L'ultimo teorema di Fermat - Kataweb

Una tavoletta d'argilla babilonese con caratteri cuneiformi, risalente al
1500 a.C. circa, è il più antico documento di teoria dei numeri. Vi sono
indicate (in una forma leggermente modificata) diverse classi di terne
pitagoriche, ossia di interi positivi diversi fra loro, tali che x 2 + y 2 = z2,
quali per esempio, 4 961, 6 480, 8 161. Fermat formulò il suo ultimo
teorema mentre stava considerando un problema sulle terne pitagoriche.
Ogni terna costituisce una dimostrazione della falsità del teorema
quando l'esponente n sia 2. Le terne pitagoriche derivano il loro nome
di due altri cubi. Per esempio, se 512 fosse
uguale alla somma di due altri cubi, questi
dovrebbero essere minori di 512 e precederlo
nella lista dei cubi. I cubi 216 e 343
sono dei buoni candidati, ma la loro
somma, 519, è troppo grande. La somma
di due cubi che viene prima, 216 più 216,
dà 432 e non 512.
È facile verificare con questa procedura
che un cubo dato qualsiasi non è
esprimibile come somma di due cubi. I
calcoli si possono effettuare rapidamente
con un calcolatore e si può verificare in
breve tempo che nessun cubo esprimibile
con meno di dieci cifre, per esempio, può
ottenersi come somma di due altri cubi.
C'è tuttavia un numero infinito di cubi da
controllare e quindi anche il più veloce
dei calcolatori non potrebbe risolvere il
problema.
Quando un non matematico abbia constatato
che non è possibile dimostrare per
tentativi l'impossibilità di x 3 + y 3 =
potrebbe cadere nell'estremo opposto, e
domandarsi se possa mai dimostrarsi
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un'asserzione di quel tipo. La risposta è
che essa può essere dimostrata con un
ragionamento per assurdo: si assume l'esistenza
di una soluzione dell'equazione
e da tale assunzione si deduce un enunciato
che si sa essere falso. Il fatto di
giungere a un enunciato falso, o a una
contraddizione, sta a indicare che l'assunzione
di partenza era falsa e, quindi,
che non esiste alcuna soluzione.
In particolare, quando si abbia a che
fare con enunciati che, come l'ultimo teorema
di Fermat, riguardano gli interi positivi,
la dimostrazione per assurdo prende
spesso la forma di una dimostrazione per
regresso all'infinito. Fermat asserì di essere
l'inventore di questo metodo, e affermò
pure che quel metodo era alla base
di tutte le sue dimostrazioni nell'ambito
della teoria dei numeri. In una dimostrazione
per regresso all'infinito si mostra
come, a partire da un intero positivo che
venga dato quale soluzione dell'equazione
sotto esame, sia possibile ottenere,
sempre tra gli interi positivi, una soluzio-
dal teorema di Pitagora, per il quale il quadrato dell'ipotenusa di un
triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati dei due cateti.
Non è facile trovare per tentativi tali terne, specialmente per numeri
elevati; è quindi verosimile che i babilonesi disponessero di un metodo
per trovarle. È probabile che il loro interesse per queste terne fosse
connesso alle applicazioni geometriche, e che quindi conoscessero il
teorema mille anni prima di Pitagora. La tavoletta fa parte della collezione
Plimpton nella Butler Library della Colombia University.
ne minore. Lo stesso argomento può
quindi essere utilizzato per giungere a una
soluzione ancora minore e la procedura
può essere ripetuta indefinitamente. Poiché
d'altra parte le soluzioni sono interi
positivi, è evidentemente impossibile trovare
un numero infinito di soluzioni, ciascuna
più piccola della precedente. Non
esiste dunque alcuna soluzione.
I primi risultati
In tutti gli scritti di Fermat rimastici,
riguardanti la teoria dei numeri, c'è un'unica
dimostrazione, trovata anch'essa in
una nota a margine alle opere di Diofanto.
Essa concerne i triangoli pitagorici,
triangoli rettangoli con cateti di lunghezza
intera. (Il nome è dovuto alla loro relazione
con il teorema di Pitagora, secondo
il quale i cateti x ey e l'ipotenusa z
sono fra loro correlati dall'equazione
x 2 + y 2 = Z 2 ). Fermat dimostrò che l'area
di un siffatto triangolo non può essere un
quadrato: se x, y e z sono interi positivi e
x2 +y2 = -2, z allora (1/2)xy non è il-quadrato
di un intero.
Fermat usò il metodo del regresso all'infinito.
Nella fattispecie, fornì un metodo
esplicito in virtù del quale, dati gli
interi positivi x, y, z e u, tali da soddisfare
le equazioni x 2 +y 2 = z 2 e (1/2)xy = u2,
fosse possibile ottenere un altro insieme
di interi positivi X, Y, Z e U tali che
X 2 + Y 2 = Z 2 e (1/2) XY = U 2 , tale inoltre,
che il triangolo di lati X, Y e Z, verrebbe
a essere più piccolo del triangolo di
lati x, y e z, nel senso che l'ipotenusa Z
sarebbe minore dell'ipotenusa z. La procedura
utilizzata da Fermat per ottenere
X, YeZ è alquanto sofisticata e richiederebbe
una lunga spiegazione. Tuttavia, il
fatto che una tale procedura esista. mostra
l'impossibilità di trovare delle soluzioni
intere e positive alle equazioni
x 2 + y 2 = z 2 e (1/2)xy = u 2, dato che una
particolare soluzione x, y, z e u porterebbe
a una soluzione minore X, Y, ZeUe
questa a un'altra ancora minore X', Y', Z'
e U', e via di seguito. Ciò comporterebbe
l'esistenza di un'infinità di interi positivi
decrescenti z > Z > Z'>... (Il simbolo
« > » sta per «maggiore di»).
È degno di nota, e verosimilmente non
accidentale, che questo risultato, ossia
che l'area di un triangolo pitagorico non
possa essere un quadrato, implichi che
x4+ y4= z4 non ha soluzioni, o che l'ultimo
teorema di Fermat è vero nel caso in
cui n = 4. A connettere le due proposizioni
è sdfficiente un semplice ma ingegnoso
accorgimento: assumiamo che per
degli opportuni interi positivi x, y e z si
abbia x 4 + y 4 = z 4 ; sia ora a uguale a y 4 , b
uguale a 2x 2 z 2 , c uguale a z 4 + x 4 e d a
y 2 xz. Allora l'elementare identità algebrica
(r + s) 2 = r 2 + 2rs + s 2 implica che
a 2 + 1) 2 è uguale a (z4— x4)2+ 4x4z4,
ossia z 8 — 2x 4 z 4 + x 8 + 4x 4z 4, ossia (z4+
+x4) 2 , che equivale a c 2 . Inoltre, (1/2ab è
uguale a (1/2 )y 42x 2z 2, ossia (y 2xz ) 2 . che
equivale a d 2 . Allora si ha a 2 + b 2 = c 2 e
(1/2) ab = d 2, il che Fermat aveva dimostrato
impossibile. Dunque l'assunzione
di partenza, che x 4 + y 4 = z4 abbia una
soluzione, deve essere sbagliata, e l'ultimo
teorema di Fermat è dimostrato nel
caso in cui n sia uguale a 4. In sintesi,
Fermat stesso dimostrò il suo ultimo teorema
per il caso delle quarte potenze.
La dimostrazione comporta inoltre la
validità dell'ultimo teorema di Fermat
anche per n multiplo di 4, dato che, se n è
uguale a 4k, per qualche intero positivo k,
x n + = z implica (x k )4 + (y k )4= (zk)4,
il che è impossibile: una quarta potenza
non può essere la somma di due quarte
potenze. Allo stesso modo, se si riesce a
dimostrare il teorema per un dato esponente
m, allora esso vale per tutti i multipli
di m. Poiché ogni intero positivo
maggiore di 2 è divisibile o per un numero
primo dispari (ovvero diverso da 2), o
per 4, sarà allora sufficiente dimostrare il
teorema per tutti quei casi in cui l'esponente
sia un numero primo dispari.
Fermat riteneva di disporre della dimostrazione
del teorema per il caso n
uguale a 3, ma nessuna dimostrazione
dell'impossibilità di ottenere una soluzio-
ne di x 3 + y 3 = Z 3 fu pubblicata nei successivi
100 anni. La dimostrazione, dovuta al
matematico svizzero Leonhard Euler,
presenta tuttavia una grave pecca.
La dimostrazione di Euler
Euler dimostrò il caso n = 3 per regresso
all'infinito, approntando una procedu-
DIOPHA.NTI
ALEXANDRINI
ARITHMETICORVM
LIBRI SEX ,
ET DE NVMERIS MVLTANGVLIS
LIBER VNVS.
ra grazie alla quale, a partire da una soluzione
data x, y e z dell'equazione
x 3 + y 3 = z 3 , è possibile ricavare una nuova
soluzione X, Y e Z, in cui Z è minore di
z. Il metodo è eccessivamente lungo per
poter essere qui spiegato in dettaglio, ma,
nelle linee generali, consiste nell'esecuzione
di una serie di calcoli connessi ad
alcune proprietà di x, y e z. Euler ridusse il
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Excudebat BERNARDVS BOSC , è Regione Collegij Socieratis kr%
M. D C. L X X.
L'ultimo teorema di Fermai fu scritto sul margine di un'opera di teoria dei numeri dell'antico
matematico greco Diofanto. Ferrnat studiò molto intensamente quel testo, apponendo molte note
sul margine della propria copia, una traduzione latina doluta a C. G. Bachet. Dopo la morte
di Fermat, avvenuta nel 1665, il figlio fece pubblicare una nuova edizione della traduzione del
Bachet, con in appendice le chiose del padre. Nell'illustrazione è riprodotto il frontespizio del
volume. In latino, esso annuncia Sei libri di aritmetica e un libro sui numeri poligonali di
Diofanto di Alessandria, «con note dell'insigne gentiluomo C. G. Bachet e osservazioni del
dottor P. de Fermai, Senatore di Tolosa» e «una nuova scoperta nel campo dell'Analisi, tratta
dall'epistolario dello stesso dottor de Fermat». Nella storica annotazione dedicata alle terne
pitagoriche, Fermat scrisse: «Non è invece possibile dividere... alcun'altra potenza di grado superiore
al secondo in due altre potenze dello stesso grado: della qual cosa ho scoperto una dimostrazione
veramente mirabile, che non può essere contenuta nella ristrettezza di un margine».
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