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Geometria Lingotto. Una volta che abbiamo definito il prodotto tra una matrice A e una colonna C possiamo definire il prodotto tra una matrice A e una matrice C . L’idea e’ pensare C dal punto di vista delle colonne e usare la definizione precedente. Definizione 0.3. Sia A una matrice m × k e sia C una matrice k × n. Allora il prodotto A · C e’ la matrice m × n : A · C := (A · C1 A · C2 · · · A · Cn) dove A · Cj e’ il prodotto tra la matrice A e la colonna Cj . Dunque la prima colonna del prodotto A · C e’ la combinazione lineare delle colonne di A ottenuta usando i coefficienti della prima colonna della C , la seconda colonna del prodotto A·C e’ la combinazione lineare delle colonne di A ottenuta usando i coefficienti della seconda colonna della C e cosí via. In questo modo, il prodotto A · C si pensa dal punto di vista delle colonne. ⎜ Pensando alla matrice A dal punto di vista delle righe, cioe’ A = ⎜ ⎝ ⎛ R1 R2 . Rm ⎞ ⎟ ⎠ osservi- amo che il prodotto A · C tra A e una colonna C , si puo’ anche calcolare faccendo il prodotto tra le righe di A e la colonna C , cioe’: ⎛ ⎜ A · C = ⎜ ⎝ R1 · C R2 · C . Rm · C ⎞ ⎟ ⎠ Questa osservazione dimostra la seguente proposizione. ⎛ ⎞ Proposizione 0.4. Sia A = ⎜ ⎝ R1 R2 . Rm ⎟ ⎠ una matrice di m × k, cioe’ la riga Rj ha k elementi, e sia C = (C1 C2 · · · Cn) una matrice di k × n. Allora il prodotto A · C e’ la seguente matrice m × n: ⎛ ⎜ A · C := ⎜ ⎝ R1 · C1 R1 · C2 · · · R1 · Cn R2 · C1 R2 · C2 · · · R2 · Cn . . · · · Rm · C1 Rm · C2 · · · Rm · Cn . ⎞ ⎟ ⎠ . Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing9 2 Geometria
0.1 Dimostrazione del Teorema del rango Geometria Lingotto. Dove Ri · Cj = k s=1 aiscsj . Dunque possiamo anche pensare al prodotto A·C del punto di vista delle righe, cioe’ ⎛ ⎜ A · C = ⎜ ⎝ R1 · C R2 · C . Rm · C ⎞ ⎟ ⎠ . Detto a parole: la prima riga della matrice A · C e’ la combinazione lineare delle righe della matrice C usando i coefficenti della prima riga di A, la seconda riga della matrice A · C e’ la combinazione lineare delle righe della matrice C usando i coefficenti della seconda riga di A e cosí via. Ecco un modo pratico di fare il prodotto A · B : 0.1 Dimostrazione del Teorema del rango Questa possibilitá di pensare il prodotto tra matrici dal punto di vista delle colonne oppure delle righe ci permette dimostrare molto semplicemente il Teorema del rango che afferma che il rango righe ρR(A) e’ uguale al rango colonne ρC(A) per qualsiasi matrice A. Ricordare che questo permette definire il rango ρ(A) di una matrice A come ρ(A) = ρR(A) = ρC(A). Dimostrazione del Teorema del rango. Sia A una matrice n × m e sia c = ρC(A) il rango colonne. Allora le colonne della matrice A sono combinazione lineare di c colonne Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing9 3 Geometria
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