Una classe di soluzioni autosimili per fluidi con gravita

A mamma

Indice
Introduzione III
1 Equazioni della fluidodimamica 1
1.1 Equazione di continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Seconda legge di Newton per un fluido . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Equazione di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Equazione della massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Equazioni autosimili 7
2.1 Definizione di soluzioni autosimili . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Il sistema generale in λ ...................... 9
2.2.1 Adimensionalizzazione dell’equazione di continuità . . 10
2.2.2 Adimensionalizzazione dell’equazione di Newton . . . 11
2.2.3 Adimensionalizzazione dell’equazione di stato . . . . . 12
2.2.4 Adimensionalizzazione dell’equazione della massa . . . 14
2.3 Nell’ipotesi di pressione nulla (P = 0) . . . . . . . . . . . . . 16
3 Una soluzione particolare 19
4 Soluzioni ”fredde” 21
4.1 Cambio di variabile ln λ = ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Punti critici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Soluzione vicino al punto critico P0 . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3.1 Linearizzazione attorno P0 . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3.2 Risoluzione dell’equazione lineare . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Soluzioni qualitativa nel piano delle fasi . . . . . . . . . . . . 27
4.5 Come separare le dipendenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Conclusioni 33
A Soluzioni autosimili per un pendolo semplice 35
Bibliografia 39
I

Introduzione
La fluidodinamica è molto importante in numerosi problemi di carattere
astrofisico. Le stelle sono composte da gas autogravitante in equilibrio
idrostatico, per il loro studio è quindi indispensabile l’utilizzo della fluidodinamica.
All’interno di una galassia le stelle si comportano in modo simile
ad un fluido, la cui dinamica ci dà informazioni sulla formazione e sull’evoluzione
delle galassie stesse.
In questa tesi si descrive brevemente una famiglia di soluzioni di fluidodinamica
che possono essere ottenute con una tecnica specifica che va sotto
il nome di metodi autosimili. Oggetti astrofisici in certe regioni o in certe
fasi evolutive possono essere descritti da tali soluzioni. Di questo tipo sono
le soluzioni di un gas in accrescimento. In particolar modo hanno caratteristiche
autosimili accrescimento di Bondi nelle regioni centrali, dischi di
accrescimento, ADAF, accrescimento su buchi neri.
Un’altra classe di oggetti che è possibile descrivere con questi metodi sono
le esplosioni forti. Per le supernovae è possibile risolvere il problema sfruttando
l’autosimilarità, almeno in una fase dell’esplosione.
Stelle molto luminose e giovani (del tipo O-B) perdono materiale, che va a
formare un vento stellare. Anche in questo caso l’andamento della soluzione
si può vedere essere di tipo autosimile. La stessa cosa vale per le stelle di
Wolf-Rayet, così come per i cosìdetti ”stellar bubble” (che sono delle ”bolle”
di materia, ovvero delle concentrazioni di gas attorno alla stella che sta espellendo
gas).
Altri esempi di applicazione delle soluzioni autosimili sono le strutture di
equilibrio autogravitante. Si individua un rapporto di scala, che è ciò che
caratterizza questo metodo, sia nel caso di una sfera isoterma autogravitante,
il cui andamento del raggio è proporzionale a 1
, che nel caso di tori
r2 autogravitanti.
Ovviamente ci sono i collassi gravitazionali, una cui soluzione è stata presa
in esame in questa trattazione.
Generalmente le equazioni che descrivono questi modelli fisici sono equazioni
differenziali alle derivate parziali (PDE, Partial Differential Equation),
che dipendono dalla posizione e dal tempo. La loro risoluzione è molto
complicata e spesso è praticamente impossibile trovare soluzioni analitiche
III

esplicite. Per risolverle si può procedere numericamente oppure si analizzano
dei casi particolari più semplici. Ovvero si studiano dei modelli molto
speciali, estremamente idealizzati (e molto lontani dalla realtà fisica) dei
quali si riesce a trovare completamente le soluzioni, proprio per la loro semplicità.
Queste soluzioni possono rappresentare i casi limite del problema, e
si rivelano spesso indispensabili per ”capire” la situazione fisica originaria.
Nei metodi autosimili le equazioni alle derivate parziali si trasformano in
equazioni differenziali ordinarie (ODE, Ordinary Differential Equation), il
che ovviamente facilita di molto il loro studio. Inoltre, le soluzioni di diversi
problemi astrofisici sono spesso ben riprodotte da soluzioni autosimili di
qualche problema più semplice ad essi associato. Il comportamento dei fluidi
autosimili permette di studiare in dettaglio le soluzioni, senza incorrere
in problemi numerici e ci fornisce una classe di soluzioni stazionarie per i
problemi autogravitanti.
In questa tesi viene discussa una possibile applicazione dei metodi autosimili.
Si considera il moto di un gas autogravitante, politropico, non viscoso,
a simmetria sferica, e vengono riottenute e discusse alcune soluzioni classificate
da Pen (1994) [5]. Inoltre viene risolto il problema nel caso particolare
di pressione nulla. Fisicamente questa soluzione può rappresentare un alone
di materia oscura. Infatti la materia oscura, come tale, non interagisce elettromagneticamente,
quindi non esiste termodinamica che possa descrivere il
gas. Si può così considerare questo fluido come un gas senza pressione, che
sente la sola forza gravitazionale.
Nel primo capitolo vengono illustrate e derivate le equazioni della fluidodinamica,
che verranno poi utilizzate per descrivere il moto del gas. Si procede
mostrando l’applicazione del metodo autosimile e la relativa adimensionalizzazione
del sistema che è necessaria per l’utilizzo di questo metodo (capitolo
2). Si ottiene così un sistema di ODE, di cui si trova una soluzione particolare
(capitolo 3), considerando la variabile adimensionale costante.
Nel capitolo 4 si risolve il problema nel caso di pressione nulla. Grazie ad un
nuovo cambio di variabile si ottiene un sistema autonomo, di cui si trovano i
punti critici. Si linearizza il sistema attorno ad un particolare punto critico,
trovando gli andamenti della funzione nei suoi intorni. Infine viene fornito
un grafico qualitativo delle soluzioni del problema.

Capitolo 1
Equazioni della
fluidodimamica
In questo capitolo vengono derivate le equazioni della fluidodinamica che
sono necessarie per la descrizione di un fluido. Otterremo quindi le quattro
equazioni, che rappresentano il moto di un fluido barotropico, non viscoso,
soggetto a gravità e in configurazione di simmetria sferica.
1

6 CAPITOLO 1. EQUAZIONI DELLA FLUIDODIMAMICA

Capitolo 2
Equazioni autosimili
In questo capitolo si introduce il concetto di soluzioni autosimili e come è
possibile utilizzarlo nello studio del fluido preso in esame. Viene individuata
una nuova variabile indipendente λ adimensionale, che ridurrà il sistema
ottenuto nel capitolo 1 in un nuovo sistema di equazioni differenziali non
più alle derivate parziali, ma ordinarie.
Inoltre nell’ultima sezione si considera come varia la situazione generale
nell’ipotesi di pressione nulla (P = 0), soluzione che varrà discussa in
dettaglio nel capitolo 4.
7

18 CAPITOLO 2. EQUAZIONI AUTOSIMILI

Capitolo 3
Una soluzione particolare
In questo capitolo si analizza una soluzione particolare del sistema di equazioni
nel parametro λ (equazioni che descrivono il moto del fluido considerato),
derivate nel capitolo precedente. Si cercano dei punti in cui la variabile
indipendente adimensionale λ resti costante, ovvero si pongono le derivate
rispetto a λ nulle.
19

20 CAPITOLO 3. UNA SOLUZIONE PARTICOLARE
Soluzione costante in λ
Si cercano dei punti critici ponendo le derivate rispetto a λ nulle [2]. Questi
sono dei punti in cui le variabili adimensionali non dipendono da λ. Cioè si
trovano delle soluzioni stazionarie (rispetto a λ). Considerando le relazioni
2.2, che rappresentano le variabili fisiche del problema, si nota che, anche
nel caso di λ costante, rimane la dipendenza da raggio e tempo. Quindi
queste soluzioni sono costanti in λ, ma il sistema fisico non è stazionario,
infatti evolve. Queste soluzioni stazionarie sono importanti anche perchè
spesso rappresentano le condizioni al contorno della soluzione generale.
Con le derivate nulle il sistema di equazioni 2.16 diventa
⎧
⎪⎨
⎪⎩
2 − 3V =0
V (V − 1) = − 2P
Ω
4 − 2γ − 2V =0
M =
3Ω(V − δ)
2 − 3δ
− 2M
9
, (3.1)
con semplici passaggi algebrici si trova che la soluzione del sistema è data
da ⎧⎪
V =
⎨
⎪⎩
2
3
(1 − Ω)Ω
P =
9
γ = 4
3
2 3Ω( 3 − δ)
M =
2 − 3δ
. (3.2)
Si nota che P =
(1 − Ω)Ω
9
è una famiglia di soluzioni per γ = 4
3 .
Nel caso particolare di Ω = 1 e quindi P = 0 si possono scrivere le equazioni
con dimensioni, che rappresentano il sistema fisico, partendo da queste
appena trovate, che invece sono adimensionali. Il sistema che si ottiene
è ⎧⎪ ⎨
v =
⎪⎩
2 r
3 t
ρ = 1
6πGt2 p =0
m = 2 r
9
3
Gt2 . (3.3)
Osserviamo che il raggio ha un moto rettilineo uniforme radiale, che possiamo
interpretare come un sistema in espansione non soggetto a forze. La
densità dipende solo dal tempo e non dalla posizione.

Capitolo 4
Soluzioni ”fredde”
In questo capitolo ci si propone di trovare una soluzione per un fluido senza
pressione. Fisicamente questa soluzione può rappresentare un alone di
materia oscura. Infatti la materia oscura non interagisce elettromagneticamente,
quindi non esiste termodinamica che possa descrivere il gas. Si può
così considerare questo fluido come un gas senza pressione, che sente la sola
forza gravitazionale.
Si considera il sistema adimensionale nella variabile λ (ricavato nel capitolo
2) con la condizione di pressione nulla. Nella sezione 4.1, grazie ad
un semplice cambio di variabili, è possibile ridurre ciascuna relazione del
sistema preso in esame in un’equazione differenziale autonoma, dove non
compare esplicitamente la variabile indipendente λ.
Una volta individuati i punti critici dello stesso sistema non lineare (sezione
4.2), si effettua un’analisi locale vicino al punto critico P0, cioè si linearizzano
le equazioni considerate attorno alla posizione critica ottenendo degli
andamenti esponenziali (sezione 4.3). Per concludere nella sezione 4.4 si
mettono insieme tutti i risultati ottenuti, ossia i punti critici e gli andamenti
delle equazioni attorno ad essi, e si fornisce un grafico qualitativo della
soluzione del sistema non lineare.
Nell’ultima sezione si dimostra come si possono separare le variabili del
sistema autonomo ottenuto nella sezione 4.1.
21

28 CAPITOLO 4. SOLUZIONI ”FREDDE”
Si osserva che sono proprio questi gli andamenti asintotici attorno al punto
critico P0 nel piano Ω − V .
Inoltre, il fatto che gli autovalori (ricavati nella sottosezione 4.3.2) siano
reali e con segno opposto ci permette di classificare P0 come punto critico
iperbolico (o punto a sella). I relativi autovettori (vedi 4.3.2) possono essere
interpretati come delle tangenti asintotiche alla traiettoria verso il punto P0.
Grazie a queste osservazioni, siamo in grado di tracciare un grafico qualitativo
della soluzione generale. Infatti sappiamo che anche la soluzione del
sistema non lineare tocca i punti critici ed inoltre conosciamo gli andamenti
attorno a P0.
Figura 4.1: Soluzione fredda per δ = 4
5

4.5. COME SEPARARE LE DIPENDENZE 29
Figura 4.2: Soluzione fredda per δ = − 1
2
Le frecce indicano la direzione delle ξ crescenti e vengono determinate
grazie agli autovettori, che come già detto ci indicano le direzioni tangenti
alle traiettorie asintotiche.
Come si può vedere, le due figure corrispondono a δ diversi; comunque
possiamo notare che in tutti e due i casi le soluzioni dividono lo spazio in
quattro regioni.
Nella regioni I densità e velocità tendono a zero per grandi distanze dal
centro, infatti le frecce indicano le ξ crescenti, quindi raggi r crescenti.
La regione II è caratterizzata da velocità sempre positive, si va da un valore
pari a δ al centro fino ad annullarsi a grandi distanze.
Nella regione III la materia è costretta in un guscio di spessore finito.
Nella regione IV il gas freddo è limitato in una sfera in espansione con raggio
finito ma massa infinita.
4.5 Come separare le dipendenze
Nella sezione precedente si è risolto il sistema di equazioni 4.1 e sono state
graficate le soluzioni solo qualitativamente. Un altro metodo per risolvere
il sistema potrebbe essere quello di separare le variabili per poi integrare
con metodi numerici ogni singola equazione. A questo scopo è però necessario
ricondursi ad una forma diversa delle equazioni. Qui di seguito viene
illustrato un metodo per separare le variabili.

4.5. COME SEPARARE LE DIPENDENZE 31
Con opportune semplificazioni si ha
(2δV − δ − V 2 ) ˙ V − (V − δ) 2 ¨ V + V (2 − 3V )(1 − V ) − V (1 − V ) ˙ V
si raccolgono i ternini in ˙ V
−(2 − 3V )(V − δ) ¨ V +(V − δ) ˙ V 2 =0,
(V − δ) 2 ¨ V − (2δV − δ − V 2 + V − V 2 +2V − 2δ − 3V 2 +3δV ) ˙ V
e svolgendo qualche conto
+(V − δ) ˙ V 2 + V (2 − 3V )(1 − V )=0
(V − δ) 2 ¨ V + (5V (V − δ) + 3(V − δ)) ˙ V +(V − δ) ˙ V 2 + V (2 − 3V )(1 − V )=0
arriviamo a dimostrare quanto affermato, ossia
(V − δ) 2 ¨ V +(V − δ)(5V + 3) ˙ V +(V − δ) ˙ V 2 + V (2 − 3V )(1 − V )=0.

32 CAPITOLO 4. SOLUZIONI ”FREDDE”

andamento autosimile per ogni distanza r dal centro dell’oggetto. Ma è
evidente dalla simulazione che, per r ∼ r0, tale andamento non viene rispettato.
Sembra quindi importante sottolineare il fatto che forse la proprietà
più ”misteriosa” dei profili 4.13 non è tanto la lora presunta ”universalità”,
quanto la ragione fisica per la quale il sistema, ad una determinata fase
del suo collasso ”decida” di rompere la sua omologia e cambiare pendenza
nel profilo di densità. Il problema non è nelle zone centrali, ma nella regione
in cui la densità inizia a non esser più descritta da una configurazione
autosimile, ossia nelle regioni intermedie.
Questo particolare profilo di densità non è del tutto anomalo. Infatti
anche modelli di galassie sferiche e bulges (sferoidi) prevedono un profilo
di densità simile. In un suo lavoro, Hernquist (1990) [7] presenta una relazione
per la densità di massa in galassie sferiche descritte dalla Legge de
Vaucouleurs (1948) [8]; in particolar modo trova il seguente profilo di densità
ρ(r) ∝
1
. (4.14)
r(r + r0) 3
Si nota che i due profili di densità (4.13 e 4.14) hanno circa lo stesso andamento.
Ricordando che il primo vale per aloni di materia oscura e il secondo
per la massa ”normale”, si può concludere che il loro comportamento sotto
l’influenza della forza di gravità è circa lo stesso.

Appendice A
Soluzioni autosimili per un
pendolo semplice
Il pendolo semplice è un problema di fisica classica che possiamo anche affrontare
con i metodi autosimili (gli stessi che sono stati utilizzati in questa
trattazione per risolvere un problema di fluidodinamica). Il metodo autosimile
è utilizzabile quando è possibile ottenere una riduzione del numero
di argomenti nelle funzioni incognite, prendendo in considerazione solo certe
combinazioni della variabili che hanno maggior significato. Si ripropone
qui di seguito la discussione sul problema come esposta da Sedov (1959,
Similarity and Dimentional Methods) [4].
Figura A.1: Rappresentazione schematica del pendolo semplice
35

Bibliografia
[1] Landau, L.D. & Lifshitz E.M., 1959, Fluid Mechanics (Institute of
Theoretical Physics, USSR Academy of Sciences, Moscow)
[2] Bender, C.M. Orzag, S.A. 1978, Advanced Mathematical Methods for
Scientists and Engeneers (International Student Edition)
[3] Donato & A. Greco, A.M. 1987, Metodi qualitativi per onde non lineari
(Quaderni del consiglio nazionale delle ricerche, Gruppo Nazionale di
Fisica Matematica)
[4] Sedov, A. 1959, Similarity and Dimentional Methods in Mechanics
(New York: Academic)
[5] Pen, U. 1994, The Astrophisical Journal, A general class of self-similar
self-gravitating fluids, 429:759-763
[6] Navarro,J.F. & Frenk,C.S. & White, S.D.M. 1994, MNRAS, 267,L1
[7] Hernquist, L. 1990, The astrophysical Journal, An analytical model for
spherical galaxies and bulges, 356:359-364
[8] de Vaucouleurs, G. 1948, Ann. d’Ap., 11, 247
39

Ringraziamenti
Il primo pensiero va ai miei genitori! Sono loro che mi sostengono ..economicamente,
ma soprattutto emotivamente. Grazie per le assidue telefonate, che
riescono sempre a riportarmi fra quelle belle colline di casa.
Un ringraziamento tutto speciale alla mia sorellona, Giulia per le chiacchierate
e le serate passate insieme. Grazie.. perchè sempre più riesci a
stimolarmi in nuovi viaggi e nuove avventure con quella infinita voglia di
fare. Grazie per i mille favori, che sto accumulando da tempo, senza mai
riuscire a ricambiare ...e un grosso ”In bocca al lupo” per la tua prossima
laurea!
Ovviamente un grazie a Luigi. Per troppe cose.. Il computer, per iniziare,
senza il quale non sarei mai riuscita a scrivere questa tesi; il supporto
tecnico per l’installazione e per modificare quelle maledette figure! E non
ultimo, grazie per il continuo incoraggiamento, perchè forse credi in me più
di quanto io stessa riesca a fare.
Ora come non ringraziare le mie ”amiche del cuore”, Veronica e Lucia,
con cui sto condividendo anche questa esperienza. Grazie per aver permesso
che questa laurea non fosse solo una speranza; per aver lottato con me contro
tutti quelli che impedivano che ciò succedesse e contro quell’infinita serie di
pratiche burocratiche (di cui nessuno sa mai niente!).
Grazie Vè! Per tutte le giornate rinchiuse in biblioteca a studiare e per la
tua infinita pazienza nel spiegarmi ciò che non capisco. Perchè sei così..
gentile e sempre disponibile.
Grazie Lu! Per la tua innata simpatia, perchè con te è impossibile non
divertirsi; per tutte quelle serate passate insieme, quando nessun’altro ha
voglia di uscire e per quelle passate a consolare il mio umore nero. Perchè
mi hai fatto scoprire il mondo del trekking ..e vedrai, ce la faremo prima o
poi ad attaversare l’Italia a piedi!
Un grazie a Rossy per averci aiutate con scadenze e formalità. Senza di te
non ce la potevamo fare!
Ultimi, ma non di importanza, i miei amici di sempre.. Andrea, Giacomo
e Maddalena. Mi ricordate che la vita non è solo studio e università, ma
bisogna anche divertirsi. Per le sera passate semplicemente a parlare di
tutto, dalla politica ai problemi di cuore. Grazie, perchè voi ci siete sempre
nonostante la lontananza!
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