TEORIA DELLA FUNZIONE D'ONDA UNIVERSALE Questo tipo di ...

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 1
TEORIA DELLA FUNZIONE D’ONDA UNIVERSALE
Questo tipo di formulazione della meccanica quantistica è stata introdotta da Everett,
il quale credeva fermamente nella validità assoluta dell’equazione di Schrödinger
e contemporaneamente sentiva l’esigenza di fondare una cosmologia quantistica.
Se si vuole dare una descrizione quantomeccanica dell’universo,
anche tralasciando le critiche che abbiamo formulato,
certamente non si può ricorrere all’interpretazione d’ensemble
poiché non ha senso considerare un ensemble di universi.
Riprendiamo ciò che succede secondo l’equazione di Schrödinger
quando ha luogo la nostra misurazione.
Per abbreviare la scrittura diciamo che l’universo coincide con S + A,
dove A contiene in particolare l’apparecchio misuratore.
Allora l’evoluzione di Schrödinger si scrive
(1)
i ci |ψi〉
|Ard〉 −→
Se è presente un osservatore O (e certamente ci sarà)
separiamolo da A, cioè diciamo che l’universo è S + A + O.
L’evoluzione completa è allora
(2)
i ci |ψi〉
|Ard〉 |O0〉 −→
i ci |ψi〉 |Ai〉
i ci
|ψi〉 |Ai〉 |O0〉 −→
i ci |ψi〉 |Ai〉 |Oi〉.

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 2
Everett accetta senza riserve la funzione d’onda data dall’equazione di Schrödinger:
lo stato di S + A (o di S + A + O)
è effettivamente quello descritto dalla (1) (o dalla (2)).
Tuttavia precisa:
l’unica cosa che ha significato è la correlazione esistente in ciascun termine
tra lo stato di S e lo stato di A (e quello di O).
Se O sono io e se io so che il risultato è "j",
la mia funzione d’onda è |Oj〉
ed è correlata con le funzioni d’onda |Aj〉 di A e |ψj〉 di S;
se invece io so che il risultato è "k",
la mia funzione d’onda è |Ok〉
ed è correlata con le funzioni d’onda |Ak〉 di A e |ψk〉 di S.
Ciò è esattamente quanto basta affinché,
in questa situazione e in tutte le generalizzazioni che se ne possono considerare,
non si abbiano contraddizioni.
I molti mondi
Possiamo sintetizzare questa descrizione delle cose
dicendo che ciascun termine costituisce un "mondo" a sè
che non ha possibilità di comunicare con gli "altri mondi".
Di qui la denominazione di teoria dei molti mondi.
Struttura ad albero
Poiché a ogni misurazione (o situazione tipo misurazione)
corrisponde una biforcazione o una multiforcazione quale quella descritta
l’evoluzione nel tempo della funzione d’onda dell’universo
ha una struttura ad albero
e certamente i "mondi attualmente esistenti" sono molto numerosi.

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 3
Stravaganze
Si possono immaginare situazioni in cui,
accanto al mondo o ai mondi in cui esisto e sono vivo e vegeto,
ci sono mondi in cui non esisto nè sono mai esistito,
o mondi in cui esistevo ma sono morto;
oppure,
accanto al mondo in cui credo che i molti mondi siano una sciocchezza,
mondi in cui credo fermamente in una tale interpretazione.
Critiche superabili
Una prima critica è, appunto, quella di stravaganza.
A questa accusa, Everett risponde
"se le cose stanno così, stanno così e basta".
Un’altra critica invoca il cosiddetto rasoio di Occam, secondo il quale
"entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem".
Risposta: la necessità c’è.
Le probabilità quantistiche e la funzione d’onda universale
La teoria come esposta fin qui è chiaramente incompleta
poiché nulla ci dice sulle probabilità quantistiche,
che ovviamente sono un elemento essenziale
di qualunque formulazione della meccanica quantistica.
Il completamento della teoria in questo senso
conduce alla sua trasformazione in una teoria concettualmente molto diversa.
Vediamo come si presenta il problema.

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 4
Nel ramo della funzione d’onda universale nel quale ci troviamo
un osservatore esegua la misurazione di una grandezza a due valori
su, diciamo, 1000 particelle dello stesso tipo nello stesso stato.
La funzione d’onda universale si ramifica:
Ciascun ramo,
1
2 1
1
cioè ciascun termine nella funzione d’onda a un dato tempo, cioè ciascun mondo a quel tempo,
è specificato dalla successione degli indici 1 o 2
che denotano il risultato di ciascuna misurazione.
Ad esempio, il ramo segnato con ∗ è specificato dalla successione 1,2,1,1,. . . .
In una parte dei 2 1000 ≈ 10 301 mondi esistenti alla fine delle 1000 misurazioni
la sequenza dei risultati è in accordo con la legge di probabilità quantistica,
nei rimanenti no.
Ad esempio, se |c1| 2 = |c2| 2 = 1
2 ,
sono in accordo con la legge quantistica
quei mondi in cui il numero di indici 1 è circa uguale al numero di indici 2
e gli 1 e 2 sono distribuiti nella successione abbastanza uniformemente.
Gli altri mondi sono in disaccordo con la legge di probabilità quantistica,
ad esempio quello in cui gli indici hanno tutti il valore 2.
Ma tutti i mondi sono ugualmente esistenti!
Che senso ha la legge di probabilità quantistica e come arrivarci?
Nota
Come abbiamo già notato ciascun ramo o termine o mondo
è individuato dalla successione degli indici.
Pertanto esso rappresenta una storia del sistema
e infatti questa è la denominazione usata attualmente.
∗

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 5
La risposta
Si introduce una misura di probabilità nello spazio dei mondi (o delle storie).
Secondo Everett l’assunzione di questa misura di probabilità è talmente naturale
che non è nemmeno un’assunzione,
In realtà è un’assunzione, naturale o no,
ma non è questa la questione più importante.
La conseguenza
A mio parere l’introduzione delle probabilità nello spazio dei mondi
ha una grandissima rilevanza concettuale.
Qualunque sia il significato che si dà al concetto di probabilità,
è sempre la probabilità del realizzarsi di un evento.
Introdurre delle probabilità significa quindi ammettere
che uno degli eventi si realizza e gli altri no.
Nel nostro caso un evento è un mondo,
e quindi uno dei mondi si realizza e gli altri no.
Gli autori, non tanto Everett ma piuttosto quelli degli sviluppi successivi,
sono riluttanti ad ammetterlo, scivolano via su quasto argomento,
ma a me quella conclusione sembra inevitabile.

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 6
L’emergere di ulteriori elementi di descrizione, oppure . . .
Ciò significa che per descrivere l’universo non basta la funzione d’onda.
Di fatto si è sostituita l’assunzione
"l’universo è descritto dalla sua funzione d’onda"
con l’assunzione
"l’universo è descritto dalla sua funzione d’onda
e dalla specificazione degli indici di ramo".
Sono stati introdotti degli ulteriori elementi di descrizione del sistema:
lo stato del sistema non è più specificato dalla sola funzione d’onda,
ma dalla funzione d’onda e dagli indici di ramo.
Ma giunti a questo punto,
se ammettiamo che uno dei mondi si realizza e gli altri no,
possiamo anche dare a questa circostanza un’interpretazione diversa.
Invece di introdurre gli indici di ramo accanto alla funzione d’onda, possiamo,
contrariamente all’assunto iniziale della formulazione
e contrariamente allo spirito dei suoi sostenitori,
affermare che la funzione d’onda dell’universo si riduce a uno dei suoi termini.
Torniamo così alle due possibilità —
la funzione d’onda . . . o non è tutto o è sbagliata.

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 7
Terminologia
Se in una formulazione della meccanica quantistica sono presenti,
oltre alla funzione d’onda, ulteriori elementi di descrizione del sistema,
cioè se lo stato del sistema è costituito dalla funzione d’onda e da altri elementi,
diremo che questi sono elementi addizionali di descrizione.
Quando gli elementi addizionali di descrizione sono univocamente definiti
e ne è specificata una legge di evoluzione,
essi sono detti variabili addizionali (o variabili nascoste).
Come vedremo, questo non è il caso della formulazione che stiamo discutendo.
Nota
Quando abbiamo presentato e discusso l’interpretazione d’ensemble,
a proposito dell’enunciato E3
E3 – Il legame tra la funzione d’onda e i fatti sperimentali
è dato dalla legge di probabilità quantistica.
ci siamo posti la domanda
Le probabilità specificate dalla legge di probabilità quantistica
sona probabilità . . . di che cosa?
Abbiamo allora detto che sono possibili due risposte,
delle quali la prima conduce all’interpretazione d’ensemble
mentre la seconda conduce alla formulazione delle storie,
cioè quella cui stiamo pervenendo adesso:
Seconda risposta −→ formulazione delle storie
Data la funzione d’onda a un tempo t qualsiasi,
le probabilità cui si riferisce l’enunciato E3
sono le probabilità che, fino al tempo t,
si siano realizzate le successioni di situazioni
descritte ognuna da un termine nella funzione d’onda
(cioè qui da una successione degli indici di ramo ovvero una storia).

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 8
Una caratteristica positiva
L’uso di fatto degli indici di ramo
come elementi addizionali di descrizione del sistema
instaura una corrispondenza tra risultato di una misurazione
e descrizione del sistema dopo la misurazione.
Cioè è soddisfatto quello che abbiamo chiamato requisito di buon senso
Lo stesso si può dire se, magari malvolentieri, ammettiamo la riduzione.
E infatti, in questa formulazione, non si possono ripetere gli argomenti
che hanno portato ad accusare di inconsistenza l’interpretazione d’ensemble.
Un problema trascurato
Dire che ciascun mondo non ha la possibilità di comunicare con gli altri mondi
significa in concreto affermare che non sono rilevabili
gli effetti di interferenza tra i vari termini della funzione d’onda universale.
Everett lascia in ombra questo problema.
Un problema serio
Data la funzione d’onda a un tempo t, passato, presente o futuro,
che supponiamo evoluta con l’equazione di Schrödinger dalla funzione d’onda iniziale dell’universo,
anche imposte condizioni più o meno ragionevoli,
la sua scomposizione in termini, vedremo, presenta un notevole grado di arbitrarietà.
Il significato degli indici di di ramo,
cioè il significato degli elementi addizionali di descrizione,
dipende dalla scelta operata per la scomposizione in termini della funzione d’onda universale.
Se operiamo una scelta ammettiamo che un certo mondo,
entro un certo spazio di mondi,
è stato, è o sarà quello effettivamente realizzato.
Se operiamo un’altra scelta ammettiamo che un altro mondo,
entro un altro spazio di mondi,
è stato, è o sarà quello effettivamente realizzato.
Che senso ha?
Nota
La riluttanza degli autori
ad ammettere che introdurre le probabilità significa ammettere che uno dei mondi si realizza
è probabilmente dovuta al problema appena rilevato.

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 9
FORMULAZIONE DELLE STORIE CONSISTENTI
Costituisce un importante perfezionamento
della teoria della funzione d’onda universale.
In primo luogo si ammette esplicitamente la necessità di un’autentica assunzione
di una misura di probabilità nello spazio dei mondi,
o meglio nella famiglia di storie,
secondo la terminologia ragionevole usata qui.
In secondo luogo si affronta il problema, trascurato da Everett,
di stabilire le condizioni sotto le quali è possibile
introdurre in una famiglia di storie una misura di probabilità
con tutte le proprietà che una tale misura deve avere.
Tali condizioni sono in stretta relazione
con le condizioni che eliminano la possibile interferenza
tra i vari termini nella funzione d’onda.
Le famiglie di storie per le quali si può introdurre la misura di probabilità
sono dette consistenti.
Di nuovo, gli indici di ramo sono usati di fatto come elementi addizionali di descrizione
(anche se ciò non viene dichiarato esplicitamente)
e le inconsistenze rilevate nell’interpretazione d’ensemble non sussistono.
Nel seguito esporrò la presentazione della teoria dovuta a Gell-Mann e Hartle
che di tutte mi sembra quella più radicata nella fisica.

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 10
Storie
È conveniente usare la descrizione di Heisenberg dell’evoluzione temporale.
Gli ingredienti della descrizione dell’universo (o più in generale di un qualsiasi sistema chiuso) sono
• lo stato |Ψ〉 (lo stato iniziale nella descrizione di Schrödinger);
• l’operatore hamiltoniano ˆ H;
• gli operatori rappresentanti le grandezze fisiche (osservabili) Ô(t);
per non complicare inutilmente il discorso ci limitiamo a grandezze "sharp" e del tipo "yes–no"
(la seconda limitazione è evidentemente del tutto banale).
Gli operatori che consideriamo sono quindi proiettori dipendenti dal tempo del tipo
P (t) = exp (i/ℏ) ˆ H t P (0) exp −(i/ℏ) ˆ H t
Un set (esauriente) di alternative (mutuamente esclusive) a un dato tempo
è rappresentato da un set di proiettori
tale che
P k 1 (t), P k 2 (t), . . .
P k α(t)P k β (t) = δαβP k α(t),
α P k α(t) = 1.
In P k α(t), k denota il set, α la particolare alternativa e t il tempo al quale il set è considerato.
Una famiglia di storie alternative è costituita da una sequenza (ordinata) di tempi t1, . . . , tn
e da un set di alternative a ciascun tempo.
Una storia nella famiglia è una particolare sequenza di alternative
Nota
[Pα] = P 1
α1 (t1) . . . P n
αn (tn).
Sopra si è dato per scontato che lo stato iniziale del sistema considerato sia uno stato puro.
Gell-Mann e Hartle ammettono per generalità
che possa anche essere una miscela, rappresentata da un operatore densità ϱ,
della quale non discutono il significato.
Tuttavia, quando il sistema considerato sia l’universo,
ritengono ragionevole che si tratti di uno stato puro.

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 11
Grossamento e affinamento
Una famiglia di storie è il grossamento (coarse–graining) di un’altra
se i proiettori che definiscono la prima sono somme dei proiettori che definiscono la seconda.
La relazione inversa definisce l’affinamento (fine–graining).
Una famiglia è completamente affinata
se le storie a essa appartenenti specificano un set completo di operatori a tutti i tempi
o, ciò che è lo stesso,
se i proiettori che definiscono i set di alternative sono tutti unidimensionali
e i tempi che intervengono sono tutti quelli compresi tra quello iniziale e quello finale.
La famiglia completamente grossata è quella in cui non si specifica alcunché ed è ovviamente unica.
La relazione di grossamento–affinamento
introduce un ordinamento parziale nello spazio delle famiglie di storie.
Lo spazio delle famiglie di storie è rappresentato simbolicamente nella figura che segue,
in cui ogni punto rappresenta una famiglia di storie (non una storia)
e le linee rappresentano la relazione di grossamento–affinamento.
Nota
Nella figura compaiono tre diversi tipi di punti, cioè di famiglie di storie.
Il significato di questa classificazione sarà chiarito nel seguito.

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 12
Il funzionale di decoerenza
La prima questione che si pongono i sostenitori della formulazione delle storie
è quella di determinare quando, entro una famiglia di storie, si può introdurre una misura di probabilità
che assegni a ogni storia una probabilità o una densità di probabilità (sottinteso fisicamente sensata).
Nella presentazione di Gell-Mann e Hartle questo compito è affidato al funzionale di decoerenza.
Questo è un funzionale complesso di ogni coppia di storie nella famiglia considerata definito da
(3) D([Pα ′],[Pα]) = Tr P n
Una famiglia di storie è detta decoerente
α ′ n (tn) . . . P 1
α ′ 1
(t1)|Ψ〉〈Ψ|P 1
quando gli elementi fuori diagonale di D sono "sufficientemente piccoli",
cioè
D([Pα ′],[Pα]) ≈ 0, per ogni α ′ k = αk,
(4) D([Pα ′],[Pα]) ≈ δα ′ 1 α1 . . . δα ′ n αn D([Pα],[Pα])
α1 (t1) . . . P n
αn (tn) .
Discuteremo in seguito qual’è l’origine della decoerenza (e in particolare perché non è mai esatta).
Vediamo intanto quali sono le sue conseguenze.
Consideriamo due famiglie di storie delle quali la seconda sia un grossamento della prima.
Denotando con [Pα] le storie nella prima e con [Pβ] le storie nella seconda,
la relazione tra i due funzionali di decoerenza è
D([Pβ ′],[Pβ]) =
contenuti in
ciascun P β ′
P α ′
D([Pα ′],[Pα]).
contenuti in
ciascun Pβ
Se la famiglia di storie più fine è decoerente, cioè vale la (4), anche la famiglia grossata lo è,
e per gli elementi diagonali vale la relazione
(5) D([Pβ],[Pβ]) ≈
Pα
Pα
contenuti in
ciascun Pβ
D([Pα],[Pα]).
Assumiamo che per una famiglia di storie decoerente la probabiltà di una singola storia sia
(6) Pr([Pα]) = D([Pα],[Pα]) = Tr P n
αn (tn) . . . P 1
α1
(t1)|Ψ〉〈Ψ|P 1
α1 (t1) . . . P n
αn (tn) .
Allora la relazione (5) tra gli elementi diagonali delle due famiglie si traduce nella relazione
(7) Pr([Pβ]) ≈
contenuti in
ciascun Pβ
Pα
p([Pα]).

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 13
Nota
La regola di somma (7) traduce la richiesta essenziale che
"le probabilità siano additive su set disgiunti nello spazio degli eventi".
Nota
La formula (6) che definisce la probabilità di una storia in realtà non è nuova.
Essa è nota come formula di Wigner
e rappresenta, nell’ambito della meccanica quantistica standard,
la probabilità di ottenere una certa successione di risultati
in una successione arbitraria di misurazioni su un sistema quantistico.
Ciò garantisce che le probabilità che sono state definite siano in accordo con quelle standard.
Naturalmente, nell’ambito della meccanica quantistica standard,
la decoerenza è conseguenza della riduzione.
Nota
L’annullarsi degli elementi fuori diagonale del funzionale di decoerenza
è condizione sufficiente ma non necessaria per la validità della relazione (5) tra gli elementi diagonali.
La condizione necessaria e sufficiente è l’annullarsi delle sole parti reali.
Questa condizione è usata da altri autori per definire le storie cosiddette consistenti.
Il motivo per cui Gell-Mann e Hartle fissano l’attenzione sulla decoerenza è che,
mentre è facile individuare situazioni fisiche che assicurino l’annullarsi degli elementi fuori diagonale,
è difficile trovare meccanismi generali che sopprimano le sole parti reali.
Nota
Per la proprietà ciclica della traccia
un funzionale di decoerenza è sempre diagonale rispetto agli indici finali αn e αn ′.
La decoerenza è un caratteristica interessante
solo per le famiglie che contengano specificazioni a più di un tempo.
Alle storie di una famiglia che contenga specificazioni a un solo tempo
possono sempre essere assegnate le probabilità.

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 14
Famiglie di storie decoerenti massimali
Abbiamo visto che il grossamento di una famiglia decoerente ne mantiene la decoerenza.
È evidente che il viceversa non è vero.
Pertanto, stabilito un certo standard di tolleranza per l’accettazione del ≈ nella (4),
intrapreso un processo di progressivo affinamento di una famiglia decoerente,
a un certo punto si arriva a una famiglia massimale
il cui progressivo affinamento distrugge la decoerenza.
Riprendiamo ora la figura che rappresenta simbolicamente lo spazio delle famiglie di storie.
I punti leggeri rappresentano le famiglie di storie non decoerenti,
i punti pesanti rappresentano le famiglie decoerenti
e i punti pesanti circolati rappresentano le famiglie decoerenti massimali.

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 15
Discussione sulla decoerenza e le sue origini
La decoerenza fisica non è una proprietà
dei soli set di operatori P k αk (0) che intervengono nella definizione di una famiglia di storie,
ma è una proprietà dei set di operatori e della dinamica del sistema,
che è specificata dalla condizione iniziale |Ψ〉 e dall’operatore hamiltoniano ˆ H.
Consideriamo il funzionale di decoerenza (per uno stato puro)
dove
D([Pα],[Pα ′]) = TrP n
αn (tn) . . . P 1
α1
= 〈Ψ| [Pα ′] [Pα] + |Ψ〉
(t1)|Ψ〉〈Ψ|P 1
[Pα] = P 1
α1 (t1) . . . P n
αn (tn).
α ′ 1
(t1) . . . P n
(tn)
Se si prescinde dalla dinamica, cioè si assegnano arbitrariamente gli operatori P k
αk (tk),
si possono facilmente costruire famiglie decoerenti, anche esattamente, qualunque sia |Ψ〉.
Anche se ciò è privo di interesse fisico,
la considerazione di famiglie cosiffatte è utile per capire il meccanismo che produce la decorenza.
Gli esempi che seguono mostrano che le correlazioni tra gli stati ai diversi tempi
giocano un ruolo essenziale nel dar luogo alla decoerenza.
α ′ n

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 16
Esempio formale di decoerenza
Assumiamo, per abbreviare le scritture, n = 3.
Sia |αβγ〉 un sistema ortonormale completo.
I proiettori che definiscono la famiglia di storie siano
(8)
Il funzionale di decoerenza risulta
Nota
P 1 α(t1) =
βγ |αβγ〉〈αβγ|,
P 2 αβ(t2) =
γ |αβγ〉〈αβγ|,
P 3 αβγ(t3) = |αβγ〉〈αβγ|.
D [α1α2β2α3β3γ3],[α ′ 1α ′ 2β ′ 2α ′ 3β ′ 3γ ′ 3]
= 〈Ψ|P 1 α ′ (t1)P
1
2 α ′ 2β′ (t2)P
2
3 α ′ 3β′ 3γ′ (t3)P
3
3 α3β3γ3 (t3)P 2 α2β2 (t2)P 1 α1 (t1)|Ψ〉
= δα3α3 ′ δβ3β ′ 3 δγ3γ ′ 3 δα2α ′ 2 δβ2β ′ 2 δα1α ′ δα3α2
δβ3β2
δα2α1 〈Ψ|α3β3γ3〉〈α3β3γ3|Ψ〉.
1
La definizione (8) della famiglia di storie implica una stretta relazione tra i diversi proiettori P k
...(0)
se si considera l’evoluzione temporale definita dall’operatore hamiltoniano ˆ H.
Precisamente (ℏ = 1), oltre a essere
si ha
P 1 α(0) = exp − i ˆ
H t1
βγ |αβγ〉〈αβγ| exp i ˆ
H t1 ,
β P 2 αβ(0) = exp − i ˆ H (t2 − t1) P 1 α(0) exp i ˆ H (t2 − t1) ,
γ P 3 αβγ(0) = exp − i ˆ H (t3 − t2) P 2 αβ(0) exp i ˆ H (t3 − t2) .
Per questo motivo l’esempio ha carattere del tutto formale.

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 17
Esempio (schematico) di decoerenza fisica
Sia S uno spin e A un apparato che esegue una misurazione di una componente di S.
L’evoluzione del sistema S + A all’atto della misurazione, che si conclude al tempo t1, sia
|s〉 |A〉
S
−→
i ai |si〉 |Ai〉.
Sia Z un apparato che esegue una misurazione simultanea
di una grandezza di S e di una grandezza di A.
L’evoluzione del sistema S + A + Z all’atto della misurazione, che si conclude al tempo t2, sia
|si〉 |Ai〉 |Z〉
S
−→
jk bijk |¯sj〉 | Āk〉 |Zjk〉.
Sia E l’ambiente con cui interagiscono A e Z.
Dimenticando ogni evoluzione tranne quelle già indicate,
l’evoluzione del sistema chiuso S + A + Z + E è data da
|Ψ〉 = |s〉 |A〉 |Z〉 |E〉
|si〉 |Ai〉 |Z〉|Ei〉
S, t1
−→
S, t2−t1
−−−−→
I proiettori che definiscono la famiglia di storie siano (ℏ = 1)
P 1 αβ(t1) = exp i ˆ 1
H t1 Pαβ(0) exp − i ˆ
H t1
i ai |si〉 |Ai〉 |Z〉 |Ei〉,
jk bi jk |¯sj〉 | Āk〉 |Zjk〉 |E i jk〉.
= exp i ˆ
H t1 |sα〉〈sα| ⊗ |Aβ〉〈Aβ| ⊗ IZ ⊗ IE exp − i ˆ
H t1 ,
P 2 γδεϑ(t2) = exp i ˆ 2
H t2 Pγδεϑ(0) exp − i ˆ
H t2
Il funzionale di decoerenza è dato da
= exp i ˆ
H t2 |¯sγ〉〈¯sγ| ⊗ | Āδ〉〈 Āδ| ⊗ |Zεϑ〉〈Zεϑ| ⊗ IE exp − i ˆ
H t2 .
D [α β γ δ ε ϑ],[α ′ β ′ γ ′ δ ′ ε ′ ϑ ′ ] = 〈Ψ| P 1 α ′ β ′(t1) P 2 γ ′ δ ′ ε ′ ϑ ′(t2) P 2 γδεϑ(t2) P 1 αβ(t1) |Ψ〉
Il ket indicato all’ultima riga risulta
e il funzionale di decorenza è
= δγγ ′δδδ ′δεε ′δϑϑ ′〈Ψ| exp i ˆ 1
H t1 Pα ′ β ′(0) exp i ˆ H (t2 − t1) P 2 γδεϑ(0)
P 2 γδεϑ(0) exp − i ˆ H (t2 − t1) P 1 αβ(0) exp − i ˆ
H t1 |Ψ〉.
δαβδγεδδϑ aα b α γδ |¯sγ〉 | Āδ〉 |Zγδ〉 |E α γδ〉
D [α β γ δ ε ϑ],[α ′ β ′ γ ′ δ ′ ε ′ ϑ ′ ] = δγγ ′δδδ ′δεε ′δϑϑ ′ δαβ δα ′ β ′δγε δδϑ (aα ′)∗ aα (b α′
γδ) ∗ b α γδ 〈E α′
γδ|E α γδ〉.
L’ortogonalità degli stati di E, 〈Eα′ γδ |Eα γδ 〉 = δαα ′, provoca la decoerenza: 〈Eα′ γδ |Eα γδ 〉δαβ δα ′ β ′ = δαα ′ δββ ′ δαβ.
Nota
Se Z misurasse solo A la diagonalità rispetto a αβ e α ′ β ′
risulterebbe dall’ortogonalità degli stati |sα〉, senza bisogno di invocare la presenza di E.

3 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE 11/12 18
Predizione e retrodizione
Considerata una famiglia decoerente di storie,
scelto convenzionalmente un certo tempo come presente,
Gell-Mann e Hartle discutono che cosa occorra per fare previsioni sul futuro,
cioè per assegnare probabilità alle parti future delle storie data la storia realizzatasi fino al presente,
e che cosa occorra per ricostruire, sempre probabilisticamente, il passato noto il presente.
Famiglie di storie fisicamente equivalenti
Considerate due famiglie decoerenti di storie esse possono in realtà essere fisicamente equivalenti.
È importante notare che l’equivalenza tra famiglie di storie
ha un carattere profondamente diverso in questa formulazione,
in cui il sistema considerato è, per programma, chiuso,
rispetto alla formulazione standard
in cui esistono o potenzialmente esistono apparati misuratori esterni
che costituiscono un riferimento per attribuire un significato ai proiettori che definiscono una famiglia.
Purtroppo esistono certamente famiglie decoerenti di storie fisicamente inequivalenti.
Famiglie di storie con caratteristiche quasiclassiche (domini quasiclassici)
Secondo Gell-Mann e Hartle il fatto che gli esseri umani siano IGUS
(Information Gathering and Utilizing Sistem)
giustifica la restrizione dell’attenzione ai domini quasiclassici.
Un dominio quasiclassico è una famiglia decoerente massimale di storie
tale che le sue singole storie mostrino il più possibile di correlazioni classiche nel tempo,
con probabilità vicine a zero e uno per i successivi proiettori.
Naturalmente questi percorsi (quasi) deterministici sono
continuamente disturbati dall’ineliminabile piccolo comportamento quantistico di qualsiasi grandezza
e occasionalmente interrotti dalle catastrofi quantistiche quali le situazioni di misurazione,
in cui le probabilità assumono valori anche distanti da zero e uno.
Certamente esiste un dominio quasiclassico, quello della nostra esperienza quotidiana.
Ma potrebbero esisterne altri.
Un problema che resta
Il mio parere personale è che la molteplicità delle famiglie decoerenti
costituisca un serio problema per la formulazione delle storie.
Nell’ambito di una famiglia, una storia si realizza
e, nell’ambito di un’altra famiglia, un’altra storia si realizza —
per me questa è una proposizione incomprensibile.
Anche se la restrizione ai domini quasiclassici dovesse condurre a una sostanziale unicità,
si tratterebbe, secondo il mio punto di vista, di un uso inaccettabile di un criterio antropocentrico.