dispense sui tensori

Capitolo 1
Tensori
In questo capitolo introduttivo sono presentate le proprietà principali dei tensori.
Una trattazione completa dell’argomento si trova nel primo capitolo del testo
di Biscari, Poggi e Virga 1 .
1.1 Proprietà generali
I tensori sono applicazioni lineari dallo spazio delle traslazioni V in sé. Ciò
significa che, se L è un tensore, u e v ∈ V e λ uno scalare
L(u + v) = Lu + Lv
(1.1)
L(λv) = λLv
Come primi esempi di tensori prendiamo il tensore identità I ed il tensore nullo
0 la cui azione su un vettore v ∈ V è così definita:
Iv = v
0v = 0 .
Il tensore identico lascia inalterato ogni vettore; al contrario, il tensore nullo
annulla ogni vettore su cui agisce.
Ex.1 Verificare che il tensore identità e quello nullo sono effettivamente dei
tensori, cioè soddisfano le condizioni (1.1).
Il teorema di trasposizione (cfr. BPV, pag.11) permette di associare ad ogni
tensore L il tensore L T , detto trasposto di L, che gode della proprietà seguente
Lu · v = u · L T v ,
per ogni scelta dei vettori u e v ∈ V. Particolare rilievo hanno i tensori simmetrici
e quelli antisimmetrici. Un tensore S si dice simmetrico quando S = S T ,
mentre un tensore W si dice antisimmetrico se W = −W T . In generale un tensore
L non è né simmetrico né antisimmetrico, ma è possibile associargli in modo
univoco una parte simmetrica ed una parte antisimmetrica.
1 Nel seguito useremo spesso l’abbreviazione BPV per indicare questo testo.
7

8 CAPITOLO 1. TENSORI
Teorema 1.1 Ogni tensore L si può scrivere in un unico modo come somma
di un tensore S simmetrico e di un tensore W antisimmetrico:
dove ⎧ ⎨
⎩
L = S + W , (1.2)
S = 1
2
W = 1
2
L + L T
L − L T
.
Dim. Osserviamo anzitutto che
L = 1
L + L
2
T
+ 1
L − L
2
T
;
inoltre
e
1
L + L
2
T T
= 1
L + L
2
T
1
L − L
2
T T
= − 1
L − L
2
T
:
(1.3)
abbiamo mostrato che L è somma di un tensore simmetrico e di un tensore
antisimmetrico. Resta da mostrare l’unicità di tale scomposizione e per far ciò
supponiamo di poter scrivere
L = S + W (1.4)
per un’altra coppia di tensori S e W, con S simmetrico e W antisimmetrico.
Confrontando (1.2) e (1.4) otteniamo
ovvero
S + W = S + W
S − S = W − W =: A . (1.5)
Poiché la differenza di due tensori simmetrici è un tensore simmetrico e la differenza
di due tensori antisimmetrici è un tensore antisimmetrico, la (1.5) afferma
che A deve essere simultaneamente simmetrico ed antisimmetrico, per
cui
A = A T
e A = −A T
da cui si ricava 2A = 0, cioè A = 0. Dalla (1.5) seguono le uguaglianze S = S
e W = W che garantiscono l’unicità.
Ex.2 Mostrare che la differenza o la somma di tensori simmetrici (antisimmetrici)
è un tensore simmetrico (antisimmetrico).

1.2. PRODOTTO DIADICO 9
1.2 Prodotto diadico
Il prodotto diadico di due vettori a e b ∈ V è un tensore –indicato con a ⊗ b–
la cui azione su un vettore v ∈ V è data da
(a ⊗ b)v := (b · v)a. (1.6)
Certamente si tratta di un’applicazione che manda V in sé. Per verificare che è
un tensore, mostriamo la validità delle (1.1). Presi u e v ∈ V abbiamo
(a ⊗ b)(u + v) = (b · (u + v))a.
Grazie alla linearità del prodotto scalare
e per la definizione di prodotto diadico
In definitiva,
che soddisfa la (1.1)1.
(b · (u + v))a = (b · u)a + (b · v)a
(b · u)a + (b · v)a = (a ⊗ b)u + (a ⊗ b)v .
(a ⊗ b)(u + v) = (a ⊗ b)u + (a ⊗ b)v
Ex.3 Verificare la (1.1)2, vale a dire che (a ⊗ b)(λv) = λ(a ⊗ b)(v), con λ ∈ R.
Fissiamo in V una base ortonormale {ei} –i = 1, 2, 3– e calcoliamo la matrice
del prodotto diadico (a ⊗ b) su questa base. Per definizione, le sue componenti
sono date dalla relazione
[a ⊗ b] ij = ei · (a ⊗ b)ej
(1.7)
Poiché {ei} è base ortonormale, possiamo sviluppare su di essa i vettori a e b
ottenendo:
a = a1e1 + a2e2 + a3e3
(1.8)
b = b1e1 + b2e2 + b3e3 .
Dalla definizione di diade segue che
ei · (a ⊗ b)ej = ei · (b · ej)a = (ei · a) (b · ej) = aibj
dove ai e bj sono rispettivamente l’i-esimo coefficiente di a ed il j-esimo coefficiente
di b nello sviluppo (1.8); pertanto
[a ⊗ b] ij = aibj . (1.9)
Per ottenere l’espressione della traccia della diade (a ⊗ b) è sufficiente valutare
la traccia della sua matrice rappresentativa su una base ortonormale {ei}
qualsiasi. Infatti, anche se nel passaggio da una base ortonormale ad un’altra
i coefficienti della matrice rappresentativa cambiano, la traccia non dipende da

10 CAPITOLO 1. TENSORI
questo cambiamento. Si esprime questa proprietà dicendo che la traccia è un
invariante scalare. Dalla (1.9) segue allora
tr (a ⊗ b) = tr [a ⊗ b] = a1b1 + a2b2 + a3b3 = a · b , (1.10)
dove l’ultimo passaggio segue dalle definizioni di prodotto scalare, di base ortonormale
e da (1.8).
Osservazione. L’ortonormalità di una base {ei} si può esprimere in forma compatta
come ei · ej = δij, con δij simbolo di Kronecker. Moltiplicando scalarmente
la (1.8)1 per e1, ad esempio, si ottiene a·e1 = a1 e, in generale, a·ei = ai.
Abbiamo così una precisa caratterizzazione dei coefficienti dello sviluppo di un
vettore su una base ortonormale, potendo scrivere ∀a ∈ V
a = (a · e1)e1 + (a · e2)e2 + (a · e3)e3 . (1.11)
I coefficienti dello sviluppo di un vettore su una base ortonormale sono noti con
il nome di coefficienti di Fourier del vettore.
Un altro importante invariante scalare è il determinante di un tensore che si
annulla se e soltanto se il tensore non è invertibile. Per una diade abbiamo
det(a ⊗ b) = 0 . (1.12)
Per mostrare la (1.12) è sufficiente verificare che esiste almento un vettore v = 0
tale che (a ⊗ b)v = 0 perché così a ⊗ b non può essere iniettivo e, a fortiori,
neppure invertibile. Grazie alla definizione di diade (1.6), è sufficiente trovare
soluzioni non nulle dell’equazione
(b · v)a = 0 .
Questa equazione è soddisfatta da tutti i vettori v nel complemento ortogonale
di b, per i quali b · v = 0: la (1.12) è dunque dimostrata.
In generale, un prodotto diadico non è simmetrico. Dimostriamo la seguente
formula che caratterizza il trasposto di (a ⊗ b).
(a ⊗ b) T = (b ⊗ a) . (1.13)
Presi due vettori qualsiasi u e v ∈ V, se applichiamo il teorema di trasposizione
ed usiamo la (1.6) otteniamo
Poiché
applicando ancora la (1.6) segue
u · (a ⊗ b) T v = (a ⊗ b)u · v = (b · u)(a · v) .
(b · u) (a · v) = ((a · v)b · u) ,
u · (a ⊗ b) T v = (a ⊗ b) T v · u = (b ⊗ a)v · u . (1.14)

1.2. PRODOTTO DIADICO 11
Poiché la (1.14) vale ∀u ∈ V ed il prodotto scalare ordinario è non degenere,
possiamo concludere che
(a ⊗ b) T v = (b ⊗ a)v, (1.15)
∀v ∈ V, da cui segue la (1.13).
Osservazione. Ricordiamo che un prodotto scalare si dice non degenere quando
gode della seguente proprietà: se c·u = 0 ∀u ∈ V =⇒ c = 0. Applicando questa
proprietà alla (1.14) segue la (1.15).
Esempio 1 Siano S un tensore, a e b due vettori. Allora S (a ⊗ b) = Sa ⊗ b.
Per mostrare un’identità tra due tensori basta far vedere che le loro azioni su
un qualunque vettore v coincidono. Ora,
S (a ⊗ b)v = S((b · v)a) = (b · v)Sa = (Sa ⊗ b)v
dove l’ultimo passaggio segue dalla (1.6).
Ex.4 Dimostrare che (a ⊗ b)S = a ⊗ STb. Esempio 2 Dimostrare che il tensore identico I ammette la seguente rappresentazione:
3
I = ei ⊗ ei , (1.16)
i=1
qualunque sia la base ortonormale {ei} scelta.
Dato un vettore v, Iv = v. D’altra parte è
3
3
v = (v · ei)ei = v
i=1
ei ⊗ ei
poiché la base è ortonormale e che per v vale uno sviluppo del tipo (1.11).
Esempio 3 Dimostrare che, assegnata una base ortonormale {ei}, per ogni
tensore L vale la seguente formula di rappresentazione
L =
i=1
3
(Lei) ⊗ ei
i=1
(1.17)
È sufficiente combinare i risultati degli esempi 1 e 2. Infatti, dall’esempio 1
deduciamo che (Lei) ⊗ei = L(ei ⊗ ei), i = 1, 2, 3 per cui il secondo membro di
(1.17) diventa
3
3
(Lei) ⊗ ei = L(ei ⊗ ei) .
i=1
Poiché il prodotto tra tensori gode della proprietà distributiva A(B + C) =
AB + AC, possiamo riscrivere l’equazione precedente nella forma
3
3
(Lei) ⊗ ei = L = LI = L,
i=1
i=1
i=1
ei ⊗ ei

12 CAPITOLO 1. TENSORI
dove nel secondo passaggio è stata usata la (1.16).
Osservazione. Il teorema spettrale afferma che per ogni tensore simmetrico S
esiste una base ortonormale {ei} composta di suoi autovettori. In questa base
vale la rappresentazione
3
S = σiei ⊗ ei , (1.18)
i=1
dove gli scalari σi sono gli autovalori di S. La (1.17) vale per ogni tensore e la
base ortonormale {ei} non ha un legame con il tensore L. Inoltre, se si applica
la (1.17) ad un tensore simmetrico S e la base scelta è quella composta da suoi
autovettori, poiché Sei = σiei vediamo che la (1.17) si riduce alla (1.18) e ne
rappresenta una generalizzazione.
1.3 Proiettori ortogonali
I proiettori ortogonali formano di una classe importante di tensori dal preciso
significato geometrico. In matematica, il nome di proiettore è attribuito ad una
classe di tensori P che godono delle due seguenti proprietà:
i) sono simmetrici, P = P T
ii) sono idempotenti, P 2 = P.
Siamo interessati a due tipi di proiettori, quelli lungo una direzione assegnata
e quelli su un piano assegnato. Sia n un versore e sia v un qualsiasi vettore. Il
versore n individua una direzione (cfr. Figura 1.1): il proiettore nella direzione
di n è l’applicazione che associa a v la sua componente lungo n.
n
v
Pnv
Figura 1.1:
Chiaramente, il risultato dell’applicazione deve essere un vettore diretto lungo
n, di modulo pari alla lunghezza della proiezione ortogonale di v nella direzione
di n. Detta Pn l’applicazione cercata abbiamo
Pnv = (n · v)n = (n ⊗ n)v (1.19)

1.3. PROIETTORI ORTOGONALI 13
e dunque Pn = n ⊗n. Per dimostrare che si tratta di un proiettore osserviamo
in primo luogo che Pn è simmetrico, grazie alla (1.13); quanto all’idempotenza
abbiamo
P 2 nv = (n ⊗ n) (n ⊗ n)v
= (n ⊗ n)(n · v)n = (n · v)n = Pnv ,
dove abbiamo ripetutamente usato la (1.6) ed osservato che n · n = 1, dal
momento che n è un versore.
Un’altra famiglia di proiettori ortogonali interessanti sono quelli che proiettano
un vettore v su un piano π. Il significato geometrico di questi tensori si
chiarisce osservando la Figura 1.2, dove e rappresenta un versore ortogonale al
piano π.
e
v
Pπv
Figura 1.2:
Proiettare un vettore v su un piano π significa associare a v un nuovo vettore
ottenuto privando v della componente lungo la normale e a π. Detto Pπ il
tensore che svolge questo ufficio si deve avere
π
Pπv = v − (e · v)e = (I − e ⊗ e)v. (1.20)
Questa relazione è valida per ogni v ∈ V e ci permette di concludere che Pπ =
I − e ⊗ e. La definizione di Pπ non dipende dall’orientazione della normale a π
, in quanto (−e) ⊗ (−e) = e ⊗ e.
Ex.5 Mostrare che le proprietà i) e ii) che caratterizzano i proiettori ortogonali
valgono nel caso di Pπ.
Esempio 4 Consideriamo nello spazio V una base ortonormale {ei},i = 1, 2, 3,
ed un versore n = αe1 + βe2 (α 2 + β 2 = 1). Determinare i vettori u ∈ V le cui
proiezioni ortogonali lungo n e sul piano {e1,e2} coincidono.
Sviluppiamo il vettore u sulla base {ei}: u = u1e1 + u2e2 + u3e3. Il proiettore
sul piano {e1,e2} è dato da P = I − e3 ⊗ e3, e abbiamo
La proiezione di u lungo n è invece
Pu = u1e1 + u2e2. (1.21)
(n ⊗ n)u = (u · n)n . (1.22)

14 CAPITOLO 1. TENSORI
Uguagliando (1.21) con (1.22) e servendosi dell’espressione di n ricaviamo
u1e1 + u2e2 = α (u · n)e1 + β (u · n)e2 .
Poiché e1 ed e2 sono linearmente indipendenti tale relazione equivale al sistema
α (u · n) = u1
(1.23)
β (u · n) = u2
che non impone restrizioni sul coefficiente u3. Questo fatto ha un chiaro significato
geometrico evidenziato dalla Figura 1.3: se un vettore u è soluzione del
problema, modificandone la componente lungo e3 si ottengono altre soluzioni
del medesimo problema. La (1.23) invece precisa come deve essere orientato u
rispetto ad n: u deve appartenere al piano contenente n ed e3.
e3
u
n
Figura 1.3:
Esempio 5 Verificare che (AB) T = B T A T , per ogni coppia di tensori A e B.
Applicando la definizione di tensore trasposto, abbiamo
u · (AB) T v = (AB)u · v = A (Bu) · v = Bu · A T v = u · B T A T v
e, per l’arbitrarietà di u e v, segue la tesi.
Esempio 6 Siano assegnati due tensori A e B e sia fissata in V una base
ortonormale {ei} in modo che le matrici associate ai due tensori nella base
siano [A] e [B] rispettivamente. Mostrare che la matrice associata al tensore
AB è il prodotto righe per colonne di [A] e [B], cioè [AB] ij = 3
k=1 [A] ik [B] kj .
Dalla definizione di matrice associata ad un tensore segue
π
[AB] ij = ei · ABej = ei · A (Bej) . (1.24)
Possiamo sviluppare il vettore Bej sulla base {ei} usando la (1.11):
Bej = (Bej · e1)e1 + (Bej · e2)e2 + (Bej · e3)e3 =
3
= (Bej · ek)ek
k=1
(1.25)

1.3. PROIETTORI ORTOGONALI 15
Inseriamo allora la (1.25) nella (1.24) e sfruttiamo la linearità dei tensori per
trasformare la (1.24) in
[AB] ij =
3
(Bej · ek)(ei · Aek) =
k=1
3
k=1
grazie alla definizione di matrice associata ad un tensore.
[A] ik [B] kj
Gli esempi precedenti dimostrano che proprietà ben note nell’ordinario calcolo
matriciale valgono anche se riferite ai tensori di cui le matrici sono soltanto
utili rappresentazioni, una volta che sia stata fissata una base ortonormale nello
spazio delle traslazioni V.
Chiudiamo questo paragrafo segnalando un’interessante proprietà del tensore
aggiunto. Ricordiamo (cfr. BPV, p.22) che il tensore aggiunto L ∗ di un tensore
L invertibile è definito come
L ∗ := (detL) L −1 T
Vogliamo mostrare una proprietà di L ∗ che discende dalla seguente identità
(1.26)
Lu ∧ Lv · Lw = (detL)u ∧ v · w (1.27)
valida per tutti i tensori L e tutti i vettori u,v e w. Questa relazione ha
un significato geometrico, in quanto il prodotto misto u ∧ v · w di tre vettori
rappresenta, a meno del segno, il volume del triedro avente per spigoli u,v
e w. La (1.27) afferma che il rapporto tra il volume del triedro avente per
spigoli Lu,Lv e Lw e quello del triedro di partenza è pari a detL. In questo
modo il determinante assume il significato di coefficiente di dilatazione volumica
associato alla trasformazione L ed il suo annullarsi significa che il tensore L,
agendo su tre qualsiasi vettori, riduce il triedro da loro determinato ad una
figura piana, di volume nullo.
Teorema 1.2 Dato un tensore L invertibile e due vettori u,v arbitrari, vale la
relazione
(Lu ∧ Lv) = L ∗ (u ∧ v) . (1.28)
Dim. Dalla definizione di trasposto abbiamo
mentre dalla (1.27) segue
∀w ∈ V per cui
(Lu ∧ Lv) · Lw = L T (Lu ∧ Lv) · w
(detL) −1 L T (Lu ∧ Lv) · w = u ∧ v · w
(detL) −1 L T (Lu ∧ Lv) = u ∧ v . (1.29)

16 CAPITOLO 1. TENSORI
Se L è invertibile anche il suo trasposto lo è dal momento che le operazioni di
trasposizione e inversione si possono scambiare tra di loro. Dalla (1.29) segue
che è la tesi.
(Lu ∧ Lv) = (detL) L −1 T (u ∧ v)
Osservazione. La (1.28) può essere usata come definizione di aggiunto di un
tensore arbitrario L anche quando L non è invertibile e dunque non vale la
rappresentazione (1.26).
Ex.5 Ricordando l’identità vettoriale
mostrare che
a ∧ (b ∧ c) = (a · c)b − (a · b)c
a ∧ (b ∧ c) = (b ⊗ c)a − (c ⊗ b)a.
1.4 Prodotto scalare tra tensori
L’insieme L(V) di tutti i tensori su V forma uno spazio vettoriale di dimensione
n 2 , dove n è la dimensione di V. In tutto il testo ci limitiamo al caso n = 3, per
cui L(V) ha dimensione pari a 9. Appare naturale cercare di definire in questo
spazio un prodotto scalare. La definizione adottata è
A · B := trA T B , ∀A ,B ∈ L(V). (1.30)
Occorre verificare che questa definizione soddisfi gli assiomi proprî di un prodotto
scalare. Riguardo alla linearità bisogna mostrare che, presi A, B e C ∈ L(V),
abbiamo
A · (B + C) = A · B + A · C .
Infatti, applicando la (1.30) abbiamo
A · (B + C) = trA T (B + C) = trA T B + trA T C = A · B + A · C
Ex.6 Verificare che (A + B) · C = A · C + B · C e che A · B = B · A.
Infine occorre provare che A · A ≥ 0 e che A · A = 0 ⇐⇒ A = 0 (cfr.
Esempio 7). Fissata una base ortonormale {ei} sappiamo che la traccia dei
tensori coincide con la traccia delle matrici rappresentative, perciò
A · B = tr A T B
e poiché l’elemento jk della matrice corrispondente ad A T B è
T
A B jk =
3 T
A
i=1
ji [B] ik =
3
i=1
[A] ij [B] ik ,

1.4. PRODOTTO SCALARE TRA TENSORI 17
otteniamo
tr A T B =
3 T
A B jj =
j=1
3
3
j=1 i=1
[A] ij [B] ij . (1.31)
La (1.31) si può riscrivere in forma più compatta introducendo la convenzione
di Einstein sugli indici ripetuti: quando si incontra una sommatoria su indici
ripetuti, il simbolo di sommatoria viene omesso ed è sottointeso dalla ripetizione
degli indici. Così la (1.31) si può riscrivere nella forma
A · B = tr A T B = [A] ij [B] ij . (1.32)
Nel seguito faremo occasionalmente uso della convenzione di Einstein.
Esempio 7 Il prodotto scalare tra tensori è definito positivo, valgono cioè le
relazioni
A · A ≥ 0 ∀A
(1.33)
A · A = 0 ⇐⇒ A = 0
Infatti, dalla (1.32) segue che
A · A =
3
j,k=1
[A] 2
kj ≥ 0
e l’uguaglianza vale se e solo se ogni elemento della matrice rappresentativa è
nullo, cioè per A = 0. Come per i vettori, ad ogni tensore è possibile associare
un modulo definito da
|A| := (A · A) 1
2 = tr (ATA). (1.34)
Osservazioni. È possibile mostrare che per il prodotto scalare tra tensori è
non degenere: se S · T = 0 ∀T ∈ L(V), allora S = 0.
La definizione di prodotto scalare tra tensori può apparire a prima vista
artificiosa. Sappiamo però che lo spazio delle matrici 3 × 3 è isomorfo ad R9 e che le coordinate di un punto di R9 che corrisponde ad una matrice sono
proprio gli elementi della matrice, ordinati colonna per colonna. Con questa
identificazione, la (1.32) non è niente altro che l’usuale prodotto scalare in R9 e la (1.30) ne è la traduzione nel linguaggio dell’algebra tensoriale.
Esempio 8 Verificare che I · S = trS, per ogni tensore S.
Dalla (1.30) segue I · S = trI T S = trS.
Esempio 9 Siano dati quattro vettori a,b,u,v ∈ V. Mostrare che
(a ⊗ b) · (u ⊗ v) = (a · u)(b · v) (1.35)
Ricordando la (1.9) e la (1.32), possiamo scrivere
(a ⊗ b) · (u ⊗ v) = aibjuivj = (aiui)(bjvj) = (a · u)(b · v)

18 CAPITOLO 1. TENSORI
Esempio 10 Dati due vettori u,v ∈ V ed un tensore S abbiamo
u · Sv = S · u ⊗ v (1.36)
Dalla definizione di prodotto scalare tra vettori abbiamo
ed usando la (1.9), otteniamo
che, per la (1.32), dimostra la (1.36).
u · Sv = ui [S] ij vj
ui [S] ij vj = [S] ij [u ⊗ v] ij
Ex. 7 Siano dati due versori e ed f tra loro ortogonali e siano Pe e Pf i
proiettori ortogonali lungo le direzioni individuate da e ed f. Mostrare che
Pe · Pf = 0 .
1.5 Rotazioni attorno ad un asse
In questo paragrafo dimostriamo la formula di rappresentazione per una rotazione
attorno ad un asse individuato dal versore e, enunciata a p.23 di BPV.
Teorema 1.3 Sia Q il tensore ortogonale speciale che individua una rotazione
attorno ad e. Detto W(e) il tensore antisimmetrico associato ad e, esiste un
parametro ϑ ∈ [0, 2π[ tale che
Q = I + sin ϑW(e) + (1 − cosϑ)W 2 (e) (1.37)
Dim. Diamo una dimostrazione geometrica della (1.37), avvalendoci della Figura
1.4.
e
v
p
Qv
p ∗
Figura 1.4:
p∗ ϑ
v
e ∧ v
p
′
W2 (e)v

1.6. ESERCIZI 19
Il vettore W(e)v = e ∧ v è ortogonale sia a v che ad e ed è orientato come in
Fgura. Quanto a W 2 (e)v, abbiamo
W 2 (e)v = e ∧ (e ∧ v) = (e · v)e − v = −Pev (1.38)
(cfr. figura 1.4). I punti p e p∗ si trovano su una circonferenza di raggio | Pev |,
centrata sull’asse di rotazione e Qv si ottiene aggiungendo a v il vettore v ′ di
modulo pari alla corda che unisce p con p ∗ . Dal teorema della corda si ricava
|v ′ | = 2
2
W (e)v ϑ
sin , (1.39)
2
dove ϑ è l’angolo al centro sotteso dall’arco pp∗. Proprietà geometriche elementari
permettono di sviluppare v ′
sulla base ortonormale
,
v ′ = |v ′ | sin ϑ
2
2
W (e)v
|W2 e∧v
(e)v| , |e∧v|
W2 (e)v
|W2 (e)v| + |v′ | cos ϑ e ∧ v
. (1.40)
2 |e ∧ v|
Dall’equazione (1.38) segue che le componenti di v e W 2 (e)v sul piano ortogonale
ad e sono opposte per cui e ∧v = −e ∧W 2 (e)v e poiché e e W 2 (e)v sono
ortogonali abbiamo
|e ∧ v| = W 2 (e)v .
Servendosi delle identità trigonometriche
da (1.39) e (1.40) otteniamo
sin ϑ = 2 sin ϑ ϑ
2 cos 2
2 ϑ 2 sin = 1 − cosϑ,
2
v ′ = sin ϑ (e ∧ v) + (1 − cosϑ)W 2 (e)v
= sin ϑW(e)v + (1 − cosϑ)W 2 (e)v
da cui segue la tesi, visto che Qv = v + v ′ .
La dimostrazione chiarisce che il parametro ϑ rappresenta l’angolo di rotazione
necessario per passare da v a Qv.
1.6 Esercizi
Esercizio 1.1 Sia e un versore e W(e) il corrispondente tensore antisimmetrico.
Dimostrare che
W(e)(e ⊗ e) = (e ⊗ e)W(e) = 0. (1.41)
Prendiamo un arbitrario vettore v e applichiamo ad esso il tensore W(e)(e ⊗ e).
Dalle definizioni di prodotto diadico e di tensore antisimmetrico associato ad un
vettore segue
W(e)(e ⊗ e)v = W(e)(e · v)e = (e · v)e ∧ e = 0 .

20 CAPITOLO 1. TENSORI
In modo analogo si può vedere che (e ⊗ e)W(e)v = 0. Poiché ciò è vero ∀v ∈ V,
vale la (1.41).
Esercizio 1.2 Sia S un tensore simmetrico. Mostrare che
S · W = 0
per ogni tensore antisimmetrico W. È vero che, se il prodotto scalare tra un
tensore simmetrico S ed un tensore A si annulla, A è antisimmetrico?
Sviluppiamo il prodotto scalare usando gli elementi delle matrici associate ad S
e W rispetto ad una base ortonormale con l’aiuto della convenzione di Einstein
sugli indici ripetuti:
S · W = [S]ij[W]ij .
Ogni coppia di indici i = i0 e j = j0 fissata compare in due termini soltanto:
[S]i0j0[W]i0j0 e [S]j0i0[W]j0i0 che sono sommati nel prodotto scalare. Poiché W
è antisimmetrico ed S simmetrico, abbiamo
per cui
[S]j0i0[W]j0i0 = [S]i0j0[W]j0i0 = −[S]i0j0[W]i0j0
[S]i0j0[W]i0j0 + [S]j0i0[W]j0i0 = 0.
Ripetendo lo stesso ragionamento su tutte le coppie di indici possibili, arriviamo
alla tesi. Quanto alla seconda parte dell’esercizio, produciamo un controesempio
in cui
S · A = 0
per un tensore S simmetrico, senza che A sia antisimmetrico. Scelto S = I
sappiamo che
S · A = I · A = trA
ed esistono infiniti tensori a traccia nulla che non sono antisimmetrici.
Esercizio 1.3 Trovare entro quali limiti varia la traccia di un tensore Q ortogonale
speciale. Come cambia il risultato se il tensore è ortogonale, ma non
speciale?
Prendiamo Q ∈ SO(V). Un teorema di Eulero (cfr. p. 23 di BPV) afferma
che per tutti i tensori Q ∈ SO(V) esiste un versore e ∈ V tale che Q rappresenta
una rotazione attorno all’asse individuato da e. Dunque, se Q ∈ SO(V) vale la
formula di rappresentazione (1.37) che consente di determinare
trQ = 1 + 2 cosϑ
dal momento che trW(e) = 0 e trW 2 (e) = −trPe = −2, in virtù della (1.38).
Variando l’angolo di rotazione in [0, 2π) otteniamo che trQ ∈ [−1, 3]. Se Q ∈
O(V) \ SO(V) allora −Q ∈ SO(V) e dunque
per cui trQ ∈ [−3, 1].
−1 ≤ tr(−Q) ≤ 3

1.6. ESERCIZI 21
Esercizio 1.4 (26 febbraio 1999) Sia S un tensore simmetrico e W un tensore
antisimmetrico. Dimostrare che SW + WS è un tensore antisimmetrico.
Grazie alla regola di trasposizione (AB) T = B T A T otteniamo
(SW) T = W T S T = −WS e (WS) T = S T W T = −SW ,
dove abbiamo adoperato le ipotesi S = S T e W = −W T . Pertanto, SW + WS
è un tensore antisimmetrico.
Esercizio 1.5 (5 novembre 1999) Dato un tensore antisimmetrico W ed un
numero naturale N, si consideri il tensore
L :=
N
(−1) k (W) (2k−1) .
k=1
Dimostrare che L è un tensore antisimmetrico, per ogni valore di N.
Il tensore L è combinazione lineare di potenze dispari del tensore antisimmetrico
W. Il trasposto di W (2k−1) è (W (2k−1) ) T = (−1) (2k−1) W (2k−1) = −W e
dunque L è antisimmetrico.
Esercizio 1.6 (9 febbraio 2000) Sia dato un tensore L definito positivo. Quale,
tra le affermazioni seguenti, risulta corretta:
○ La parte simmetrica di L è definita positiva.
○ La parte simmetrica di L ha almeno un autovalore negativo.
○ La parte antisimmetrica di L è definita positiva.
○ La parte antisimmetrica di L può avere un autovalore positivo.
Poiché L è definito positivo deve essere
u · Lu > 0 ,
∀u ∈ V\{0}. Ogni tensore si può univocamente scomporre nella somma di un
tensore simmetrico S ed uno antisimmetrico W cosicché
u · Lu = u · Su + u · Wu .
L’ultimo addendo è però nullo, in quanto ogni tensore antisimmetrico applica
un vettore u in un vettore Wu ad esso ortogonale. Dunque
u · Lu = u · Su
e si può concludere che la parte simmetrica di L è definita positiva.

22 CAPITOLO 1. TENSORI