19 CAPITOLO 2 LO SPETTRO SOLARE E LA SUA ...

1. Lo spettro solare 

FISICA SOLARE - CAPITOLO 2 19 

CAPITOLO 2 

LO SPETTRO SOLARE E LA SUA INTERPRETAZIONE 

Parlando di spettro solare è necessario premettere alcune considerazioni di carattere generale per precisarne 

meglio la definizione. Poiché il Sole può essere osservato ad alta risoluzione spaziale, è ovvio che non 

esiste un singolo spettro solare, ma esistono tanti spettri diversi che dipendono dal punto su cui è puntato 

il telescopio. Si può quindi distinguere fra lo spettro di un granulo, lo spettro di una zona intergranulare, 

lo spettro dell’ombra di una macchia, etc.. Per di più, esiste nello spettro solare un fenomeno di variazione 

con l’angolo eliocentrico per il quale uno spettro ottenuto al centro del Sole differisce, anche se in maniera 

non molto pronunciata, da uno spettro ottenuto al lembo. Esistono in effetti due possibilità di definire lo 

spettro solare “standard”. La prima è quella di osservare il centro del Sole, facendo attenzione che non sia 

ivi presente una macchia al momento dell’osservazione, e sfuocando l’immagine in modo da ottenere una 

media fra regioni granulari e intergranulari. La seconda possibilità è quella di rinunciare totalmente alla 

risoluzione spaziale e ottenere uno spettro del Sole come stella. Nel seguito di questo paragrafo ci riferiremo 

per le nostre considerazioni a quest’ultimo spettro. 

Fig. 2.1. Lo spettro solare nel visibile. L’immagine composita è ottenuta sovrapponendo singoli tratti di 

spettro di ampiezza dell’ordine di 100 ˚A. Si noti la presenza di alcune righe particolarmente prominenti (fra 

cui la riga Hα dell’Idrogeno nel rosso e le righe D del Sodio nel giallo) e l’aumento della densità di righe 

procedendo dal rosso verso il violetto. 

All’osservazione moderna lo spettro solare si presenta come uno spettro continuo solcato da un numero 

elevatissimo di righe spettrali (si veda la Fig. 2.1). Da un punto di vista più generale, ovvero dal punto di 

vista della classificazione di Harvard degli spettri stellari, lo spettro del Sole è tipico di una stella di tipo 

spettrale G2. In tale spettro, le righe dell’Idrogeno risultano molto attenuate rispetto a quelle osservate 

nel tipo spettrale anteriore (F), esiste una grande abbondanza di righe atomiche, e cominciano ad apparire 

alcune bande molecolari. Dal punto di vista dello spettro continuo, lo spettro solare si adatta abbastanza 

fedelmente allo spettro di un corpo nero di temperatura T⊙ = 5780 K, sebbene la concordanza sia migliore 

nell’infrarosso che nel visibile o nell’UV. Se ci si limita a considerare lunghezze d’onda superiori a 2500 ˚A, 

la differenza fra lo spettro solare e quello del corpo nero di riferimento risulta, in valore assoluto, sempre 

inferiore o dell’ordine del 10%. Come negli spettri di moltissime stelle, appare poi evidente la cosiddetta 

discontinuità di Balmer che consiste in una brusca diminuzione dell’intensità spettrale (andando dal rosso 

verso il violetto) in corrispondenza della lunghezza d’onda di 3646 ˚A, la lunghezza d’onda di soglia per

20 EGIDIO LANDI DEGL’INNOCENTI 

Fig. 2.2 Lo spettro del “Sole come stella” in corrispondenza di tre diversi intervalli di lunghezza d’onda 

(espressa in ˚A). Sull’asse verticale è riportata l’intensità specifica, I(λ), normalizzata all’intensità del continuo. 

Si noti, nel pannello in alto, l’elevata densità di righe nella regione violetta dello spettro e l’impressionante 

larghezza delle righe H e K del Calcio ionizzato, le più intense dello spettro solare. Nel pannello 

intermedio sono visibili le righe D del Sodio neutro e, nel pannello in basso, la riga Hα dell’Idrogeno. 

fotoionizzazione dell’Idrogeno a partire dal livello eccitato n = 2. Dal punto di vista della ripartizione nelle 

diverse finestre, la radiazione solare (prima di subire l’assorbimento dell’atmosfera terrestre) consta per il 

7% di radiazione ultravioletta (λ < 3800 ˚A), per il 40% di radiazione visibile (3800 ˚A < λ < 7000 ˚A) e per 

il 53% di radiazione infrarossa (λ > 7000 ˚A). 

Per lo studio dello spettro di righe, è consuetudine riportare in grafico lo spettro solare su intervalli 

spettrali di ampiezza limitata (tipicamente qualche decina fino a un centinaio di ˚A), come illustrato per tre 

diversi intervalli spettrali nella Fig. 2.2. In tale rappresentazione le righe, quando isolate, appaiono come 

schematicamente illustrato nella Fig. 2.3 e vengono caratterizzate da tre parametri: la lunghezza d’onda 

centrale, λ0, la depressione centrale, d0 (con 0 ≤ d0 ≤ 1), e la larghezza equivalente, Wλ. Queste due ultime 

quantità sono definite da 

d0 = Ic 

 

− I(λ0) 

Ic − I(λ) 

, Wλ = 

dλ , 

Ic 

dove Ic è l’intensità del continuo adiacente la riga. Mentre d0 è una quantità adimensionale, la larghezza 

equivalente ha le dimensioni di una lunghezza e viene solitamente espressa in m˚A 1 . Dal punto di vista 

geometrico, la larghezza equivalente è uguale all’area della regione compresa fra la retta di equazione I/Ic = 1 

e la curva della funzione I(λ)/Ic. 

Le righe visibili più importanti dello spettro solare, ovvero quelle che hanno maggiore larghezza equivalente, 

sono riportate nella Tab. 2.1. Alcune di queste righe sono quelle “originali” osservate da Fraunhofer 

e da esso individuate per mezzo di una lettera dell’alfabeto, da A a K, in ordine di lunghezza d’onda 

decrescente. Oggi sappiamo che le righe A e B di Fraunhofer, vicine a 7000 ˚A, sono in effetti delle cosiddette 

“righe telluriche” dovute alla molecola di Ossigeno (O2). Esse non hanno niente a che vedere col Sole ma 

sono formate per assorbimento della radiazione solare nell’atmosfera terrestre. 

1 A questa unità di misura si dà anche il nome di “Fraunhofer” anche se tale denominazione è oggi caduta in disuso. 

riga 

Ic

1 

0 

I / I c 

FISICA SOLARE - CAPITOLO 2 21 

λ 

0 

Fig 2.3. Andamento schematico dell’intensità in funzione della lunghezza d’onda nelle adiacenze di una 

tipica riga spettrale isolata. 

Elemento λ0 (˚A) Wλ (m˚A) Denominazione Denominazione 

o molecola moderna di Fraunhofer 

Ca II 3934 20253 K K 

Ca II 3968 15467 H H 

H I 4102 3133 Hδ - 

Ca I 4227 1476 h - 

CH 4300 - Banda G G 

H I 4340 2855 Hγ - 

H I 4861 3680 Hβ F 

Mg I 5167 935 b3 - 

Mg I 5173 1259 b2 - 

Mg I 5183 1584 b1 - 

Fe I 5270 478 E E 

Na I 5890 752 D2 D 

Na I 5896 564 D1 D 

H I 6563 4020 Hα C 

Tab 2.1. Principali righe dello spettro solare. 

Per l’interpretazione dello spettro solare, sia quello continuo che quello di righe, si fa oggi ricorso 

alla teoria del trasporto radiativo. Sviluppata all’inizio degli anni 1920 con il contributo fondamentale di 

famosissimi astronomi quali Milne ed Eddington (che estesero lavori precedenti di Schüster e Schwarzschild), 

essa ha raggiunto oggi un notevole livello di sofisticazione, soprattutto nelle applicazioni numeriche che 

sono realizzate utilizzando elaboratori elettronici sempre più potenti. I paragrafi successivi sono dedicati a 

sviluppare questo argomento nel contesto della fisica solare. 

2. L’equazione del trasporto 

Consideriamo un pennello di radiazione che si propaga lungo una particolare direzione Ω in un punto 

P di un mezzo arbitrario. Se si indica con dE la quantità infinitesima di energia raggiante, con frequenza 

compresa fra ν e ν + dν e direzione contenuta in un angolo solido dΩ centrato intorno a Ω, che attraversa, 

nell’intervallo di tempo dt, un elemento di superficie dS disposto perpendicolarmente a Ω, tale quantità è 

ovviamente proporzionale a dS, a dt, a dν e a dΩ, ovvero 

d0 

λ


dE = Iν(P, Ω, t) dS dt dν dΩ . 

Il coefficiente di proporzionalità, che dipende dalla frequenza ν, dal punto P, dalla direzione Ω e dal tempo t, 

definisce la cosiddetta intensità specifica (del campo di radiazione). Se il campo di radiazione non è funzione 

di t si dice stazionario, se non è funzione di Ω si dice isotropo, e se non è funzione di P si dice omogeneo. 

Un caso ideale in cui il campo di radiazione è stazionario, isotropo e omogeneo è quello della radiazione di 

corpo nero. In tale caso l’intensità specifica è data dalla funzione di Planck 

Iν = Bν(T ) = 2hν3 

c 2 

−1 hν 

exp − 1 

kBT 

dove h è la costante di Planck, c la velocità della luce, kB la costante di Boltzmann, e T la temperatura 

assoluta del corpo nero. 

Quando la radiazione si propaga in un mezzo materiale essa subisce vari fenomeni di trasporto che contribuiscono 

a modificarla. Tali fenomeni possono essere descritti attraverso l’introduzione di due coefficienti, 

detti rispettivamente coefficiente di assorbimento e coefficiente di emissione che vengono tradizionalmente 

indicati, rispettivamente, con i simboli kν e ɛν. Entrambi questi coefficienti possono essere definiti in maniera 

euristica. Per definire il coefficiente di assorbimento si parte dalla relazione empirica 

dIν 

Iν 

= −kν ds , 

che esprime la diminuzione relativa dell’intensità che si verifica quando la radiazione attraversa un elemento 

infinitesimo di lunghezza ds del mezzo. Per il coefficiente di emissione si fa invece riferimento all’energia 

dE emessa da un elemento di volume dV nell’intervallo di tempo dt, nell’intervallo di frequenza (ν, ν + dν), 

e nell’angolo solido dΩ centrato intorno alla direzione Ω. Il coefficiente di emissione, ɛν, è implicitamente 

definito dall’equazione 

dE = ɛνdV dt dν dΩ . 

Con queste definizioni, l’equazione del trasporto per l’intensità specifica del campo di radiazione si scrive 

nella forma 1 

d 

ds Iν = −kνIν + ɛν , 

dove s è la coordinata misurata lungo il raggio. 

Questa equazione costituisce la base teorica per l’interpretazione dello spettro solare e di tutti gli spettri 

astrofisici. 

3. Soluzione formale dell’equazione del trasporto 

Per affrontare il problema della sua soluzione, l’equazione del trasporto viene spesso espressa in una 

forma equivalente. Definendo la funzione sorgente, Sν, attraverso l’equazione 

Sν = ɛν 

l’equazione del trasporto può essere posta nella forma 

1 Per una deduzione formale dell’equazione del trasporto dai principi dell’elettrodinamica quantistica si veda E. Landi 

Degl’Innocenti & M. Landolfi Polarization in Spectral Lines, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004. Tale deduzione fornisce 

anche l’espressione di kν e ɛν in funzione delle proprietà del mezzo e mostra che kν consta in effetti di due contributi: kν = 

k (a) 

ν −k (s) 

ν , dove k (a) 

ν è il coefficiente di assorbimento vero e proprio e k (s) 

ν è il coefficiente di emissione stimolata (o di assorbimento 

negativo). Quella qui presentata non è una vera e propria deduzione dell’equazione del trasporto in quanto i coefficienti kν e 

ɛν sono implicitamente definiti dall’equazione stessa. 

kν 

, 

,


O P2 P P1 A 

s 

s 

s 

2 

1 

Fig 2.4. La radiazione si propaga nella direzione che va dal punto P2 al punto P1. La coordinata spaziale 

è misurata a partire dal punto O mentre la profondità ottica è misurata nella direzione contraria alla 

propagazione a partire dal punto A. 

d 

ds Iν = −kν(Iν − Sν) . 

In generale, kν e Sν sono funzioni del punto, ovvero della coordinata s. Se si suppone che tali funzioni 

siano note, l’equazione può essere facilmente risolta. A questo scopo introduciamo, in luogo della coordinata 

geometrica s, la cosiddetta profondità ottica specifica (funzione di ν), attraverso l’equazione 

dτν = −kν ds . 

Come si vede da questa equazione, la profondità ottica è definita in direzione opposta a quella di propagazione 

della radiazione, il che riflette il punto di vista di un osservatore che riceve la radiazione nel proprio strumento. 

Considerando il plasma contenuto entro uno spessore geometrico fissato, ad esempio fra s1 e s2 (con s1 < s2), 

lo spessore ottico risulta, per semplice integrazione dell’equazione precedente 

τν(s1, s2) = 

s2 

s1 

(1) 

τν τ ν 

(2) 

τν kν(s) ds . 

Lo spessore ottico dipende dalla frequenza e uno spessore geometrico fissato si definisce “otticamente sottile” 

quando τν ≪ 1 oppure “otticamente spesso” quando τν ≫ 1. In termini fisici, un mezzo è otticamente sottile 

alla frequenza ν quando un fotone di quella frequenza ha una probabilità trascurabile di essere assorbito 

nell’attraversarlo. Viceversa, se il mezzo è otticamente spesso, il fotone ha una probabilità praticamente pari 

a uno di essere assorbito nel mezzo stesso. 

Dividendo l’equazione del trasporto per kν e cambiando di segno, si ottiene 

dIν 

dτν 

= Iν − Sν . 

Per risolvere questa equazione moltiplichiamo ambo i membri per il fattore e −τν . Si ottiene 

ovvero 

dIν −τν 

e 

dτν 

= e −τν Iν − e −τν Sν , 

d −τν −τν e Iν = − e Sν . 

dτν 

Con riferimento alla Fig. 2.4, integriamo questa equazione fra i punti P1 e P2 del cammino percorso dal 

(con 

raggio ai quali corrispondono le coordinate s1 e s2 (con s2 < s1) e le profondità ottiche τ (1) 

ν 

τ (1) 

ν 

< τ (2) 

ν ). Si ottiene 

e τ (2) 

ν


ovvero 

Iν 

(1) 

−τ 

e ν Iν 

(1) −τ 

τ ν − e (2) 

ν Iν 

(1) 

(2) − 

τ ν = Iν τ ν e 

(2) 

τ ν 

(2) 

τ ν = 

τ (1) 

Sν(τν) e 

ν 

−τν dτν , 

(2) 

τ 

(2) (1) 

ν 

τ ν −τ ν + 

τ (1) 

Sν(τν) e 

ν 

− 

 

(1) 

τν−τ ν 

Questa formula si interpreta facilmente osservando che l’intensità nel punto P1 è data dall’intensità presente 

nel punto P2 (la condizione al contorno) moltiplicata per il fattore di attenuazione dovuto all’assorbimento 

fra i punti P2 e P1, alla quale si aggiunge il contributo dovuto all’emissione nell’intervallo compreso fra i due 

punti. Il contributo relativo all’intervallo infinitesimo dτν, situato nel punto generico P, è moltiplicato per il 

relativo fattore di attenuazione dovuto all’assorbimento fra i punti P e P1. In particolare, se si considera la 

= 0, l’equazione precedente risulta 

radiazione emergente da un plasma e si pone quindi τ (1) 

ν 

Iν(0) = Iν(τν) e −τν + 

τν 

Sν(τ 

0 

′ ν) e −τ ′ ν dτ ′ ν . 

In molti casi, soprattutto in astrofisica, si ha a che fare con plasmi che risultano praticamente infiniti in una 

direzione (si pensi ad esempio a un’atmosfera stellare della quale interessi esprimere l’intensità emergente in 

funzione delle proprietà locali dell’atmosfera stessa). In tali casi, si deve considerare il limite dell’equazione 

precedente per τν → ∞, e, supponendo matematicamente che si abbia 

si ottiene 

lim 

τν→∞ Iν(τν) e −τν = 0 , 

Iν(0) = 

∞ 

0 

Sν(τν) e −τν dτν . 

Il limite matematico di cui sopra è sempre soddisfatto in pratica, per cui questa equazione esprime in tutta 

generalità l’intensità emergente da un’atmosfera stellare. 

4. Trasporto radiativo nelle atmosfere stellari 

Per determinare l’intensità specifica del campo di radiazione emesso da un’atmosfera stellare vengono 

spesso introdotte un certo numero di approssimazioni che servono a semplificare il problema e a renderlo 

trattabile dal punto di vista matematico in modo da ottenere alcuni risultati analitici validi come approssimazione 

di ordine zero. La prima di tali approssimazioni è quella detta dell’atmosfera piana che consiste nel 

trascurare la curvatura degli strati superficiali della stella dovuta alla forma sferica della stella stessa. Tale 

approssimazione è in generale ben giustificata in quanto lo spessore dell’atmosfera (definita come lo strato 

superficiale dal quale proviene la radiazione osservata) è molto minore del raggio della stella. Per il Sole, ad 

esempio, lo spessore H è dell’ordine di un migliaio di Km, per cui si ha 

H 

R⊙ 

103 

7 × 10 5 1.4 × 10−3 . 

Si suppone poi che le proprietà fisiche dell’atmosfera dipendano soltanto dalla quota z (misurata da un’origine 

che non è necessario per il momento specificare) e non anche dalle altre due coordinate x e y. Il campo di 

radiazione, che in situazioni stazionarie dipende, oltre che dalla frequenza, dal punto P e dalla direzione Ω, 

viene così a dipendere unicamente dalla quota z e dall’angolo θ (detto angolo eliocentrico nel caso del Sole), 

 

dτν .


z 

Fig 2.5. Schematizzazione di un’atmosfera piano-parallela nella quale le proprietà fisiche dipendono solo 

dalla quota z e il campo di radiazione solo da z e dall’angolo eliocentrico θ. 

definito come in Fig. 2.5. Quando si introduce questa ulteriore approssimazione si dice che si ha a che fare 

con un’atmosfera piano-parallela. 

Indicando con Iν(z, µ) l’intensità specifica della radiazione che si propaga nella direzione individuata 

dall’angolo θ (con µ = cos θ), l’equazione del trasporto risulta 

θ 

Ω 

µ d 

dz Iν(z, µ) = −kν [Iν(z, µ) − Sν] , 

e, se si suppone valida l’ipotesi dell’Equilibrio Termodinamico Locale (ETL) 1 , 

µ d 

dz Iν(z, µ) = −kν [Iν(z, µ) − Bν] , 

dove Bν è la funzione di Planck che dipende solo dalla temperatura locale. L’equazione del trasporto può 

essere formalmente risolta introducendo la profondità ottica specifica, tν, misurata lungo la verticale nel 

senso delle profondità crescenti (si noti che questa quantità differisce da quella definita col simbolo τν nel 

paragrafo precedente e che si riferisce alla profondità ottica misurata lungo un raggio generico). 

dtν = −kν dz . 

Utilizzando i risultati del paragrafo precedente si ha, per l’intensità emergente 

Iν(0, µ) = 

∞ 

0 

−tν/µ dtν 

Bν e 

µ . 

Questa espressione può essere convenientemente approssimata al fine di dedurre alcuni risultati di tipo 

qualitativo. Se si suppone ad esempio che la funzione di Planck abbia un andamento lineare con tν, ovvero 

che valga un’espressione del tipo 

si ottiene, con facili passaggi 

Bν(τν) = aν + bν tν , 

1 Tale ipotesi consiste nell’assumere che il mezzo materiale con cui interagisce il campo di radiazione si trovi all’equilibrio 

termodinamico. In tale caso, in base al principio di Kirchhof si ha S ν = ɛ ν /k ν = B ν , dove B ν è la funzione di Planck.


Iν(0, µ) = aν + bν µ = Bν(tν = µ) . 

La cosiddetta approssimazione di Eddington-Barbier consiste nel supporre che questa identità, rigorosamente 

valida nel caso di una funzione di Planck lineare con tν, sia valida in generale. Si ha quindi, in questa 

approssimazione 

Iν(0, µ) Bν(tν = µ) . 

Se si pensa che la temperatura nell’atmosfera stellare sia un’assegnata funzione della quota geometrica 

z (T = T (z)), per determinare l’intensità emergente attraverso l’approssimazione di Eddington-Barbier è 

sufficiente calcolare la quota ˜z alla quale si ha tν = µ e si ottiene 

Iν(0, µ) Bν[T (˜z)] . 

Poiché in generale la temperatura decresce con z, ci si devono attendere due fenomeni diversi: 

a) Fissata la frequenza, l’intensità emessa dalla stella è maggiore al centro (µ = 1) che non al bordo (µ → 0). 

Questo fenomeno, che prende il nome di “oscuramento al bordo”, è osservabile soltanto sul Sole (in quanto è 

impossibile con le tecnologie attuali risolvere spazialmente la radiazione proveniente dalle stelle). In ultima 

analisi, tale fenomeno è dovuto al fatto che, osservando al centro del Sole, si riesce a penetrare più in 

profondità entro l’atmosfera solare. Osservando al bordo, invece, si vedono gli strati più superficiali che sono 

anche più freddi (e quindi meno luminosi). 

b) Fissato µ, poichè il coefficiente di assorbimento è funzione della frequenza, si ottiene un’intensità minore a 

quelle frequenze per le quali il coefficiente di assorbimento è più elevato e un’intensità maggiore alle frequenze 

per le quali il coefficiente di assorbimento è più basso. Ovviamente, “minore” e “maggiore” vanno qui intesi 

in senso relativo, ovvero rispetto a una funzione di Planck “media” non meglio specificata. In altre parole, si 

può pensare che uno spettro stellare sia costituito da una funzione di Planck “modulata” con una tendenza 

all’aumento alle frequenze dove il coefficiente di assorbimento è basso e una tendenza alla diminuzione dove 

il coefficiente di assorbimento è alto. In questo modo si spiegano facilmente le discontinuità del continuo 

che si osservano ai limiti delle serie (tipica l’improvvisa diminuzione del continuo a lunghezze d’onda minori 

di 3646 ˚A, la cosiddetta discontinuità di Balmer). Analogamente, se si considera un intervallo di frequenza 

centrato intorno a una riga spettrale, il coefficiente di assorbimento ha qui una variazione rapida, passando 

da un valore molto elevato al centro della riga a un valore molto minore nelle ali della riga stessa. Questo 

spiega, qualitativamente, la presenza di righe di assorbimento negli spettri stellari e induce a ritenere che, 

nei casi in cui si osservino righe di emissione, la temperatura debba invece avere un andamento crescente 

con la quota (cromosfere stellari). 

Per quanto riguarda le stelle, come abbiamo detto, non è possibile effettuare osservazioni dell’andamento 

dell’intensità in funzione di µ. Quello che si osserva è invece l’intensità media della radiazione sul disco 

stellare, Īν definita da (si veda la Fig. 2.6). 

ovvero 

π R 2 ∗ Īν 

2π 

= 

0 

dφ 

Īν(0) = 2 

π/2 

dθ Iν(0, θ) R 

0 

2 ∗ 

1 

0 

Iν(0, µ) µ dµ . 

cos θ sin θ , 

Sostituendo in questa equazione la soluzione formale trovata precedentemente, e invertendo l’ordine delle 

integrazioni, si ottiene 

Īν(0) = 2 

∞ 

0 

dtνBν(T ) 

1 

0 

e −tν/µ dµ . 

L’integrale in dµ può essere trasformato in termini di funzioni note. Attraverso la sostituzione w = 1/µ si 

ha


R 

* 

θ 

θ 

all’osservatore 

Fig 2.6. La radiazione emessa dall’elemento di superficie stellare individuato dall’angolo al centro θ è inclinata 

dello stesso angolo rispetto alla verticale. 

1 

0 

e −tν/µ dµ = 

∞ 

1 

1 −wtν 

e dw , 

w2 e introducendo la funzione integro-esponenziale di ordine n, definita dall’equazione 

si ottiene 

per cui 

En(x) = 

1 

0 

Īν = 2 

∞ 

1 

e−wx dw , (n ≥ 1) , 

wn e −tν/µ dµ = E2(tν) , 

∞ 

0 

Bν(tnu) E2(tν) dtν . 

L’analogo dell’approssimazione di Eddington-Barbier si ottiene supponendo che Bν sia una funzione lineare 

di tν. In questo caso, tenendo conto che 

si ottiene 

∞ 

0 

En(x) dx = 1 

n , 

∞ 

Īν = Bν(tν = 2 

3 ) . 

L’approssimazione di Eddington-Barbier risulta quindi 

5. Il modello di atmosfera grigia 

Īν Bν(tν = 2 

3 ) . 

0 

x En(x) dx = 1 

n + 1 , 

Consideriamo un’atmosfera piano-parallela in equilibrio termodinamico locale. Come abbiamo visto 

nel paragrafo precedente, l’intensità emergente può essere espressa attraverso un integrale che implica la


conoscenza della funzione di Planck (ovvero della temperatura) alle diverse profondità ottiche. Quando si 

conosce l’andamento con la profondità della temperatura e, eventualmente, delle altre grandezze fisiche (quali 

ad esempio la pressione), si dice che si dispone di un “modello di atmosfera”. 

Si possono costruire modelli di atmosfera più o meno sofisticati, a seconda della quantità di informazioni 

fisiche che si introducono nella descrizione dell’atmosfera stessa. Il più semplice di tali modelli, e anche il 

primo dal punto di vista storico, è il cosiddetto “modello dell’atmosfera grigia”. In tale modello si considera, 

come punto di partenza, un’atmosfera piano-parallela in equilibrio termodinamico locale e in equilibrio 

radiativo. Riguardo a quest’ultimo concetto bisogna osservare che l’energia può fluire attraverso un’atmosfera 

stellare per mezzo di tre meccanismi fisici distinti: irraggiamento, convezione, e conduzione. Un’atmosfera 

stellare si dice in equilibrio radiativo quando l’energia fluisce solamente per irraggiamento. 

Consideriamo una assegnata quota z nell’atmosfera stellare. L’energia netta di frequenza ν che fluisce, 

per unità di tempo, attraverso l’unità di superficie è data da 

1 

Fν(z) = 2π µ Iν(z, µ) dµ . 

−1 

La quantità Fν(z) viene detta flusso monocromatico. Ad essa contribuisce la radiazione proveniente dall’interno 

col segno positivo (µ > 0) e quella proveniente dall’esterno col segno negativo (µ < 0). In particolare, il 

flusso monocromatico alla superficie è connesso alla quantità Īν, introdotta precedentemente, dalla relazione 

Fν(0) = π Īν . 

La condizione dell’equilibrio radiativo implica che l’integrale del flusso monocromatico su tutte le frequenze 

sia costante, cioè indipendente da z. In formule, definendo il flusso totale F attraverso l’equazione 

F = 

∞ 

l’ipotesi dell’equilibrio radiativo implica 

0 

Fν dν = 2π 

dF 

dz 

∞ 

0 

= 0 . 

1 

dν µ Iν(z, µ) dµ , 

−1 

Il valore di F viene in genere parametrizzato attraverso la cosiddetta “temperatura efficace”, Teff, definita 

dalla relazione 

F = σ T 4 eff , 

(dove σ è la costante di Stefan-Boltzmann) e che ovviamente rappresenta la temperatura che dovrebbe avere 

un corpo nero per irradiare lo stesso flusso della stella. Il flusso è anche connesso alla luminosità L∗ e al 

raggio R∗ della stella attraverso la relazione 

F = L∗ 

4πR 2 ∗ 

L’ulteriore ipotesi semplificatrice che viene introdotta nel modello dell’atmosfera grigia (che ne giustifica 

il nome) è quella di assumere il coefficiente di assorbimento kν indipendente dalla frequenza. Questa ipotesi 

semplifica notevolmente il problema dal punto di vista matematico ma non è affatto realistica dal punto di 

vista fisico. Ovviamente il modello che così si ottiene deve essere considerato come una sorta di modello di 

ordine zero per una vera e propria atmosfera stellare. 

Nell’atmosfera grigia si può definire, in luogo della profondità ottica monocromatica tν, una profondità 

ottica “universale” t e l’equazione del trasporto si scrive 

µ d 

dt Iν(t, µ) = Iν(t, µ) − Bν(t) . 

Integrando l’equazione del trasporto in dν e definendo 

.

si ottiene 

I(t, µ) = 


∞ 

0 

Iν(t, µ) dν , B(t) = 

∞ 

µ d 

I(t, µ) = I(t, µ) − B(t) . 

dt 

0 

Bν(t) dν , 

Come si vede, l’ipotesi del coefficiente di assorbimento indipendente dalla frequenza permette di scrivere 

un’unica equazione del trasporto per le quantità integrate in frequenza. Questa è la semplificazione fondamentale 

dell’atmosfera grigia. 

A partire dalla I(t, µ) si possono definire i relativi momenti integrando sulle direzioni. Il momento di 

ordine n, Mn(t) è definito da 

Mn(t) = 1 

 

4π 

µ n I(t, µ) dΩ = 1 

1 

µ 

2 −1 

n I(t, µ) dµ . 

Il momento di ordine zero è l’intensità media (sulle direzioni) del campo di radiazione ed è indicato col 

simbolo J(t) 

J(t) = M0(t) = 1 

1 

I(t, µ) dµ . 

2 −1 

Il momento di ordine uno è proporzionale al flusso di energia raggiante. Infatti si ha 

1 

F (t) = 4πM1(t) = 2π µ I(t, µ) dµ . 

−1 

Infine il momento di ordine due è proporzionale alla pressione di radiazione ed è indicato col simbolo K(t) 

Integrando l’equazione del trasporto in dµ si ottiene 

K(t) = M2(t) = 1 

1 

µ 

2 −1 

2 I(t, µ) dµ . 

1 dF (t) 

= J(t) − B(t) , 

4π dt 

e sfruttando l’ipotesi dell’equilibrio radiativo (F = cost) si ha 

J(t) = B(t) . 

Moltiplicando poi l’equazione del trasporto per µ e integrando in dµ si ottiene 

che risolta dà 

dK(t) 

dt 

K(t) = 

= F 

4π , 

F t 

4π 

+ C , 

dove C è una costante da determinare attraverso le condizioni al contorno. 

Osserviamo che per t → ∞, ovvero alla base dell’atmosfera, dobbiamo aspettarci che il campo di radiazione 

tenda a divenire praticamente isotropo. Se la dipendenza da µ dell’intensità può essere rappresentata 

da una funzione lineare del tipo 

I(t, µ) = a(t) + b(t)µ , 

con a(t) e b(t) indipendenti da µ, si possono collegare fra loro le quantità J e K, e si ha


Fig 2.7. Confronto fra la legge dell’oscuramento al bordo relativa all’atmosfera grigia (linea continua) e i 

valori solari osservati (punti). 

K(t) = 1 

3 J(t) . 

Se si suppone che questa relazione sia valida per qualsiasi valore di t (e non solo per t → ∞) si adotta la 

cosiddetta “approssimazione di Eddington” con la quale il problema dell’atmosfera grigia può essere risolto 

analiticamente. Infatti, attraverso le relazioni trovate precedentemente si ha 

B(t) = J(t) = 3K(t) = 3 

F t + C′ 

4π 

con C ′ = 3C. Per determinare la costante C ′ sfruttiamo le condizioni al contorno relative alla superficie 

della stella (t = 0). Se la stella è isolata (cioè non appartiene a un sistema doppio o multiplo), il flusso alla 

superficie si può calcolare attraverso l’equazione (ottenuta per mezzo della soluzione formale dell’equazione 

del trasporto) 

F = 2π 

1 

0 

µ I(0, µ) dµ = 2π 

1 

0 

dµ µ 

∞ 

0 

, 

−t/µ dt 

B(t)e 

µ . 

Sostituendo l’espressione per B(t) e svolgendo il calcolo si ottiene facilmente 

dimodoché si ha per B(t) 

Ricordando infine che 

C ′ = F 

2π , 

B(t) = 3F 

4π 

 

2 t + 3 . 

B(t) = σ 

π T 4 (t) , F = σ T 4 eff , 

si ottiene l’andamento della temperatura con t per l’atmosfera grigia (nell’approssimazione di Eddington) 

T (t) = Teff 4 

 

3 

4 

In particolare si vede che alla superficie dell’atmosfera si ha 

 

2 t + 3 .


Fig 2.8. Andamento della temperatura in funzione di t in un’atmosfera grigia. La linea continua è la soluzione 

esatta mentre la linea punteggiata è la soluzione ottenuta per mezzo dell’approssimazione di Eddington. 

T (0) = 0.841 Teff , 

e che, per t = 2 

3 , si ottiene T = Teff. 

Dall’espressione di B(t) si può anche determinare l’andamento centro-lembo dell’intensità emergente 

dalla stella. Si ha infatti 

I(0, µ) = 

∞ 

0 

3F 

4π 

 

2 −t/µ 

t + 3 e dt 

µ = 3F 

4π 

 

2 µ + 3 . 

Definendo il rapporto di oscuramento al lembo, r(µ), attraverso l’equazione 

si ottiene 

r(µ) = 

r(µ) = 

I(0, µ) 

I(0, 1) , 

3µ + 2 

5 

Questa legge di oscuramento al bordo può essere confrontata coi risultati osservativi disponibili per il Sole. 

La differenza fra il valore di r(µ) teorico e quello osservato si mantiene sempre al di sotto del 5% (si veda la 

Fig. 2.7). 

È necessario infine sottolineare che il problema dell’atmosfera grigia può essere risolto esattamente dal 

punto di vista matematico (si veda ad es. S. Chandrasekhar, Radiative Transfer, Oxford, At the Clarendon 

Press, 1950). Il risultato finale può essere condensato nelle equazioni 

B(t) = 3F 

4π 

 

4 3 

[t + q(t)] , T (t) = Teff 4 [t + q(t)] , 

dove q(t) è un’opportuna funzione, detta funzione di Hopf, che cresce in maniera monotona dal valore 0.577 

per t = 0 fino al valore 0.710 per t → ∞. Essa differisce molto poco dal valore approssimato, pari a 2 

3 , 

ottenuto attraverso l’approssimazione di Eddington. 

L’andamento della temperatura in funzione di t è illustrato nella Fig. 2.8 (curva continua) insieme 

alla funzione ottenuta nell’approssimazione di Eddington (curva tratteggiata). La variazione percentuale 

massima fra le due curve è pari al 3.5% a t = 0. 

.


6. Modelli realistici di atmosfere stellari 

Il modello dell’atmosfera grigia che abbiamo sviluppato nel paragrafo precedente costituisce un’approssimazione 

grossolana delle atmosfere stellari in quanto il coefficiente di assorbimento è una funzione variabile 

della frequenza e, in realtà, può essere supposto costante soltanto in intervalli di frequenza estremamente 

ridotti. Il vantaggio del modello dell’atmosfera grigia è unicamente quello di fornire un’approssimazione 

analitica (o semi-analitica) della struttura fisica dell’atmosfera. Da questo punto di vista esso può essere 

paragonato ai modelli politropici degli interni stellari. 

Con l’avvento dei moderni elaboratori elettronici è stato possibile, a partire dalla fine degli anni 1950, 

costruire dei modelli più realistici delle atmosfere stellari. Tali modelli implicano la soluzione autoconsistente 

di un insieme di equazioni differenziali e sono basati, in generale, sulla solita approssimazione 

dell’atmosfera piano-parallela in equilibrio termodinamico locale. Accanto all’equazione del trasporto radiativo 

per l’intensità specifica 

µ d 

dz Iν(z, µ) = −kν[Iν(z, µ) − Bν(z)] , 

si considerano l’equazione dell’equilibrio radiativo, l’equazione dell’equilibrio idrostatico e l’equazione di stato 

dei gas perfetti, ovvero 

dF 

dz 

= d 

dz 

dP 

dz 

∞ 

0 

1 

dν 2π µ Iν(z, µ) dµ = 0 , 

−1 

ρ 

= −ρ g , P = kBT . 

¯µmH 

In queste equazioni, P è la pressione del gas atmosferico, ρ è la densità, g è la gravità alla superficie della 

stella, ¯µ è il peso molecolare medio e mH è l’unità di peso atomico. Considerando P e T come variabili 

indipendenti, e supponendo di conoscere le relazioni che collegano kν e ¯µ a P e T (si veda il paragrafo 

successivo per l’espressione di kν in funzione di queste due variabili), le equazioni possono essere risolte 

numericamente tenendo conto delle opportune condizioni al contorno. Tali condizioni sono le seguenti 

che fissa l’entità del flusso radiativo; 

F = σ T 4 eff , 

Iν(0, µ < 0) = 0 , 

che traduce il fatto che la stella è isolata e quindi non illuminata dall’esterno. 

Dalla soluzione delle equazioni si ricava il modello teorico dell’atmosfera stellare, ovvero una tabella di 

numeri che danno l’andamento delle due funzioni P (z) e T (z). Il modello viene a dipendere esplicitamente 

da tre soli parametri, ovvero dalla temperatura efficace Teff, dalla gravità superficiale g e da un insieme 

di numeri {Ai} che stabiliscono le abbondanze relative dei vari elementi. La dipendenza da quest’ultimo 

parametro è contenuta nelle funzioni kν(P, T ) e ¯µ(P, T ). 

Nel caso del Sole, data la notevole vicinanza e la possibilità di osservarne lo spettro in maniera molto 

dettagliata, è anche possibile ottenere dei “modelli empirici” dell’atmosfera solare. Un modello teorico, infatti, 

è basato sull’ipotesi dell’equilibrio radiativo e porta necessariamente a un andamento decrescente della 

temperatura con la quota. Nel caso solare, sappiamo invece che esiste una deposizione di energia (probabilmente 

dovuta a onde meccaniche o magneto-idrodinamiche) negli strati fotosferici più elevati. Questa 

deposizione di energia fa sì che, procedendo dagli strati fotosferici più profondi verso l’alto, la temperatura 

inizialmente diminuisca, passi per un minimo (il cosiddetto “minimo di temperatura”) a circa 4000 K, e poi 

risalga per raggiungere valori dell’ordine di 10,000 K nella cromosfera. Questo andamento della temperatura 

può essere dedotto utilizzando l’enorme quantità di informazioni contenuta nello spettro, in modo che è possibile 

ottenere dei modelli empirici dell’atmosfera solare, sempre basati sull’ipotesi dell’equilibrio idrostatico, 

che danno l’andamento delle varie quantità termodinamiche in funzione della quota. I più noti di tali modelli 

sono il modello HSRA (Harvard Smithsonian Reference Atmosphere) e i modelli VAL (dalle iniziali delle


Fig 2.9. Andamento della temperatura con la profondità ottica a 5000 ˚A per i due modelli VAL-A e VAL-C. 

Il primo descrive l’atmosfera solare media mentre il secondo descrive una tipica regione attiva (plage). 

persone, Vernazza, Avrett e Looser, che li hanno proposti). Nei modelli empirici dell’atmosfera solare, la 

scala di profondità è data sia in km, sia in funzione della profondità ottica misurata a una lunghezza d’onda 

di riferimento (generalmente τ5000, la profondità ottica alla lunghezza d’onda di 5000 ˚A) 1 . Per convenzione 

si suppone poi di misurare la quota a partire dal livello in cui si ha τ5000 = 1. Un esempio dell’andamento 

della temperatura in funzione di τ5000 per due modelli empirici è rappresentato nella Fig. 2.9 

7. Lo spettro continuo 

Per l’analisi dello spettro solare, è spesso necessario calcolare, in funzione della frequenza, il valore 

dell’intensità specifica che emerge dall’atmosfera, descritta da un adeguato modello teorico o empirico. Assegnate 

le funzioni P (z) e T (z) si tratta quindi di valutare un integrale della forma (si vedano le equazioni 

del Par. 2.4) 

Iν(0, µ) = 

∞ 

0 

−tν/µ dtν 

Bν(tν) e 

µ , 

La difficoltà maggiore del calcolo consiste nell’esprimere la relazione esistente fra tν e la quota, ovvero nel 

trovare la funzione 

tν = tν(z) . 

Poiché, d’altra parte, questa relazione deriva dall’integrazione dell’equazione differenziale 

dtν = −kν(z) dz , 

il problema è ricondotto, in ultima analisi, a trovare l’espressione del coefficiente di assorbimento kν per una 

quota z assegnata. 

Nelle zone di spettro nelle quali non sono presenti righe spettrali, il coefficiente di assorbimento kν (detto 

anche, in astrofisica, “opacità” 2 è dovuto ai soli processi fisici del tipo legato-libero e libero-libero. I processi 

1 Il simbolo comunemente usato nei modelli per la profondità ottica misurata lungo la verticale è τ e non t. Per essere 

consistenti con le nostre notazioni dovremmo scrivere piuttosto t 5000 . 

2 Sebbene questa distinzione non sia universalmente accettata, in questo volume preferiamo riservare il nome di coefficiente 

di opacità alla quantità κ ν definita come il rapporto k ν /ρ, con ρ densità. κ ν è anche talvolta denominato “coefficiente di 

assorbimento massico”.


che contribuiscono maggiormente al coefficiente di assorbimento nelle atmosfere stellari sono i seguenti: 

a) fotoionizzazione dell’atomo di Idrogeno; un atomo di Idrogeno che si trova in un livello legato assorbe 

un fotone e viene così ionizzato. Un tale processo può essere schematizzato come una “reazione” del tipo 

H + hν → H + + e − ; 

b) transizioni libero-libero fra stati a energia positiva dell’atomo di Idrogeno (o processi di bremsstrahlung 

inversa): H + + e − + hν → H + + e − ; 

c) fotoionizzazione dello ione negativo di Idrogeno: H − + hν → H + e − ; 

d) processi di tipo a) e b) per atomi di Elio e altri elementi relativamente abbondanti nelle atmosfere stellari 

(O, C, N, Si, Mg, Ne, Fe, etc.); 

e) diffusione Thomson su elettroni e diffusione Rayleigh su atomi o ioni. 

Il contributo al coefficiente di assorbimento relativo a ciascun processo può essere calcolato attraverso dei 

metodi generali, basati sull’elettrodinamica classica e quantistica, sui quali non possiamo però addentrarci 

in questa sede (ulteriori approfondimenti su questo argomento sono contenuti nel Par. 6.5). In molti casi, 

è però sufficiente utilizzare un metodo classico relativamente semplice basato sulla teoria dell’elettrone di 

Lorentz che è presentata nel paragrafo seguente. Senza analizzare in dettaglio tutti i processi elencati, ci 

limitiamo qui a considerare il contributo al coefficiente di assorbimento dovuto allo ione H − che risulta il più 

importante nel caso dell’atmosfera del Sole per le lunghezze d’onda del visibile e del vicino infrarosso. 

Un atomo di Idrogeno e un elettrone libero possono, per così dire, “combinare” per dare uno ione 

negativo stabile avente un’energia di legame dell’ordine di 0.75 eV. Lo stato che ne deriva, in analogia allo 

stato fondamentale dell’Elio, è uno stato del tipo 1s 2 1 S0. La stabilità di questo ione fu prevista teoricamente 

da Bethe nel 1929 mediante un calcolo variazionale. Il valore attualmente accettato per l’energia di legame 

dello ione H − è pari a 0.75416 eV. Un fotone avente lunghezza d’onda inferiore al valore di soglia di 16438 ˚A 

è in grado di ionizzare lo ione H − e il relativo coefficiente di assorbimento è dato dall’equazione 

k (a) 

ν = N H − σν , 

dove N H − è la densità degli ioni H − espressa in numero di particelle per unità di volume, e σν è la sezione 

d’urto del processo. Il calcolo teorico della sezione d’urto implica la valutazione dell’elemento di matrice di 

dipolo fra gli stati iniziali e finali della transizione e questo, a sua volta, implica la conoscenza delle autofunzioni 

dello stato legato e degli stati liberi dello ione H − . I calcoli dettagliati, eseguiti da Chandrasekhar 

e altri autori negli anni 1950, danno per σν i valori riportati nella Fig 2.10. La sezione d’urto presenta un 

massimo intorno a 8500 ˚A (dove vale circa 1.4 a 2 0, essendo a0 il raggio della prima orbita di Bohr) e risulta 

di poco inferiore a tale valore in tutta la regione dello spettro visibile (la regione dove l’intensità del campo 

di radiazione è massima per stelle di tipo solare). 

Noto σν, il problema di trovare il valore del coefficiente di assorbimento si riconduce al problema di 

determinare la densità degli ioni H − in un punto dell’atmosfera caratterizzato da valori di P e di T dati 

dal modello. Questo è, a sua volta, un problema molto generale che, come vedremo, coinvolge l’equilibrio di 

ionizzazione di tutti gli elementi presenti nell’atmosfera stessa. Il calcolo dettagliato, sviluppato nel seguito, 

può essere considerato come un esempio caratteristico di calcoli analoghi che devono essere effettuati per 

determinare le densità di tutte le specie chimiche presenti nell’atmosfera stellare. 

Supponiamo di conoscere le abbondanze relative di tutti gli elementi rispetto all’Idrogeno e indichiamo 

tali abbondanze con il simbolo AHe per l’Elio, e con AMi per il generico elemento caratterizzato dall’indice i. 

Se si suppone per semplicità che nell’atmosfera il grado di ionizzazione massimo dell’Elio e di tutti gli altri 

elementi sia 1, e trascurando il contributo delle “specie minori” (quali le molecole e lo ione H − stesso, il che 

costituisce una buona approssimazione nel caso solare), si ha, per la legge di Dalton 

P = Pe + (PH + P H +) + (PHe + P He +) + 

i 

(PMi + P M + 

i 

dove Pe è la pressione elettronica, PH la pressione dovuta agli atomi di Idrogeno neutri, P H + la pressione 

dovuta agli atomi di Idrogeno ionizzati, etc.. D’altra parte, affinché sia soddisfatta la condizione di neutralità 

del plasma, si deve anche avere 

) ,


Fig 2.10. Sezione d’urto per fotoionizzazione dello ione negativo dell’atomo di Idrogeno. La sezione d’urto 

è in unità di a2 0 , mentre la lunghezza d’onda è espressa in µm. 

Pe = P H + + P He + + 

i 

P M + 

i 

Introduciamo adesso i rapporti di ionizzazione per le singole specie 

x = 

P H + 

PH + P H + 

, y = 

P He + 

PHe + P He + 

. 

, zi = 

P M + 

i 

PMi + P M + 

i 

che, in base all’equazione di Saha1 , sono funzioni note di T e Pe. Sostituendo nelle equazioni precedenti e 

introducendo le abbondanze relative all’Idrogeno si ha 

 

P = Pe + (PH + PH +) 1 + AHe + 

 

, 

dalle quali si ottiene 

Pe = (PH + P H +) 

 

x + yAHe + 

 

P = Pe 1 + 1 + AHe + 

x + yAHe + 

i 

i 

i AMi 

i ziAMi 

AMi 

ziAMi 

A proposito di questa equazione si può osservare che, essendo tutte le abbondanze AMi praticamente trascurabili 

rispetto alle abbondanze dell’Idrogeno e dell’Elio, al numeratore della frazione la somma su i può 

essere omessa. Al denominatore però la somma non si può omettere in quanto, dato il basso potenziale di 

ionizzazione dei metalli, in molti casi si può avere che alcuni degli zi siano molto vicini all’unità mentre x 

e y sono praticamente nulli. In questo senso P risulta una funzione di Pe molto sensibile alle abbondanze 

AMi, cosa che è del resto intuitiva dal punto di vista fisico. Ritornando all’equazione di sopra, e ricordando 

che x, y e zi sono funzioni di T e Pe, si ha 

P = P (T, Pe) . 

1 Si suppone qui che il lettore sia a conoscenza di tale equazione e del suo significato. La sua espressione esplicita è data nel 

Par. 5.2. 

 

 

. 

, 

,


Questa equazione può essere invertita mediante calcoli numerici così da ottenere 

Pe = Pe(T, P ) . 

Nota Pe, le pressioni parziali delle singole specie possono essere facilmente ottenute. Ad esempio, per la 

pressione parziale dell’Idrogeno neutro si ha 

PH = (1 − x) (PH + P H +) = (1 − x) 

P − Pe 

1 + AHe + 

i AMi 

Infine si può determinare, sempre attraverso l’equazione di Saha, il rapporto r fra la pressione parziale dello 

ione H − e la pressione parziale dell’Idrogeno neutro, e si ottiene 

N H − = P H − 

kBT 

= rPH 

kBT 

= r (1 − x) 

kBT 

P − Pe 

1 + AHe + 

i AMi 

A proposito di questo risultato bisogna osservare che esso è stato ottenuto supponendo che la densità degli 

ioni di Idrogeno negativo sia molto minore delle densità degli atomi di Idrogeno neutri o ionizzati (altrimenti 

il contributo esplicito della pressione parziale degli H − avrebbe dovuto essere incluso nelle equazioni di 

partenza per P e Pe). Questa approssimazione è del tutto giustificata per l’atmosfera solare nella quale 

l’Idrogeno si trova nella forma di ione negativo per una frazione trascurabile dell’Idrogeno totale (il rapporto 

N H −/NH varia sostanzialmente fra 10 −9 e 10 −7 a seconda della quota). 

Il problema della determinazione del contributo al coefficiente di assorbimento kν dovuto allo ione H − 

è così risolto. In effetti bisogna tener conto anche del fatto che il coefficiente di assorbimento che abbiamo 

calcolato è k (a) 

ν e non kν = k (a) 

ν − k (s) 

ν . Tuttavia, quando vale l’equilibrio termodinamico locale, si ha 

semplicemente 

kν = k (a) 

ν 

 

−hν/(kBT 

1 − e 

) 

per cui la correzione dovuta all’emissione stimolata è facilmente introdotta. Per mezzo di calcoli analoghi 

si possono poi ottenere tutti gli altri contributi a kν e il coefficiente di assorbimento risulta determinato in 

funzione di T e P , ovvero in funzione della quota z. Questo permette di risolvere l’equazione del trasporto 

e di determinare lo spettro continuo della radiazione emessa dal Sole o dalla stella. 

8. La teoria dell’elettrone di Lorentz 

Prima dell’avvento della meccanica quantistica, i fenomeni di irraggiamento delle cariche elettriche 

avevano ricevuto un’adeguata interpretazione nell’ambito di una teoria relativamente semplice alla quale 

avevano contribuito diversi autori e, in particolare, il fisico olandese Lorentz. Sebbene tale teoria sia oggi 

sorpassata dall’elettrodinamica quantistica, essa permette di ottenere con semplicità dei risultati importanti 

e sostanzialmente corretti, validi però entro l’ambito ristretto della fisica classica. In molti casi, tuttavia, tali 

risultati possono essere convenientemente estesi in maniera fenomenologica per tener conto delle correzioni 

introdotte dalla meccanica quantistica. Nel seguito illustreremo alcuni delle applicazioni più importanti della 

teoria classica dell’elettrone (o teoria di Lorentz). 

A) L’elettrone libero: diffusione Thomson 

Consideriamo un elettrone libero investito da un’onda elettromagnetica monocromatica il cui vettore campo 

elettrico è descritto, in notazioni complesse, dall’equazione 

E(t) = E0 e −i (ωt−ϕ) , 

dove E0 è l’ampiezza dell’onda, ω è la frequenza angolare e ϕ è un fattore di fase. L’equazione di moto 

dell’elettrone risulta 

ma = −e0 E0 e −i (ωt−ϕ) , 

, 

. 

.


dove m e e0 sono, rispettivamente, la massa e la carica dell’elettrone (quest’ultima espressa in valore assoluto). 

L’accelerazione dell’elettrone è quindi data da 

a = − e0 

m E0 e −i (ωt−ϕ) . 

Come è noto, una carica q in moto accelerato irradia, in approssimazione non-relativistica, secondo la formula 

seguente (detta equazione di Larmor) 

W = 2 q2 a 2 

3 c 3 

dove W è la potenza dell’emissione, ovvero l’energia emessa in tutto l’angolo solido per unità di tempo e 

dove c è la velocità della luce. Applicando questa equazione al nostro caso particolare, e tenendo presente 

il carattere sinusoidale dell’accelerazione, la potenza media emessa dall’elettrone su un periodo dell’onda è 

data da 

Wmed = e40 E2 0 

3 m2 . 

c3 D’altra parte, l’elettrone risulta investito da un flusso di energia elettromagnetica dato da 

F = 1 

8π (E2 + B 2 ) c . 

Per la nostra onda, essendo E = B e mediando su un periodo, si ha 

Fmed = 1 

8π E2 0 c . 

Si può quindi definire la sezione d’urto di diffusione dell’elettrone mediante l’equazione 

Wmed = σFmed . 

Nel nostro caso dell’elettrone libero, la sezione d’urto del processo di diffusione è detta sezione d’urto Thomson 

ed è indicata col simbolo σT. Essa vale 

ovvero, numericamente 

σT = 8π 

3 

, 

e4 0 

m2 , 

c4 σT = 6.652 × 10 −25 cm 2 . 

Introducendo la quantità rc, detta “raggio classico dell’elettrone”, definita dall’equazione 

rc = e2 0 

m c 2 = 2.818 × 10−13 cm , 

la sezione d’urto Thomson può essere anche espressa nella forma 

σT = 8π 

3 r2 c . 

B) L’elettrone legato: diffusione Rayleigh 

Si consideri adesso il caso di un elettrone legato in un atomo o in una molecola. Seguendo il modello atomico 

di Lorentz, si assume che le forze che tengono legato l’elettrone all’atomo possano essere schematizzate 

con un’unica forza di richiamo elastica del tipo F = −kx, dove x è il vettore che individua la posizione 

dell’elettrone rispetto al nucleo atomico (al centro di massa delle cariche elettriche positive nel modello 

originario di Lorentz). In assenza di termini forzanti, il modello di Lorentz fornisce per l’elettrone l’equazione 

differenziale


m d2x = −kx , 

dt2 la quale, risolta, dà per x una soluzione di carattere oscillatorio caratterizzata dalla frequenza angolare ω0 

definita da 

 

k 

ω0 = 

m . 

Nella vecchia teoria atomica classica, la frequenza ω0 veniva assunta come un parametro. Tale parametro era 

fissato fenomenologicamente facendolo coincidere con la frequenza angolare della riga di risonanza dell’atomo 

stesso. Ad esempio, nel caso dell’atomo di Sodio, la riga di risonanza (che è in verità un doppietto) cade alla 

lunghezza d’onda λ0 pari a 5890 ˚A. In termini di ω0 si ha 

ω0 = 2π c 

= 3.20 × 10 

λ0 

15 s −1 . 

Tenendo conto di questa forza di richiamo elastica, l’equazione di moto dell’elettrone soggetto all’azione 

perturbatrice dell’onda elettromagnetica risulta 

d 2 x 

dt 2 = −ω2 0x − e0 

m E0 e −i (ωt−ϕ) . 

Questa equazione differenziale si risolve cercando una soluzione del tipo 

Con facili passaggi si ottiene 

L’accelerazione dell’elettrone è quindi data da 

x = x0 e −i (ωt−ϕ) . 

x0 = − e0 

m 

a = d2 x 

dt 2 = −ω2 x = e0 

m 

1 

ω 2 0 − ω2 E0 . 

ω 2 

ω 2 0 − ω2 E0 e −i (ωt−ϕ) . 

A questo punto si possono ripetere gli stessi ragionamenti fatti a proposito dell’elettrone libero e si ottiene, 

per l’elettrone legato, una nuova sezione d’urto, detta sezione d’urto Rayleigh, data da 

che può anche essere scritta nella forma 

σR = 8π 

3 

σR = 

ω 4 

(ω 2 0 − ω2 ) 2 

e4 0 

m2 , 

c4 ω 4 

(ω 2 0 − ω2 ) 2 σT . 

Si noti che, nel caso limite ω0 ≪ ω, che rappresenta il caso di un elettrone libero, si ritrova 

mentre nel caso opposto, ω0 ≫ ω, si ottiene 

σR = σT , 

σR = ω4 

ω4 σT . 

0 

Questa dipendenza della sezione d’urto Rayleigh con la quarta potenza della frequenza (ovvero con la potenza 

-4 della lunghezza d’onda) è tipica di un gran numero di sostanze, almeno quando ci si limita a considerare la 

radiazione dello spettro visibile. Questo è dovuto al fatto che le righe di risonanza di tali sostanze cadono nella


regione ultravioletta dello spettro. Il colore azzurro del cielo e, il fenomeno, ad esso correlato, della colorazione 

rossa del Sole (o della Luna) all’alba e al tramonto, sono due esplicite manifestazioni dell’andamento della 

sezione d’urto Rayleigh con la frequenza secondo la formula data sopra. 

C) Righe spettrali 

La formula della sezione d’urto Rayleigh trovata precedentemente presenta una divergenza alla frequenza 

di risonanza ω0. Tale divergenza può essere rimossa introducendo nell’equazione di moto dell’elettrone un 

termine di smorzamento. L’esistenza di uno smorzamento è d’altra parte ovvia dal punto di vista fisico in 

quanto l’elettrone irradia e deve quindi subire un fenomeno che tende a sottrargli energia meccanica. Per 

descrivere quantitativamente tale smorzamento, si può seguire il seguente ragionamento. 

Innanzitutto si osserva che, poiché 

 

2 d d x dx 

· 

dt dt2 dt 

= d3x dx 

· 

dt3 dt + 

2 d x 

dt2 2 

per un moto periodico, integrando lungo un periodo e dividendo per il periodo stesso, si ottiene, per le 

quantità medie 

d 3 2 d x dx 

x 

· = − 

dt3 dt med dt2 2 

. 

med 

Se si ricorda adesso la formula di Larmor, per la conservazione dell’energia si deve avere che sull’elettrone 

agisce una forza di smorzamento, Fsmorz, tale che 

Fsmorz · dx 

dt = −W = −2e2 0 

3c3 2 d x 

dt2 2 

Confrontando le due equazioni precedenti, se ne deduce che la forza di smorzamento è data, in media, 

dall’espressione 

Fsmorz = 2 e20 3 c3 d3x dt3 . 

Si riscrive adesso l’equazione di moto dell’elettrone tenendo conto anche della forza di smorzamento. L’equazione 

risulta 

d2x dt2 = −ω2 0 x + 2 e20 3 m c3 d3x Al solito, si cerca una soluzione di questa equazione del tipo 

e si trova, con facili passaggi 

dove si è posto 

Passando all’accelerazione, si trova infine 

x0 = − e0 

m 

a = d2 x 

dt 2 = −ω2 x = e0 

m 

e0 

− 

dt3 m E0 e −i (ωt−ϕ) . 

x = x0 e −i (ωt−ϕ) , 

1 

ω 2 0 − ω2 − iγω E0 , 

γ = 2 e2 0 

3 m c 3 ω2 . 

ω 2 

ω 2 0 − ω2 − iγω E0 e −i (ωt−ϕ) . 

A questo punto si possono di nuovo ripetere gli stessi ragionamenti fatti precedentemente (con la differenza 

che adesso il vettore a è complesso e dobbiamo quindi considerarne il modulo quadro). Per l’elettrone legato 

in presenza di smorzamento si ottiene una nuova sezione d’urto, che indichiamo con σA, data da 

. 

,


σA = 

ω 4 

(ω 2 0 − ω2 ) 2 + γ 2 ω 2 σT . 

Osserviamo adesso che il termine in γ 2 al denominatore può essere trascurato a meno che non ci si trovi 

in vicinanza della risonanza. Questo è dovuto al fatto che il rapporto γ0/ω0 (dove γ0 è il valore di γ per 

ω = ω0) è molto minore di 1. Si ha infatti, per frequenze tipiche dello spettro visibile (ω0 3 × 10 15 s −1 ) 

γ0 

ω0 

= 2 e2 0 

3 m c 3 ω0 2 × 10 −8 . 

Quando si trascura tale termine si ritrova ovviamente l’espressione della sezione d’urto di Rayleigh. Altrimenti, 

in vicinanza della risonanza, γ può essere identificato con γ0, e ponendo 

si ottiene, essendo ω ω0 

ω 2 0 − ω 2 = (ω0 + ω)(ω0 − ω) 2 ω0(ω0 − ω) , 

σA = σT 

4 

ω2 0 

(ω0 − ω) 2 . 

+ (γ0/2) 2 

È interessante osservare che alla risonanza, ovvero per ω = ω0, la sezione d’urto σA assume il valore 

ω 

σA(ω = ω0) = σT 

2 0 

γ2 0 

ovvero, sostituendo il valore di γ0 trovato precedentemente, 

σA = 3 

2π λ2 0 , 

dove λ0 = 2πc/ω0 è la lunghezza d’onda della riga. Questa espressione mostra che il picco di risonanza della 

sezione d’urto atomica è estremamente elevato. In altre parole, la sezione d’urto per diffusione di un elettrone 

legato è, alla risonanza, circa 10 15 volte maggiore della corrispondente sezione d’urto di un elettrone libero. 

L’espressione per σA che abbiamo trovato è tradizionalmente scritta in maniera diversa. Ricordando le 

espressioni di σT e di γ0, si ha infatti 

σA = π e2 0 

m c 

γ0 

(ω0 − ω) 2 . 

+ (γ0/2) 2 

Inoltre, introducendo la frequenza in luogo della frequenza angolare, ovvero sostituendo 

si ha 

ω = 2πν , ω0 = 2πν0 , 

σA = π e2 0 

m c 

1 

π 

Γn 

(ν0 − ν) 2 + Γ 2 n 

dove la cosiddetta “larghezza naturale della riga”, Γn, è data da 

Se adesso si osserva che 

∞ 

−∞ 

Γn = γ0 

4π = 2π e20 ν2 0 

3 m c3 1 

π 

Γn 

(ν0 − ν) 2 + Γ2 dν = 1 , 

n 

(come si può facilmente mostrare eseguendo nell’integrale il cambiamento di variabile x = (ν − ν0)/Γn), si 

ottiene 

, 

. 

,


Fig 2.11. Andamento del profilo Lorentziano in funzione della frequenza ridotta v = (ν −ν0)/Γn. Il massimo 

del profilo vale 1/(πΓn). 

∞ 

σA dν = 

−∞ 

π e20 m c . 

In definitiva, la sezione d’urto atomica può essere posta nella forma 

σA = π e2 0 

m c φ(ν − ν0) , 

dove il profilo φ(ν − ν0), normalizzato all’unità in frequenza, è dato da 

φ(ν − ν0) = 1 

π 

Γn 

(ν0 − ν) 2 + Γ2 n 

. 

Un simile profilo è detto Lorentziano. Esso è riportato in grafico nella Fig. 2.11. Si tratta di un profilo molto 

stretto che si riduce di un fattore 1 

2 a una distanza ∆ν dalla frequenza centrale pari a Γn. Per una tipica 

riga del visibile (a λ0 = 5000 ˚A), si ha 

∆ν = Γn 7.1 × 10 6 s −1 . 

In lunghezza d’onda la larghezza del profilo risulta 

∆λ = λ20 Γn 

c = 2π e20 2π 

= 

3 m c2 3 rc 0.06 m˚A . 

D) Correzioni dovute alla Meccanica Quantistica 

Il modello classico di Lorentz è ovviamente valido in un ambito molto ristretto. Esso porta alla seguente 

espressione per il coefficiente di assorbimento dovuto a una riga spettrale 

πe 

kν = NAσA = NA 

2 0 

m c φ(ν − ν0) , 

dove NA è la densità numerica degli atomi. Passando alla meccanica quantistica, bisogna ricordare che ogni 

riga spettrale si origina dalla transizione tra due livelli, un livello inferiore (o livello basso, contrassegnato 

dall’indice b) e un livello superiore (o livello alto, contrassegnato dall’indice a). La formula di Lorentz si 

generalizza semplicemente al caso quantistico dove assume la forma 

kν = Nb 

π e 2 0 

m c fba φ(ν − ν0) ,


dove Nb è la densità numerica degli atomi che si trovano nel livello b, e dove fba è la cosiddetta “forza di 

oscillatore” della riga, ovvero il numero equivalente di oscillatori classici che bisogna pensare essere presenti 

nell’atomo in modo da poter applicare la formula classica del coefficiente di assorbimento. L’elettrodinamica 

quantistica fornisce l’espressione della forza di oscillatore in termini dell’elemento di matrice di dipolo fra le 

autofunzioni atomiche dei livelli a e b. In notazione di Dirac si ha 

fba = 8π2 m ν0 

3 h |〈b| r |a〉|2 . 

La forza di oscillatore è un numero puro. Essa può essere posta in una forma equivalente ricordando la 

definizione della lunghezza d’onda Compton dell’elettrone, λC = h/(mc). Esprimendo l’elemento di matrice 

di dipolo in termini del raggio della prima orbita di Bohr, a0, ovvero ponendo 

dove ξ è un numero adimensionale, si ottiene 

Per una riga a 5000 ˚A, si ha ad esempio 

|〈b| r |a〉| 2 = ξ a 2 0 , 

fba = 8π2 

3 ξ a2 0 

λ0λC 

fba 0.0607 ξ . 

E) Correzioni del profilo dovute alle collisioni e ai moti termici 

Per quanto riguarda il profilo, bisogna tener conto di vari fenomeni che contribuiscono al suo allargamento. 

Oltre all’allargamento naturale, descritto classicamente dalla quantità Γn del punto C), si ha anche un 

allargamento collisionale e un allargamento dovuto all’effetto Doppler. 

L’allargamento collisionale produce ancora un profilo del tipo Lorentziano della forma 1 

dove 

φ(ν − ν0) = 1 Γ 

π (ν − ν0) 2 , 

+ Γ2 Γ = Γn + Γc , 

Γn essendo la costante definita precedentemente e Γc, il contributo collisionale alla costante di smorzamento, 

essendo dato da 

Γc = f 

2π , 

con f frequenza delle collisioni. 

Riguardo all’allargamento prodotto dall’effetto Doppler, bisogna considerare il fatto che gli atomi che 

assorbono la radiazione hanno una distribuzione di velocità che supponiamo essere una Maxwelliana caratterizzata 

dalla temperatura T . Indichiamo con P (w) dw la probabilità che la componente della velocità 

dell’atomo lungo la direzione della radiazione assorbita sia compresa fra w e w + dw. La funzione di distribuzione 

normalizzata, P (w), è data da 

P (w) = 

1 

√ e 

π wT 

−(w/wT)2 

dove la velocità termica, wT, è connessa alla temperatura e alla massa M dell’atomo dall’equazione 

 

2kBT 

wT = 

M . 

1 Per una dimostrazione semiclassica di questa equazione si veda ad es. G.B. Rybicki & A.P. Lightman Radiative Processes 

in Astrophysics, John Wyley & Sons, New York etc., 1979. 

. 

,


Fig 2.12. Grafico della funzione di Voigt H(v, a) per a = 0 (linea continua), a = 0.2 (linea punteggiata) e 

a = 1 (linea tratteggiata). 

Un atomo che si muova con velocità w presenta (all’ordine più basso della teoria della relatività) un profilo 

di assorbimento centrato intorno alla frequenza ν ′ 0 data da 

ν ′ 

0 = ν0 1 + w 

 

. 

c 

Il profilo di assorbimento dovuto all’insieme degli atomi è quindi dato da 

ϕ(ν − ν0) = 

∞ 

−∞ 

ovvero, ricordando l’espressione della funzione P (w) 

ϕ(ν − ν0) = 

∞ 

−∞ 

1 

π 

Γ 

ν − ν0 − ν0 w 

c 

φ(ν − ν ′ 0 ) P (w) dw , 

2 + Γ 2 

1 

√ e 

π wT 

−(w/wT)2 

dw . 

Questa espressione viene comunemente semplificata introducendo le quantità 

wT 

∆νD = ν0 

c 

, a = Γ 

∆νD 

ν − ν0 

, v = 

∆νD 

che rappresentano, rispettivamente, la larghezza Doppler del coefficiente di assorbimento (in unità di frequenza), 

la costante di smorzamento ridotta, e la distanza in frequenza dal centro della riga normalizzata 

alla larghezza Doppler. Attraverso il cambiamento di variabile y = w/wT, l’integrale precedente può essere 

posto nella forma 

ϕ(ν − ν0) = 

1 

√ H(v, a) , 

π ∆νD 

dove la funzione H(v, a), detta funzione di Voigt, è definita da 

H(v, a) = a 

∞ 

π −∞ 

e−y2 (v − y) 2 dy . 

+ a2 La funzione di Voigt gode di alcune proprietà che possono essere dedotte dalla sua espressione generale: 

∞ 

−∞ 

H(v, a) dv = √ π , 

,


lim H(v, a) = e−v2 

a→0 

1 

lim H(v, a) = √ 

a→∞ π 

, 

a 

v2 . 

+ a2 La prima proprietà permette di dimostrare con facili trasformazioni che il profilo ϕ(ν − ν0) è normalizzato 

a 1 in frequenza 

∞ 

−∞ 

ϕ(ν − ν0) dν = 1 . 

Le altre due proprietà mostrano che, nel caso limite di smorzamento trascurabile, la funzione di Voigt assume 

la forma gaussiana, mentre, nel caso limite opposto in cui l’allargamento termico è trascurabile la funzione 

di Voigt degenera in una lorentziana. In generale, la funzione di Voigt presenta un andamento gaussiano 

intorno a v = 0 e un andamento Lorentziano nelle ali. Casi tipici sono illustrati nella Fig. 2.12. 

9. Righe spettrali in equilibrio termodinamico locale 

Nell’intorno di una riga spettrale in equilibrio termodinamico locale, l’equazione del trasporto assume 

la forma 

µ dI(ν, µ) 

dz 

= −[kν + kR ϕ(ν − ν0)] [I(ν, µ) − Bν] , 

dove kR è il coefficiente di assorbimento della riga integrato in frequenza, dato da 

kR = Nb 

π e 2 0 

m c fba , 

e dove ϕ(ν − ν0) è il profilo (normalizzato a 1 in frequenza) dato da 

ϕ(ν − ν0) = 

1 

√ H(v, a) . 

π∆νD 

Il coefficiente di assorbimento del continuo, kν, è praticamente costante nell’intorno della riga (la larghezza 

di una riga spettrale è, tipicamente, dell’ordine della frazione di ˚A mentre kν varia su scale dell’ordine del 

centinaio di ˚A). Poniamo quindi kν = kc e definiamo la profondità ottica tc con l’equazione 

dtc = −kc dz . 

Con questa definizione l’equazione del trasporto assume la forma 

dove abbiamo posto 

µ dI(ν, µ) 

= [1 + η0H(v, a)] [I(ν, µ) − Bν] , 

dtc 

η0 = 

kc 

kR 

√ π ∆νD 

Assegnato un modello atmosferico, questa equazione può essere risolta numericamente. Il calcolo della 

quantità η0 può essere impostato in maniera del tutto analoga a quanto fatto nel paragrafo precedente per 

il calcolo del coefficiente di assorbimento del continuo. Basta per questo andarsi a calcolare la densità degli 

atomi assorbenti (atomi di Ferro ionizzato, ad esempio, per il caso di una riga appartenente allo spettro del 

FeII) e dedurre, attraverso l’equazione di Boltzmann, la frazione di tali atomi presenti nel livello inferiore 

della transizione. La conoscenza di tale quantità, unita a quella della forza di oscillatore per la transizione 

considerata, alla conoscenza di kc e a quella di ∆νD, permette di ricavare η0 a tutte le quote. Per quanto 

riguarda il profilo di Voigt, è poi necessario conoscere il valore della costante di smorzamneto ridotta, a, e il 

.


valore della larghezza Doppler ∆νD. In generale anche queste quantità variano con z in quanto variano la 

pressione (e quindi la frequenza delle collisioni) e la temperatura. Anche il profilo di Voigt è quindi funzione 

di z e ciò deve essere tenuto in dovuto conto nel calcolo numerico. 

Sebbene l’analisi quantitativa dei profili di righe richieda, in molti casi, una soluzione numerica dell’equazione 

del trasporto, è possibile trovare una soluzione analitica introducendo una serie di ipotesi semplificatrici. 

Tali ipotesi, pur non essendo strettamente verificate nelle atmosfere stellari, riescono comunque a dare un’idea 

qualitativa dei meccanismi che contribuiscono a caratterizzare la forma dei profili di riga osservati negli spettri 

stellari. Supponiamo quindi che: 

a) il rapporto η0 fra il coefficiente di assorbimento della riga e il coefficiente di assorbimento del continuo sia 

costante con tc; 

b) il profilo di Voigt H(v, a) sia costante con tc; 

c) la funzione di Planck, Bν, sia esprimibile linearmente in funzione della profondità ottica tc 

Bν = B0(1 + β tc) , 

con β costante. Quando si introducono queste ipotesi si dice che si ha a che fare con un’atmosfera di 

Milne-Eddington. 

Sostituendo l’espressione di Bν nella soluzione formale dell’equazione del trasporto si ottiene per l’intensità 

emergente 

Iν(0, µ) = B0 

 

1 + 

 

β µ 

1 + η0 H(v, a) 

Osserviamo che, se siamo molto lontani dal centro della riga (H(v, a) → 0), l’intensità tende a un valore 

costante, che rappresenta l’intensità del continuo adiacente la riga, dato da 

Ic = B0 (1 + β µ) . 

Viceversa, se si considera il limite di una riga molto intensa (η0 → ∞), l’intensità tende a un valore di 

saturazione (al di sotto della quale non può mai spingersi) dato da 

Is = B0 . 

Si può quindi definire una sorta di “profilo universale”, rν, sottraendo dall’intensità il valore di saturazione 

e normalizzando poi all’intensità del continuo. Si ottiene 

rν = Iν(0, µ) − Is 

Ic 

= β µ 

1 + β µ 

1 

1 + η0H(v, a) . 

Il fattore βµ/(1+βµ) è connesso alle caratteristiche termodinamiche dell’atmosfera (attraverso β) e al valore 

dell’angolo eliocentrico (attraverso µ). Il fattore restante dà invece la forma del profilo di riga. Esso dipende 

dalla frequenza solo attraverso il parametro v (si ricordi che v = (ν − ν0)/∆νD). Indicando tale fattore con 

p(v), ovvero ponendo 

possiamo osservare che: 

p(v) = 

1 

1 + η0 H(v, a) , 

a) per righe deboli (η0 ≪ 1) si ottiene, sviluppando in serie 

p(v) = 1 − η0 H(v, a) . 

In questo caso siamo lontani dalla saturazione e il profilo di riga risulta proporzionale al profilo del coefficiente 

di assorbimento. 

.


Fig 2.13. Grafico del profilo p(v) in funzione della lunghezza d’onda ridotta, v, per vari valori della forza 

della riga η0. Il grafico è ottenuto per un valore della costante di smorzamento a = 0.1. 

b) per righe forti (η0 ≫ 1), si ottiene che p(v) tende a zero per tutto un intervallo di valori di v tali che 

η0 H(v, a) ≫ 1 . 

Qui siamo in una situazione di saturazione estrema. Il profilo della riga risulta molto diverso da quello di 

assorbimento presentando una zona praticamente piatta al centro (nel cosiddetto “core” della riga) e ali 

molto estese (dipendenti in forte misura dal valore della costante di damping a). La Fig. 2.13 mostra la 

forma del profilo p(v) per diversi valori di η0 e per a = 0.1. 

10. Righe spettrali in condizioni di non equilibrio 

L’ipotesi dell’equilibrio termodinamico locale permette di determinare con una certa semplicità i profili 

delle righe che si originano in un’atmosfera stellare di cui si conosca il modello. Tale ipotesi non è tuttavia 

sempre verificata perché le righe più intense si formano negli strati più alti dell’atmosfera stellare laddove la 

densità è più bassa e le collisioni con gli elettroni del plasma non sono sufficienti a termalizzare le popolazioni 

atomiche. Nel caso dell’atmosfera solare, ad esempio, l’ipotesi dell’equilibrio termodinamico locale non può 

essere applicata per il calcolo dei profili delle righe H e K del CaII, delle righe dello spettro dell’Idrogeno 

(quali ad esempio la Hα), delle righe D del NaI, e di diverse altre righe dello spettro visibile e ultravioletto. 

In questi casi l’equazione del trasporto è la stessa di quella scritta nel paragrafo precedente con la differenza 

che, in luogo della funzione di Planck Bν si deve considerare la funzione sorgente Sν. Per un atomo a due 

livelli, ad esempio, si può dimostrare che la funzione sorgente è data dall’espressione 

Sν = Jν + εBν(T ) 

1 + ε 

dove Jν è il valor medio sull’angolo solido del campo di radiazione 

Jν = 1 

 

Iν( 

4π 

Ω) dΩ , 

e dove ε è un coefficiente che pesa l’efficienza delle collisioni nel popolare (e depopolare) il livello superiore 

dell’atomo. Si ha infatti, con buona approssimazione 

ε = Cab 

Aab 

, 

,

si scrivono 

Intensita‘ del 

campo di radiazione 

si risolvono 


Collisioni 

Equazioni dell’equilibrio 

statistico 

auto− 

consistenza 

Equazioni del 

trasporto radiativo 

si risolvono 

Popolazioni 

atomiche 

si scrivono 

Fig 2.14. Per risolvere le equazioni accoppiate dell’equilibrio statistico e del trasporto radiativo si segue il 

“loop” di autoconsistenza qui schematizzato. 

dove Cab e Aab sono, rispettivamente, le probabilità che ha l’atomo di decadere dal livello a (alto) al livello 

b (basso) per transizioni collisionali o per transizioni radiative. Come si vede facilmente, se le transizioni 

collisionali sono molto più importanti di quelle radiative (ε ≫ 1), la funzione sorgente è uguale alla funzione 

di Planck, e si ritrova il caso dell’ETL. Viceversa, se le collisioni sono trascurabili (ε ≪ 1), la funzione 

sorgente non ha più niente a che vedere con la funzione di Planck, essendo Sν = Jν. 

In questi casi il profilo della riga che emerge dall’atmosfera può essere calcolato ricorrendo alla cosiddetta 

teoria del “non-ETL”. Esemplificando al massimo le cose, il problema può essere affrontato nel modo seguente. 

Supponiamo di conoscere un approssimazione di ordine zero per le popolazioni, in funzione della quota z, dei 

livelli di una determinata specie atomica (ad esempio le popolazioni dei livelli dell’atomo di Calcio ionizzato, 

se interessa calcolare i profili delle righe H e K). Come approssimazione di ordine zero si può considerare, ad 

esempio, quella data dall’equazione di Boltzmann utilizzando i valori di P e T dati dal modello di atmosfera. 

Note le popolazioni, si possono calcolare localmente i coefficienti che compaiono nell’equazione del trasporto 

radiativo (scritta per ciascuna direzione nell’atmosfera stellare). Risolvendo con metodi numerici l’equazione 

del trasporto si può così determinare (in funzione della frequenza e della direzione) il campo di radiazione 

presente in un punto qualsiasi dell’atmosfera. A questo punto si considerano le equazioni dell’equilibrio 

statistico per le popolazioni atomiche tenendo conto sia dei processi radiativi che di quelli collisionali. Queste 

equazioni formano, per ogni quota z, un sistema a coefficienti noti (in quanto il campo di radiazione è noto) 

e il sistema può essere risolto attraverso opportuni metodi numerici. Si ottiene quindi un’approssimazione di 

ordine 1 per le popolazioni e si ripete il procedimento finché si arriva alla convergenza della soluzione come 

esemplificato nella Fig. 2.14. La soluzione per il campo di radiazione alla superficie dell’atmosfera fornisce i 

profili delle righe che ci interessavano calcolare. 

Sebbene il metodo sia, in linea di principio, semplice e diretto, esso richiede la conoscenza di un certo 

numero di tecniche numeriche sulle quali non possiamo qui addentrarci. Tali tecniche sono state sviluppate 

a partire dagli inizi degli anni 1960 e sono tuttora in fase di evoluzione.

19 CAPITOLO 2 LO SPETTRO SOLARE E LA SUA ...

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