Esrcizi su Dominio e Limiti - prof. Antonio Iannuzzi

AREA 1:
FUNZIONI E LIMITI
INSIEMI NUMERICI E FUNZIONI
Per ricordare
1
H Un insieme E si dice:
limitato superiormente se esiste un numero k, non necessariamente appartenente a E, che eÁ maggiore
o uguale di tutti i suoi elementi; il piuÁ piccolo fra questi numeri k eÁ l'estremo superiore dell'insieme
(si indica con sup E) che, se appartiene a E, eÁ anche il massimo di E
limitato inferiormente se esiste un numero h, non necessariamente appartenente a E, che eÁ minore o
uguale di tutti i suoi elementi; il piuÁ grande fra questi numeri h eÁ l'estremo inferiore dell'insieme (si
indica con inf E) che, se appartiene a E, eÁ anche il minimo di E.
Quando un insieme eÁ limitato sia superiormente che inferiormente, si dice semplicemente che eÁ limitato.
Quando un insieme non eÁ limitato superiormente si dice che sup E ˆ‡1; quando non eÁ limitato inferiormente
si dice che inf E ˆ 1.
Per esempio:
A ˆ x 2 R j 3 x < 7
7
eÁ un insieme limitato ed eÁ inf A ˆ 3, sup A ˆ ; 3eÁ anche il mini-
2 2
mo perche appartiene ad A, mentre non esiste il massimo percheÁ 7
non appartiene ad A.
2
B ˆ x 2 R j x > 3
p
n o
eÁ un insieme limitato a sinistra e illimitato a destra; allora inf B ˆ 3
p ,
sup B ˆ‡1; questo insieme non ha il minimo perche 3
p non gli appartiene e ovviamente non
ha il massimo essendo illimitato superiormente.
H L'insieme dei numeri reali che sono compresi fra altri due numeri a e b si chiama intervallo; sea e b
sono entrambi finiti l'intervallo si dice limitato, se uno dei due non eÁ finito l'intervallo si dice illimitato; in
particolare, la scrittura:
… a, b†
indica un intervallo limitato aperto che rappresenta l'insieme degli x 2 R tali che a < x < b
‰ a, bŠ
indica un intervallo limitato chiuso che rappresenta l'insieme degli x 2 R tali che a x b
… a, ‡1†
indica un intervallo illimitato a destra, aperto a sinistra, che rappresenta l'insieme degli
x 2 R tali che x > a
… 1, bŠ
indica un intervallo illimitato a sinistra, chiuso a destra, che rappresenta l'insieme degli
x 2 R tali che x b
In pratica la parentesi tonda indica che l'estremo dell'intervallo non appartiene all'insieme, quella quadra
indica che gli appartiene; sul simbolo di infinito si usa solo la parentesi tonda.

4 AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Per esempio:
… 5, 10Š
eÁ un intervallo limitato, aperto a sinistra e chiuso a destra e rappresenta l'insieme degli
x 2 R tali che 5 < x 10
‰ 1, ‡1†
eÁ un intervallo limitato e chiuso a sinistra, illimitato a destra e rappresenta l'insieme degli
x 2 R tali che x 1.
H Si dice intorno di un punto x0 ogni intervallo aperto che contiene x0 al suo interno; intorno di ‡1 eÁ un
qualunque intervallo del tipo … a, ‡1†,
intorno di 1 eÁ un qualunque intervallo del tipo … 1, b†,
intorno di infinito eÁ l'unione di un intorno di 1 con un intorno di ‡1.
Un punto x0 si dice di accumulazione per un insieme E se ogni intorno di x0 contiene infiniti punti di E.
Per esempio:
un qualunque numero reale a eÁ punto di accumulazione in R perche qualunque intorno di a contiene
infiniti numeri reali
un numero intero n non eÁ punto di accumulazione in Z percheÁ gli intorni di n non contengono infiniti
numeri interi (per esempio l'insieme degli interi compresi fra 5 e 20 eÁ un intorno di 10 ma contiene
solo un numero finito di interi).
H Una funzione eÁ una corrispondenza univoca fra due insiemi A e B, eÁ cioeÁ una legge che ad ogni elemento
x di A associa uno e uno solo elemento y di B; in questa corrispondenza x rappresenta la variabile
indipendente, y la variabile dipendente.
Quando A e B sono insiemi numerici, questa legge si esprime di solito con un'equazione della forma
y ˆ f … x†,
dove f … x†
eÁ un'espressione nella variabile x, che esprime il legame fra gli elementi dei due
insiemi.
Per esempio, l'equazione y ˆ x2 1 esprime il fatto che gli elementi y si ottengono da quelli x elevandoli
al quadrato e sottraendo 1 al risultato.
L'elemento y 2 B che corrisponde ad un particolare x 2 A si dice immagine di x; viceversa, ogni elemento
x 2 A che resta associato nella corrispondenza a un elemento y 2 B si dice controimmagine di
y. L'insieme delle controimmagini costituisce il dominio della funzione, l'insieme delle immagini ne eÁ il
codominio.
Quando eÁ nota la sua equazione y ˆ f … x†,
il dominio della funzione f si determina chiedendosi quali
sono i valori che puoÁ assumere la variabile indipendente x. Per rispondere a questa domanda occorre
tenere presente che:
un polinomio ha sempre significato in R, quindi le funzioni polinomiali hanno come dominio R
una frazione esiste se il denominatore non eÁ nullo
una radice di indice pari esiste se il radicando eÁ positivo o nullo
una radice di indice dispari esiste sempre in R
un logaritmo di base assegnata esiste se il suo argomento eÁ positivo
di un logaritmo a base variabile occorre imporre che la base sia positiva e diversa da 1
le funzioni esponenziali a base fissa (e positiva) esistono se esiste l'esponente
delle funzioni esponenziali a base varabile occorre chiedere che la base sia positiva e che esista
l'esponente
le funzioni goniometriche sin x e cos x hanno significato per qualsiasi x 2 R, la funzione tan x ha
significato se x 6ˆ 2 ‡ k ; occorre poi ricordare che la funzione seno e la funzione coseno sono pe-
riodiche di periodo 2 , mentre la funzione tangente eÁ periodica di periodo
le funzioni arcsin x e arccos x devono avere un argomento compreso fra 1 e 1 (estremi inclusi), la
funzione arctan x esiste per ogni x 2 R.

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI 5
H Se una funzione f … x†
eÁ definita in un punto x0 e si verifica che:
f … x0†
f … x†
per ogni x del dominio, allora si dice che x0 eÁ un punto di massimo assoluto e che
f … x0†
eÁ il massimo assoluto della funzione
f … x0†
f … x†
per ogni x del dominio, allora si dice che x0 eÁ un punto di minimo assoluto eche
f … x0†
eÁ il minimo assoluto della funzione.
Una funzione f … x†
eÁ:
monotoÁna crescente in un intervallo I se 8x1, x2 2 I da x1 < x2 segue che f … x1†
< f … x2†
Se in quest'ultima relazione vale anche il segno di uguaglianza, cioeÁ se f … x1†
f … x2†,
allora la funzione
eÁ monotoÁna non decrescente, cioeÁ in pratica cresce o tutt'al piuÁ si mantiene costante, ma non
decresce mai
monotoÁna decrescente in un intervallo I se 8x1, x2 2 I da x1 < x2 segue che f … x1†
> f … x2†
Se in quest'ultima relazione vale anche il segno di uguaglianza, cioeÁ se f … x1†
f … x2†,
allora la funzione
eÁ monotoÁna non crescente, cioeÁ in pratica decresce o tutt'al piuÁ si mantiene costante, ma non
cresce mai.
1
pari se f … x†
ˆ f … x†
e allora il suo grafico presenta una simmetria rispetto all'asse y
dispari se f … x†
ˆ f … x†
e allora il suo grafico presenta una simmetria rispetto all'origine
periodica di periodo k se f … x ‡ k†
ˆ f … x†
e allora il suo grafico si ripete ad ogni periodo.
ESERCIZI
Descrivi le caratteristiche degli insiemi soluzione delle seguenti disequazioni.
2 jx ‡ 1j‡
j3x5j > 1
3
p
8x 4 x
4 ln 2x2 … x†
< 0
ESERCIZIO GUIDATO
ESERCIZIO GUIDATO
jx 2
1j > 8
Risolvendo la disequazione si ottiene l'insieme x < 3 _ x > 3; si tratta dell'unione dei
due intervalli … 1, 3†
e … 3, ‡1†.
Del primo intervallo si puoÁ dire che eÁ aperto, eÁ illimitato a sinistra e limitato a destra, l'estremo
inferiore eÁ 1, l'estremo superiore eÁ 3, non possiede ne massimo ne minimo; del
secondo intervallo si puoÁ dire che eÁ aperto, limitato a sinistra e illimitato a destra, l'estremo
inferiore eÁ 3, l'estremo superiore eÁ ‡1, non possiede ne massimo ne minimo.
5 sin x cos x > 0 in ‰0, 2 Š
Dei seguenti insiemi numerici individua gli eventuali punti di accumulazione.
6 A ˆ fx2Zj 10 < x < 15g
7 B ˆ fx2Qj 1 < x < 5g

6 AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
8 C ˆ fx2Rjxˆ2n ‡ 3, n 2 Ng
9 D ˆ x 2 R j x ˆ 3
2 n2 … ‡ 1†,
n 2 N
10 E ˆ x 2 R j x ˆ 2
p …k ‡ 1†, k 2 Q
Traccia il grafico delle seguenti funzioni f di cui sono assegnate le equazioni e stabilisci:
- qual eÁ il dominio
- qual eÁ il codominio e se la funzione eÁ limitata
- quali sono l'estremo superiore e l'estremo inferiore
- se la funzione possiede il massimo e il minimo assoluti.
(I risultati si trovano al termine dell'unitaÁ)
11 y ˆ 1 ‡ x2 j ‡ 2xj
(Suggerimento: analizzando il segno dell'argomento del modulo, la funzione ha la seguente
espressione: y ˆ x2 ‡ 2x ‡ 1
x
x 2 _ x 0
2 due parabole)
2x ‡ 1 2 < x < 0
ed il grafico eÁ formato dagli archi di
12 y ˆ j3x1j‡ x2 13 y ˆ 1 2x ‡ jxj 14 y ˆ 4 x2 j j‡ x
15 y ˆ jxj x2 16 y ˆ 9
j
x
1j
2
p
(Suggerimento: posto y
semicirconferenza)
0, elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione ottieni una
17 y ˆ 1 ‡ 4 x2 p
18 y ˆ x2 p
4
19
p
y ˆ 3 x
20 y ˆ 2 1 x2 p
21
p
y ˆ 5 x ‡ 1
22 y ˆ x2 p
1 2
23 y ˆ 2x x2 p
‡ 1
x 1
24 y ˆ 2
25 y ˆ 1
2
26 y ˆ 3 jxj ‡ 1
27 y ˆ 2
3
28 y ˆ 3
2
x
‡4
jx 1j
1 jxj

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI 7
Costruisci il grafico di una funzione f …x† che soddisfi alle caratteristiche indicate.
29 Abbia come dominio l'insieme D ˆ ‰ 2, 4†,
sia crescente in ‰ 2, 2†
e tale che inf f ˆ 1.
30 Abbia come dominio l'insieme D ˆ … 1,0†,
sia sup f ˆ‡1, sia limitata inferiormente con
minimo assoluto 2inxˆ 3.
31 Abbia come dominio l'insieme R f 1, 1g,
sia limitata, abbia massimo assoluto 4 per x ˆ 2,
non abbia minimo assoluto e sia inf f ˆ 3.
32 Abbia come dominio l'insieme ‰2, 3†, sia sup f ˆ‡1, abbia un punto di minimo assoluto uguale
a zero in x ˆ 2.
33 Abbia come dominio l'insieme D ˆ …
e crescente in … 5, ‡1†.
1,2†[
… 5, ‡1†,
sia decrescente nell'intervallo … 1, 2†
34 Abbia come dominio l'insieme D ˆ … 1, 1†[
… 1, ‡1†,
sia pari, abbia massimo assoluto
uguale a 2, sia inf f ˆ 1.
Determina il dominio delle seguenti funzioni e rappresentalo nel piano cartesiano.
p
35 f …x† ˆ x ‡
36 f …x† ˆ… x ‡ 2†
37 f … x†
ˆ ln x3 ‡ x2 p
3
x
x2 3p ‰ … 1, 3†[
… 3, 1†[
… 1, 0ŠŠ
‡ 4x ‡ 3
x 2
x2 p
3
‰ … 2, ‡1†
Š
p
3,
‡1
38 f …x† ˆarccos x2 … ‡ x ‡ 1†
arcsin x ‰ ‰ 1, 0ŠŠ
39 f …x† ˆ arctan
x ‡ 1
2 x
ln x
p
x‡2
q
40 f …x† ˆ log 1‰ 1
2
log2 …3 ‡ x†Š
41 f …x† ˆlog 2 log 1 2
x 3
x
‰ … 0, 2†
Š
‰ … 2, 1†
Š
‰ … 3, ‡1†
Š
42 f …x† ˆarctan ln x3 … 1†
‰ … 1, ‡1†
Š
43 f …x† ˆarccos 1 2x x2 p
‰ ‰ 0, 2ŠŠ
Costruisci il grafico delle seguenti funzioni dopo averne determinato il dominio.
44
p
f …x† ˆ 2 ‡ x jx ‡ 1j
(Suggerimento: l'espressione della funzione puoÁ essere riscritta nella seguente forma:
f …x† ˆ
1
p
2x ‡ 3
x
x <
1
. Il dominio eÁ l'insieme
1
3
, ‡1 ; il grafico eÁ composto da un
2
arco di parabola e dalla retta y ˆ 1)
45
p
f …x† ˆ1 ‡ x j2x5j 46 f …x† ˆ
1 j2x ‡ 3j
x < 0
x2 2 x 0

8 AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
8
2x 1 x < 1
>< x ‡ 1
47 f …x† ˆ
1 x 3
x
>: 1
2x x > 3
2 x2
(Suggerimento: nell'intervallo ‰ 1, 3Š
la curva eÁ la funzione omografica di asintoti y ˆ 1ex ˆ 0)
48 f …x† ˆ
49 f …x† ˆ
cos x x < 0
tan x x 0
2sin x 1 x < 0
2x2 x 0
50 Determina il dominio della funzione f … x†
ˆ ln
x 1
x ‡ 1
e stabilisci in quali intervalli eÁ positiva.
‰ D ˆ fx2Rjx < 1 _ x > 1g;
positiva per x < 1Š
51 Determina il dominio della funzione f … x†
ˆ x2 p
9x ‡ 18 ‡ ln … x2 q
se il suo grafico eÁ costituito da:
a. un numero illimitato di punti
b. un numero finito di punti
4
‡ 9x 17† e stabilisci
c. nessun punto. ‰ due punti: … 3, 0†,
… 6, 0†
Š
52 Determina il dominio della funzione f … x†
ˆ
1
9 x2 p ‡ ln …x2 eÁ costituito da:
a. un numero illimitato di punti
b. un numero finito di punti
q
8† e stabilisci se il suo grafico
c. nessun punto. ‰ nessun puntoŠ
53 Determina il dominio della funzione di equazione y ˆ sin2 r
x 1
e stabilisci se il suo grafico eÁ
costituito da:
cos x ‡ 1
a. un numero illimitato di punti
b. un numero finito di punti
c. nessun punto.
h n
D ˆ x 2 R j x ˆ ‡ k
2
o i
; infiniti punti isolati
54 Determina il dominio della funzione di equazione y ˆ
x2 s p
4x
p p ; da quanti punti eÁ co-
x ‡ x2 stituito il grafico della funzione?
3x
‰ D ˆ 1; nessun puntoŠ
55 Determina il dominio della funzione di equazione y ˆ 3
p
p ‡ ln …cos x† e indica qual eÁ la sua
caratteristica.
x
‰ D ˆ fx2Rjxˆ2k , k > 0gŠ
56 Sia D1 il dominio della funzione di equazione y ˆ ln … x 4†‡
ln …x2 1† e D2 il dominio della
funzione di equazione y ˆ ln … x 4†…x2
a. D1 ˆ D2
1† ; si puoÁ dire che:
b. D1 D2
c. D1 D2
Motiva esaurientemente la risposta. ‰ D1 : … 4, ‡1†,
D2 : … 1, 1†[
… 4, 1†;
b: Š
57 Confronta i domini delle funzioni f … x†
ˆ x ln x e g… x†
ˆ x ln jxj e stabilisci che relazione intercorre
fra essi. Df : … 0, ‡1†;
Dg : … 1, 0†[
… 0, ‡1†

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI 9
58
r
Date le funzioni f … x†
ˆ
2 sin x
tan x
1
ln …cos x† e
p
g… x†
ˆ
2
p
sin x
tan x
1
cos …ln x† nell'intervallo
‰ 0, 2 Š, che relazione esiste fra i loro domini?
h
D1 ˆ ,
6 2
[ 3
2 ,2 ; D2
h
ˆ ,
6 2
p
p
59 Trova i domini delle funzioni f 1…x† ˆ ln ‰arctan …x ‡ 1†Š,
f 2…x† ˆln arctan …x ‡ 1† ,
p
f 3…x† ˆln arctan x ‡ 1 e descrivi la relazione che sussiste fra gli insiemi ottenuti.
h h
i
D1 ˆ 1, ‡1 ; D2 ˆ D3 ˆ … 1, ‡1†
4
60 Date le funzioni f … x†
ˆ 1
x2 1
e g… x†
ˆ x2 4, determina per quali valori di x si ha che
f … x†
‡ g… x†
ˆ f … x†‡
g… x†
. ‰ x 2 _ 1 < x < 1 _ x 2Š
61 Considerate le funzioni f … x†
ˆ 2x ‡ 6 e g… x†
ˆ x
, calcola per quali valori di x eÁ verifi-
x 1
cata la relazione f … x†
g… x†
ˆ 1
5 7
f … x†
gx … † . x ˆ
2 p
3
62 Dopo aver determinato il dominio delle funzioni f … x†
ˆ log3… x† e g… x†
ˆ log3…9 x†, calcola
per quali valori di x eÁ verificata la relazione f … x†
g… x†
ˆ f … x†‡
g… x†
. ‰ x ˆ 1Š
63 Date le funzioni f … x†
ˆ 3x2 1 e g… x†
ˆ x2 … 1†ln
x, dopo averne determinato dominio e se-
p
gno, stabilisci qual eÁ il dominio della funzione h… x†
ˆ f … x†
g… x†
. ‰ … 0, 1†[
… 1, ‡1†
Š
64 Considerata la funzione f … x†
ˆ
a 1
a
x
, stabilisci per quali valori del parametro reale a la
funzione eÁ monotoÁ na decrescente. ‰ a < 0Š
65 Stabilisci per quali valori del parametro reale a la funzione y ˆ log a2 ‡2a x eÁ monotoÁ na decrescente.
a 1
‰ 2 < a < 0Š
66 Stabilisci per quali valori del parametro reale k le funzioni f …x† ˆ
sono entrambe monotoÁ ne decrescenti.
k ‡ 1
k 1
e g…x† ˆlogk2 1 x
p
2 < k < 1
67 Determina in quali intervalli sono identiche le funzioni f … x†
ˆ x3 p
1 4x2 g… x†
ˆ x
p
1 e
3 … 1†
4x2 p
… 1†
. ‰ ‰ 1, 1†
Š
x ‡ x 0
68 Date le funzioni f … x†
ˆ sin x e g… x†
ˆ , definisci l'espressione della funzione
x < 0
sin x x 0
h… x†
ˆ f… g… x†
† e costruiscine il grafico. h…x† ˆ
0 x < 0
x 1 x > 1
69 Date le funzioni f … x†
ˆ ln x e g… x†
ˆ , definisci l'espressione della funzione
1 x < 1
ln …x 1† x > 1
h… x†
ˆ f… g… x†
† e costruiscine il grafico. h…x† ˆ
0 x < 1
70 Date le funzioni f … x†
ˆ x2 x 1 x < 1
1 e g… x†
ˆ , definisci l'espressione della funzio-
2x x 1
ne h… x†
ˆ f… g… x†
† e costruiscine il grafico. h…x† ˆ x2 2x x < 1
4x2 " #
1 x 1
x

10 AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
71 Date le funzioni f … x†
ˆ ln x e g… x†
ˆ
x ‡ 2
x
x 0
2 h… x†
ˆ f… g… x†
† e costruiscine il grafico.
, definisci l'espressione della funzione
x > 0
ln …x ‡ 2† 2 < x 0
h…x† ˆ
2ln x x > 0
72
e
Date le funzioni f … x†
ˆ
x cos x
p
x
x 0
0 < x
x >
3
2
3
8
><
>:
della funzione gf… x†
.
2
e g… x†
ˆ ln x
1
2
determina il dominio
ln 2, [
3 3
, ‡1
2
73 Sia f … x†
una funzione definita in D : … 0, ‡1†
tale che sia:
a. f …†ˆ 1 0
b. f … ab†
ˆ f …†‡ a f … b†
con a, b 2 D.
Dimostra che:
1. f a
b
ˆ f …† a f … b†
2. f an … †ˆnf … a†
per n intero non nullo
3. f a n … m†
ˆ n
f … a†
m
per n, m interi e m 6ˆ 0.
Dai un esempio di funzione f che soddisfa le condizioni a. e b.
74 Una funzione f : R ! R si dice convessa se per ogni coppia di punti x1, x2 2 R e per ogni
2 ‰ 0, 1Š
vale la seguente uguaglianza f ‰ x1 ‡ … 1 †x2Š
f … x1†‡
… 1 †f… x2†.
Dai un'interpretazione geometrica di tale disuguaglianza e dimostra che la funzione esponenziale
f … x†
ˆ ex eÁ convessa.
Risultati di alcuni esercizi.
11. 12. 13.
14. 15. 16.

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI 11
17. 18. 19.
20. 21. 22.
23. 24. 25.
26. 27. 28.
44. 45. 46.

12 AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
47. 48. 49.
68. 69. 70.
71.

AREA 1:
FUNZIONI E LIMITI
FUNZIONI E LIMITI
Per ricordare
H Una funzione ha per limite un numero ` finito per x ! c (con c finito o infinito) se la disequazione
f … x†
`

14 AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
e si ha che: se k > h il limite vale 1
Per esempio: lim
x!1
se lim
x!1
p
Ax … †
Per esempio:
lim
x!‡1
se k ˆ h il limite vale a0
b 0
se k < h il limite vale 0
lim
x!1
lim
x!1
q
Ax … †
p
Bx … †
p
x ‡ 1
6x 3
x 2 ‡ 1
ˆ lim
x!1
3x3 2
4x3 ˆ lim
‡ x 6 x!1
x4 1
2x2 ˆ lim
‡ x x!1
q
Bx … †
6x
ˆ lim
x2 x!1
6
x
3x3 3
ˆ
4x3 4
x4 ˆ lim
2x2 x!1
ˆ 0
x 2
2 ˆ‡1
si presenta nella forma 1 1, si moltiplica e si divide per
e si calcola il limite della funzione che si ottiene.
p
2x ‡ 5
ˆ lim
x!‡1
x ‡ 1 2x 5
p p ˆ lim
x ‡ 1 ‡ 2x ‡ 5
x!‡1
x 4
p p ˆ 1
x ‡ 1 ‡ 2x ‡ 5
Ax … †
0
se lim si presenta nella forma , semplificando la frazione si riesce di solito ad eliminare la
x!c Bx … † 0
causa dell'indeterminazione.
Per esempio: lim
x!2
x2 4
3x2 ˆ lim
5x 2 x!2
H Valgono i seguenti limiti notevoli:
lim
x!0
sin x
x
ˆ 1 lim
x!1
dai quali si ricavano anche i seguenti:
lim
x!0
lim
x!0
lim
x!0
lim
x!0
lim
x!0
tan x
x
1 cos x
x 2
ˆ 1 lim
x!0
ˆ 1
2
log … a x ‡ 1†
ˆ logae ˆ
x
1
ln a
a x 1
x
… 1 ‡ x†
k
x
… x 2†
… x ‡ 2†
… x 2†
… 3x ‡ 1†
1
1 ‡
x
1 cos x
x
x
ˆ e
lim … 1 ‡ x†
x!0
1 x
ˆ e
ˆ 0
in particolare lim
x!0
ˆ ln a in particolare lim
x!0
1
ˆ k
ˆ lim
x!2
x ‡ 2 4
ˆ
3x ‡ 1 7
ln … x ‡ 1†
ˆ 1
x
e x 1
x
ˆ 1

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI 15
H Una funzione f … x†
possiede:
un asintoto orizzontale di equazione y ˆ ` se: lim
x!1
un asintoto verticale di equazione x ˆ c se: lim
x!c
un asintoto obliquo di equazione y ˆ mx ‡ q se: lim
x!1
f … x†
ˆ `
f … x†
ˆ1
f … x†
ˆ m (con m finito e non nullo)
x
lim ‰ f … x†
mxŠ
ˆ q (con q finito)
x!1
Se una funzione possiede asintoto orizzontale, non puoÁ avere asintoto obliquo e viceversa, altrimenti
avrebbe due comportamenti diversi per x !1.
H Si dice che:
la funzione y ˆ f … x†
eÁ un infinitesimo per x ! c se lim
x!c
la funzione y ˆ f … x†
eÁ un infinito per x ! c se lim
x!c
f … x†
ˆ 0
f … x†
ˆ1.
H Di due funzioni f … x†
e g… x†
entrambe infinitesime per x ! c diciamo che:
f … x†
eÁ di ordine superiore a g… x†
se lim
x!c
f … x†
eÁ dello stesso ordine di g… x†
se lim
x!c
f … x†
eÁ di ordine inferiore a g… x†
se lim
x!c
f …x†
ˆ 0
g…x†
f …x†
ˆ ` 6ˆ 0
g…x†
f …x†
g…x† ˆ1
H Di due funzioni f … x†
e g… x†
entrambe infinite per x ! c diciamo che:
f … x†
eÁ di ordine superiore a g… x†
se lim
x!c
f … x†
eÁ dello stesso ordine di g… x†
se lim
x!c
f … x†
eÁ di ordine inferiore a g… x†
se lim
x!c
f …x†
g…x† ˆ1
f …x†
ˆ ` 6ˆ 0
g…x†
f …x†
ˆ 0
g…x†
Per facilitare il calcolo di limiti di funzioni che, per x !1, sono infinite eÁ utile stabilire una gerarchia
degli infiniti che indichiamo di seguito in ordine decrescente; per ogni a > 1, >0:
ax x loga x
Per esempio: lim
x!‡1
lim
x!‡1
2x x3 ˆ‡1 perche 2x eÁ di ordine superiore a x3 x
loga x ˆ‡1 perche x eÁ di ordine superiore a loga x

16 AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
ESERCIZI
SUI LIMITI
Calcola i seguenti limiti.
1 lim
x!1
3…2x
x
1†
3 1
2 lim
1 x! 4
2 x
p
16x
1
2 1
3
p
x ‡ 1
lim
x!3 x
2
2 9
4 lim
x! 2
5 lim
x!0
6 lim
x!0
7 lim
x!0
8 lim
x!1
9 lim
x!1
10 lim
x!0
11 lim
x!2
‡ 1
1 x
tan2 x … 1
x
sin x†
tan2 x … 1
x
sin x†
ln …x ‡ 1†
3 sin x
e 3x 1
4x
x 3 ‡ 1
x 3
x 3
x ‡ 2
x 3 ‡2
x 1
ln …x ‡ 3† ln 3
x
xe x 2 x
x 2 x 2
(Suggerimento: il limite si presenta nella forma di indecisione 0
; riscrivilo scomponendo nume-
0
ratore e denominatore: lim
x!2
xex 2 …
… x ‡ 1†
… x
1†
ˆ lim
2†
x!2
ex 2 x
1
2
x
x ‡ 1
2
ˆ
3 lim
x!2
ex 2 x
1
2 )
2
3
12 lim
x!0
13 lim
x! 2
14 lim
x!0
15 lim
x!1
ln x2 … ‡ 2x ‡ 1†
x2 ‡ 2x
1 cos2… 2x †
… 2x † 2
x ‡ 3x2 … † 4 x4 2x5 e 2x 1 e x
2x 2
‰ 1Š
1
4
1
24
1
‰ 0Š
1
3
3
4
‰Š e
e 5 ‰ Š
1
3
‰ 1Š
‰ 1Š
‰ 6Š
1
2 e

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI 17
16 lim
x!1
… 1 ‡ ln x†
3 1
ln x
17 lim xe
x!1 1
2x 1
18 lim
x! 2
19 lim
x! 2
sin 2 x ‡ 2 sin x 3
2x
e2x sin x
4x2 2
20 lim 2
x!3 1
3 x x ! 3 : ‡1; x ! 3 ‡ ‰ : 0Š
21 lim
x!1
22 lim
x!0
23 lim
x!1
24 lim
x!1
2x 1
2x ‡ 7
5x 1
log5… x ‡ 1†
x 3
x ‡ 1
p
x ‡ 3
25 lim … cos x†
x!0 2
x2 26 lim
x!1
x 2 1
x
2 3x
p
2x ‡ 2
… 1 x†
2
x 2 6x ‡ 5
x 2 ‡ 2x ‡ 3
27 lim
x!1 1 ‡ tan
x 2 1
x
5x 1
x 2 ‡ 2
ln x
cotan
5x 1
x 2 ‡2
28 Determina il valore del parametro reale a in modo che sia lim
x!a
29 Determina i valori dei parametri a e b per i quali si ha lim
x!‡1
x 2 a 2
2x 2 ax a
ae x ‡ bx 2 ‡ 1
2x 2
1
2
‰ 3Š
1
2
‰ 0Š
e 4 ‰ Š
ln 2 ‰ 5Š
e12 ‰ Š
1
4
1
e
1
e 8
‰Š e
ˆ
1
. ‰ a ˆ 0Š
2 2
ˆ 1
3 .
a ˆ 0 ^ b ˆ 2
3
30 Determina i valori dei parametri reali a e b per i quali si ha lim
x!1
ax4 3x2 ‡ b
2bx2 ˆ
3
‡ 5 4 .
31
‰ a ˆ 0 ^ b ˆ 2Š
Data la funzione f … x†
ˆ ax2 p
4
, determina i parametri a e b in modo che si abbia
bx ‡ 3
f …x† ˆ2 e f …†ˆ 1 0: ‰ a ˆ 4 ^ b ˆ 1Š
lim
x!‡1
32 Considerata la funzione f … x†
ˆ 1
3
lim
x!1
f …x† ˆ3 e lim
x!0
ax 2 3b
x 2 ‡2
, determina i parametri a e b in modo che si abbia
f …x† ˆ1 . a ˆ 1 ^ b ˆ
4
9 3

18 AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
33 Data la funzione f … x†
ˆ
8
><
>:
2x 1
x 8
1 cos ax
x 2
x < 0
, determina il valore del parametro a in modo
x > 0
esista il limite di f … x†
per x ! 0. a ˆ 1
2
34 Determina i valori dei parametri a e b per i quali si ha che lim
x!‡1 arcsin
e x‡a ‡ 7
e bx 1
ˆ 0.
‰ b > 1, a qualsiasiŠ
35 Stabilisci per quali valori reali dei parametri a, b, c si ha che:
lim x
x!‡1
4 2x2 p
‡ 7x ‡ 1 ax 2 h i
… ‡ bx ‡ c†
ˆ 0 ‰ a ˆ 1, b ˆ 0, c ˆ 1Š
36 E' data una semicirconferenza di diametro AB ˆ 2r e centro O. Preso un punto P sull'arco AM,
essendo M il punto medio dell'arco AB, siano s la retta tangente in B e t la retta tangente in P
alla semicirconferenza che si intersecano in K; siano poi H il punto di intersezione di t con la
retta AB e L la proiezione ortogonale di P su s. Posto POH d ˆ x, sia f … x†
ˆ OH KL; calcola
il limite di f … x†
per x ! . r
2 2 ‰ Š
37 Sia P il punto, oltre all'origine, in cui la parabola y ˆ x 2 incontra la retta y ˆ mx; indicata con H
la proiezione di P sull'asse x, siano Q e R rispettivamente i punti in cui la tangente e la normale
alla parabola in P intersecano l'asse x. Calcola il limite del rapporto fra le aree dei triangoli OPH
e QPR al tendere di P verso l'origine degli assi. ‰2Š
38 Sia AOB un settore circolare di ampiezza 2
3
di una circonferenza di centro O e raggio r; preso
un punto P sull'arco AB, siano H la sua proiezione sulla corda AB e K la sua proiezione sul rag-
gio OA. Calcola il limite del rapporto
PH ‡ PK
AK
al tendere di P ad A. ‰ ‡1Š
39 E' data una semicirconferenza di diametro AB ˆ 2r; una retta parallela al diametro incontra la
retta tangente in B nel punto P e la semicirconferenza in due punti dei quali K eÁ il piuÁ distante da
P. Calcola il limite a cui tende il rapporto fra le aree del triangolo ABP e del trapezio ABPK al
tendere di P verso B. 1
2
40 Data una circonferenza di centro O e raggio unitario, traccia da O una semiretta s che incontra
la circonferenza in Q. Indicato con P un generico punto di s esterno a , traccia da esso le tangenti
alla circonferenza e siano A e B i punti di tangenza. Indicata con x la lunghezza del seg-
mento PQ, calcola il limite per x !‡1del rapporto k ˆ
AQ ‡ BQ
. 2
AB
p
41 Sono dati un quadrato PQRS di lato ` e una circonferenza di centro O e raggio `
tangente al
2
lato SR del quadrato nel vertice R in modo che O si trovi sul prolungamento del lato QR dalla
parte di R. Per il punto medio B del lato SR si traccia una retta che incontra il lato PS del
quadrato in A e la circonferenza in C einD (con C piuÁ vicino a B). Calcola le misure delle
aree del triangolo SBA e del segmento circolare delimitato dalla corda CD e dall'arco CRD in
funzione dell'ampiezza x dell'angolo SBA d e valuta il limite del rapporto fra queste due aree al
tendere di x a0. ‰ 0Š

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI 19
42 Sia L un punto di una semicirconferenza di centro O e diametro AB ˆ 2r e sia K un punto di AB
tale che AL ˆ AK. Posto ABL d ˆ x, calcola in funzione di x il rapporto fra l'area del cerchio inscritto
nel triangolo ABL e l'area del triangolo ALK e determinane il limite al tendere di L ad A.
h i
2
43 Dato un quadrato ABCD di lato `, costruisci la semicirconferenza di diametro AB esterna al
quadrato; prendi poi un punto P su AB e un punto Q su AD in modo che sia PB ˆ AQ. Indicato
con K il punto della semicirconferenza la cui proiezione ortogonale su AB coincide con P, calcola
il rapporto tra l'area del triangolo PAQ e quella del triangolo KPB al tendere di P prima a B e
poi ad A. ‰ quando P ! B : ‡1; quando P ! A : 0Š
44 Sul lato AB ˆ ` del quadrato ABCD ed esternamente ad esso si costruisce un triangolo equilatero
ABE. Preso un punto P su AE e un punto Q su BC in modo che sia AP BQ, considera il
solido che si ottiene facendo ruotare il triangolo APD di una rotazione completa attorno alla
retta AD e il solido che si ottiene da una analoga rotazione del triangolo PBQ attorno alla retta
BC. Posto AP ˆ x, esprimi in funzione di x il rapporto fra i volumi dei due solidi e calcola il
limite dell'espressione ottenuta per P che tende a A. ‰0Š
45 In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, considera un punto P sull'arco OA della parabola
y ˆ x2 delimitato dall'origine O e dal punto A… 1, 1†.
Tracciata la tangente t alla parabola
in A, trova l'espressione della distanza PT del punto P dalla retta t e determina il limite del rap-
porto k ˆ PA2
PT
al tendere di P ad A. 5 5
p
46 Date due circonferenze C1 e C2 di raggio unitario tangenti esternamente in O, sia t la retta tangente
comune passante per O; preso un punto P su t, considera la circonferenza di raggio minore
avente centro in P e tangente a C1 e C2 e sia r1 il suo raggio.
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale di centro O, avente la retta t come asse
delle ordinate orientata da O verso P e la retta passante per i centri di C1 e C2 come asse delle
ascisse, considera la parabola di equazione y ˆ x2 . Sia r2 il raggio della circonferenza di centro P
e tangente a tale parabola nel suo vertice. Calcola il limite del rapporto r1 al tendere di P ad O.
r2
‰ 0Š
SUGLI ASINTOTI
47 Determina i valori dei parametri reali a, b, c per i quali la funzione f … x†
ˆ 3ax2 ‡ 2bx ‡ 8
ha
x ‡ c
come asintoto orizzontale la retta di equazione y ˆ 2 e come asintoto verticale la retta x ˆ 1.
(Suggerimento: la retta y ˆ 2eÁ asintoto orizzontale se lim f … x†
ˆ
x!1
2; la retta x ˆ 1eÁ asintoto
verticale se lim f … x†
ˆ1 e cioÁ capita solo se il denominatore si annulla per x ˆ 1)
x! 1
‰ a ˆ 0 ^ b ˆ 1 ^ c ˆ 1Š
48 Determina i valori reali dei parametri a e b in modo che la funzione f … x†
ˆ
ln x ‡ a
passi per il
x ‡ b
punto di coordinate … 1, 2†
e abbia come asintoto verticale la retta di equazione x 3 ˆ 0.
‰ a ˆ 4 ^ b ˆ 3Š
49 Determina i parametri reali a e b della funzione y ˆ ax2 ‡ 3x ‡ b
2x2 in modo che passi per l'ori-
‡ 1
gine degli assi e ammetta come asintoto orizzontale la retta y ˆ 4. ‰ a ˆ 8, b ˆ 0Š

20 AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
50 Determina i valori di a e b per i quali la funzione f … x†
ˆ
1 ax2
bx2 ha come asintoto verticale la
4
retta x ˆ 2 e come asintoto orizzontale la retta y ˆ 1. ‰ a ˆ 1, b ˆ 1Š
51 Data la funzione f … x†
ˆ ax2 ‡ bx ‡ 1
, determina i valori reali dei parametri a, b, c in modo che
cx ‡ 2
essa abbia la retta x ˆ 2 come asintoto verticale e la retta y ˆ 1 come asintoto orizzontale.
‰a ˆ 0, b ˆ 1, c ˆ 1Š
52 Determina i valori reali dei parametri a, b e c in modo che la funzione f … x†
ˆ x2 p
b
passi per i
ax ‡ c
punti A…1, 0†, B… 2, 3†
e abbia come asintoto verticale la retta di equazione 3x ‡ 2 ˆ 0.
a ˆ 3
p
3
^ b ˆ 1 ^ c ˆ
8 p
12
53 Determina i valori dei parametri reali a e b in corrispondenza dei quali la funzione
3ax ‡ b
f … x†
ˆ ln ha come asintoto orizzontale la retta di equazione y
x ‡ 2
ln 3 ˆ 0 e passa per
il punto A… 2, 0†.
‰ a ˆ 1 ^ b ˆ 2Š
54 Determina i valori reali dei coefficienti a, b, c in modo che la funzione f … x†
ˆ ax3 2x2 ‡ 5
bx2 ‡ ax c abbia
come asintoto orizzontale la retta di equazione y ˆ
zioni x ˆ 3
1 e per asintoti verticali le rette di equa-
p . ‰ a ˆ 0, b ˆ 2, c ˆ 6Š
55 Data la funzione f … x†
ˆ log
ax
2
2 ‡ bx ‡ c
, determina i valori reali dei coefficienti a, b, c in mo-
x ‡ 4
do che f … x†
abbia per asintoto orizzontale destro la retta di equazione y ˆ 1 e passi per il punto
A… 1, 0†.
‰ a ˆ 0, b ˆ 2, c ˆ 3Š
56 Data la funzione f …x† ˆ 3x ‡ b ‡ x2 p
ax
4
, determina i valori reali dei parametri a e b in modo
che f … x†
ammetta la retta y ˆ 1
come asintoto orizzontale sinistro e passi per il punto di coor-
2
dinate … 2, 1†.
Qual eÁ in questo caso l'equazione dell'asintoto orizzontale destro?
‰ a ˆ 4, b ˆ 2, y ˆ 1Š
57 Determina i parametri reali a, b, c per i quali la funzione f …x† ˆ bx2 ‡ sin ax
x ‡ cx2 ammette la retta
y ˆ 2 come asintoto orizzontale, passa per il punto di coordinate … ,1†
ed eÁ lim f …x† ˆ
x!0 3 .
‰ a ˆ 3, b ˆ 2, c ˆ 1Š
58 Determina i valori reali dei parametri a, b, c per i quali la funzione f …x† ˆ ax2 p
‡ 2x ‡ 1
non eÁ
bx ‡ c
definita in x ˆ 0, ha come asintoto orizzontale destro la retta y ˆ 4 e passa per il punto di coor-
dinate … 1, 0†.
a ˆ 1, b ˆ 1
, c ˆ 0
4
59 Determina i valori dei parametri reali a e b in corrispondenza dei quali la funzione
f … x†
ˆ ax3 4
x2 bx ‡ 1
ha come asintoto obliquo la retta di equazione 2x y ‡ 1 ˆ 0.
a ˆ 2 ^ b ˆ 1
2

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI 21
60 Determina i valori di a edib in modo che la funzione f … x†
ˆ 3ax2 2
ammetta come asintoto
x ‡ b
obliquo la retta di equazione y ˆ 9x 27. ‰ a ˆ 3, b ˆ 3Š
61 Determina i valori dei parametri reali a, b, c per i quali la funzione y ˆ ax3 ‡ bx2 ‡ cx ‡ 1
am-
x ‡ 1
mette come asintoto obliquo la retta y ˆ 2x.
‰ a ˆ 0, b ˆ 2, c ˆ 2Š
62 Determina i valori reali dei parametri a, b, c in modo che la funzione f … x†
ˆ ax2 ‡ bx
passi per il
x ‡ c
punto P…1, 0†, abbia come asintoto verticale la retta di equazione x ‡ 2 ˆ 0 e come asintoto obliquo
una retta di coefficiente angolare 3. ‰ a ˆ 3, b ˆ 3, c ˆ 2Š
63 Trova i valori reali dei parametri a, b, c in modo che la funzione f … x†
ˆ x a2x2 p
bx ‡ c
1
abbia come
asintoto obliquo destro una retta di coefficiente angolare 2, come asintoto verticale la retta
2x 1 ˆ 0 e intersechi l'asse x, oltre che nell'origine, nel punto di ascissa 1. Quali sono le equazioni
degli asintoti obliqui delle funzioni ottenute?
a ˆ 1, b ˆ 1
, c ˆ
2
1
_ a ˆ
4
1, b ˆ
1
, c ˆ
1
; asintoti: y ˆ 2x ‡ 1, y ˆ
2 4
2x 1
64 Considerata la funzione f … x†
ˆ logb… ax ‡ b†‡
c, determina i valori reali dei parametri in essa
contenuti in modo che f … x†
abbia come asintoto verticale la retta x ‡ 3 ˆ 0, passi per il punto
di coordinate … 0, 5†
e sia monotoÁ na crescente.
f … x†
ˆ logb 1
x ‡ 1
3
‡ 5, b > 1
65 Considerata la funzione f … x†
ˆ ax3 ‡ x2 ‡ c
bx2 stabilisci:
c
a. in quali condizioni esiste asintoto orizzontale ‰ a ˆ 0 ^ b 6ˆ 0Š
b. in quali condizioni esiste asintoto obliquo ‰ a 6ˆ 0 ^ b 6ˆ 0Š
c. in quali condizioni la funzione non ha asintoti ‰ a ˆ 0 ^ b ˆ 0 ^ c 6ˆ 0Š
d. per quali valori dei parametri la funzione ha come asintoto obliquo la retta 3x 2y ‡ 1 ˆ 0e
interseca l'asse x nel punto di ascissa 1. ‰ a ˆ 3, b ˆ 2, c ˆ 4Š
2x
66 Considerate le due funzioni f … x†
ˆ
4 p
‡ 7
ax2 ‡ bx ‡ c
7x
e g… x†
ˆ
4 p
‡ 2
cx2 , determina per quali
‡ bx ‡ c
valori dei parametri a, b, c sono verificate contemporaneamente le seguenti condizioni:
entrambe le funzioni hanno lo stesso asintoto orizzontale
la funzione f … x†
ha un solo asintoto verticale
si ha che f …†ˆ 0 7
p .
In queste ipotesi, quanti sono gli asintoti verticali della funzione g… x†?
a ˆ 2
" r r
#
4
, b ˆ 2
2
, c ˆ 1; g… x†
non ha asintoti verticali
7 7
67 Considerate le funzioni f … x†
ˆ log3 …x2 ‡ a†
x2 ‡ b
e g… x†
ˆ
cx
x2 p , determina i valori reali dei pa-
‡ b
rametri a, b, c in modo che siano verificate le seguenti condizioni:
f …2† ˆ 1
p g…2†
3
g… x†
abbia come asintoto orizzontale destro la retta y ˆ 1
f …x† abbia come asintoto verticale la retta x ˆ 1. ‰a ˆ 5, b ˆ 1, c ˆ 1Š

22 AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
68
ln … 2x ‡ 3†
Data la funzione f … x†
ˆ
ln x3 … 1†
2x2 p
‡ 1
ax2 con
‡ bx 2
>0, determina i valori dei parametri
reali che in essa compaiono in modo che:
lim
x! 2
p f …x† ˆ1
abbia come asintoto orizzontale la retta y ˆ 2
. ˆ 2, a ˆ 0, b ˆ 2
3 p
INFINITI E INFINITESIMI
Dopo aver verificato che le seguenti funzioni sono infinitesime, stabilisci se sono confrontabili.
69 f … x†
ˆ 5x ‡ x2 p p
‡ 1
2x ‡ 3
g… x†
ˆ 7 5x per x !‡1
f … x†
infinitesimo inferiore a g… x†
70 f … x†
ˆ 0,3 2x
g… x†
ˆ 9x2 ‡ 1 ‡ 6x
3x3 per x !‡1
f … x†
infinitesimo superiore a g… x†
71 f … x†
ˆ 2 sin x x2 ‡ x g… x†
ˆ cos x ‡ sin x 2x3 1 per x ! 0
‰ infinitesimi dello stesso ordineŠ
p
72 f … x†
ˆ 1 ‡ cos x
p
2
g… x†
ˆ x ‡ tan x per x ! 0
f … x†
infinitesimo superiore a g… x†
73 f … x†
ˆ…1 sin x†tan x g… x†
ˆ cos x per x !
2
‰ infinitesimi dello stesso ordineŠ
Determina l'ordine dei seguenti infinitesimi.
74 f … x†
ˆ
3
x2 p per x !‡1 ‰ 1Š
1
75 f … x†
ˆ x3 3p
1
76 f … x†
ˆ
x sin x
x ‡ sin x
x per x !‡1 ‰ 2Š
per x ! 0 ‰2Š
77 f … x†
ˆ e2x 1 per x ! 0 ‰ 1Š
Stabilisci per quale valore del parametro reale positivo k le seguenti funzioni sono infinitesime di
78
ordine n per x ! x0 in ciascuno dei seguenti casi.
f … x†
ˆ … 2x 3†
k
q
per x ! 3
e
2
n ˆ 2 ‰ k ˆ 4Š
79 f … x†
ˆ sin k x e3x … ‡ 1†
per x ! 0 e n ˆ 3 ‰ k ˆ 3Š
80 f … x†
ˆ tankx 1 ‡ cos2x per x ! 0 e n ˆ 4 ‰ k ˆ 2Š
81 f … x†
ˆ
1
x2k 2x
per x !1 e n ˆ 6 ‰ k ˆ 3Š

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI 23
Dopo aver verificato che le funzioni f … x†
e g… x†
sono degli infiniti, stabilisci se sono confrontabili.
82 f … x†
ˆ ln 3x ‡ 4 g… x†
ˆ 2x2 p
5
‡ 1
per x !1
83 f … x†
ˆ
cos x
x
g… x†
ˆ
sin x
x2 f … x†
infinito inferiore a g… x†
per x ! 0
‰ infiniti dello stesso ordineŠ
84 f … x†
ˆ x2 … 2†tan
x g… x†
ˆ x2 ‡ 2 per x !1
‰ infiniti non confrontabiliŠ
85 f … x†
ˆ … x 1†ln
2 x g… x†
ˆ x2 per x !1
86 f … x†
ˆ x5 p
1
… x 2†
2 g… x†
ˆ x3 ‡ x 1
x2 4
Determina l'ordine dei seguenti infiniti.
87 f … x†
ˆ
88 f … x†
ˆ
2x ‡ 7
x 1
89 f … x†
ˆ
tan x
1 sin x
1
… 1 sin x†
2 per x !
2
per x ! 2
f … x†
infinito inferiore a g… x†
f … x†
infinito superiore a g… x†
per x ! 1 ‰ 1Š
per x ! 2
90 f … x†
ˆ
10 x
x5 ‡ x3 per x ! 0 ‰ 3Š
91 f … x†
ˆ x2 p
‡ 3x ‡ 9 x 3
per x !1 ‰ 3Š
92 f … x†
ˆ ln x
1
x
per x ! 0 ‡
‰ 4Š
‰ 3Š
‰ 1Š

AREA 1:
FUNZIONI E LIMITI
LA CONTINUITAÁ DELLE FUNZIONI
Per ricordare
3
H Una funzione f … x†
definita in un insieme D eÁ continua in un punto x0 di accumulazione per D se
f … x†
ˆ f … x0†.
lim
x!x 0
Quindi per vedere se una funzione eÁ continua si deve:
calcolare f … x0†
calcolare lim
x!x0
f … x†
verificare che i due valori trovati coincidano.
Se due funzioni f … x†
e g… x†
sono continue nel punto x0, allora sono continue in x0 anche le funzioni:
f … x†
e f … x†
f … x†
g… x†
f … x†
g… x†
e in particolare k f … x†
e ‰ f … x†
Š n
f … x†
g… x†
e in particolare
1
g… x†
se g…x0† 6ˆ 0
In conseguenza di cioÁ sono continue nel loro insieme di definizione:
le funzioni polinomiali
le funzioni razionali fratte
le funzioni logaritmiche ed esponenziali
le funzioni goniometriche fondamentali
le funzioni composte se sono continue tutte le funzioni componenti.
H Se una funzione non eÁ continua in un punto x0 si dice che x0 eÁ un punto di discontinuitaÁ o anche che eÁ
un punto singolare.
I punti di discontinuitaÁ si possono classificare con il seguente criterio:
discontinuitaÁ di prima specie se il limite sinistro e il limite destro sono finiti ma diversi:
lim
x!x 0
f … x†
ˆ `1 ^ lim
x!x
‡
0
f … x†
ˆ `2 con `1 6ˆ `2
discontinuitaÁ di seconda specie se almeno uno dei due limiti dalla sinistra o dalla destra eÁ infinito o
non esiste:
lim
x!x 0
f … x†
ˆ1 _ lim
x!x
‡
0
f … x†
ˆ1 _ 69 lim
x!x0
f … x†

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI 25
discontinuitaÁ di terza specie o eliminabile se esiste finito il limite per x ! x0 ma tale valore eÁ diverso
da quello assunto dalla funzione o se la funzione non esiste in x0:
lim
x!x 0
f … x†
6ˆ f … x0†
H Per le funzioni continue valgono alcune proprietaÁ fondamentali che sono enunciate dai seguenti teoremi:
Teorema di Weierstrass. Se una funzione f … x†eÁ
continua in un intervallo chiuso e limitato ‰ a, bŠ,
essa
eÁ limitata in tale intervallo ed esiste almeno un punto appartenente ad ‰ a, bŠ
in cui assume il suo valore
massimo ed almeno un punto in cui assume il suo valore minimo.
Teorema di esistenza degli zeri. Se una funzione f … x†
eÁ continua in un intervallo chiuso e limitato
‰ a, bŠ
esef… a†
e f … b†
hanno segno opposto, allora esiste almeno un punto c 2 … a, b†
nel quale
la funzione si annulla.
ESERCIZI
Stabilisci per quali valori reali dei parametri che in esse compaiono le seguenti funzioni sono continue
nel loro insieme di definizione.
cos x 1 x 0
1 f …x† ˆ eax 8
><
>:
‡ b
ln x
0 < x < 1
x 1
‰ a ˆ 0, b ˆ 1Š
8
><
3a sin x ‡ b x <
2
2 f …x† ˆ b cos x ‡ 2
>:
x
2
x
x <
x
3 f …x† ˆ
2 p
4 x 2
ax2 8
><
2x
>:
b log2… x
3
1†
2 < x < 3
x 3
h i
a ˆ , b ˆ 2
3
a ˆ 1
, b ˆ
45
4 4
4 Dopo averne determinato il dominio, calcola il valore del parametro a per il quale la funzione
e
f … x†
ˆ
x 8
< 1
x > 0
sin 2x
eÁ continua in x ˆ 0. a ˆ
:
a…x ‡ 2† x 0
1
4
5 Determina per quali valori dei parametri reali a e b eÁ
8
< 0 x ˆ 0
continua in x ˆ 0 la funzione
f …x† ˆ
:
x 6ˆ 0
. ‰ 8a 2 R ^ b ˆ 0Š
x3 bx
ax2 x2 j xj

26 AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
6 Trova i punti di discontinuitaÁ della funzione f … x†
ˆ ln sin 2 x e classificali.
7
x
Studia la continuitaÁ della funzione f … x†
ˆ
‰ x ˆ k , seconda specieŠ
4 x
16
2 x
4
x 6ˆ 2
3 2
x ˆ 2
x 8
><
>:
x ˆ 2
classificando le eventuali discontinuitaÁ . ‰ continua in x ˆ 2, disc. eliminabile in x ˆ 2Š
8 Studia i punti di discontinuitaÁ delle seguenti funzioni:
a. f … x†
ˆ
jx ‡ 2j
x ‡ 2
e 1
x 1 ‰ x ˆ 1 : seconda specie; x ˆ 2 : prima specieŠ
jsin xj
b. f … x†
ˆ p
1 cos x
‰ x ˆ 2k : terza specie (eliminabile) Š
e
c. f … x†
ˆ
x 2 8
><
5
>: sin… x
x
3†
3
x < 3
x ˆ 3
x > 3
ln…jxj 2†
x…x ‡ 2†
x <
2
‰ x ˆ 3 : prima specieŠ
2 _ x > 2
x 0
9 Studia i punti di discontinuitaÁ della funzione f …x† ˆ x2 8
><
>:
sin x
5
0 < x
1 < x
1
2
.
x
10 Data la funzione f …x† ˆ
2 8
< x 0
x
:
x ‡ 2
1
x <
x < 0
1
‰ x ˆ 0 : continua, x ˆ 1 : prima specie, x ˆ 2 : seconda specieŠ
verifica che f …x† eÁ continua e tracciane il gra-
fico. A partire da esso, costruisci poi i grafici di:
a. y ˆ f …x† b. y ˆ f …jxj† c. y ˆ f …x†‡1
d. y ˆ f …x ‡ 1† e. y ˆ 2f …x† f. y ˆ f …2x†.
x ‡ 2 x 4
11 Determina il valore reale di a per il quale la funzione f … x†
ˆ ax2 8
<
:
x
8
x > 4
eÁ continua in
x ˆ 4; posto poi a ˆ 1, determina il tipo di discontinuitaÁ che si presenta nello stesso punto.
‰ continua per a ˆ 2, discontinuita di prima specie se a ˆ 1Š
5
12 Considerata la funzione f … x†
ˆ
3 x x 1
ax ‡ b
x
1 < x < 3
2 8
><
>: p
9 x 3
determina i valori dei parametri reali
a e b per i quali f … x†
eÁ continua in x ˆ 1 e presenta una discontinuitaÁ di prima specie con salto
uguale a 4 in x ˆ 3.
a ˆ 21
2
, b ˆ 71
2
; a ˆ
29
, b ˆ
79
2 2
13 Determina il valore del parametro reale c in modo che la funzione f … x†
ˆ x j j 1
x2 abbia in x ˆ 1
j cj
einxˆ 1 una discontinuitaÁ di prima specie con salto uguale a 1. ‰ c ˆ 1Š

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI 27
14 Determina i valori dei parametri reali a e b (con a > 0) in modo che i punti x ˆ 3ex ˆ 1 siano
discontinuitaÁ di seconda specie per la funzione f … x†
ˆ
4 x2 x2 j ‡ axj‡
b .
‰ a ˆ 5, b ˆ 6 _ a ˆ 2, b ˆ 3Š
15 Stabilisci per quali valori dei parametri reali a e b risulta continua e inoltre passa per il punto di
coordinate … 0, 4†
la funzione f … x†
ˆ
8
<
:
a
‡ 2b 1 x 0
1 x
b ln… x ‡ 1†‡
2a x > 0
. ‰ a ˆ 2, b ˆ 1Š
16 Stabilisci per quale valore del parametro reale a risulta continua la funzione di equazione
jx 3j‡ax j 2j
x 0
y ˆ
x2 (
p
. a ˆ
‡ 4
x < 0
1
17
2
e
Stabilisci per quale valore del parametro reale a la funzione f … x†
ˆ
x 8
< 1
‡ a x 6ˆ 0
x si
:
2a 1 x ˆ 0
puoÁ prolungare con continuitaÁ nell'origine e determina, in corrispondenza di tale valore, se
f … x†
possiede asintoto orizzontale e qual eÁ la sua equazione. ‰ a ˆ 2, asintoto orizz. sinistro y ˆ 2Š
18 Trova il valore del parametro reale a in modo che abbia una discontinuitaÁ eliminabile in x ˆ 0la
funzione f … x†
ˆ
8
><
>:
e ax 1
x
ln… 1 ‡ 2x†
e3x 1
x < 0
x > 0
. a ˆ 2
3
19 Stabilisci, motivando adeguatamente la risposta, se eÁ continua in x ˆ 2 la funzione
x
f … x†
ˆ
2 8
>< 4
x 6ˆ 1 ^ x 6ˆ 2
jx2j… x 1†
>:
0 x ˆ 2
. Traccia poi il grafico di f … x†
e determinane il co-
dominio. ‰ non continua in x ˆ 2, codominio: … 1, 4†[
… 1, ‡1†
Š
20 Trova i valori dei parametri reali a e b per i quali risulta continua su tutto R la funzione
2 sin x x
2
f … x†
ˆ a sin x ‡ b
2 < x < 8
><
>: cos x x
. Dopo averne costruito il grafico, determina il massimo
2
2
e il minimo assoluti della funzione. ‰ a ˆ 1, b ˆ 1, minimo ass. 2, massimo ass. 2Š
21 Considerata la funzione f … x†
ˆ
1 ‡ xa … † 1
x2 8
>< b
x < 0
x ˆ 0
cotan x
… 1 ‡ tan x†
0 < x
>:
cex … e 4 †
sin x cos x
x > 4
4
determina per quali valori
dei parametri reali a, b, c essa eÁ continua. a ˆ 2, b ˆ e, c ˆ 2 2
p e 4

28 AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
22 Verifica se le seguenti funzioni soddisfano il teorema degli zeri negli intervalli indicati e determina
i punti di tali intervalli in cui f x
… † ˆ 0.
a. f … x†
ˆ 3x3 2x2 ‡ 2x 3 in 1
,
3
2 2
‰ x ˆ 1Š
b. f … x†
ˆ 3x3 19x2 18x ‡ 8 in ‰ 0, 3Š
x ˆ 1
3
c. f … x†
ˆ log3 x2 … 9†
3x ‡ 16 in ‰ 4, 6Š
f … 4†
f … 6†
> 0
23 Dimostra, utilizzando un opportuno teorema, che l'equazione etan2x ‡
5
ammette alme-
h i ln … sin x†
no una soluzione nell'intervallo , .
6 3
24
h i
Dimostra, utilizzando un opportuno teorema, che nell'intervallo 0, la funzione di equazione
2
y ˆ e sin x p
‡ x cos x ln… x ‡ 3†
interseca l'asse delle ascisse almeno una volta.
25 Data la funzione f … x†
ˆ jx2 9j
bx ‡ c
a 0
x
x < 4
4
determina in quali ipotesi l'equazione
f … x†
ˆ 0 ammette almeno una soluzione nell'intervallo ‰ 3, 5Š
in base al teorema degli zeri ed
inoltre eÁ f …†ˆ 4 1; posto poi b ˆ 2, determina le soluzioni che appartengono a questo intervallo.
a ˆ 8, b > 1, c ˆ 1 4b;
per b ˆ 2 : x ˆ 9
2
3
4
2
5
26 Trova una funzione f … x†continua
nell'intervallo ‰ 0, 1Šche
ammette infiniti zeri positivi minori di
h i
1 e uno zero in x ˆ 0. esempio: f … x†
ˆ x sin
2x 1
27 Usando in modo opportuno il teorema degli zeri, dimostra che la funzione f … x†
ˆ e x sin x possiede
infiniti zeri. Dimostra poi che la funzione f … x†
ˆ e x ‡ sin x possiede infiniti zeri per x > 0
e nessuno zero per x < 0.
(Suggerimento: sfrutta il fatto che sin x eÁ una funzione periodica e che e x 1 per x 0)
Dopo aver tracciato i grafici delle funzioni assegnate, verifica che soddisfano le ipotesi del teorema
di Weierstrass e determinane massimo e minimo assoluti.
x
28 f … x†
ˆ
2 p
‡ 3x 0 x < 3
x ‡ 3
x
3 x 5
2 8
><
>:
10x ‡ 23 5 < x 7
‰massimo ˆ 2; minimo ˆ 2Š
29 f … x†
ˆ
8
><
>:
8
><
30 f … x†
ˆ
>:
p
x 2 4x
2 x < 0
5
x 0 x 4
4
5 x2 p
‡ 12x 32 4 < x 7
2x2 4x 2 x 0
x2 p
‡ 2x 0 < x < 1
5x 2 ‡ 20x 16 1 x 2
‰ massimo ˆ 5; minimo ˆ 2Š
‰ massimo ˆ 4; minimo ˆ 1Š

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI 29
31 Stabilisci se la funzione f … x†
ˆ
1 x2 p
1 x < 0
e x 8
><
>: p
1 ‡ ln x
0 x
1 < x
1
e
soddisfa le ipotesi del teorema di
Weierstrass; in caso contrario modifica la definizione della funzione in modo che il teorema sia
applicabile.
32 Determina il valore
sin ax
f … x†
ˆ x
x
del parametro a in modo che la funzione
x < 0
2 8
<
:
j 3x ‡ 2j
verifichi le ipotesi del teorema di
x 0
Weierstrass nell'intervallo ‰ ,4Š.
Considerato che il grafico di questa
funzione nell'intervallo ‰ ,0†
eÁ quello in figura, tracciane il grafico completo
in ‰ ,4Š
e determina poi il minimo e il massimo assoluti di f … x†.
a ˆ 2; minimo assoluto in x 2,25 : f … 2,25†
0,43; massimo assoluto in x ˆ 4 : f … 4†
ˆ 6
33 Considerata la funzione f … x†
ˆ 1 x2 (
lnjxj i suoi zeri
il segno della funzione
i limiti agli estremi del dominio.
jxj < 1
jxj 1
Costruiscine il grafico e studia la continuitaÁ .
determina:
34 Sia f … x†
ˆ e x a cos … x 1†
0 x
1 < x
1
2
; determina il valore del parametro reale a in modo
che f … x†
soddisfi le ipotesi del teorema di Weierstrass e trovane poi il massimo e il minimo
assoluti.Costruisciquindiilgraficodif… x†.
a ˆ e 1 ; minimo: e 1 , massimo: 1
35 Di una funzione f … x†
si sa che:
ha dominio D : … 1, 5†[
… 5, ‡1†
la sua espressione eÁ una frazione che ha un radicale quadratico al denominatore e un polinomio
al numeratore
ha come asintoto orizzontale sinistro la retta y ‡ 2 ˆ 0 e come asintoto orizzontale destro la
retta y 2 ˆ 0.
Scrivi una possibile espressione di f … x†.
esempio: f … x†
ˆ
2x ‡ 1
x2 p
25
36 Di una funzione f … x†
si sa che:
ha dominio D : … 1, 1†[
… 1, 4†[
… 4, ‡1†
ha come asintoto orizzontale la retta y ˆ 3
interseca l'asse y nel punto di ordinata 1
ha come asintoto verticale la retta x ˆ 1 ma la retta x ˆ 4 non eÁ un asintoto.
Scrivi una possibile espressione di f … x†.
esempio: f … x†
ˆ 3x2 x
13x ‡ 4
2 3x 4
37 Di una funzione f … x†
si sa che:
ha dominio D : … 1, 1†[
… 1, ‡1†
ha come asintoto orizzontale l'asse x e come asintoto verticale la retta x ˆ 1

30 AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
passa per l'origine
eÁ positiva per x < 0 _ x > 1 e negativa altrove.
Scrivi una possibile espressione di f … x†.
esempio: f … x†
ˆ x
x3 h i
1
38 Determina l'equazione di una funzione che soddisfa le seguenti proprietaÁ :
sia simmetrica rispetto all'asse y
ammetta come asintoto orizzontale la retta y ˆ 4
ammetta come asintoti verticali le rette x ˆ 1ex ˆ
assuma il valore 2 per x ˆ 0.
1
esempio: f … x†
ˆ 4x2 x
2
2 1
39 Determina l'equazione di una funzione che soddisfa le seguenti proprietaÁ :
ha dominio D : … 1, ‡1†
la sua espressione eÁ una frazione che ha un'esponenziale di base e al numeratore e un radicale
quadratico al denominatore
ha asintoto verticale destro di equazione x ˆ
eÁ sempre positiva nel suo dominio.
1
esempio: f … x†
ˆ ex‡1
p
x ‡ 1
Risultati di alcuni esercizi.
10. Grafico di f …x†
a. Grafico di f …x† b. Grafico di f …jxj† c. Grafico di f …x†‡1 d. Grafico di f …x ‡ 1†
e. Grafico di 2f …x† f. Grafico di f …2x† .

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI 31
19. 20. 28.
29. 30. 32.
33. 34.

AREA 1:
FUNZIONI E LIMITI
LE SUCCESSIONI
4
H Una successione eÁ una funzione che ha come dominio l'insieme N dei numeri naturali. I suoi termini si
possono rappresentare:
3n 1
mediante il suo termine generale an espresso in funzione di n; per esempio an ˆ
2n ‡ 3
mediante una formula ricorsiva definita in questo modo
a0 ˆ valore del primo termine della successione
; per esempio
an ˆ regola che esprime an in funzione di an 1
H Una successione puoÁ essere:
a0 ˆ 2
an ˆ 3an 1 ‡ 1
convergente se lim
n!‡1
an ˆ `
cioeÁ se 8" >0 esiste un indice tale che, 8n > , sia jan`j

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI 33
1
2
3
4
5
ESERCIZI
Verifica che le successioni definite in modo ricorsivo da ciascuna delle seguenti espressioni non sono
ne convergenti ne divergenti.
a0 ˆ 2
an ˆ… 1† n (
a0 ˆ 0
an 1
an ˆ… 1† n cos an 1 2
a0 ˆ 1
an ˆ … 1†
n …an 1† 2
8
< a0 ˆ 3
: an ˆ
1
an 1
a0 ˆ 1
2
an ˆ an 1 ‡ … 1†
n
8
<
:
n
6 Determina le caratteristiche dell'insieme numerico I ˆ x 2 R j x ˆ 2n2 ‡ 1
2n ‡ 1
, con n 2 N .
n 1
7 Individua i punti di accumulazione degli insiemi C ˆ x 2 R j x ˆ , n 2 N e
n ‡ 1
D ˆ x 2 R j x ˆ n
p
2n , n 2 N0 .
8 Data la successione
a0 ˆ 2
p , determinane il carattere. ‰ converge a zeroŠ
an ˆ an 1
9 Verificare che diverge a 1 la successione definita dalla formula ricorsiva
a0 ˆ 3
an ˆ 3an 1
10 Data la successione 1, 3, 5, 7, .... scrivi l'espressione di an in funzione di an 1 e definisci ricorsivamente
la successione; successivamente, se possibile, scrivi l'espressione di an in funzione di n e
determinane il carattere. a0 ˆ 1
an ˆ an 1 ‡ 2 ; an ˆ 2n ‡ 1, n 2 N; divergente
11 Data la successione 0, 1, 3, 6, 10, 15, .... scrivi l'espressione di an in funzione di an 1 e definisci
ricorsivamente la successione; successivamente, se possibile, scrivi l'espressione di an in funzione
di n e determinane il carattere. a0 ˆ 0
an ˆ an 1 ‡ n ; an
nn‡ … 1†
ˆ , n 2 N; divergente
2
12 Considera la successione definita in modo ricorsivo dalla seguente formula
a1 ˆ 0
an ˆ 3an 1 ‡ 2
per n 2. Stabilisci se la successione fbng definita ponendo bn ˆ an ‡ 1 … n > 0†
eÁ una progressione
geometrica; esprimi bn in funzione di n e stabilisci il carattere delle due successioni.
bn ˆ 3 n 1 , entrambe divergenti
.

34 AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
13
a0 ˆ 2
Data la successione definita per ricorrenza dalla formula
an ˆ a2 8
<
: n 1 ‡ 2
2an 1
a. mostra che an > 2
:
p
b. mostra che la successione eÁ decrescente
c. usa il teorema della monotonia per stabilire il carattere della successione
d. dimostra che lim
n!‡1 an ˆ 2
p 14
.
a0 ˆ x
Scrivi i primi quattro termini della successione an‡1 ˆ 1
(
; stabilisci poi se per x ˆ 1la
2 ‡ an
successione converge e, in caso affermativo, calcolane il limite anche in modo approssimato.
(Suggerimento: si tratta della successione delle frazioni continue) 2
p
1
15 Verifica che la successione definita ricorsivamente dalla formula
a0 ˆ x, a1 ˆ y
an‡1 ˆ an ‡ … an an 1†
n‡1
n
con x, y 2 R converge quando jxyj < 1, diverge se jxyj > 1 oppure se y x ˆ 1, eÁ indeterminata
se x y ˆ 1.
Nel caso in cui la successione converge, dimostra che lim
n!‡1 an ˆ x2 xy ‡ y
x y ‡ 1 .
16 Considerata la successione definita in modo ricorsivo dalla formula
8
><
a0 ˆ 1
an‡1 ˆ sin … an†
>:
an‡1 ˆ cos … an†
per n pari
per n dispari
verifica, servendoti anche di una calcolatrice, che si tratta di una successione oscillante fra i due
valori limite p ˆ 0,768169 e q ˆ 0,6948197.
Verifica inoltre che arcsin p ˆ cos q e arccos q ˆ sin p.
17 Sia ABC un triangolo equilatero di lato unitario. Costruisci la successione dei triangoli inscritti
ciascuno nel precedente che hanno vertici nei punti medi dei lati del triangolo precedente.
a. Stabilisci che tipo di successione si ottiene considerando le aree di tali triangoli e determinane
il carattere.
b. Calcola la somma dei primi n termini di tale successione e calcolane poi il limite per n !‡1.
progressione geometrica di ragione q ˆ 1
4 , termine iniziale a1 ˆ 3
p
4 ;
la successione converge a 0; Sn ˆ 3
p
1
1
3 4n 2
3
6
7
6
7
6
p
7
6
7
4
3 5
, limite:
3
18 Sia Q0 un quadrato di lato unitario; costruisci la successione dei quadrati inscritti ciascuno nel
precedente e aventi i vertici nei punti medi dei lati del quadrato precedente. Dopo aver trovato
l'espressione della lunghezza del lato di ciascuno di tali quadrati:
a. verifica che si tratta di una successione geometrica e determinane il carattere
b. calcola la somma dei primi n termini della successione dei perimetri di tali quadrati e determinane
il limite per n !‡1.
converge a 0; 4 2 ‡ 2
p
h i
19 In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di centro O eÁ dato il punto
a 3
A0 p
3 , a (con a > 0). Siano A1 la proiezione di A0 sull'asse x, A2 la proiezione di A1 sulla
retta OA0, A3 la proiezione di A2 sull'asse x e cosõÁ di seguito i punti Ai si ottengono proiettando

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI 35
alternativamente quello immediatamente precedente sull'asse x e sulla retta OA0; si ottiene in
questo modo la spezzata
all'asse x.
:A0A1A2A3::::::: nella quale i vertici di indice dispari appartengono
a. Dimostra che le lunghezze dei lati di
`n della spezzata.
sono in progressione geometrica e calcola la lunghezza
" " # #
n
`n ˆ 2a 1
1
2
b. Determina il limite a cui tende `n al tendere di n all'infinito. ‰ 2aŠ
20 In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine O eÁ dato il punto Pa, … a†
(con a > 0). Considerato il quadrato Q0 che ha un vertice in P e le cui diagonali si intersecano in
O, inscrivi in esso il cerchio C0; nel cerchio inscrivi il quadrato Q1 con i lati paralleli a Q0, inQ1
inscrivi il cerchio C1 e cosõÁ via. Ottieni cosõÁ la successione di quadrati Q0, Q1, Q2, ..... e quella dei
cerchi C0, C1, C2, ..... Dimostra che le successioni dei perimetri, delle aree dei quadrati, delle lunghezze
delle circonferenze e delle aree dei cerchi sono convergenti e trova il limite a cui tende la
somma dei termini di ciascuna di esse.
8a 2 ‡ 2
p ;8a 2 ;2 a 2 ‡ 2
p ;2 a 2
h i
21 In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine O, una retta r passa per
il punto A…0, 1† e eÁ l'angolo che essa forma con semiasse positivo delle ascisse, con 0
2 .
Sia Bn il punto sulla retta r che dista n2 p
‡ 1 da A e sia Cn il punto del segmento ABn che soddisfa
la condizione ACn : ABn ˆ 1 : n. Indicate con C0 n e B0n rispettivamente le proiezioni di Cn e Bn sul-
l'asse delle ascisse, calcola, al variare di , il limite della successione fang dove an ˆ OB0n OC 0 n
n
n .
‰ ˆ 0 : an ˆ 1; 6ˆ 0 : an !‡1Š
22 Data la funzione f …x† ˆ 2x
x ‡ 2 e preso un punto Pn…xn, f …xn†† sul suo grafico, proiettalo sull'asse
y ottenendo il punto Qn. Sia Hn il simmetrico di Qn rispetto alla retta y ˆ x e sia Pn‡1 il punto del
grafico di f che ha la stessa ascissa di Hn.
a. Calcola l'ascissa xn‡1 di Pn‡1 in funzione di xn ottenendo una successione data per ricorrenza.
xn‡1 ˆ 2xn
xn ‡ 2
b. Posto x0 ˆ 3, stabilisci se la successione precedente converge e calcola l'eventuale limite.
(Suggerimento: mostra che la successione eÁ decrescente, limitata inferiormente dal valore 0;
questo garantisce la convergenza. Il valore del limite, che esiste, si calcola imponendo che
lim
n!‡1 an‡1 ˆ lim
n!‡1 an) lim
n!‡1 xn
h i
ˆ 0
23 In un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali di centro O eÁ data la circonferenza
di raggio unitario e centro O. Sia A0 un punto di tale circonferenza appartenente al primo quadrante;
il punto A1 si ottiene ruotando il raggio OA0 di un angolo (in radianti) pari all'ascissa di
A0; il punto A2 si ottiene ruotando il raggio OA1 di un angolo (in radianti) pari all'ascissa di A1 e
cosõÁ via. Determina la posizione sulla circonferenza del punto limite della successione giustificando
il risultato ottenuto. ‰ punto limite: A… 0, 1†
Š
24 Siano C1 e C2 le due circonferenze di equazioni:
C1 : … x 1†
2 ‡y2 ˆ 1 C2 : … x ‡ 1†
2 ‡y2 ˆ 1
Considerato un punto A1 su C1 si definisce il punto A2 come il punto di intersezione del cerchio
C2 con la semiretta che ha origine nel centro di C2 e passante per A1. Allo stesso modo si definisce
A3 come il punto di intersezione del cerchio C1 con la semiretta che ha origine nel centro di
C1 e passante per A2.

36 AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Continuando con questa procedura si determina una successione di punti tali che A2n‡1 appartiene
a C1 e A2n appartiene a C2.
Stabilisci se questa successione converge e, in caso affermativo, trovane il limite.
(Suggerimento: le ascisse dei punti di indice dispari sono date dall'espressione
p
1 ‡ x2n 1 2 1 ‡ 4x2n 1
x2n‡1 ˆ q
p ;
5 ‡ 20x2n 1 41‡ … x2n 1†
1 ‡ 4x2n 1
per n !‡1tale espressione tende a zero, e quindi la successione converge nell'origine)