le frazioni algebriche - Sassetti - Peruzzi
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APPUNTI DI MATEMATICA<br />
LE FRAZIONI ALGEBRICHE<br />
ALESSANDRO BOCCONI
Indice<br />
1 Le <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong> 2<br />
1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi . . . . . . . . 2<br />
1.2 Le <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.3 Semplificazione di <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.4 Il prodotto fra <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
1.5 La divisione fra <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.6 Addizioni e sottrazioni fra <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.7 Le equazioni fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
1.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Capitolo 1<br />
Le <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong><br />
1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra<br />
polinomi<br />
Prima di entrare nel dettaglio del<strong>le</strong> <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong>, affrontiamo il minimo comune multiplo<br />
(mcm) e il Massimo Comun Divisore (MCD) fra polinomi. Ta<strong>le</strong> argomento risulterà fondamenta<strong>le</strong><br />
quando tratteremo l’addizione e sottrazione di <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong>.<br />
Abbiamo già incontrato il concetto di mcm e MCD sia parlando di numeri che di monomi. Anche<br />
per i polinomi il concetto non cambia e possiamo facilmente “riadattare” <strong>le</strong> definizioni date in<br />
precedenza, ricordando che un polinomio P è multiplo di un polinomio Q (e di conseguenza il<br />
polinomio Q è divisore del polinomio P ) se la divisione P : Q ha resto zero (per quanto riguarda<br />
la divisione fra polinomi vedi Appunti di Matematica, Il calcolo <strong>le</strong>ttera<strong>le</strong>, paragrafo 1.13).<br />
Definizione di mcm fra polinomi. Il mcm fra 2 o più polinomi è, fra tutti i polinomi multipli<br />
dei polinomi assegnati, quello di grado minore.<br />
Definizione di MCD fra polinomi. Il MCD fra 2 o più polinomi è, fra tutti i polinomi divisori<br />
dei polinomi assegnati, quello di grado maggiore.<br />
Per affrontare il metodo per determinare il mcm e MCD fra polinomi si consideri il seguente:<br />
Esempio<br />
⊲ Determinare mcm e MCD dei numeri 24 e 20.<br />
Scomponendo il numero 24 si ottiene: 24 = 2 3 ·3 e scomponendo il numero 20 si ottiene: 20 = 2 2 ·5.<br />
Per determinare il MCD dobbiamo prendere i fattori comuni ad entrambe <strong>le</strong> scomposizioni presi<br />
con l’esponente minore: quindi, dato che l’unico fattore presente in entrambe <strong>le</strong> scomposizioni è 2<br />
e che nella prima scomposizione ha esponente 3 e nella seconda ha esponente 2 risulta che:<br />
MCD(24; 20) = 2 2 = 4<br />
Per determinare il mcm dobbiamo prendere i fattori presenti in almeno una scomposizione presi<br />
con l’esponente maggiore: quindi, dato che i fattori presenti nella prima scomposizione sono 2 e 3<br />
2
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 3<br />
e nella seconda scomposizione sono 2 e 5 e che 2 nella prima scomposizione ha esponente 3 e nella<br />
seconda ha esponente 2 risulta che:<br />
mcm(24; 20) = 2 3 · 3 · 5 = 120<br />
Vediamo adesso, tramite esempi, che il metodo per determinare MCD e mcm fra polinomi è<br />
concettualmente identico:<br />
Esempi<br />
⊲ Determinare MCD e mcm fra i polinomi: x 2 + 4x + 4 e x 2 + 7x + 10.<br />
Per primo dobbiamo scomporre entrambi i polinomi (per quanto riguarda la scomposizione di<br />
polinomi vedi Appunti di Matematica, Il calcolo <strong>le</strong>ttera<strong>le</strong>, paragrafo 1.15).<br />
x 2 + 4x + 4 è il quadrato del binomio x + 2 quindi:<br />
x 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2<br />
mentre x 2 + 7x + 10 si scompone tramite la tecnica del particolare trinomio di secondo grado, da<br />
cui:<br />
x 2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)<br />
I fattori di questa scomposizione sono (x + 2) per quanto riguarda il primo polinomio e (x + 2) e<br />
(x + 5) per quanto riguarda il secondo.<br />
Come per i numeri, per determinare il MCD fra polinomi dobbiamo prendere i fattori comuni ad<br />
entrambe <strong>le</strong> scomposizioni presi con l’esponente minore: quindi, dato che l’unico fattore presente in<br />
entrambe <strong>le</strong> scomposizioni è (x + 2) che nella prima scomposizione ha esponente 2 e nella seconda<br />
ha esponente 1 risulta che:<br />
MCD(x 2 + 4x + 4; x 2 + 7x + 10) = (x + 2) 1 = x + 2<br />
Per determinare il mcm dobbiamo prendere i fattori presenti in almeno una scomposizione presi<br />
con l’esponente maggiore: quindi, dato che nella prima scomposizione l’unico fattore presente è<br />
x + 2 mentre nella seconda scomposizione sono x + 2 e x + 5 e che (x + 2) nella prima scomposizione<br />
ha esponente 2 e nella seconda ha esponente 1 risulta che:<br />
mcm(x 2 + 4x + 4; x 2 + 7x + 10) = (x + 2) 2 · (x + 5)<br />
⊲ Determinare MCD e mcm fra i polinomi: x 2 − 9 e x 2 − 4x + 3.<br />
Scomponiamo i 2 polinomi:<br />
x 2 − 9 è la differenza di 2 quadrati e quindi è il prodotto di una somma per una differenza:<br />
x 2 − 9 = (x + 3)(x − 3)<br />
mentre x 2 − 4x + 3 si scompone tramite la tecnica del particolare trinomio di secondo grado, da<br />
cui:<br />
x 2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)<br />
I fattori di questa scomposizione sono (x + 3) e (x − 3) per quanto riguarda il primo polinomio e<br />
(x − 1) e (x − 3) per quanto riguarda il secondo.<br />
L’unico fattore presente in entrambe <strong>le</strong> scomposizioni è (x − 3) che sia nella prima scomposizione<br />
che nella seconda ha esponente 1, quindi:<br />
MCD(x 2 − 9; x 2 − 3x + 4) = x − 3
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 4<br />
e<br />
mcm(x 2 − 9; x 2 − 3x + 4) = (x + 3)(x − 3)(x − 1)<br />
⊲ Determinare MCD e mcm fra i polinomi: x 2 − 5x e x 2 − 6x + 9.<br />
Scomponiamo i 2 polinomi:<br />
x 2 − 5x possiamo mettere in evidenza x ottenendo:<br />
x 2 − 5x = x(x − 5)<br />
mentre x 2 − 6x + 9 è il quadrato di un binomio:<br />
x 2 − 6x + 9 = (x − 3) 2<br />
I fattori di questa scomposizione sono x e (x − 5) per quanto riguarda il primo polinomio e (x − 3)<br />
per quanto riguarda il secondo.<br />
Nessun fattore è presente in entrambe <strong>le</strong> scomposizioni e quindi il MCD è 1 (1 è sempre un divisore<br />
comune di “tutto”):<br />
MCD(x 2 − 5x; x 2 − 6x + 9) = 1<br />
per il mcm prendiamo invece tutti i fattori:<br />
1.2 Le <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong><br />
mcm(x 2 − 5x; x 2 − 6x + 9) = x(x − 5)(x − 3) 2<br />
Definizione di frazione algebrica. Si definisce frazione algebrica una frazione in cui il numeratore<br />
e il denominatore sono entrambi polinomi.<br />
Osservazione. Dal momento che un numero può essere considerato come un polinomio formato da<br />
un solo monomio avente parte <strong>le</strong>ttera<strong>le</strong> nulla, <strong>le</strong> <strong>frazioni</strong> numeriche che conosciamo possono essere<br />
considerate anch’esse <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong>.<br />
Quando abbiamo studiato <strong>le</strong> <strong>frazioni</strong> numeriche , abbiamo escluso la possibilità che il denominatore<br />
potesse essere zero. Infatti ben sappiamo che non ha senso in matematica una frazione del tipo 3<br />
0 .<br />
Consideriamo adesso la seguente frazione algebrica:<br />
x 2 + 4<br />
x − 5<br />
Dal momento che una <strong>le</strong>ttera può assumere qualunque valore ci chiediamo se, per qualche valore<br />
di x, il denominatore diventa zero. Osserviamo che se x fosse 5 la frazione diventerebbe:<br />
5 2 + 4<br />
5 − 5<br />
= 29<br />
0
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 5<br />
Bisogna quindi evidenziare che x può assumere qualsiasi valore tranne 5, perché se x = 5 il denominatore<br />
diventerebbe 0 e, come già detto, non ha senso una frazione con denominatore 0. A ta<strong>le</strong><br />
scopo servono <strong>le</strong> condizioni di esistenza (abbreviazione C.E.):<br />
Definizione di Condizioni di esistenza. Le condizioni di esistenza di una frazione algebrica<br />
rappresentano l’insieme dei valori che possono assumere <strong>le</strong> <strong>le</strong>ttere affinché il denominatore non sia<br />
zero.<br />
Nell’esempio di prima, dal momento che x può assumere qualunque valore diverso da 5 <strong>le</strong> condizioni<br />
di esistenza risultano:<br />
C.E. = {x ∈ R |x = 5}<br />
Osservazione. Nell’esempio precedente abbiamo intuito che il denominatore si annullava per<br />
x = 5; in altri casi però non è altrettanto faci<strong>le</strong> determinare quel valore o quei valori che rendono<br />
zero il denominatore. Il metodo migliore è quello di scrivere il denominatore ugua<strong>le</strong> a zero e risolvere<br />
l’equazione. Il valore, o i valori che risolvono l’equazione sono quelli da eliminare dal<strong>le</strong> condizioni<br />
di esistenza. Chiariamo con i seguenti:<br />
Esempi<br />
⊲ Determinare <strong>le</strong> condizioni di esistenza della frazione algebrica 7x<br />
3x+12<br />
<br />
<br />
Come detto nell’osservazione poniamo il denominatore ugua<strong>le</strong> a zero:<br />
l’equazione:<br />
3x + 12 = 0 e risolviamo<br />
3 − 12 4<br />
3x + 12 = 0 → 3x = −12 → x =<br />
3 3 1 → x = −4<br />
pertanto risulta:<br />
C.E. = {x ∈ R |x = −4}<br />
⊲ Determinare <strong>le</strong> condizioni di esistenza della frazione algebrica x 3 −4<br />
14−5x<br />
<br />
<br />
Come detto nell’osservazione poniamo il denominatore ugua<strong>le</strong> a zero: 14 − 5x = 0 e risolviamo<br />
l’equazione:<br />
5 14 14<br />
14 − 5x = 0 → −5x = −14 → 5x = 14 → x = → x =<br />
5 5 5<br />
pertanto risulta:<br />
C.E. = {x ∈ R |x = 14<br />
5 }<br />
⊲ Determinare <strong>le</strong> condizioni di esistenza della frazione algebrica x+24<br />
x 2 −5x+6<br />
Come detto nell’osservazione poniamo il denominatore ugua<strong>le</strong> a zero: x 2 − 5x + 6 = 0. Il<br />
prob<strong>le</strong>ma rispetto agli esempi precedenti è che dobbiamo risolvere un’equazione di secondo grado<br />
che non sappiamo (per ora) affrontare. Proviamo allora a scomporre il polinomio x 2 − 5x + 6 = 0<br />
(vedremo in seguito il motivo): non possiamo scomporlo col raccoglimento tota<strong>le</strong>, né parzia<strong>le</strong>, né<br />
tramite i prodotti notevoli. Proviamo col particolare trinomio di secondo grado: bisogna trovare 2<br />
numeri p e q tali che:<br />
p + q = −5; p · q = 6<br />
tali numeri sono p = −2 e q = −3, pertanto il trinomio x 2 − 5x + 6 può essere scomposto come<br />
x 2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)<br />
sostituendo a x 2 − 5x + 6 la sua scomposizione, la frazione algebrica diventa x+24<br />
(x−2)(x−3) Il<br />
prob<strong>le</strong>ma rimane di capire per quali valori di x il denominatore si annulla. Ma noi sappiamo che
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 6<br />
una moltiplicazione ha risultato zero se e soltanto se uno dei fattori è zero. Pertanto per determinare<br />
il risultato dell’equazione:<br />
(x − 2)(x − 3) = 0<br />
si pongono entrambi i fattori (x − 2) e (x − 3) uguali a zero. Quindi:<br />
pertanto risulta:<br />
x − 2 = 0 → x = 2 x − 3 = 0 → x = 3<br />
C.E. = {x ∈ R |x = 2, x = 3}<br />
⊲ Determinare <strong>le</strong> condizioni di esistenza della frazione algebrica 2+5x 4<br />
x 2 −9<br />
Anche in questo caso il denominatore è di secondo grado. Lo scomponiamo ottenendo: x 2 − 9 =<br />
(x − 3)(x + 3).<br />
Sostituendo a x2 − 9 la sua scomposizione, la frazione algebrica diventa 2+5x4 abbiamo visto in precedenza per determinare il risultato dell’equazione:<br />
(x + 3)(x − 3) = 0<br />
si pongono entrambi i fattori (x + 3) e (x − 3) uguali a zero. Quindi:<br />
pertanto risulta:<br />
x + 3 = 0 → x = −3 x − 3 = 0 → x = 3<br />
C.E. = {x ∈ R |x = −3, x = 3}<br />
1.3 Semplificazione di <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong><br />
(x+3)(x−3)<br />
. Come<br />
Se ci troviamo di fronte a una frazione del tipo 6<br />
8 , sappiamo che possiamo semplificarla, e, senza<br />
ricorrere a particolari tecniche scriviamo:<br />
6 3 3<br />
=<br />
8 4 4<br />
In realtà è come se avessimo scomposto sia il numeratore che il denominatore ottenendo:<br />
6 3 · 2 3 2 3<br />
= = =<br />
8 4 · 2 4 2 4<br />
Per semplificare una frazione algebrica ci comportiamo nello stesso modo come evidenziato dai<br />
seguenti:<br />
Esempi<br />
⊲ Semplificare, dopo aver determinato <strong>le</strong> condizioni di esistenza, la seguente frazione algebrica:<br />
x 2 − 16<br />
x 2 + 9x + 20
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 7<br />
inizialmente dobbiamo determinare <strong>le</strong> condizioni di esistenza e ci comportiamo quindi come nel precedente<br />
paragrafo: il denominatore è costituito da un trinomio di secondo grado che scomponiamo<br />
con la tecnica del particolare trinomio di secondo grado ottenendo:<br />
x 2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)<br />
si pongono entrambi i fattori (x + 4) e (x + 5) uguali a zero. Quindi:<br />
pertanto risulta:<br />
x + 4 = 0 → x = −4 x + 5 = 0 → x = −5<br />
C.E. = {x ∈ R |x = −4, x = −5}<br />
A questo punto dobbiamo occuparci della semplificazione. Scomponiamo quindi anche il numeratore<br />
ottenendo:<br />
x 2 − 16 = (x − 4)(x + 4)<br />
Sostituiamo adesso, nella frazione algebrica, ai polinomi originali <strong>le</strong> rispettive scomposizioni ottenendo:<br />
x2 − 16<br />
x2 (x − 4)(x + 4)<br />
=<br />
+ 9x + 20 (x + 4)(x + 5)<br />
Osserviamo che il numeratore e il denominatore hanno un fattore in comune, (x+4), che può quindi<br />
essere semplificato ottenendo:<br />
(x − 4) (x +<br />
4) x − 4<br />
=<br />
(x +<br />
4) (x + 5) x + 5<br />
che è la frazione semplificata.<br />
⊲ Semplificare, dopo aver determinato <strong>le</strong> condizioni di esistenza, la seguente frazione algebrica:<br />
x 2 + 9x + 14<br />
x 2 + 7x<br />
Determiniamo <strong>le</strong> condizioni di esistenza scomponendo il denominatore (tramite il raccoglimento a<br />
fattor comune) e ottenendo:<br />
x 2 + 7x = x(x + 7)<br />
si pongono entrambi i fattori x e (x + 7) uguali a zero. Quindi:<br />
pertanto risulta:<br />
x = 0 x + 7 = 0 → x = −7<br />
C.E. = {x ∈ R |x = 0, x = −7}<br />
Adesso scomponiamo anche il numeratore (mediante il particolare trinomio di secondo grado)<br />
ottenendo:<br />
x 2 + 9x + 14 = (x + 7)(x + 2)<br />
Sostituiamo adesso, nella frazione algebrica, ai polinomi originali <strong>le</strong> rispettive scomposizioni ottenendo:<br />
x2 + 9x + 14<br />
x2 (x + 7)(x + 2)<br />
=<br />
+ 7x x(x + 7)<br />
Osserviamo che il numeratore e il denominatore hanno un fattore in comune, (x+7), che può quindi<br />
essere semplificato ottenendo:<br />
(x +<br />
7) (x + 2)<br />
=<br />
x (x +<br />
7)<br />
x + 2<br />
x<br />
⊲ Semplificare, dopo aver determinato <strong>le</strong> condizioni di esistenza, la seguente frazione algebrica:<br />
x 3 + 6x 2 + 3x + 18<br />
x 2 + 12x + 36
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 8<br />
Determiniamo <strong>le</strong> condizioni di esistenza scomponendo il denominatore (tramite prodotti notevoli)<br />
ottenendo:<br />
x 2 + 12x + 36 = (x + 6) 2<br />
L’unica possibilità che un numero e<strong>le</strong>vato al quadrato sia zero è che sia zero il numero stesso,<br />
pertanto si pone (x + 6) ugua<strong>le</strong> a zero:<br />
quindi risulta:<br />
x + 6 = 0 → x = −6<br />
C.E. = {x ∈ R |x = −6}<br />
Adesso scomponiamo anche il numeratore (mediante il raccoglimento parzia<strong>le</strong>) ottenendo:<br />
x 3 + 6x 2 + 3x + 18 = x 2 (x + 6) + 3(x + 6) = (x + 6)(x 2 + 3)<br />
Sostituiamo adesso, nella frazione algebrica, ai polinomi originali <strong>le</strong> rispettive scomposizioni ottenendo:<br />
x3 + 6x2 + 3x + 18<br />
x2 + 12x + 36<br />
= (x + 6)(x2 + 3)<br />
(x + 6) 2<br />
Osserviamo che il numeratore e il denominatore hanno un fattore in comune, (x+6), che può quindi<br />
essere semplificato ottenendo:<br />
(x +<br />
6) (x2 + 3)<br />
=<br />
(x + 6) 21<br />
x2 + 3<br />
x + 6<br />
Possiamo quindi riassumere enunciando il:<br />
Metodo per la semplificazione di una frazione algebrica. Per semplificare una frazione<br />
algebrica, dopo aver determinato <strong>le</strong> condizioni di esistenza, si scompone, se possibi<strong>le</strong>, numeratore e<br />
denominatore: se in tali scomposizioni sono presenti dei fattori comuni, tali fattori possono essere<br />
semplificati.<br />
1.4 Il prodotto fra <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong><br />
Supponiamo di dover effettuare il seguente prodotto:<br />
6 5<br />
·<br />
35 9<br />
Prima di moltiplicare fra loro i numeratori e fra loro i denominatori, conviene guardare se ci sono<br />
semplificazioni possibili (<strong>le</strong> cosiddette semplificazioni incrociate):<br />
2 · 3<br />
7 · 5<br />
5 2· 3<br />
· =<br />
32 7· 5<br />
5 2 · 1 2<br />
· = =<br />
3 2 7 · 3 21<br />
Nel prodotto di <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong> ci comportiamo nello stesso modo, come emerge dai seguenti:<br />
Esempi<br />
⊲ Effettuare, dopo aver determinato <strong>le</strong> condizioni di esistenza, il seguente prodotto fra <strong>frazioni</strong><br />
<strong>algebriche</strong>:<br />
x + 3<br />
x − 4 · x2 − 8x + 16<br />
x2 + 8x + 15
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 9<br />
Si osserva che i denominatori sono 2. Di conseguenza dovremo studiare per quali valori di x<br />
si annulla sia il primo denominatore che il secondo denominatore, ed eliminare tali valori dal<strong>le</strong><br />
condizioni di esistenza.<br />
Il primo denominatore è di primo grado (e quindi non è ovviamente scomponibi<strong>le</strong>) e si annulla se:<br />
x − 4 = 0 → x = 4<br />
Il secondo denominatore è di secondo grado e va quindi scomposto (tramite il particolare trinomio<br />
di secondo grado):<br />
x 2 + 8x + 15 = (x + 5)(x + 3)<br />
si pongono entrambi i fattori (x + 5) e (x + 3) uguali a zero. Quindi:<br />
pertanto risulta:<br />
x + 3 = 0 → x = −3 x + 5 = 0 → x = −5<br />
C.E. = {x ∈ R |x = 4; x = −3; x = −5}<br />
scomponiamo adesso anche i numeratori: il primo è di primo grado e quindi non scomponibi<strong>le</strong>,<br />
mentre il secondo va scomposto tramite i prodotti notevoli ottenendo:<br />
x 2 − 8x + 16 = (x − 4) 2<br />
Sostituiamo adesso nel prodotto inizia<strong>le</strong>, ai polinomi <strong>le</strong> loro scomposizioni:<br />
x + 3<br />
x − 4 · x2 − 8x + 16<br />
x2 x + 3<br />
=<br />
+ 8x + 15 x − 4 ·<br />
(x − 4) 2<br />
(x + 3)(x + 5)<br />
e osserviamo che possiamo effettuare del<strong>le</strong> semplificazioni incrociate:<br />
x +<br />
3<br />
x −<br />
4 ·<br />
(x − 4) 2<br />
(x +<br />
3) (x + 5)<br />
= x − 4<br />
x + 5<br />
⊲ Effettuare, dopo aver determinato <strong>le</strong> condizioni di esistenza, il seguente prodotto fra <strong>frazioni</strong><br />
<strong>algebriche</strong>:<br />
x2 + x 5x − 5<br />
·<br />
x − 1 x2 − 1<br />
Il primo denominatore è di primo grado e si annulla se:<br />
x − 1 = 0 → x = 1<br />
Il secondo denominatore è di secondo grado e va quindi scomposto (tramite prodotti notevoli):<br />
x 2 − 1 = (x + 1)(x − 1)<br />
si pongono entrambi i fattori (x + 1) e (x − 1) uguali a zero. Quindi:<br />
pertanto risulta:<br />
x + 1 = 0 → x = −1 x − 1 = 0 → x = 1<br />
C.E. = {x ∈ R |x = 1; x = −1}<br />
scomponiamo adesso anche i numeratori: il primo va scomposto col raccoglimento a fattor comune:<br />
x 2 + x = x(x + 1)<br />
mentre nel secondo, anche se è di primo grado, conviene mettere in evidenza il fattore comune 5<br />
ottenendo:<br />
5x − 5 = 5(x − 1)
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 10<br />
Sostituiamo adesso nel prodotto inizia<strong>le</strong>, ai polinomi <strong>le</strong> loro scomposizioni:<br />
x 2 + x<br />
x − 1<br />
· 5x − 5<br />
x 2 − 1<br />
Effettuiamo <strong>le</strong> semplificazioni incrociate:<br />
= x(x + 1)<br />
x − 1<br />
x( x +<br />
1) 5 (x −<br />
1)<br />
·<br />
x −<br />
1 (x +<br />
1) (x − 1)<br />
1.5 La divisione fra <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong><br />
·<br />
5(x − 1)<br />
(x + 1)(x − 1)<br />
= 5x<br />
x − 1<br />
Sappiamo che la divisione fra due <strong>frazioni</strong> numeriche equiva<strong>le</strong> alla moltiplicazione della prima (il<br />
dividendo) per il reciproco della seconda, come emerge dal seguente esempio:<br />
10<br />
3<br />
: 15<br />
7<br />
= 10 2<br />
3<br />
7 14<br />
· =<br />
15 3 9<br />
Anche nel<strong>le</strong> <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong> ci comportiamo così, ma bisogna porre particolare attenzione al<strong>le</strong><br />
condizioni di esistenza, come possiamo capire dal seguente esempio:<br />
Esempio<br />
⊲<br />
x+3 x+5<br />
x−2 : x−6<br />
Ci sono 2 denominatori sui quali studiare <strong>le</strong> condizioni di esistenza. Dal primo risulta che x deve<br />
essere diverso da 2, mentre dal secondo risulta che x deve essere diverso da 6. Se trasformiamo la<br />
divisione in una moltiplicazione fra la prima frazione algebrica e il reciproco della seconda (ricordiamo<br />
che il reciproco di una frazione si ottiene scambiando fra loro denominatore e numeratore)<br />
otteniamo:<br />
x + 3 x + 5 x + 3 x − 6<br />
: = ·<br />
x − 2 x − 6 x − 2 x + 5<br />
Osserviamo che abbiamo un nuovo denominatore, cioè x + 5, che, come tutti i denominatori deve<br />
essere diverso da zero. Quindi deve risultare che x diverso da −5. Riassumendo abbiamo <strong>le</strong> seguenti<br />
condizioni di esistenza:<br />
C.E. = {x ∈ R |x = 2; x = 6; x = −5}<br />
L’esempo ci suggerisce che, in una divisione fra <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong>, deve essere diverso<br />
da zero, oltre ai 2 denominatori, anche il numeratore della seconda frazione algebrica.<br />
Esempi ⊲ Effettuare, dopo aver determinato <strong>le</strong> condizioni di esistenza, la seguente divisione fra<br />
<strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong>:<br />
x2 + 4x + 4 x<br />
:<br />
x − 4<br />
2 + 2x<br />
x2 − 9x + 20<br />
Determiniamo <strong>le</strong> condizioni di esistenza analizzando, oltre i 2 denominatori, anche il secondo<br />
numeratore, cominciando dal primo denominatore:<br />
x − 4 = 0 → x = 4
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 11<br />
Il secondo denominatore è di secondo grado e va quindi scomposto. Scomponiamolo col metodo del<br />
particolare trinomio di secondo grado:<br />
da cui<br />
x 2 − 9x + 20 = (x − 4)(x − 5)<br />
x − 4 = 0 → x = 4 x − 5 = 0 → x = 5<br />
Anche il numeratore della seconda frazione è di secondo grado e va quindi scomposto. Scomponiamolo<br />
tramite raccoglimento a fattor comune:<br />
da cui<br />
x 2 + 2x = x(x + 2)<br />
x = 0 x + 2 = 0 → x = −2<br />
Riassumendo abbiamo <strong>le</strong> seguenti condizioni di esistenza:<br />
C.E. = {x ∈ R |x = 4; x = 5; x = 0; x = −2}<br />
A questo punto possiamo eseguire la divisione trasformandola nell’equiva<strong>le</strong>nte moltiplicazione:<br />
x 2 + 4x + 4<br />
x − 4<br />
:<br />
x2 + 2x<br />
x2 − 9x + 20 = x2 + 4x + 4<br />
·<br />
x − 4<br />
x2 − 9x + 20<br />
x2 + 2x<br />
Per sostituire ai polinomi <strong>le</strong> relative scomposizioni, bisogna ancora scomporre il primo numeratore.<br />
Lo facciamo tramite il riconoscimento di prodotti notevoli:<br />
Possiamo adesso eseguire <strong>le</strong> semplificazioni:<br />
x 2 + 4x + 4<br />
x − 4<br />
· x2 − 9x + 20<br />
x 2 + 2x<br />
x 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2<br />
(x + 2) 2<br />
=<br />
x −<br />
4 ·<br />
(x −<br />
4) (x − 5)<br />
=<br />
x (x +<br />
2)<br />
(x + 2)(x − 5)<br />
x<br />
⊲ Effettuare, dopo aver determinato <strong>le</strong> condizioni di esistenza, la seguente divisione fra <strong>frazioni</strong><br />
<strong>algebriche</strong>:<br />
2x7 + 3x6 + 8x + 12<br />
:<br />
2x + 14<br />
2x + 3<br />
x2 + 7x<br />
Determiniamo <strong>le</strong> condizioni di esistenza analizzando, oltre i 2 denominatori, anche il secondo<br />
numeratore, cominciando dal primo denominatore:<br />
2x + 14 = 0 → 2 −14<br />
x = → x = −7<br />
2 2<br />
Il secondo denominatore è di secondo grado e va quindi scomposto. Scomponiamolo tramite<br />
raccoglimento a fattor comune:<br />
x 2 + 7x = x(x + 7)<br />
da cui<br />
x = 0 x + 7 = 0 → x = −7<br />
Dal numeratore della seconda frazione otteniamo:<br />
2x + 3 = 0 → 2<br />
x = −3 → x = −3<br />
2 2 2<br />
Riassumendo abbiamo <strong>le</strong> seguenti condizioni di esistenza:<br />
C.E. = {x ∈ R |x = −7; x = 0; x = − 3<br />
2 }
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 12<br />
A questo punto possiamo eseguire la divisione trasformandola nell’equiva<strong>le</strong>nte moltiplicazione:<br />
2x 7 + 3x 6 + 8x + 12<br />
2x + 14<br />
: 2x + 3<br />
x2 + 7x = 2x7 + 3x6 + 8x + 12<br />
·<br />
2x + 14<br />
x2 + 7x<br />
2x + 3<br />
Per sostituire ai polinomi <strong>le</strong> relative scomposizioni, bisogna ancora scomporre il primo numeratore.<br />
Lo facciamo tramite il raccoglimento parzia<strong>le</strong>:<br />
2x 7 + 3x 6 + 8x + 12 = x 6 (2x + 3) + 4(2x + 3) = (2x + 3)(x 6 + 4)<br />
Inoltre nel primo denominatore conviene mettere in evidenza un 2 ottenendo:<br />
2x + 14 = 2(x + 7)<br />
Possiamo adesso eseguire l’operazione effettuando <strong>le</strong> dovute semplificazioni:<br />
2x 7 + 3x 6 + 8x + 12<br />
2x + 14<br />
· x2 + 7x<br />
2x + 3 =<br />
(2x + 3) (x6 + 4)<br />
·<br />
2 (x +<br />
7)<br />
x (x + 7)<br />
2x + 3 = x(x6 + 4)<br />
2<br />
1.6 Addizioni e sottrazioni fra <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong><br />
Ancora una volta partiamo da un esempio fra due <strong>frazioni</strong> numeriche:<br />
7 5<br />
+<br />
8 6<br />
Il primo passo è quello di trovare il minimo comune multiplo fra i denominatori. Per questo scomponiamo<br />
entrambi i denominatori: 8 = 2 3 ; 6 = 2 · 3. Ricordiamo che il minimo comune multiplo<br />
si ottiene prendendo tutti i fattori del<strong>le</strong> scomposizioni (comuni e non comuni) con l’esponente maggiore.<br />
Quindi il m.c.m. cercato è 2 3 · 3 che è il denominatore della frazione somma. Effettuiamo la<br />
divisione fra il m.c.m. appena trovato e il primo denominatore che è 2 3 :<br />
2 3 · 3 : 2 3 = 3<br />
moltiplichiamo il primo numeratore (7) per 3 e otteniamo 21. Ripetiamo il procedimento col secondo<br />
denominatore:<br />
2 3 · : 2 · 3 = 2 2<br />
moltiplichiamo il secondo numeratore (5) per 2 2 e otteniamo 20. La somma risulta quindi:<br />
21 + 20<br />
2 3 · 3<br />
= 41<br />
24<br />
Il procedimento è identico per tutte <strong>le</strong> <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong>, come emerge dai seguenti:<br />
Esempi<br />
⊲ Effettuare, dopo aver determinato <strong>le</strong> condizioni di esistenza, la seguente somma fra <strong>frazioni</strong><br />
<strong>algebriche</strong>:<br />
2<br />
x2 + 8x + 15 +<br />
x<br />
x2 + 10x + 25<br />
Per <strong>le</strong> condizioni di esistenza scomponiamo entrambi i denominatori:<br />
x 2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 13<br />
da cui:<br />
da cui:<br />
x + 3 = 0 → x = −3 x + 5 = 0 → x = −5<br />
x 2 + 10x + 25 = (x + 5) 2<br />
x + 5 = 0 → x = −5<br />
Riassumendo abbiamo <strong>le</strong> seguenti condizioni di esistenza:<br />
C.E. = {x ∈ R |x = −3; x = −5}<br />
Per effettuare la somma devo effettuare il minimo comune multiplo fra i 2 denominatori che abbiamo<br />
già scomposto. Risulta che:<br />
m.c.m.=(x + 3)(x + 5) 2<br />
Dividiamo, sotto forma di frazione, il m.c.m. per il primo denominatore:<br />
2<br />
(x +<br />
3) (x + 5)<br />
(x +<br />
3) (x +<br />
5)<br />
quindi il primo numeratore va moltiplicato per x + 5<br />
= x + 5<br />
Dividiamo, sempre sotto forma di frazione, il m.c.m. per il secondo denominatore:<br />
(x + 3) (x + 5) 2<br />
(x + 5) 2 = x + 3<br />
quindi il secondo numeratore va moltiplicato per x + 3<br />
Ricapitolando otteniamo:<br />
2<br />
x 2 + 8x + 15 +<br />
x<br />
x2 2(x + 5) + x(x + 3)<br />
=<br />
+ 10x + 25 (x + 3)(x + 5) 2<br />
Al denominatore ci sono solo prodotti e conviene lasciarlo sotto questa forma. Al numeratore c’è<br />
una somma e quindi dobbiamo effettuare i calcoli:<br />
che comp<strong>le</strong>ta l’addizione.<br />
2(x + 5) + x(x + 3)<br />
(x + 3)(x + 5) 2<br />
= 2x + 10 + x2 + 3x<br />
(x + 3)(x + 5) 2 = x2 + 5x + 10<br />
(x + 3)(x + 5) 2<br />
⊲ Effettuare, dopo aver determinato <strong>le</strong> condizioni di esistenza, la seguente sottrazione fra <strong>frazioni</strong><br />
<strong>algebriche</strong>:<br />
x − 3<br />
x + 4 −<br />
2<br />
x2 + 6x + 8<br />
Per <strong>le</strong> condizioni di esistenza scomponiamo il secondo denominatore (il primo è di primo grado):<br />
da cui:<br />
Dal primo denominatore si ottiene:<br />
x 2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)<br />
x + 2 = 0 → x = −2 x + 4 = 0 → x = −4<br />
x + 4 = 0 → x = −4
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 14<br />
Riassumendo abbiamo <strong>le</strong> seguenti condizioni di esistenza:<br />
C.E. = {x ∈ R |x = −2; x = −4}<br />
Per effettuare la somma devo effettuare il minimo comune multiplo fra i 2 denominatori. Risulta<br />
che:<br />
m.c.m.=(x + 2)(x + 4)<br />
Dividiamo, sotto forma di frazione, il m.c.m. per il primo denominatore:<br />
(x +<br />
4) (x + 2)<br />
= x + 2<br />
(x +<br />
4)<br />
quindi il primo numeratore va moltiplicato per x + 2<br />
Dividiamo, sempre sotto forma di frazione, il m.c.m. per il secondo denominatore:<br />
(x +<br />
4) (x +<br />
2)<br />
= 1<br />
(x +<br />
4) (x +<br />
2)<br />
quindi il secondo numeratore va moltiplicato per 1 (cioè rimane lo stesso).<br />
Ricapitolando otteniamo:<br />
x − 3<br />
x + 4 −<br />
2<br />
x2 (x − 3)(x + 2) − 2<br />
=<br />
+ 6x + 8 (x + 2)(x + 4)<br />
Come in precedenza al denominatore ci sono solo prodotti e lo lasciamo sotto questa forma, mentre<br />
al numeratore c’è una sottrazione e dobbiamo quindi effettuare i calcoli:<br />
che comp<strong>le</strong>ta l’addizione.<br />
1.7 Le equazioni fratte<br />
(x − 3)(x + 2) − 2<br />
(x + 2)(x + 4) = x2 + 2x − 3x − 6 − 2<br />
=<br />
(x + 2)(x + 4)<br />
x2 − x − 8<br />
(x + 2)(x + 4)<br />
Strettamente col<strong>le</strong>gato all’argomento del<strong>le</strong> <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong> è quello del<strong>le</strong> equazioni fratte (o<br />
frazionarie). Un’equazione si dice fratta se l’incognita x compare al denominatore.<br />
Esempio<br />
⊲<br />
5<br />
x−3 = 1 è un’equazione fratta<br />
Dal momento che nel<strong>le</strong> equazioni fratte compare l’incognita al denominatore, bisogna determinare<br />
qualcosa di molto simi<strong>le</strong> al<strong>le</strong> condizioni di esistenza. Questo qualcosa lo chiamiamo dominio che è<br />
definito come segue:<br />
Definizione di dominio di un’equazione fratta. Il dominio di un’equazione fratta è l’insieme<br />
del<strong>le</strong> soluzioni accettabili.
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 15<br />
La differenza con <strong>le</strong> condizioni di esistenza è abbastanza sotti<strong>le</strong>, ma va comunque tenuta in considerazione:<br />
<strong>le</strong> condizioni di esistenza rappresentano l’insieme dei valori che possono assumere <strong>le</strong><br />
<strong>le</strong>ttere affinché l’espressione abbia senso, mentre il dominio di un’equazione fratta è l’insieme del<strong>le</strong><br />
soluzioni accettabili (cioè si risolve l’equazione, si confronta la soluzione col dominio e si vede se<br />
ta<strong>le</strong> soluzione è accettabi<strong>le</strong>).<br />
In ogni caso il dominio si determina nello stesso modo del<strong>le</strong> condizioni di esistenza.<br />
Ricordiamo che risolvere un’equazione significa determinare quel valore (o quei valori) che, sostituito<br />
all’incognita rende l’equazione una uguaglianza vera. Per risolvere un’equazione fratta si procede<br />
nel modo seguente:<br />
Metodo per la risoluzione di un’equazione fratta<br />
1. si determina il dominio<br />
2. si individua il minimo comune multiplo fra tutti i denominatori.<br />
3. si portano entrambi i termini dell’equazione a comun denominatore<br />
4. si eliminano i denominatori<br />
5. si risolve l’equazione intera<br />
6. si verifica se la soluzione appartiene al dominio: se sì possiamo accettarla, altrimenti l’equazione<br />
non ha soluzione<br />
Esempi<br />
5<br />
⊲ Risolvere l’equazione: x−3 = 1<br />
1) Dominio: abbiamo un unico denominatore, pertanto il dominio si determina ponendo:<br />
x − 3 = 0 → x = 3<br />
pertanto<br />
D = {x ∈ R |x = 3}<br />
2) Abbiamo un unico denominatore, quindi il minimo comune multiplo fra i denominatori coincide<br />
con l’unico denominatore cioè x − 3.<br />
3) Portiamo tutti i termini a comun denominatore x − 3:<br />
5 x−3<br />
x−3 = x−3<br />
4) Eliminiamo i denominatori:<br />
5<br />
x−3 <br />
x−3 = x−3 <br />
5) Risolviamo l’equazione intera: 5 = x − 3:<br />
5 = x − 3 → −x = −3 − 5 → x = 8<br />
6) Confrontiamo la soluzione trovata con il dominio: dal momento che <strong>le</strong> soluzioni accettabili sono<br />
tutte quel<strong>le</strong> diverse da 3, la soluzione x = 8 è accettabi<strong>le</strong> e quindi possiamo scrivere:<br />
S = {x ∈ R |x = 8}<br />
12<br />
⊲ Risolvere l’equazione: x2 3 − −8x+12 x−6 = 0<br />
1) Dominio: per determinare il dominio dobbiamo scomporre il primo denominatore. Usando la<br />
tecnica della somma e prodotto, otteniamo:
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 16<br />
x 2 − 8x + 12 = (x − 2)(x − 6)<br />
Pertanto i valori che annullano il denominatore sono x = 2 e x = 6.<br />
Anche il secondo denominatore si annulla per x = 6, quindi il dominio risulta:<br />
D = {x ∈ R |x = 2, x = 6}<br />
2) Il minimo comune multiplo è (x − 2)(x − 6).<br />
3) Portiamo tutti i termini a comun denominatore (x − 2)(x − 6):<br />
12<br />
3(x−2)<br />
(x−2)(x−6) − (x−2)(x−6) = 0<br />
4) Eliminiamo i denominatori:<br />
12<br />
(x−2)(x−6) <br />
3(x−2)<br />
− (x−2)(x−6) = 0<br />
5) Risolviamo l’equazione intera: 12 − 3(x − 2) = 0:<br />
12 − 3(x − 2) = 0 → 12 − 3x + 6 = 0 → −3x = −18 → x = 6<br />
6) Confrontiamo la soluzione trovata con il dominio: dal momento che <strong>le</strong> soluzioni accettabili devono<br />
essere diverse da 2 e da 6, la soluzione x = 6 non è accettabi<strong>le</strong> e quindi l’equazione non ha soluzioni.<br />
Quindi:<br />
S = ∅<br />
1.8 Esercizi<br />
Paragrafo 1.1<br />
Determina il m.c.m. fra i seguenti polinomi:<br />
1. x 2 − 25; x 2 − 10x + 25<br />
2. x − 3; x 2 − 7x + 12<br />
3. 5x 3 + 3x 2 + 10x + 6; x 2 + 2<br />
4. x 2 − 9; x 2 + 3x + 2<br />
Paragrafo 1.2<br />
Determina <strong>le</strong> condizioni di esistenza del<strong>le</strong> seguenti <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong><br />
5. 5x−1<br />
x+2 ;<br />
6.<br />
x 2<br />
4−2x<br />
1<br />
12+8x ; 2+x2 5+8x<br />
7. x−1<br />
x2−9 ; x2−3 10x<br />
8.<br />
5x3 x2−10x+16 ; x+7<br />
x2 9. 5x+1<br />
x ; x<br />
x 2 −2x+1
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 17<br />
10. 2x−1<br />
x 2 −11x ;<br />
2+x 2<br />
x 2 −5x+6<br />
Paragrafo 1.3<br />
Semplifica <strong>le</strong> seguenti <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong> dopo aver determinato <strong>le</strong> condizioni di esistenza<br />
11. x2 +11x+30<br />
x 2 +12x+36 ;<br />
x+1<br />
x 2 +6x+5<br />
x 12. 2−4x x2−6x+8 ; x2−3x−10 x+2<br />
13. x2 −1<br />
x 2 +x ;<br />
14. x2 +11x+30<br />
x 2 +12x+36 ;<br />
x 3<br />
x 2 +4x<br />
8x<br />
4x 3 +16x 2<br />
15. 4x5 +3x 4 +8x+6<br />
4x+3 ; x 2 −4x+3<br />
x 2 −x−6<br />
16. 3x9 +x 8 −12x−4<br />
3x+1 ; x 2 +5x+4<br />
x 2 +4x<br />
17. x4 +3x 3 +6x 2<br />
x 3 ; x 2 −4<br />
x 2 +4x+4<br />
18.<br />
2x−5<br />
4x2−20x+25 ; 9x2 +6x+1<br />
9x2−1 Paragrafo 1.4 e Paragrafo 1.5<br />
Esegui <strong>le</strong> seguenti operazioni fra <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong> dopo aver determinato <strong>le</strong> condizioni di<br />
esistenza<br />
19. x2 +11x+30<br />
x−2<br />
· x2 −4<br />
x 2 +6x ;<br />
x2 +14x<br />
x2 x−1 · −2x+1 x+7<br />
x 20. 2<br />
x+8 · x2−64 x2 +3x ; x2 +14x+48<br />
x2 · −36<br />
x−6<br />
x+8<br />
21. x−5<br />
x 2 −9 · x−3<br />
x 2 +2x−35 ;<br />
22. x2 +2x−15<br />
x+10<br />
4x<br />
x2 x−2 · −4x+4 4x+8<br />
· 2x2 −20x<br />
x+5 ; x+10<br />
x 2 +2x−15 · x+5<br />
2x 2 −20x<br />
4x−1 23. x2−16 · x2−4x 16x2−8x+1 ; x+2 x+4<br />
x+3 · x+5<br />
24. x2 +9x+18<br />
x−4<br />
: x2 +6x<br />
x 2 −16 ;<br />
x<br />
x2−2x+1 : x2−3x x−1<br />
25. x2 +9x<br />
x−1 : x2 +10x+9 x−2<br />
5 ; x2 10 : −4x+4 x−2<br />
26. x2 +x−30<br />
x−4<br />
27.<br />
: x2 −5x<br />
x 2 −4x ;<br />
Paragrafo 1.6<br />
2x+1<br />
x2−2x : 4x2−1 x<br />
Esegui <strong>le</strong> seguenti operazioni fra <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong> dopo aver determinato <strong>le</strong> condizioni di<br />
esistenza<br />
10<br />
x2 2x + −9x+6 x2−9 ;<br />
3 2x+5<br />
28. x−1 + x2−2x+1 ;<br />
29. x+1 x+2<br />
x−1 + x−2 ;<br />
2x x+4<br />
x+5 + x2 +7x+10<br />
x<br />
x 2 −5x+6 +<br />
2<br />
x 2 −6x+8<br />
4<br />
x2−100 − 3x<br />
x2 +12x+20<br />
x+2 30. x2 3 + −25 x2 +5x ; x+1<br />
4x − 2<br />
8x2 +12x
A<strong>le</strong>ssandro Bocconi 18<br />
31.<br />
32.<br />
33.<br />
2<br />
x2 x+4 + +8x+15 x+3 ; 3 x<br />
2 − x+2<br />
6x 2<br />
6x 3 +12x 2 − 1<br />
x+1 ;<br />
2<br />
x2 + 8<br />
x<br />
5x+1<br />
x2 3 + +9x+16 x+7 ; 1 x<br />
x + x+1<br />
Esegui <strong>le</strong> seguenti espressioni fra <strong>frazioni</strong> <strong>algebriche</strong> dopo aver determinato <strong>le</strong> condizioni di<br />
esistenza<br />
34. x+2<br />
x−1 + x2 +4x<br />
x2 x+1 · −1 x+4<br />
35. x2 +2x+1<br />
x−5 · x2−5x x2 x+1 + +4x+3 x+3<br />
36.<br />
x+2<br />
x2−7x+12 − x2 +14<br />
x2−9 : 2x2 +28<br />
x+3<br />
−12 37. x2−x−2 + x2 +4x+4<br />
x−3 : x2−4 x−3<br />
Paragrafo 1.7<br />
Risolvi <strong>le</strong> seguenti equazioni fratte<br />
3 38. x−4 = −1 S = {x ∈ R |x = 1}<br />
2 1<br />
39. x+4 = 3 S = {x ∈ R |x = 2}<br />
40.<br />
1<br />
x2 1 = −9x+20 x−5<br />
S = ∅<br />
41. 10 = 20<br />
2x+1 S = {x ∈ R |x = 1<br />
2 }<br />
4 8<br />
42. 2x−1 − 4x2 = 0 S = ∅<br />
−1<br />
43. 2<br />
x+1 +<br />
44.<br />
45.<br />
6<br />
x2 = 0 S = {x ∈ R |x = 0}<br />
−2x−3<br />
3<br />
x2 5 = +4x+4 x+2 S = {x ∈ R |x = − 7<br />
5 }<br />
2<br />
5x+20 +<br />
4<br />
x2 = 0 S = ∅<br />
−2x−24<br />
16 46. x+7 = 2 S = {x ∈ R |x = 1}<br />
47.<br />
16<br />
x2 4 = +7x+10 x+2 S = {x ∈ R |x = −1}<br />
48. − 12<br />
x2 2 + −9 x−3 = 0 S = ∅<br />
2 4<br />
49. x+3 = 5x S = {x ∈ R |x = 2}