Il postulato di Archimede e il postulato di Dedekind - Aula Digitale

capitolo
2
1
Coordinate cartesiane
Il postulato di Archimede e il postulato di Dedekind
Nel capitolo 3 (par. 9 e 10) di Algebra 1 abbiamo accennato alla rappresentazione cartesiana
dei numeri reali sulla retta e di coppie ordinate di numeri reali nel piano. Riprendiamo
ora l’argomento sviluppandolo dall’inizio, in modo più approfondito.
La rappresentazione geometrica dei numeri reali si ottiene
associando a ogni numero reale un punto di una
retta, che costituisce l’immagine del numero stesso.
Tale metodo di rappresentazione, la cui idea ispiratrice
è dovuta a R. Descartes (1596-1650), è assai utile
e corretto, ma non risolve le due questioni seguenti:
che cosa siano i numeri reali;
che cosa sia una retta.
Si tratta di due questioni importanti, che riguardano i fondamenti della matematica. Nel
corso dei secoli, si è cercato di risolverle con due diverse strategie, che corrispondono a
due diverse culture.
Secondo una prima via, di tipo logico, da Euclide a G. Cantor (1845-1918) si cercò di fornire
definizioni assiomatiche o costruttive dei numeri reali e degli enti geometrici.
Un’altra via, pragmatica, di grande efficacia, fu quella di usare numeri reali e rette pur
avendo di essi una conoscenza poco più che intuitiva. Fanno parte di questa seconda tendenza
gli usi del numero π considerato uguale a 3,14 o la definizione di retta come linea
“senza fine né inizio”.
L’una via non esclude l’altra, né l’una è sempre superiore all’altra per quanto concerne i risultati
ottenuti. Dal punto di vista didattico, è auspicabile che esse siano sviluppate entrambe.
Accettata, per esempio, l’idea intuitiva di retta, facciamo vedere come, utilizzando alcune
sue proprietà, si possono rappresentare su di essa i numeri reali.
Scelti due punti O e U e detto unitario il segmento OU, associamo a ogni altro segmento
OP una lunghezza che rappresenti la misura di OP rispetto all’unità di misura OU.
La nozione di misura coinvolge il postulato di Archimede, che qui ricordiamo.
POSTULATO DI ARCHIMEDE Dati comunque due segmenti, non ridotti a un solo punto, esistono
sempre multipli del minore che superano il maggiore.
Infatti, quando per esempio si dice che la lunghezza di OP è 4,23... OU si intende che:
ma
e che:
ma
4 volte OU è minore di OP
5 volte OU è maggiore di OP
1
42 volte OU è minore di OP
10
1
43 volte OU è maggiore di OP ecc.
10
DESCARTES (Cartesio) René (La Haye
1596 – Stoccolma 1650). Nonostante i
suoi studi comprendano varie parti della
matematica, la sua fama è legata all’introduzione
del metodo delle coordinate
che permette di tradurre sistematicamente
i problemi algebrici in problemi
geometrici e viceversa.
ARCHIMEDE Matematico e fisico siracusano,
vissuto nel III secolo a.C.,
probabilmente studiò ad Alessandria
d’Egitto e fu allievo di Euclide. Tornato
a Siracusa, scrisse numerose opere di cui
solo alcune ci sono pervenute. Tra quelle
a noi note ricordiamo: Quadratura
della parabola, Della sfera e del cilindro,
Delle spirali, Il Metodo; in quest’ultima
viene esposto un procedimento per
calcolare i volumi del tutto simile al metodo
di integrazione.
Indicando allora la lunghezza di OP con il numero x ≥ 0, si associa al punto P il numero
non negativo x se P si trova sulla semiretta, delle due determinate da O, contenente U; gli
si associa invece –x se P sta, rispetto a O, dalla parte opposta di U.
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capitolo
2
2
Coordinate cartesiane
Viceversa, scelta una retta e fissati su di essa i due punti O e U, ogni numero reale x può
essere considerato come ascissa di un punto P di tale retta. La corrispondenza è evidente
se x è intero o anche solo razionale, ed è fondata sul teorema di Talete relativo alle sezioni
di rette parallele; se x è invece irrazionale, la corrispondenza è fondata sul postulato di
continuità della retta, detto di Dedekind o di Cantor.
POSTULATO DI DEDEKIND Per ogni successione di segmenti s 1 , s 2 , s 3 ... incapsulati tra di loro,
cioè tali che s 1 ⊇ s 2 ⊇ s 3 ⊇ ..., esiste almeno un punto P comune a tutti i segmenti.
Così il punto P, immagine del numero irrazionale 2
, sarà il punto comune alla successione
di segmenti:
s1 = [1,4; 1,5] s2 = [1,41; 1,42] s3 = [1,414; 1,415] .....
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