elementi di analisi di immagini

Elaborazione digitale di immagini 

storico-artistiche: elementi di 

analisi di immagini 

Ing. Gabriele Moser 

Prof. Sebastiano B. Serpico

Università di Genova 

Sommario 

• Estrazione di contorni in immagini digitali 

• Segmentazione di immagini 

• Analisi di tessitura 

Dipartimento di Ingegneria 

Biofisica ed Elettronica 

2

Analisi di immagine: estrazione di contorni 

• I contorni degli oggetti presenti in un’immagine 

costituiscono un’importante informazione al fine di 

interpretare il contenuto dell’immagine stessa. 

– L’estrazione dei contorni viene effettuata rilevando i punti di 

discontinuità dei ldg dell’immagine. 

– Ciò viene svolto mediante filtraggi la cui idea-chiave è: “in 

corrispondenza di un contorno c’è una differenza elevata fra i 

ldg di pixel adiacenti”. 

– Quest’idea qualitativa si quantifica impiegando filtraggi che, 

come la media mobile ed il filtro mediano, centrano su ciascun 

pixel P dell’immagine una finestra, ma che coinvolgono 

differenze fra i ldg dei pixel che appartengono a tale finestra 

(operatori differenziali): 

immagine in 

ingresso 


filtro per estrazione 

di contorni 

immagine 

dei contorni 



3

5 

5 

6 


Filtraggio pseudo-laplaciano 

• Un estrattore di contorni semplice e veloce è rappresentato 

dal filtro pseudo-laplaciano (analisi della derivata seconda). 

5 

5 

6 

– Centrata su ciascun pixel P una finestra 3 × 3, il ldg di P 

nell’immagine filtrata è la somma pesata dei ldg dei 9 pixel 

nella finestra, con i pesi riportati nella seguente maschera: 

5 80 84 

5 82 90 

6 5 85 

84 

90 

85 

84 

90 

85 

0 -1 0 

-1 4 -1 

0 -1 0 

Immagine in ingresso Immagine dei contorni 

4 · 5 – 5 – 5 – 6 – 5 = – 1 

4 · 5 – 5 – 82 – 6 – 5 = – 78 

4 · 82 – 80 – 90 – 5 – 5 = 148 

4 · 90 – 84 – 90 – 85 – 82 = 19 

4 · 90 – 84 – 90 – 85 – 90 = 11 

··· 

··· 

··· 

··· 



1 

··· 

··· ··· ··· 

78 148 19 

··· ··· ··· 

··· 

11 

··· 

··· 

··· 

··· 

4

Applicazione del filtraggio pseudo-laplaciano 

• Osservazione 

– Il filtro pseudo-laplaciano, 

calcolando differenze, può 

generare in uscita numeri 

negativi: poichè la scala di 

rappresentazione 0 255 

prevede solo ldg positivi, di 

tali numeri si considera il 

valore assoluto. 

• Per generare una “mappa dei 

contorni”, l’uscita del filtro 

pseudo-laplaciano viene 

confrontata con una soglia (in 

modo da ottenere una 

binarizzazione del risultato 

finale). 




immagine filtrata 

mappa dei contorni (soglia = 20) 

5

Filtraggio pseudo-laplaciano: esempio 

100 100 100 100 100 25 25 25 25 25 

100 100 100 100 100 25 25 25 25 25 

100 100 100 100 100 25 25 25 25 25 

100 100 100 100 100 25 25 25 25 25 

25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 

25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 

25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 

25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 

immagine originale (10 × 8 pixel) che presenta un contorno netto fra due regioni 

omogenee (destra: visualizzazione in scala di grigio ad 8 bpp; sinistra: tabella dei 

valori numerici dei ldg) 

0 0 0 0 75 75 0 0 0 0 

0 0 0 0 75 75 0 0 0 0 

0 0 0 0 75 75 0 0 0 0 

75 75 75 75 150 75 0 0 0 0 

75 75 75 75 75 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

risultato di filtraggio pseudo-laplaciano: notare come si ottenga risultato nullo sulle 

regioni omogenee e risultato diverso da zero a cavallo dei contorni 




6

Estrazione di contorni verticali ed orizzontali 

• Estrazione di contorni 

verticali: 

-1 0 1 

-2 0 2 

-1 0 1 

• Estrazione di contorni 

orizzontali: 

-1 -2 -1 

0 0 0 

1 2 1 






7

• Il filtro di Sobel (analisi dellla 

derivata prima) integra i 

risultati dell’estrazione di 

contorni orizzontali e verticali: 

– per ogni pixel P, detti 

rispettivamente D x e D y i 

valori ottenuti con le 

maschere riportate nel lucido 

precedente, si calcola la 

differenza “in modulo”: 

D D D 

– si assegna al pixel P il ldg D 

(arrotondato all’intero più 

vicino in [0, 255]); 

– si effettua la binarizzazione. 


2 2 

x y 

Filtro di Sobel 




mappa dei contorni (soglia = 40) 

8

0 0 0 0 225 225 0 0 0 0 

0 0 0 0 300 300 0 0 0 0 

0 0 0 0 300 300 0 0 0 0 

0 0 0 0 225 225 0 0 0 0 

0 0 0 0 75 75 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

225 300 300 300 225 75 0 0 0 0 

225 300 300 300 225 75 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 225 225 0 0 0 0 

0 0 0 0 300 300 0 0 0 0 

0 0 0 0 300 300 0 0 0 0 

225 300 300 300 318 237 0 0 0 0 

225 300 300 300 237 106 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 


Filtro di Sobel: esempio 

risultato di filtraggio per estrazione di 

contorni verticali (D x) a partire 

dall’immagine nella slide 4 

risultato di filtraggio per estrazione di 

contorni orizzontali (D y) a partire 

dall’immagine nella slide 4 

risultato complessivo (D) ottenuto dal 

metodo di Sobel (prima della 

sogliatura) 



9

Osservazioni sull’estrazione di contorni 

• Problemi dei metodi di estrazione di contorni: 

– sensibilità al rumore (vengono estratte ed esaltate tutte le 

zone di forte variabilità del ldg, anche quando questa è dovuta 

al rumore); 

– i contorni estratti non hanno, in generale, spessore unitario; 

– i contorni estratti, in generale, non sono connessi, ma 

“spezzettati” in vari tratti; 

– l’operazione di binarizzazione mediante confronto con una 

soglia richiede un’interazione con l’utente che, procedendo 

per tentativi, deve scegliere un valore opportuno per la soglia. 

• Esistono tecniche più sofisticate di estrazione di contorni 

(che non vedremo), che riducono l’entità di tali problemi, 

presentando, ad esempio, maggiore immunità al rumore o 

fornendo contorni connessi. 




10

Analisi di immagine: segmentazione 

• Il problema duale alla ricerca dei contorni che circoscrivono 

gli oggetti presenti in una immagine è la ricerca degli 

oggetti stessi. 

– Obiettivo delle tecniche di segmentazione è proprio usare le 

caratteristiche dell’immagine per raggruppare i singoli pixel in 

gruppi omogenei o “quasi” rispetto ad una caratteristica locale 

prefissata (es.: tono di grigio, tessitura), gruppi chiamati 

regioni o segmenti. 




11

Immagini originali 


Segmentazione: esempio 

Immagini segmentate 



REGIONE 2 

REGIONE 1 

REGIONE 2 

REGIONE 1 

REGIONE 3 

REGIONE 3 

12


Caratterizzazione delle primitive 

• A fini di analisi di immagine, risulta importante la definizione 

di grandezze quantitative che forniscano una 

caratterizzazione delle strutture presenti nell’immagine ed 

estratte da essa, quali contorni e regioni (primitive). 

• Per disporre di informazioni sintetiche, ma nel contempo 

significative, viene quindi definito un insieme di parametri 

che tengano conto delle caratteristiche geometriche e di 

contenuto: 

– parametri caratteristici dei contorni: estremi, lunghezza, 

curvatura, ... 

– parametri caratteristici delle regioni: area, perimetro, 

baricentro, fattori di forma, distribuzione dei ldg presenti nella 

regione (istogramma), ... 



13


Estensione alle immagini a colore 

• Le tecniche di filtraggio ed analisi viste finora sono state 

riferite implicitamente ad immagini a scala di grigio. 

Esistono due approcci per estenderne l’applicazione ad 

immagini a colori: 

– si può operare separatamente sulle singole componenti R, G 

e B (o su componenti in un altro spazio cromatico) usando le 

metodologie descritte; 

– si possono considerare le tre intensità contemporaneamente, 

trattando cioè l’immagine come un campo vettoriale (ossia, 

una funzione vettoriale a due variabili). 

• In genere, la scelta ricade sulla prima soluzione, facendo 

attenzione, nel caso di filtraggio, a non alterare le intensità 

relative dei tre canali. 



14


La tessitura 

• La tessitura è legata a proprietà intrinseche delle superfici 

ritratte nell’immagine in esame, ed, in particolare, alla 

percezione che il sistema visivo umano ha della struttura 

delle superfici. 

• Intuitivamente, una tessitura può essere definita come una 

regione dell’immagine che presenta caratteristiche 

percettive, quali ruvidezza, regolarità e direzionalità, 

costanti. 

– Da un punto di vista più rigoroso, una generica regione 

possiede una tessitura se un insieme di statistiche locali a tale 

regione è costante, poco variabile o abbastanza periodico. 



15


Esempi di tessiture 

Esempi di tessiture naturali (immagini di test raccolte da Brodatz) 



16


Applicazioni di analisi di tessitura 

• Le immagini storico-artistiche possono presentare diverse 

tessiture che le contraddistinguono. 

• L’analisi di tessitura consente di distinguere le immagini 

sulla base del loro contenuto. 

• Una possibile applicazione consiste nella ricerca e nel 

recupero di immagini raccolte in basi di dati, tramite l’analisi 

del contenuto (sulla base, quindi, di caratteristiche di 

tessitura). 



17


Metodi di analisi di tessitura 

• I metodi di analisi di tessitura possono essere raggruppati 

in tre categorie: 

– metodi strutturali — I metodi strutturali generano una 

descrizione della tessitura risalendo all’insieme delle primitive 

che la costituiscono (dette texel, texture element) e ad un 

insieme di regole sintattiche di generazione. 

– metodi statistici — I metodi statistici descrivono la tessitura 

tramite le statistiche che governano la distribuzione e le 

relazioni spaziali fra i livelli di grigio, privilegiando così gli 

aspetti tonali della tessitura. 

– metodi basati su modelli — Viene ipotizzato uno specifico 

modello probabilistico-statistico (es.: modelli markoviani) per 

la tessitura e vengono stimati i parametri di tale modello. 



18

Approccio strutturale all’analisi di tessitura 

• L’approccio strutturale è adatto alla descrizione di tessiture 

caratterizzate da un’elevata regolarità, dalle quali si 

possono estrarre regole rigide di produzione. 

– Tale metodo è quindi adatto all’analisi di immagini di oggetti 

artificiali piuttosto che alla descrizione di scene naturali, per le 

quali con questo tipo di approccio i risultati sono 

generalmente insoddisfacenti. 

– Come strumento per la descrizione delle regole di 

generazione di una tessitura vengono usate delle 

grammatiche, le quali descrivono come generare una 

particolare geometria di tessitura applicando in maniera 

ricorsiva delle regole di produzione ad un insieme di texel 

noti. 




19


Approccio strutturale: esempio 

• Dato un texel S, si consideri una regola di produzione 

ricorsiva a della forma S a(S). 

– Scegliendo, in particolare, la regole a = “replicare a destra”, si 

può ottenere una tessitura del tipo “A”. 

– Aggiungendo una seconda regola di produzione b = “replicare 

in basso a destra” e combinandola con a (ossia: S b(a(S))), 

otterremo una tessitura del tipo texture “B”. 

Texel S Regola di produzione a Regola di produzione b 

Texture "A" 

Texture "B" 



20

Approccio spettrale, statistico e frattale 

• Una tessitura naturale non ha quelle caratteristiche di 

regolarità che consentono di sfruttare appieno le 

potenzialità offerte dai metodi strutturali. Al contrario, i 

metodi spettrali e statistici offrono una maggiore flessibilità. 

– I metodi spettrali si basano su analisi dello spettro 

dell’immagine. 

– I metodi statistici valutano la statistica locale del prim’ordine 

(calcolo delle occorrenze, ossia delle frequenze relative con 

cui un dato ldg compare) o del second’ordine (calcolo delle 

co-occorrenze, ossia delle frequenze relative con cui una data 

coppia di ldg compare in una data posizione geometrica 

reciproca). 

– Fra i metodi statistici i più noti sono FOH (first order 

histogram) e GLCM (grey-level co-occurrency matrix). 

– Un ulteriore approccio è basato sull’analisi frattale. 




21

Metodi spettrali per analisi di tessitura 

• I metodi basati sull’analisi spettrale sfruttano la periodicità 

dell’andamento spaziale dei ldg in una zona tessiturata 

dell’immagine. 

– Lo spettro di un andamento periodico presenta infatti picchi in 

corrispondenza delle frequenze interessate dalla periodicità. 

• Se la tessitura si può pensare come ripetizione di primitive, 

possiamo pensare di caratterizzarla ricercando i picchi 

della spettro dell’immagine. 

– In particolare, operando su sottoregioni dello spettro (che 

possono essere, ad es., sottoregioni radiali od angolari) si 

possono estrarre parametri che caratterizzano differenti 

proprietà della tessitura. 




22

Metodi spettrali per tessitura: esempio 

immagine telerilevata: notare la 

presenza di tessitura dovuta alla 

“geometria” della struttura urbana 


spettro dell’ immagine a lato: le due “rette 

luminose” sono legate alla presenza di andamenti 

spaziali periodici dei ldg nell’immagine e sono 

perpendicolari a tali andamenti 



23

Metodi spettrali per tessitura: analisi angolare 

• In particolare, se suddivido il 

piano delle frequenze spaziali 

in settori angolari: 

– i valori dello spettro nei 

settori 1, 4, 7 e 10 saranno 

molto maggiori che negli alt 

settori. 

– Ciò indica la presenza 

nell’immagine di una 

tessitura caratterizzata da 

una direzionalità spaziale dei 

ldg lungo le due rette 

perpendicolari agli assi 

centrali dei settori 1-7 e 4-10. 


11 

10 

9 

8 

12 



7 

1 2 

6 

3 

4 

5 

24

Metodi spettrali per tessitura: analisi radiale 

• Analogamente, se suddivido 

il piano delle frequenze 

spaziali in corone circolari: 

– i valori dello spettro nelle 

corone più centrali saranno 

molto maggiori che nelle 

corone più esterne. 

– Ciò è tipico delle immagini 

naturali, che presentano 

componenti spettrali 

maggiormente concentrate in 

corrispondenze delle basse 

frequenze spaziali 

(componenti legate a regioni 

omogenee o lentamente 

variabili dell’immagine). 




25

Metodi spettrali per tessitura: finestra mobile 

• Su ciascuna sottoregione (settore o corona circolare) dello 

spettro, i metodi spettrali di analisi di tessitura calcolano 

opportuni parametri numerici che valutano globalmente 

quanto siano elevati i valori dello spettro nella sottoregione. 

– Essi sono, per definizione, i parametri di tessitura estratti dai 

metodi spettrali per caratterizzare la tessitura stessa. 

– Tipicamente quest’analisi non viene svolta sull’intera 

immagine bensì mediante finestra mobile (come nel caso dei 

filtraggi), così da caratterizzare la tessitura localmente 

presente in aree diverse dell’immagine. 

– Si scandisce raster l’immagine e su ogni pixel P si centra una 

finestra. Si calcola quindi lo spettro della sola porzione di 

immagine che appartiene alla finestra e si effettuano su tale 

spettro le analisi radiali ed angolari descritte. 




26

Metodi spettrali per tessitura: esempio 


spettro 

spettro 

spettro 

immagine satellitare di Sydney: notare le differenze (radiali ed angolari) fra gli spettri 

calcolati (qui su finestre di dimensione 47 × 47 pixel) in corrispondenza di un’area 

edificata, una vegetata ed una di mare (gli spettri sono visualizzati in falso colore per 

meglio evidenziare le reciproche differenze; v. legenda-colori a lato). 



27

Metodo FOH per analisi di tessitura 

• I metodi statistici per analisi di tessitura cercano di 

catturare e descrivere quantitativamente la statistica dei ldg 

in ciascuna area tessiturata. 

– Una descrizione semplice della statistica dei ldg di 

un’immagine è rappresentata dal suo istogramma. 

– L’istogramma dà però una descrizione statistica globale, 

relativa all’intera immagine, senza differenziare aree 

spazialmente distinte e potenzialmente caratterizzate da 

tessiture diverse. 

– Possiamo però applicare l’idea dell’istogramma anche per 

effettuare un’analisi locale, usando un approccio a finestra 

mobile: si scandisce raster l’immagine e su ogni pixel P si 

centra una finestra. Si calcola quindi l’istogramma della sola 

porzione di immagine che appartiene alla finestra. 




28


FOH: esempio 

• Il metodo first order histogram (FOH) calcola per ogni pixel 

l’istogramma locale, come descritto, e deduce da esso 

parametri numerici che caratterizzano la statistica locale. 

immagine telerilevata 

metodo FOH: parametro di tessitura 

“varianza”, che evidenzia le zone in cui i ldg 

hanno maggiori variazioni spaziali 



29

Metodo GLC per analisi di tessitura 

• L’istogramma di un’immagine dipende dalla statistica dei 

suoi ldg, ma non dalla loro distribuzione spaziale. 

– Analogamente, l’istogramma locale calcolato da FOH 

dipenderà, per ogni pixel P, dalla statistica dei ldg che 

appartengono alla finestra centrata su P, ma non dalla loro 

distribuzione spaziale dentro la finestra stessa. 

– FOH non può quindi caratterizzare proprietà direzionali delle 

tessiture. 

• Il metodo della matrice di co-occorrenza (greylevel cooccurrence 

matrix, GLCM) o metodo GLC effettua 

un’analisi locale che, a differenza di FOH, ha l’obiettivo di 

caratterizzare anche la distribuzione spaziale dei ldg. 




30


Metodo GLC: idea chiave 

• Supponiamo di voler determinare se l’immagine contenga 

un’area tessiturata caratterizzata dal fatto che una primitiva 

si ripeta più o meno periodicamente ogni 5 pixel lungo una 

direzione inclinata di 45° con l’asse orizzontale. 

– Il metodo GLC scandisce raster l’immagine e centra su 

ciascun pixel P una finestra. 

– Effettua quindi una statistica dei pixel che, oltre ad 

appartenere alla finestra, sono spazialmente localizzati a 

distanza reciproca pari a 5 pixel e sono estremi di un 

segmento che forma con l’orizzontale un angolo di 45°. 

– Calcola infine da questa statistica un insieme di parametri 

numerici che caratterizzano la statistica stessa. 



31


Metodo GLC: formulazione 

• Più in generale, il metodo GLC, avendo fissato 

opportunamente le sue variabili in ingresso: 

– predefinisce un passo ed un angolo di ricerca; 

– scandisce raster l’immagine e centra su ciascun pixel P una 

finestra; 

– effettua una statistica dei pixel che, oltre ad appartenere alla 

finestra, sono spazialmente localizzati a distanza reciproca 

pari al passo di ricerca e sono estremi di un segmento che 

forma con l’orizzontale un angolo pari all’angolo di ricerca; 

– calcola parametri numerici sulla statistica così ottenuta. 

• Sia la statistica sia i parametri GLC dipendono quindi da tre 

variabili in ingresso: la larghezza della finestra mobile, il 

passo di ricerca e l’angolo di ricerca. 



32


Metodo GLC: parametri estratti 

• Esempi di parametri estratti per ogni pixel dal metodo GLC: 

– contrasto: evidenzia le regioni di maggiore variabilità e 

ripetitività locale nei ldg; 

– omogeneità: evidenzia le regioni di maggiore omogeneità 

spaziale nei ldg; 

– entropia: evidenzia le aree dell’immagine caratterizzate da 

maggiore “confusione” (maggiore variabilità spaziale); in 

particolare è in relazione con l’eventuale anisotropia 

direzionale della tessitura. 



33


Metodo GLC: esempio 

immagine telerilevata parametro GLC contrasto: notare come 

vengano evidenziate le aree di forte 

variazione locale nei ldg (come avveniva 

anche col parametro “varianza” in FOH) 



34




parametro GLC omogeneità: notare come 

vengano enfatizzate le regioni omogenee 

(es.: il mare) ed invece diano risposta bassa 

quelle meno omogenee (es.: l’area urbana). 



35




feature GLC entropia: notare come 

vengano enfatizzate le regioni 

caratterizzate da ldg molto variabili 

(“maggiore disordine”) 



36

Metodi frattali per le tessiture: introduzione 

• L’analisi basata sulle proprietà frattali delle superfici è uno 

degli approcci più recenti per caratterizzare una tessitura. 

– La geometria frattale, a differenza di quella euclidea, è una 

branca della matematica particolarmente adatta alla 

modellazione e simulazione di fenomeni e forme naturali che, 

per loro natura, presentano irregolarità, ma, seppur in modo 

causale, anche auto-similarità (ossia presenza di strutture che 

si ripetono simili a se stesse a scale via via più piccole). 

– Le tecniche frattali si usano per analisi di tessitura, perché 

forniscono una stima della rugosità della superficie osservata. 

– Gli “oggetti” della geometria euclidea sono caratterizzati da 

una dimensione topologica che è, ad es., 1 per una curva, 2 

per una superficie, 3 per un volume nello spazio. 

– La geometria frattale studia insiemi caratterizzabili da una 

“dimensione non intera” (detta proprio dimensione frattale). 




37

Quanto è lunga la costa della Gran Bretagna? 

• Vogliamo misurare la lunghezza della costa della Gran 

Bretagna, avendo a disposizione un “righello” di lunghezza 

pari a . Sia N il minimo numero di righelli necessario a 

“ricoprire” l’intera costa. 

= 200 km, 

N = 12 


= 100 km, 

N = 28 



= 50 km, 

N = 69 

38

Comportamento frattale della costa 

• è quindi una misura della scala dei dettagli spaziali della 

costa che siamo in grado di apprezzare col nostro righello. 

– Data la scala , la stima della lunghezza totale della costa è 

quindi N. Mi aspetterei che, raffinando via via la scala (ossia 

usando valori di sempre più piccoli), tale stima si 

stabilizzasse su un certo valore. 

– Invece... 


lunghezza [km] 

6000 

3000 

0 

circonferenza di diametro pari a circa 1000 km 

GB - Costa ovest 

0 250 500 750 1000 

delta [km] 



39


• In corrispondenza di scale via via più fini: 

– nel caso di una curva regolare come la circonferenza data, la 

lunghezza stimata come N presenta il comportamento che 

mi aspetto, ossia si stabilizza intorno ad un valore ben definito 

(che infatti è proprio · 1000 = 3141 km); 

– nel caso della costa (ovest) della Gran Bretagna, invece la 

lunghezza stimata come N sembra crescere arbitrariamente. 

• Il comportamento osservato per la costa della Gran 

Bretagna deriva dalla sua auto-similarità: 

– raffinando via via la scala , si apprezzano nella costa dettagli 

ed insenature sempre più piccoli e non visibili a scale più 

grossolane; 

– in quest’ottica, mi aspetto che, quanto più “irregolare” è una 

costa, tanto più marcato sia il comportamento osservato. 




40

lunghezza [km] 

18000 

15000 

12000 

9000 

6000 

3000 

0 


0 250 500 750 1000 

delta [km] 


Portogallo 

GB - Costa ovest 

Sud Africa 

Australia 



41


Il concetto di dimensione frattale 

• Riducendo via via la scala : 

– coste più irregolari (es.: Australia, Gran Bretagna) presentano 

un più rapido incremento della lunghezza stimata; 

– coste più regolari (es.: Sud Africa) presentano un incremento 

limitato. 

• Tale comportamento si può descrivere quantitativamente 

mediante un parametro chiamato dimensione frattale. 

– Intuitivamente, quanto più frastagliato è l’andamento della 

costa, tanto più essa tende ad “invadere una regione del 

piano”, presentando quindi dimensione intermedia fra 1 e 2 (e 

quindi non intera). 

– Le dimensioni frattali delle coste di Gran Bretagna, Australia, 

Sud Africa e Portogallo sono rispettivamente 1.24, 1.13, 1.04, 

1.12. Per la costa della Norvegia, si otterrebbe 1.52. 



42

Dimensione frattale per estrazione di tessitura 

• In generale, gli oggetti frattali sono figure geometriche 

caratterizzate da una dimensione, detta dimensione 

frattale, che risulta non intera bensì frazionaria. 

– Ciò differenzia gli oggetti frattali dagli oggetti geometrici 

“tradizionali” che hanno dimensione intera (1 per un 

segmento, 2 per un quadrato, 3 per un cubo). 

• Assumendo un’immagine naturale come grafico di una 

superficie frattale, la dimensione frattale D di tale superficie 

permette di estrarre informazioni riguardanti la tessitura. 

– Se colloco su un piano le coordinate (x, y) che identificano la 

posizione di un pixel e su un terzo asse z il suo ldg, allora 

l’andamento di z in funzione di (x, y) descrive una superficie. 

– Ad essa possiamo applicare ragionamenti simili a quelli della 

lunghezza di una costa, riferendoli all'area della superficie. 




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Immagine come superficie frattale: esempio 

x 

immagine sintetica 

(100 × 100 pixel) 

y 0 

x 

Gioconda, dettaglio 

(150 × 150 pixel) 


superficie 

corrrispondente 

superficie 

corrrispondente 

y 0 

z 

z 

255 

204 

153 

102 

51 

255 

204 

153 

102 

51 

y 



y 

x 

x 

44


Analisi frattale: esempio 

• D è infatti strettamente correlata alla rugosità della 

superficie sotto indagine: maggiore rugosità della superficie 

corrisponde a dimensione frattale più alta e viceversa. 

– In presenza di una superficie totalmente “piatta” si ha D = 2 

mentre, all’aumentare della rugosità, D si avvicina a 3. 

D = 2.10 D = 2.50 

superficie “regolare”, 

“bassa rugosità” 

superficie “irregolare”, 

“alta rugosità” 



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Metodi frattali per tessitura 

• I metodi frattali di estrazione di tessitura adottano algoritmi 

opportuni che, per ciascun pixel P, stimano la dimensione 

frattale dei ldg dei pixel appartenenti ad una finestra 

centrata su P. 

• Cenno ai frattali per sintesi di immagini (grafica) 

– Noi introduciamo qui i frattali come strumenti per l’analisi 

d’immagini. 

– Esistono però, nell’ambito della grafica a calcolatore 

(computer graphics), anche metodi di sintesi mediante i quali 

si possono generare immagini “di fantasia”, ad es., per 

simulare fenomeni naturali (es.: nuvole, fogliame in un 

paesaggio 3D), scenari fantascientifici-fantastici o creazioni 

grafico-artistiche. 



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Metodi frattali per tessitura: esempio 

immagine telerilevata dimensione frattale stimata (dopo 

histogram stretching): notare come 

aree di maggiore variazione spaziale 

abbiano dimensione più alta 




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Jackson Pollock, Composition with 

Pouring II, 1943: D circa uguale ad 1 


Dimensione frattale: esempi 

Jackson Pollock, Number 14, 1948: 

D = 1.45 

D indica qui la dimensione 

frattale (opportunamente stimata) 

delle traiettorie delle linee 

tracciate col pennello sulla tela 



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Dimensione frattale: esempi 

Jackson Pollock, Autumn 

Rhythm Number 30, 1950: 

D = 1.67 

Jackson Pollock, Blue 

Poles: Number 11, 1952: 

D = 1.72 



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elementi di analisi di immagini

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