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POLITECNICO DI MILANO
Facoltà di Ingegneria Industriale
Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Spaziale
PROGETTO SULLE PERTURBAZIONI
MECCANICA ORBITALE 2006 - 2007
Docente: Prof. Amalia FINZI
Esercitatore: Prof. Michelle LAVAGNA
Progetto di:
Paolo Giuseppe BIANCHI Matr. 709366
Andrea FOGANTE Matr. 708770
Anno Accademico 2006 – 2007

Sommario
Il progetto descrive i risultati ottenuti in seguito allo sviluppo di un programma di simulazione
dell’andamento orbitale di un satellite intorno alla Terra. La simulazione tiene conto degli effetti
provocati dalle perturbazioni, quali resistenza atmosferica, pressione solare e asfericità della Terra.
Indice
Sommario…………………………………………………………………………………….. pag. 2
Indice………………………………………………………………………………………….pag. 2
Indice delle figure……………………………………………………………………………. pag. 2
Indice delle tabelle……………….…………………………………………………………... pag. 2
Nomenclatura…………………..…………………………………………………………….. pag. 3
1. Specifiche di progetto……………………………………………………………………... pag. 4
2. Modellazione…………….……………………………………........................................... pag. 5
3. Discussione dei risultati..............................……………………………………………….. pag. 7
4. Descrizione del programma………………………………………………………….......... pag. 12
Bibliografia………………….……………………………………………….......................... pag. 13
Indice delle figure
Fig. 1.1 – Orbita nominale in rapporto alle dimensioni della Terra.………………………… pag. 4
Fig. 3.1 – Variazioni di a, e, i, Ω, ω dovute alla pressione solare nel corto periodo ………... pag. 7
Fig. 3.2 – Variazioni di a, e, i, Ω, ω dovute all’asfericità terrestre nel corto periodo……….. pag. 8
Fig. 3.3 – Variazioni di a, e, i, Ω, ω dovute alla pressione solare nel lungo periodo………... pag. 9
Fig. 3.4 – Orbite perturbate dalla pressione solare percorse nel lungo periodo……………… pag. 11
Fig. 3.5 – Variazioni di a, e, i, Ω, ω dovute all’asfericità terrestre nel lungo periodo.……….pag. 11
Fig. 3.6 – Orbite perturbate dall’asfericità terrestre percorse nel lungo periodo ……………. pag. 11
Fig. 4.1 – Organigramma del programma elaborato..………………………………………... pag. 12
Indice delle tabelle
Tab. 1.1 – Parametri dell’orbita nominale…………………..………...................................... pag. 4
Tab. 1.2 – Condizioni iniziali del satellite………………………………………………….... pag. 4
Tab. 1.3 – Parametri del satellite…………………………………………………………….. pag. 4
2

Nomenclatura
Simbolo Significato Unità di misura
a semiasse maggiore m
A area della superficie del satellite m 2
c velocità della luce nel vuoto 3·10 8 m / s
D diametro m
e eccentricità
f accelerazione perturbante m / s 2
fr accelerazione perturbante radiale m / s 2
fθ accelerazione perturbante angolare m / s 2
ft accelerazione perturbante tangenziale m / s 2
fn accelerazione perturbante normale m / s 2
fh accelerazione perturbante binormale m / s 2
g accelerazione di gravità m / s 2
h momento angolare per unità di massa m 2 / s
hP quota pericentro m
hA quota apocentro m
H scale height di densità m
i inclinazione orbitale rispetto all’Equatore rad
m massa del satellite kg
p semilato retto m
P pressione Pa
PSR pressione di radiazione solare W / m 2
r vettore distanza m
ˆr versore radiale
rA distanza apocentro m
rP distanza pericentro m
R raggio m
RT raggio medio della Terra 6.378 ·10 6 m
R costante universale dei gas 8.314 J / mol / K
R * costante specifica del gas J / kg / K
t tempo s
t0 tempo iniziale s
T periodo s
U potenziale gravitazionale per unità di massa J / kg
v velocità m / s
ε riflettanza
θ anomalia vera rad
ˆ
θ versore angolare
λ longitudine rad
μ costante planetaria m 3 / s 2
ρ densità kg / m 3
υ anomalia apparente rad
φ latitudine rad
ω anomalia dell’asse orbitale rispetto all’asse nodale rad
Ω anomalia dell’asse nodale rispetto all’asse inerziale rad
3

1. Specifiche di progetto
Il satellite preso in considerazione è in orbita ellittica intorno alla Terra. Le specifiche di
questa orbita sono elencate nella seguente tabella:
hP [km] hA [km] i [°] Ω [°] ω [°] a [km] e h [m 2 / s] T [s]
10656 114471 90.2 40 90 68941.5 0.7529 1.0901·10 11 1.8028·10 5
Tab. 1.1 – Parametri dell’orbita nominale
Come visualizzazione delle distanze dell’orbita nominale dalla Terra può essere utile il grafico:
Fig. 1.1 – Orbita nominale in rapporto alle dimensioni della Terra
I valori riportati in tab. 1.1 sono riferiti all’orbita nominale, infatti le perturbazioni genereranno una
variazione di tali parametri, variazione che sarà appunto l’oggetto di studio.
La condizione iniziale è θ = 20 °, cioè in corrispondenza di questa anomalia (valutata a t0)
cominceremo a considerare la presenza delle perturbazioni. Si ha:
θ [°] r [km] v [m/s]
20 17487 6304.5
Tab. 1.2 – Condizioni iniziali del satellite
Il satellite orbitante è un satellite cubico di cui si assume sempre un asse orientato come ˆr . La
superficie del satellite è caratterizzata dai seguenti valori:
A [m 2 ] ρ
3.77 0.39
Tab. 1.3 – Parametri del satellite
4

Dei tre tipi di perturbazione presi in esame, si è deciso di trascurare la resistenza
aerodinamica, in quanto a più di 10000 km dalla Terra l’atmosfera è quasi assente. Gli altri due tipi
sono: distribuzione non omogenea della massa della Terra e pressione solare.
L’analisi dell’andamento orbitale del satellite, soggetto a perturbazioni, è stata suddivisa in analisi
di corto e lungo periodo. Nell’analisi di corto periodo si sono prese in considerazione,
separatamente, le due perturbazioni, al fine di mostrare i loro effetti su una finestra temporale pari al
periodo orbitale (1.8028·10 5 s). Nell’analisi di lungo periodo la finestra temporale è pari a un anno
solare (265.2422 giorni solari medi o 3.1557·10 7 s). In questo caso, le perturbazioni sono state
prima esaminate una ad una, quindi sono stati valutati gli effetti delle stesse presenti
contemporaneamente.
2. Modellazione
L’approccio all’analisi delle perturbazioni utilizzato è quello numerico proposto da Encke,
poiché questo metodo presenta un migliore ordine di convergenza rispetto a quello di Cowell (vedi
[1]) . Le condizioni iniziali assegnate definiscono la posizione ρ rispetto all’attrattore
nell’orbita osculatrice (orbita kepleriana non soggetta a perturbazioni) e la velocità ρ nello stesso
istante. L’orbita osculatrice è rappresentata dall’equazione:
ˆρ
ρ =−μ
2
(2.1)
ρ
Le perturbazioni presenti f generano, dopo un opportuno Δt rispetto a t0, uno spostamento virtuale
δ r rispetto a ρ relativa a (t0 + Δt) (ricavata integrando (2.1)), tale che:
Quindi l’orbita perturbata è descritta da:
ρ + δ r = r
(2.2)
ˆr
r = − μ + f 2
(2.3)
r
Lo spostamento virtuale e la sua derivata sono calcolabili mediante la risoluzione della seguente
equazione differenziale, ricavata per differenza di (2.3) e (2.1) e sviluppata con opportune ipotesi
fino ad avere la seguente forma:
In (2.4) compaiono f’ ed ε, così definiti:
μ
δ r = f + 3 ( f 'εr
−δr)
(2.4)
ρ
5

( ) 3
1 ⎡ − ⎤
f '= 1− 1−2ε2 ε ⎢ ⎥
(2.5)
⎣ ⎦
1
ε = − ρ× δr
2
(2.6)
ρ
Poiché al passo t0 δ r = 0 , anche ε e f’ risulteranno nulli, così che si potrà determinare δ r da (2.4)
semplificata. Integrando questo δ r , ricaveremo δ r
e δ r relativi al passo (t0 + Δt).
Quando si raggiunge un valore limite di δ r ( δ r / ρ = 0.01) si deve bloccare il processo e
generare, nel punto in cui si è arrivati, una nuova orbita kepleriana, cioè stabilire nuove condizioni
iniziali, in base alle quali si valuteranno nuove perturbazioni. Il processo si ripete fino a che non si
raggiunge la finestra di simulazione desiderata.
Per quanto riguarda il termine f , esso è rappresentato dall’accelerazione prodotta dalle
perturbazioni considerate caso per caso. Il termine accelerativo dovuto alla pressione di radiazione
solare può essere rappresentato come segue:
*
PSR A
f ˆ
SRP
r
c m ε =− (2.7)
In (2.7) PSR = 1367.6 W / m 2 , A * rappresenta l’area della superficie del satellite effettivamente (a
seconda della posizione nell’orbita) illuminata dal Sole, cioè colpita dai raggi solari, e ˆr è il versore
che collega satellite e Sole. Si è deciso di trascurare la presenza dei periodi di eclissi, durante i quali
la pressione solare non agirebbe, dato anche il rapporto fra quota del satellite e RT, quasi sempre
maggiore di 2 durante l’orbita.
La perturbazione dovuta all’asfericità della Terra può essere valutata considerando solo
l’effetto sul potenziale gravitazionale della prima armonica zonale, in cui compaiono J2 =
1.0827·10 -3 e il polinomio di Lagendre di 2° grado. Il potenziale perturbante provocato
dall’asfericità terrestre è quindi:
2
2 2 2 sin
μ ⎛ RT
⎞
U = J ⎜ ⎟ P
r ⎝ r ⎠
( φ )
L’accelerazione prodotta dall’asfericità terrestre è quindi f 2 = ∇ U2.
(2.8)
6

3. Discussione dei risultati
Nel corto periodo si analizza l’effetto della pressione di radiazione solare. Essa produce queste
variazioni dei parametri dell’orbita del satellite intorno alla Terra (nei grafici seguenti si è assunto
t0 = 0 s):
Fig. 3.1 – Variazioni di a, e, i, Ω, ω dovute alla pressione solare nel corto periodo
7

L’asfericità della Terra produce, nel breve periodo, le seguenti variazioni:
Fig. 3.2 – Variazioni di a, e, i, Ω, ω dovute all’asfericità terrestre nel corto periodo
Per quanto riguarda l’analisi di lungo periodo relativa alla pressione di radiazione solare, si
hanno le seguenti variazioni (l’amplificazione delle variazioni che si riscontra è dovuta ad errori
numerici che si amplificano con l’aumentare di t):
8

Fig. 3.3 – Variazioni di a, e, i, Ω, ω dovute alla pressione solare nel lungo periodo
Si può notare come le variazioni sia di i che di Ω siano praticamente nulle. Infatti la forza
perturbante, situata fuori dal piano orbitale, generata dalla pressione solare durante l’intera orbita, si
bilancia. Ciò che rimane è una forza situata sul piano orbitale, quindi la pressione solare genera solo
variazioni effettive di a, e ed ω.
Si possono rappresentare le orbite realizzate dal satellite intorno alla Terra, perturbate per effetto
della pressione di radiazione solare (le notevoli variazioni rispetto all’orbita nominale sono dovute
all’amplificarsi degli errori numerici con t):
9

Fig. 3.4 – Orbite perturbate dalla pressione solare percorse nel lungo periodo
L’asfericità terrestre produce le seguenti variazioni (l’amplificazione delle variazioni che si
riscontra è dovuta ad errori numerici che si amplificano con l’aumentare di t):
10

Fig. 3.5 – Variazioni di a, e, i, Ω, ω dovute all’asfericità terrestre nel lungo periodo
Tali grafici posso essere analizzati scomponendo l’accelerazione f 2 in:
3 R
=− − (3.1)
2 r
f2rJ2μ 2
T
4 (1
2 2
3sin isin
υ)
R
θ =− μ υ υ
(3.2)
r
f2 3J2 2
T
4
2
sin isin
cos
2
RT
f2h=− 3J2μsin icosisinυ (3.3)
4
r
L’orbita considerata ha, inizialmente, i = 90.2 °. Poiché siamo sotto l’ipotesi di forze perturbanti,
l’inclinazione manterrà un valore simile a questo. Ne deriva che f2h = 0, perciò le variazioni orbitali
prodotte dall’asfericità terrestre saranno approssimativamente solo sul piano orbitale. Svolgendo le
opportune integrazioni, si nota che a ed e risultano nulle se valutate nell’intero periodo orbitale.
L’unica variazione che si registra, come si può notare, è quindi per ω, essendo i ≠ ±63.4 °.
Si rappresentano le orbite realizzate dal satellite intorno alla Terra, perturbate per effetto della
distribuzione non uniforme di massa sulla Terra:
Fig. 3.6 – Orbite perturbate dall’asfericità terrestre percorse nel lungo periodo
11

Mettendo insieme i contributi delle due perturbazioni nel lungo periodo si avranno quindi
variazioni significative solo per a, e ed ω (a causa dell’aver usato due diversi metodi di integrazione
per il calcolo dell’effetto delle due perturbazioni, non si è in grado di presentare risultati
soddisfacenti a questo proposito).
Se si fosse tenuto conto dell’effetto perturbante della resistenza atmosferica, probabilmente di
qualche rilievo nel caso di lungo periodo, si sarebbe ottenuta un’accelerazione perturbante sempre
diretta come la velocità del satellite, ma in verso opposto. Tale perturbazione può quindi essere
vista come ft. Gli effetti principali, valutati durante l’intero periodo orbitale, di una ft < 0, sono a < 0
ed e < 0 (ρ decresce esponenzialmente con la quota rispetto alla Terra), fatto che porterà, nel lungo
periodo, alla circolarizzazione dell’orbita nominalmente ellittica.
4. Descrizione del programma
Il progetto si basa su un programma di calcolo sviluppato in ambiente Simulink che consente
di valutare gli effetti dei tre tipi di perturbazione visti (se si considera anche la resistenza
atmosferica) su un satellite in una determinata orbita intorno al suo attrattore. Esso si articola in
diversi sottosistemi che fanno capo al file principale main.mdl, in cui è implementato tutto il
modello e a cui si rifanno alcune funzioni MATLAB appositamente create. Il metodo implementato
per la valutazione degli effetti perturbativi sull’orbita è il metodo di Encke che, come abbiamo visto
prima, integra le equazioni differenziali che descrivono la divergenza dell’orbita perturbata
dall’orbita nominale. Di seguito viene riportato uno schema riassuntivo dei principali sottosistemi
del modello:
RADIAZIONE
SOLARE
ACCELERAZIONI
PERTURBANTI
ASFERICITA’
TERRA
MOTO
DELLA
TERRA
RESISTENZA
AERO
Fig. 4.1 – Organigramma del programma elaborato
In main.mdl, insieme ai sottosistemi MOTO DELLA TERRA, ACCELERAZIONI PERTURBANTI e
ORBITA OSCULATRICE, trovano collocazione i blocchi che consentono di integrare (2.4), divisa nelle
tre componenti. Il sistema di riferimento in cui si valuta quest’ultima equazione e conseguentemente
MAIN
ORBITA
OSCULATRICE
R
V
12

e v , posizione e velocità del satellite, è il sistema perifocale dell’orbita del satellite all’istante
iniziale.
Il sottosistema ORBITA OSCULATRICE permette di integrare (2.1) eseguendo ad ogni passo
temporale il test sul valore ( δ r / ρ ) previsto dalla formulazione del metodo: se il test dà esito
positivo, le condizioni iniziali degli integratori vengono aggiornate.
I due sottosistemi R e V forniscono ad ogni istante temporale i vettori posizione e velocità del
satellite.
Il sottosistema MOTO DELLA TERRA, integrando le equazioni del moto della Terra, calcola le
componenti del vettore posizione della Terra nel sistema perifocale dell’orbita terrestre, con
condizioni iniziali caratteristiche del perielio. Queste componenti servono a valutare le
perturbazioni dovute alla pressione di radiazione solare.
Il sottosistema ACCELERAZIONI PERTURBANTI ha al suo interno i tre blocchi RADIAZIONE
SOLARE, ASFERICITÀ DELLA TERRA e RESISTENZA AERODINAMICA, che forniscono le tre componenti
dell’accelerazione di perturbazione, riprese poi per (2.1).
Il sottosistema RADIAZIONE SOLARE riceve in ingresso le componenti del raggio vettore della Terra e
del satellite, nei rispettivi sistemi di riferimento, ottiene il vettore congiungente il satellite con il
Sole e lo dà in input alla “function” radiazione.m, che valuta l’accelerazione dovuta alla pressione
di radiazione solare.
Il sottosistema ASFERICITÀ DELLA TERRA riceve in ingresso i vettori posizione e velocità del satellite
e fornisce il valore dell’accelerazione dovuta al fatto che la Terra ha una distribuzione irregolare
della massa. Al suo interno si trova il sottosistema TROVA INCLINAZIONE E TETASTAR che, oltre a
fornire in ogni istante i e υ, entrambi utili per il calcolo di questo tipo di perturbazione, valuta ad
ogni passo anche gli altri parametri orbitali.
Infine, sempre in ACCELERAZIONI PERTURBANTI, troviamo il sottosistema RESISTENZA AERO che,
ricevendo in input i vettori posizione e velocità del satellite, valuta la densità atmosferica mediante
un modello esponenziale e quindi l’accelerazione dovuta alla resistenza aerodinamica (trascurata).
Prima di avviare main.mdl è necessario richiamare in MATLAB dati.m, che contiene le
caratteristiche delle orbite terrestre e del satellite, i valori iniziali delle variabili e una variabile
denominata “tipo di simulazione”. L’utente può scegliere il valore di questa variabile in base ad una
convenzione e decidere così se valutare l’effetto delle singole perturbazioni, l’effetto combinato di
tutte e tre, oppure lasciare il moto indisturbato. Questa variabile viene richiamata in ACCELERAZIONI
PERTURBANTI nel blocco TIPO SIMULAZIONE, il quale controlla il blocco “switch” SCELTA
SIMULAZIONE.
Una volta che la simulazione è terminata, in ambiente MATLAB si avvia grafici.m, che
consente la visualizzazione della traiettoria del satellite intorno alla Terra, nonché dell’evoluzione
temporale dei parametri orbitali.
Bibliografia
[1] M. H. Kaplan, “Modern Spacecraft Dynamics and Control”, New York, 1976
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