Equazioni e disequazioni di grado 1 e 2 - Matematica

1. EQUAZIONI
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI
E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE
Definizione: un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui
compaiono numeri, lettere e simboli di operazioni) che può essere vera o falsa a seconda
dei valori attribuiti alle lettere, dette incognite dell’equazione.
ESEMPI:
2 x = 3 è un’equazione in una incognita e cosí pure x 2 = 4
2 x + y non è un’equazione perché non c’è l’uguale
2 · 3 = 6 non è un’equazione perché non ci sono incognite
2 x + y = 0 è un’equazione in due incognite
x + y = z – 1 è un’equazione in tre incognite
La parte che precede il segno di uguaglianza si dice primo membro, quella che lo segue
si dice secondo membro dell’equazione.
I valori che rendono vera l’uguaglianza sono detti soluzioni dell’equazione.
Se una uguaglianza non è mai verificata, diremo che l’equazione è impossibile o che
non ha soluzioni (per esempio l’equazione x 2 = – 1 non ha soluzioni reali, l’equazione
2 x = 3 non ha soluzioni intere).
Se un’uguaglianza è sempre verificata diremo che l’equazione è una identità.
Esempi di identità sono i cosiddetti prodotti notevoli, quali:
x 2 – y 2 = (x – y)(x + y)
(x – y) 2 = x 2 – 2 x y + y 2
(x + y) 2 = x 2 + 2 x y + y 2
x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2 )
x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 – xy + y 2 )
(x ± y) 3 = x 3 ± 3 x 2 y + 3 x y 2 ± y 3
(osserviamo che queste identità valgono perché vale la proprietà commutativa della mol-
tiplicazione, cioè si usa che x y = y x , ma nel caso delle matrici ad esempio vedremo
che tali identità non valgono).
È un’identità anche qualunque sviluppo di un prodotto: (x – 2)(x – 3) = x 2 – 5 x + 6 o
qualunque fattorizzazione di un polinomio, come x 2 – 2 x – x y + 2 y = (x – 2)(x – y)
che si ottiene raccogliendo x tra i primi due addendi e – y tra i secondi due.

!
Usando una o piú identità si possono trasformare equazioni complicate in equazioni piú
semplici da risolvere.
Per esempio, se si vuole risolvere l’equazione x 2 – 2 x – x y + 2 y = 0, usando
l’identità precedente la si trasforma in (x – 2)(x – y) = 0 ottenendo immediatamente le
soluzioni x = 2 oppure x = y (sembrano due, in realtà sono infinite soluzioni, come
vedremo tra poco). Infatti perché si annulli il prodotto deve essere nullo almeno uno dei
due fattori (si vedrà nei corsi, col prodotto di funzioni o col prodotto di matrici, che que-
sta proprietà non è vera in generale, ma nel caso dei numeri reali o dei polinomi a coeffi-
cienti reali essa vale).
La strategia per le equazioni polinomiali è trasformare un polinomio nel prodotto di po-
linomi di grado piú basso (possibilmente di primo grado).
Invece una strategia tipica, ma stupida perché fa solo perder tempo (e se le equazioni
sono di grado piú alto di due fa anche perdere di vista le soluzioni), è di trasformare e-
quazioni già in forma di prodotto, come (x – 2)(x – 3) = 0, in una somma (in questo ca-
so x 2 – 5 x + 6 = 0 ) per poi usare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado
ax 2 +bx +c = 0 " x = "b ± b2 " 4ac
2a
e quindi riottenere dopo un po’ di calcoli i valori che si trovavano immediatamente u-
guagliando a zero i fattori. Nel nostro caso x =
5 ± 25 " 24
2
#
%
6 = 3
= $ 2
4
& % = 2
2
2
e cioè le soluzioni
x = 2 o x = 3 (uso la congiunzione “o” e non “e” perché “e” indica che le due cose av-
vengono contemporaneamente, mentre o vuol dire che avviene una delle due).
Oppure usare la formula risolutiva quando manca il termine noto, invece di vedere che si
può raccogliere x, o quando manca il termine di primo grado.
Esempi : data x 2 – 2x = 0 si raccoglie x e si ottiene x(x – 2) = 0 da cui si ha subito x = 0
oppure x = 2.
Se invece si ha un’equazione del tipo x 2 = a essa ha soluzioni reali se e solo se
a ≥ 0. Se a = 0 c’è solo la soluzione nulla, mentre se a > 0 ha due soluzioni:
a e –
dice positiva di a .
a . A questo proposito ricordo che col simbolo
a intendiamo solo la ra-
Un altro esempio di grado piú alto, ma riducibile in prodotto di fattori di primo o secondo
! grado (come tutte le equazioni polinomiali a coefficienti ! reali) è: x 7 – 64x = 0. Si ha
x 7 – 64x = x (x 6 – 64) = x (x 3 – 8) (x 3 + 8) = x (x – 2) (x 2 + 2x + 4) (x + 2) (x 2 – 2x + 4)
da cui si ottengono come uniche soluzioni x= 0 oppure x= – 2 o x = 2. Infatti le due
equazioni di secondo grado non hanno soluzioni reali (vedremo quando studieremo i
numeri complessi come fattorizzare x 7 – 64x in polinomi di primo grado).

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Definizione: Due equazioni si dicono equivalenti se e solo se hanno esattamente le stes-
se soluzioni (tutte e sole).
OSSERVAZIONE: per ricavare le soluzioni delle equazioni si usa il fatto che sottraendo
o sommando una stessa espressione (purché sempre definita) le soluzioni non cambiano
cioè le due equazioni sono equivalenti. Grazie a questo principio è possibile trasportare
da un membro all’altro qualsiasi quantità cambiandole il segno.
Se un’equazione è equivalente a un’altra e questa seconda è equivalente a una terza, al-
lora la prima sarà equivalente alla terza (transitività).
Se si moltiplicano o dividono i due membri dell’equazione per uno stesso numero diver-
so da 0 si ottiene un’equazione equivalente.
Se si somma o si sottrae una stessa espressione (ben definita) ad ambo i membri si ottie-
ne un’equazione equivalente.
Invece spesso sono usati dei metodi che alterano le soluzioni dell’equazione per cui bi-
sogna stare attenti ed eliminare le soluzioni in piú o aggiungere soluzioni perse.
Se non si sta attenti si può arrivare a equazioni che non hanno nulla in comune con quel-
la di partenza.
ESEMPIO: Partiamo da x – 1 = 0 (che ha soluzione x=1).
Moltiplichiamo per x ambo i membri: x 2 – x = 0
Sommiamo x – 1 ad ambo i membri: x 2 – 1 = x – 1
Scomponiamo il primo membro in fattori: (x – 1)(x+1)= x – 1
Dividiamo per x – 1 ambo i membri: x+1 = 1
Sottraiamo 1 ad ambo i membri: x = 0.
Abbiamo certamente fatto errori perche abbiamo trovato una soluzione completamente
diversa da quella di partenza. Quali?
Le trasformazioni che creano problemi sono la moltiplicazione o divisione per espres-
sioni non numeriche (che quindi possono annullarsi per certi valori), l’elevamento a po-
tenza pari (che può aggiungere soluzioni), l’estrazione di radice pari (che può far perdere
soluzioni).
Nell’esempio sopra per moltiplicare per x dovevamo escludere x = 0, per dividere per
x–1 dovevamo escludere x = 1 che invece era proprio la nostra soluzione di partenza.
Vediamo alcuni altri esempi:

!
x 2 – 4 = 3x – 6. Se dividiamo per il fattore comune x – 2 otteniamo x + 2 = 3, ossia
x = 1, ma in tal modo perdiamo la soluzione x = 2, questo perché abbiamo diviso per
qualcosa che per x = 2 si annulla. È quindi importante controllare sempre gli zeri di ciò
per cui si moltiplica o si divide e togliere o aggiungere tali soluzioni.
2x–1 = 3 ha l’unica soluzione x = 2. Se eleviamo al quadrato otteniamo
4x 2 – 4x +1 = 9 che oltre alla soluzione x = 2 ha anche x = –1 che non risolve
l’equazione iniziale.
Se invece abbiamo (x + 3) 2 = 4 non possiamo estrarre la radice e ridurla a
x + 3 = 2 perché perderemmo la soluzione x = – 5, ma dobbiamo distinguere due casi:
x + 3 = 2 e x + 3 = – 2.
Analoga attenzione occorre nelle equazioni con radici come x ! 3 = x 2 ! 6x + 9 . Se
eleviamo al quadrato diventa una identità, ma la radice è un numero non negativo (se
non mettiamo davanti il meno), per cui l’equazione è soddisfatta solo se x– 3 ≥ 0,
cioè ogni x ≥ 3 è soluzione e non ce ne sono altre.
ATTENZIONE:
Se c’è una sola incognita ogni soluzione è costituita da un numero; per esempio l’unica
soluzione razionale di 2 x = 3 è x = 3
2 . L’equazione x2 = 4 ha due soluzioni – 2 e
2, ciascuna costituita da un solo numero.
Se ci sono due incognite ogni soluzione è data da una coppia ordinata di numeri, se ce
ne sono tre da una terna ordinata di numeri e cosí via.
Per esempio le soluzioni di 2 x + y = 0 sono infinite e si ottengono ricavando
un’incognita in funzione dell’altra. L’equazione è infatti equivalente a
y = – 2 x e quindi ciascuna soluzione è una coppia di numeri del tipo
(a, – 2 a ) dove ad a possiamo dare qualsiasi valore reale (la lettera a si dice in tal caso
parametro).
O si ricava y in funzione di x come sopra, oppure si ricava x in funzione di y ottenendo
x = " y
e quindi ciascuna soluzione è una coppia di numeri del tipo "
2 b # &
% , b(
al variare
$ 2 '
del parametro b. Non ha senso scrivere " y # &
% , " 2x(
, infatti se variano sia x che y queste
$ 2 '
coppie rappresentano tutte le coppie di numeri reali ! e non solo le soluzioni
dell’equazione.
!
4

5
PRECISAZIONE: chiamiamo parametro una lettera che può assumere qualsiasi valore
nell’insieme di numeri che consideriamo, mentre chiamiamo incognita una lettera di cui
cerchiamo valori da sostituirle in modo da soddisfare l’equazione.
Oppure le soluzioni dell’equazione vista prima x 2 – 2 x – x y + 2 y = 0 che avevamo
espresso brevemente scrivendo x = 2 o x = y sono tutte le coppie del tipo (2,a) e tutte
quelle del tipo (b,b) al variare dei parametri a,b nei numeri reali. Faccio notare per inci-
" $ x = 2
so che se avessi scritto x = 2 e x = y avrei inteso le soluzioni del sistema #
% $
e cioè
x = y
soltanto la coppia (2,2).
Non sempre però per avere un’unica soluzione in due variabili occorre un sistema. Per
esempio x 2 + y 2 = 0, pur essendo un’equazione sola, ha nell’insieme dei numeri reali
soltanto la soluzione nulla, cioè la coppia (0,0).
Analogamente x 2 + y 2 + z 2 = 0 ha solo la soluzione nulla, mentre le soluzioni di
x + y = z – 1 sono date dalle terne del tipo (a, b, a + b + 1) , dove a e b variano a piace-
re. La terna (1,0,2) è una soluzione, cosí come la terna (0, 1, 2) o la terna
(7, 2, 10). Ce ne sono infinite dipendenti dai 2 parametri a e b.
Invece affermare che x = 7 è una soluzione o chiedersi se y = 3 lo è non ha alcun
senso. Infatti tutte le terne del tipo (7,b,b+8) sono soluzione ma ci sono terne con x=7
che non sono soluzione, per esempio (7,7,7).
È importare anche osservare che la terna deve essere ordinata infatti (7, 2, 10) è una so-
luzione, ma (10, 7, 2) non lo è perché 10 + 7 ≠ 2 – 1
È importante anche chiedersi in quale ambiente cerchiamo le soluzioni. Se nei numeri
reali, nei razionali, negli interi, nei naturali. Questo dipende dal tipo di situazione che
cerchiamo di matematizzare.
Se le equazioni nascono da problemi concreti non si possono accettare tutte le soluzioni
che vengono dal calcolo puramente teorico.
!
Se per esempio si vuole prendere un caffé che costa 30 centesimi di euro da una macchi-
netta che non dà resto usando monete da 10, 5, 2 centesimi di euro occorre risolvere
l’equazione: 10 x + 5 y + 2 z = 30. Se le cerchiamo nei numeri reali, sia (2,2,0) sia
(1, 2, 5) sia (–1, 4, 10) sia (1, 3, 5
) sia (π, -2π, 15) sono terne soluzione
2
dell’equazione (ce ne sono infinite altre), ma tra le cinque qui elencate per il nostro pro-
blema concreto solo le prime due sono accettabili, la terza no perché la macchinetta non
dà resto e nemmeno la quarta perché non possiamo spezzare le monetine (ci darebbe in-
formazioni se la macchinetta accettasse anche le monete da 1 centesimo, ma solo con la
convenzione che 5
della moneta da 2 centesimi equivale a 5 monete da un centesimo),
2
la quinta poi non riusciamo neanche a capire che cosa significa concretamente.

In linguaggio matematico potremmo riassumere il discorso dicendo che in questo caso
ha senso cercare soluzioni solo nell’insieme dei numeri naturali.
In alcuni casi il problema ha incognite nascoste. Per esempio se cerchiamo i punti del
piano cartesiamo che stanno sulla retta di equazione x = 4, dobbiamo introdurre anche
l’incognita y che potrà variare a piacere.
Allora le coppie (4,1), (4, π), (4, 2 ) e piú in generale (4, b) sono soluzioni
dell’equazione della retta.
Digressione geometrica: EQUAZIONE DELLA RETTA NEL PIANO
Un sistema di riferimento cartesiano del piano è costituito da una coppia di rette orientate, dette asse x
o asse delle ascisse e asse y o asse delle ordinate, perpendicolari tra loro (in realtà non sarebbe necessario,
ma semplifica le cose), e da una unità di misura, che si sceglie in genere uguale sui due assi. Il
punto O in cui i due assi si intersecano viene detta origine del riferimento cartesiano.
È possibile assegnare a ogni punto P del piano una coppia di numeri, detti coordinate, proiettando il
punto perpendicolarmente sui due assi. Il primo numero della coppia si chiama ascissa ed è il numero
che si ottiene come intersezione dell'asse x e della retta per P parallela all'asse y (ricordiamo che vi è
corrispondenza biunivoca tra punti di una retta e numeri reali), il secondo numero della coppia si chiama
ordinata ed è il numero che si ottiene come intersezione dell'asse y e della retta per P parallela all'asse
x. Viceversa, data una coppia (a, b) di numeri reali, possiamo segnare i due numeri sui due assi
del riferimento e ottenere il punto P come intersezione delle due rette perpendicolari agli assi e passanti
per a e b.
Allora possiamo ricavare l'equazione della retta nel piano, distinguendo i vari casi:
- retta parallela all'asse x: è il luogo dei punti del piano aventi ordinata costante. Questa definizione
diventa l'equazione y = k , dove k è un numero reale fissato (osserviamo che possiamo considerarla
un’equazione in due incognite in cui x non compare, il che vuol dire che può assumere qualunque valore).
In particolare, l'asse x ha equazione y = 0.
- retta parallela all'asse y: è il luogo dei punti del piano aventi ascissa costante. Questa definizione diventa
l'equazione x = k , dove k è un numero reale fissato. In particolare, l'asse y ha equazione x = 0.
- retta passante per l'origine e non parallela ad uno degli assi. Sulla retta r consideriamo i punti
A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3), . . . e i triangoli OAA’ OBB’, OCC’ . . . .Tutti questi triangoli sono simili,
avendo i tre angoli uguali, e quindi hanno i lati in proporzione. Indicando con m il valore del rapporto
tra i cateti opposti e quelli adiacenti all'angolo " formato tra l'asse x e la retta, si ha:
y1 = y2 = y3 = ... = m (vedrete facendo trigonometria che m è la tangente dell’angolo " e perciò si
x 1
x 2
x 3
dice coefficiente angolare della retta).
La retta r è definita come il luogo dei punti P(x; y) del piano per i quali è costante il rapporto tra ordinata
y e ascissa x, il che si traduce nell'equazione y = mx.
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- retta non passante per l'origine e non parallela ad uno degli assi. Se consideriamo la parallela a r per
l’origine di equazione y = mx possiamo osservare che a parità di ascisse le ordinate variano per una
costante q che è l’ordinata del punto di r corrispondente a x=0. L’equazione di r è dunque y=mx+q.
Tutti i casi esaminati si riassumono dicendo che l’equazione di una retta è della forma: ax+by+c=0
con a,b non entrambi nulli e viceversa ogni equazione di questo tipo rappresenta una retta nel piano. Se
moltiplichiamo tutti i coefficienti per una costante otteniamo sempre la stessa retta Allora un’equazione
di primo grado in due variabili ha infinite soluzioni date dai punti della retta. Risolvere invece ax+c=0
in una variabile equivale a vedere dove la retta incontra l’asse x cioè a risolvere il sistema
" $ ax +by +c = 0
#
% $
.
y = 0

2. DISEQUAZIONI
Definizione: una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in
cui compaiono numeri, lettere e simboli di operazioni) che può essere vera o falsa a se-
conda dei valori attribuiti alle lettere, dette incognite della disequazione.
I simboli di disuguaglianza sono , ≥.
Risolvere una disequazione significa trovare i valori che sostituiti alle incognite rendono
vera la disuguaglianza. Come per le equazioni ogni soluzione sarà costituita da singoli
numeri (naturali, interi, razionali, reali …) o da una coppia o terna o n-upla di numeri a
seconda di quante sono le incognite. Risolvere la disequazione significa trovarle tutte.
ESEMPI:
x 2 < 0 non ha soluzioni reali;
x 2 ≤ 0 ha solo la soluzione nulla;
x 2 (x-1) 2 ≤ 0 ha due soluzioni 0 e 1;
(x – 2) 2 > 0 ha come soluzione tutti i numeri reali escluso 2;
(x – 2) 2 ≥ 0 ha come soluzione tutti i numeri reali.
Se cerchiamo le soluzioni di una disequazione a un’incognita nei reali spesso sono inter-
valli o unione di intervalli.
INTERVALLI
Fissati a, b !R (il simbolo " significa “appartiene”) si definiscono:
intervallo aperto l’insieme ( a, b)
= { x !R a < x < b};
intervallo chiuso l’insieme [ a, b]
= { x !R a " x " b};
intervallo semiaperto a sinistra l’insieme ( a, b]
= { x !R a < x " b};
intervallo semiaperto a destra l’insieme [ a, b)
= { x !R a " x < b}.
In particolare si denotano gli intervalli illimitati (semirette) usando il simbolo ∞ che
significa “infinito”: ( a, + ! ) = { x "R x > a}
; [ a,+" ) = { x # R x $ a}
( "#,b)
= { x $ R x < b}
; ( "#,b]
= { x $ R x % b}
Per trovare le soluzioni si può trasformare la disequazione mediante alcune operazioni.
Non altera la disequazione sommare o sottrarre una stessa espressione ad ambo i mem-
bri. Quando si moltiplica (per espressioni non nulle) si deve tener conto che se si molti-
plica per numeri positivi la disequazione non cambia, mentre se si moltiplica per numeri
negativi si deve invertire il simbolo di diseguaglianza. Riguardo poi all’elevamento a po-
tenza o all’estrazione di radice occorre prudenza come per le equazioni.
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ESEMPI:
2 x –7 < 5 x – 4
Sottraendo 5x e sommando 7 ad ambo i membri si ottiene – 3 x < 3 e dividendo per – 3
la disuguaglianza si inverte e si ottiene x > – 1 ( e non come fanno molti
x < –1 !).
Questa disuguaglianza si poteva anche dedurre geometricamente considerando le due
rette y = 2 x –7 e y = 5 x – 4 e guardando quando la prima stava sotto la seconda
x 2 > 4
y=5x-4
y=2x-7
L’errore tipico è osservare che x 2 = 4 se x = ± 2 ededurre x > ± 2! Se portiamo 4 a pri-
mo membro si ottiene x 2 – 4 > 0 ossia (x–2)(x+2)>0. Ora per le regole dei segni un pro-
dotto di due fattori è positivo se essi hanno lo stesso segno.
Il primo fattore è positivo per x > 2, l’altro per x > –2 , quindi per x > 2, sono entrambi
positivi, per x < – 2 sono entrambi negativi. Le soluzioni sono quindi ( "#,"2)
$ ( 2,+# ).
La soluzione si poteva vedere anche geometricamente intersecando la parabola
y = x 2 con la retta y = 4 e prendendo sull’asse x gli intervalli che corrispondono ai punti
della parabola che stanno sopra alla retta.

Oppure si poteva portare 4 a primo membro e confrontare la parabola y = x 2 – 4 con
l’asse x.
Digressione geometrica: CENNI SULLA PARABOLA
La parabola luogo dei punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice. La sua
equazione si può scrivere nella forma y = a x 2 se si sceglie come asse y la perpendicolare alla direttrice
per il fuoco (che è l’asse di simmetria della parabola) e come origine il vertice, cioè il punto di intersezione
dell’asse y con la parabola.
Se a > 0 la parabola è rivolta verso l’alto
se a < 0 la parabola è rivolta verso il basso
Ovviamente traslando l’origine lungo l’asse y l’equazione diventa y = a x 2 + c
e se ci si sposta anche orizzontalmente si ottiene y = a x 2 + b x + c
(se si fanno anche ruotare gli assi, l’equazione diventa della forma piú generale
ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 ed è difficile distinguerla dalle altre coniche (ellisse, iperbole, coppia
di rette incidenti o parallele).
Ogni equazione del tipo y = a x 2 + b x + c rappresenta una parabola e se ne può determinare il vertice
" b #
,c " b2 &
% (
$ 2a 4a
infatti completando i quadrati: si ottiene y = a x +
'
!
b ( 2a ) 2 " b2
4a 2 + c da cui ponen-
X = x +
do
b
2a
Y = y " c " b2
)
+
* # & l’equazione diventa Y = a X
+ % (
, $ 4a'
2 .
Viceversa la parabola con asse parallela all’asse y e vertice (p,q) ha equazione y – q = a (x – p) 2 .
Il coefficiente a si determina imponendo il passaggio per un altro punto
10

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Ogni volta che si ha una disequazione di secondo grado quindi la si può risolvere o fatto-
rizzando il polinomio di secondo grado nel prodotto di due di primo, oppure ragionando
geometricamente. infatti portando tutto a primo membro ci si trova a confrontare l’asse x
con una parabola y = a x 2 + b x + c . Le mutue posizioni possono essere le seguenti:
a > 0
a < 0
" > 0 " = 0 " < 0
Quindi la disequazione a x 2 + b x + c > 0 ha soluzione rispettivamente
" > 0 " = 0 " < 0
se a > 0
se a < 0
per i valori esterni sempre tranne nel vertice sempre
per i valori interni mai mai
a x 2 + b x + c ≥ 0 ha soluzione rispettivamente
" > 0 " = 0 " < 0
se a > 0
per i valori esterni compresi gli estremi sempre sempre
se a < 0
per i valori interni compresi gli estremi solo nel vertice mai
Le due righe si scambiano quando si scambia la disuguaglianza.