Consideriamo una parabola con il vertice nell ... - Mimmo Corrado

La Parabola
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F, detto fuoco, e da una retta fissa
d, detta direttrice.
Parabola con il vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse y
Consideriamo una parabola con il vertice nell’origine degli assi cartesiani e con il fuoco in 0 ;
Dalla definizione di parabola come luogo geometrico si ha : = .
− 0 + − = | + | − 0 + − = +
+ + − 2 = + + 2 4 =
=
= :
= 0 ; 0 0 ; 1
1
= 0 = −
4 4
Infatti dalla relazione
0 ;
= si ottiene: =
.
= −
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Parabola con asse parallelo all’asse y (dimostrazione 1)
Consideriamo la parabola = con il vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse .
Trasliamo la parabola portando il vertice nel punto ; .
Le equazioni della traslazione sono : ′ = + ′ = + Sostituendo le equazioni inverse: = ′ − nell’equazione della parabola =
= ′ − si ottiene
l’equazione della parabola con vertice nel punto ; .
′ − = − ; ′ − = + − 2 ; ′ = − 2′ + +
Ponendo: = −2
si ottiene l’equazione : ′ =
= +
+ ′ + .
Dalla relazione: = −2 si ricava : = −
2
Essendo il fuoco e il vertice appartenenti
entrambi all’asse risulta :
Dalla relazione: = + si ha:
= − + = − −
2
= −
2
+ = − ∆
+ = − + = −
4 4
Dall’equazione della traslazione ′ = + si ha:
′ = + = 1 ∆ 1 − ∆
+ − =
4 4 4
′ = + = − 1 ∆ 1 + ∆
+ − = −
4 4 4
Riassumendo : = + +
è l'equazione di una parabola con :
−
2
−
2
;
= −
2
∆
; − : = −
4 2
1 − ∆
1 + ∆
; : = −
4 4
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Parabola con asse parallelo all’asse y (dimostrazione 2)
Consideriamo nel sistema di riferimento una parabola con il vertice nel punto ; e con asse
di simmetria parallelo all’asse y .
La parabola, nel sistema di riferimento con l’origine coincidente con il vertice V della parabola e gli assi
paralleli ed equiversi ai vecchi assi, ha equazione: =
0 ; 0 0 ; 1
1
: = − : = 0
4 4
Per trovare l’equazione della parabola nel vecchio sistema di riferimento operiamo una traslazione di
assi di equazione: = − = − − = − − = + − 2
= − 2 + +
Ponendo: = −2
si ottiene l’equazione : =
= +
+ + .
= + +
è l' equazione di una parabola con :
Infatti, dalla relazione: = −2 si ricava:
= −
2 = −
2
−
2
−
2
∆
; − : = −
4 2
1 − ∆
1 + ∆
; : = −
4 4
= −
2
Dalla relazione: = + si ricava: = − + = − −
Dall’equazione della traslazione = − si ha: = + dalla quale si ottiene:
= + = 1 ∆ 1 − ∆
− =
4 4 4
= + = − 1 ∆ 1 + ∆
− = −
4 4 4
;
+ = −
∆
+ = − + = −
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Parabola con asse parallelo all’asse y (dimostrazione 3)
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa,
detta direttrice.
Siano: ( x ; )
F il fuoco, d
F yF
Dalla definizione si ha: PF = PH .
2
2
( x x ) + ( y − y ) = y − d
− ;
F
( ) ( ) ( ) 2
2
2
x x + y − y = y − d
2
− ;
F
F
2
F
F
F
2
2
F
y = la direttrice e ( x;
y )
x − 2x
x + x + y + y − 2y
y = y − 2dy
+ d ;
x
2
2
F
2
F
− 2x
x + x + y − 2y
y = d − 2dy
;
F
F
2
F
F
2
F
F
2
2
F
2 dy − 2y
y = −x
+ 2x
x − x − y + d ;
F
2
F
2
F
2
F
2y y − 2dy
= x − 2x
x + x + y − d ;
2
2 2 2
( y d)
⋅ y = x − 2x
x + x + y d
2 − − ;
F
y =
2
1
x
2
x
F
( y − d ) y − d 2(
y − d )
F
Ponendo:
−
F
F
⎧ 1
⎪ = a
⎪2(
yF
− d )
⎪ xF
⎨−
= b
⎪ yF
− d
⎪ 2 2
x + y − d
⎪ F F
⎪⎩
2(
yF
− d )
2
F
x
x +
= c
2
F
F
+ y
F
2
2
F
2
2
− d
Infatti, ricavando le formule inverse si ha:
⎧ 1
⎪yF
− d =
2a
⎪
⎨−
⎪−
⎪
⎩
⎧ xF
⎪−
= b
1
⎪
2a
⎨ 2 2 2
⎪ xF
+ yF
− d
= c
⎪ 1
⎪ 2 ⋅
⎩ 2a
⎧ b
⎪xF
= −
2a
⎪
2 2
⎨ xF
+ yF
− d
⎪ 1
⎪
⎩ a
2
2
P un punto della parabola.
2
2
si ottiene: y = ax + bx + c con
2
⎛ b Δ ⎞
V ⎜−
; − ⎟
⎝ 2a
4a
⎠
⎛ b 1 − Δ ⎞
F ⎜−
; ⎟
⎝ 2a
4a
⎠
1 + Δ
d : y = −
4a
b
a : x = −
2a
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= c
⎧
⎪x
⎨
⎪x
⎪⎩
F
2
F
b
= −
2a
⎛ b ⎞ 2 2 c
2 2 b c
⎜−
⎟ + yF
− d = ; yF d = − + 2
⎝ 2a
⎠
a
4a
a
4a
⎧ 1
Δ
1 ⎪y
F − d =
2a
( y F + d ) ⋅ ( y F − d ) = − ma y d
2
F − = ⇒ ⎨
4a
2a
⎪ 1 Δ
( y + ) ⋅ = −
⎪ F d
2
⎩ 2a
4a
1 Δ 1 − Δ
Sommando membro a membro si ha: 2y F = − ; yF =
2a
2a
4a
Δ 1 1 + Δ
Sottraendo membro a membro si ha: 2d = − − ; d = −
2a
2a
4a
L’ascissa del vertice è uguale all’ascissa del fuoco.
L’ordinata del vertice è:
y
V
+ y
2
F
− d
2
=
c
a
sostituendo x F nella II a
2
2
2 2 − b + 4ac
2 2 Δ
− ; yF
− d =
; y
2
F d = − 2
2
2
2
⎧
⎪y
⎨
⎪y
⎪⎩
− ;
4a
F
F
1
− d =
2a
Δ
+ d = −
2a
⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ b b b − 2b
+ 4ac
− b + 4ac
Δ
= a⎜−
⎟ + b ⋅ ⎜−
⎟ + c = − + c =
=
= − .
⎝ 2a
⎠ ⎝ 2a
⎠ 4a
2a
4a
4a
4a
2
2
2

Parabola con asse parallelo all’asse x
Con procedimento analogo seguito per la parabola con asse parallelo all’asse y si ottiene l’equazione della parabola
con asse parallelo all’asse x.
2
x = ay + by + c
con
⎛ Δ
b ⎞
V ⎜−
; − ⎟
⎝ 4a
2a
⎠
⎛1
− Δ b ⎞
F ⎜ ; − ⎟
⎝ 4a
2a
⎠
1 + Δ
d : x = −
4a
b
a : y = −
2a
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d
2
y = ax
d
x = −
Parabola con il vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse y
a > 0
y
⎛
F⎜0
;
⎝
·
V(0 ;0) ·
V(0;0) ·
1
4a
y
1
4a
⎞
⎟
⎠
y = −
x
1
4a
2
y = ax
V(0; 0)
Parabola con il vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse x
x = ay
2
·
a > 0
⎛ 1 ⎞
F⎜
; 0 ⎟
⎝ 4a
⎠
x
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d
x = ay
2
a < 0
y
·
·
⎛
F⎜0
;
⎝
a < 0
·
⎛ 1 ⎞
F⎜
; 0 ⎟
⎝ 4a
⎠
1
4a
⎞
⎟
⎠
y
·
V(0;0)
x = −
y = −
d
1
4a
x
1
4a
x