Lezione 3 Teorema di LEGENDRE. Il Teorema di ... - Rilevamento.it

Lezione 3
PROBLEMI GEODETICI DELLA TOPOGRAFIA
(estratto dal testo Inghilleri: Topografia)
Teorema di LEGENDRE.
Il Teorema di LEGENDRE, permette di risolvere un triangolo sferico, contenuto nel campo
geodetico, con gli algoritmi della trigonometria piana.
Triangolo sferico
Prima di dare l'enunciato di questo teorema è necessario precisare che la somma dei tre angoli A,
B e C di un triangolo sferico è superiore a π di una quantità, che si denota con 3ε, chiamata
eccesso sferico, e cioè
A + B + C - π = 3ε;
si dimostra facilmente che l'eccesso sferico è numericamente valutabile, in radianti, facendo il
rapporto fra l'area S del triangolo ed il quadrato del raggio della sfera e cioè
Si può ora osservare che, dato un triangolo sferico di lati a, b e c, si può sempre costruire un
triangolo piano che ha i lati rettilinei di lunghezza a, b e c, per cui se si conoscono le relazioni
che legano gli angoli, noti, del triangolo sferico, a quelli, incogniti, del triangolo piano, in modo

da poter derivare facilmente quest'ultimi dai primi, il calcolo dei lati del triangolo sferico
potrebbe essere eseguito con le formule della trigonometria piana.
L'enunciato del teorema di LEGENDRE è: Sia dato un triangolo sferico i cui lati l siano una
piccola frazione del raggio R della sfera e si assuma il rapporto l/R come quantità piccola del 1°
ordine; commettendo un errore dell'ordine di (l/R) 4 gli angoli del triangolo piano che ha i lati
della stessa lunghezza dei lati del triangolo sferico si possono derivare dagli angoli di
quest'ultimo sottraendo ad ognuno di essi un terzo dell'eccesso sferico.
Per dare un'idea delle approssimazioni derivanti dall'applicazione del teorema di LEGENDRE, si
può notare che un triangolo sferico equilatero avente i lati di 60 km, ha una superficie di circa
1600 km 2 , che l'eccesso sferico vale circa 4 • 10 -5 rad = 24 cc , e che l'errore con cui si ricavano gli
angoli del triangolo piano è dell'ordine di limitando l'errore a 10 -6
ponendo cioè (l/R) 4 < 10 -6 si può dedurre che deve essere l < 200 km, per cui il teorema di
LEGENDRE si può applicare a tutti i triangoli contenuti nel campo geodetico.
Per il calcolo di triangoli di dimensioni più grandi si potrebbero usare formule più complesse che
considerano l'eccesso ellissoidico, ma queste formule hanno un interesse più che altro teorico,
dato che con gli usuali strumenti di misura non si possono eseguire osservazioni fra punti che
non siano compresi entro il campo geodetico.
Per poter applicare il teorema di LEGENDRE occorre calcolare l'eccesso sferico, ovvero l'area
del triangolo sferico; si può a questo proposito dimostrare che a meno di errori dell'ordine di
(l/R) 4 , ovverosia nello stesso ordine d'approssimazione del teorema di LEGENDRE, l'area del
triangolo sferico può essere calcolata con le formule della trigonometria piana utilizzando gli
elementi sferici noti.
Il teorema di LEGENDRE fornisce in effetti un artificio per risolvere con le formule della
trigonometria piana un triangolo che andrebbe risolto impiegando le formule della trigonometria
sferica; l'applicazione del teorema di LEGENDRE non è più necessaria se i lati del triangolo non
eccedono in lunghezza i 15 km; in tal caso l'eccesso sferico è dell'ordine di 2,5 • 10 -6 rad = 1,5 cc e
la correzione da apportare ad ogni angolo è di 0,5 cc inferiore cioè all'approssimazione con cui
sono in genere effettuate le misure di angoli. Si dimostra così, per altra via, che i calcoli relativi a
figure geometriche contenute nel campo topografico, da considerare sempre teoricamente
ellissoidiche, possono essere eseguiti impiegando gli algoritmi della geometria e trigonometria
piana.

DETERMINAZIONE DELLE COORDINATE CURVILINEE DI PUNTI SULLA
SUPERFICIE DI RIFERIMENTO
Determinazione delle coordinate geografiche mediante misure eseguite sulla superficie di
riferimento (coordinate ellissoidiche).
- Generalità.
Si consideri (fig. 1) un insieme di punti di inquadramento Pi sull'ellissoide congiunti a due a due
da archi di geodetica che si possono brevemente chiamare lati, in modo da formare dei triangoli
ellissoidici, o altre figure poligonali e si supponga di avere eseguito un numerò sufficiente di
misure di angoli e di distanze (in pratica il numero eccede il minimo necessario e si deve
eseguire una compensazione) in modo che, o per misura diretta o per calcolo siano note le
lunghezze di tutti i lati e gli angoli fra i lati.
Nel punto P0 (centro di emanazione) si determinino con misure astronomiche la latitudine ϕ0, la
longitudine λ0 e l'azimut α0 di una geodetica uscente da P0 e passante per uno dei punti Pi e si
assumino tali misure come riferentesi all'ellissoide; in altre parole si faccia la supposizione che
nel punto P0 la verticale (normale al geoide) e la normale all'ellissoide coincidano, ovvero che
nel punto P0 l'ellissoide di rotazione di semiassi a e c sia tangente al geoide. Per orientale

completamente l'ellissoide, che avrebbe ancora la possibilità di ruotare intorno alla normale, si
assuma l'azimut astronomico α0 coincidente con l'azimut ellissoidico.
Ciò posto, il problema fondamentale da risolvere per calcolare, con riferimento all'ellissoide, le
coordinate curvilinee dei punti di inquadramento Pi si può cosi enunciare: dato un punto O di cui
si conoscono le coordinate geografiche ellissoidiche ϕ0, λ0, noti la lunghezza s dell'arco di
geodetica compreso fra O ed un punto P e l'azimut α0 di tale geodetica in O, calcolare le
coordinate geografiche ellissoidiche ϕ, λ di P nonché l'azimut α della stessa geodetica in P.
Da notare:
a) L'operazione di orientamento dell'ellissoide riguarda le reti di punti di inquadramento del 1°
ordine, ovvero quelle reti di punti che vengono rilevate quando nella zona non esiste alcun
rilievo geodetico precedente, ed è stata descritta per motivi di chiarezza; nel caso più comune
nella zona del rilievo da eseguire esistono già dei punti rilevati a cui riferirsi; è quindi sempre
disponibile un punto O di coordinate geografiche note inserito nel rilievo, ed un azimut di
partenza desunto da un altro punto O' di coordinate geografiche note.
b) Il calcolo dell'azimut α della geodetica in P è richiesto perché in generale a partire dal punto P
si devono calcolare le coordinate geografiche di un altro punto Q della rete, per cui è necessario
conoscere l'azimut in P della geodetica PQ; il calcolo di questo azimut può facilmente eseguirsi
come mostra la figura 2 : una volta noto α si calcola l'azimut reciproco α+π, ovvero l'azimut in P
della geodetica PO, e si aggiunge l'angolo θ, che si suppone noto, fra la geodetica PO e la
geodetica PQ.
e) Le semplificazioni esposte in precedenza riguardano solo la maniera di determinare, con
misure o con calcoli relativi a figure geometriche ellissoidiche, le lunghezze di archi di
geodetiche e gli angoli fra le geodetiche fra punti dell'ellissoide; noti però questi valori la
determinazione delle posizioni dei punti, ovvero il calcolo delle coordinate curvilinee, va
eseguito tenendo debito conto che le linee che li congiungono sono geodetiche ellissoidiche;
negli sviluppi che seguono il fatto che si tiene conto che i lati della rete sono archi di geodetiche
ellissoidiche risulta dall’uso della relazione di CLAIRAUT che caratterizza questo tipo di curve.

Trasporto delle coordinate geografiche: problema diretto,
Fissato l'azimut α0 della geodetica uscente da O (fig. 3), le coordinate geografiche ϕ, λ di un
punto generico sulla geodetica e l'azimut α sono funzione solo della distanza s da O, ovvero
Queste funzioni non possono però essere espresse in termini finiti e occorre ricorrere ad uno
sviluppo in serie di TAYLOR, e cioè
II problema si riduce quindi a determinare le espressioni delle derivate che appaiono nelle [2] e
di specificarne il valore per ϕ = ϕ0, λ = λ0 e α = α0.

Fig. 3. Trasporto delle coordinate geografiche.
Si consideri (fig. 3) in un punto A generico della geodetica OP un elemento infinitesimo ds di
geodetica ed i due elementi infinitesimi ρdϕ ed rdλ di meridiano e parallelo; si determina cosi un
triangolo infinitesimo retto in B che, a meno di infinitesimi di ordine superiore si può
considerare piano; si ha quindi
da cui
e
proseguendo per le successive derivate si giunge a:

Da tenere presente che le coordinate geografiche vanno calcolate con l'approssimazione del
millesimo di secondo sessagesimale (5 • 10 -9 rad) in quanto a tale quantità corrisponde per la
coordinata ϕ uno spostamento del punto lungo il meridiano di 3 cm, e per la coordinata λ uno
spostamento, lungo il parallelo, inferiore, tranne che all'equatore, in dipendenza del valore del
raggio r del parallelo. Ne deriva che il termine in s 2 non può mai essere trascurato, mentre quello
in s 3 raggiunge il valore di 0,001” per s = 10 km, per cui se ne deve tenere conto per archi di
geodetica da 10 a 60 km; a quest'ultima distanza il termine in s 4 diventa dell'ordine di 5 • 10 -9
rad; il termine in s 5 può essere trascurato anche per valori di s di un centinaio di chilometri.
Non è necessaria ovviamente la stessa precisione di calcolo per il trasporto dell'azimut, ove è
necessario raggiungere un'approssimazione di un ordine di grandezza pari ad una frazione dello
scarto quadratico medio che caratterizza la misura diretta o la determinazione indiretta di un
angolo; tenuto conto che tale s.q.m. è dell'ordine di ± 0,5", l'approssimazione di 0,1" (5 • 10 -7
rad) è da ritenersi più che sufficiente; la terza delle [11] è infatti arrestata al termine in s 2 , che
garantisce questa approssimazione sino a valori di s di 50 km, in analogia con gli altri sviluppi
riportati; si può dimostrare che con la stessa approssimazione α è dato dalla
dove
la differenza

viene chiamata convergenza dei meridiani relativa all'arco di geodetica OP.
Definizione di DATUM
Dal punto di emanazione, posto per l’Italia presso l’osservatorio astronomico di Monte Mario, le
coordinate geografiche ellissoidiche vengono propagate tramite una rete geodetica lungo il
territorio italiano. La possibilità dunque di determinare le coordinate geografiche di vertici sul
territorio, deve essere eseguito tramite il collegamento delle proprie reti topografiche ai vertici di
coordinate note propagate dal punto di emanazione.
- La definizione dell’ellissoide di riferimento (per l’Italia ellissoide Internazionale di
Hayford)
- Il suo orientamento (coincidenza tra normale e verticale fisica a Monte Mario)
- La definizione della quota ellissoidica a Monte Mario
- La definizione di un azimut noto (Monte Mario con il Monte Soratte in prossimità di
Roma)
- La rete che propaga le coordinate geografiche lungo il territorio
I punti precedentemente elencati concorrono alla definizione di DATUM. Il Datum italiano
prende il nome di RM40, in quanto la rete che propaga nel territorio il sistema di riferimento
ellissoidico fu misurata nel 1940.
La rete europea, European Datum, prende il nome di ED50, e utilizza anch’essa l’ellissoide di
riferimento di Hayford.
Nella figura successiva si riporta lo schema generale della rete geodetica di inquadramento
italiana, misurata con strumentazione classica (teodoliti e basi).