STATISTICS-WWW.CLIPVIDVA.COM_

คณิตศาสตร์ สถิติ www.clipvidva.com 

สถิติ 

ในปัจจุบันชีวิตคนเราต้องพบกับ ข้อมูล (Data) มากมาย หากเราต้องการน าข้อมูลเหล่านี้ไปใช้ให้เกิด 

ประโยชน์ในสาขาต่างๆ เช่น เศรษฐศาสตร์ วิทยาศาสตร์ เป็นต้น เราจะต้องท าการวิเคราะห์ข้อมูลซึ่งเป็นที่มา 

ของวิชา สถิติศาสตร์ (Statistics) ซึ่งเราจะได้ศึกษากันในบทนี้ 

จากสถิติแล้ว ข้อสอบ PAT1 มีการออกข้อสอบ 

ในบทนี้ทุกครั้งประมาณครั้งละ 

5-6 ข้อ ที่ส 

าคัญระดับความยากถือว่าไม่ยากมากน่าเก็บคะแนนเป็นอย่างยิ่ง 

ครับ 

สถิติ 

1. การน าเสนอข้อมูล 

2. ค่ากลางข้อมูล 

3. ต าแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล 

4. ค่าการกระจายข้อมูล 

5. ค่ามาตรฐานและการแจกแจง 

แบบปกติ 

6. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน 

ระหว่างข้อมูล 

1


1. การน าเสนอข้อมูล 

ได้ 2 รูปแบบ 

การแจกแจงความถี่ 

เป็นการจัดเรียงล าดับข้อมูลดิบที่เก็บรวบรวมมาได้ 

โดยจัดให้เป็นหมวดหมู่ 

ซึ่งท 

า 

1. การแจกแจงความถี่แบบตาราง 

1.1 ตารางแจกแจงความถี่ 

1.2 ตารางแจกแจงความถี่สะสม 

1.3 ตารางแจกแจงความถี่สัมพัทธ์ 

1.4 ตารางแจกแจงความถี่สะสมสัมพัทธ์ 

2. การแจกแจงความถี่แบบใช้แผนภูมิหรือกราฟ 

2.1 ฮิสโทแกรม 

2.2 รูปหลายเหลี่ยมความถี่ 

2.3 โค้งความถี่ 

2.4 โค้งความถี่สะสม 

2.5 แผนภาพต้น-ใบ 

ตัวอย่างตารางและแผนภาพการแจกแจงความถี่แบบต่างๆ 

2

NOTE 


3


2. ค่ากลางข้อมูล 

ข้อควรรู้ 

2.1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 

(Arithmetic mean) 

ข้อมูล มีสูตรดังนี้ 

ประชากร หมายถึง กลุ่มของสมาชิกทุกหน่วยที่เราต้องการศึกษาลักษณะ 

กลุ่มตัวอย่าง 

หมายถึง กลุ่มย่อยของสมาชิกในกลุ่มของประชากรที่สุ่มเลือกมาเพื่อศึกษา 

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 

เรียกสั้นๆว่าค่าเฉลี่ย 

คือค่าของผลรวมของข้อมูลทั้งหมดหารด้วยจ 

านวน 

เมื่อ 

Xi แทน ข้อมูลแต่ละตัว และ n แทน จ านวนข้อมูล 

นอกจากนี้ยังมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตในแบบต่างๆ 

ได้แก่ 

- ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้าหนัก 


wi คือ น้าหนักถ่วงของแต่ละข้อมูล 

4

NOTE 


- ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม 

- ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว 

2.2 มัธยฐาน (Median) 


fi แทนความถี่ของแต่ละอันตรภาคชั้น 

และ xi แทน จุดกึ่งกลางของแต่ละอันตรภาคชั้น 

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบลดทอน 

มัธยฐาน คือค่าของข้อมูลที่อยู่ต 

าแหน่งกึ่งกลางของชุดข้อมูลเมื่อมีการจัดเรียงข้อมูลจากน้อย 

ไปมากหรือมากไปน้อย โดยแบ่งเป็น 2 กรณี 

- กรณีข้อมูลไม่มีการแจกแจงความถี่ 

N 1 

มัธยฐาน คือ ค่าของข้อมูลต าแหน่งที่ 

2 

***ข้อควรระวัง การหาค่ามัธยฐานข้อมูลต้องมีการเรียงล าดับจากน้อยไปมากแล้ว 

5


- กรณีข้อมูลมีการแจกแจงความถี่ 


L แทนขอบล่างของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่ 

I แทนความกว้างของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่ 

L 

f แทนความถี่สะสมจนถึงขอบล่างของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่ 

f Med แทนความถี่ของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่ 

2.3 ฐานนิยม (Mode) 

ฐานนิยม คือข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด 

แบ่งเป็น 2 กรณี 


NOTE 


ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีความถี่(จ 

านวน)สูงสด 


L แทนขอบล่างของชั้นที่มีฐานนิยมอยู่ 

I แทนความกว้างของชั้นที่มีฐานนิยมอยู่ 

d แทนผลต่างความถี่ของชั้นที่มีฐานนิยมอยู่กับชั้นที่อยู่ติดกันที่ต่ากว่า 

L 

d แทนผลต่างความถี่ของชั้นที่มีฐานนิยมอยู่กับชั้นที่อยู่ติดกันที่สูงกว่า 

U 

6


2.4 สมบัติของค่ากลางข้อมูล 

- 

n 

 

i1 

nX X 

n 

 

i1 

- X X 

n 

 

i 

i 

0 

- 

i1 

i 

2 

X k มีค่าน้อยที่สุด 


kX - 

n 

 

i1 

Xik มีค่าน้อยที่สุด 


k Med 

- ถ้าข้อมูลชุด Y ทุกๆตัวสัมพันธ์กับข้อมูลชุด X แต่ละตัว ตามสมการ i i 

ว่า Y mXCหรือ Y mXC หรือ Y mXC REVIEW 

Med Med 

7 

Mod Mod 

Y mX C จะได้ 

ตัวอย่าง ข้อมูลน้าหนัก 

(ก.ก.) ของนักเรียน 9 คนเป็นดังนี้ 

50 64 72 43 57 59 64 41 50 

จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต 

มัธยฐานและฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้


ตัวอย่าง จงค านวณผลการเรียนเฉลี่ยของนักเรียนคนหนึ่งซึ่งมีผลการเรียนดังนี้ 

รายวิชา คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา ภาษาอังกฤษ 

หน่วยกิต 3 2 1.5 1.5 2 

เกรดที่ได้ 

4 2.5 3 3.5 1.5 

ตัวอย่าง นักเรียนห้องหนึ่งมีนักเรียนทั้งหมด 

24 คน เป็นนักเรียนชาย 16 คน โดยส่วนสูงเฉลี่ยของ 

นักเรียนชายและหญิง คือ 172 และ 158 เซนติเมตร ตามล าดับ จงหาส่วนสูงเฉลี่ยของนักเรียนห้องนี้ 

ตัวอย่าง ตารางแจกแจงความถี่สะสมของคะแนนสอบของนักเรียน 

100 คน เป็นดังนี้ 

คะแนน จ านวนนักเรียนสะสม 

20-29 2 

30-39 11 

40-49 24 

50-59 44 

60-69 74 

70-79 89 

80-89 99 

90-99 100 

จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต 

มัธยฐานและฐานนิยมของคะแนนสอบ 

8


ตัวอย่าง จงหาค่า a-b เมื่อ 

a คือค่าที 

12 20 และ b คือค่าที่ท 

าให้ 

8 

bYiมีค่าน้อยที i1 

่ท าให้ aX 

9 

5 

 

i1 

i 

2 

มีค่าน้อยที่สุดส 

าหรับข้อมูล X : 2 3 6 

่สุดส าหรับข้อมูล Y : 16 15 10 8 7 6 5 3 

ENT ต.ค. 41 ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงล 

าดับจากน้อยไปมากได้เป็น 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120 ถ้า 

ฐานนิยมและมัธยฐานของคะแนนชุดนี้เป็น 

30 และ 40 ตามล าดับ แล้วข้อมูลชุดต่อไปนี้ 

คือ 11, 22, 33, 34, 

a+5, b+6, 67, 68, 99, 130 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับข้อใด 

1. 50 2. 55.5 3. 60 4. 60.5


ENT มี.ค. 42 เมื่อสร้างตารางแจกแจงความถี่ของนักเรียน 

36 คน โดยใช้ความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้น 

เป็น 10 แล้ว ปรากฏว่ามัธยฐานของคะแนนทั้งหมดอยู่ในช่วง 

50-59 ถ้ามีนักเรียนที่สอบได้คะแนนต่ากว่า 

49.5 คะแนนอยู่จ 

านวน 12 คน และมีนักเรียนได้คะแนนต่ากว่า 

59.5 คะแนนอยู่จ 

านวน 20 คน แล้วมัธยฐาน 

ของคะแนนการสอบครั้งนี้มีค่าเท่ากับเท่าใด 

1. 53 2. 54 3. 56 4. 57 

ENT มี.ค. 44 ก าหนดให้ x1, x2,…, x10 มีค่าเป็น 5, 6, a, 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามล าดับ โดยที่ 

a


ENT มี.ค. 48 ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 

x1, x2,…, x13 โดยที่ 

xn = | 5-n | เมื่อ 

n = 1, 2,…, 13 จ านวน 

จริง a ที่ท 

าให้ 

13 

 

i1 

x a 

n 

มีค่าน้อยที่สุด 

เท่ากับเท่าใด 

PAT1 มี.ค. 52 ข้อมูลชุดหนึ่งมี 

99 จ านวน เรียงล าดับจากน้อยไปมากได้เป็น x1, x2,…, x99 ถ้าค่าเฉลี่ยเลข 

คณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับมัธยฐาน 

แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 

1. 

49 99 

 

x x 

i i 

i1i51 49 99 

 

2. x x x x 

3. 

50 i 50 i 

i1i51 49 99 

 

x x x x 

50 i 50 i 

i1i51 49 2 99 

2 

 

4. x x x x 

50 i 50 i 

i1i51 11


PAT1 มี.ค. 53 นักเรียนห้องหนึ่งสอบวิชาคณิตศาสตร์ได้คะแนนเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 

40 คะแนน ถ้า 

นักเรียนชายสอบได้คะแนนเฉลี่ยเลขคณิต 

35 คะแนนและนักเรียนหญิงสอบได้คะแนนเฉลี่ยเลขคณิต 

50 

คะแนน อัตราส่วนของนักเรียนชายต่อนักเรียนหญิงตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 

1. 3:2 

2. 2:3 

3. 2:1 

4. 1:2 

PAT1 ก.ค. 53 สร้างตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนการสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง 

โดยให้ความกว้างของ 

แต่ละอันตรภาคชั้นเป็น 

10 แล้วปรากฏว่ามัธยฐานของคะแนนการสอบเท่ากับ 57 คะแนนซึ่งอยู่ในช่วง 

50-59 

ถ้ามีนักเรียนที่สอบได้คะแนนต่ากว่า 

49.5 คะแนน อยู่จ 

านวน 12 คน และมีนักเรียนได้คะแนนต่ากว่า 

59.5 

คะแนน อยู่จ 

านวน 20 คน จงหาว่านักเรียนกลุ่มนี้มีทั้งหมดกี่คน 

12


3. ต าแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล 

ในหัวข้อที่แล้วเราได้ศึกษาการหาค่ากึ่งกลางของข้อมูลไปแล้ว 

ไม่ว่าจะเป็น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 

มัธยฐาน 

และฐานนิยม ส าหรับในบทนี้เราจะศึกษาค่า 

ณ ต าแหน่งใดๆของข้อมูล ได้แก่ ควอร์ไทล์ (แบ่งข้อมูลออกเป็น 

4 ส่วนเท่าๆกัน) เดไซล์ (แบ่งข้อมูลออกเป็น 10 ส่วนเท่าๆกัน) และเปอร์เซนไทล์ (แบ่งข้อมูลออกเป็น 100 

ส่วนเท่าๆกัน) โดยข้อมูลจะต้องถูกเรียงล าดับจากน้อยไปมากก่อนเสมอ 

NOTE 

แบ่งเป็น 2 กรณี 

D1 

แผนภาพอธิบายต าแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล 

P25 

Q1 

D2.5 

การค านวณหาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์และเปอร์เซนไทล์มีลักษณะคล้ายๆกับการค านวณค่ามัธยฐาน โดย 


Med 

P50 

Q2 

D5 

r 

ควอไทล์ที่ 

r (Qr) คือข้อมูลต าแหน่งที่ 

N 1 

4 

13 

P75 

Q3 

D7.5 

D9


r 

เดไซล์ที่ 

r (Dr) คือข้อมูลต าแหน่งที่ 

N 1 

10 

r 

เปอร์เซนไทล์ที่ 

r (Pr) คือข้อมูลต าแหน่งที่ 

N 1 

100 

***ข้อควรระวัง ในการหาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์และเปอร์เซนไทล์ข้อมูลต้องมีการเรียงล าดับจากน้อยไปมาก 

แล้ว 


r Q 


L แทนขอบล่างของชั้นที่มีควอร์ไทล์ 

เดไซล์หรือเปอร์เซนไทล์อยู่ 

I แทนความกว้างของชั้นที่มีควอร์ไทล์ 


f แทนความถี่สะสมจนถึงขอบล่างของชั้นที่มีควอร์ไทล์ 


L 

f , r D f , r P f แทนความถี่ของชั้นที่มีควอร์ไทล์ 


***ข้อควรระวัง ในการหาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์และเปอร์เซนไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว 

จะใช้ 

ต าแหน่งโดยไม่ต้องบวกหนึ่ง 

มีแผนภาพอีกชนิดหนึ่งที่ช่วยให้เห็นการกระจายข้อมูลได้ชัดเจนยิ่งขึ้น 

เรียกว่า แผนภาพกล่อง (Box 

plot) ซึ่งจะบอกค่าทางสถิติทั้งหมด 

5 ค่า ได้แก่ ข้อมูลต่าสุด 

ข้อมูลสูงสุด ข้อมูลในควอร์ไทล์ที่ 

1, 2, 3 โดยรูป 

ด้านล่างแสดงตัวอย่างของแผนภาพกล่อง 

14


องค์ประกอบของแผนภาพกล่อง ได้แก่ ตัวกล่องซึ่งจุดปลายกล่องทางด้านซ้าย 

ตรงกลางและขวาจะ 

เป็นข้อมูลในควอร์ไทล์ที่ 

1 2 และ 3 ตามล าดับ และกิ่งซึ่งจะยื่นออกมาจากกล่อง 

โดยจุดปลายกิ่งซ้ายและกิ่ง 

ขวาคือ ข้อมูลต่าสุดและสูงสุดตามล 

าดับ 

ตัวอย่าง จากข้อมูล 18.3 20.6 19.3 22.4 20.2 18.8 19.7 20.0 19.6 18.8 จงหา P89 – Q3 + D4 

ตัวอย่าง ส่วนสูงของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังตาราง 

จงใช้ตารางในการตอบค าถามต่อไปนี้ 

ส่วนสูง (cm) จ านวนนักเรียน 

150-154 5 

155-159 10 

160-164 12 

165-169 14 

170-174 8 

175-179 7 

180-184 4 

15


ก. นายด าและนายแดงเป็นนักเรียนในกลุ่มนี้ 

โดยนายด ามีส่วนสูงอยู่ในต 

าแหน่งควอร์ไทล์ที่ 

3 และนายแดงมีส่วนสูงอยู่ในต 

าแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 

45 ดังนั้นนายด 

าและนายแดงมีส่วนสูงต่างกันเท่าไร 

ข. นางสาวขาวมีส่วนสูง 159.5 เซนติเมตร คิดเป็นเดไซล์ที่เท่าไร 

ENT มี.ค. 46 ก าหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งได้ดังนี้ 

่ 

คะแนน ความถี 

16-18 a 

19-21 2 

22-24 3 

25-27 6 

28-30 4 

ถ้าควอร์ไทล์ที่ 

1 (Q1) เท่ากับ 18.5 คะแนน แล้วมัธยฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องนี้ 


16


A-NET 49 โรงงานแห่งหนึ่งมีพนักงานจ 

านวน 40 คน และตารางการแจกแจงความถี่สะสมของอายุ 

พนักงานเป็นดังนี้ 

อายุ(ปี) ความถี่สะสม 

11-20 6 

21-30 14 

31-40 26 

41-50 36 

51-60 40 

ถ้าผู้จัดการมีอายุ 

48.5 ปี แล้วพนักงานที่มีอายุระหว่างค่ามัธยฐานของอายุพนักงานและอายุของผู้จัดการ 

มี 

จ านวนประมาณเท่ากับข้อใด 

1. 31.5% 

2. 33.7% 

3. 35.0% 

4. 37.0% 

PAT1 ต.ค. 52 ข้อมูลชุดหนึ่งมี 

5 จ านวนและมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 

12 ถ้าควอไทล์ที่ 

1 และ 3 ของ 

ข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 

5 และ 20 ตามล าดับ แล้วเดไซล์ที่ 

5 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด 

17


PAT1 ต.ค. 53 ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 2 ห้อง ซึ่งท 

าคะแนนเฉลี่ยได้ 

60 คะแนน โดยห้อง 

แรกมีนักเรียนจ านวน 40 คน และห้องที่สองมีนักเรียนจ 

านวน 30 คน ถ้าคะแนนสอบในห้องแรก เปอร์เซน 

ไทล์ที่ 

50 มีค่า 64 คะแนนและฐานนิยมมีค่าเป็น 66 คะแนน แล้วคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนห้องที่สองมีค่า 


PAT1 มี.ค. 54 ในการสอบคณิตศาสตร์คะแนนเต็ม 60 คะแนน มีนักเรียนเข้าสอบ 30 คน นาย ก. เป็น 

นักเรียนคนหนึ่งที่เข้าสอบในครั้งนี้ 

นาย ก. สอบได้ 53 คะแนนและมีจ านวนนักเรียนที่มีคะแนนสอบน้อยกว่า 

53 คะแนนอยู่ 

27 คน ถ้ามีการจัดกลุ่มคะแนนสอบเป็นช่วงคะแนนโดยมีอันตรภาคชั้นกว้างเท่าๆกัน 

คะแนน 

สอบของนาย ก. อยู่ในช่วงคะแนน 

51-60 จ านวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนในช่วงคะแนน 

51-60 นี้มีทั้งหมดกี่ 

คน 

1. 3 

2. 4 

3. 5 

4. 9 

18


4. ค่าการกระจายข้อมูล 

ในหัวข้อที่ผ่านมาเราได้ศึกษาถึงค่ากลางของข้อมูลเพื่อใช้เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมด 

แต่ยังมีอีกสิ่ง 

หนึ่งที่ควรจะวิเคราะห์ประกอบกันนั่นคือ 

การกระจายตัวของขัอมูล ซึ่งจะช่วยให้เราเข้าใจข้อมูลที่เรามีได้ 

ละเอียดขึ้น 

โดยการวัดการกระจายตัวของข้อมูลแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ การวัดการกระจายสัมบูรณ์และการ 

วัดการกระจายสัมพัทธ์ ซึ่งแต่ละประเภทจะมีตัววัดการกระจายข้อมูลอีก 

4 แบบ ซึ่งจะได้ศึกษาต่อไป 

4.1 การวัดการกระจายสัมบูรณ์ คือ การวัดการกระจายตัวของข้อมูลเพียงชุดเดียว เพื่อดู 

ว่าข้อมูลชุดนั้นมีการกระจายตัวมากน้อยเพียงใด 

โดยที่นิยมใช้มีอยู่ทั้งหมด 

4 แบบ ได้แก่ 

- พิสัย 

- ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ 

- ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 

- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 

สูตรการค านวณ พิสัย (Range) 



พิสัย = ค่าสูงสุด – ค่าต่าสุด 

( xmax xmin) 

พิสัย = ขอบบนของอันตรภาคชั้นที่มีข้อมูลที่มีค่าสูงสุด 

– ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่มีข้อมูลที่มีค่าต่าสุด 

สูตรการค านวณ ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ 

(Quartile deviation : QD) 

- กรณีข้อมูลไม่มีการแจกแจงความถี่และมีการแจกแจงความถี่ 

สูตรการค านวณ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 

(Mean deviation : MD) 


19



สูตรการค านวณ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 

(Standard deviation : SD) 



NOTE 

ถ้าข้อมูลชุด Y ทุกๆตัว สัมพันธ์กับข้อมูลชุด X แต่ละตัว ตามสมการ จะได้ว่า 

ค่าการกระจายของข้อมูลชุด Y เป็น |m| เท่าของชุด X 

4.2 การวัดการกระจายสัมพัทธ์ จะใช้ก็ต่อเมื่อมีข้อมูลตั้งแต่สองชุดขึ้นไป 

ซึ่งอาจเป็น 

ข้อมูลคนละประเภทแต่สามารถน ามาวัดการกระจายได้ โดยที่นิยมใช้มีอยู่ทั้งหมด 


- สัมประสิทธิ์ของพิสัย 

- สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ 

- สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 

- สัมประสิทธิ์ของความแปรผัน 

20


สูตรการค านวณ สัมประสิทธิ์ของพิสัย(Coefficient 

of Range : CR) 

สูตรการค านวณ สัมประสิทธิ์ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ 

(Coefficient of quartile deviation : CQ) 

สูตรการค านวณ สัมประสิทธิ์ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 

(Coefficient of average deviation : CA) 

สูตรการค านวณ สัมประสิทธิ์ของความแปรผัน 

(Coefficient of variation : CV) 


ตัวอย่าง อายุของสมาชิกในครอบครัวหนึ่งซึ่งมี 

5 คน ได้แก่ 10, 30, 30, 30, 60 ปี จงหาค่าการ 

กระจายสัมบูรณ์ทั้ง 

4 แบบ 

21



ความแปรปรวน ( ) เป็นการวัดการกระจายสัมบูรณ์อีกชนิดหนึ่ง 

โดย 

ความแปรปรวน = ค่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 

2 

และเมื่อมีข้อมูล 

2 ชุดที่แต่ละชุดทราบความแปรปรวน 

สามารถหาความแปรปรวนรวมได้จาก 

ตัวอย่าง ในการสอบครั้งหนึ่ง 

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของคะแนนสอบของนักเรียนเป็น 

14 คะแนนและ 1.4 คะแนน 2 ตามล าดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนเมื่อ 

ก. ผู้สอนเพิ่มคะแนนเก็บให้กับทุกคน 

คนละ 5 คะแนน 

ข. หากผู้สอนปรับคะแนนเต็มจากเดิม 

20 คะแนนเป็น 60 คะแนน 

22


ENT มี.ค. 43 ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 

x1, x2, x3,…, x20 โดยมีสมบัติดังนี้ 

20 

Xia มีค่าน้อยที 

i1 

่สุดเมื่อ 

a=5 และ 

20 

2 

( Xib) มีค่าน้อยที 

i1 

1. ข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตน้อยกว่าค่ามัธยฐาน 

2. ผลรวมของข้อมูลชุดนี้ทั้งหมดเท่ากับ 

100 

3. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ 

5 

4. สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ 

50% 

23 

20 

2 

( Xi 

5) 500 

i1 

 

่สุดเมื่อ 

b=8 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 

ENT ต.ค. 45 ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงล 

าดับจากน้อยไปมาก คือ a 4 5 6 b ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วน 

เบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 

6 และ 3 ตามล าดับ สัมประสิทธิ์ของพิสัยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด 

,


ENT มี.ค. 47 ถ้า 20, x2,…,x25 เป็นข้อมูลที่เรียงจากค่าน้อยไปค่ามากและเป็นล 

าดับเลขคณิตและควอร์ไทล์ 

ที่หนึ่งของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 

31 แล้วส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 

1. 6.24 

2. 10.28 

3. 12.48 

4. 24.96 

ENT ต.ค 47 ให้ x1, x2,…, x5 เป็นข้อมูลชุดหนึ่งซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 

6 ถ้า 

แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 

1. 2 

2. 2 

3. 6 

4. 2 2 

24 

5 

2 

( Xi 

4) 30 

i1


PAT1 ก.ค. 52 ถ้าความยาวของรัศมีวงกลม 10 วงมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 

3 และมีความแปรปรวนเท่ากับ 

5 แล้วผลรวมของพื้นที่วงกลมทั้ง 

10 วงนี้ 

มีค่าเท่ากับเท่าใดต่อไปนี้ 

1. 90 

2. 95 

3. 140 

4. 340 

PAT1 ต.ค. 53 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ 

ก. ในการสอบของนักเรียน 3 คน พบว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ 

80 คะแนน ค่ามัธย- 

ฐาน 75 คะแนน และพิสัยเท่ากับ 25 คะแนน คะแนนสอบของนักเรียนที่ได้คะแนนต่าสุดเท่ากับ 

70 คะแนน 

ข. ข้อมูลชุดที่หนึ่งมี 

5 จ านวน คือ x1, x2, x3, x4, x5 และข้อมูลชุดที่สองมี 

4 จ านวน คือ x1, x2, x3, 

x4 โดยที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลทั้งสองชุดเท่ากัน 

ถ้า a และ b เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดที่ 

หนึ่งและชุดที่สองตามล 

าดับ แล้ว 

b 

a 

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 

1. ก. ถูก และ ข. ถูก 

2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 

3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 

4. ก. ผิด และ ข. ผิด 

5 

2 

25


5. ค่ามาตรฐานและการแจกแจงแบบปกติ 

5.1 ค่ามาตรฐาน 

ในหัวข้อนี้ 

หากเราต้องการเปรียบเทียบข้อมูลตั้งแต่สองชุดขึ้นไป 

เช่น นาย ก. ได้คะแนนสอบ 

วิชาคณิตศาสตร์ 90% ส่วนวิชาฟิสิกส์ 98% เราไม่สามารถกล่าวได้ว่า นาย ก. เก่งวิชาฟิสิกส์มากกว่าวิชา 

คณิตศาสตร์ แต่เราต้องค านึงถึงค่าเฉลี่ยและการกระจายของคะแนนทั้งสองวิชาด้วย 

นักสถิติจึงคิดค่าทางสถิติ 

ใหม่อีกหนึ่งตัวเพื่อใช้เปรียบเทียบข้อมูลซึ่งมาจากคนละชุด 

นั่นก็คือ 

ค่ามาตรฐาน (Standard score : z) โดย 

หาได้จาก 

สมบัติของค่ามาตรฐาน 

- 

n 

 

i1 

z 

i 

0 

- z 0 และ SD 1 เสมอ 

z 

- The 95% rule กล่าวว่า “โดยทั่วไปข้อมูลที่อยู่ระหว่าง 

z = -2 และ z = 2 จะมีปริมาณ 95% 

ของข้อมูลทั้งหมด” 

หมายความว่าข้อมูลทั้งหมดจะอยู่ในช่วง 

(z – 2SD, z + 2SD) แสดงว่าเรา 

อาจประมาณ พิสัย เท่ากับ 4SD ได้ 

5.2 เส้นโค้งความถี่และการแจกแจงแบบปกติ 

เส้นโค้งความถี่ 

แสดงให้เห็นถึงลักษณะการแจกแจงของข้อมูลมีทั้งหมด 


26


สิ่งที่เราได้จากเส้นโค้งความถี่ 

นั่นคือ 

สามารถค านวณหาต าแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล (มัธยฐาน ควอร์ 

ไทล์ เดไซล์ เปอร์เซนไทล์) ได้ โดยอาศัยพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ 

ซึ่งมีหลักการง่ายๆ 

ได้แก่ 

1. เราจะต้องเปลี่ยนข้อมูลของเราให้อยู่ในรูปค่ามาตรฐาน 

แล้วน าไปสร้างเส้นโค้งปกติ 

มาตรฐาน ซึ่งมีสมบัติว่า 

พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานจะเท่ากับ 

1.00 

2. ใช้ตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานกับค่ามาตรฐาน 

โดย 

ค่าที่ระบุในตารางจะแสดงพื้นที่ที่วัดระหว่าง 

z=0 ไปถึง z ใดๆที่ระบุในตาราง 

3. หาค่าต าแหน่งสัมพัทธ์ที่ต้องการโดยน 

าพื้นที่ที่ได้ไปเปลี่ยนเป็นค่ามาตรฐาน 

เช่น การหาเปอร์เซนไทล์ที่ 

65 จะท าได้โดยการเปิดตารางพื้นที่ 

0.65-0.5=0.15 ซึ่งจะได้ว่าค่า 

z=0.385 หรือ เปอร์เซนไทล์ที่ 

20 จะท าได้โดยการเปิดตาราง 0.5-0.2=0.3 ซึ่งจะได้ค่า 

z=0.841 แต่เนื่องจาก 

เป็นพื้นที่ทางด้านซ้าย 

จะได้ z=-0.841 

ตัวอย่าง นายแดงสอบวิชาภาษาไทยและคณิตศาสตร์ได้คะแนน 48 และ 35 คะแนนตามล าดับ โดย 

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาภาษาไทยและคณิตศาสตร์เท่ากับ 

45 และ 32 คะแนนตามล าดับ และ 

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 

12 และ 10 คะแนนตามล าดับ จงหาว่านายแดงสอบวิชาใดได้ดีกว่ากัน 

27


ตัวอย่าง คนงาน 100 คน มีอายุเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุเป็น 

25 และ 13 ปี 

ตามล าดับ ถ้าผลรวมของค่ามาตรฐานของอายุคนงาน 99 คนเป็น -0.25 แล้ว อายุของคนงานอีกคนที่เหลือ 

เป็นเท่าใด 

ตัวอย่าง ถ้าคะแนนสอบวิชาเคมีมีการแจกแจงปกติ โดยมีคะแนนเฉลี่ยและความแปรปรวนเป็น 

60 

และ 25 ตามล าดับ และผู้สอบผ่านต้องได้ไม่น้อยกว่า 

54 คะแนน สมมตินาย ก ข และ ค ทราบว่าตนเองได้ 

คะแนนอยู่ในต 

าแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 

10 15 และ 33 ตามล าดับ จงหาว่านาย ค สอบได้คะแนนเท่าใดและ 

นักเรียนทั้งสามคนนี้ใครสอบผ่านบ้าง 

ก าหนดให้ตารางแสดงพื้นที่ใต้โค้งปกติตั้งแต่ค่ามาตรฐาน 

0 ถึง z ดังนี้ 

่ 

Z 0.35 0.40 0.44 1.20 

พื้นที 

0.1368 0.1554 0.1700 0.3849 

ENT มี.ค. 43 โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชั้น 

ม.6 จ านวน 300 คน สมชาย สมศักดิ์และสมศรี 

เป็นนักเรียน 

ชั้น 

ม.6 ของโรงเรียนนี้ 

โดยที่ 

เกรดเฉลี่ยของสมชายอยู่ในต 

าแหน่งเดไซล์ที่ 

8.15 เกรดเฉลี่ยของสมศักดิ์คิดเป็น 

ค่ามาตรฐานเท่ากับ 1 นักเรียนชั้น 

ม.6 ที่ได้เกรดเฉลี่ยมากกว่าสมศรีมีจ 

านวน 50 คน ถ้าสมมติว่าเกรดเฉลี่ย 

ของนักเรียนชั้น 

ม.6 มีการแจกแจงปกติ ข้อใดต่อไปนี้เป็นรายชื่อนักเรียนเรียงล 

าดับจากคนที่ได้เกรดเฉลี่ยมาก 

ที่สุดไปน้อยที่สุด 

(ก าหนดพื้นที่ใต้โค้งปกติ 

z=0 ถึง z=1 มีค่าเท่ากับ 0.3413) 

1. สมชาย สมศักดิ์ 

สมศรี 

2. สมศักดิ์ 

สมศรี สมชาย 

3. สมศรี สมศักดิ์ 

สมชาย 

4. สมศักดิ์ 

สมชาย สมศรี 

28


ENT ต.ค. 45 ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่ง 

ซึ่งมีคะแนนเต็ม 

70 คะแนน มีสัมประสิทธิ์ 

ของการแปรผันของคะแนนเท่ากับ 2/7 ถ้านายบัณฑิตสอบได้ 65 คะแนน ซึ่งคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 

3 และนางสาวบังอรสอบได้คะแนนซึ่งคิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 

1.9 แล้ว นางสาวบังอรสอบได้คะแนนเท่ากับ 

ข้อใดต่อไปนี้ 

1. 50 คะแนน 




ENT มี.ค. 46 การแจกแจงความสูงของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นการแจกแจงปกติ 

ถ้านักเรียนที่มีความสูง 

มากกว่า 149.4 เซนติเมตร มีอยู่ 

3% และนักเรียนที่มีความสูงน้อยกว่าฐานนิยมแต่มากกว่า 

136.5 เซนติเมตร 

มีอยู่ 

25.8% แล้ว ข้อใดต่อไปนี้คือฐานนิยมและความแปรปรวนของความสูงของนักเรียนกลุ่มนี้ตามล 

าดับ 

(หน่วยเป็นเซนติเมตร) ก าหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานที่อยู่ระหว่าง 

0 ถึง z 

1. 144.4, 5 

2. 144.4, 25 

3. 140, 5 

4. 140, 25 

่ 

z 0.3 0.7 1.49 1.88 

พื้นที 

0.1179 0.2580 0.4139 0.4700 

29


PAT1 มี.ค. 52 ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ 

ถ้าหยิบข้อมูล a, b, c, d มาค านวณค่ามาตรฐาน ปรากฏว่า 

ได้ค่าดังตาราง 

ข้อใดต่อไปนี้ถูก 

ข้อมูล a b c d 

ค่ามาตรฐาน(z) -3 -0.45 0.45 1 

1. –a+2b+2c-3d = 0 

2. –a+b+c-3d = 0 

3. a-2b+3c+2d = 0 

4. a-b+c-d = 0 

PAT1 มี.ค. 52 ข้อมูลความสูงของนักเรียนชั้น 

ม.6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ 

ถ้าจ านวน 

นักเรียนที่มีความสูงน้อยกว่า 

140.6 เซนติเมตร มีอยู่ 

3.01% และจ านวนนักเรียนที่มีความสูงมากกว่าค่ามัธย 

ฐานแต่น้อยกว่า 159.4 เซนติเมตร มีอยู่ 

46.99% แล้วจ านวนนักเรียนที่มีความสูงไม่น้อยกว่า 

155 เซนติเมตร 

แต่ไม่เกิน 160 เซนติเมตรมีเปอร์เซนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 

เมื่อก 

าหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ 

มาตรฐานระหว่าง 0 ถึง z เป็นดังนี้ 

z 1.00 1.12 1.88 2.00 

พื้นที่ใต้เส้นโค้ง 

0.3413 0.3686 0.4699 0.4772 

1. 12.86% 

2. 13.14% 

3. 15.87% 

4. 13.59% 

30


PAT1 ต.ค. 52 ก าหนดให้ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ 

หยิบข้อมูล x1, x2, x3 มาค านวณค่ามาตรฐาน 

ปรากฏว่าได้ค่าเป็น z1, z2, z3 ตามล าดับ ถ้า z1+z2 = z3 แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับข้อใด 

ต่อไปนี้ 

1. x1+x2-x3 

2. x1-x2-x3 

3. x3-x2-x1 

4. x1+x2+x3 

31


6. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล 

ในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ความสัมพันธ์ที่ควรทราบและออกข้อสอบมีอยู่ 

2 รูปแบบ ได้แก่ 

1. ฟังก์ชันเส้นตรง 

รูปทั่วไป 

: Yˆ mX c 

สมการปกติ : 

n n 

 

Y mXnc i i 

i1 i1 

2. ฟังก์ชันพาราโบลา 

รูปทั่วไป 

: 

สมการปกติ : 

ˆ 

n 

XiYi m n 

2 

Xi c 

n 

Xi 

i1 i1 i1 

 

2 

Y aX bX c 

n n 

2 

n 

i i i 

i1 i1 i1 

 

Y a X b X nc 

n 

XiYi a 

n 

3 

Xi b 

n 

2 

Xi c 

n 

Xi 

i1 i1 i1 i1 

 

n 

2 

Xi Yi a 

n 

4 

Xi b 

n 

3 

Xi c 

n 

2 

Xi 

i1 i1 i1 i1 

 

***หมายเหตุ สมการปกติเป็นสมการที่ไว้ใช้หาค่าคงที่ 

เช่น a, b, c, m 

ข้อควรระวัง 

การสร้างสมการถดถอยจะสามารถใช้ท านายตัวแปรตาม ( ) จากตัวแปรต้น (X) ได้ แต่ไม่ 

สามารถใช้สมการเดียวกันท านายตัวแปรต้น (X) จากตัวแปรตาม ( ) ได้นอกจากใช้ท านายค่าตัวแปร 

ต้นได้ ณ จุด ถ้าต้องการท านายตัวแปรต้นจะต้องเปลี่ยนรูปสมการให้อยู่ในรูป 

32


หากข้อมูลของเรามีตัวแปรต้นที่เป็นช่วงที่ห่างเท่าๆกัน 

เช่น ช่วงเวลา (พ.ศ.) เราเรียกข้อมูลเหล่านั้นว่า 

ข้อมูลที่อยู่ในรูปของอนุกรมเวลา 

เราสามารถแทนค่าตัวแปนต้นที่เป็นตัวเลขน้อยๆ 

โดยหากมีจ านวนตัวแปร 

ต้นเป็นจ านวนคี่ 

มักจะแทนด้วย …, -2, -1, 0, 1, 2,… โดยตัวแปรต้นตรงกลางแทนด้วย 0 เสมอ หากจ านวน 

ตัวแปรต้นเป็นจ านวนคู่ 

มักจะแทนด้วย …, -3, -1, 1, 3,… โดยตัวแปนต้นคู่ตรงกลางแทนด้วย 

-1 และ 1 

ตัวอย่าง จากการสอบถามรายจ่ายของ 8 ครอบครัวในหมู่บ้านหนึ่ง 

ได้ผลสัมพันธ์กับรายได้ดังตาราง 

จงใช้ข้อมูลข้างต้นตอบค าถามต่อไปนี้ 

รายได้ (พันบาท) 1 3 4 6 8 9 11 14 

รายจ่าย (พันบาท) 1 2 4 4 5 7 8 9 

ก. ให้หาความสัมพันธ์ที่ใช้ประมาณรายจ่ายจากรายได้ 

ข. ถ้าครอบครัวหนึ่งในหมู่บ้านแห่งนี้มีรายได้ 

4,500 บาท จะมีรายจ่ายประมาณเท่าใด 

ค. ถ้าครอบครัวหนึ่งในหมู่บ้านแห่งนี้มีรายจ่าย 

3,500 บาท จะมีรายได้ประมาณเท่าใด 

33


ตัวอย่าง ให้สร้างสมการท านายประชากรในท้องที่หนึ่ง 

ซึ่งมีข้อมูลที่ส 

ารวจมาได้ดังตารางและจากนั้น 

ให้ประมาณจ านวนประชากรในท้องที่นี้ในปีพ.ศ. 

2547 

พ.ศ. 2535 2537 2539 2541 2543 

จ านวนประชากร (พันคน) 0.8 0.9 1.1 1.4 2.0 

ENT ต.ค. 42 พิจารณาข้อมูลของ x และ y ดังนี้ 

x -3 -1 0 1 3 

y 0 a a+3 a+4 a+6 


a เป็นค่าคงที่ 

ให้ x และ y มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็นกราฟเส้นตรง โดยที่ความชันเท่ากับ 

1.55 ถ้า 

x=4 จะประมาณค่า y ได้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 

1. 8.7 

2. 10.8 

3. 11.2 

4. 12.8 

34


A-NET 51 ถ้าในการหาความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างคะแนนสอบวิชาที่หนึ่ง 

(X) และวิชาที่สอง 

(Y) 

ของนักเรียนชั้นหนึ่งมีจ 

านวน 10 คน ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง 

ได้พจน์ต่างๆที่ใช้ในการค 

านวณค่าคงตัวจาก 

สมการปกติ ดังนี้ 

10 

 

i1 

X 

i 

50 

10 

 

i1 

Y 50 

i 

10 

 

i1 

XY 288 

35 

i i 

10 

 

i1 

X 

2 

i 

304 

10 

 

i1 

Y 

2 

i 

284 ได้สมการ 

ประมาณคะแนนสอบวิชาที่สองจากคะแนนสอบวิชาที่หนึ่งเป็น 

Yˆ1.5 0.7X(ใช้ทศนิยมหนึ่งต 

าแหน่ง) 

พิจารณาข้อความต่อไปนี้ 

ก. ถ้านักเรียนสองคนในกลุ่มนี้มีคะแนนสอบวิชาที่หนึ่งต่างกัน 

2 คะแนนแล้ว คะแนนสอบวิชาที่สอง 

ของนักเรียนสองคนนี้ต่างกันประมาณ 

1.4 คะแนน 

ข. เมื่อสอบคะแนนสอบวิชาที่สอง 

จะประมาณคะแนนสอบวิชาที่หนึ่งของนักเรียนกลุ่มนี้ได้จาก 

สมการ Xˆ1.4Y 2.1 

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 

1. ก. ถูก และ ข. ถูก 

2. ก. ถูก และ ข. ผิด 

3. ก. ผิด และ ข. ถูก 

4. ก. ผิด และ ข. ผิด 

PAT ก.ค. 52 ในการหาความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างปริมาณสารปนเปื้อนชนิดที่ 

1 (x) และปริมาณสาร 

ปนเปื้อนชนิดที่ 

2 (y) จากตัวอย่างอาหารจ านวน 100 ตัวอย่าง พบว่าความแปรปรวนของปริมาณสารชนิดที่ 

1 

มีค่าเท่ากับ 1.75 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของปริมาณสารชนิดที่ 

2 มีค่าเท่ากับ 0.5 

100 

 

i1 

x 

2 

i 

100 

 

i1 

xy 

i i 

100และ 

200ถ้าสมการปกติของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันดังกล่าวอยู่ในรูป 

y = ax+b แล้ว เมื่อพบสาร 

ปนเปื้อนชนิดที่ 

1 อยู่ 

4 หน่วย จะพบสารปนเปื้อนชนิดที่ 

2 (โดยประมาณ) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 

1. 0.5 หน่วย 

2. 1 หน่วย 

3. 1.5 หน่วย 

4. 2 หน่วย


เอกสารอ้างอิง 

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้ 

พื้นฐาน 

คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 

5, กรุงเทพมหานคร: โรงพิมพ์ครุสภาลาดพร้าว, 

พิมพ์ครั้งที่ 

3, 2549. 

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้ 

เพิ่มเติม 

คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 

6, กรุงเทพมหานคร: โรงพิมพ์ครุสภาลาดพร้าว, 

พิมพ์ครั้งที่ 

4, 2550. 

อรรณพ สุขธ ารง. คณิตศาสตร์ Entrance เล่ม 3. ม.ป.ป. 

จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. 

คัมภีร์ คณิตศาสตร์ Entrance ม.4-5-6 สอบตรง สอบโควต้า Admission 

PAT1, กรุงเทพมหานคร: พ.ศ. พัฒนา, พิมพ์ครั้งที่ 

1, 2552. 

ฝ่ายวิชาการ บริษัท สกายบุ๊กส์ 

จ ากัด. รวมสูตรเลขคณิต ช่วงชั้นที่ 

3-4, ปทุมธานี: สกายบุ๊กส์, พิมพ์ครั้งที่ 

1, 

2548. 

ณัฐ อุดมพาณิชย์. เส้นทางสู่ 

วิศวะฯจุฬา พิชิต PAT1 คณิตศาสตร์, กรุงเทพมหานคร: สถาบันสอนวิชา 

คณิตศาสตร์ NUTTY PROFESSIONAL, พิมพ์ครั้งที่ 

2, 2552. 

ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. 1001 TESTS IN MATHS 2, กรุงเทพมหานคร: บริษัท ส านักพิมพ์แม็ค จ ากัด, พิมพ์ 

ครั้งที่ 

1, 2550. 

ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. 1001 TESTS IN MATHS 3, กรุงเทพมหานคร: บริษัท ส านักพิมพ์แม็ค จ ากัด, พิมพ์ 

ครั้งที่ 

1, 2550. 

36

STATISTICS-WWW.CLIPVIDVA.COM_

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?