Un modello bayesiano di tipo Fisher-Lange per la determinazione ...

Un modello bayesiano di tipo Fisher-Lange per la determinazione del rischio di
riservazione di una Compagnia Danni
Forte Salvatore – Salvatore.Forte@uniroma1.it
Ialenti Matteo – Matteo.Ialenti@uniroma1.it
Pirra Marco – MPirra@luiss.it
Il progetto comunitario Solvency II e il progetto Insurance Contracts, avviato dall'International
Accounting Standard Board, hanno tra gli obiettivi prefissati l’introduzione di nuove regole
prudenziali poste a presidio della stabilità delle imprese di assicurazione e la definizione di specifici
principi sulle leggi di contabilizzazione e valutazione dei contratti assicurativi, in un’ottica di
maggiore trasparenza e comparabilità a livello internazionale.
Nel presente studio viene proposto un modello per la valutazione del rischio di riservazione di una
compagnia di assicurazioni che esercita la propria attività nei rami danni: il modello descritto
risponde alle più recenti disposizioni contabili internazionali e ai requisiti di valutazione previsti
dalla proposta di direttiva della Comunità Europea in tema di solvibilità delle compagnie di
assicurazione del 26 Febbraio 2008.
Il rischio di riservazione, legato alla quantificazione di riserve tecniche non sufficienti rispetto agli
impegni assunti verso assicurati (e danneggiati) si origina da due fonti distinte: da un lato il valore
assoluto della riserva può risultare errato a causa di procedure inadeguate nella stima; dall’altro lato
il valore della riserva, stante la natura stocastica delle liquidazioni future dei sinistri, può oscillare
intorno al valore medio.
Il capitale da detenere a fronte di tale rischio, anche noto come Reserve Risk Capital (RRC), deve
essere determinato in base alle disposizioni della direttiva utilizzando metodologie Value-at-Risk in
modo da contenere la probabilità di rovina su un orizzonte temporale annuale ad un valore pari a
0,5% e può essere stimato utilizzando sia attraverso un approccio standard di mercato (ad esempio
la formula proposta nel QIS4) sia attraverso uno specifico modello interno. E’ bene ricordare che il
RRC dovrebbe considerare i rischi nell’orizzonte temporale definito e le conseguenze finanziarie di
questi per tutto il periodo di smontamento della riserva sinistri.
Nella bozza della Direttiva sulla Solvency II vengono inoltre recepiti alcuni dei concetti alla base
dei nuovi principi contabili internazionali (IAS), che hanno lo scopo di rendere comparabili gli
importi iscritti nei bilanci delle diverse compagnie di assicurazione all’interno dell’Unione Europea.
Tali principi introducono un nuovo concetto cardine in base al quale devono essere valutate tutte le
poste di bilancio, il “Fair Value”, da intendersi come valore di mercato. Per quanto concerne le
passività tecniche assicurative, dato che non esiste un mercato di riferimento da cui desumerne il
valore, gli organismi di riferimento si stanno orientando sulla determinazione del “Fair Value”
come valore di uscita, vale a dire quell’importo che un assicuratore si aspetterebbe di pagare alla
data di valutazione per il trasferimento di obblighi e diritti di un contratto ad un terzo soggetto
economico. Seguendo questa impostazione il valore delle riserve tecniche, ivi comprese le riserve
sinistri, oggetto di studio in questo lavoro, devono essere uguali alla somma di una Best Estimate
(BE) e di un Risk Margin (RM). La Best Estimate riflette le aspettative non distorte delle
obbligazioni contrattuali alla data di bilancio ed è determinata in maniera prospettiva: rappresenta
infatti il valore attuale atteso di tutti i flussi di cassa rilevanti futuri del contratto, valore attuale da
calcolarsi attraverso una struttura di tassi privi di rischio. Il Risk Margin deve essere determinato in
maniera tale che il suo valore sommato a quello della Best Estimate risulti equivalente all’importo
che un assicuratore si aspetterebbe di pagare o di ricevere alla data di valutazione per il
trasferimento di obblighi e diritti derivanti dal contratto assicurativo. Il Risk Margin può essere
quindi interpretato come un importo da aggiungere al valore atteso per fare fronte alla aleatorietà
della passività.

Nell’ambito dei diversi metodi proposti in letteratura attuariale per la determinazione del Risk
Margin, gli organismi internazionali si stanno orientando sulla metodologia nota con il nome “Cost
of Capital Method”. Secondo tale approccio il margine per il rischio viene determinato sulla base
del costo di detenzione del capitale necessario per fare fronte alle obbligazioni. In altre parole al
fine di determinare il risk margin si devono stimare i futuri reserve risk capital relativi agli impegni
in essere al momento della valutazione. Fissata una determinata aliquota relativa al costo del
capitale (CoC) si attualizzano tali costi all’istante di valutazione utilizzando una serie di tassi privi
di rischio (i). La somma dei costi di detenzione attualizzati è pari al margine per il rischio:
n RRCt ⋅CoC
RM 0 =
(1)
t+
1
t=
0 1+
i
( )
Nel presente lavoro viene considerata una proposta alternativa di calcolo del RM [3] ricadente
nell’approccio del costo del capitale che si basa sulle seguenti formule utilizzate per stimare i
requisiti di capitale:
99,5%
RRC = VaR R − BE − RM
(2)
99,5%
dove VaR ( R ) e ( )
0
( )
0 0 0 0
( t )
( )
BE
cv R
= ⋅ ⋅ + (3)
t
RRCt RRC0 max 1;ln 1
BE0 cv R0
cv R rappresentano rispettivamente il percentile al 99,5% e il coefficiente di
0
variazione della variabile aleatoria riserva sinistri al tempo 0.
Combinando insieme le (1), (2) e (3) si ottiene la proposta finale per calcolare il RM. La stima del
RM attraverso questa variante presenta diversi vantaggi tra cui l’eliminazione del problema del
doppio conteggio e la considerazione dell’effettiva variabilità futura della riserva sinistri (si veda
[3]).
Al fine di stimare le grandezze oggetto di interesse, vale a dire la BE, il RM e il RRC viene
proposta nel presente lavoro un’estensione al caso stocastico di uno dei metodi deterministici
maggiormente utilizzari nella pratica attuariale italiana: il Fisher – Lange. Tale metodologia ricade
nella cosiddetta classe degli “average cost claim method” in quanto consente di determinare i
pagamenti futuri, e di conseguenza la riserva sinistri, come prodotto tra la stima del numero di
sinistri pagati in futuro ed il costo medio corrispondente, opportunamente corretto per tener conto
degli effetti dell’inflazione (sia esogena che endogena). Nel modello vengono ipotizzate delle
opportune distribuzioni di probabilità per le aliquote dei sinistri con seguito, le velocità di
liquidazione e i costi medi; inoltre nell’implementazione della metodologia si è deciso di seguire la
via dell’inferenza bayesiana sfruttando altresì le tecniche simulative Monte Carlo Markov Chain per
la stima delle distribuzioni a posteriori dei parametri del modello e per la costruzione della
distruzione predittiva.
La scelta delle metodologie bayesiane è dovuta ai numerosi vantaggi [6] che esse presentano
rispetto ai metodi stocastici standard (quali ad esempio l’Over Dispersed Poisson Bootstrap, il
Chain Ladder Distribution Free), che le stanno portando tra l’altro ad una diffusione sempre più
grande. In particolare i metodi Bayesiani consentono di incorporare le informazioni note a priori
tipiche della singola Compagnia, l’esperienza di professionalità esperte, quali ad esempio gli attuari,
in maniera naturale, oltre ad essere caratterizzati da un’elevata flessibilità nella costruzione dei
modelli.
La scelta del Fisher-Lange è dovuta alla volontà di estendere al caso stocastico tutti i vantaggi che il
metodo, nella versione deterministica, presenta rispetto ad esempio al metodo Chain-Ladder. Il
Fisher-Lange consente infatti di rappresentare in maniera esplicita le politiche di liquidazione
(attraverso la velocità di liquidazione) e di riservazione (attraverso le percentuali dei sinistri chiusi
senza seguito e dei sinistri riaperti) della singola Compagnia. Permette altresì di considerare e di
trattare separatamente eventuali avvenimenti anomali che caratterizzano una particolare
generazione o un particolare anno di calendario. Consente infine di modellizzare il costo medio dei
sinistri e l’inflazione futura autonomamente e indipendentemente rispetto al numero dei sinistri.

A conclusione del lavoro sono riportate diverse esemplificazioni numeriche che hanno lo scopo di
confrontare in termini di BE,RM e RRC i risultati che si ottengono attraverso la metodologia
proposta, con quelli che si raggiungono con modelli stocastici già presenti in letteratura (quali
l’Over Dispersed Poisson Bootstrap e il Chain Ladder Bayesiano) nonché con quelli calcolati
usando le formule standard proposte nel QIS4.
Riferimenti principali
[1] CEIOPS QIS4, “Technical Specifications”, Marzo 2008.
[2] England P.D and Verrall R. J. (1999). “Analytic and bootstrap estimates of prediction errors
in claims reserving”. Insurance, Mathematics and Economics, 25, 281-293.
[3] Forte S., Ialenti M., Pirra M, (2008). “A reserve risk model for a non life insurance
company” . International Conference MAF 2008, Venezia 26-28 Marzo 2008.
[4] IAA, “Measurement of liabilities for insurance contracts: current estimates and risk margin”.
Marzo 2008.
[5] Scollnik D. P. M. (2004). Bayesian Reserving Models Inspired by Chain Ladder methods
and implemented using WINBUGS. ARCH.
[6] Verrall, Richard J., "Obtaining Predictive Distributions for Reserves Which Incorporate
Expert Opinion". Variance, 2007.