6 ¨ k=1:j
7 s=l∗k;
8 gn(2,k)= (s);
9 esatta(1,k)=0.5∗(¡© £ (s)+ ¥ ¡ (s)+ ¢ (s));
10 esatta(2,k)=0.5∗(−¡¢© £ (s)+ ¥ ¡ (s)+ ¢ (s));

174 CAPITOLO 14. SISTEMI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
11 £
12 [X]=euimpm(a,b,j,A,gn,y0);
13 [Z]=trapezim(a,b,j,A,gn,y0);
14 ez(j)=£ (Z−esatta,1);
15 ex(j)=£ (X−esatta,1);
16 ¨£¤
17 ©¡ ¡ (1);
18 ¢§ (esatta(2,:),’k’);
19 ¢§ (X(2,:),’b’);
20 ¢§ (Z(2,:),’r’);
21 ©¡ ¡ (2);
22 ¢§ (ez,’g’);
23 ¢§ (ex,’r’);
24 §¢¡¢£
1.25
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Figura 14.1: Approssimazione
Analizziamo adesso il seguente sistema:
y ′ = −µy + (µ − 1)e −t
y(0) = 1
La soluzione esatta è y = e −t , vediamo l’implementazione:
1 ¢¡¤£¦¥¨§©¨£ ymu(a,b,N,y0,mu)
2 A=−mu;
3 ¨ j=1:N
Listing 14.5: Listato del problema 14.2
(14.2)

14.1. PROBLEMA LINEARE 175
1.194
1.1935
1.193
1.1925
1.192
1.1915
1.191
1.1905
10 1
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 0
Esatta
Eulero implicito
Trapezi
966 968 970 972 974 976 978 980
Figura 14.2: Approssimazione in dettaglio
10 1
Figura 14.3: Errore
10 2
10 3

176 CAPITOLO 14. SISTEMI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
4 l=(b−a)/j;
5 ¨ k=1:j
6 s=−k∗l;
7 gn(k)=(mu−1)∗¢¨ (s);
8 esatta(k)= ¢¨ (s);
9 ¨£¤
10 [X]=euimpm2(a,b,j,A,gn,y0);
11 [Z]=trapezim2(a,b,j,A,gn,y0);
12 ez(k)=£ (Z−esatta,1);
13 ex(k)=£ (X−esatta,1);
14 ¨£¤
15
¡
16 ; ©¨
¢§
¢§
17 (ex,’g’);
18 (ez,’k’);
19 ¨£¤
¢ on;
Il grafico che rappresenta l’errore dei metodi di Eulero implicito e dei trapezi
è rappresentato nella figura 14.4.
errore
10 −0.2
10 −0.3
10 −0.4
10 −0.5
10 −0.6
10 −0.7
10 −0.8
10 −0.9
10 0
10 1
n
Figura 14.4: Errore
Eulero implicito
Trapezi
10 2

14.2. MOTO ARMONICO 177
14.2 Moto armonico
Consideriamo il sistema differenziale:
⎧
⎨
⎩
y ′′ = −ω 2 y
y ′ (t0) = y0
y(t0) = y0
Posto y ′ = ωx, il problema puó essere scritto nella forma matriciale:
Quindi
∂ x 0 −ω
=
∂t y ω 0
x(t)
= e
y(t)
At
x0
y0
=
x
y
0 −1
= ω
1 0
A
cos ωt − sin ωt
sin ωt cos ωt
x
y
x0
Come già visto in precedenza, la matrice all’ultimo membro è di Givens,
quindi le soluzioni, fissato ω, sono periodiche secondo t.
Vediamo come si comportano i metodi multistep nell’approssimare questo
tipo di problema.
14.2.1 Eulero esplicito
Risulta
0 −1
B = I + hA = I + hω
1 0
il polinomio caratteristico è pertanto
da cui otteniamo
Allora
=
(1 − λ) 2 + (hω) 2 = 0
λ = (1 ± iωh)
y0
1 −hω
hω 1
B n = (1 + iωh) n Z11 + (1 − iωh) n Z21
Possiamo scrivere l’equazione nella forma
Ponendo
xn
yn
= [(1 + iωh) n Z11 + (1 − iωh) n Z21]
Z11
x0
y0
= u1
Z21
x0
y0
= u2
x0
y0
(14.3)

178 CAPITOLO 14. SISTEMI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
l’equazione 14.3 si può scrivere:
xn
yn
= ρ n e iθn u1 + ρ n e −iθn u2
Presa la componente xn, risulta
n
xn = ρ e iθn u11 + e −iθn
u21
con u11 = σe iφ e u21 = σe −iφ . Utilizzando la formula di Eulero ottengo:
xn = ρ n σ
e i(θn+φ) + e −i(θn+φ)
= 2ρ n σ cos(θn + φ)
e dato che ρ > 1 questo metodo porta ad una spirale divergente, infatti la
periodicità delle soluzioni è perturbata dalla quantità ρ.
Riportiamo adesso il grafico che mostra la spirale in output.
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
Soluzione esatta
Eulero Esplicito
−2.5
−3 −2 −1 0 1 2 3
14.2.2 Eulero Implicito
presa y ′ = Ay, si ha
Figura 14.5: Metodo Eulero Esplicito
yn+1 = yn + hf(yn+1)
yn+1 = yn + hAyn+1

14.2. MOTO ARMONICO 179
Quindi
(I − hA)yn+1 = yn
per cui µi = (1 − hλi) −1 e f(z) = (1 − hz) −1 .
Allora
n Da cui segue
B n
e siccome ρ =
grafico ottenuto.
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
B n =
x0
y0
=
=
1
1 − hλ1
1
1 − hλ1
1
1 − ihω
1
Z11 +
1 − hλ2
n
n
n
1
u1 +
1 − hλ2
1
u1 +
1 + hω
= ρ n e iθn u1 + ρ n e −iθn u2 =
= ρ n (e iθn + e −iθn )
Z21
n
n
u2 =
u2 =
1
1+h 2 ω 2 , per n → +∞ converge. Riportiamo di seguito il
Suluzione esatta
Eulero implicito
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
Figura 14.6: Metodo Eulero Implicito
14.2.3 Metodo dei trapezi
xn+1 xn
= + h
A
2
yn+1
yn
xn
yn
+ A
xn+1
yn+1

180 CAPITOLO 14. SISTEMI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
I − h
2 A
xn+1
= I +
yn+1
h
2 A
xn
yn
= I −
yn+1
h
2 A
−1
I + h
2 A
xn
yn
B
xn+1
quindi B = f(hA) dove µi = f(hλ1) con i = 1 e i = 2.
Inoltre
xn
= B n
x0
yn
ma visto che Bn = µ n 1 Z11 + µ n 2 Z21 allora il secondo membro di sopra può
essere visto così
µ n
x0
1 Z11 + µ
y0
n
x0
2Z21
y0
u1
y0
u2
Infine la distanza di questi punti dall’origine è espressa dalla formula usuale:
1
+ i
ρ =
h
2 ω
1 − i h
2 ω
h2
1 + 4
=
ω2
1 + h2
= 1
4
ω2
Possiamo esprimere θ = arctan Im
Reλ segue che
B n
x0
= e
y0
inθ u1 + e −inθ u2
Dunque:
xn = e inθ u1,1 + e −inθ u2,1 = e inθ σe iϕ + e −inθ σe −iϕ =
= 2σ
e i(θn+ϕ) + e −i(θn+ϕ)
2
= 2σ cos(nθ + ϕ)
NOTE: Il metodo dei trapezi è l’unico che è perfettamente stabile ed inoltre
trasla i punti che appartengono al semipiano negativo all’interno del cerchio
di raggio 1.
14.2.4 Metodo Mid-Point
Applicando il metodo del mid-point,yn+2 − yn = 2h fn+1, si ha
xn+2
xn
−
xn+1
= 2h A
⇒ zn+2 − zn = 2h A zn+1
yn+2
yn
zn+2
zn+1
yn+1
2hA I
=
I 0
B
zn+1
zn

14.2. MOTO ARMONICO 181
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
che ha per soluzione:
Figura 14.7: Metodo dei Trapezi
zn+2
zn+1
= B n
z1
z0
Ma calcoliamo ora gli autovalori di B:
⎛
0 −2hω 1
⎞
0
⎜
B = ⎜ 2hω
⎝ 1
0
0
0
0
1 ⎟
0 ⎠
0 1 0 0
Quindi
⎛
⎜
det(B − λI) = det ⎜
⎝
⎛
= 0 − det ⎝
−λ 1 0
2hω 0 1
1 0 0
⎞
−λ −2hω 1 0
2hω −λ 0 1
1 0 −λ 0
0 1 0 −λ
⎛
⎠ + 0 + λ det ⎝
⎞
⎟
⎠ =
−λ −2hω 1
2hω −λ 0
1 0 −λ
1 − λ[(−λ) 3 + λ − 4h 2 ω 2 λ] = 1 + λ 4 − λ 2 + 4h 2 ω 2 λ 2 =
⎞
⎠ = 0
= λ 4 + λ 2 (4h 2 ω 2 − 1) + 1 = 0

182 CAPITOLO 14. SISTEMI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
Tale equazione risulta essere della forma delle biquadratiche,pongo perciò
λ 2 = x e risolvo:
x 2 + (4h 2 ω 2 − 1)x + 1 = 0 ⇒ x1,2 = −4h2 ω 2 + 1 ± (4h 2 ω 2 − 1) − 4
2
Queste soluzioni appartengono al cerchio richiesto se e solo se −1 < hω < 1.
NOTE:
Per ogni autovalore del continuo ottengo, con questo metodo, nel discreto
due valori, anche se nella posizione giusta rispetto al cerchio. Questo
comporta il raddoppiamento dei risultati nel discreto rispetto al continuo.
Teorema 14.2 (Barriera di Dalquist) Non esistono metodi lineari a k passi
0-stabili di ordine superiore a k + 1 se k è dispari e a k + 2 se k è pari.
Più semplicemente possiamo affermare che:
• non esistono metodi espliciti A-stabili
• non esistono metodi impliciti A-stabili di ordine maggiore di 2
Quindi, un metodo numerico della classe lineare multistep (quelli che generano
dei problemi a valori iniziali) assolutamente stabile, non può superare
l’ordine 2 e l’ordine massimo è dato dal metodo dei trapezi.
Il problema classico y ′ = Ay, y0 è del primo ordine nel continuo ma diventa
di ordine k nel discreto. Visto che dal continuo riceviamo una condizione
iniziale, mancano le k − 1 condizioni nel discreto. Occorrono quindi dei
metodi specifici che forniscano le condizioni cercate (spesso si prendono
all’inizio dell’intervallo). In questo modo abbiamo la possibilità di trovare
molti metodi assolutamente stabili in più rispetto a prima e inoltre possiamo
trovarne alcuni perfettamente stabili.

AppendiceA
Autovalori e Autovettori
A.1 Introduzione
Definizione A.1.1 Data una matrice A ∈ C n×n si dice autovalore di A ogni
numero λ ∈ C tale che il sistema lineare
Ax = λx, x ∈ C n
(A.1)
abbia soluzioni x = 0; il vettore x è detto autovettore associato all’autovalore
λ, intendendo che x ed ogni vettore kx (k ∈ C,k = 0) rappresentano lo stesso
autovettore.
Ora, in base al teorema di Rouché-Capelli, sappiamo che un sistema lineare
omogeneo ha soluzioni non nulle se e solo se la matrice dei coefficienti
del sistema è singolare, e poiché il sistema (A.1) è equivalente al sistema
omogeneo
(A − λI)x = 0
segue che gli autovalori di A sono tutti e soli i numeri λ che soddisfano
l’equazione
det(A − λI) = 0
Dal calcolo di quest’ultima equazione si ottiene:
det(A−λI) = (−1) n λ n +(−1) n−1 σ1λ n−1 +(−1) n−2 σ2λ n−2 +. . .−σn−1λ+σn
dove i coefficienti σi, i = 1, 2, . . . , n, sono, ciascuno, la somma dei minori
principali di ordine i estratti da A. Il polinomio precedente è detto polinomio
caratteristico della matrice A e gli autovalori di A coincidono con
le radici dell’equazione caratteristica, perció sono n e li indicheremo con
λ1, λ2, . . . , λn.
183

184 APPENDICE A. AUTOVALORI E AUTOVETTORI
A.2 Il metodo delle potenze
Il metodo delle potenze è un metodo di tipo iterativo utilizzato per approssimare
l’autovalore di modulo massimo, che si fonda sul seguente teorema:
Teorema A.2.1 Sia A ∈ C n×n una matrice diagonalizzabile con autovalori
soddisfacenti le condizioni
|λ1| > |λ2| ≥ . . . ≥ |λn|
e sia z (0) ∈ C n un vettore arbitrario. Allora il processo iterativo
è tale che
y
lim
k→+∞
(k)
y (k)
j
y (0) = z (0)
y (k) = Ay (k−1)
(A.2)
k = 1, 2, . . . (A.3)
y
= v, lim
k→+∞
(k)H Ay (k)
y (k)H = λ1,
y (k)
dove j è un indice per cui y (k)
j = 0 e v è l’autovettore associato a λ1.
DIMOSTRAZIONE. La diagonalizzabilità di A implica l’esistenza di n autovettori
x (i) , i = 1, 2, . . . , n linearmente indipendenti e quindi che il vettore z (0)
possa rappresentarsi nella forma
z (0) =
n
cix (i)
i=1
dove è lecito supporre che sia c1 = 0. Segue che
y (k) = A k y (0) = A k (c1x (1) + . . . + cnx (n) ) (A.4)
= c1A k x (1) + . . . + cnA k x (n) = c1λ k 1x (1) + . . . + cnλ k nx (n) (A.5)
= λ1 c1x (1) n
λi
k
+
x (i)
(A.6)
e anche per ogni indice j,
y (k)
j
= λ1
i=2
ci
λ1
c1x (1)
j +
n
i=2
ci
λi
λ1
k x (i)
j
(A.7)
In particolare, scegliendo y (k)
j = 0, tenendo conto dell’ipotesi sui moduli
degli autovalori e dividendo membro a membro la (A.4) per la (A.7), si
ottiene
y
lim
k→∞
(k)
y (k)
j
= b1x (1) = v

A.2. IL METODO DELLE POTENZE 185
dove b1 = 1/x (1)
j , preciò il vettore v è l’autovettore associato a λ1, come
afferma la tesi. Si ha quindi
Av = λ1v
e anche
da cui
v H Av = λ1v H v
v H Av
v H v
= λ1
infine, tenendo conto dell’equazione precedente, si ha
y
lim
k→+∞
(k)H
Ay (k)
y (k)H = lim
y (k) k→+∞
v H Av
v H v
= λ1
per cui è dimostrato il teorema. ✷
Il rapporto
R(y (k) ) = y(k)H Ay (k)
y (k)H y (k)
è chiamato quoziente di Rayleigh. L’ algoritmo appena considerato puó dar
luogo a situazioni di overflow/underflow nel caso in cui il valore delle componenti
in valore assoluto sia o troppo grande o troppo piccolo. È necessaria
allora un’operazione di scaling, applicando a priori deversi tipi di norma di
vettore. Si costruisce pertanto una successione di vettori {z (k) } nel seguente
modo
y (k) = Az (k−1)
z (k) =
y (k)
αk
k = 1, 2, . . .
dove z (0) è ancora arbitrario e αk è una costante di normalizzazione opportuna.
Se, ad esempio, αk è una componente di massimo modulo di y (k) , scelta,
a partire da un certo k, sempre con lo stesso indice, risulta ||z (k) ||∞ = 1.
Nelle ipotesi del teorema, si dimostra che
lim
k→+∞ z(k) = w e lim
k→+∞ R(z(k) ) = λ1
dove w è l’autovettore associato a λ1.

186 APPENDICE A. AUTOVALORI E AUTOVETTORI

AppendiceB
Norme
B.1 Norma vettoriale
Definizione B.1 Una funzione C n → R:
che verifica le seguenti proprietá:
x → ||x||
1. ||x|| ≥ 0 e ||x|| = 0 se e solo se x = 0
2. ||αx|| = |α|||x|| per ogni α ∈ C
3. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| per ogni y ∈ C n
é detta norma vettoriale
Definizione B.2 Sia x ∈ C n allora
1. Norma 1
2. Norma 2
3. Norma ∞
||x||1 =
n
|xi|
i=1
||x||2 = √ xT
x = n
i=1
||x||∞ = max
i=1,...,n |xi|
|xi| 2
Teorema B.3 La funzione x → ||x||, x ∈ C n é uniformemente continua.
DIMOSTRAZIONE: Siano x, y ∈ C n , si ha:
187

188 APPENDICE B. NORME
quindi
Inoltre
da cui
Ricaviamo quindi
Poniamo
||x|| = ||x − y + y|| ≤ ||x − y|| + ||y||
||x|| − ||y|| ≤ ||x − y||
||y|| = ||x + y − x|| ≤ ||y − x|| + ||x|| = ||x − y|| + ||x||
−(||x|| − ||y||) ≤ ||x − y||
||x|| − ||y|| ≤ ||x − y||
x − y =
n
(xi − yi)ei
Dove ei é l’i-esimo vettore della base canonica di C n . Quindi:
Siccome
||x|| − ||y|| ≤
n
i=1
i=1
|xi − yi|||ei|| ≤ max
i=1,...,n |xi − yi|
α =
n
||ei||
i=1
n
||ei||
é = 0(perché i vettori ei sono linearmente indipendenti per definizione di
base) e non dipendono né da x né da y, si ha che se
allora
max
i=1,...,n |xi − yi| ≤ ɛ
α
||x|| − ||y|| ≤ ɛ
i=1

B.2. NORME MATRICIALI 189
B.2 Norme matriciali
Definizione 1 Una funzione di C n×n in R
che verifica le seguenti proprietá:
A → ||A||
1. ||A|| ≥ 0 e ||A|| = 0 se e solo se A = 0
2. ||αA|| = |α| · ||A|| per ogni α ∈ C
3. ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B|| per ogni B ∈ C n×n
4. ||AB|| ≤ ||A|| · ||B|| per ogni ||B ∈ C n×n
é detto norma matriciale.
Definizione 1 La norma definita da
||A|| = max
||x||=1 ||Ax||
viene detta norma matriciale indotta della norma vettoriale || · ||.
Definizione 1 Si definisce raggio spettrale la funzione:
ρ(A) = max
i=1,...,n |λi|
Teorema 1 Dalle tre norma vettoriali definite in precedenza si ottengono le
corrispondenti norme matriciali indotte:
1. Norma 1
2. Norma 2
3. Norma ∞
||A||1 = max
j=1,...,n
||A||2 =
||A||∞ = max
n
i=1
|aij|
ρ(A T A)
n
|aij|
i=1,...,n
j=1

190 APPENDICE B. NORME

AppendiceC
GNU Free Documentation
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themselves be free in the same sense. It complements the GNU General Public
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designed this License in order to use it for manuals for free software, because
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with manuals providing the same freedoms that the software does. But this
License is not limited to software manuals; it can be used for any textual
work, regardless of subject matter or whether it is published as a printed
book. We recommend this License principally for works whose purpose is
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Version of the Document means any work containing the Document or
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of the publishers or authors of the Document to the Document’s
overall subject (or to related matters) and contains nothing that could fall
directly within that overall subject. (For example, if the Document is in part
a textbook of mathematics, a Secondary Section may not explain any mathematics.)
The relationship could be a matter of historical connection with the
subject or with related matters, or of legal, commercial, philosophical, ethical
or political position regarding them. The Invariant Sections are certain
Secondary Sections whose titles are designated, as being those of Invariant
Sections, in the notice that says that the Document is released under this
License. The Cover Texts are certain short passages of text that are listed,
as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that the
Document is released under this License. A Transparent copy of the Document
means a machine-readable copy, represented in a format whose specification
is available to the general public, whose contents can be viewed
and edited directly and straightforwardly with generic text editors or (for
images composed of pixels) generic paint programs or (for drawings) some
widely available drawing editor, and that is suitable for input to text formatters
or for automatic translation to a variety of formats suitable for input to
text formatters. A copy made in an otherwise Transparent file format whose
markup has been designed to thwart or discourage subsequent modification
by readers is not Transparent. A copy that is not Transparent is called
Opaque. Examples of suitable formats for Transparent copies include plain
ASCII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML or
XML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML
designed for human modification. Opaque formats include PostScript, PDF,
proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word
processors, SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are
not generally available, and the machine-generated HTML produced by some
word processors for output purposes only. The Title Page means, for a
printed book, the title page itself, plus such following pages as are needed
to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page.
For works in formats which do not have any title page as such, Title Page
means the text near the most prominent appearance of the work’s title, preceding
the beginning of the body of the text.
2. VERBATIM COPYING
You may copy and distribute the Document in any medium, either commer-

193
cially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices,
and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced
in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to
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However, you may accept compensation in exchange for copies. If you
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in section 3. You may also lend copies, under the same conditions
stated above, and you may publicly display copies.
3. COPYING IN QUANTITY
If you publish printed copies of the Document numbering more than 100,
and the Document’s license notice requires Cover Texts, you must enclose
the copies in covers that carry, clearly and legibly, all these Cover Texts:
Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover.
Both covers must also clearly and legibly identify you as the publisher
of these copies. The front cover must present the full title with all words
of the title equally prominent and visible. You may add other material on
the covers in addition. Copying with changes limited to the covers, as long
as they preserve the title of the Document and satisfy these conditions, can
be treated as verbatim copying in other respects. If the required texts for
either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones
listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the rest
onto adjacent pages. If you publish or distribute Opaque copies of the
Document numbering more than 100, you must either include a machinereadable
Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with
each Opaque copy a publicly-accessible computernetwork location containing
a complete Transparent copy of the Document, free of added material,
which the general network-using public has access to download anonymously
at no charge using public-standard network protocols. If you use the
latter option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution
of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy
will remain thus accessible at the stated location until at least one year after
the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents
or retailers) of that edition to the public. It is requested, but not required,
that you contact the authors of the Document well before redistributing any
large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated
version of the Document.
4. MODIFICATIONS
You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the
conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified
Version under precisely this License, with the Modified Version filling
the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the

194 APPENDICE C. GNU FREE DOCUMENTATION LICENSE
Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must
do these things in the Modified Version: A. Use in the Title Page (and on the
covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of
previous versions (which should, if there were any, be listed in the History
section of the Document). You may use the same title as a previous version
if the original publisher of that version gives permission. B. List on the Title
Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship
of the modifications in the Modified Version, together with at least five of
the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has
less than five). C. State on the Title page the name of the publisher of the
Modified Version, as the publisher. D. Preserve all the copyright notices of
the Document. E. Add an appropriate copyright notice for your modifications
adjacent to the other copyright notices. F. Include, immediately after
the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the
Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the
Addendum below. G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant
Sections and required Cover Texts given in the Document’s license notice.
H. Include an unaltered copy of this License. I. Preserve the section entitled
History, and its title, and add to it an item stating at least the title, year, new
authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If
there is no section entitled History in the Document, create one stating the
title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page,
then add an item describing the Modified Version as stated in the previous
sentence. J. Preserve the network location, if any, given in the Document
for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the
network locations given in the Document for previous versions it was based
on. These may be placed in the History section. You may omit a network location
for a work that was published at least four years before the Document
itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission.
K. In any section entitled Acknowledgements or Dedications, preserve the
section’s title, and preserve in the section all the substance and tone of each
of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein. L.
Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text
and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered
part of the section titles. M. Delete any section entitled Endorsements. Such
a section may not be included in the Modified Version. N. Do not retitle any
existing section as Endorsements or to conflict in title with any Invariant
Section. If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices
that qualify as Secondary Sections and contain no material copied
from the Document, you may at your option designate some or all of these
sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections
in the Modified Version’s license notice. These titles must be distinct
from any other section titles. You may add a section entitled Endorsements,
provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by

195
various parties for example, statements of peer review or that the text has
been approved by an organization as the authoritative definition of a standard.
You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and
a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of
Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text
and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made
by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the
same cover, previously added by you or by arrangement made by the same
entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may
replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that
added the old one. The author(s) and publisher(s) of the Document do not
by this License give permission to use their names for publicity for or to assert
or imply endorsement of any Modified Version.
5. COMBINING DOCUMENTS
You may combine the Document with other documents released under this
License, under the terms defined in section 4 above for modified versions,
provided that you include in the combination all of the Invariant Sections
of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant
Sections of your combined work in its license notice. The combined work
need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant
Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant
Sections with the same name but different contents, make the title
of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the
name of the original author or publisher of that section if known, or else
a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list
of Invariant Sections in the license notice of the combined work. In the
combination, you must combine any sections entitled History in the various
original documents, forming one section entitled History; likewise combine
any sections entitled Acknowledgements, and any sections entitled Dedications.
You must delete all sections entitled Endorsements.
6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS
You may make a collection consisting of the Document and other documents
released under this License, and replace the individual copies of this License
in the various documents with a single copy that is included in the collection,
provided that you follow the rules of this License for verbatim copying
of each of the documents in all other respects. You may extract a single
document from such a collection, and distribute it individually under this
License, provided you insert a copy of this License into the extracted document,
and follow this License in all other respects regarding verbatim
copying of that document.
7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS

196 APPENDICE C. GNU FREE DOCUMENTATION LICENSE
A compilation of the Document or its derivatives with other separate and
independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution
medium, does not as a whole count as a Modified Version of the
Document, provided no compilation copyright is claimed for the compilation.
Such a compilation is called an aggregate, and this License does not
apply to the other self-contained works thus compiled with the Document,
on account of their being thus compiled, if they are not themselves derivative
works of the Document. If the Cover Text requirement of section 3
is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less
than one quarter of the entire aggregate, the Document’s Cover Texts may
be placed on covers that surround only the Document within the aggregate.
Otherwise they must appear on covers around the whole aggregate.
8. TRANSLATION
Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations
of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant
Sections with translations requires special permission from their copyright
holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections
in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include
a translation of this License provided that you also include the original
English version of this License. In case of a disagreement between the translation
and the original English version of this License, the original English
version will prevail.
9. TERMINATION
You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as
expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify,
sublicense or distribute the Document is void, and will automatically
terminate your rights under this License. However, parties who have received
copies, or rights, from you under this License will not have their licenses
terminated so long as such parties remain in full compliance.
10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE
The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU
Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar
in spirit to the present version, but may differ in detail to address new
problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/. Each version of
the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies
that a particular numbered version of this License or any later version
applies to it, you have the option of following the terms and conditions either
of that specified version or of any later version that has been published
(not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not
specify a version number of this License, you may choose any version ever
published (not as a draft) by the Free Software Foundation. ADDENDUM:

197
How to use this License for your documents To use this License in a document
you have written, include a copy of the License in the document and
put the following copyright and license notices just after the title page:
Copyright (c) YEAR YOUR NAME. Permission is granted to copy, distribute and/or
modify this document under the terms of the GNU Free Documentation
License, Version 1.1 or any later version published by the Free Software Foundation;
with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the Front-
Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST. A copy of
the license is included in the section entitled GNU Free Documentation License.
If you have no Invariant Sections, write with no Invariant Sections instead
of saying which ones are invariant. If you have no Front-Cover Texts, write
no Front-Cover Texts instead of Front-Cover Texts being LIST; likewise for
BackCover Texts. If your document contains nontrivial examples of program
code, we recommend releasing these examples in parallel under your choice
of free software license, such as the GNU General Public License, to permit
their use in free software.

198 APPENDICE C. GNU FREE DOCUMENTATION LICENSE
Questo documento è la traduzione non ufficiale (e quindi senza alcun
valore legale) della GNU FDL. E’ stata inserita al solo scopo di aiutare il
lettore italiano nella comprensione del contenuto. Eventuali controversie
legali saranno risolte esclusivamente in base alla versione originale di questo
documento.
Versione 1.1, Marzo 2000
Copyright (C) 2000 Free Software Foundation, Inc.
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Chiunque può copiare e distribuire copie letterali di questo documento di licenza,
ma non ne è permessa la modifica.
0. PREAMBOLO
Lo scopo di questa licenza è di rendere un manuale, un testo o altri documenti
scritti liberi nel senso di assicurare a tutti la libertà effettiva di copiarli
e redistribuirli, con o senza modifiche, a fini di lucro ono. In secondo luogo
questa licenza prevede per autori ed editori il modo per ottenere il giusto
riconoscimento del proprio lavoro, preservandoli dall’essere considerati responsabili
per modifiche apportate da altri. Questa licenza è un copyleft:
ciò vuol dire che i lavori che derivano dal documento originale devono essere
ugualmente liberi. È il complemento alla GNU General Public License,
che è una licenza di tipo copyleft pensata per il software libero. Abbiamo
progettato questa licenza al fine di applicarla alla documentazione del software
libero, perché il software libero ha bisogno di documentazione libera:
un programma libero dovrebbe accompagnarsi a manuali che forniscano la
stessa libertà del software. Ma questa licenza non è limitata alla documentazione
del software; può essere utilizzata per ogni testo che tratti un qualsiasi
argomento e al di là dell’avvenuta pubblicazione cartacea. Raccomandiamo
principalmente questa licenza per opere che abbiano fini didattici o per manuali
di consultazione.
1 APPLICABILITÀ E DEFINIZIONI
Questa licenza si applica a qualsiasi manuale o altra opera che contenga una
nota messa dal detentore del copyright che dica che si può distribuire nei
termini di questa licenza. Con Documento, in seguito ci si riferisce a qualsiasi
manuale o opera. Ogni fruitore è un destinatario della licenza e viene
indicato con voi. Una versione modificata di un documento è ogni opera
contenente il documento stesso o parte di esso, sia riprodotto alla lettera
che con modifiche, oppure traduzioni in un’altra lingua. Una sezione secondaria
è un’appendice cui si fa riferimento o una premessa del documento e
riguarda esclusivamente il rapporto dell’editore o dell’autore del documento
con l’argomento generale del documento stesso (o argomenti affini) e non

199
contiene nulla che possa essere compreso nell’argomento principale. (Per
esempio, se il documento è in parte un manuale di matematica, una sezione
secondaria non può contenere spiegazioni di matematica). Il rapporto
con l’argomento può essere un tema collegato storicamente con il soggetto
principale o con soggetti affini, o essere costituito da argomentazioni legali,
commerciali, filosofiche, etiche o politiche pertinenti. Le sezioni non
modificabili sono alcune sezioni secondarie i cui titoli sono esplicitamente
dichiarati essere sezioni non modificabili, nella nota che indica che il documento
è realizzato sotto questa licenza. I testi copertina sono dei brevi
brani di testo che sono elencati nella nota che indica che il documento è
realizzato sotto questa licenza. Una copia trasparente del documento indica
una copia leggibile da un calcolatore, codificata in un formato le cui
specifiche sono disponibili pubblicamente, i cui contenuti possono essere visti
e modificati direttamente, ora e in futuro, con generici editor di testi o
(per immagini composte da pixel) con generici editor di immagini o (per i
disegni) con qualche editor di disegni ampiamente diffuso, e la copia deve
essere adatta al trattamento per la formattazione o per la conversione in
una varietà di formati atti alla successiva formattazione. Una copia fatta
in un altro formato di file trasparente il cui markup è stato progettato per
intralciare o scoraggiare modifiche future da parte dei lettori non è trasparente.
Una copia che non è trasparente è opaca. Esempi di formati adatti
per copie trasparenti sono l’ASCII puro senza markup, il formato di input
per Texinfo, il formato di input per LaTex, SGML o XML accoppiati ad una
DTD pubblica e disponibile, e semplice HTML conforme agli standard e progettato
per essere modificato manualmente. Formati opachi sono PostScript,
PDF, formati proprietari che possono essere letti e modificati solo con word
processor proprietari, SGML o XML per cui non è in genere disponibile la
DTD o gli strumenti per il trattamento, e HTML generato automaticamente
da qualche word processor per il solo output. La pagina del titolo di un libro
stampato indica la pagina del titolo stessa, più qualche pagina seguente per
quanto necessario a contenere in modo leggibile, il materiale che la licenza
prevede che compaia nella pagina del titolo. Per opere in formati in cui non
sia contemplata esplicitamente la pagina del titolo, con pagina del titolo si
intende il testo prossimo al titolo dell’opera, precedente l’inizio del corpo
del testo.
2. COPIE ALLA LETTERA
Si può copiare e distribuire il documento con l’ausilio di qualsiasi mezzo,
per fini di lucro e non, fornendo per tutte le copie questa licenza, le note sul
copyright e l’avviso che questa licenza si applica al documento, e che non
si aggiungono altre condizioni al di fuori di quelle della licenza stessa. Non
si possono usare misure tecniche per impedire o controllare la lettura o la
produzione di copie successive alle copie che si producono o distribuiscono.
Però si possono ricavare compensi per le copie fornite. Se si distribuiscono

200 APPENDICE C. GNU FREE DOCUMENTATION LICENSE
un numero sufficiente di copie si devono seguire anche le condizioni della
sezione 3. Si possono anche prestare copie e con le stesse condizioni sopra
menzionate possono essere utilizzate in pubblico.
3. COPIARE IN NOTEVOLI QUANTITÀ
Se si pubblicano a mezzo stampa più di 100 copie del documento, e la nota
della licenza indica che esistono uno o più testi copertina, si devono includere
nelle copie, in modo chiaro e leggibile, tutti i testi copertina indicati:
il testo della prima di copertina in prima di copertina e il testo di quarta di
copertina in quarta di copertina. Ambedue devono identificare l’editore che
pubblica il documento. La prima di copertina deve presentare il titolo completo
con tutte le parole che lo compongono egualmente visibili ed evidenti.
Si può aggiungere altro materiale alle copertine. Il copiare con modifiche
limitate alle sole copertine, purché si preservino il titolo e le altre condizioni
viste in precedenza, è considerato alla stregua di copiare alla lettera. Se il
testo richiesto per le copertine è troppo voluminoso per essere riprodotto
in modo leggibile, se ne può mettere una prima parte per quanto ragionevolmente
può stare in copertina, e continuare nelle pagine immediatamente
seguenti. Se si pubblicano o distribuiscono copie opache del documento in
numero superiore a 100, si deve anche includere una copia trasparente leggibile
da un calcolatore per ogni copia o menzionare per ogni copia opaca un
indirizzo di una rete di calcolatori pubblicamente accessibile in cui vi sia una
copia trasparente completa del documento, spogliato di materiale aggiuntivo,
e a cui si possa accedere anonimamente e gratuitamente per scaricare il
documento usando i protocolli standard e pubblici generalmente usati. Se si
adotta l’ultima opzione, si deve prestare la giusta attenzione, nel momento
in cui si inizia la distribuzione in quantità elevata di copie opache, ad assicurarsi
che la copia trasparente rimanga accessibile all’indirizzo stabilito
fino ad almeno un anno di distanza dall’ultima distribuzione (direttamente
o attraverso rivenditori) di quell’edizione al pubblico. È caldamente consigliato,
benché non obbligatorio, contattare l’autore del documento prima
di distribuirne un numero considerevole di copie, per metterlo in grado di
fornire una versione aggiornata del documento.
4. MODIFICHE
Si possono copiare e distribuire versioni modificate del documento rispettando
le condizioni delle precedenti sezioni 2 e 3, purché la versione modificata
sia realizzata seguendo scrupolosamente questa stessa licenza, con la
versione modificata che svolga il ruolo del documento, così da estendere la
licenza sulla distribuzione e la modifica a chiunque ne possieda una copia.
Inoltre nelle versioni modificate si deve: A. Usare nella pagina del titolo (e
nelle copertine se ce ne sono) un titolo diverso da quello del documento, e
da quelli di versioni precedenti (che devono essere elencati nella sezione storia
del documento ove presenti). Si può usare lo stesso titolo di una versione

201
precedente se l’editore di quella versione originale ne ha dato il permesso.
B. Elencare nella pagina del titolo, come autori, una o più persone o gruppi
responsabili in qualità di autori delle modifiche nella versione modificata,
insieme ad almeno cinque fra i principali autori del documento (tutti gli autori
principali se sono meno di cinque). C. Dichiarare nella pagina del titolo
il nome dell’editore della versione modificata in qualità di editore. D. Conservare
tutte le note sul copyright del documento originale. E. Aggiungere
un’appropriata licenza per le modifiche di seguito alle altre licenze sui copyright.
F. Includere immediatamente dopo la nota di copyright, un avviso
di licenza che dia pubblicamente il permesso di usare la versione modificata
nei termini di questa licenza, nella forma mostrata nell’addendum alla fine
di questo testo. G. Preservare in questo avviso di licenza l’intera lista di sezioni
non modificabili e testi copertina richieste come previsto dalla licenza
del documento. H. Includere una copia non modificata di questa licenza. I.
Conservare la sezione intitolata Storia, e il suo titolo, e aggiungere a questa
un elemento che riporti al minimo il titolo, l’anno, i nuovi autori, e gli
editori della versione modificata come figurano nella pagina del titolo. Se
non ci sono sezioni intitolate Storia nel documento, createne una che riporti
il titolo, gli autori, gli editori del documento come figurano nella pagina
del titolo, quindi aggiungete un elemento che descriva la versione modificata
come detto in precedenza. J. Conservare l’indirizzo in rete riportato nel
documento, se c’è, al fine del pubblico accesso ad una copia trasparente, e
possibilmente l’indirizzo in rete per le precedenti versioni su cui ci si è basati.
Questi possono essere collocati nella sezione Storia. Si può omettere
un indirizzo di rete per un’opera pubblicata almeno quattro anni prima del
documento stesso, o se l’originario editore della versione cui ci si riferisce ne
dà il permesso. K. In ogni sezione di Ringraziamenti o Dediche, si conservino
il titolo, il senso, il tono della sezione stessa. L. Si conservino inalterate
le sezioni non modificabili del documento, nei propri testi e nei propri titoli.
I numeri della sezione o equivalenti non sono considerati parte del titolo
della sezione. M. Si cancelli ogni sezione intitolata Riconoscimenti. Solo
questa sezione può non essere inclusa nella versione modificata. N. Non si
modifichi il titolo di sezioni esistenti come miglioria o per creare confusione
con i titoli di sezioni non modificabili. Se la versione modificata comprende
nuove sezioni di primaria importanza o appendici che ricadono in sezioni secondarie,
e non contengono materiale copiato dal documento, si ha facoltà
di rendere non modificabili quante sezioni si voglia. Per fare ciò si aggiunga
il loro titolo alla lista delle sezioni immutabili nella nota di copyright della
versione modificata. Questi titoli devono essere diversi dai titoli di ogni
altra sezione. Si può aggiungere una sezione intitolata Riconoscimenti, a
patto che non contenga altro che le approvazioni alla versione modificata
prodotte da vari soggetti esempio, affermazioni di revisione o che il testo
è stato approvato da una organizzazione come la definizione normativa di
uno standard. Si può aggiungere un brano fino a cinque parole come Testo

202 APPENDICE C. GNU FREE DOCUMENTATION LICENSE
Copertina, e un brano fino a 25 parole come Testo di Retro Copertina, alla
fine dell’elenco dei Testi Copertina nella versione modificata. Solamente un
brano del Testo Copertina e uno del Testo di Retro Copertina possono essere
aggiunti (anche con adattamenti) da ciascuna persona o organizzazione.
Se il documento include già un testo copertina per la stessa copertina, precedentemente
aggiunto o adattato da voi o dalla stessa organizzazione nel
nome della quale si agisce, non se ne può aggiungere un altro, ma si può
rimpiazzare il vecchio ottenendo l’esplicita autorizzazione dall’editore precedente
che aveva aggiunto il testo copertina. L’ autore/i e l’editore/i del
documento non ottengono da questa licenza il permesso di usare i propri
nomi per pubblicizzare la versione modificata o rivendicare l’approvazione
di ogni versione modificata.
5. UNIONE DI DOCUMENTI
Si può unire il documento con altri realizzati sotto questa licenza, seguendo
i termini definiti nella precedente sezione 4 per le versioni modificate, a patto
che si includa l’insieme di tutte le Sezioni Invarianti di tutti i documenti
originali, senza modifiche, e si elenchino tutte come Sezioni Invarianti della
sintesi di documenti nella licenza della stessa. Nella sintesi è necessaria
una sola copia di questa licenza, e multiple sezioni invarianti possono essere
rimpiazzate da una singola copia se identiche. Se ci sono multiple Sezioni
Invarianti con lo stesso nome ma contenuti differenti, si renda unico il titolo
di ciascuna sezione aggiungendovi alla fine e fra parentesi, il nome dell’autore
o editore della sezione, se noti, o altrimenti un numero distintivo. Si
facciano gli stessi aggiustamenti ai titoli delle sezioni nell’elenco delle Sezioni
Invarianti nella nota di copyright della sintesi. Nella sintesi si devono
unire le varie sezioni intitolate storia nei vari documenti originali di partenza
per formare una unica sezione intitolata storia; allo stesso modo si unisca
ogni sezione intitolata Ringraziamenti, e ogni sezione intitolata Dediche. Si
devono eliminare tutte le sezioni intitolate Riconoscimenti.
6. RACCOLTE DI DOCUMENTI
Si può produrre una raccolta che consista del documento e di altri realizzati
sotto questa licenza; e rimpiazzare le singole copie di questa licenza nei vari
documenti con una sola inclusa nella raccolta, solamente se si seguono le regole
fissate da questa licenza per le copie alla lettera come se si applicassero
a ciascun documento. Si può estrarre un singolo documento da una raccolta
e distribuirlo individualmente sotto questa licenza, solo se si inserisce una
copia di questa licenza nel documento estratto e se si seguono tutte le altre
regole fissate da questa licenza per le copie alla lettera del documento.
7. RACCOGLIERE INSIEME A LAVORI INDIPENDENTI
Una raccolta del documento o sue derivazioni con altri documenti o lavori
separati o indipendenti, all’interno di o a formare un archivio o un supporto

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per la distribuzione, non è una versione modificata del documento nella sua
interezza, se non ci sono copyright per l’intera raccolta. Ciascuna raccolta
si chiama allora aggregato e questa licenza non si applica agli altri lavori
contenuti in essa che ne sono parte, per il solo fatto di essere raccolti insieme,
qualora non siano però loro stessi lavori derivati dal documento. Se le
esigenze del Testo Copertina della sezione 3 sono applicabili a queste copie
del documento allora, se il documento è inferiore ad un quarto dell’intero
aggregato i Testi Copertina del documento possono essere piazzati in copertine
che delimitano solo il documento all’interno dell’aggregato. Altrimenti
devono apparire nella copertina dell’intero aggregato.
8. TRADUZIONI
La traduzione è considerata un tipo di modifica, e di conseguenza si possono
distribuire traduzioni del documento seguendo i termini della sezione 4.
Rimpiazzare sezioni non modificabili con traduzioni richiede un particolare
permesso da parte dei detentori del diritto d’autore, ma si possono includere
traduzioni di una o più sezioni non modificabili in aggiunta alle versioni
originali di queste sezioni immutabili. Si può fornire una traduzione della
presente licenza a patto che si includa anche l’originale versione inglese di
questa licenza. In caso di discordanza fra la traduzione e l’originale inglese
di questa licenza la versione originale inglese prevale sempre.
9. TERMINI
Non si può applicare un’altra licenza al documento, copiarlo, modificarlo,
o distribuirlo al di fuori dei termini espressamente previsti da questa licenza.
Ogni altro tentativo di applicare un’altra licenza al documento, copiarlo,
modificarlo, o distribuirlo è deprecato e pone fine automaticamente ai diritti
previsti da questa licenza. Comunque, per quanti abbiano ricevuto copie o
abbiano diritti coperti da questa licenza, essi non ne cessano se si rimane
perfettamente coerenti con quanto previsto dalla stessa.
10. REVISIONI FUTURE DI QUESTA LICENZA
La Free Software Foundation può pubblicare nuove, rivedute versioni della
Gnu Free Documentation License volta per volta. Qualche nuova versione
potrebbe essere simile nello spirito alla versione attuale ma differire in dettagli
per affrontare nuovi problemi e concetti. Si veda http://www.gnu.org/copyleft.
Ad ogni versione della licenza viene dato un numero che distingue la versione
stessa. Se il documento specifica che si riferisce ad una versione particolare
della licenza contraddistinta dal numero o ogni versione successiva,
si ha la possibilità di seguire termini e condizioni sia della versione specificata
che di ogni versione successiva pubblicata (non come bozza) dalla Free
Software Foundation. Se il documento non specifica un numero di versione
particolare di questa licenza, si può scegliere ogni versione pubblicata (non
come bozza) dalla Free Software Foundation. Come usare questa licenza

204 APPENDICE C. GNU FREE DOCUMENTATION LICENSE
per i vostri documenti Per applicare questa licenza ad un documento che si
è scritto, si includa una copia della licenza nel documento e si inserisca il
seguente avviso di copiright appena dopo la pagina del titolo:
Copyright (c) ANNO VOSTRO NOME. È garantito il permesso di copiare,
distribuire e/o modificare questo documento seguendo i termini della GNU
Free Documentation License, Versione 1.1 o ogni versione successiva pubblicata
dalla Free Software Foundation; con le Sezioni Non Modificabili ELEN-
CARNE I TITOLI, con i Testi Copertina ELENCO, e con i Testi di Retro Copertina
ELENCO. Una copia della licenza è acclusa nella sezione intitolata GNU
Free Documentation License.
Se non ci sono Sezioni non Modificabili, si scriva senza Sezioni non Modificabili
invece di dire quali sono non modificabili. Se non c’è Testo Copertina,
si scriva nessun Testo Copertina invece di il testo Copertina è ELENCO; e
allo stesso modo si operi per il Testo di Retro Copertina. Se il vostro documento
contiene esempi non banali di programma in codice sorgente si
raccomanda di realizzare gli esempi contemporaneamente applicandovi anche
una licenza di software libero di vostra scelta, come ad esempio la GNU
General Public License, al fine di permetterne l’uso come software libero. La
copia letterale e la distribuzione di questo articolo nella sua integrità sono
permesse con qualsiasi mezzo, a condizione che questa nota sia riprodotta.

Bibliografia
[1] Paolo Marcellini, Carlo Sbordone: Calcolo, Liguori Editore 1992
[2] Tobias Oetiker, Hubert Partl, Irene Hyna, Elisabeth Schlegl: Una (mica
tanto) breve introduzione a LATEX 2ε, 2000
[3] Valeriano Comincioli: Analisi Numerica metodi, modelli, applicazioni.
Ed. McGraw-Hill 1995
[4] Piergiorgio Odifreddi: Il computer di Dio, Ed. Raffaello Cortina 2000
[5] Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach, Ed. Gli Adelphi 1979
[6] Thomas Robert Malthus : Saggio sulla popolazione, 1798
[7] Cristiano Ciappei: Dispense di Economia e Gestione delle Imprese II,
2002
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