Equazione del telegrafo, equazione delle onde. - Smaug

CAPITOLO 1
Equazione del telegrafo, equazione delle onde
1.1. Un modello matematico per un filo elettrico
Un filo telegrafico può essere considerato come una sequenza di elementi analoghi
a quello raffigurato in figura 1.1.1. Ricordiamo che i componenti elettronici idealizzati
resistenza, induttanza e condensatore legano la corrente I che li attraversa alla differenza
di potenziale elettrico ∆V presente ai loro estremi secondo le seguenti regole
(1.1.1)
(1.1.2)
(1.1.3)
∆V = RI
∆V = L dI
dt
∆V = q
C
dove q = t
0 I(¯t)d¯t è la carica immagazzinata nel condensatore. La legge di Kirchoff
stabilisce che la somma algebrica delle correnti che entrano o escono da un qualunque
punto di un circuito elettrico deve essere uguale a zero. Poiché la corrente elettrica non è
altro che il flusso di carica, la legge di Kirchoff non è altro che una forma particolare della
legge di conservazione della carica elettrica. Applicata al nodo A ′ , essa garantisce che la
corrente I2 che attraversa la resistenza è uguale alla corrente che attraversa l’induttanza.
Pertanto, la differenza di potenziale fra i punti B ed A è data da
(1.1.4) VB − VA = RI2 + L dI2
dt .
Applicando la legge di Kirchoff al nodo A, si ottiene
(1.1.5) I1 = I2 + I3.
I 1
R
A A’ B
I 3
T
C
I 2
FIGURA 1.1.1. Un elemento di filo elettrico offre alla corrente che lo
percorre una resistenza R, una induttanza L e genera una capacità C
rispetto a terra.
1
L

2 1. EQUAZIONE DEL TELEGRAFO, EQUAZIONE DELLE ONDE
Derivando rispetto al tempo l’equazione (1.1.3) ed inserendo la risultante espressione per
I3 nell’equazione (1.1.5) si ottiene
(1.1.6) I2 − I1 = −C d
dt (VT − VA).
Dividendo (1.1.4) e (1.1.6) per la distanza ∆tra i punti A e B e passando al limite ∆ → 0,
si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali accoppiate, nelle incognite I e V
(1.1.7)
(1.1.8)
∂V
∂x
∂I
∂x
= RI + L∂I
∂t
∂V
= C
∂t
dove si è posto R = lim∆→0 R/∆, L = lim∆→0 L/∆, C = lim∆→0 C/∆, e si è sfruttato
il fatto che la tensione di terra VT è costante sia nello spazio che nel tempo. Queste
equazioni possono essere combinate in un’unica equazione che ha come sola incognita la
corrente. Derivando (1.1.7) parzialmente rispetto al tempo, derivando (1.1.8) parzialmente
rispetto allo spazio ed eliminando il termine in V , si ottiene
(1.1.9) CL ∂2I + CR∂I
∂t2 ∂t = ∂2I ∂x2 che è l’equazione del telegrafo in forma dimensionale.
e che
Osserviamo che
[CR] =
t
l2
2 t
[CL] =
l2
In altre parole, (CR) −1 ha le stesse dimensioni di un coefficiente di diffusione, mentre
(CL) −1/2 ha le stesse dimensioni di una velocità. In un filo che abbia L = 0 la corrente
sarebbe soggetta all’equazione del calore. In un filo che abbia R = 0, posto c = (CL) −1/2
la corrente sarebbe soggetta all’equazione
(1.1.10)
che è l’equazione lineare delle onde.
∂2I ∂t2 = c2 ∂2I ∂x2 1.2. La soluzione di D’Alembert dell’equazione delle onde
Per analogia con l’identità algebrica a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) scriviamo l’equazione
lineare delle onde (1.1.10)
∂ ∂ ∂ ∂
+ c − c u = 0
∂t ∂x ∂t ∂x
È facile verificare che questa espressione coincide con (1.1.10), come pure l’espressione
∂ ∂
− c
∂t ∂x
∂ ∂
+ c
∂t ∂x
u = 0.
Pertanto, qualunque soluzione dell’equazione
∂ ∂
∂t + c ∂x u = 0 o dell’equazione
∂ ∂
∂t − c ∂x u = 0 è anche una soluzione dell’equazione lineare delle onde. Per quanto
visto nei capitoli precedenti, se il dominio è l’intera retta reale R, le soluzioni sono
u = R(x − ct), u = L(x + ct), dove R e L sono arbitrarie funzioni reali di variabile
reale, alle quali imponiamo il solo vincolo di essere di classe C2 (in modo da assicurare
l’esistenza delle derivate seconde che appaioni in (1.1.10)).

1.3. RIFLESSIONE DELLE ONDE SU DI UNA BARRIERA 3
Cerchiamo di soddisfare le seguenti condizioni iniziali:
u(x, 0) = f(x)
∂u
(x, 0) = g(x)
∂t
Congetturiamo che qualunque soluzione sia la somma di una soluzione che si propaga
verso destra ed una che si propaga verso sinistra, ovvero
(1.2.1) u(x, t) = R(x − ct) + L(x + ct).
Derivando rispetto al tempo abbiamo
∂u
(1.2.2)
∂t (x, t) = c (L′ (x + ct) + R(x − ct)) .
Al tempo t = 0 vogliamo che sia
L(x) + R(x) = f(x)
c (L ′ (x) − R ′ (x)) = g(x)
Integrando la seconda di queste equazioni otteniamo
L(x) + R(x) = f(x)
L(x) − R(x) = 1
x
g(¯x)d¯x + k
c
dove k è una costante di integrazione. Sommando e sottraendo abbiamo
R(x) = 1
f(x) −
2
1
x
g(¯x)d¯x − k
c 0
L(x) = 1
f(x) +
2
1
x
g(¯x)d¯x + k
c
Estendendo queste espressioni per R e L al generico tempo t e sommando si ottiene la
soluzione di D’Alembert:
u(x, t) = 1
x+ct
f(x − ct) + f(x − ct) + g(¯x)d¯x .
2
Questa soluzione è unica perché, se esistesse una soluzione ū che soddisfa l’equazione delle
onde (1.1.10) con le medesime condizioni iniziali, allora la funzione v = u − ū soddisferebbe
l’equazione delle onde con condizioni iniziali v(x, 0) = 0 e ∂tv(x, 0) = 0, il che
è impossibile perché implicherebbe l’esistenza di una soluzione non nulla dell’equazione
di avvezione lineare partendo da condizioni iniziali pari a zero.
0
0
x−ct
1.3. Riflessione delle onde su di una barriera
Consideriamo il dominio semi-infinito x > 0 ed imponiamo una condizione al
contorno in x = 0. In particolare scegliamo
(1.3.1) u(0, t) = 0
oppure
(1.3.2)
Se le condizioni iniziali sono
∂u
(0, t) = 0.
∂x
u(x, 0) = f(x)
∂u
∂t (x, 0) = cf ′ (x)
su di una retta infinita otterremmo la soluzione
(1.3.3) u(x, t) = f(x + ct)

4 1. EQUAZIONE DEL TELEGRAFO, EQUAZIONE DELLE ONDE
che si propaga verso sinistra. Poiché esiste una barriera in x = 0 utilizziamo il metodo
delle immagini, e postuliamo che la soluzione del problema sul dominio semi-infinito sia
pari alla somma della soluzione sulla retta infinita e di una sua opportuna “immagine speculare”
(cioè una funzione ottenuta dalla soluzione (1.3.3) tramite opportune operazioni di
simmetria discreta). Con qualche prova si ottiene che la soluzione soggetta alla condizione
al contorno (1.3.1) è
u(x, t) = f(x + ct) − f(−(x − ct))
e la soluzione soggetta alla condizione al contorno (1.3.2) è
u(x, t) = f(x + ct) + f(−(x − ct)).
1.4. Soluzione dell’equazione del telegrafo
In questo paragrafo troveremo la soluzione dell’equazione del telegrafo in un dominio
di lunghezza finita l. Prima di procedere, scriveremo l’equazione in forma adimensionale,
utilizzando le seguenti trasformazioni
x = l
π ˜x
l2 (1.4.1)
t = CL˜t.
π2 Poiché la scala dei tempi è basata sull’induttanza, diremo che abbiamo effettuato
una adimensionalizzazione induttiva. Una possibilità alternativa è quella della
adimensionalizzazione resistiva, che utilizza le trasformazioni
x = l
π ˜x
t = l2
(1.4.2)
CR˜t.
π2 Essendo noi interessati maggiormente al caso di piccole resistività (in particolare desideriamo
poter eseguire il limite R → 0) la trasformazioni appropriata è la (1.4.1), in quanto
la (1.4.2) perde la scala dei tempi se R = 0. Sostituendo la (1.4.1) nell’equazione (1.1.9),
ed omettendo le˜otteniamo la seguente forma adimensionale dell’equazione del telegrafo
∂
(1.4.3)
2I ∂I
+ 2γ
∂t2 ∂t = ∂2I ∂x2 dove 1 la costante adimensionale γ è definita da
γ = lR
L
2π C .
Con questa adimensionalizzazione il dominio spaziale in cui lavoriamo è l’intervallo [0, π].
Ai bordi di questo dominio dovremo imporre delle condizioni al contorno. Fra le infinite
scelte possibili, noi studieremo due casi (quelli esaminati nel paragrafo 1.3) ovvero
(1.4.4) I(0, t) = I(π, t) = 0
oppure, in alternativa
∂I ∂I
(1.4.5)
(0, t) = (π, t) = 0.
∂x ∂x
Oltre alle condizioni al contorno, le soluzioni dovranno soddisfare le seguenti condizioni
iniziali
(1.4.6)
I(x, 0) = f(x)
(x, 0) = g(x)
∂I
∂t
1 Il fattore numerico 2 ha il solo scopo di rendere un po’ più compatte le formula successive, ed è una di
quelle cose che si introducono “col senno del poi”.

1.4. SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE DEL TELEGRAFO 5
con f, g funzioni reali arbitrarie 2 .
Il metodo di soluzione che utilizziamo è quello, già ampiamente sfruttato in
precedenza, della separazione delle variabili. Cerchiamo, infatti, una soluzione del tipo
(1.4.7) I(x, t) = A(t)B(x).
Inserendo (1.4.7) in (1.4.3) otteniamo
Ä + 2γ
(1.4.8)
˙ A
=
A
B′′
B
dove i punti denotano derivazione rispetto al tempo e gli apici rispetto allo spazio. Poiché
il lato sinistro dell’equazione (1.4.8) dipende solo da t e quello destro dipende solo da x, se
ne deduce che l’uguaglianza può essere soddisfatta solo se queste dipendenze si cancellano
ed entrambi i termini risultano essere, in effetti, pari ad una costante µ. Quindi l’equazione
(1.4.8) si scinde nelle seguenti due equazioni alle derivate ordinarie
(1.4.9) Ä + 2γ ˙ A − µA = 0
e
(1.4.10) B ′′ − µB = 0.
Risolviamo per prima la (1.4.10). È un semplice esercizio mostrare che le soluzioni non
nulle che si ottengono se µ > 0 non soddisfano né le condizioni al contorno (1.4.4) né
le condizioni al contorno (1.4.5). Per µ = 0 la soluzione generale di (1.4.10) è B(x) =
β1x + β2. Se dobbiamo imporre le condizioni al contorno (1.4.4), anche in questo caso
non abbiamo soluzioni non nulle. Se dobbiamo imporre le condizioni al contorno (1.4.5)
dobbiamo scegliere β1 = 0.
Le soluzioni interessanti (non nulle, né costanti) si ottengono per µ < 0. Posto µ =
−k 2 , la soluzione generale di (1.4.10) è
B(x) = b1 sin(kx) + b2 cos(kx).
Qui esaminiamo esplicitamente solo il caso in cui si debbano imporre le condizioni al
contorno (1.4.4). L’altro caso è lasciato come esercizio. In x = 0 abbiamo
In x = π abbiamo
B(0) = b2 = 0.
B(π) = b1 sin(kx) = 0.
Quest’ultima equazione è soddisfatta per qualunque scelta della costante di integrazione b2
se è soddisfatta la condizione di quantizzazione
(1.4.11) k = 1, 2, . . ..
Pertanto, facendo variare k fra 1 e n, le soluzioni dell’equazione (1.4.10) soggette alle
condizioni (1.4.4) sono una base ortogonale dello spazio Sn.
Passiamo, ora, all’equazione (1.4.9), che non è altro che l’equazione di un oscillatore
armonico smorzato. In dipendenza dai valori di k e di γ, la sua soluzione generale è una
delle seguenti tre
(1.4.12)
(1.4.13)
(1.4.14)
−γt
A(t) = e a1 sin k2 − γ2t + a2 cos k2 − γ2t k 2 > γ 2
A(t) = e −γt (a1t + a2) k 2 = γ 2
“√ ”
γ2−k2 −γ t
A(t) = a1e + a2e −
“√ ”
γ2−k2 +γ t
k 2 < γ 2 .
2 In questa sede può essere utile pensare a f e a g come a funzioni di classe C 2 , ma in termini più generali,
è sufficiente richiedere che siano a quadrato integrabili nell’intervallo [0, π].

6 1. EQUAZIONE DEL TELEGRAFO, EQUAZIONE DELLE ONDE
Se la soluzione appropriata per A è la (1.4.12) allora una soluzione dell’equazione del
telegrafo è
(1.4.15)
−γt
I(x, t) = e p sin(kx)sin
k2 − γ2t + q sin(kx)cos k2 − γ2t =
= e−γt
(p cos(k(x − ct)) − p cos(k(x − ct)) + q sin(k(x − ct)) + q sin (k(x + ct)))
2
dove sono state utilizzate le identità di prostaferesi 3 e sono state definite le costanti p =
a1b1, q = a2b1 e
(1.4.16) c = 1 − γ2
.
k2 Pertanto, abbiamo trovato una classe di soluzioni dell’equazione del telegrafo che si comporta
in modo simile alle soluzioni dell’equazione delle onde: le soluzioni (1.4.15) sono
la somma di coppie di funzioni trigonometriche che traslano con velocità c e con velocità
−c. In effetti, se poniamo γ = 0 otteniamo delle soluzioni dell’equazione delle onde
nell’intervallo [0, π], soggetta alle condizioni al contorno (1.4.4).
Più in generale, le soluzioni separabili dell’equazione del telegrafo possono essere
scritte come
(1.4.17) Ik(x, t) = (pkφk(t) + qkψk(t))sin(kx)
dove pk, qk sono costanti da determinarsi, e
⎧
⎪⎨ e−γt sin
φk =
k 2 − γ 2 t
k 2 > γ 2
te−γt k2 = γ2 “√ ”
γ2−k2 −γ t
k2 < γ2
k2 − γ2t k2 > γ2 ⎪⎩
e
⎧
⎪⎨ e
ψk =
⎪⎩
−γt cos
e−γt k2 = γ2 e −
“√ ”
γ2−k2 +γ t
k2 < γ2 .
Finora non abbiamo discusso come imporre le condizioni iniziali generiche (1.4.6).
Se f, g ∈ Sn allora
n
f(x) = fk sin(kx)
e
g(x) =
k=1
n
k=1
gk sin(kx).
Poiché l’equazione del telegrafo è lineare, la somma di soluzioni del tipo (1.4.17) è ancora
una soluzione. Poniamo
n
(1.4.18) I(x, t) = Ik(x, t).
k=1
Questa soluzione soddisfa le condizioni iniziali (1.4.6) a patto di scegliere le costanti pk e
qk come soluzioni del seguente sistema di equazioni algebriche
pkφk(0) + qkψk(0) = fk
pk ˙ φk(0) + qk ˙ k = 1, . . . , n.
ψk(0) = gk
Infine notiamo che nella somma (1.4.18) solo le componenti che soddisfano la relazione
k 2 > γ 2 possono essere interpretate fisicamente come onde. Le altre componenti non si
3 Le identità di prostaferesi sono: 2sin(α) cos(β) = sin(α−β) + sin(α + β); 2sin(α) sin(β) =
cos(α−β)−cos(α + β); 2cos(α) cos(β) = cos(α−β) + cos(α + β).

1.5. ESERCIZI 7
propagano, ed hanno un comportamento che ricorda quello delle soluzioni dell’equazione
del calore. Inoltre, le componenti che si propagano, non lo fanno tutte alla medesima velocità.
Infatti, la velocità di propagazione (1.4.16) è una funzione del numero d’onda k. Per
questo motivo le soluzioni dell’equazione del telegrafo sono dette dispersive: al passare
del tempo la forma d’onda cambia, mano a mano che ciascuna componente si sposta con la
sua propria velocità. Se poniamo γ = 0, stiamo allora risolvendo l’equazione delle onde,
le cui soluzioni, invece, sono non dispersive. Infatti, per γ = 0, c perde ogni dipendenza
dal numero d’onda k, quindi ogni componente della soluzione viaggia (o verso destra o
verso sinistra) alla stessa velocità di tutte le altre.
1.5. Esercizi
EXERCISE 1.6. Trovate una adimensionalizzazione dell’equazione del telegrafo
(1.1.9) tale da eliminare ogni parametro numerico nell’equazione.
EXERCISE 1.7. Considerate una catena di molle di lunghezza a riposo ∆ e costante
elastica k, e di punti materiali di massa m in posizione x1, x2, . . .,xn, . . .
k k k k k
m m m m m m
x1 x2
x3 x4 x5 x6
Dimostrate che, nel limite di ∆ → 0, si ottiene l’equazione delle onde. Dimostrate inoltre
che, se ciascuna massa è soggetta anche alla forza viscosa F visc
i = −ν ˙xi, nel limite
precedente si ottiene l’equazione del telegrafo. SUGGERIMENTO: i valori di k e di m
non possono rimanere costanti mentre ∆ → 0 (perché?). Che cosa, fisicamente, deve
rimanere costante in questo processo al limite?
EXERCISE 1.8. Trovate la soluzione dell’equazione delle onde nel dominio x > 0
con le condizioni al contorno (1.3.1) e (1.3.2), soggetta ad arbitrarie condizioni iniziali
u(x, 0) = f(x)
∂u
(x, 0) = g(x).
∂t