Modi naturali ed analisi di stabilità dei sistemi dinamici lineari

2 Analisi di stabilità dei sistemi lineari: schema riassuntivo
Con riferimento al sistema (1), si ha:
Proprietà dei modi del
sistema
Proprietà della matrice A Proprietà dei movimenti
x(t) di
˙x = Ax
x(0) = x0 ∈ R n
Tutti i modi convergono a
0
⇔ ∀ λ(A) si ha ℜe λ(A) < 0 ⇔ ∀ x0 ∈ Rn , lim x(t) = 0
t→+∞
⇔ AS
Tutti i modi sono limitati ⇔ ∀ λ(A) si ha
⇔ ∀ x0 ∈ Rn , x(t) è limitato ⇔ S
Esiste almeno un modo
illimitato
Tutti i modi sono limitati
e ne esiste almeno uno che
non converge a 0
⇔
⇔
ℜe λ(A) < 0
oppure
ℜe λ(A) = 0
µa(λ(A) = µg(λ(A)
∃λ(A) con ℜe λ(A) > 0
oppure
∃λ(A) con
ℜe λ(A) = 0
µa(λ(A) > µg(λ(A)
⎧
∀ λ(A) si ha ℜe
⎪⎨
⎪⎩
λ(A) ≤ 0
∀ λ(A) con ℜe λ(A) = 0 si ha
µa(λ(A) = µg(λ(A)
∃λ(A) con ℜe λ(A) = 0
⇔ ∃x0 ∈ R n tale che x(t) è
illimitato
⇔ ∀ x0, x(t) è limitato e
∃x0 ∈ R n tale che, per
t → +∞, x(t) → 0
⇔ I
⇔ sS
In virtù di quanto illustrato a lezione (ossia, di quanto riportato nei Paragrafi 3.4.1 e 3.4.2 del libro di testo adottato
nel corso: P. Bolzern, R. Scattolini e N. Schiavoni, “Fondamenti di controlli automatici” – 3 a edizione – McGraw-Hill.),
possiamo rinominare le ultime due colonne di questa tabella come segue:
Proprietà dei movimenti x(t) di −→ Proprietà dei movimenti liberi x L(t) di
˙x = Ax
x(0) = x0 ∈ R n
˙x = Ax + Bu
x(0) = x0 ∈ R n
Stabilità di ¯x = 0 per il sistema −→ Stabilità di qualsiasi movimento dello stato per il sistema
˙x = Ax ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)
ed in tal modo ottenere la tabella che caratterizza le proprietà di stabilità dei sistemi lineari.
Stabilità
di ¯x = 0
per il
sistema
˙x = Ax