Consideriamo una parabola con il vertice nell ... - Mimmo Corrado
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Parabola <strong>con</strong> asse parallelo all’asse y (dimostrazione 3)<br />
La <strong>parabola</strong> è <strong>il</strong> luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da <strong>una</strong> retta fissa,<br />
detta direttrice.<br />
Siano: ( x ; )<br />
F <strong>il</strong> fuoco, d<br />
F yF<br />
Dalla definizione si ha: PF = PH .<br />
2<br />
2<br />
( x x ) + ( y − y ) = y − d<br />
− ;<br />
F<br />
( ) ( ) ( ) 2<br />
2<br />
2<br />
x x + y − y = y − d<br />
2<br />
− ;<br />
F<br />
F<br />
2<br />
F<br />
F<br />
F<br />
2<br />
2<br />
F<br />
y = la direttrice e ( x;<br />
y )<br />
x − 2x<br />
x + x + y + y − 2y<br />
y = y − 2dy<br />
+ d ;<br />
x<br />
2<br />
2<br />
F<br />
2<br />
F<br />
− 2x<br />
x + x + y − 2y<br />
y = d − 2dy<br />
;<br />
F<br />
F<br />
2<br />
F<br />
F<br />
2<br />
F<br />
F<br />
2<br />
2<br />
F<br />
2 dy − 2y<br />
y = −x<br />
+ 2x<br />
x − x − y + d ;<br />
F<br />
2<br />
F<br />
2<br />
F<br />
2<br />
F<br />
2y y − 2dy<br />
= x − 2x<br />
x + x + y − d ;<br />
2<br />
2 2 2<br />
( y d)<br />
⋅ y = x − 2x<br />
x + x + y d<br />
2 − − ;<br />
F<br />
y =<br />
2<br />
1<br />
x<br />
2<br />
x<br />
F<br />
( y − d ) y − d 2(<br />
y − d )<br />
F<br />
Ponendo:<br />
−<br />
F<br />
F<br />
⎧ 1<br />
⎪ = a<br />
⎪2(<br />
yF<br />
− d )<br />
⎪ xF<br />
⎨−<br />
= b<br />
⎪ yF<br />
− d<br />
⎪ 2 2<br />
x + y − d<br />
⎪ F F<br />
⎪⎩<br />
2(<br />
yF<br />
− d )<br />
2<br />
F<br />
x<br />
x +<br />
= c<br />
2<br />
F<br />
F<br />
+ y<br />
F<br />
2<br />
2<br />
F<br />
2<br />
2<br />
− d<br />
Infatti, ricavando le formule inverse si ha:<br />
⎧ 1<br />
⎪yF<br />
− d =<br />
2a<br />
⎪<br />
⎨−<br />
⎪−<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎧ xF<br />
⎪−<br />
= b<br />
1<br />
⎪<br />
2a<br />
⎨ 2 2 2<br />
⎪ xF<br />
+ yF<br />
− d<br />
= c<br />
⎪ 1<br />
⎪ 2 ⋅<br />
⎩ 2a<br />
⎧ b<br />
⎪xF<br />
= −<br />
2a<br />
⎪<br />
2 2<br />
⎨ xF<br />
+ yF<br />
− d<br />
⎪ 1<br />
⎪<br />
⎩ a<br />
2<br />
2<br />
P un punto della <strong>parabola</strong>.<br />
2<br />
2<br />
si ottiene: y = ax + bx + c <strong>con</strong><br />
2<br />
⎛ b Δ ⎞<br />
V ⎜−<br />
; − ⎟<br />
⎝ 2a<br />
4a<br />
⎠<br />
⎛ b 1 − Δ ⎞<br />
F ⎜−<br />
; ⎟<br />
⎝ 2a<br />
4a<br />
⎠<br />
1 + Δ<br />
d : y = −<br />
4a<br />
b<br />
a : x = −<br />
2a<br />
Matematica www.mimmocorrado.it 4<br />
= c<br />
⎧<br />
⎪x<br />
⎨<br />
⎪x<br />
⎪⎩<br />
F<br />
2<br />
F<br />
b<br />
= −<br />
2a<br />
⎛ b ⎞ 2 2 c<br />
2 2 b c<br />
⎜−<br />
⎟ + yF<br />
− d = ; yF d = − + 2<br />
⎝ 2a<br />
⎠<br />
a<br />
4a<br />
a<br />
4a<br />
⎧ 1<br />
Δ<br />
1 ⎪y<br />
F − d =<br />
2a<br />
( y F + d ) ⋅ ( y F − d ) = − ma y d<br />
2<br />
F − = ⇒ ⎨<br />
4a<br />
2a<br />
⎪ 1 Δ<br />
( y + ) ⋅ = −<br />
⎪ F d<br />
2<br />
⎩ 2a<br />
4a<br />
1 Δ 1 − Δ<br />
Sommando membro a membro si ha: 2y F = − ; yF =<br />
2a<br />
2a<br />
4a<br />
Δ 1 1 + Δ<br />
Sottraendo membro a membro si ha: 2d = − − ; d = −<br />
2a<br />
2a<br />
4a<br />
L’ascissa del <strong>vertice</strong> è uguale all’ascissa del fuoco.<br />
L’ordinata del <strong>vertice</strong> è:<br />
y<br />
V<br />
+ y<br />
2<br />
F<br />
− d<br />
2<br />
=<br />
c<br />
a<br />
sostituendo x F <strong>nell</strong>a II a<br />
2<br />
2<br />
2 2 − b + 4ac<br />
2 2 Δ<br />
− ; yF<br />
− d =<br />
; y<br />
2<br />
F d = − 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎧<br />
⎪y<br />
⎨<br />
⎪y<br />
⎪⎩<br />
− ;<br />
4a<br />
F<br />
F<br />
1<br />
− d =<br />
2a<br />
Δ<br />
+ d = −<br />
2a<br />
⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ b b b − 2b<br />
+ 4ac<br />
− b + 4ac<br />
Δ<br />
= a⎜−<br />
⎟ + b ⋅ ⎜−<br />
⎟ + c = − + c =<br />
=<br />
= − .<br />
⎝ 2a<br />
⎠ ⎝ 2a<br />
⎠ 4a<br />
2a<br />
4a<br />
4a<br />
4a<br />
2<br />
2<br />
2