Autovalori e modi - Automatica

Matrice A diagonalizzabile
Autovalori e modi
Tutte le volte che gli autovalori λi , i = 1,2,…,n, della matrice A sono tra loro distinti è possibile
diagonalizzare la matrice stessa ottenendo
In questo caso la matrice del cambiamento di variabili T -1 deve avere nelle colonne gli autovettori
vi della matrice A, cioè essere del tipo T -1 = [v1, v2,…,vn].
Gli autovettori della matrice A sono vettori colonna n x 1, non nulli, che soddisfano l’equazione
Avi = λivi , i = 1,2,…,n
Il movimento libero del sistema diagonalizzato diventa perciò il seguente
Esso risulta quindi una combinazione lineare di termini esponenziali λi k , i = 1,2,…,n, che sono detti
modi. Gli autovalori sono in generale valori complessi λ = ρe j θ , il cui modo λ k associato ha modulo
| λ k | = | ρ k e jkθ | = ρ k . La stabilità del sistema è quindi legata solo al modulo degli autovalori e non
alla fase degli stessi.
Per avere asintotica stabilità del sistema il movimento libero deve tendere asintoticamente a zero,
cioè ogni modo λi k deve annullarsi per k che tende a ∞. Si deve avere quindi | λi | < 1 ∀i ,
condizione verificata se gli autovalori, rappresentati nel piano complesso, si trovano tutti all’interno
del cerchio di raggio unitario. Il sistema risulterà semplicemente stabile se | λi | = 1 , cioè se almeno
un autovalore è disposto sul cerchio unitario. Nel caso in cui almeno uno degli autovalori fosse
all’esterno del cerchio unitario ( | λi | > 1 ), il sistema risulterebbe instabile.
Una particolarità dei sistemi a tempo discreto è la suddivisione dei modi associati ad autovalori
reali; in tal caso infatti si hanno modi cosiddetti aperiodici se corrispondenti ad autovalori positivi e
modi cosiddetti alternanti se corrispondenti ad autovalori negativi. Il moto in tal caso avviene
restando dalla stessa parte dello zero, per il modo aperiodico, alternandosi da una parte e dall'altra
dello zero, per il modo alternante. Si hanno quindi modi aperiodici (λi reale > 0), alternanti (λi reale
< 0) e pseudoperiodici (coppie complesse coniugate).
Matrice A non diagonalizzabile
Nel caso in cui la matrice A possegga autovalori multipli, cioè non distinti tra di loro, può risultare
impossibile diagonalizzare la matrice. Esiste però una matrice di cambiamento di stato TJ che pone
A nella forma di Jordan AJ, rendendola diagonale a blocchi. Quest’ultima ha elementi non nulli
solo sulla diagonale e sulla sopradiagonale, ed è nella forma

dove μ è il numero di autovalori tra loro distinti e Ji è una matrice m x m detta blocco di Jordan,
con m pari alla molteplicità dell’autovalore i–esimo. Ogni matrice Ji è a sua volta una matrice di
matrici con la seguente struttura
dove la matrice Jih è detto miniblocco di Jordan ed è del tipo
cioè presenta l’autovalore λi sulla diagonale principale ed una catena di elementi unitari sulla
sopradiagonale.
In questo caso i modi che costituiscono i movimenti liberi dello stato, sono una combinazione
lineare di termini del tipo k p-1 λi k-p+1 per k ≥ p - 1, dove p è un qualunque intero compreso tra 1 e la
massima dimensione dei miniblocchi di Jordan associati a λi, e sono nulli per k < p - 1.
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