APPUNTI del CORSO di MACCHINE I - Università degli Studi di ...
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<strong>APPUNTI</strong> <strong>del</strong> <strong>CORSO</strong> <strong>di</strong><br />
<strong>MACCHINE</strong> I<br />
A cura <strong>del</strong> dott. ing. Romano Impero Abenavoli,<br />
dalle lezioni <strong>del</strong> prof. Cinzio Arrighetti<br />
1
INTRODUZIONE ALLO STUDIO DELLE <strong>MACCHINE</strong> A FLUIDO<br />
<strong>MACCHINE</strong><br />
Si può definire macchina, in senso lato, un qualsiasi convertitore <strong>di</strong> energia cioè, in generale, una scatola chiusa<br />
in cui entra energia ed esce energia <strong>di</strong> tipo <strong>di</strong>verso da quella entrante.<br />
In questa definizione rientra qualsiasi congegno capace <strong>di</strong> effettuare una conversione energetica, dallo<br />
schiaccianoci alla pila a combustibile.<br />
Il campo <strong>di</strong> nostro specifico interesse é quello <strong>del</strong>le macchine a fluido, ovvero le macchine che necessitano per il<br />
loro funzionamento <strong>del</strong>l’intervento <strong>di</strong> un fluido per effettuare la conversione <strong>di</strong> energia a cui sono destinate.<br />
Le macchine a fluido, <strong>di</strong> cui ci occupiamo, convertono una parte <strong>del</strong> patrimonio energetico <strong>del</strong> fluido<br />
operante in energia meccanica oppure viceversa.<br />
Le macchine a fluido si possono sud<strong>di</strong>videre quin<strong>di</strong> in due tipi fondamentali:<br />
<strong>MACCHINE</strong> MOTRICI convertono l’energia (spesso prevalentemente potenziale) posseduta da un<br />
fluido in energia meccanica utile all’esterno<br />
<strong>MACCHINE</strong> OPERATRICI convertono energia meccanica spesa dall’esterno in energia (spesso<br />
prevalentemente potenziale) <strong>di</strong> un fluido.<br />
Un’ulteriore classificazione <strong>del</strong>le macchine può farsi <strong>di</strong>videndole in:<br />
<strong>MACCHINE</strong> VOLUMETRICHE e TURBO<strong>MACCHINE</strong> .<br />
Le macchine volumetriche sono caratterizzate dal fatto che elaborano volumi finiti <strong>di</strong> fluido; necessitano <strong>di</strong> una<br />
fase <strong>di</strong> ammissione e <strong>di</strong> una <strong>di</strong> scarico.<br />
Le turbomacchine (o macchine <strong>di</strong>namiche) elaborano invece una portata continua <strong>di</strong> fluido (costante nel tempo<br />
se il funzionamento è a regime). Sia le macchine volumetriche che le turbomacchine possono essere motrici<br />
oppure operatrici.<br />
Le macchine volumetriche possono, a loro volta, sud<strong>di</strong>vidersi nelle macchine ALTERNATIVE e nelle macchine<br />
ROTATIVE.<br />
Le macchine volumetriche alternative sono fondate sul cinematismo biella/manovella: un esempio <strong>di</strong> operatrice è<br />
il compressore alternativo; <strong>di</strong> motrice, un motore a combustione interna a pistoni.<br />
Le macchine volumetriche rotative operatrici comprendono una vasta gamma (macchine ad ingranaggi, a lobi, a<br />
“palette”, a viti, etc.), mentre un esempio <strong>di</strong> volumetrica rotativa motrice è il motore Wankel 1 .<br />
La turbomacchina è attraversata con continuità dal fluido evolvente e non presenta, quin<strong>di</strong>, valvole o luci che<br />
vengano perio<strong>di</strong>camente aperte e chiuse. A regime le portate massiche entrante ed uscente sono uguali, possono<br />
<strong>di</strong>fferire invece tra loro durante i transitori.<br />
Le turbomacchine possono sud<strong>di</strong>vidersi in ASSIALI e RADIALI, ma possono essere in genere ad architettura<br />
mista ( ASSIO-RADIALI ).<br />
In una macchina volumetrica la conversione <strong>di</strong> energia avviene in maniera <strong>di</strong>retta, cioè essa viene ceduta od<br />
assorbita dal fluido durante la fase <strong>di</strong> espansione o <strong>di</strong> compressione <strong>del</strong> fluido stesso.<br />
1<br />
Dr Felix Wankel, (1902-1988), inventore tedesco.<br />
IRA 2
Nelle turbomacchine la conversione avviene invece per mezzo <strong>di</strong> un passaggio interme<strong>di</strong>o, che comporta<br />
sempre una variazione <strong>di</strong> energia cinetica <strong>del</strong> fluido.<br />
La turbomacchina è formata, in genere, da una serie <strong>di</strong> “sta<strong>di</strong>”; il singolo sta<strong>di</strong>o è, or<strong>di</strong>nariamente, costituito da<br />
uno STATORE (parte fissa) e da un ROTORE (parte mobile).<br />
Nelle turbomacchine motrici il fluido, nel suo percorso, attraversa prima lo STATORE e poi il ROTORE. Nello<br />
statore si opera una conversione <strong>di</strong> energia potenziale <strong>del</strong> fluido in energia cinetica <strong>del</strong>lo stesso; nel rotore si opera<br />
una conversione <strong>di</strong> tale energia cinetica in lavoro meccanico utile.<br />
Nelle macchine operatrici il fluido attraversa prima il ROTORE e poi lo STATORE. Nel rotore l’energia<br />
meccanica (lavoro speso) viene convertita in energia cinetica <strong>del</strong> fluido; nello statore questa viene convertita in<br />
energia potenziale.<br />
Ogni conversione energetica avviene attraverso un certo ren<strong>di</strong>mento, <strong>di</strong> regola inferiore all’unità.<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 3
Schematizziamo una prima classificazione <strong>del</strong>le macchine a fluido.<br />
Macchine<br />
L’energia <strong>di</strong>sponibile in un impianto motore può provenire da fonti tra<strong>di</strong>zionali (idraulica, chimica, geotermica,<br />
nucleare) o da fonti non tra<strong>di</strong>zionali (quali le fonti rinnovabili, in primo luogo l’eolica e la solare).<br />
In definitiva<br />
potenziale energetico<br />
<strong>del</strong> fluido<br />
energia meccanica<br />
(lavoro speso)<br />
Il patrimonio energetico <strong>del</strong> fluido <strong>di</strong>minuisce<br />
nel caso <strong>di</strong> macchina motrice<br />
motrici<br />
operatrici<br />
(producono energia utilizzabile<br />
dall’utente sfruttando il patrimonio<br />
energetico <strong>del</strong> fluido entrante)<br />
(elevano il patrimonio energetico <strong>del</strong><br />
fluido attraverso la somministrazione<br />
dall’esterno <strong>di</strong> energia meccanica)<br />
patrimonio<br />
energetico<br />
<strong>del</strong> fluido<br />
aumenta nel caso <strong>di</strong><br />
macchina operatrice<br />
Macchina<br />
motrice<br />
Macchina<br />
operatrice<br />
IMPIANTI<br />
energia<br />
<strong>di</strong>sponibile<br />
idroelettrici 25%<br />
termoelettrici 72%<br />
geotermoelettrici 3%<br />
energia meccanica<br />
(lavoro utile)<br />
energia<br />
meccanica<br />
<strong>di</strong>sponibile alla flangia <strong>di</strong><br />
accoppiamento fra<br />
macchina produttrice ed<br />
utilizzatore (ad es. un<br />
alternatore)<br />
potenziale energetico<br />
<strong>del</strong> fluido<br />
IRA 4
Possiamo costruire una “matrice <strong>di</strong> esistenza e <strong>di</strong> connessione” <strong>del</strong>le varie classificazioni possibili <strong>del</strong>le<br />
macchine a fluido secondo 5 criteri <strong>di</strong>stinti:<br />
1° criterio: basandosi sulla <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la conversione energetica, <strong>di</strong>vi<strong>di</strong>amo le macchine in<br />
motrici operatrici<br />
2° criterio: basandosi sulla caratteristica fisica <strong>del</strong> fluido evolvente, <strong>di</strong>vi<strong>di</strong>amo le macchine in<br />
macchine<br />
idrauliche<br />
macchine<br />
termiche<br />
a seconda che il fluido evolvente sia un liquido o un aeriforme;<br />
3° criterio: basandosi sul moto <strong>del</strong>l’ organo pre<strong>di</strong>sposto al trasferimento <strong>di</strong> lavoro (alternativo o rotatorio)<br />
le <strong>di</strong>vi<strong>di</strong>amo in<br />
macchine<br />
alternative<br />
macchine<br />
rotative<br />
4° criterio: basandosi sull’andamento nel tempo <strong>del</strong> flusso <strong>del</strong> fluido (pulsante o continuativo), le<br />
<strong>di</strong>vi<strong>di</strong>amo in<br />
macchine<br />
volumetriche<br />
Questo tipo <strong>di</strong> macchina elabora un<br />
volume (o massa) finito <strong>di</strong> fluido che,<br />
una volta elaborato, viene espulso<br />
(motori a combustione interna,<br />
compressori alternativi, etc.)<br />
macchine<br />
<strong>di</strong>namiche<br />
o turbomacchine<br />
Questo tipo <strong>di</strong><br />
macchina elabora il<br />
fluido con portata<br />
massica costante in<br />
esercizio a regime<br />
5° criterio: basandosi sul tipo <strong>di</strong> traiettoria <strong>del</strong> fluido evolvente (cioè <strong>del</strong> suo percorso all’interno <strong>del</strong>la<br />
macchina), le sole macchine <strong>di</strong>namiche si possono <strong>di</strong>videre in<br />
assiali ra<strong>di</strong>ali assio-ra<strong>di</strong>ali<br />
È opportuno precisare che il 5° criterio si basa sulla componente fondamentale <strong>del</strong>la velocità <strong>del</strong> fluido, ovvero<br />
su quella componente <strong>del</strong> vettore velocità che garantisce lo smaltimento <strong>del</strong>la portata <strong>del</strong> fluido attraverso la<br />
macchina: se tale componente è quella assiale la macchina è detta assiale, se è quella ra<strong>di</strong>ale la macchina è detta<br />
ra<strong>di</strong>ale. Da notare che le macchine alternative possono essere solo volumetriche, ma non viceversa.<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 5
In base a quanto esposto è possibile <strong>di</strong>segnare la MATRICE <strong>di</strong> CONNESSIONE<br />
statore<br />
motrici operatrici<br />
idrauliche termiche<br />
alternative rotative<br />
volumetriche <strong>di</strong>namiche<br />
assiali ra<strong>di</strong>ali<br />
assio-ra<strong>di</strong>ali<br />
rotore<br />
turbomacchina assiale<br />
(plurista<strong>di</strong>o)<br />
<strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la<br />
velocità assiale<br />
(parallela all’asse <strong>di</strong><br />
rotazione <strong>del</strong>la<br />
macchina)<br />
turbomacchina ra<strong>di</strong>ale<br />
(rotore <strong>di</strong> uno sta<strong>di</strong>o)<br />
componente ra<strong>di</strong>ale<br />
<strong>del</strong>la velocità<br />
IRA 6
Richiami <strong>di</strong> termo<strong>di</strong>namica tecnica<br />
È opportuno svolgere alcuni richiami fondamentali <strong>di</strong> Termo<strong>di</strong>namica tecnica, fondati sul 1° e sul 2° Principio<br />
<strong>del</strong>la termo<strong>di</strong>namica, rivisitati in chiave applicativa, con riferimento alle macchine a fluido ed ai relativi impianti.<br />
Il primo concetto che occorre puntualizzare è quello <strong>di</strong> sistema, ovvero una determinata massa <strong>di</strong> fluido, liquido<br />
od aeriforme, spesso (ma non sempre) unitaria, contenuta in una superficie <strong>di</strong> controllo chiusa, fissa o mobile, a<br />
seconda dei casi.<br />
Contemporaneamente l’esterno al sistema è tutto ciò che non è incluso nel sistema, ovvero non ne fa parte. Ai<br />
fini pratici, l’esterno si limita a quella parte che “<strong>di</strong>aloga” col sistema attraverso scambi energetici.<br />
Questi scambi, per le nostre applicazioni, sono essenzialmente termici (calore) e meccanici (lavoro).<br />
I flui<strong>di</strong> utilizzati nelle macchine possono essere vapori (in particolare vapore d’acqua), gas (in particolare aria) e<br />
liqui<strong>di</strong> (in particolare acqua); questi flui<strong>di</strong> appartengono alla classe dei flui<strong>di</strong> termo<strong>di</strong>namici, ovvero quei flui<strong>di</strong> la cui<br />
equazione <strong>di</strong> stato, in forma generale implicita, è scritta in tre variabili <strong>di</strong> stato ed il fluido possiede quin<strong>di</strong> 2 gra<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
libertà termo<strong>di</strong>namici (la terza variabile è calcolabile in funzione dei valori <strong>del</strong>le altre due).<br />
La scelta <strong>di</strong> queste 3 variabili <strong>di</strong> stato è libera: F(X, Y, Z) = 0<br />
ad esempio: pressione, temperatura e volume specifico (ovvero il suo reciproco, cioè la densità).<br />
Questa libertà è assoluta, salvo nei casi in cui, come nei passaggi <strong>di</strong> stato, un parametro sia univocamente<br />
legato ad un altro; ricor<strong>di</strong>amo infatti che per un vapore saturo, all’interno <strong>del</strong>la campana <strong>di</strong> Andrews 2 , pressione e<br />
temperatura sono due parametri non in<strong>di</strong>pendenti ma fra loro biunivocamente vincolati.<br />
Per il cosiddetto gas perfetto, si avrà, assumendo, X = p , Y = ρ , Z = T (temperatura assoluta)<br />
l’equazione <strong>di</strong> stato nella forma: F= − RT = 0<br />
dove R è la costante <strong>del</strong> gas (<strong>di</strong>versa per ciascun gas)<br />
p<br />
ρ<br />
ℜ<br />
R =<br />
M<br />
è pari al rapporto fra la costante universale R dei gas e la massa molecolare <strong>del</strong>lo specifico gas in questione.<br />
2 Thomas Andrews, (1813-1885), chimico e fisico inglese.<br />
costante universale dei gas<br />
8,314 [kJ/mol K]<br />
massa molecolare<br />
<strong>del</strong> gas<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 7
Nella tabellina si riportano i valori <strong>di</strong> M e <strong>di</strong> R per alcuni gas <strong>di</strong> frequente impiego.<br />
GAS M [kg/kmol ] R [kJ/kg K ] GAS M [kg/kmol ] R [kJ/kg K ]<br />
H2 2,0158 4,196 H2O 18,016 0,462<br />
O2 31,891 0,261 CH4 16,044 0,518<br />
N2 28,14 0,297 Aria 28,968 0,287<br />
CO2 44,012 0,189 He 4,0028 2,078<br />
Le funzioni <strong>di</strong> stato, o parametri termo<strong>di</strong>namici, possono essere <strong>di</strong> tipo estensivo (o ad<strong>di</strong>tivo), come l’energia<br />
interna u, l’entalpia h, l’entropia S, etc., oppure <strong>di</strong> tipo intensivo, come la pressione p e la temperatura T.<br />
Le quantità estensive sono proporzionali alla massa <strong>del</strong> fluido; i simboli usati (u, h, S etc.) si riferiscono sempre<br />
all’unità <strong>di</strong> massa e sono quin<strong>di</strong> relativi alle grandezze specifiche (energia interna specifica, entalpia specifica,<br />
entropia specifica, etc.).<br />
Parlare <strong>di</strong> un fluido termo<strong>di</strong>namico equivale a parlare <strong>di</strong> un fluido il cui stato termo<strong>di</strong>namico è univocamente<br />
determinato quando siano assegnati i valori numerici <strong>di</strong> 2 parametri (ad es. 2 dei 3 che figurano nell’eq.ne <strong>di</strong> stato<br />
<strong>del</strong> fluido stesso).<br />
Per un gas perfetto, i calori specifici <strong>di</strong>pendono solo dalla temperatura<br />
cp = cp(T) cv = cv(T)<br />
ed anche cp = cp 0 + f(T) cv = cv 0 + f(T)<br />
da cui cp - cv = cp 0 - cv 0 = R = cost<br />
Se i calori specifici cp e cv sono costanti, cioè in<strong>di</strong>pendenti dalla temperatura, il gas perfetto in questione è anche<br />
ideale (è il caso in natura dei gas monoatomici).<br />
I gas non monoatomici sono spesso assimilabili, con buona approssimazione, ad un gas perfetto (ma non<br />
ideale). Può accadere che entro un determinato “range” <strong>di</strong> temperatura, non molto esteso, caratteristico <strong>di</strong> una<br />
certa macchina, il cp ed il cv <strong>del</strong> gas che in essa è impiegato siano approssimativamente costanti; in questo caso<br />
varrà la schematizzazione <strong>del</strong> gas ideale ai fini dei calcoli, che risulteranno particolarmente semplificati.<br />
Se variano nel tempo le con<strong>di</strong>zioni termo<strong>di</strong>namiche <strong>del</strong> fluido considerato, si può verificare una successione <strong>di</strong><br />
stati termo<strong>di</strong>namici <strong>del</strong> fluido, descrivibili con continuità, che rappresentano una trasformazione termo<strong>di</strong>namica;<br />
essa, a rigore, dovrebbe venir descritta, come successione <strong>di</strong> stati <strong>di</strong> equilibrio, in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> reversibilità, mentre<br />
nella realtà ciò non avviene, e le varie con<strong>di</strong>zioni termo<strong>di</strong>namiche fuori equilibrio <strong>del</strong> fluido vengono<br />
“statisticamente” assimilate a stati <strong>di</strong> equilibrio “equivalenti”.<br />
Quando un fluido termo<strong>di</strong>namico evolve in una macchina, si può rappresentare ogni trasformazione<br />
termo<strong>di</strong>namica su <strong>di</strong> un piano termo<strong>di</strong>namico (ad es. il piano X, Y) dove si fa riferimento all’equazione <strong>di</strong> stato F(X,<br />
Y, Z) = 0 e all’equazione <strong>del</strong>la trasformazione Φ(X,Y,Z) = 0.<br />
LEGGE DI MAYER<br />
IRA 8
Dal sistema tra le due, può dedursi, ad es. eliminando Z : ϕ(X, Y) = 0<br />
rappresentabile come equazione <strong>del</strong>la trasformazione nel piano (X, Y).<br />
Y<br />
ad es.: la politropica <strong>di</strong> un gas perfetto sarà, assumendo X = p, Y = υ = 1/ρ:<br />
p<br />
Introduciamo il 1° principio <strong>del</strong>la Termo<strong>di</strong>namica (o principio <strong>del</strong>l’equivalenza o <strong>del</strong>la conservazione<br />
energetica, rivisitato in chiave macchinistica ed impiantistica) riferendoci all’unità <strong>di</strong> massa e, quin<strong>di</strong>, all’energia<br />
specifica. Questo principio fu stabilito da James Prescott JOULE 3 nel 1840 e <strong>di</strong>mostrato con l’esperienza <strong>del</strong><br />
famoso mulinello a pale.<br />
1<br />
2<br />
z = cost<br />
V=1/<br />
Considerando una superficie chiusa (fisica e matematica) contenente una certa quantità <strong>di</strong> fluido (ad es. l’unità<br />
<strong>di</strong> massa), in termini <strong>di</strong>fferenziali e specifici (ovvero riferiti all’unità <strong>di</strong> massa) si può scrivere<br />
dQ + dL = du (1)<br />
trascurando eventuali variazioni <strong>di</strong> energia potenziale e cinetica <strong>del</strong> sistema, altrimenti<br />
3 James PRESCOTT JOULE, (1818-1889), fisico inglese.<br />
X<br />
ϕ(X, Y) = 0<br />
percorso descritto dal fluido durante la trasformazione<br />
(evoluzione <strong>di</strong> un fluido in una macchina od in un<br />
elemento <strong>di</strong> impianto)<br />
p v<br />
m<br />
m p p0<br />
= cost<br />
= p0v<br />
0 ovvero:<br />
= cost<br />
=<br />
m<br />
m<br />
ρ ρ<br />
dQ + dL = du + dE pot + dE cin (2)<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 9<br />
0
La (2) esprime l’eq.ne <strong>del</strong>l’energia per sistemi chiusi, ovvero il 1° principio generalizzato<br />
dove dE pot = gdz è la variazione <strong>di</strong> energia geodetica <strong>del</strong> fluido calcolata rispetto ad un asse z<br />
dE cin = d<br />
2<br />
c<br />
2<br />
orientato verso l’alto;<br />
= cdc è l’energia cinetica <strong>del</strong> fluido, dove c è il modulo <strong>del</strong>la sua velocità;<br />
dQ è la quantità elementare <strong>di</strong> calore che l’unità <strong>di</strong> massa scambia con l’esterno<br />
(effettivamente);<br />
dL è il lavoro termo<strong>di</strong>namico elementare che l’unità <strong>di</strong> massa scambia con<br />
l’esterno;<br />
du è la corrispondente variazione elementare <strong>di</strong> energia interna <strong>del</strong>l’unità <strong>di</strong><br />
massa <strong>del</strong> fluido.<br />
Gli scambi energetici avvengono tutti nel medesimo intervallo <strong>di</strong> tempo dt.<br />
La convenzione moderna (qui adottata) dei segni <strong>del</strong>le energie scambiate prevede che le energie (calore e<br />
lavoro) siano entrambe intese positive se “entranti” nel sistema e negative se “uscenti” (ricor<strong>di</strong>amo che questa<br />
convenzione è <strong>di</strong>versa da quella adottata nella Termo<strong>di</strong>namica classica, in cui dQ è considerato positivo se<br />
entrante, mentre dL è considerato positivo se uscente).<br />
Con la (1) si afferma che sia il calore sia il lavoro ricevuti dal fluido ne arricchiscono il patrimonio energetico,<br />
costituito dall’energia interna e dalle energie “macroscopiche” (potenziale e cinetica).<br />
In ogni stato termo<strong>di</strong>namico il fluido possiede una sua energia interna dovuta ai movimenti <strong>di</strong> traslazione,<br />
rotazione e vibrazione molecolari, che si annulla soltanto allo zero assoluto <strong>di</strong> temperatura. In ogni processo<br />
termo<strong>di</strong>namico all’energia interna (integrata) <strong>del</strong> fluido si aggiunge (o si sottrae) un importo pari alle quantità <strong>di</strong><br />
calore e/o lavoro ad esso fornite (o da esso sottratte).<br />
L’energia interna <strong>di</strong> un fluido, che non sia sede <strong>di</strong> reazione chimica, non può che essere valutata in base allo<br />
stato termo<strong>di</strong>namico <strong>del</strong> fluido stesso; essa è dunque una “funzione <strong>di</strong> stato”, dato che il suo valore <strong>di</strong>pende<br />
esclusivamente dallo stato <strong>del</strong> fluido, a meno <strong>di</strong> una costante arbitraria il cui valore è associabile ad uno stato <strong>di</strong><br />
riferimento.<br />
L’energia interna è un’importante funzione <strong>di</strong> stato descrivibile, per un fluido termo<strong>di</strong>namico, ad es. in termini <strong>di</strong> p, v:<br />
d<br />
u<br />
=<br />
u<br />
∂T<br />
∂u<br />
∂v<br />
∂<br />
dT<br />
+ dv<br />
(3)<br />
v<br />
T<br />
ovvero secondo la scelta più conveniente <strong>del</strong>le variabili in<strong>di</strong>pendenti utili a definire l’energia interna; in particolare,<br />
per un gas perfetto, la 1 a derivata parziale è uguale a cv , mentre la 2a derivata è nulla (cv <strong>di</strong>pende solamente dalla<br />
temperatura, così come cp.ed anche u e h <strong>di</strong>pendono dalla sola T.<br />
IRA 10
Si supponga <strong>di</strong> avere un fluido OMOGENEO 4 .<br />
Nella (2) il termine du è esaustivo <strong>del</strong>la totale variazione <strong>di</strong> energia interna (ovvero la (2) è veramente<br />
generale) a patto che in seno al fluido non avvenga una trasformazione chimica in quanto, in questo caso, du non<br />
esprimerebbe più la variazione <strong>del</strong>la sola energia interna termo<strong>di</strong>namica. In questi casi, infatti, dovremmo<br />
sostituire du con la variazione <strong>di</strong> energia interna totale (du t ), che ha l’espressione seguente<br />
u u u<br />
(4)<br />
d t = d term + d chim<br />
dove du term è il precedente d u termo<strong>di</strong>namico, riferito alla composizione chimica corrente, e la (4) si può<br />
sviluppare in funzione dei tre parametri (T, ν, ξ)<br />
d<br />
∂ t ∂ t ∂ t<br />
u<br />
u u<br />
t = dT<br />
+ dv<br />
u<br />
+<br />
(5)<br />
∂T<br />
∂v<br />
∂ξ<br />
v<br />
, ξ<br />
T, ξ<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 11<br />
T,<br />
dξ<br />
v<br />
dove ξ è il grado <strong>di</strong> avanzamento <strong>del</strong>la reazione chimica (variabile da 0 ad 1).<br />
Quando ξ passa da 0 ad 1, ovvero mentre la reazione chimica si sviluppa completamente dall’inizio alla fine, il<br />
fluido non si può definire termo<strong>di</strong>namico perché il suo stato <strong>di</strong>pende da tre variabili; nel momento in cui la reazione<br />
chimica si completa, si torna ad avere un fluido termo<strong>di</strong>namico che non è più, tuttavia, quello iniziale; (ad es. una<br />
miscela <strong>di</strong> gas combusti <strong>di</strong>versa dalla miscela reagente iniziale).<br />
Un caso particolare <strong>del</strong>le trasformazioni termo<strong>di</strong>namiche (le sole, a rigore, rappresentabili come successione <strong>di</strong><br />
stati <strong>di</strong> equilibrio su un piano termo<strong>di</strong>namico) è quello <strong>del</strong>le trasformazioni reversibili.<br />
In una trasformazione reversibile dL rev = - pdv = - pd 1<br />
ρ<br />
p 1<br />
p 2<br />
p<br />
1<br />
a<br />
v 1 v 2 v<br />
2<br />
dove ρ è la massa specifica o densità.<br />
Si ricorda che per l’espansione il lavoro termo<strong>di</strong>namico reversibile<br />
risulterà, per la nostra convenzione dei segni, negativo; l’area<br />
tratteggiata in figura:<br />
a = |L rev |<br />
sarà uguale al valore assoluto <strong>di</strong> tale lavoro, essendo l’area sottesa<br />
dalla trasformazione sull’asse v nel piano (p, v).<br />
4 Ovvero, se si esegue la misura in <strong>di</strong>versi punti <strong>del</strong>la massa fluida considerata, <strong>di</strong> alcune grandezze termo<strong>di</strong>namiche, quali temperatura,<br />
pressione, densità, ecc. si ottengono, per una stessa grandezza, nei <strong>di</strong>versi punti, gli stessi valori numerici.
Se il sistema è chiuso, cioè privo <strong>di</strong> scambi <strong>di</strong> massa con l’esterno e, se si possono trascurare i termini, dE pot ,<br />
dE cin : dE pot ≅ dE cin<br />
per una trasformazione irreversibile si potrà scrivere<br />
IRA 12<br />
≅ 0<br />
dL = -pdv + (dQ i ) I<br />
dove con (dQ i ) I > 0 si in<strong>di</strong>ca il calore d’irreversibilità <strong>di</strong> 1 a specie.<br />
Le irreversibilità termo<strong>di</strong>namiche possono essere <strong>di</strong> due tipi, <strong>di</strong> prima o <strong>di</strong> seconda specie<br />
dQ i = (dQ i ) I + (dQ i ) II<br />
dove le irreversibilità <strong>di</strong> prima specie sono causate da uno o più dei seguenti tre fattori<br />
(dQ i ) I > 0 sempre! - attriti (dovuti alla viscosità <strong>del</strong> fluido e alla rugosità <strong>del</strong>le pareti a contatto con<br />
esso);<br />
- <strong>di</strong>fferenze (variazioni) finite <strong>di</strong> pressione ∆p in seno al fluido;<br />
- <strong>di</strong>fferenze (variazioni) finite <strong>di</strong> temperatura ∆T in seno al fluido;<br />
mentre quelle <strong>di</strong> seconda specie sono dovute solo alla presenza <strong>di</strong> una reazione chimica e non ai precedenti fattori<br />
(dQ i ) II<br />
> 0, reazione esotermica<br />
< 0, reazione endotermica.<br />
Il (dQ i ) I figura <strong>di</strong>rettamente nel bilancio energetico <strong>del</strong>l’energia meccanica, dove<br />
dL = - pdv + (dQ i ) I<br />
Il (dQ i ) II influenza <strong>di</strong>rettamente, invece, soltanto i bilanci termici e può, infine, esprimersi come<br />
∂u t<br />
(dQ ) = - dξ<br />
i II ∂ξ<br />
T,v<br />
La <strong>di</strong>stinzione tra i due tipi <strong>di</strong> calori d’irreversibilità è fondamentale.<br />
Ciò non solo per la <strong>di</strong>versità <strong>del</strong>le cause che generano il (dQ i ) I e il (dQ i ) II e le <strong>di</strong>verse possibilità <strong>di</strong> segno<br />
(sempre (dQ i ) I > 0, mentre (dQ i ) II >< 0 ), ma anche perché – come già accennato e come vedremo meglio in<br />
seguito – (dQ i ) I altera <strong>di</strong>rettamente, con la sua presenza, il bilancio <strong>del</strong> lavoro meccanico mentre (dQ i ) II , quando è<br />
presente, altera invece quello <strong>del</strong> calore.<br />
Parlando <strong>di</strong> attrito non si intende soltanto quello tra il fluido e le superfici <strong>di</strong> contatto (rugosità <strong>del</strong>le pareti) ma<br />
anche quello dovuto alla viscosità <strong>del</strong> fluido stesso, da cui <strong>di</strong>pende l’energia <strong>di</strong>ssipata nel moto relativo tra particella<br />
e particella a contatto fra loro.
Conviene esaminare l’equazione <strong>del</strong>l’energia con riferimento ai sistemi che solitamente sono oggetto <strong>del</strong> Corso<br />
<strong>di</strong> Macchine. Nel campo <strong>del</strong>le macchine e <strong>degli</strong> impianti che le utilizzano, le equazioni (1) o (2) sono utili<br />
ogniqualvolta si abbia a che fare con un sistema chiuso ovvero senza ricambio <strong>di</strong> massa (ciò implica impermeabilità<br />
<strong>del</strong> fluido rispetto alla superficie <strong>di</strong> contorno fissa o mobile, ma sempre chiusa, che lo contiene). In questo caso, i<br />
termini dE pot e dE cin sono il più <strong>del</strong>le volte trascurabili. Ad es., il sistema può essere costituito dalla miscela<br />
carburante in un motore a combustione interna; dE pot e dE cin possono trascurarsi globalmente nelle fasi <strong>di</strong><br />
compressione ed espansione e non in quelle <strong>di</strong> ingresso <strong>del</strong>l’aria o <strong>del</strong>la miscela e <strong>di</strong> uscita dei gas combusti; in<br />
tali fasi, necessarie al funzionamento <strong>del</strong>la macchina volumetrica, la variazione <strong>di</strong> dE cin non è trascurabile, ma è<br />
fondamentale ai fini dei bilanci energetici.<br />
Molto spesso ci occuperemo <strong>di</strong> sistemi aperti, ovvero <strong>di</strong> sistemi come quello descritto da un fluido che scorre<br />
all’interno <strong>di</strong> un condotto e che viene in contatto con una superficie mobile, ad esempio quella <strong>di</strong> un’elica, attraverso<br />
la quale si scambia energia meccanica.<br />
NB. Il volume fluido <strong>del</strong>imitato dalla superficie laterale e compreso tra le sezioni A e B (prefissate) costituisce il Sistema Fisico (o meglio il<br />
volume controllato) in stu<strong>di</strong>o.<br />
Se questo sistema opera a regime, per le portate in massa vale la M A = M B = M = cost.<br />
Consideriamo due sezioni (piane o non) A e B; in un certo istante il volume fluido compreso tra A e B costituisce<br />
il sistema cui si riferisce il nostro stu<strong>di</strong>o. Si può “seguire” un kg <strong>di</strong> fluido da A a B registrandone le vicissitu<strong>di</strong>ni<br />
termo<strong>di</strong>namiche con opportuni strumenti <strong>di</strong> misura e, <strong>di</strong> solito, i termini dE pot e dE cin non sono trascurabili. Per<br />
quanto concerne la trasmissione <strong>di</strong> calore verso l’esterno o l’interno, attraverso le pareti, si può utilizzare la (2).<br />
Il lavoro termo<strong>di</strong>namico elementare è, sempre, dL. Questo, integrato da A a B, è uguale a quello che possiamo<br />
misurare sulla superficie mobile a contatto con il fluido (ad es. quella <strong>del</strong>l’elica in figura)?<br />
La risposta è NO.<br />
Vi è una <strong>di</strong>fferenza, come vedremo, che può, in certi casi, essere <strong>del</strong>l’infinito per cento!<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 13
Si deve adottare, dunque, una espressione <strong>di</strong>versa dalla (2) se si vuole valutare il lavoro scambiato, in un<br />
organo aperto, tra il fluido (per unità <strong>di</strong> massa) e la superficie mobile. Infatti, il lavoro termo<strong>di</strong>namico L globalmente<br />
scambiato, tra A e B, dal kg <strong>di</strong> fluido, deve scriversi<br />
lavoro termo<strong>di</strong>namico<br />
lavoro tecnico;<br />
lavoro misurabile sull’albero<br />
<strong>del</strong>l’elica<br />
(scambiato tra fluido e<br />
superficie mobile)<br />
* *<br />
L = L + ( LA LB<br />
)<br />
− (6)<br />
In definitiva, la (2) è ancora valida purché si tenga conto <strong>del</strong>l’espressione (6) <strong>del</strong> lavoro termo<strong>di</strong>namico 5 ; la (2)<br />
non è, dunque, conveniente nelle applicazioni ingegneristiche dei sistemi aperti, perché in questi interessa valutare<br />
evidentemente il lavoro tecnico, mentre il problema non si pone in un sistema chiuso dove il lavoro che interessa<br />
<strong>di</strong>rettamente è quello termo<strong>di</strong>namico.<br />
A S<br />
i u<br />
Il lavoro tecnico è il lavoro effettivamente scambiato tra il fluido e la superficie<br />
mobile; quin<strong>di</strong>, per un sistema aperto si utilizza la (2) sviluppando L secondo la<br />
(6), per un sistema chiuso la (2) è invece esaustiva poiché per un sistema chiuso<br />
il lavoro termo<strong>di</strong>namico coincide con il lavoro scambiato attraverso le superfici<br />
mobili a contatto con il fluido.<br />
Facendo l’esempio <strong>di</strong> una macchina alternativa, non si hanno variazioni rilevanti<br />
<strong>di</strong> energia potenziale e cinetica se le valvole sono chiuse (sistema chiuso); nel<br />
caso contrario (sistema aperto) ciò non è più vero.<br />
È utile ricordare la (2), che esprime nella forma più generale il principio <strong>di</strong><br />
conservazione per un sistema omogeneo:<br />
dQ + dL = du + dE pot + dE cin (2)<br />
Ripren<strong>di</strong>amo in esame il sistema aperto precedentemente considerato (condotto + elica): il lavoro che interessa<br />
al tecnico, lavoro tecnico, non coincide con il lavoro termo<strong>di</strong>namico, ma è la <strong>di</strong>fferenza algebrica tra il lavoro<br />
termo<strong>di</strong>namico e il lavoro <strong>di</strong> pulsione.<br />
La strada più semplice per valutare il lavoro <strong>di</strong> pulsione è quella <strong>di</strong> seguire “lagrangianamente” il fluido nelle sue<br />
successive posizioni, anche se esiste il punto <strong>di</strong> vista “Euleriano” che fissa l’attenzione su un volume <strong>di</strong> controllo<br />
all’interno <strong>del</strong> quale si ha un continuo ricambio <strong>di</strong> materia (fluido).<br />
5 È , pertanto, errato <strong>di</strong>re che la (1) o la (2) perdono <strong>di</strong> vali<strong>di</strong>tà nel caso <strong>di</strong> sistemi termo<strong>di</strong>namici aperti !<br />
<strong>di</strong>fferenza fra il lavoro che il fluido riceve<br />
attraverso le forze <strong>di</strong> pressione all’atto<br />
<strong>del</strong>l’ingresso nel condotto e quello che<br />
compie alla uscita dallo stesso (<strong>di</strong>fferenza<br />
dei lavori <strong>di</strong> pulsione all’ingresso e<br />
all’uscita).<br />
IRA 14
Si supponga che nel condotto avvenga un efflusso mono<strong>di</strong>mensionale, ovvero i parametri termo<strong>di</strong>namici e fisici<br />
siano uniformemente <strong>di</strong>stribuiti su ciascuna sezione; ciò consente <strong>di</strong> estendere all’intera massa fluida il <strong>di</strong>scorso<br />
precedentemente riferito ad 1 kg. Immaginiamo un elemento fluido cilindrico (<strong>di</strong> sezione dA e spessore dx) che<br />
attraversa una generica sezione <strong>del</strong> condotto; la forza che spinge l’elemento oltre la sezione in parola sarà in<br />
modulo pdA ed il lavoro durante l’attraversamento <strong>del</strong>la sezione sarà pdA × dx.<br />
La massa <strong>del</strong>l’elementino fluido è ρ dA dx<br />
ed il valore assoluto lavoro per unità <strong>di</strong> massa sarà pertanto:<br />
lavoro<br />
massa<br />
pdA ⋅ dx p<br />
= = =<br />
ρdA<br />
⋅ dx ρ<br />
dove v è il volume specifico locale, cioè l’inverso <strong>del</strong>la densità locale ρ.<br />
Nell’attraversamento <strong>del</strong> condotto da A a B, il lavoro globale <strong>di</strong> pulsione sarà dato dalla <strong>di</strong>fferenza tra i valori<br />
assoluti dei lavori <strong>di</strong> pulsione <strong>di</strong> ingresso e <strong>di</strong> uscita (ricordando la convenzione sui segni <strong>del</strong> lavoro, positivo se<br />
esercitato sul fluido e negativo se esercitato dal fluido).<br />
da cui<br />
Pertanto:<br />
d *<br />
p<br />
= −d<br />
= −d(<br />
p )<br />
LAVORO DI PULSIONE ELEMENTARE<br />
ρ<br />
L v<br />
L *<br />
−<br />
p<br />
p<br />
−<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 15<br />
p<br />
pv<br />
AB = B A A B = − = pAv<br />
A − pBv<br />
B<br />
ρB<br />
ρA<br />
ρA<br />
ρB<br />
Il lavoro termo<strong>di</strong>namico è dunque la somma algebrica <strong>del</strong> lavoro tecnico e <strong>del</strong> lavoro <strong>di</strong> pulsione<br />
p<br />
dL = d + dL<br />
= dL<br />
− d = dL-<br />
d(p<br />
ρ<br />
L * v<br />
mentre il lavoro tecnico è, ovviamente, la <strong>di</strong>fferenza algebrica tra il lavoro termo<strong>di</strong>namico ed il lavoro <strong>di</strong><br />
pulsione<br />
p<br />
p<br />
ρ<br />
* L = dL<br />
− d = dL<br />
+ d = dL<br />
+<br />
d L<br />
p<br />
A<br />
d<br />
(<br />
p<br />
)<br />
v )<br />
B
A questo punto si può ottenere, a partire dalla (2), l’equazione che viene convenientemente utilizzata quando si<br />
descrivono i sistemi aperti. La (2):<br />
essendo:<br />
p<br />
dL = dL<br />
− d <strong>di</strong>venta:<br />
ρ<br />
dQ + dL = du + dE pot + dE cin<br />
dQ + dL<br />
e definendo la funzione <strong>di</strong> stato entalpia, h:<br />
possiamo scrivere infine:<br />
−<br />
p<br />
ρ<br />
dQ + dL = dh + dE pot + dE cin<br />
d = du + dE pot + dE cin<br />
dh = du + d p = du + d(pv)<br />
La (2*) è l’eq.ne <strong>del</strong>l’energia nella forma utile per i sistemi aperti con una sola sezione d’ingresso e una <strong>di</strong><br />
uscita; in essa compare esplicitamente il lavoro tecnico in luogo <strong>del</strong> lavoro termo<strong>di</strong>namico.<br />
Per passare dalla (2) alla (2*) è necessario, come regola mnemonica, sostituire al lavoro termo<strong>di</strong>namico il<br />
lavoro tecnico ed all’energia interna l’entalpia.<br />
Ricor<strong>di</strong>amo che l’errore che si può commettere confondendo i due tipi <strong>di</strong> lavoro può anche essere <strong>del</strong>l’infinito per<br />
cento.<br />
Se, ad esempio, l’elica non fosse presente il lavoro tecnico sarebbe nullo; quello termo<strong>di</strong>namico avrebbe<br />
l’espressione consueta ed in generale sarebbe ≠ 0<br />
L = 0 ma: L * AB =<br />
* 0 + L<br />
AB<br />
errore relativo εrelat = 100 = ∞<br />
0<br />
% !<br />
p<br />
IRA 16<br />
p<br />
(2*)<br />
A B<br />
ρA ρB<br />
− ; L = L +L* AB = L * AB<br />
In una trasformazione reversibile il lavoro termo<strong>di</strong>namico è sempre dato da<br />
1<br />
dL = - pdv = - p d rev<br />
ρ<br />
se dv > 0 si ha una <strong>di</strong>latazione <strong>del</strong> fluido (dL rev < 0)<br />
se dv < 0 si ha una contrazione <strong>del</strong> fluido (dL rev > 0)<br />
mentre il lavoro tecnico reversibile è determinabile, tenendo conto <strong>del</strong> lavoro termo<strong>di</strong>namico e <strong>di</strong> quello <strong>di</strong><br />
pulsione dalla<br />
dL rev = dL rev + d p<br />
ρ<br />
= - pdv + d(pv) = - pdv + pdv + vdp
ovvero, in una trasformazione reversibile dL rev = vdp<br />
se dp > 0 si ha una compressione (dL rev >0)<br />
se dp < 0 si ha una espansione (dL rev
Esaminiamo il caso in cui il fluido entri ed esca attraverso più sezioni, come può avvenire, ad es., negli<br />
scambiatori <strong>di</strong> calore, in reattori chimici o in altre apparecchiature. In questo caso non conviene usare l’energia<br />
specifica (cioè riferita al Kg <strong>di</strong> fluido) ma è utile moltiplicarla per la portata massica <strong>di</strong> fluido e l’ultima formula<br />
assume, nel caso più generale, per un generico sistema aperto, la seguente forma, alla quale si può pervenire<br />
considerando il volume <strong>di</strong> controllo occupato dal sistema aperto e <strong>del</strong>imitato dalle sezioni <strong>di</strong> ingresso (i) e da quelle<br />
<strong>di</strong> uscita (j) ed effettuando il bilancio energetico <strong>del</strong> sistema con modalità euleriane:<br />
ϕ + P<br />
=<br />
+<br />
+<br />
( M − ) +<br />
j 2 jh2<br />
j M<br />
i 1ih1i<br />
( M 2 jgz<br />
2 j − M1i<br />
gz1i<br />
)<br />
j<br />
j<br />
M<br />
2 j<br />
c<br />
2<br />
2 j<br />
2<br />
−<br />
i<br />
i<br />
M<br />
1i<br />
c<br />
2<br />
2<br />
1i<br />
+<br />
dove ϕ è la potenza termica scambiata e P la potenza meccanica; se il sistema è stazionario (funzionamento a<br />
regime) si ha: M M<br />
= cioè la somma <strong>del</strong>le portate massiche entranti eguaglia quella <strong>del</strong>le uscenti. Si è<br />
j 2 j i 1i<br />
in<strong>di</strong>cato con (j) la generica sezione <strong>di</strong> uscita e con (i) la generica <strong>di</strong> ingresso.<br />
Gli organi preposti a fungere da scambiatori <strong>di</strong> calore non sono, in genere, destinati a scambiare con l’esterno<br />
anche lavoro; la variazione <strong>di</strong> entalpia misura, allora, il solo scambio <strong>di</strong> calore. Così pure, gli organi destinati a<br />
scambio <strong>di</strong> lavoro non sono <strong>di</strong> solito destinati contemporaneamente a scambio <strong>di</strong> calore, anche se non sempre<br />
sono assimilabili ad a<strong>di</strong>abatici. Le macchine, soprattutto se <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni me<strong>di</strong>o-gran<strong>di</strong>, possono ritenersi, con<br />
buona approssimazione, a<strong>di</strong>abatiche poiché il calore scambiato è modesto rispetto al lavoro trasferito all’esterno<br />
(basso valore <strong>del</strong> rapporto: superficie <strong>di</strong> scambio/volume <strong>del</strong>la macchina).<br />
Alcuni esempi notevoli li abbiamo quin<strong>di</strong> nelle<br />
macchine a<strong>di</strong>abatiche, dove<br />
negli scambiatori <strong>di</strong> calore, dove<br />
in un condotto rigido ed a<strong>di</strong>abatico, dove<br />
∆h ≅ L<br />
∆h ≅ Q<br />
∆h ≅ 0<br />
Esistono, tuttavia, molti esempi <strong>di</strong> macchina o componenti <strong>di</strong> macchina nei quali i due termini macroscopici<br />
dE pot e dE cin non sono affatto trascurabili risultando, talvolta, ad<strong>di</strong>rittura dominanti (in particolare dE cin , come<br />
accade sovente negli elementi <strong>del</strong>le turbomacchine).<br />
In una turbomacchina motrice, ogni sta<strong>di</strong>o è costituito dallo statore (elemento fisso) e dal rotore (elemento<br />
mobile): nel 1°, (statore), l’energia potenziale (<strong>di</strong> pressione) <strong>del</strong> fluido viene convertita, in parte e con un certo<br />
ren<strong>di</strong>mento, in energia cinetica, mentre nel 2°, (rotore), detta energia viene nuovamente trasformata, in parte e<br />
ancora con un certo ren<strong>di</strong>mento, in energia meccanica utile.<br />
IRA 18<br />
P<br />
ϕ<br />
11<br />
12<br />
21 22<br />
(j)<br />
(i)
In effetti, in uno sta<strong>di</strong>o <strong>di</strong> macchina motrice avviene la doppia conversione energetica:<br />
Energia potenziale<br />
fluido<br />
sta<strong>di</strong>o = statore + rotore<br />
per lo statore (che nelle macchine motrici è costituito da ugelli) per la (2*), si può scrivere, tenendo conto che<br />
dL = 0<br />
dE<br />
pot<br />
≅ 0<br />
dQ = 0<br />
d<br />
h<br />
+ dE<br />
+ cdc = 0<br />
In uno sta<strong>di</strong>o <strong>di</strong> turbomacchina operatrice, in cui lo statore prende il nome <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffusore, avviene la duplice<br />
conversione:<br />
Energia meccanica<br />
Statore<br />
(ugello)<br />
rotore<br />
Si tratta, in ambedue i casi, <strong>di</strong> “turbomacchine” che sfruttano la variazione <strong>del</strong>l’energia cinetica <strong>del</strong> fluido per<br />
produrre (nella motrice) o consumare (nella operatrice) energia meccanica; il termine energia cinetica è, dunque,<br />
in questi casi, essenziale ai fini <strong>del</strong>la funzione <strong>del</strong>la macchina!<br />
Osserviamo che, nei due casi precedentemente esaminati, la sequenza <strong>del</strong>le conversioni energetiche è<br />
opposta: nel 1° caso (macchina motrice) si ha produzione <strong>di</strong> energia meccanica a spese <strong>del</strong> potenziale<br />
energetico <strong>del</strong> fluido; nel 2° caso (macchina operatrice) l’energia meccanica consumata conferisce un<br />
incremento <strong>del</strong> potenziale energetico <strong>del</strong> fluido.<br />
Energia cinetica fluido<br />
Energia cinetica fluido<br />
Sta<strong>di</strong>o = rotore + statore<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 19<br />
cin<br />
= d<br />
rotore<br />
h<br />
statore<br />
(<strong>di</strong>ffusore)<br />
Energia meccanica<br />
Energia potenziale<br />
fluido
Si esamina, ora, sempre da un punto <strong>di</strong> vista macchinistico ed impiantistico, il 2° principio <strong>del</strong>la<br />
Termo<strong>di</strong>namica. Ricor<strong>di</strong>amo che il 1° principio è il principio <strong>di</strong> conservazione <strong>del</strong>l’energia, mentre il 2° principio è<br />
quello che stabilisce la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>l’evoluzione <strong>del</strong>l’energia a seguito <strong>di</strong> una qualsiasi trasformazione o processo<br />
termo<strong>di</strong>namico.<br />
Possiamo esprimere il 2° principio attraverso più enunciati <strong>di</strong>versi ma equivalenti fra loro; i più noti ed<br />
importanti sono:<br />
“Non è possibile realizzare un trasferimento <strong>di</strong> calore (energia termica) da un<br />
corpo ad una certa temperatura ad un altro a temperatura superiore a meno<br />
che non si intervenga dall’esterno con una opportuna azione compensatrice 6 ”<br />
(enunciato <strong>di</strong> Clausius 7 )<br />
“È impossibile realizzare un ciclo motore che sia monotermo<strong>di</strong>abatico<br />
(ovvero in cui il fluido scambi calore con una sola sorgente a temperatura<br />
definita)”<br />
(enunciato <strong>di</strong> Lord Kelvin 8 )<br />
Quest’ultima è la formulazione più eloquente dal punto <strong>di</strong> vista <strong>del</strong>le applicazioni impiantistiche.<br />
Al 2° principio è <strong>di</strong>rettamente collegata l’introduzione <strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong> stato entropia S (riferita all’unità <strong>di</strong><br />
massa <strong>del</strong> fluido) il cui <strong>di</strong>fferenziale è dato da:<br />
dQ dQ dQ<br />
dS<br />
= = +<br />
T T T<br />
rev i<br />
dove dQ i = (dQ i ) I + (dQ i ) II è la somma dei calori <strong>di</strong> irreversibilità <strong>di</strong> prima e <strong>di</strong> seconda specie<br />
precedentemente introdotti, dQ è la quantità <strong>di</strong> calore effettivamente scambiata dal fluido con l’esterno e dQ rev è la<br />
quantità <strong>di</strong> calore che verrebbe scambiata con l’esterno qualora la trasformazione avvenisse per via reversibile. T è<br />
sempre la temperatura assoluta.<br />
Ricordando che dQ rev + dL rev = dh<br />
ed anche che dQ rev + dL rev = du<br />
possiamo scrivere<br />
dS<br />
u<br />
d<br />
T<br />
L<br />
−<br />
d<br />
T<br />
h<br />
d<br />
=<br />
T<br />
−<br />
dL<br />
T<br />
rev<br />
rev<br />
= ed infine<br />
d<br />
dS =<br />
T<br />
d<br />
dS =<br />
T<br />
pd<br />
+<br />
T<br />
queste espressioni <strong>del</strong>l’entropia sono fondamentali ed ampiamente utilizzate nei pratici calcoli impiantistici.<br />
6 Ovvero “Non è possibile un trasferimento SPONTANEO <strong>di</strong> energia termica da un corpo più freddo ad uno più caldo”.<br />
7 Rudolf Julius Emanuel Clausius, (1822-1888), fisico tedesco.<br />
8 William Thomson (nominato Lord Kelvin), (1824 - 1907), fisico inglese, nato a Belfast, Irlanda.<br />
IRA 20<br />
u<br />
h<br />
−<br />
v<br />
v<br />
dp<br />
T
Il concetto <strong>di</strong> RENDIMENTO<br />
Definiamo il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un ciclo termo<strong>di</strong>namico motore, cioè <strong>di</strong> un ciclo produttore <strong>di</strong> energia, come<br />
L<br />
η = =<br />
Q1 Q1<br />
dove i termini energetici sono riferiti all’unità <strong>di</strong> massa, Q 1 è il valore (positivo) <strong>del</strong> calore entrante nel sistema<br />
attraverso le sorgenti superiori, mentre il lavoro (qui inteso in valore assoluto) è in<strong>di</strong>fferentemente quello tecnico o<br />
quello termo<strong>di</strong>namico dal momento che ci riferiamo all’intero ciclo.<br />
La precedente si può anche scrivere η =<br />
essendo L = L = Q 1 _ Q 2<br />
Q − Q<br />
1 2<br />
Q<br />
= 1−<br />
Q<br />
dove Q è il valore assoluto <strong>del</strong> calore che il sistema cede all’esterno attraverso le sorgenti inferiori.<br />
2<br />
2<br />
Conseguentemente, la per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento, θ, è = θ = 1−<br />
η<br />
dove θ può esprimersi come prodotto <strong>di</strong> tre termini, ciascuno dei quali tiene conto <strong>di</strong> tre <strong>di</strong>stinti effetti<br />
termo<strong>di</strong>namici, i quali comportano, singolarmente, una per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento:<br />
1) Effetto Carnot 9 ;<br />
2) Effetto <strong>di</strong> molteplicità <strong>del</strong>le sorgenti;<br />
3) Effetto Clausius o <strong>di</strong> irreversibilità.<br />
9 Nicolas Léonard Sa<strong>di</strong> Carnot (1796-1832), scienziato francese.<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 21<br />
Q<br />
Q<br />
Q<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1
1) Effetto Carnot<br />
∆S<br />
In un ciclo <strong>di</strong> Carnot, ovvero in un ciclo reversibile che operi tra le due medesime temperature assolute T e<br />
1<br />
T 2 , rispettivamente massima e minima, <strong>del</strong> ciclo considerato, si definisce per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento (o effetto Carnot):<br />
Q<br />
θ c =<br />
Q<br />
2c<br />
1c<br />
= T<br />
T<br />
2<br />
1<br />
S T2<br />
=<br />
S T1<br />
Si deduce che, fissate due temperature estreme T 1 e T 2 , il ciclo <strong>di</strong> massimo ren<strong>di</strong>mento, evolvente tra tali<br />
temperature, è quello <strong>di</strong> Carnot. In altre parole un qualsiasi ciclo termo<strong>di</strong>namico ha ren<strong>di</strong>mento non superiore a<br />
IRA 22<br />
(< 1)<br />
quello <strong>di</strong> un ciclo <strong>di</strong> Carnot, ηC, evolvente tra le medesime temperature estreme, T1 e T2.<br />
2) Effetto <strong>di</strong> molteplicità <strong>del</strong>le sorgenti<br />
Consideriamo ancora un ciclo reversibile, che evolve tra le temperature T 1 e T 2 , “<strong>di</strong>alogando” con un numero<br />
qualsivoglia (anche infinito) <strong>di</strong> sorgenti esterne e calcoliamo la per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
Sono in<strong>di</strong>cati con (1) e (2) rispettivamente il percorso <strong>del</strong> ciclo con assorbimento <strong>di</strong> calore e quello con cessione<br />
<strong>di</strong> calore.<br />
Calcoliamo la per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un Ciclo reversibile che approssimi il Ciclo reale nel suo percorso<br />
termo<strong>di</strong>namico:<br />
ovvero<br />
per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong><br />
Carnot<br />
dQrev = TdS<br />
Gli scambi <strong>di</strong> calore tra il fluido e<br />
l’esterno avvengono in “gamme”<br />
<strong>di</strong> temperature e in genere non a<br />
temperatura costante.<br />
θ<br />
=<br />
m2<br />
rev<br />
Tm1<br />
Q<br />
''<br />
T d<br />
S<br />
T<br />
=<br />
T<br />
2rev<br />
θ = rev<br />
Q1rev<br />
( 2)<br />
=<br />
'<br />
T dS<br />
( 1)<br />
m2<br />
m1<br />
dove<br />
T<br />
ciclo qualsiasi inscritto<br />
in un ciclo <strong>di</strong> CARNOT<br />
m2<br />
2 2<br />
che, in forma più utile, <strong>di</strong>venta θ rev ⋅ = M.S. θ<br />
T<br />
T<br />
T<br />
S<br />
S<br />
T<br />
T<br />
ξ<br />
= c<br />
Tm1<br />
1 1<br />
T<br />
T 1<br />
T 2<br />
temp. max <strong>del</strong>le<br />
sorgenti superiori<br />
temp. min. <strong>del</strong>le<br />
sorgenti inferiori<br />
2 3<br />
1 4<br />
T<br />
T 1<br />
T 2<br />
Q 1c<br />
Q 2c<br />
per il teorema<br />
<strong>del</strong>la me<strong>di</strong>a<br />
T<br />
T<br />
m1<br />
m2<br />
∈<br />
∈<br />
' ' [ Tmin<br />
, Tmax<br />
= T1<br />
]<br />
''<br />
''<br />
[ T = T , T ]<br />
min<br />
rapporto tra le temperature assolute me<strong>di</strong>e <strong>del</strong>le<br />
A<br />
sorgenti inferiori e superiori<br />
(2)<br />
S<br />
Q 1rev<br />
(1)<br />
Q 2rev<br />
ciclo <strong>di</strong> Carnot<br />
1-2-3-4<br />
2<br />
Q 1 < Q 1c<br />
Q 2 > Q 2c<br />
max<br />
B<br />
S<br />
è<br />
T ’’<br />
T ’
avendo posto<br />
T<br />
T<br />
T<br />
T<br />
M.S.<br />
m2 2<br />
m1 1<br />
= ξ , termine chiaramente 1<br />
denominatore è certamente ≤ 1.<br />
Sarà ovviamente anche θrev ≥ θc<br />
e quin<strong>di</strong> ηrev ≤ ηc.<br />
ξ M.S. ≥ 1 è il coefficiente o fattore <strong>di</strong> molteplicità <strong>del</strong>le sorgenti.<br />
≥ perché il numeratore è certamente ≥ 1 ed il<br />
Ciò significa che in un ciclo che presenti molteplicità <strong>di</strong> sorgenti (gli scambi termici avvengono in genere a<br />
temperature variabili) il ren<strong>di</strong>mento si allontana tanto più da quello <strong>del</strong> Ciclo <strong>di</strong> Carnot, quanto minore è il rapporto<br />
fra la temperatura me<strong>di</strong>a e la massima <strong>del</strong>le sorgenti superiori e quanto maggiore è il rapporto fra la temperatura<br />
me<strong>di</strong>a e la minima <strong>del</strong>le inferiori; in altri termini, quanto maggiori sono i “range” nei quali sono <strong>di</strong>stribuite le<br />
temperature <strong>del</strong>le sorgenti superiori e le temperature <strong>del</strong>le sorgenti inferiori, sempre a parità <strong>di</strong> temperatura<br />
massima T 1 e minima T 2 .<br />
3) Effetto Clausius<br />
L’effetto Clausius tiene conto <strong>del</strong>le irreversibilità (<strong>di</strong> sola prima specie, essendo assenti quelle <strong>di</strong> seconda specie<br />
trattandosi <strong>di</strong> un ciclo termo<strong>di</strong>namico, ove le reazioni chimiche non posso essere presenti). Consideriamo la per<strong>di</strong>ta<br />
<strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un ciclo reale<br />
ed essendo<br />
Q<br />
d d<br />
dS +<br />
T<br />
Q<br />
T<br />
( )<br />
d<br />
Qi<br />
T<br />
r = θ<br />
rev<br />
I<br />
= =<br />
possiamo scrivere che ( ) i I<br />
e quin<strong>di</strong> i valori assoluti <strong>di</strong> Q1r e Q2r saranno espressi da:<br />
Di conseguenza:<br />
θ<br />
r<br />
T<br />
=<br />
T<br />
m2<br />
m1<br />
S +<br />
Q<br />
S − Q<br />
iI<br />
T<br />
=<br />
T<br />
1+<br />
Q<br />
1−<br />
Q<br />
è evidente che il fattore <strong>di</strong> Clausius è CLAUSIUS > 1<br />
iI<br />
(2)<br />
(1)<br />
m2<br />
m1<br />
iI<br />
iI<br />
(2)<br />
(1)<br />
Q<br />
Q<br />
T<br />
T<br />
1r<br />
2r<br />
m2<br />
m1<br />
=<br />
=<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
S T<br />
=<br />
S T<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 23<br />
Q<br />
Q<br />
2r<br />
1r<br />
TdS − Q<br />
iI<br />
TdS + Q<br />
m2<br />
m1<br />
( 1)<br />
iI<br />
1+<br />
Q<br />
1−<br />
Q<br />
( 2)<br />
ξ e che θ<br />
iI<br />
iI<br />
(2)<br />
(1)<br />
Q<br />
Q<br />
2rev<br />
1rev<br />
dQ = TdS<br />
− dQ<br />
= θ<br />
rev<br />
CLAUSIUS<br />
= θ<br />
θ r > rev , ovvero ηr < ηrev.<br />
c<br />
M.S.<br />
CLAUSIUS<br />
In un ciclo motore reale la per<strong>di</strong>ta totale è, dunque, il prodotto <strong>di</strong> tre fattori <strong>di</strong>stinti che possono,<br />
convenientemente, essere determinati in<strong>di</strong>vidualmente. Sia ξ M.S. che ξ CLAUSIUS maggiorano la per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
rispetto a θ c (per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> Carnot).<br />
L’effetto Clausius cresce a misura che le SORGENTI ENTROPICHE interne al ciclo si fanno via via più<br />
cospicue. Il coefficiente <strong>di</strong> Clausius, ξ CLAUSIUS , può, dunque, definirsi GRADO <strong>di</strong> IRREVERSIBILITA’ <strong>del</strong> ciclo, ed<br />
aumenta in funzione <strong>del</strong>le irreversibilità tendendo ad assumere valore 1 per un ciclo reversibile.<br />
Se si vuole aumentare il ren<strong>di</strong>mento termo<strong>di</strong>namico <strong>di</strong> una macchina termica, occorre, innanzitutto, minimizzare<br />
– compatibilmente con le tecnologie <strong>di</strong>sponibili - il valore <strong>di</strong> θ c (cioè il rapporto T2 T1<br />
) ed inoltre realizzare<br />
un’ottimizzazione progettuale ai fini <strong>di</strong> minimizzare sia ξ M.S. che ξ CLAUSIUS nel rispetto dei vincoli tecnici ed<br />
economici certamente presenti.<br />
>1<br />
Facciamo un esempio in cui l’effetto Clausius è concentrato nelle due trasformazioni a<strong>di</strong>abatiche (compressione<br />
1-2 ed espansione 3-4) in un ciclo derivato da un ciclo <strong>di</strong> Carnot.<br />
dove<br />
Il ren<strong>di</strong>mento reale sarà sempre<br />
θ<br />
r<br />
=<br />
η r = 1− θ<br />
( + S + S ) T S +<br />
Sa b 2<br />
a S<br />
= 1+<br />
T S T S<br />
T2 b<br />
scomponendo le per<strong>di</strong>te nei tre contributi in<strong>di</strong>viduati precedentemente, possiamo scrivere che<br />
(per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> Carnot)<br />
1<br />
ξ = (T = T ; T = T ) (sorgenti inferiori e superiori a temperatura costante)<br />
M.S.<br />
1 m2 2 m1 1<br />
ξ<br />
CLAUSIUS<br />
∆Sa<br />
+ ∆S<br />
= 1+<br />
∆S<br />
IRA 24<br />
r<br />
1<br />
b<br />
θ<br />
T<br />
=<br />
2<br />
c<br />
T1<br />
Si nota come le irreversibilità <strong>di</strong> prima specie si “pagano” alle sorgenti inferiori, come incremento <strong>di</strong><br />
= Q2rev<br />
+ T2<br />
( ∆Sa<br />
+ ∆S<br />
) rispetto al caso reversibile e a parità <strong>di</strong> Q 1r T1∆S<br />
= Q1rev<br />
Q2r b<br />
T<br />
T1<br />
T2<br />
1<br />
2 3<br />
∆Sa<br />
Q2<br />
∆S<br />
Q1<br />
∆Sb<br />
4<br />
S<br />
A<strong>di</strong>abatiche ma non<br />
reversibili<br />
= .
Si utilizzi il 2° principio <strong>del</strong>la termo<strong>di</strong>namica per ricavare, a partire dalla forma “termica” (2*), l’equazione<br />
<strong>del</strong>l’energia in forma “meccanica”. La forma “termica”, per un sistema aperto, è quella sinora considerata:<br />
dQ + dL = dh + dEpot + dEcin<br />
Se in seno al fluido avviene una reazione chimica (ad es. una combustione), allora scriviamo<br />
h<br />
h<br />
ϑ<br />
ϑ t ϑ t<br />
d ht<br />
h<br />
dove dξ<br />
= − d(<br />
Q = dξ<br />
ϑξ<br />
i ) II<br />
ϑξ<br />
t = d + dξ<br />
ϑξ<br />
da cui d t d − d(<br />
Q )<br />
= h<br />
Q<br />
i<br />
Nel caso in cui d( i ) ≠ 0, la precedente assume la forma:<br />
II<br />
ovvero<br />
II<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 25<br />
h<br />
dQ + dL = dht + dEpot +dEcin<br />
dQ + d(Qi)II + dL = dh + dEpot + dEcin<br />
La (1), scritta per un sistema aperto, in<strong>di</strong>ca che, a parità <strong>di</strong> variazione <strong>di</strong> stato <strong>del</strong> fluido, nonché a parità <strong>di</strong><br />
lavoro tecnico scambiato con l’esterno, la presenza <strong>del</strong> termine d(Qi)II altera il bilancio <strong>del</strong>l’energia termica<br />
(calore).<br />
Facciamo riferimento, per trattare il caso più generale, all’equazione <strong>del</strong> bilancio energetico secondo<br />
l’espressione (1), che tiene conto <strong>del</strong>la reazione chimica che si svolge eventualmente in seno al fluido.<br />
e che<br />
Ricor<strong>di</strong>amo che la variazione elementare <strong>di</strong> entropia è data da:<br />
d<br />
dS =<br />
T<br />
d<br />
=<br />
T<br />
d(<br />
Qi<br />
) d(<br />
Q<br />
I +<br />
i<br />
T T<br />
Q Q<br />
II<br />
rev +<br />
Q L =<br />
d rev rev<br />
dove dh è l’effettiva variazione <strong>di</strong> entalpia termo<strong>di</strong>namica.<br />
h<br />
+ d d<br />
(3)<br />
Lungo la trasformazione reversibile equivalente vale la TdS = dQ rev e anche la dQ rev + dLrev<br />
= dh<br />
TdS d − dL<br />
= h<br />
per cui rev<br />
ma, dato che<br />
d<br />
=<br />
dp<br />
dp = dQ = dh<br />
- dp = d<br />
Lrev rev<br />
Q Qrev<br />
( i I i<br />
e dato che = d − d Q ) − d( Q )<br />
d II<br />
Q<br />
ovvero: d d d(<br />
Q ) d(<br />
Q )<br />
− −<br />
= h<br />
dp<br />
ρ<br />
i<br />
I −<br />
i<br />
II<br />
)<br />
h<br />
dp<br />
-<br />
u<br />
(1)<br />
(2)<br />
(1’)
sostituendo in (1) si avrà:<br />
ed infine:<br />
dp<br />
d L + dh<br />
− − d ( Q d(<br />
d d(<br />
dEpot<br />
dE<br />
i ) − Q I i ) = h − Q<br />
II<br />
i ) + +<br />
ρ<br />
II<br />
dp<br />
dL<br />
= + dEpot<br />
+ dEcin<br />
+ d(<br />
Qi<br />
)<br />
(4)<br />
ρ<br />
I<br />
che rappresenta per l’appunto l’equazione <strong>del</strong>l’energia in forma meccanica. In maniera analoga, per un sistema<br />
chiuso si otterrebbe:<br />
d<br />
L<br />
= −pdν<br />
+ dE<br />
+ dE<br />
+ d(<br />
Qi<br />
)<br />
IRA 26<br />
pot<br />
Questa espressione è <strong>del</strong> tutto generale ed utile per trovare un riscontro chiaro sul fatto che il d(Qi)I influisce<br />
sul bilancio <strong>del</strong> lavoro, mentre ciò non accade per il d(Qi)II che incide, invece, sul bilancio <strong>del</strong> calore.<br />
Le due forme <strong>del</strong>l’equazione <strong>del</strong>l’energia, quella termica (1) e quella meccanica (4), per la loro provenienza sono<br />
perfettamente equivalenti. Quale <strong>del</strong>le due è più utile nella pratica? A seconda dei casi potrà essere più<br />
conveniente l’una o l’altra forma.<br />
La (1) ci <strong>di</strong>ce che l’energia fornita al fluido determina complessivamente un aumento globale <strong>di</strong> entalpia,<br />
<strong>di</strong> energia potenziale e <strong>di</strong> energia cinetica oppure che l’energia sottratta al fluido determina una<br />
<strong>di</strong>minuzione globale <strong>di</strong> entalpia, <strong>di</strong> energia potenziale e <strong>di</strong> energia cinetica.<br />
La (4) ci <strong>di</strong>ce che il lavoro meccanico compiuto sul fluido (caso <strong>di</strong> una macchina operatrice) ne incrementa<br />
il patrimonio energetico globale in termini <strong>di</strong> pressione, <strong>di</strong> energia potenziale e <strong>di</strong> energia cinetica, mentre<br />
una parte <strong>di</strong> questo lavoro viene spesa a causa <strong>del</strong> calore d’irreversibilità <strong>di</strong> prima specie (sempre positivo)<br />
ovvero che il lavoro meccanico (in valore assoluto) compiuto dal fluido (caso <strong>di</strong> una macchina motrice) ne<br />
decrementa il patrimonio energetico globale in termini <strong>di</strong> pressione, <strong>di</strong> energia potenziale e <strong>di</strong> energia<br />
cinetica, mentre una ulteriore parte <strong>di</strong> questo lavoro viene <strong>di</strong>ssipata a causa <strong>del</strong> calore d’irreversibilità <strong>di</strong><br />
prima specie.<br />
lavoro passivo,<br />
(purtroppo sempre<br />
positivo)<br />
dLp > 0<br />
In altri termini, le irreversibilità <strong>di</strong> prima specie si pagano sempre o “in termini <strong>di</strong> maggiore lavoro speso<br />
(macchine operatrici)” o “<strong>di</strong> minore lavoro reso (macchine motrici)” per unità <strong>di</strong> massa <strong>del</strong> fluido.<br />
cin<br />
I<br />
cin<br />
[dLp = (dQi)I]
Anche per il lavoro termo<strong>di</strong>namico si può definire l’espressione<br />
dove:<br />
dL<br />
= −pdν<br />
+ dEpot<br />
+ dEcin<br />
+ d(<br />
Qi<br />
) (5)<br />
I<br />
dEpot = gdz<br />
dEcin = d = cdc<br />
2<br />
Nel caso <strong>di</strong> lavoro tecnico nullo, quando il fluido non è a contatto con superfici mobili, trascurando il termine<br />
d(Qi)I, nel caso ideale <strong>di</strong> assenza d’irreversibilità <strong>di</strong> prima specie (lavoro passivo nullo) dalla (4) si ottiene la nota<br />
equazione <strong>di</strong> BERNOULLI 10 ; se invece è presente il termine d(Qi)I si avrà l’equazione <strong>di</strong> BERNOULLI in forma<br />
generalizzata:<br />
Integrando, se è ρ=cost (liquido) e d(Qi)I = 0, si perviene alla costanza <strong>del</strong> trinomio <strong>di</strong> Bernoulli, sod<strong>di</strong>sfatta, per<br />
l’appunto, nel caso <strong>di</strong> fluido incomprimibile ed in assenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazioni.<br />
10 Daniel Bernoulli, (Groninga 1700 - Basilea 1782), scienziato svizzero nato in Olanda.<br />
c 2<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 27<br />
c 2<br />
dp<br />
0 =<br />
+ gdz + cdc + d(Qi<br />
) I<br />
p<br />
+ gz + = cost<br />
2
Ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un Ciclo<br />
Analizziamo il mo<strong>del</strong>lo fisico-matematico <strong>di</strong> un ciclo produttore <strong>di</strong> lavoro e ricaviamo il ren<strong>di</strong>mento<br />
termo<strong>di</strong>namico, η, <strong>del</strong> ciclo stesso esaminando i tre casi che seguono:<br />
1) ciclo ideale 2) ciclo limite 3) ciclo reale<br />
questi tre riferimenti corrispondono a tre livelli crescenti <strong>di</strong> approssimazione alla realtà.<br />
Il 1° mo<strong>del</strong>lo descrive il ciclo termo<strong>di</strong>namico percorso da un fluido ideale (inteso come gas ideale) che evolve in<br />
una macchina (o meglio in un impianto) ideale o perfetta, ovvero priva <strong>di</strong> irreversibilità <strong>di</strong> 1 a specie. Il ciclo ideale si<br />
può attribuire soltanto a cicli descritti da gas, prevedendo sovente drastiche semplificazioni per il fluido, dovendo<br />
valere la<br />
p =<br />
ρ<br />
RT<br />
con cp e cv costanti; ricor<strong>di</strong>amo che<br />
IRA 28<br />
R<br />
=<br />
M<br />
R varia da gas a gas.<br />
Il fatto che tutti gli organi costituenti l’impianto siano considerati privi <strong>di</strong> irreversibilità <strong>di</strong> 1 a specie conduce ad<br />
ignorare completamente l’effetto Clausius.<br />
È, chiaramente, impossibile avere un fluido reale che, nelle applicazioni pratiche <strong>del</strong>la tecnica, si comporti come<br />
ideale; i casi più prossimi sono quelli <strong>degli</strong> impianti motori a gas, dove il fluido è assimilabile ad un gas perfetto<br />
(ARIA), mentre l’approssimazione a gas ideale (sottoinsieme dei gas perfetti) è più <strong>di</strong>scutibile, perché i calori<br />
specifici non si possono ritenere costanti, a rigore, salvo il caso <strong>di</strong> gas monoatomici.<br />
È opportuno ricordare che nel ciclo ideale sono escluse anche le irreversibilità <strong>di</strong> 2 a specie essendo il fluido in<br />
gioco un gas ideale <strong>di</strong> composizione chimica invariabile. Questo motivo inserisce un’ulteriore restrizione:<br />
supponendo che in un impianto vi sia una reazione <strong>di</strong> combustione, il mo<strong>del</strong>lo <strong>del</strong> ciclo ideale non può a rigore<br />
applicarsi.<br />
valendo questa<br />
equazione <strong>di</strong> stato, il<br />
gas è PERFETTO<br />
se vale anche questa<br />
con<strong>di</strong>zione, il gas è IDEALE<br />
Si potrebbe effettuare la sostituzione <strong>del</strong> calore <strong>di</strong> 2 a specie prodotto dalla reazione <strong>di</strong> combustione con un<br />
equivalente calore, Qequiv, fittiziamente scambiato con l’esterno attraverso una superficie opportuna<br />
Qequiv = (Qi)II = - L + ∆Epot +∆Ecin<br />
tuttavia permarrebbe la contrad<strong>di</strong>zione con quella che è l’”essenza” <strong>del</strong> ciclo ideale, in seno al quale il fluido non<br />
muta la propria costituzione perché non è ammessa alcuna reazione chimica nell’evolvere <strong>del</strong> fluido.<br />
Concludendo, possiamo affermare che il Ciclo IDEALE non ha, dunque, considerevoli POSSIBILITA’ <strong>di</strong><br />
APPLICAZIONE ma è utile per descrivere qualitativamente le trasformazioni che possono avvenire in un impianto e<br />
il relativo bilancio energetico, qualora il fluido presente nell’impianto sia un gas.<br />
calore Qequiv fittiziamente scambiato con l’esterno<br />
attraverso una superficie opportuna
Il 2° mo<strong>del</strong>lo, quello <strong>del</strong> Ciclo LIMITE, è uno strumento <strong>di</strong> calcolo molto valido perché è il ciclo descritto in un<br />
impianto ancora perfetto, privo cioè <strong>di</strong> irreversibilità <strong>di</strong> 1 a specie, da un fluido reale (lo stesso che si utilizza nel<br />
Ciclo REALE).<br />
Se nell’impianto avvengono reazioni chimiche, il mo<strong>del</strong>lo <strong>del</strong> Ciclo LIMITE non trascura le irreversibilità <strong>di</strong> 2 a<br />
specie effettivamente presenti, appunto perché il fluido è reale e può mutare la propria composizione chimica nel<br />
periodo in cui esso evolve attraverso la sequenza <strong>del</strong>le trasformazioni costituenti il ciclo.<br />
Questo mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> Ciclo è utile per la valutazione previsionale <strong>del</strong>l’efficienza massima concepibile <strong>di</strong> un impianto.<br />
Poiché la <strong>di</strong>versità fra il Ciclo LIMITE e quello REALE è dovuta alla presenza <strong>di</strong> irreversibilità <strong>di</strong> 1 a specie, il Ciclo<br />
LIMITE rappresenta il “limite” <strong>di</strong> quello “reale” al tendere a zero <strong>del</strong>le irreversibilità <strong>di</strong> 1 a specie.<br />
Nella misura in cui l’impianto reale viene perfezionato, il ren<strong>di</strong>mento interno (rapporto tra il ren<strong>di</strong>mento reale e<br />
quello limite) aumenta tendendo all’unità; da cui il nome <strong>di</strong> ciclo limite, “limite” verso il quale tende il ciclo reale a<br />
seguito <strong>di</strong> graduali miglioramenti nella realizzazione tecnica <strong>del</strong>l’impianto. Verificando, in sede <strong>di</strong> collaudo, il<br />
ren<strong>di</strong>mento reale <strong>del</strong>l’impianto e confrontandolo con il suo ren<strong>di</strong>mento limite si avrà una misura <strong>del</strong> livello tecnico-<br />
tecnologico <strong>del</strong>l’impianto (grado <strong>di</strong> “bontà” <strong>del</strong>l’impianto, come si usava <strong>di</strong>re in passato).<br />
Nella definizione <strong>di</strong> ciclo limite vi è, tuttavia, una contrad<strong>di</strong>zione: non possiamo, infatti, supporre tutte nulle le<br />
irreversibilità <strong>di</strong> 1 a specie, anche facendo riferimento ad una tecnologia perfetta, prescindendo dalla viscosità <strong>del</strong><br />
fluido che è mo<strong>del</strong>lato come reale. Possono, infatti, al limite, ipotizzarsi nulli i fattori <strong>di</strong> per<strong>di</strong>ta <strong>del</strong>le irreversibilità <strong>di</strong><br />
1 a specie legati alla costruzione <strong>del</strong>l’impianto, ma non si può estendere questa possibilità alla viscosità <strong>del</strong> fluido. In<br />
altre parole il fluido non è perfettibile mentre lo è la macchina in virtù <strong>del</strong>la continua evoluzione <strong>del</strong>la tecnica.<br />
Gli effetti <strong>del</strong>la viscosità <strong>del</strong> fluido (reale), secondo la convenzione <strong>del</strong> ciclo limite, si “scaricano” sull’impianto,<br />
costituendo, cioè, un ulteriore fattore <strong>di</strong> per<strong>di</strong>ta ad esso legato, assimilabile agli altri fattori <strong>di</strong>pendenti dalla<br />
tecnologia <strong>del</strong>l’impianto stesso. In definitiva, nel ciclo limite il mo<strong>del</strong>lo assunto per il fluido è quello reale, facendo<br />
però astrazione <strong>del</strong>la viscosità, assimilata a nulla, i cui effetti vengono “addebitati” al ciclo reale nel computo <strong>del</strong>le<br />
sue irreversibilità.<br />
Il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> Ciclo REALE è quello descritto dal fluido reale nella macchina reale, o, meglio nell’impianto reale.<br />
La <strong>di</strong>fferenza, rispetto al Ciclo LIMITE, risiede nelle imperfezioni <strong>del</strong>l’impianto, al quale convenzionalmente si<br />
imputano tutte le sorgenti <strong>di</strong> irreversibilità <strong>di</strong> 1 a specie, nonché la non perfetta a<strong>di</strong>abaticità <strong>del</strong>le trasformazioni<br />
destinate a scambi <strong>di</strong> lavoro, che si considerano abitualmente isoentropiche in sede limite.<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 29
Il Ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> Ciclo REALE può essere definito nel modo seguente<br />
ηr = ηl ηi<br />
Dal momento che ηl è calcolabile mentre ηi è valutabile su impianti già costruiti, possiamo in<strong>di</strong>viduare il<br />
rapporto<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> ciclo<br />
limite (calcolabile)<br />
IRA 30<br />
η<br />
η<br />
r η = i < 1<br />
che, tenendo conto <strong>del</strong>le per<strong>di</strong>te interne (effetto Clausius) <strong>del</strong>l’impianto, fornisce la misura <strong>di</strong> quanto questo si<br />
<strong>di</strong>fferenzia dalla perfezione (a cui corrisponderebbe ηi = 1).<br />
Spesso, lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong> ciclo reale non viene affrontato per via numerica, perché troppo oneroso dal punto <strong>di</strong> vista<br />
computazionale, ma lo si valuta in sede <strong>di</strong> collaudo; evidentemente si verificherà che:<br />
l<br />
η<br />
η ><br />
η<br />
> id l r<br />
Adottando macchine (e impianti) <strong>del</strong>lo stesso tipo, ovvero <strong>di</strong> un certo livello tecnologico, ηi assume valori che si<br />
<strong>di</strong>scostano <strong>di</strong> pochissimo tra loro. In virtù <strong>di</strong> questa circostanza, per prevedere ηr , in sede <strong>di</strong> progetto, conviene<br />
spesso calcolare ηl e moltiplicarlo per il ren<strong>di</strong>mento interno <strong>di</strong> impianti simili già realizzati, anziché avventurarsi,<br />
nell’intento <strong>di</strong> ricavare <strong>di</strong>rettamente ηr , nella costruzione <strong>di</strong> mo<strong>del</strong>li matematici estremamente costosi sia in termini<br />
<strong>di</strong> lavoro <strong>di</strong> allestimento che <strong>di</strong> tempo <strong>di</strong> calcolo (run-time). Si pensi, a proposito, che in un impianto i componenti da<br />
simulare possono essere molto numerosi ed il mo<strong>del</strong>lo fine <strong>di</strong> alcuni <strong>di</strong> essi (ad es. turbomacchine, scambiatori,<br />
condensatori, generatori <strong>di</strong> vapore, camere <strong>di</strong> combustione, etc.) può essere complicatissimo e pesantissimo in<br />
termini <strong>di</strong> oneri <strong>di</strong> elaborazione.<br />
ren<strong>di</strong>mento interno <strong>del</strong>l’impianto<br />
(ovvero <strong>del</strong>la macchina), valutabile su<br />
impianti costruiti
Il vapor d’acqua<br />
PIANI DI RAPPRESENTAZIONE TERMODINAMICA 11<br />
Prima <strong>di</strong> iniziare lo stu<strong>di</strong>o <strong>degli</strong> impianti motori a vapore, ci occuperemo <strong>del</strong> comportamento termo<strong>di</strong>namico <strong>del</strong><br />
fluido operante in tali impianti: il VAPOR d’ACQUA.<br />
Nel caso <strong>di</strong> un vapore non si può fare riferimento ad un mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> gas ma, piuttosto, alla effettiva equazione <strong>di</strong><br />
stato <strong>del</strong> vapore, oppure alle TABELLE <strong>del</strong> vapore.<br />
I piani termo<strong>di</strong>namici cui faremo riferimento sono: piano (p-v), piano entropico (T, S), piano entalpico (o piano<br />
<strong>di</strong> Mollier 12 per il vapore acqueo) (h, S).<br />
⇔<br />
NB. Il piano (p-v) mal si presta alle <strong>di</strong>scussioni sulle trasformazioni dei vapori perché le variazioni <strong>di</strong> volume specifico, nel campo <strong>del</strong><br />
vapore rispetto a quelle nel campo <strong>del</strong> liquido (pressoché incomprimibile), sono ENORMI e costringono ad impiegare SCALE DIVERSE<br />
nelle varie zone <strong>del</strong> piano. Inoltre il piano (p-v) è scarsamente utile, come si vedrà meglio in seguito, ai fini dei bilanci energetici.<br />
SISTEMI LIQUIDO-VAPORE<br />
La regola <strong>del</strong>le fasi <strong>di</strong> GIBBS 13 -HELMHOLTZ 14 fornisce la varianza <strong>di</strong> un sistema, cioè il numero <strong>di</strong> informazioni<br />
in<strong>di</strong>spensabile per definire lo stato e quin<strong>di</strong> il numero <strong>di</strong> grandezze <strong>di</strong> stato <strong>di</strong> cui occorre conoscere il valore per<br />
caratterizzare termo<strong>di</strong>namicamente un fluido:<br />
ν = N - f + 2 dove N è il numero <strong>di</strong> componenti in<strong>di</strong>pendenti <strong>del</strong> sistema ed f il numero <strong>del</strong>le fasi presenti. Il<br />
componente in<strong>di</strong>pendente è un’unica sostanza <strong>di</strong> ben definita struttura chimica. Se il fluido è solo aria, N = 1, se<br />
invece è aria umida, cioè una miscela <strong>di</strong> aria ed acqua, N = 2.<br />
La fase è uno stato <strong>di</strong> aggregazione: aeriforme, liquido, solido, fisicamente identificabile, presente nel sistema.<br />
Nel caso <strong>di</strong> un gas è N = 1 ed f = 1, segue che ν = 2.<br />
11 Soltanto le TRASFORMAZIONI REVERSIBILI sono, a rigore, rappresentabili, perché in caso <strong>di</strong> IRREVERSIBILITA’ non è definibile uno<br />
STATO GLOBALE <strong>del</strong> fluido, ma soltanto STATI ISTANTANEI LOCALI.<br />
12 Richard Mollier, (1863-1935), matematico, fisico ed ingegnere meccanico, tedesco.<br />
13 Josiah Willard Gibbs, (1839-1903), fisico e chimico, americano.<br />
14 Hermann Ludwig Helmholtz, (1821-1894), scienziato e chirurgo, tedesco.<br />
C, punto critico:<br />
Tc = temperatura critica = 374,2 °C = 647,36 K<br />
pc = pressione critica = 221,2 bar (22,12 MPa)<br />
ρ = densità critica = 325,73 kg/m 3<br />
curva o campana <strong>di</strong> Andrews<br />
all’interno <strong>del</strong>la quale le<br />
isoterme sono anche isobare<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 31
Nel caso <strong>del</strong> vapore saturo, sistema acqua-vapore, N = 1 ed f = 2, segue che ν = 1, mentre nel campo <strong>del</strong><br />
surriscaldato, la mancanza <strong>del</strong>la fase liquida riporta la varianza ν = 2, come nel campo <strong>del</strong>l’acqua liquida, per la<br />
mancanza <strong>del</strong>la fase aeriforme.<br />
Nel caso <strong>di</strong> aria umida, sistema aria-vapore, i componenti sono 2 e la fase 1, soltanto quella aeriforme. La<br />
formula precedente dà ν = 3 ma bisogna ricordare che <strong>di</strong>sponiamo già <strong>di</strong> una informazione che è quella<br />
riguardante il rapporto in massa vapore/aria o il rapporto tra le rispettive pressioni parziali, così la varianza ritorna<br />
ad essere ν = 2.<br />
Piano T, S (piano entropico)<br />
curva <strong>di</strong> Andrews<br />
curva limite<br />
inferiore<br />
Te<br />
T<br />
273,16 K = 0 °C<br />
temperatura <strong>di</strong><br />
equilibrio<br />
P ≈ ke Te 5<br />
nell’ultimo grafico si in<strong>di</strong>viduano le seguenti zone:<br />
1<br />
2<br />
4<br />
p<br />
isoterma critica<br />
3<br />
≈ asse <strong>di</strong> simmetria<br />
S<br />
T<br />
curva limite<br />
superiore<br />
* , zona <strong>del</strong> liquido<br />
+ , zona <strong>del</strong> vapore surriscaldato<br />
• , zona <strong>del</strong> vapore saturo<br />
isobara critica<br />
IRA 32<br />
∗<br />
C<br />
1<br />
•<br />
2<br />
4<br />
3<br />
CAMPI DI ESISTENZA:<br />
LIQUIDO<br />
piano entropico (T - S)<br />
VAPORE SATURO<br />
(ovvero vapore alla “minima temperatura<br />
compatibile con la sua pressione”, ovvero<br />
“in equilibrio termo<strong>di</strong>namico con il<br />
liquido”)<br />
VAPORE SURRISCALDATO (vapore a<br />
temperatura superiore a quella <strong>di</strong><br />
equilibrio per la pressione attuale)<br />
GAS<br />
(aeriforme a temperatura superiore a<br />
quella critica)<br />
+<br />
p = cost<br />
S
h<br />
tgα = ∂<br />
rette isotermobariche<br />
che all’interno <strong>del</strong>la<br />
campana <strong>di</strong>vergono<br />
muovendosi dal<br />
basso verso l’alto (α<br />
crescente)<br />
h<br />
∂S<br />
C , flesso<br />
p<br />
= T:<br />
la pendenza <strong>del</strong>le rette isotermobariche <strong>del</strong> vapore saturo è crescente con p (ovvero con T),<br />
esprimendo la temperatura assoluta.<br />
TABELLE DEL VAPOR D’ACQUA<br />
Si hanno 2 tipi <strong>di</strong> TABELLE; la 1 a si riferisce al vapore SATURO (v = 1) (entro la campana <strong>di</strong> Andrews 15 ), dove<br />
si riportano le seguenti grandezze:<br />
p T hLIQ hSAT SLIQ SSAT vLIQ 16 vSAT<br />
talvolta è riportata anche la <strong>di</strong>fferenza, r = hSAT - hLIQ (calore <strong>di</strong> vaporizzazione)<br />
e la <strong>di</strong>fferenza ∆S = SSAT - SLIQ .<br />
Normalmente le tabelle <strong>del</strong> vapore saturo, per como<strong>di</strong>tà <strong>del</strong>l’utente, sono ripetute due volte:la prima con step<br />
regolare <strong>di</strong> p, la seconda con step regolare <strong>di</strong> T.<br />
15 Thomas Andrews, (1813-1885), fisico e chimico irlandese.<br />
16 Talvolta è riportata la ρ (ρLIQ e ρ SAT ).<br />
Piano entalpico<br />
o Piano <strong>di</strong> Mollier per il vapore acqueo<br />
p = cost<br />
tratto prossimo ad una retta, curva limite<br />
inferiore ma anche inviluppo <strong>del</strong>le rette<br />
isotermobariche ovvero <strong>del</strong>le ISOBARE<br />
nel campo <strong>del</strong> SATURO<br />
α<br />
T = cost<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 33<br />
S<br />
nel campo <strong>del</strong> SURRISCALDA-<br />
TO le ISOTERME (che si raccordano<br />
con le ISOTERMOBA-<br />
RICHE nel campo <strong>del</strong> VAPORE<br />
SATURO) tendono ad assumere<br />
un andamento parallelo all’asse<br />
<strong>del</strong>le ascisse tanto + quanto +<br />
accentuato è il SURRISCAL-<br />
DAMENTO ovvero quanto + il<br />
vapore tende verso il<br />
comportamento <strong>del</strong> GAS<br />
PERFETTO<br />
la tangente trigonometrica<br />
<strong>di</strong> α misura la temperatura<br />
assoluta
La 2 a tabella (che occupa un grande numero <strong>di</strong> pagine) si riferisce al vapore surriscaldato ed al liquido (v = 2)<br />
(entrambi al <strong>di</strong> fuori <strong>del</strong>la campana <strong>di</strong> Andrews):<br />
100<br />
110<br />
120<br />
p<br />
T<br />
1<br />
1,1<br />
NB. all’interno <strong>di</strong> ciascun riquadro si riportano i valori <strong>del</strong>l’entalpia, <strong>del</strong>l’entropia e <strong>del</strong> volume specifico (ovvero <strong>del</strong>la densità) nelle<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> temperatura e <strong>di</strong> pressione che interessano, che vengono posti sulle righe e sulle colonne <strong>del</strong>la tabella.<br />
Si ha, nel campo <strong>del</strong> vapore saturo:<br />
h , S e v (oppure ρ)<br />
Mvap Mvap<br />
= h = hLiq<br />
+ rx dove r = hSat<br />
−hLiq<br />
liq + vap tot<br />
x = ; S = SLiq<br />
+<br />
M M M<br />
dove x (compreso tra 0 ed 1) è il titolo <strong>del</strong> vapore (frazione in massa <strong>del</strong> vapore rispetto alla massa totale) ed r il<br />
calore <strong>di</strong> vaporizzazione <strong>del</strong>l’acqua, alla temperatura corrispondente.<br />
NB. Per capire l’enorme interesse pratico <strong>del</strong> PIANO <strong>di</strong> MOLLIER basta pensare che gli scambi <strong>di</strong> LAVORO e <strong>di</strong> CALORE si valutano come<br />
variazioni <strong>di</strong> ENTALPIA <strong>del</strong> fluido evolvente. Le tabelle (<strong>di</strong>sponibili su supporto cartaceo e su supporto elettronico) sostituiscono ai fini<br />
pratici l’eq.ne <strong>di</strong> stato <strong>del</strong> fluido, che è rappresentabile analiticamente con espressioni molto complesse (alcune inseriscono parecchie<br />
decine <strong>di</strong> costanti !) valide, ciascuna, in ristrette zone <strong>del</strong> campo (p, T).<br />
In pratica, si usano prevalentemente le tabelle per calcoli manuali e prevalentemente le formule per calcoli automatici.<br />
IRA 34<br />
1,2<br />
rx<br />
T
IMPIANTI MOTORI A VAPORE<br />
Costituiscono la prima famiglia <strong>di</strong> impianti motori termici tra<strong>di</strong>zionali, destinati soprattutto alla produzione <strong>di</strong><br />
potenza meccanica da utilizzare per la produzione <strong>di</strong> potenza elettrica, accoppiando alla turbina un alternatore. Si<br />
tratta <strong>di</strong> impianti a circuito chiuso nei quali si realizza un ciclo termo<strong>di</strong>namico in senso stretto, descritto dal fluido<br />
motore (H2O).<br />
Iniziamo stu<strong>di</strong>ando il circuito <strong>del</strong>l’impianto a vapore elementare, ovvero l’impianto a vapore <strong>di</strong> struttura più<br />
semplice fra quelle concepibili per vapore surriscaldato (Ciclo <strong>di</strong> Hirn 17 ).<br />
S<br />
V<br />
E<br />
Q1<br />
S<br />
V<br />
E<br />
sorgenti termiche superiori<br />
(ANATERMICHE)<br />
0 *<br />
p >> pa<br />
punto (3)<br />
punto (2)<br />
punto (1)<br />
P.A.<br />
Generatore <strong>di</strong> Vapore<br />
(sud<strong>di</strong>viso in tre elementi<br />
essenziali) costituito da<br />
FASCI TUBIERI collegati<br />
da COLLETTORI<br />
G.V.<br />
riferito allo<br />
stato reale<br />
Il Generatore <strong>di</strong> Vapore, G.V. è un particolare sistema scambiatore <strong>di</strong> calore nel quale il<br />
fluido riceve calore a spese <strong>di</strong> una combustione esterna e, chiaramente, l’ambiente che contiene<br />
il fluido motore (sistema ACQUA--VAPORE) è separato da quello più ampio, in cui avviene la<br />
combustione, dalle PARETI METALLICHE attraverso le quali avviene lo scambio <strong>di</strong> calore.<br />
Queste, per MOTIVI FUNZIONALI e COSTRUTTIVI, nonché per elevare al massimo il rapporto<br />
SUPERFICIE--VOLUME <strong>del</strong> sistema acqua-vapore, sono in prevalenza TUBIERE.<br />
17 Gustave Adolphe Hirn, (1815-1890), scienziato francese.<br />
CICLO DI HIRN<br />
Z<br />
punto (4’)<br />
T<br />
pompa <strong>di</strong> alimento<br />
P.E.<br />
C<br />
sorgenti termiche inferiori<br />
(CATATERMICHE)<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 35<br />
U<br />
punto (0)<br />
flangia <strong>di</strong> accoppiamento<br />
turbina-utilizzatore:<br />
(è in<strong>di</strong>cato un alternatore)<br />
Q2<br />
H2O <strong>di</strong> refrigerazione<br />
pozzo caldo”<br />
(depressione)<br />
∆t ≅ 10 °C<br />
pompa <strong>di</strong> estrazione<br />
SERBATOIO o bacino <strong>di</strong> alimentazione<br />
o polmone <strong>del</strong>l’acqua <strong>di</strong> alimento<br />
(ipotizzato a cielo aperto)
Il Generatore <strong>di</strong> Vapore è costituito da tre elementi principali:<br />
E<br />
V<br />
S<br />
Economizzatore <strong>del</strong>l’acqua <strong>di</strong> alimento: l’acqua viene riscaldata fino alla temperatu-ra <strong>di</strong><br />
vaporizzazione (LIQUIDO SATURO), almeno nei gran<strong>di</strong> impianti, alla pressione <strong>di</strong> esercizio (quella<br />
<strong>di</strong> equilibrio) ed a spese dei cascami <strong>di</strong> calore contenuti nei FUMI CALDI.<br />
Vaporizzatore o BOLLITORE: avviene la vaporizzazione completa <strong>del</strong>l’acqua (cioè il LIQUIDO<br />
SATURO <strong>di</strong>venta VAPORE SATURO); il vapore saturo, pressoché secco, è contenuto in un<br />
CORPO CILINDRICO posto nella parte alta <strong>del</strong> generatore.<br />
Surriscaldatore: avviene il surriscaldamento, a pressione costante, fino ad una temperatura che è la<br />
massima nell’ambito <strong>del</strong> ciclo. Il VAPORE SATURO è prelevato dal CORPO CILINDRICO.<br />
Le due pompe, P.E. e P.A., conducono l’acqua <strong>di</strong> alimento alla pressione <strong>di</strong> esercizio che vige in caldaia. Il<br />
vapore surriscaldato giunge alla turbina, T, dove espande in con<strong>di</strong>zioni pressoché a<strong>di</strong>abatiche producendo la<br />
potenza meccanica che è poi convertita nell’alternatore in potenza elettrica. Nell’espansore, T, il fluido subisce<br />
un aumento <strong>del</strong> suo volume specifico ed una contemporanea riduzione <strong>di</strong> pressione e temperatura. Data<br />
l’a<strong>di</strong>abaticità <strong>del</strong>l’espansione e la circostanza che il ∆Ecin tra monte e valle <strong>del</strong>la turbina è <strong>di</strong> regola trascurabile, alla<br />
CADUTA <strong>di</strong> ENTALPIA <strong>del</strong> vapore, tra le sezioni 3 e 4’ <strong>del</strong> circuito, corrisponde un pari importo <strong>di</strong> lavoro tecnico<br />
prodotto.<br />
Il Condensatore, C, è un particolare scambiatore <strong>di</strong> calore <strong>di</strong> grande volume (ospita fluido <strong>di</strong> bassissima<br />
densità), <strong>di</strong>sposto imme<strong>di</strong>atamente a valle <strong>del</strong>la turbina (per non creare CONTROPRESSIONI allo scarico <strong>di</strong><br />
quest’ultima), nel quale, entro fasci <strong>di</strong> tubi paralleli, fluisce la cospicua portata <strong>di</strong> acqua <strong>di</strong> refrigerazione (sono molto<br />
costosi i Condensatori AEROTERMI, ai quali si ricorre in caso <strong>di</strong> carenza <strong>di</strong> acqua refrigerante) destinata alla<br />
sottrazione <strong>del</strong> calore (Q2) dal fluido evolvente che deve condensare completamente. L’acqua <strong>di</strong> refrigerazione<br />
proviene da una grande sorgente naturale (mare, fiume, lago).<br />
Nel Condensatore la condensazione <strong>del</strong> vapore è totale; il fluido ne esce allo stato liquido pressoché saturo e in<br />
depressione, poiché il condensatore funziona a pressioni <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 4÷5 centesimi <strong>del</strong>la pressione ambiente,<br />
ovvero alla pressione <strong>di</strong> equilibrio corrispondente alla temperatura <strong>di</strong> esercizio che è <strong>di</strong> alcuni gra<strong>di</strong> superiore alla<br />
temperatura <strong>del</strong>l’acqua <strong>di</strong> refrigerazione. La condensa viene estratta dal “pozzo caldo” (nella parte inferiore <strong>del</strong> C.)<br />
dalla pompa <strong>di</strong> estrazione, P.E. ed immessa in un polmone (immaginato a cielo aperto in questo impianto<br />
elementare), che funge da “volano” <strong>di</strong> massa liquida <strong>del</strong>l’intero impianto. Da questo punto l’acqua <strong>di</strong> alimento, per<br />
raggiungere la Caldaia, G.V., dove vige una pressione molto elevata, passa attraverso una pompa <strong>di</strong><br />
alimentazione, P.A.. Lungo le tubazioni vi sarà, comunque, una per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> carico nell’attraversamento P.A.→ G.V.,<br />
<strong>di</strong> cui occorre tener conto per garantire al fluido la pressione desiderata all’ingresso <strong>del</strong> G.V..<br />
Il G.V. lo si può considerare uno scambiatore <strong>di</strong> calore costituito da tre serie <strong>di</strong> fasci tubieri; all’interno dei tubi vi<br />
è il passaggio <strong>del</strong>l’acqua <strong>di</strong> alimento che viene riscaldata dai gas prodotti me<strong>di</strong>ante la combustione <strong>di</strong> un<br />
combustibile industriale; i gas <strong>del</strong>la combustione lambiscono i fasci tubieri <strong>del</strong> Surriscaldatore, <strong>del</strong> Vaporizzatore ed<br />
infine <strong>del</strong>l’Economizzatore. L’Economizzatore funziona essenzialmente a convezione, mentre nel Vaporizzatore e<br />
nel Surriscaldatore agiscono in modalità combinata sia l’irraggiamento che la convezione.<br />
IRA 36
p (kPa)<br />
10 4<br />
10 3<br />
10 2<br />
10<br />
Analizziamo le trasformazioni termo<strong>di</strong>namiche che interessano l’impianto in esame<br />
(0 * -1) pressoché coincidenti<br />
(fase <strong>di</strong> riscaldamento <strong>del</strong><br />
liquido)<br />
1<br />
(0-0 * ) compressione<br />
in 2 fasi nelle pompe<br />
P.E. e P.A.<br />
0’<br />
0* 1 2 3<br />
p (kPa)<br />
10 4<br />
10 3<br />
10 2<br />
10<br />
1<br />
0* 1<br />
P.A.<br />
P.E.<br />
Il piano (p-v) non è, tuttavia, molto in<strong>di</strong>cativo per caratterizzare le vicissitu<strong>di</strong>ni termo<strong>di</strong>namiche <strong>del</strong>l’impianto; ad<br />
es., la fase energeticamente rilevante <strong>del</strong> riscaldamento <strong>del</strong> liquido (0*-1) è poco evidenziata, mentre una<br />
trasformazione secondaria, dal punto <strong>di</strong> vista energetico, cioè quella <strong>di</strong> compressione <strong>del</strong> liquido, è “esaltata”<br />
(corrisponde, infatti, al tratto esteso (0 - 0*)).<br />
0<br />
0.001 0.01 0.1 1 10 100<br />
0’<br />
0<br />
(1-2) completa<br />
vaporizzazione<br />
nel G.V.<br />
2 3<br />
0.001 0.01 0.1 1 10 100<br />
4<br />
v = 1/ρ (m 3 /kg)<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 37<br />
4<br />
v = 1/ρ (m 3 /kg)<br />
4’<br />
DIAGRAMMA 1<br />
surriscaldamento<br />
DIAGRAMMA 2<br />
in questo grafico è rappresentata l’espansione<br />
<strong>del</strong> il ciclo limite (espansione 3-4) e quella <strong>del</strong><br />
ciclo reale (espansione 3-4’) e si prescinde dalle<br />
per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> carico nel G.V. e nel condensatore;<br />
è opportuno ricordare che le scale sono<br />
logaritmiche<br />
condensazione completa nel<br />
Condensatore (ISOTERMOBARICA)
È opportuno ricordare che<br />
a) per l’INCOMPRIMIBILITA’ <strong>del</strong> liquido, le compressioni, nelle pompe P.E. e P.A., sono rappresentate da tratti<br />
prossimi alla curva limite inferiore: rispettivamente (0-0’) e (0’-0*) (<strong>di</strong>agramma 1);<br />
b) la VAPORIZZAZIONE ed il SURRISCALDAMENTO <strong>del</strong> fluido sono isobari in sede limite; in sede reale,<br />
invece, il surriscaldamento si sviluppa a pressione lievemente decrescente per effetto <strong>del</strong>le PERDITE DI<br />
CARICO nei fasci tubieri;<br />
c) è evidente la SCARSA SIGNIFICATIVITÀ <strong>del</strong>la rappresentazione <strong>del</strong> Ciclo <strong>di</strong> Hirn nel piano (p-v) che<br />
NASCONDE la fase <strong>di</strong> riscaldamento <strong>del</strong> liquido, mettendo inutilmente in evidenza quella MECCANICA <strong>di</strong><br />
compressione <strong>del</strong> liquido. Inoltre, essendo molto grande l’escursione <strong>del</strong> volume <strong>del</strong> fluido durante il<br />
processo, il <strong>di</strong>agramma richiede un tracciamento a “settori” e ciò rende materialmente <strong>di</strong>fficile<br />
rappresentare, ad es., l’espansione; in alternativa - come appunto in figura - occorre impiegare scale<br />
logaritmiche.<br />
Analizziamo la situazione sul piano entropico (T-S)<br />
questa isobara è, in<br />
realtà, molto + vicina<br />
alla curva limite e, in<br />
definitiva, 0 e 0*<br />
vengono, in pratica, a<br />
coincidere.<br />
L’isobara si riferisce<br />
alla pressione<br />
d’esercizio in<br />
caldaia.<br />
Nel caso <strong>del</strong> ciclo limite, l’area <strong>del</strong>lo stesso computa, per unità <strong>di</strong> massa, il lavoro <strong>di</strong> ciclo prodotto (tecnico o<br />
termo<strong>di</strong>namico) mentre ciò non accade per il ciclo reale, dovendo tener conto dei termini <strong>di</strong> irreversibilità <strong>di</strong> prima<br />
specie, d(Qi)I .<br />
N.B. Il lavoro <strong>di</strong> compressione <strong>del</strong> liquido nelle pompe (P.E., P.A.) è molto modesto, percentualmente, rispetto al lavoro prodotto dal vapore in<br />
turbina. Per comprenderlo, basta pensare che la quota reversibile, che è la dominante numericamente, <strong>del</strong> lavoro <strong>di</strong> compressione, è pari<br />
*<br />
p0 − p0<br />
dp<br />
a<br />
dove ρ è elevatissimo (acqua liquida), mentre la quota reversibile <strong>del</strong> lavoro <strong>di</strong> espansione è pari a lungo la turbina;<br />
ρ<br />
T<br />
273,16 K<br />
0 K<br />
0<br />
0<br />
*<br />
le isobare, nel campo<br />
<strong>del</strong> liquido, sono tutte<br />
adagiate sulla curva<br />
limite inferiore<br />
il valore <strong>di</strong> ρ <strong>del</strong> vapore in espansione è me<strong>di</strong>amente molto basso rispetto a quello <strong>del</strong> liquido!<br />
1<br />
C<br />
IRA 38<br />
2<br />
4<br />
3<br />
4’<br />
Espansione<br />
isoentropica<br />
(ciclo limite)<br />
NOTA:<br />
nel computo <strong>del</strong>le<br />
quantità <strong>di</strong> calore scambiate,<br />
quali aree sottese<br />
alle trasformazioni, occorre<br />
trasferire l’asse<br />
<strong>del</strong>le ascisse allo zero<br />
assoluto.<br />
S<br />
ρ
Tracciamo, sul Diagramma <strong>di</strong> Mollier <strong>del</strong> vapore, un impianto “sottocritico” ovvero funzionante con un vapore<br />
surriscaldato a pressione inferiore a quella critica (pc).<br />
h<br />
H4’<br />
H4<br />
0*<br />
0<br />
1<br />
Per ciascun organo costruttivo <strong>del</strong>l’impianto l’equazione <strong>del</strong>l’energia, in forma termica, trascurando i termini<br />
macroscopici dEpot e dEcin in quanto non significativi nell’ambito <strong>di</strong> un intero componente, è la seguente<br />
Q + L = ∆<br />
ovvero QA,B + LA,B = B - A<br />
dove A e B sono gli stati termo<strong>di</strong>namici che caratterizzano l’ingresso e l’uscita <strong>del</strong> fluido da ciascun organo.<br />
È evidente, allora, l’utilità <strong>del</strong> <strong>di</strong>agramma tracciato; infatti, si ha<br />
C<br />
TURBINA e POMPE Q = 0 (organi assunti a<strong>di</strong>abatici), ∆ = L<br />
G.V. e CONDENSATORE L = 0 (organi destinati allo scambio <strong>di</strong> calore) ∆ = Q<br />
Il ∆h fornisce, quin<strong>di</strong>, una misura <strong>del</strong> totale scambio <strong>di</strong> energia specifica (calore/lavoro, per unità <strong>di</strong> massa).<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 39<br />
2<br />
3<br />
x4<br />
x4’<br />
4 4’<br />
4<br />
concentrazioni <strong>di</strong> vapore<br />
(ovvero TITOLI)<br />
−<br />
= −<br />
−<br />
=<br />
H −h<br />
h H<br />
H h<br />
h H4'<br />
0<br />
x4'<br />
4 0<br />
4 0<br />
x4<br />
4 0<br />
S
Ricor<strong>di</strong>amo l’equazione <strong>del</strong>l’energia in forma meccanica<br />
d<br />
dp<br />
L = + E + E +<br />
ρ<br />
( pot cin Q ) i I<br />
d d d<br />
Integrando sulla macchina operatrice, <strong>di</strong> “estremi” A e B ’ , si ottiene<br />
ed in sede limite L<br />
L<br />
=<br />
B'<br />
A<br />
dp<br />
ρ<br />
B<br />
dp<br />
=<br />
ρ<br />
A<br />
+<br />
B'<br />
A<br />
d(<br />
Q<br />
trascurando le variazioni <strong>di</strong> energia potenziale e cinetica tra l’ingresso e l’uscita <strong>del</strong>la macchina.<br />
Per le pompe<br />
∆p<br />
ρ<br />
IRA 40<br />
i<br />
)<br />
L pompe = con ∆p = p0* - p0 ≈ p1 - p0 liq ≈ cost<br />
liq<br />
se anziché LIQUIDO si ha VAPORE, a parità <strong>di</strong> ∆p si avrà un lavoro molto maggiore 18 . Rispetto al lavoro <strong>del</strong>le<br />
turbine quello <strong>del</strong>le pompe è al massimo <strong>di</strong> solo qualche %; se, dunque, si fanno coincidere i due punti O e O * si<br />
commette un errore massimo, nel bilancio energetico globale, <strong>di</strong> qualche %. Osserviamo che, tanto minore è la<br />
pressione nel Condensatore, tanto più aumenta l’area <strong>del</strong> ciclo limite (cioè il lavoro) ed anche in sede <strong>di</strong> ciclo reale<br />
si avranno analoghi benefici.<br />
La temperatura <strong>del</strong>l’acqua condensata, nel Condensatore, è <strong>di</strong> circa 30 °C, molto prossima a quella <strong>del</strong>l’acqua<br />
<strong>di</strong> refrigerazione proveniente, in generale, da gran<strong>di</strong> bacini naturali. Nel Generatore <strong>di</strong> Vapore la temperatura <strong>di</strong><br />
surriscaldamento è <strong>di</strong> circa 500-550 °C. Impiegare temperature superiori prevederebbe l’utilizzazione <strong>di</strong> tubi<br />
realizzati con materiali <strong>di</strong> costo proibitivo per i fasci tuberi più cal<strong>di</strong>.<br />
Scriviamo le relazioni che esprimono i bilanci <strong>di</strong> energia nell’impianto in esame<br />
calore fornito dalle sorgenti superiori 1r 1<br />
1l<br />
= h h<br />
3<br />
I<br />
Q H − ≅H<br />
− = Q = Q<br />
dove, secondo una usuale convenzione adottata per i vapori, H in<strong>di</strong>ca l’entalpia <strong>del</strong> vapore e h l’entalpia <strong>del</strong><br />
liquido;<br />
calore ceduto alle sorgenti inferiori H4<br />
− = 0 r0<br />
⋅<br />
l x (sede limite)<br />
0 *<br />
Q2 4<br />
= h<br />
Q H4'<br />
− =<br />
2r<br />
0 r0<br />
⋅x<br />
4'<br />
3<br />
B’ ≠ B<br />
0<br />
= h (sede reale)<br />
dove r0, calore <strong>di</strong> vaporizzazione globale alla temperatura <strong>di</strong> esercizio <strong>del</strong> vapore, è pari ad H4 h0<br />
− ; mentre x4’ e<br />
x4 sono i Titoli <strong>del</strong> vapore, i cui valori sono misurati, sul <strong>di</strong>agramma entalpico, in corrispondenza ai due punti 4’ e 4<br />
<strong>del</strong> <strong>di</strong>agramma precedente; chiaramente x4’ > x4 e ne consegue che Q2r > Q2l , (le irreversibilità <strong>del</strong> ciclo si<br />
“pagano” al condensatore in termini <strong>di</strong> aumento <strong>di</strong> Q2 , ovvero <strong>di</strong> <strong>di</strong>minuzione <strong>di</strong> L a parità <strong>di</strong> Q1).<br />
18 A causa <strong>del</strong>la grande <strong>di</strong>versità <strong>di</strong> volume specifico, ovvero <strong>di</strong> densità (ρ) tra liquido e vapore, (ρLIQ >>ρVAP).
Il lavoro specifico <strong>del</strong> ciclo (per unità <strong>di</strong> massa) è, trascurando il lavoro speso per le pompe, dato dal lavoro<br />
prodotto dalla turbina:<br />
L H3<br />
− H4<br />
= Q −Q<br />
1 2<br />
≅ (sede limite)<br />
Lr H3<br />
− H4'<br />
= Q1<br />
−Q2r<br />
dove i segni <strong>di</strong> approssimazione si hanno perché si approssima P. E. P. A.<br />
In termini <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento possiamo scrivere<br />
ed inoltre<br />
L<br />
Q<br />
3<br />
h0<br />
≅ (sede reale)<br />
L + L ≅ 0<br />
1 2 3 4<br />
= = =<br />
(ren<strong>di</strong>mento limite)<br />
1<br />
−<br />
Q Q<br />
Q<br />
Q<br />
1<br />
−<br />
Q<br />
H<br />
H<br />
−<br />
−<br />
H<br />
Lr 1 2r<br />
3 4'<br />
= = H H<br />
r<br />
Q1<br />
Q1<br />
H − 3 h0<br />
−<br />
= (ren<strong>di</strong>mento reale)<br />
Sappiamo, poi, che ηr = ηi ηl dove ηi è il ren<strong>di</strong>mento interno <strong>del</strong>l’impianto, ovvero il “grado <strong>di</strong><br />
bontà” tecnica e tecnologica <strong>del</strong>l’impianto stesso.<br />
Nel caso <strong>del</strong>l’impianto a vapore, finora esaminato, possiamo scrivere<br />
−<br />
( ∆H<br />
)<br />
( ∆H<br />
T )<br />
η ≅ H3 H4'<br />
T r<br />
i<br />
η<br />
H − 3 H4<br />
= = =<br />
( L )<br />
( L )<br />
che rappresenta il ren<strong>di</strong>mento a<strong>di</strong>abatico <strong>del</strong>la Turbina, nell’ipotesi <strong>di</strong> poter confondere 19 h0 con h0*. ηi è,<br />
dunque, il rapporto fra la variazione entalpica <strong>del</strong>la Turbina, nell’espansione reale, e l’analoga variazione<br />
nell’espansione limite.<br />
Il risultato ηi ≡ ηT è, evidentemente, non valido nel caso in cui si tenga conto<br />
a) <strong>del</strong>le per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> calore verso l’esterno nei vari organi <strong>del</strong>l’impianto;<br />
b) <strong>del</strong>le per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> carico nei condotti (linee <strong>di</strong> trasferimento, fasci tubieri, etc.);<br />
c) <strong>del</strong> lavoro <strong>del</strong>le pompe;<br />
risultando, allora, il ren<strong>di</strong>mento interno <strong>del</strong>l’impianto funzione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>la Turbina ma anche <strong>degli</strong> altri<br />
organi <strong>del</strong>l’impianto, comprese le tubazioni.<br />
19<br />
Nel piano (h - S) si è ipotizzato che la porzione <strong>di</strong> isobara, 0*1 coincide col tratto 01, cioè con il ramo <strong>del</strong>la curva limite inferiore che<br />
presenta una variazione <strong>di</strong> pressione continua e rilevante. Ciò non comporta errori particolarmente notevoli sul piano <strong>del</strong>le valutazioni<br />
numeriche dei bilanci energetici, per effetto <strong>del</strong>la uniforme vicinanza <strong>del</strong>le isobare fra loro nel campo <strong>del</strong> liquido.<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 41<br />
T<br />
T r<br />
T
Valutiamo, infine, la potenza meccanica <strong>di</strong>sponibile alla flangia <strong>di</strong> accoppiamento Turbina-Utilizzatore<br />
P = ⋅ ∆ 3,<br />
4<br />
in SEDE LIMITE M H<br />
dove M è la portata <strong>del</strong> fluido e il ∆H è il salto entalpico limite <strong>del</strong>la Turbina (isentropico);<br />
in pratica<br />
°<br />
2<br />
in SEDE REALE r M H<br />
=<br />
membro<br />
se: P è in kW, M in kg/h, ∆H in kcal/kg;<br />
860<br />
⋅ ∆<br />
P 3,<br />
4'<br />
dove M è ancora la portata <strong>del</strong> fluido e il ∆H è il salto entalpico reale <strong>del</strong>la Turbina;<br />
in pratica<br />
°<br />
2<br />
membro<br />
se: P è in kW, M in kg/h, ∆H in kJ/kg.<br />
3600<br />
A questo punto possiamo sapere quanti kg <strong>di</strong> vapore sono necessari per ottenere un kWh <strong>di</strong> energia<br />
meccanica (da convertire in energia elettrica).<br />
Misurando ad es. Pr in kW, ∆H in kJ/kg ed M in kg/h possiamo scrivere<br />
m ⋅1200<br />
3600<br />
che, riferito ad 1 kWh prodotto, 1 = ⋅ ( 0 87 ÷ 0 91)<br />
NB. Il valore <strong>di</strong> (∆H)S ed il corrispondente<br />
valore <strong>di</strong> m sono vali<strong>di</strong> con condensatori<br />
operanti a basse pressioni e temperature;<br />
contrariamente si avrebbe un (∆H)S<br />
minore ed una m maggiore<br />
Se<br />
P<br />
kg h<br />
3.125<br />
kW<br />
( )<br />
M⋅ 3,<br />
4 ⋅ T<br />
3600<br />
, , ci consente <strong>di</strong> ricavare m<br />
m ≅ 3 ÷ 3.5 kg/kWh<br />
M = significa che in gruppi da 160, 320 e 640 MW<br />
circoleranno circa 500, 1.000 e 2.000 t/h <strong>di</strong> vapore, rispettivamente.<br />
P<br />
r<br />
=<br />
∆H<br />
ren<strong>di</strong>mento a<strong>di</strong>abatico<br />
<strong>del</strong>la turbina per gran<strong>di</strong><br />
impianti<br />
valore me<strong>di</strong>o <strong>del</strong><br />
∆H isoentropico nei<br />
gran<strong>di</strong> impianti<br />
IRA 42<br />
η
Sempre riferendosi al precedente Diagramma <strong>di</strong> Mollier, ricaviamo il rapporto tra la portata <strong>di</strong> acqua <strong>di</strong><br />
refrigerazione che circola nel Condensatore e la portata <strong>del</strong> fluido motore, vapore: M H O M , imponendo il<br />
bilancio energetico <strong>del</strong> condensatore<br />
ovvero<br />
MH<br />
2<br />
M<br />
H<br />
c<br />
O 4' − 0 = h<br />
H2O<br />
T<br />
H2O<br />
=<br />
( H4'<br />
−h ) = 0 M H O cH<br />
T<br />
2 2O<br />
M H2O<br />
potenza termica ceduta<br />
nel condensatore dal<br />
vapore condensante potenza termica asportata<br />
dall’acqua <strong>di</strong> refrigerazione<br />
c<br />
r<br />
0<br />
H2O<br />
⋅<br />
x4'<br />
T<br />
H2O<br />
cH 2O<br />
=<br />
580⋅<br />
( 0.92 ÷ 0.95)<br />
1⋅10<br />
0<br />
0<br />
essendo r0 ≈ 580 kcal/kg ≅ 2400 kJ/kg; ≈ 1kcal/kg<br />
C = 4.186 kJ/kg C<br />
M H 2O ≅<br />
in definitiva 55<br />
M<br />
ciò significa che per ogni kg <strong>di</strong> fluido motore che circola nell’impianto occorrono più <strong>di</strong> 50 kg <strong>di</strong> acqua <strong>di</strong><br />
refrigerazione da far circolare nel Condensatore. Questa quantità è davvero considerevole nel caso <strong>di</strong> impianti <strong>di</strong><br />
grande o gran<strong>di</strong>ssima taglia che impongono l’onere <strong>di</strong> imponenti circuiti <strong>di</strong> refrigerazione e <strong>di</strong> una notevole spesa<br />
per il pompaggio <strong>del</strong>l’acqua <strong>di</strong> refrigerazione.<br />
In un impianto motore a vapore è conveniente, ai fini <strong>del</strong> miglioramento <strong>del</strong>le prestazioni, che la condensazione<br />
<strong>del</strong> vapore avvenga alla temperatura, ovvero alla pressione più bassa possibile (il condensatore opera in con<strong>di</strong>zioni<br />
prossime all’equilibrio). Chiaramente, il parametro che con<strong>di</strong>ziona lo stato <strong>del</strong> fluido al Condensatore è la<br />
temperatura <strong>del</strong> refrigerante <strong>di</strong>sponibile. Poiché, dunque, è essenziale mantenere basse T e p, nel Condensatore,<br />
si limita l’escursione termica <strong>del</strong>l’acqua <strong>di</strong> refrigerazione a circa 10 °C, anche a prezzo <strong>di</strong> consumarne molta<br />
(50≅60 kg per ogni kg <strong>di</strong> vapore condensato !), accettando l’onere <strong>di</strong> imponenti circuiti <strong>di</strong> refrigerazione, <strong>di</strong><br />
elevate superfici tubiere <strong>del</strong> condensatore e <strong>di</strong> una notevole potenza spesa per il pompaggio. Imponendo valori più<br />
bassi all’escursione termica <strong>del</strong>l’acqua si sconfinerebbe in soluzioni troppo onerose in termini costruttivi e <strong>di</strong><br />
esercizio.<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 43<br />
2<br />
calore specifico<br />
<strong>del</strong>l’H2O liquida
Ricordando che il ren<strong>di</strong>mento termo<strong>di</strong>namico <strong>di</strong> questo tipo <strong>di</strong> centrali è, per gran<strong>di</strong> taglie, <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>del</strong> 40 %<br />
possiamo determinare il consumo specifico, cioè la quantità <strong>di</strong> combustibile necessaria per produrre 1 kWh.<br />
r<br />
Q 1r<br />
Lr<br />
= ≅ 0.4<br />
per Lr = 1 kWh = 860 kcal possiamo scrivere<br />
Q<br />
=<br />
1r<br />
1<br />
0.4<br />
= 2.5<br />
kWh<br />
≅ 2150<br />
kCal<br />
e, se la combustione nel Generatore <strong>di</strong> Vapore avviene con un ren<strong>di</strong>mento, (il pe<strong>di</strong>ce b sta per l’inglese “burner”)<br />
=<br />
Q<br />
1r<br />
b<br />
mcH<br />
i<br />
= 0.9 ÷ 0.95<br />
bruciando gasolio con un potere calorifico inferiore <strong>di</strong> 10.000 kcal/kg ≅ 42.000 kJ/kg, per ogni kWh prodotto<br />
dobbiamo utilizzare circa 0.23 kg <strong>di</strong> combustibile.<br />
Considerando che il rapporto tra la massa <strong>di</strong> combustibile e la massa <strong>di</strong> vapore, per unità <strong>di</strong> lavoro prodotto, è<br />
pari 0.08 ÷ 0.07 si vede che, per una Centrale da 640 MW, sono necessarie 150 t/h <strong>di</strong> combustibile. Se dovesse<br />
funzionare, con un coefficiente <strong>di</strong> utilizzazione pari a 0.8, per un anno <strong>di</strong> esercizio sarebbe necessario circa un<br />
milione <strong>di</strong> tonnellate <strong>di</strong> combustibile.<br />
Analizziamo i parametri-chiave <strong>del</strong> Ciclo al fine <strong>di</strong> sceglierne i valori più opportuni ai fini <strong>del</strong>le prestazioni<br />
<strong>del</strong>l’impianto:<br />
1° parametro: temperatura (o pressione) al Condensatore;<br />
2° parametro: pressione in Caldaia (o pressione <strong>di</strong> vaporizzazione);<br />
3° parametro: temperatura <strong>di</strong> surriscaldamento;<br />
questi 3 parametri definiscono interamente il Ciclo Limite.<br />
Il primo parametro non può essere modulato a piacere dal progettista, essendo vincolato alla temperatura <strong>del</strong>la<br />
sorgente naturale d’acqua impiegata per la refrigerazione e al ∆t che si impone all’H2O <strong>di</strong> refrigerazione (secondo<br />
un compromesso tecnico-economico); per noi, dunque, questo primo parametro può ritenersi pressoché costante.<br />
Per ciò che riguarda le con<strong>di</strong>zioni <strong>del</strong> generatore <strong>di</strong> vapore, una volta fissata, al valore minimo consentito dalle<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> progetto, la temperatura al condensatore, le prestazioni <strong>del</strong>l’impianto elementare in stu<strong>di</strong>o, in termini <strong>di</strong><br />
LAVORO RESO per kg <strong>di</strong> fluido evolvente e <strong>di</strong> RENDIMENTO TERMODINAMICO, <strong>di</strong>pendono dalle con<strong>di</strong>zioni <strong>del</strong><br />
vapore all’uscita <strong>del</strong> generatore (si prescinde, <strong>di</strong>scutendo in sede limite, dal ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l’espansione e dalle<br />
per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> carico e <strong>di</strong> calore nei condotti); le variabili sono dunque, in pratica, due: la PRESSIONE <strong>di</strong><br />
VAPORIZZAZIONE e la TEMPERATURA <strong>di</strong> SURRISCALDAMENTO.<br />
Si possono effettuare stu<strong>di</strong> intesi ad ottimizzare le scelte <strong>di</strong> p1 (pressione <strong>di</strong> vaporizzazione) e <strong>di</strong> T3 (temperatura<br />
<strong>di</strong> surriscaldamento), come illustrato ampiamente nel libro “Gli impianti convertitori <strong>di</strong> energia” <strong>del</strong> prof. C. Caputo.<br />
IRA 44
In sintesi, tuttavia, tenendo conto <strong>del</strong>l’esigenza <strong>di</strong> ottenere, a fine espansione, titoli finali x4’ sufficientemente<br />
elevati (0.92 – 0.94) e tenendo conto <strong>del</strong> massimo <strong>di</strong> T3 intorno ai 550 °C per motivi <strong>di</strong> economia, si può <strong>di</strong>re che,<br />
per il Ciclo <strong>di</strong> Hirn, le pressioni p1 possono raggiungere valori <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 40 ÷ 45 bar con temperature T3<br />
<strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 500 ÷ 550 °C.<br />
Il titolo x4’ non deve essere inferiore ai valori in<strong>di</strong>cati per evitare il danneggiamento erosivo <strong>del</strong>l’acqua liquida<br />
sulle palettature <strong>degli</strong> ultimi sta<strong>di</strong> <strong>del</strong>la turbina. D’altronde x4’ non deve essere troppo elevato, per evitare che, in<br />
certe con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> esercizio, il vapore possa uscire allo scarico <strong>del</strong>la turbina in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> surriscaldato: ciò<br />
provocherebbe un sovraccarico termico inaccettabile per il condensatore, che necessiterebbe <strong>di</strong> una sezione<br />
desurriscaldante, operante con coefficienti <strong>di</strong> scambio termico globali molto bassi e potrebbe risultare anche<br />
compromessa la stabilità <strong>di</strong> esercizio <strong>del</strong> condensatore stesso, governata dalla pressione <strong>di</strong> esercizio all’equilibrio<br />
(in condensazione).<br />
Nei gran<strong>di</strong> impianti si è imposta la scelta progettuale <strong>del</strong> doppio surriscaldamento; ve<strong>di</strong>amo quali sono i<br />
vantaggi. Innanzi tutto le potenze in gioco devono essere tali da giustificare l’elevato onere dei costi d’investimento<br />
per conseguire un maggiore lavoro specifico, a parità <strong>di</strong> potenza termica fornita.<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 45
Consideriamo un impianto in cui il vapore percorra un Ciclo <strong>di</strong> Hirn e sud<strong>di</strong>vi<strong>di</strong>amolo nel seguente modo:<br />
Fissando la nostra attenzione sul ciclo reale supponiamo <strong>di</strong> sud<strong>di</strong>videre l’impianto in tre impianti parziali,<br />
interfacciati <strong>di</strong>namicamente tra loro, nei quali circola la stessa portata, ciascuno dei quali opera secondo uno dei<br />
cicli I, II, III che ammettono, evidentemente, trasformazioni termo<strong>di</strong>namiche comuni (a<strong>di</strong>abatiche isoentropiche)<br />
che si svolgono, in senso opposto in due impianti contigui. I tre impianti devono, pertanto, ritenersi <strong>di</strong>namicamente<br />
connessi ed i lavori a<strong>di</strong>abatici isoentropici <strong>di</strong> interfaccia si elidono fra loro nel bilancio energetico globale.<br />
Il ren<strong>di</strong>mento termo<strong>di</strong>namico, η, <strong>del</strong>l’impianto effettivo è η = L Q1<br />
mentre, per i tre cicli parziali, I, II e III possiamo scrivere<br />
η<br />
η<br />
η<br />
I<br />
II<br />
III<br />
si ha<br />
Ciclo I - triangolare<br />
Ciclo II - <strong>di</strong> Carnot<br />
(rettangolare)<br />
Ciclo III - trapezio<br />
mistilineo<br />
=<br />
LI<br />
Q<br />
=<br />
L<br />
II<br />
=<br />
L<br />
III<br />
1I<br />
Q<br />
1II<br />
Q<br />
1III<br />
È utile osservare che<br />
ciclo fortemente penalizzato<br />
dall’effetto <strong>di</strong> molteplicità<br />
<strong>del</strong>le sorgenti (ridotta la<br />
temperatura me<strong>di</strong>a <strong>del</strong>le<br />
sorgenti termiche superiori)<br />
e, ricordare che<br />
T<br />
Q1I<br />
0<br />
I<br />
Q1II<br />
ed essendo: L = LI + LII + LIII<br />
L I + L<br />
=<br />
Q + Q<br />
1I<br />
II<br />
1II<br />
+ L<br />
+ Q<br />
III<br />
1<br />
1III<br />
ηI < ηII < ηIII<br />
ξ<br />
II<br />
M.S.<br />
Q1III<br />
=<br />
2<br />
A B<br />
=<br />
I<br />
T<br />
T<br />
IRA 46<br />
III<br />
m2<br />
m1<br />
1I<br />
4<br />
3<br />
T<br />
T<br />
2<br />
1<br />
4’<br />
1II<br />
S<br />
⋅ Q 1I + II ⋅ Q 1II +<br />
Q + Q + Q<br />
Q1I , calore <strong>di</strong> riscaldamento<br />
Q1II , calore <strong>di</strong> vaporizzazione<br />
Q1III , calore <strong>di</strong> surriscaldamento<br />
Lavoro <strong>del</strong>la turbina<br />
III<br />
1III<br />
⋅ Q<br />
1III<br />
me<strong>di</strong>a pesata dei<br />
ren<strong>di</strong>menti parziali,<br />
dove i pesi sono i<br />
calori Q1 forniti dalle<br />
sorgenti superiori ai<br />
singoli impianti<br />
l’effetto <strong>del</strong>la molteplicità <strong>del</strong>le sorgenti è<br />
favorevole; pertanto, questo ciclo è<br />
premiante ai fini <strong>di</strong> η, (elevata temperatura<br />
me<strong>di</strong>a <strong>del</strong>le sorgenti termiche superiori)<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un ciclo <strong>di</strong><br />
Carnot, operante tra T0 e<br />
T1, quin<strong>di</strong> massimo in<br />
tale intervallo termico
Il valore <strong>di</strong> ηIII è interme<strong>di</strong>o fra il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un Ciclo <strong>di</strong> Carnot operante tra T0 e T1 e quello <strong>di</strong> un altro Ciclo<br />
<strong>di</strong> Carnot operante tra T0 e T3.<br />
Per enfatizzare l’utilità <strong>di</strong> ηIII si può percorrere la strada <strong>del</strong> surriscaldamento multiplo, ovvero quella <strong>di</strong> un solo<br />
surriscaldamento, ma elevandone la temperatura. Per ridurre l’effetto negativo <strong>di</strong> ηI si può percorrere una sola<br />
strada, quella <strong>di</strong> procedere ad una rigenerazione termica (operazione molto conveniente, anche se – come<br />
vedremo – il grado <strong>di</strong> rigenerazione non dovrà mai essere unitario). Un limite alla possibilità <strong>di</strong> spingere al massimo<br />
il grado <strong>di</strong> rigenerazione termica è infatti costituito dall’effetto Clausius; non conviene, cioè, come meglio vedremo in<br />
seguito, somministrare l’intero calore <strong>di</strong> surriscaldamento <strong>del</strong> liquido per via rigenerativa.<br />
Aumentare la temperatura massima <strong>del</strong> Ciclo <strong>di</strong> Hirn (t3, temperatura <strong>di</strong> surriscaldamento) comporta due or<strong>di</strong>ni<br />
<strong>di</strong> problemi: quello <strong>del</strong> COMPORTAMENTO oltre il limite elastico <strong>del</strong> metallo impiegato per i fasci tubieri più<br />
cal<strong>di</strong> e quello <strong>del</strong>le CORROSIONI dovute, soprattutto, all’impiego <strong>di</strong> combustibili economici. Tali problemi sono<br />
imponenti per valori <strong>del</strong>la temperatura <strong>di</strong> surriscaldamento superiori a 550 °C, ma non conviene superare questi<br />
valori <strong>di</strong> t3, anche per motivi inerenti alle pressioni <strong>di</strong> ottimizzazione. Eccessive pressioni in caldaia, scelte ai fini <strong>del</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> Ciclo <strong>di</strong> Hirn, condurrebbero a titoli troppo bassi <strong>del</strong> vapore alla fine <strong>del</strong>l’espansione.<br />
Soprattutto per ovviare a queste limitazioni si adottò la tecnica <strong>del</strong> DOPPIO SURRISCALDAMENTO per<br />
gli impianti <strong>di</strong> grande e gran<strong>di</strong>ssima taglia.<br />
In pratica si realizzano gran<strong>di</strong> gruppi con doppio (raramente triplo) surriscaldamento e, simultaneamente, si<br />
effettua la rigenerazione termica; negli impianti <strong>di</strong> me<strong>di</strong>a <strong>di</strong>mensione si adotta la tecnica, più economica, <strong>del</strong><br />
semplice surriscaldamento. Con il doppio surriscaldamento la pressione p1 può salire a valori da 150 bar in poi<br />
(esistono anche soluzioni iper-critiche), mentre la pressione <strong>del</strong> secondo surriscaldamento può essere <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong><br />
40 bar).<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 47
La configurazione <strong>del</strong> Ciclo, nel caso <strong>di</strong> doppio surriscaldamento, è mostrata nel piano entalpico (si può operare<br />
a pressioni molto elevate, talvolta superiori a quella critica, ottenendo un titolo conveniente alla fine <strong>del</strong>l’espansione)<br />
h<br />
0<br />
SH<br />
(surriscaldatore)<br />
1<br />
Occupiamoci, ora, <strong>del</strong>la RIGENERAZIONE TERMICA, grazie alla quale migliorano notevolmente le<br />
prestazioni dei gran<strong>di</strong> impianti e, in particolare, il loro ren<strong>di</strong>mento termo<strong>di</strong>namico.<br />
L’effetto <strong>di</strong> molteplicità <strong>del</strong>le sorgenti è, nel ciclo I (triangolo mistilineo 01A) particolarmente severo, in quanto<br />
le sorgenti anatermiche si <strong>di</strong>stribuiscono, lungo la fase <strong>di</strong> riscaldamento <strong>del</strong> liquido, praticamente dalla temperatura<br />
minima T0 alla temperatura massima T1. Il ciclo parziale I incide pesantemente sulla me<strong>di</strong>a pesata dei ren<strong>di</strong>menti<br />
e si vuole, dunque, neutralizzarne, o per lo meno limitarne, l’effetto sfavorevole sul ren<strong>di</strong>mento complessivo.<br />
Osserviamo che ηI non comparirà nell’espressione <strong>di</strong> η se il calore Q1I non è prelevato dall’esterno, ma fornito<br />
interamente per SCAMBIO INTERNO dal fluido stesso, nel corso <strong>del</strong>la sua evoluzione, per via rigenerativa.<br />
Si può, secondo una prima ipotesi, pensare <strong>di</strong> sottrarre calore al vapore durante la sua espansione ed<br />
impiegarlo, convenientemente, per riscaldare il liquido sino alle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> vaporizzazione.<br />
2<br />
IRA 48<br />
3<br />
4’<br />
3*<br />
4* 4*’<br />
S<br />
N.B. 3 e 3* sono sulla medesima<br />
isoterma ossia t3 = t3*<br />
RH<br />
(risurriscaldatore)
Facciamo riferimento ad un Ciclo <strong>di</strong> Hirn nel piano (T-S), per semplicità in sede limite.<br />
Si suppone che la trasformazione 3 − 4 sia realizzata<br />
CONGRUENTEMENTE con la trasformazione 0-1<br />
Durante la fase <strong>di</strong> espansione possiamo procedere ad una espansione a<strong>di</strong>abatica isoentropica fino a 3 ;<br />
l’evoluzione 3 → 4 non è a<strong>di</strong>abatica, ovvero il vapore può drenare calore verso l’esterno: possiamo pensare <strong>di</strong><br />
sostituire l’espansione 3 → 4 con la 3 → 4 .<br />
Durante questa espansione, 3 → 4 , il calore asportato è uguale a quello utilizzato dall’acqua per riscaldarsi da<br />
0 →1. L’integrale <strong>di</strong> TdS da 0 a 1 rappresenta il calore richiesto per il riscaldamento <strong>del</strong>l’acqua. L’area sottesa da<br />
4 a 3 rappresenta il calore drenato dal vapore e ceduto all’acqua <strong>di</strong> alimento.<br />
Un impianto <strong>del</strong> genere è, tuttavia, improponibile perché si dovrebbero avere superfici <strong>di</strong> scambio immense ai<br />
fini <strong>di</strong> un’efficienza elevata (mai comunque unitaria) <strong>del</strong>lo scambiatore rigenerativo; inoltre l’espansione 3 → 4<br />
porterebbe il vapore a titoli inaccettabili (contenuto certamente eccessivo <strong>di</strong> liquido) per un funzionamento<br />
accettabile <strong>del</strong>la turbina.<br />
La Rigenerazione Termica per sottrazione <strong>di</strong> calore dal vapore in espansione è, in pratica, IRREALIZABILE<br />
e, comunque, NON CONVENIENTE. Irrealizzabile perché le superfici <strong>del</strong>le casse <strong>del</strong>le turbine <strong>di</strong> espansione<br />
non sono sufficientemente estese – neppure praticandovi fittissime alettature – per consentire i ragguardevoli<br />
scambi <strong>di</strong> calore richiesti; non conveniente perché il titolo <strong>del</strong> vapore, al termine <strong>del</strong>l’espansione, risulterebbe troppo<br />
basso, compromettendo non solo, quanto meno, il ren<strong>di</strong>mento interno <strong>del</strong>la turbina, ma anche la sua integrità.<br />
Infine, enormi problemi <strong>di</strong> regolazione sorgerebbero ai carichi parziali <strong>del</strong>l’impianto.<br />
Lo stesso EFFETTO RIGENERATIVO si può ottenere, invece, SOTTRAENDO, durante la fase <strong>di</strong><br />
espansione, VAPORE anziché CALORE. O meglio, anziché sottrarre una parte <strong>del</strong> calore possibile all’intera<br />
portata <strong>di</strong> vapore, si sottrae l’intero calore <strong>di</strong>sponibile ad una porzione (appositamente spillata) <strong>del</strong>la portata <strong>di</strong><br />
vapore.<br />
0 °C<br />
0 K<br />
T<br />
Q1I<br />
Q1II<br />
Si può procedere quin<strong>di</strong>, prelevando una parte <strong>del</strong> vapore che si sta espandendo in turbina (SPILLAMENTO<br />
<strong>del</strong> vapore) per riscaldare l’acqua <strong>di</strong> alimento; questa porzione <strong>di</strong> vapore spillato non espande in turbina e non<br />
produce, pertanto, potenza utile, ma viene ad essere utilizzato al 100 % per scopo rigenerativo. Il vapore non<br />
spillato continua la sua espansione INDISTURBATO, raggiungendo il TITOLO che gli compete alla fine<br />
<strong>del</strong>l’espansione a<strong>di</strong>abatica.<br />
1<br />
Q1III<br />
0 A 4 B<br />
2<br />
4<br />
3<br />
3<br />
273,16 K<br />
S<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 49
Quello sopra descritto è il principio <strong>del</strong>la RIGENERAZIONE TERMICA a gra<strong>di</strong>ni, ormai universalmente<br />
applicata negli Impianti a Vapore <strong>di</strong> me<strong>di</strong>a, grande e gran<strong>di</strong>ssima taglia.<br />
La rappresentazione <strong>del</strong> ciclo rigenerato è riportata, ancora sul piano (T-S) (entropico), in figura:<br />
Si definisce grado <strong>di</strong> rigenerazione (totale):<br />
R<br />
=<br />
h h<br />
h h − x1<br />
− 1<br />
il rapporto tra il calore <strong>di</strong> riscaldamento <strong>del</strong>l’acqua conferito per via rigenerativa ed il calore totale <strong>di</strong> riscaldamento<br />
<strong>del</strong>l’acqua. Se in<strong>di</strong>chiamo con λ il calore totale <strong>di</strong> riscaldamento <strong>del</strong> liquido, che è h1-h0 , si potrà scrivere:<br />
e, definendo:<br />
R i<br />
R<br />
IRA 50<br />
λ<br />
0<br />
0<br />
−<br />
= h x1<br />
h 0<br />
=<br />
h − xi h x(<br />
i+<br />
1)<br />
il generico grado <strong>di</strong> rigenerazione parziale dovuto all’i.mo rigeneratore sarà, ovviamente<br />
R<br />
=<br />
z<br />
1<br />
La RIGENERAZIONE CONTINUA, come caso limite, prevede una successione infinita <strong>di</strong> prelievi <strong>di</strong><br />
vapore <strong>di</strong> portata infinitesima, durante l’espansione (3-4’), ciascuno dei quali eleva in misura infinitesima la<br />
temperatura (e quin<strong>di</strong> anche l’entalpia) <strong>del</strong>l’acqua <strong>di</strong> alimento. Conseguentemente, in siffatto processo, <strong>del</strong> tutto<br />
ipotetico, non sussisterebbero irreversibilità per ∆T finiti fra i due flui<strong>di</strong> entranti nel generico microscambiatore e<br />
l’effetto CLAUSIUS non entrerebbe in gioco.<br />
T<br />
0 °C ≡ 273,16 K<br />
0 K<br />
0<br />
xz<br />
x1<br />
x2<br />
x3<br />
1<br />
λ<br />
i<br />
R<br />
i<br />
2<br />
4<br />
3<br />
X1<br />
X2<br />
X3<br />
Xz<br />
4’<br />
S<br />
1° spillamento<br />
2° spillamento<br />
.<br />
.<br />
ecc.
Senza ricorrere alla RIGENERAZIONE CONTINUA, <strong>di</strong> fatto irrealizzabile, analoghi benefici, anche se in<br />
misura meno elevata, sono ottenibili se gli spillamenti sono in numero (z) finito anziché infinito (ad es. z ≤ 6÷7). Si<br />
può vedere, peraltro, che quando il numero <strong>di</strong> spillamenti è piuttosto elevato (appunto 6÷7) tale beneficio è<br />
cospicuo e <strong>di</strong> poco aumenterebbe se, pur con notevole incremento <strong>di</strong> costi e <strong>di</strong> complicazione <strong>del</strong>l’impianto, si<br />
aumentasse ulteriormente z.<br />
In conseguenza <strong>di</strong> quanto detto, oggi, quasi tutti gli Impianti a Vapore <strong>di</strong> taglia elevata sono provvisti <strong>di</strong><br />
RIGENERAZIONE a GRADINI e DOPPIO SURRISCALDAMENTO.<br />
Raggiungere un grado <strong>di</strong> rigenerazione unitario (R = 1) non risulta conveniente, perché, nella misura in cui<br />
all’aumentare <strong>di</strong> R, a parità <strong>di</strong> z, aumenta l’effetto (positivo) <strong>del</strong>la molteplicità <strong>del</strong>le sorgenti per l’incremento <strong>del</strong>la<br />
temperatura me<strong>di</strong>a <strong>del</strong>le sorgenti superiori, aumenta simultaneamente l’effetto Clausius (negativo) legato al fatto<br />
che aumenta la <strong>di</strong>fferenza (finita) <strong>di</strong> temperatura, ∆t, tra il vapore spillato e l’acqua <strong>di</strong> alimento entranti nel generico<br />
rigeneratore.<br />
Si sceglie, allora, una soluzione <strong>di</strong> compromesso.<br />
Per z → ∞ si parla <strong>di</strong> RIGENERAZIONE CONTINUA; essa, pur se non realizzabile, è importante da un<br />
punto <strong>di</strong> vista <strong>di</strong>dattico e costituisce un tetto superiore alle prestazioni conseguibili.<br />
Si vedrà in particolare che all’aumentare <strong>di</strong> R, per z → ∞, aumenta progressivamente il massimo ren<strong>di</strong>mento<br />
η conseguibile in quanto si risente sempre più <strong>del</strong>l’effetto migliorativo <strong>del</strong>la molteplicità <strong>del</strong>le sorgenti, mentre<br />
l’effetto Clausius tende ad attenuarsi sempre più.<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 51
LA RIGENERAZIONE A GRADINI. GENERALITA’<br />
L’impianto a Ciclo <strong>di</strong> Hirn dotato <strong>di</strong> rigenerazione con z gra<strong>di</strong>ni corrisponde al <strong>di</strong>agramma (h, S) ed allo schema<br />
in<strong>di</strong>cati nelle figure sottostanti.<br />
λ<br />
h<br />
R =<br />
Gli spillamenti <strong>di</strong> vapore sono numerati da 1 a z, da quello a pressione più elevata a quello a pressione più<br />
bassa.<br />
h<br />
hx1<br />
0<br />
xz<br />
x2<br />
x1<br />
1<br />
C<br />
Gli scambiatori rigenerativi (rigeneratori) sono per ora tutti a miscela.<br />
G.V.<br />
La singola pompa <strong>di</strong> ripresa (P.R.) serve a convogliare la condensa ottenuta nel rigeneratore (i), in<br />
corrispondenza allo i-esimo scambio, allo scambiatore (i-1) (ovvero al rigeneratore contiguo operante a pressione<br />
più elevata). Ogni rigeneratore a miscela <strong>di</strong>spone <strong>di</strong> due ingressi (uno per il vapore spillato ed uno per l’acqua <strong>di</strong><br />
alimento) e <strong>di</strong> un’uscita (per l’acqua d’alimento preriscaldata e mescolata alla condensa <strong>del</strong>lo spillato).<br />
Con Xi (i=1, z) si in<strong>di</strong>cano i punti sulla curva <strong>di</strong> espansione ove sono posti gli spillamenti e con xi (i=1, z) i<br />
punti corrispondenti sulla curva limite inferiore. Ai fini dei calcoli, l’acqua <strong>di</strong> alimento uscente dal generico<br />
rigeneratore (i) è considerata liquido saturo (punto xi).<br />
2<br />
P.A.<br />
R1<br />
α<br />
IRA 52<br />
3<br />
4<br />
X1<br />
S<br />
X2<br />
1 2 …<br />
P.R.<br />
R2<br />
Rx<br />
Xz<br />
P.R.<br />
4’<br />
z<br />
Rz<br />
T<br />
C<br />
P.E.<br />
A<br />
H2O<br />
λ = h1 - h 0<br />
x1<br />
− h<br />
λ<br />
0<br />
ϑh<br />
S<br />
T = ϑ<br />
p
Per R = 0 l’impianto non è rigenerato ed il ren<strong>di</strong>mento avrà l’espressione usuale valida per il Ciclo <strong>di</strong> Hirn<br />
semplice:<br />
R=<br />
0<br />
= 1−<br />
H<br />
H<br />
4'<br />
3<br />
− h<br />
− h<br />
0<br />
0<br />
= 1−<br />
H4'<br />
−<br />
( H3<br />
− h1)<br />
f( h0)<br />
≅1<br />
−<br />
f( h1)<br />
+<br />
dove f(h) rappresenta, in funzione <strong>di</strong> h, il calore <strong>di</strong>sponibile, sotto forma <strong>di</strong> <strong>di</strong>fferenza entalpica, nello spillamento <strong>di</strong><br />
1 kg <strong>di</strong> vapore; si tratta <strong>del</strong> totale calore messo a <strong>di</strong>sposizione <strong>del</strong>l’acqua <strong>di</strong> alimento (dallo stato competente al<br />
prelievo sino alla condensazione completa, secondo un processo isobaro). Dunque:<br />
f(h) = H – h<br />
A parità <strong>di</strong> h, f(h) avrà un valore <strong>di</strong>pendente dall’andamento <strong>del</strong>la curva <strong>di</strong> espansione in turbina.<br />
Qualora si potesse assumere:<br />
si avrebbe:<br />
R=<br />
0<br />
f(h) = I = cost<br />
I<br />
= 1−<br />
I +<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 53<br />
h0<br />
+<br />
1<br />
= 1−<br />
1+<br />
I<br />
ed il ren<strong>di</strong>mento R= 0 <strong>di</strong>penderebbe esclusivamente dal rapporto λ/I.<br />
Ricor<strong>di</strong>amo che il Grado <strong>di</strong> Rigenerazione è la frazione <strong>di</strong> calore <strong>di</strong> riscaldamento conferita al liquido per via<br />
rigenerativa rispetto al calore totale <strong>di</strong> riscaldamento:<br />
mentre il ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l’impianto rigenerato fino ad x1 è<br />
η R z<br />
= 1 −<br />
h<br />
=<br />
− h<br />
λ<br />
R 0 R (hR = hx1)<br />
− h<br />
4'<br />
( 1 + m ) [ ( − 1)<br />
+ ( 1 − x1)<br />
]<br />
0<br />
H<br />
H 3<br />
h<br />
0<br />
h<br />
h<br />
Frazione (riferita al condensatore) <strong>di</strong><br />
massa spillata in totale nei punti (i) <strong>di</strong><br />
prelievo sulla curva <strong>di</strong> espansione
Ricordando, inoltre, le precedenti definizioni, si ha:<br />
R z<br />
≅ 1 −<br />
= 1 −<br />
Rλ = hx1 - h0 (1-R) λ = h1 - hx1<br />
H<br />
H 3<br />
−<br />
4'<br />
( 1 + m ) [ ( − 1)<br />
+ ( 1 − R ) ]<br />
( 1 + m ) 1 + ( 1 − R )<br />
0<br />
0<br />
1<br />
h<br />
I<br />
h<br />
0<br />
= 1 −<br />
f ( h 0 )<br />
( 1 + m ) [ f ( ) + ( 1 − R ) ]<br />
Il valore <strong>del</strong>la frazione m0 (rispetto al condensatore) <strong>del</strong>la massa spillata in totale sui prelievi effettuati lungo la<br />
linea <strong>di</strong> espansione richiede <strong>di</strong> effettuare i bilanci termici <strong>di</strong> tutti i rigeneratori.<br />
RIGENERAZIONE CONTINUA<br />
Un caso ”<strong>di</strong>dattico” <strong>di</strong> grande interesse è quello <strong>del</strong>la rigenerazione “continua”, ovvero quello <strong>di</strong> z → ∞<br />
attraverso un passaggio al limite.<br />
Ogni rigeneratore è un microrigeneratore a cui perviene una portata spillata infinitesima ed il numero <strong>di</strong><br />
rigeneratori è infinito. Il caso è privo <strong>di</strong> interesse sul piano applicativo, ma è ricco <strong>di</strong> significato sul piano<br />
concettuale, poiché conduce alla determinazione <strong>del</strong>le prestazioni – in particolare in termini <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento –<br />
<strong>del</strong>l’impianto conseguibili nelle con<strong>di</strong>zioni concettualmente più favorevoli dal punto <strong>di</strong> vista <strong>del</strong>l’effetto Clausius.<br />
Per valutare m0, massa <strong>di</strong> vapore (o meglio, frazione riferita al<br />
condensatore) globalmente spillata in turbina, bisogna effettuare il<br />
bilancio termico <strong>del</strong> generico microrigeneratore (z → ∞); se dm è la<br />
massa elementare <strong>di</strong> vapore spillato, normalizzata rispetto al<br />
condensatore, il calore <strong>di</strong>sponibile sarà<br />
dm (Hx - hx) = (1 + m) dhx<br />
dove dhx è l’incremento <strong>di</strong> entalpia <strong>del</strong>l’acqua <strong>di</strong> alimento (<strong>di</strong> massa normalizzata, 1 + m); il 1° termine è il calore<br />
ceduto dalla massa dm <strong>di</strong> vapore spillato nel punto generico X sulla curva <strong>di</strong> espansione, il 2° termine è il calore<br />
assorbito dalla massa <strong>del</strong> liquido (acqua <strong>di</strong> alimento).<br />
Possiamo allora scrivere:<br />
dm dh<br />
x =<br />
1+<br />
m H − h<br />
dh<br />
≅<br />
f(h)<br />
dove (1+m) è la massa <strong>di</strong> liquido che giunge al rigeneratore elementare generico, <strong>di</strong> cui 1 kg proviene dal<br />
condensatore ed m conteggia le condense <strong>degli</strong> spillamenti effettuati a valle <strong>del</strong> punto X ed inviati nei<br />
rigeneneratori posti a “monte”.<br />
IRA 54<br />
x<br />
x<br />
0<br />
h<br />
1<br />
(1 + m + dm)<br />
dm<br />
h + dh<br />
H<br />
≅<br />
h<br />
(1 + m)<br />
Microrigeneratore generico
Integrando la precedente si ha<br />
m0<br />
0<br />
dm<br />
=<br />
1+<br />
m<br />
hx<br />
h0<br />
hx<br />
dhx<br />
dh<br />
≅<br />
H − h f(<br />
h)<br />
Se fosse f(h) = I = cost sarebbe ln(<br />
1+<br />
m )<br />
e quin<strong>di</strong>:<br />
x<br />
x<br />
h0<br />
m 0<br />
0<br />
h<br />
=<br />
da cui ( + ) =<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 55<br />
x1<br />
− h<br />
I<br />
λ<br />
= exp R<br />
I<br />
Una volta <strong>di</strong>segnata la curva <strong>di</strong> espansione 3 → 4’, ovvero una volta definito il ciclo reale, si stabilisce una<br />
corrispondenza biunivoca tra hx ed Hx.<br />
0<br />
=<br />
−1<br />
ln 1<br />
R<br />
I<br />
m<br />
0<br />
hx<br />
h0<br />
dh<br />
f(<br />
h)<br />
Per una generica curva <strong>di</strong> espansione, la funzione f(h) ha un andamento <strong>del</strong> tipo in<strong>di</strong>cato in figura:<br />
f(h) = H - h<br />
con entalpie misurate<br />
sulla medesima isobara.<br />
Questa funzione spesso si schematizza in prima approssimazione con f(h) ≅ cost = I dove I è il valore me<strong>di</strong>o<br />
<strong>del</strong>la f(h), nell’intervallo [h0, h1], ricordando che f(h) <strong>di</strong>pende da FORMA e POSIZIONE <strong>del</strong>la linea<br />
d’espansione nel piano (h - S).<br />
Con questa ipotesi si compie una analisi termo<strong>di</strong>namica semplice e significativa, ovvero si perviene a leggi<br />
semplici, approssimate ma vicine a quelle rigorose.<br />
In uno stu<strong>di</strong>o più approfon<strong>di</strong>to, <strong>di</strong> solito, conviene assegnare a f(h) una forma nella quale compaiono 3 costanti<br />
(forma polinomiale <strong>del</strong> 2° or<strong>di</strong>ne), <strong>del</strong> tipo<br />
f(h) = A + B h + C h 2<br />
che dà luogo a errori assai contenuti. Si può utilizzare anche una legge inversa (più comoda per la soluzione<br />
<strong>del</strong>l’integrale <strong>di</strong> 1/f(h)) <strong>del</strong> tipo:<br />
f(h)<br />
f ( h)<br />
1<br />
=<br />
a + bh<br />
+ ch<br />
I coefficienti <strong>del</strong>le leggi <strong>di</strong> cui sopra potranno essere valutati col metodo dei minimi quadrati, rendendo minimo<br />
l’errore quadratico me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> f(h) nell’intervallo (h0, h1).<br />
I<br />
h0<br />
h1<br />
2<br />
h<br />
non si hanno normalmente<br />
scostamenti superiori al 10<br />
% rispetto al valore me<strong>di</strong>o I
Nel caso in cui si assuma f(h) = cost, l’espressione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong>venta ovviamente:<br />
R (z→∞<br />
)<br />
= 1−<br />
exp R<br />
I<br />
( 1−<br />
R)<br />
che mostra come tale ren<strong>di</strong>mento, per un ciclo definito (p0, p1, T3 e curva <strong>di</strong> espansione assegnati), sia funzione<br />
soltanto <strong>del</strong> Grado <strong>di</strong> Rigenerazione, R. Il massimo <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento si ottiene cercando il massimo <strong>del</strong> denominatore<br />
<strong>del</strong>la per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento, che – come può verificarsi facilmente – si trova in corrispondenza <strong>di</strong> R = 1; possiamo<br />
tracciare il grafico seguente che mostra l’andamento <strong>del</strong> guadagno relativo <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento all’aumentare <strong>di</strong> R da 0 a<br />
1.<br />
∆η<br />
η<br />
η<br />
=<br />
R(z→∞)<br />
η<br />
− η<br />
R = 0<br />
R=<br />
0<br />
R=<br />
0<br />
“guadagno” <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
∆ η<br />
η<br />
Il ren<strong>di</strong>mento è sempre crescente con R, grazie al progressivo miglioramento offerto dall’effetto <strong>di</strong> molteplicità<br />
<strong>del</strong>le sorgenti senza l’intervento <strong>del</strong>l’effetto Clausius mentre, ovviamente, non muta l’effetto Carnot. L’effetto<br />
Clausius dominante, quello dovuto alla <strong>di</strong>fferenza finita <strong>di</strong> temperatura fra vapore spillato condensante ed acqua <strong>di</strong><br />
alimento entrante, è infatti nullo grazie al numero infinito <strong>di</strong> spillamenti (rigenerazione continua).<br />
R= 0<br />
0<br />
IRA 56<br />
1<br />
1+<br />
Rz 1 R<br />
I<br />
il massimo si ha<br />
per R = 1
LA RIGENERAZIONE A GRADINO CON UN SOLO SPILLAMENTO DI VAPORE<br />
Esaminiamo, quale caso particolare, un impianto dotato <strong>di</strong><br />
un solo rigeneratore, ovvero un solo spillamento in<br />
corrispondenza al punto X <strong>del</strong>la linea <strong>di</strong> espansione. Il<br />
consueto <strong>di</strong>agramma (h -S) è accanto.<br />
In generale le incognite <strong>del</strong> problema <strong>di</strong> progetto sono due<br />
per ogni rigeneratore: portata <strong>di</strong> vapore spillato e posizione,<br />
sulla linea <strong>di</strong> espansione (punto X), in corrispondenza <strong>del</strong>la<br />
quale si ha lo spillamento.<br />
Lungo l’isobara Xx, la massa m <strong>di</strong> vapore spillato cede il calore m⋅(Hx- hx).<br />
Questo calore viene somministrato al kg <strong>di</strong> liquido, in uscita dal condensatore, il quale acquista l’incremento<br />
entalpico (hx - h0) = R λ, essendo R = (hx - h0)/(h1 - h0) = (hx - h0)/λ , per definizione <strong>di</strong> Grado <strong>di</strong><br />
Rigenerazione.<br />
Cerchiamo, allora, quel valore o quei valori <strong>di</strong> X più favorevoli in termini <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
η R , z=<br />
1<br />
= 1−<br />
( 1+<br />
m)<br />
[ ( H − h ) + ( h − h ) ]<br />
massa al condensatore<br />
(= 1 kg)<br />
1 m<br />
massa normalizzata corrispondente<br />
all’unico spillamento effettuato<br />
Lo schema <strong>del</strong>l’impianto sarà il seguente<br />
ed in questo caso non ci sono pompe <strong>di</strong> ripresa (P.R.), che in genere sono presenti in numero <strong>di</strong> (z-1) essendo z<br />
il numero <strong>di</strong> rigeneratori.<br />
G.V.<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 57<br />
H<br />
3<br />
R<br />
4'<br />
P.A.<br />
h<br />
− h<br />
1<br />
0<br />
x [hx]<br />
0<br />
1<br />
X<br />
C<br />
1<br />
T<br />
x<br />
P.E.<br />
A<br />
H2O<br />
2<br />
3<br />
4<br />
X [Hx]<br />
4’<br />
S
Il bilancio termico <strong>del</strong>l’unico gra<strong>di</strong>no <strong>di</strong> rigenerazione si può scrivere, per quanto già detto:<br />
da cui<br />
m<br />
si avrà allora<br />
h<br />
H<br />
x<br />
− h<br />
− h<br />
x<br />
Rλ<br />
Rλ<br />
= ≅<br />
f ( h)<br />
I<br />
m(Hx - hx) = 1 ⋅ (hx - h0)<br />
x 0 = dove λ = h1 - h0 ed<br />
η<br />
R , z=<br />
1<br />
= 1−<br />
f ( h<br />
( 1+<br />
m)<br />
[ f ( h ) + ( 1−<br />
R)<br />
λ]<br />
1<br />
0<br />
)<br />
hx<br />
− h<br />
R =<br />
h − h<br />
relazione valida per uno scambiatore a miscela 20 . Per f(h) = I = cost si avrà:<br />
η<br />
R , z=<br />
1<br />
dove η risulta funzione <strong>di</strong> R.<br />
= 1−<br />
λ<br />
1+<br />
R<br />
I<br />
I<br />
= 1−<br />
IRA 58<br />
1<br />
0<br />
0<br />
h<br />
=<br />
[ ( ) ] ( ) λ<br />
λ<br />
I + 1−<br />
R λ 1+<br />
R 1+<br />
1−<br />
R<br />
Si ha poi η = ηmax per il massimo valore <strong>del</strong> denominatore Ψ(R) <strong>del</strong>la per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento:<br />
ovvero<br />
d (R)<br />
0<br />
dR<br />
=<br />
Ψ<br />
p er<br />
λ<br />
I<br />
Ψ(R) = ( ) λ<br />
1 + R 1+<br />
1−<br />
R<br />
R =<br />
R<br />
ottimo =<br />
Se non avessimo considerato f(h) = cost avremmo<br />
ottenuto un risultato <strong>di</strong> poco <strong>di</strong>fferente; sostituendo R=<br />
0,5 si ha l’espressione <strong>di</strong><br />
η<br />
max<br />
=<br />
1<br />
1 λ<br />
1+<br />
2 I<br />
1− 2<br />
1<br />
2<br />
Nel <strong>di</strong>agramma si vede che il valore ηmax si ha in corrispondenza al punto M che giace sulla congiungente i<br />
punti estremi A e B.<br />
Con un solo rigeneratore, per R crescente da 0 a ½ il ren<strong>di</strong>mento cresce. Per R = 1, il guadagno <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento è nullo come se non si effettuasse la rigenerazione. Quin<strong>di</strong>, la rigenerazione completa, effettuata con un<br />
solo gra<strong>di</strong>no, non apporta alcun beneficio al ren<strong>di</strong>mento termo<strong>di</strong>namico <strong>del</strong> ciclo. All’aumentare <strong>di</strong> R, da 0 a 0,5<br />
prevale il progressivo effetto positivo <strong>del</strong>la molteplicità <strong>del</strong>le sorgenti. Da 0,5 a 1 prevale invece l’effetto negativo <strong>di</strong><br />
Clausius dovuto all’incremento <strong>del</strong> ∆T tra i flui<strong>di</strong> entranti nel rigeneratore. Per R = 0,5 si ha il compromesso<br />
ottimale.<br />
20 Il RIGENERATORE a MISCELA, <strong>di</strong> notevole volume, assolve anche alla funzione <strong>di</strong> POLMONE <strong>del</strong>l’impianto e, perciò, sostituisce, tra<br />
l’altro, il serbatoio a cielo aperto <strong>del</strong>l’impianto a circuito elementare.<br />
η<br />
− η<br />
η<br />
R=<br />
0<br />
I<br />
R=<br />
1 R=<br />
0 ⋅<br />
I<br />
100<br />
A<br />
1<br />
I<br />
x<br />
M<br />
− h<br />
λ<br />
0 1<br />
R = 0,5 R<br />
0<br />
Z=∞<br />
Z=1<br />
B
CENNO AI CASI DI RIGENERAZIONE A GRADINI CON PIÙ SPILLAMENTI DI VAPORE<br />
Si supponga ancora l’impianto <strong>di</strong> base a ciclo Hirn semplice e si ipotizzi che tutti i rigeneratori siano a miscela. Il<br />
grado <strong>di</strong> rigenerazione totale R:<br />
h x1 − h0<br />
R = ( = h − h<br />
può essere considerato somma dei gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> rigenerazione parziali Rk<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 59<br />
z<br />
R = R<br />
k=<br />
1<br />
k<br />
1<br />
0<br />
)<br />
(k= 1,z):<br />
essendo z il numero <strong>di</strong> spillamenti (e quin<strong>di</strong> il numero <strong>di</strong> rigeneratori presenti); il k-mo grado <strong>di</strong> rigenerazione<br />
parziale Rk sarà ovviamente:<br />
e sarà anche: hx (z+1) = h0, avendo al solito approssimato<br />
R<br />
k<br />
=<br />
h x k − h x (k+<br />
1)<br />
* h 0 con h0.<br />
L’espressione generale <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento termo<strong>di</strong>namico <strong>del</strong> ciclo sarà:<br />
e, ammettendo l’approssimazione:<br />
R, z<br />
R, z<br />
= 1−<br />
= 1−<br />
1+<br />
z<br />
k=<br />
1<br />
m<br />
f ( h )<br />
k<br />
0<br />
f(h) ≈ I = cost<br />
1+<br />
z<br />
k=<br />
1<br />
m<br />
k<br />
[ f ( h ) + R ]<br />
1<br />
1<br />
1+<br />
R<br />
I<br />
Il caso <strong>di</strong> z = 2 è particolarmente interessante dal punto <strong>di</strong> vista <strong>di</strong>dattico, essendo analizzabile con facilità per<br />
via grafica.<br />
Dal bilancio termico dei due rigeneratori:<br />
m2 f(hx2) = 1 × (hx2 - h0)<br />
m1 f(hx1) = (1 + m2)(hx1 - hx2)<br />
che, con l’ammissione semplificativa <strong>di</strong> f(h) ≈ I = cost , <strong>di</strong>ventano:<br />
per cui<br />
m2 I ≅ R 2 λ<br />
m1 I ≅ (1 + m2) R1 λ<br />
λ<br />
m2 = R 2<br />
I<br />
λ λ<br />
m1 = 1+<br />
R 2 R1<br />
I I<br />
( +<br />
m + m ) = 1+<br />
R 1+<br />
R<br />
(a)<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
I<br />
I
Il grafico in figura mostra gli andamenti <strong>di</strong> m1, m2 e <strong>del</strong>la loro somma al variare <strong>di</strong> R2 per un determinato valore<br />
prefissato <strong>di</strong> R; tale grafico mostra come il massimo valore <strong>del</strong>la somma (m1 + m2), e quin<strong>di</strong> anche il massimo<br />
<strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento si consegua, a parità <strong>di</strong> R = R1 + R2 , per R1 = R2 = R/2.<br />
Per z qualsiasi, si <strong>di</strong>mostra facilmente 21 la generalizzazione <strong>del</strong>la (a)<br />
z<br />
z<br />
( 1 + mk<br />
) = ∏ =<br />
1<br />
1+<br />
R<br />
e si perviene, per R totale prefissato, alla <strong>di</strong>stribuzione ottimale dei gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> rigenerazione parziali:<br />
IRA 60<br />
k 1<br />
Rk = R/z<br />
che risulta essere quella uniforme. In corrispondenza <strong>di</strong> essa, risulterà:<br />
z ( + mk<br />
)<br />
1 = 1+<br />
1<br />
e si perviene facilmente alla con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento ottimale assoluto per z spillamenti in corrispondenza <strong>di</strong>:<br />
R<br />
z<br />
z<br />
R = R opt =<br />
z + 1<br />
tale con<strong>di</strong>zione tende ad Ropt = 1 al tendere <strong>di</strong> z all’infinito, come dedotto in<strong>di</strong>pendentemente analizzando<br />
la rigenerazione continua.<br />
m1<br />
m2<br />
m2<br />
m1 + m2<br />
m1<br />
0 R2 ottimo R<br />
21 Per maggiore dettaglio, si consulti il libro <strong>di</strong> testo “Gli impianti convertitori <strong>di</strong> energia” <strong>di</strong> C. Caputo, Casa E<strong>di</strong>trice Ambrosiana.<br />
I<br />
z<br />
k<br />
λ<br />
I<br />
Somma <strong>del</strong>le portate<br />
normalizzate spillate<br />
R2
La figura che segue mostra l’andamento <strong>del</strong> massimo guadagno <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento:<br />
in funzione <strong>di</strong> R rispetto al caso <strong>di</strong> ciclo non rigenerato:<br />
0<br />
=<br />
1<br />
−<br />
1<br />
+<br />
1 I<br />
0<br />
=<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 61<br />
R<br />
opt<br />
, z<br />
−<br />
0<br />
0<br />
nell’ipotesi <strong>di</strong> f(h) ≈ I = cost .<br />
Si può notare che, incrementando z <strong>di</strong> uno, in corrispondenza <strong>di</strong> R=1 (rigenerazione completa) si ottiene lo stesso<br />
vantaggio, in termini <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento, che si otteneva con z spillamenti e per R ottimale (R = z/(z+1) = Ropt); ciò<br />
è facilmente verificabile a mezzo <strong>di</strong> una semplice analisi energetica.<br />
Le curve hanno un massimo per R = Ropt. A sinistra <strong>del</strong> massimo, prevale il beneficio in termini <strong>di</strong> effetto <strong>di</strong><br />
molteplicità <strong>del</strong>le sorgenti rispetto al nocumento in termini <strong>di</strong> effetto Clausius; a destra prevale invece il secondo. E’<br />
infatti evidente che, a parità <strong>di</strong> z, all’aumentare <strong>di</strong> R aumenta la temperatura me<strong>di</strong>a <strong>del</strong>le sorgenti superiori <strong>del</strong> ciclo<br />
(ferma rimanendo la temperatura <strong>del</strong>le sorgenti inferiori, pari alla temperatura <strong>di</strong> condensazione), mentre aumenta il<br />
∆T finito fra la temperatura dei due flui<strong>di</strong> entranti nel generico rigeneratore.<br />
Il grafico dei ren<strong>di</strong>menti evidenzia anche che, all'aumentare <strong>di</strong> z, l'incremento <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento ottenibile con<br />
l'aggiunta <strong>di</strong> uno spillamento è sempre più modesto. Per tale motivo non conviene incrementare il numero <strong>di</strong><br />
rigeneratori oltre un certo limite; per impianti <strong>di</strong> taglia (potenza nominale) molto piccola può essere presente un solo<br />
rigeneratore (che sarà a miscela, ovvero il degassatore), mentre z sarà, in linea <strong>di</strong> massima, crescente con la taglia<br />
<strong>del</strong>l'impianto sino a raggiungere valori <strong>di</strong> 7-8 per le taglie più elevate (molte centinaia <strong>di</strong> MW) dei gruppi a<br />
surriscaldamenti multipli. La scelta <strong>di</strong> z va condotta nell'ambito <strong>del</strong>lo stu<strong>di</strong>o <strong>di</strong> fattibilità tecnico-economica<br />
<strong>del</strong>l'impianto, quale compromesso ottimale fra il guadagno conseguibile in termini <strong>di</strong> economia <strong>di</strong> esercizio (grazie<br />
all'aumento <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento) e l'incremento <strong>degli</strong> oneri <strong>di</strong> investimento per la realizzazione <strong>del</strong>l'impianto, tenuto anche
conto <strong>del</strong>l'affidabilità <strong>del</strong>l'impianto stesso che, a parità <strong>di</strong> livello tecnologico dei suoi componenti, decresce<br />
all'aumentare <strong>del</strong> loro numero.<br />
IL CIRCUITO DELL’ACQUA DI ALIMENTO NELLE PRATICHE APPLICAZIONI DEGLI<br />
IMPIANTI RIGENERATI<br />
Si è fin qui ipotizzato, ai fini <strong>di</strong> <strong>di</strong>sporre <strong>di</strong> un mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> calcolo semplice capace <strong>di</strong> fornire risultati in termini<br />
espressioni semplici, generali e facilmente utilizzabili nei calcoli, <strong>di</strong> ammettere f(h) ≈ I = cost e <strong>di</strong> impiegare<br />
rigeneratori esclusivamente a miscela. Questi ultimi presentano il vantaggio innegabile <strong>di</strong> un’altissima efficienza<br />
termica, ma sono per contro ingombranti e pesanti, richiedono elevati spessori <strong>del</strong> mantello soprattutto per elevate<br />
pressioni <strong>di</strong> spillamento e, infine, richiedono una pompa <strong>di</strong> ripresa, posta alla loro mandata, per convogliare l’acqua<br />
<strong>di</strong> alimento al successivo rigeneratore, funzionante a pressione più elevata <strong>del</strong> precedente. Se z sono i rigeneratori,<br />
l’impianto necessita <strong>di</strong> (z-1) pompe <strong>di</strong> ripresa che si aggiungono alle due pompe <strong>di</strong> base: quella <strong>di</strong> estrazione (dal<br />
condensatore) e quella <strong>di</strong> alimento. Ogni pompa <strong>di</strong> ripresa, tra l’altro, dovrà essere <strong>di</strong>mensionata per una portata<br />
<strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>del</strong>la portata massima circolante nell’impianto.<br />
Pertanto, nella pratica realizzazione <strong>degli</strong> impianti a vapore, vengono impiegati quasi esclusivamente rigeneratori<br />
a superficie, tipicamente costruiti a fasci tubieri; dal lato mantello passa il vapore spillato e dal lato tubi l’acqua <strong>di</strong><br />
alimento. La condensa <strong>del</strong>lo spillato <strong>di</strong> un generico rigeneratore può essere convogliata, anziché al rigeneratore<br />
successivo a mezzo <strong>di</strong> pompa <strong>di</strong> ripresa, a quello precedente (funzionante a pressione inferiore) a mezzo <strong>di</strong> una<br />
valvola <strong>di</strong> regolazione, come mostrano le due figure successive; la prima figura, (a), corrisponde ad un impianto a<br />
semplice surriscaldamento (ciclo <strong>di</strong> base Hirn) e la seconda, (b), ad un impianto a doppio surriscaldamento.<br />
Sotto il profilo <strong>del</strong>l’efficienza termica, il rigeneratore a superficie è meno vantaggioso <strong>di</strong> quello a miscela. Il<br />
progetto <strong>di</strong> un rigeneratore a superficie, e in particolare il <strong>di</strong>mensionamento <strong>del</strong>la sua superficie <strong>di</strong> scambio, è<br />
dettato dall’assegnazione <strong>del</strong>le due <strong>di</strong>fferenze terminali <strong>di</strong> temperatura (v. figura):<br />
∆t1 = te – tw out<br />
∆t2 = tc out – tw in<br />
dove si è in<strong>di</strong>cato con:<br />
(es. 2, 1, 0, -1 gra<strong>di</strong> centigra<strong>di</strong>)<br />
(es. 5 gra<strong>di</strong> centigra<strong>di</strong>).<br />
t = temperatura <strong>del</strong> vapore spillato (t ≥ te)<br />
te = temperatura <strong>di</strong> equilibrio alla pressione <strong>di</strong> esercizio <strong>del</strong><br />
rigeneratore<br />
tw = temperatura acqua (water) <strong>di</strong> alimento<br />
tc = temperatura <strong>del</strong>la condensa<br />
in = in<strong>di</strong>ce ingresso nel rigeneratore<br />
out = in<strong>di</strong>ce uscita dal rigeneratore.<br />
t ≥ te<br />
I valori <strong>di</strong> ∆t1 sono <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 2 °C per rigeneratori funzionanti a vapore saturo, possono scendere sino a -<br />
1 per spillamenti <strong>di</strong> surriscaldato (zone più alte <strong>del</strong>l’espansione).<br />
IRA 62
Nonostante i vantaggi specifici dei rigeneratori a superficie, un rigeneratore a miscela è sempre inserito<br />
nell’impianto (v. ancora figg. (a) e (b)). A valle <strong>di</strong> esso sarà presente una pompa che coinciderà con la pompa <strong>di</strong><br />
alimento. Se le condense <strong>degli</strong> spillati sono convogliate a monte, a mezzo <strong>di</strong> valvola <strong>di</strong> regolazione, nel circuito<br />
<strong>del</strong>l’acqua <strong>di</strong> alimento saranno presenti due sole pompe: quella <strong>di</strong> estrazione, posta tra il condensatore ed il<br />
rigeneratore a miscela (degassatore) e quella <strong>di</strong> alimento, posta tra quest’ultimo ed il generatore <strong>di</strong> vapore.<br />
Il rigeneratore a miscela porta il nome <strong>di</strong> degassatore: operando in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio, assolve<br />
brillantemente la funzione <strong>del</strong> degassagio <strong>del</strong> fluido, che non può essere garantita, con le desiderate tolleranze, dal<br />
solo condensatore, ove viene operato un primo degassagio (a mezzo, or<strong>di</strong>nariamente, <strong>di</strong> eiettori funzionanti con<br />
vapore ad elevate p e T spillato appositamente da una linea <strong>del</strong> vapore “vivo”).<br />
Oltre a quella <strong>di</strong> rigeneratore a miscela, il degassatore assolve ad ulteriori funzioni:<br />
quella <strong>di</strong> degasare, asportando buona parte <strong>del</strong>l’ossigeno <strong>di</strong>sciolto nell’acqua (e <strong>di</strong> altri residui gassosi),<br />
indesiderabile sia per gli effetti <strong>del</strong>la sua pressione parziale sulle prestazioni <strong>del</strong> ciclo sia per la sua<br />
aggressività chimica nelle zone ad elevata temperatura <strong>del</strong>l’impianto;<br />
quella <strong>di</strong> polmone <strong>di</strong> liquido, sostituendo il serbatoio a cielo aperto <strong>del</strong>l’impianto elementare stu<strong>di</strong>ato in<br />
precedenza, garantendo una stabile pressione <strong>di</strong> base <strong>del</strong>l’impianto stesso;<br />
quella <strong>di</strong> separatore <strong>del</strong> circuito <strong>del</strong>l’acqua <strong>di</strong> alimento in due linee: una alla pressione <strong>del</strong> degassatore<br />
(garantita dalla pompa <strong>di</strong> estrazione) ed una alla pressione <strong>del</strong> generatore <strong>di</strong> vapore (garantita dalla<br />
pompa <strong>di</strong> alimento), frazionando convenientemente l’altissimo ∆p <strong>del</strong> circuito <strong>del</strong>l’acqua <strong>di</strong> alimento.<br />
Per impianti <strong>di</strong> grande taglia, il degassatore<br />
viene realizzato secondo la configurazione a serbatoio<br />
in pressione ad asse orizzontale e colonna a piatti (v.<br />
fig.). La parte inferiore <strong>del</strong> serbatoio (S) è occupata dal<br />
liquido, quella superiore dal vapore saturo in equilibrio<br />
alla pressione <strong>di</strong> esercizio (prossima alla pressione <strong>del</strong><br />
vapore spillato). La colonna a piatti porta alla sua<br />
sommità un orifizio destinato allo sfogo spontaneo dei<br />
gas. Alla base <strong>del</strong>la colonna viene convogliato il vapore<br />
spillato, alla sommità la condensa già preriscaldata nei<br />
rigeneratori a pressione più bassa. Il vapore,<br />
ascendendo, condensa, la condensa, <strong>di</strong>scendendo, si<br />
riscalda e si accumula in (S). I gas incoercibili trovano<br />
l’uscita attraverso l’orifizio superiore opportunamente<br />
<strong>di</strong>mensionato. La pompa <strong>di</strong> alimento, come quella <strong>di</strong> estrazione, è installata sotto battente per scongiurare<br />
l’insorgere <strong>di</strong> cavitazione. La pressione <strong>di</strong> esercizio <strong>del</strong> degassatore deve essere sufficientemente elevata per<br />
favorire convenientemente la fuoriuscita <strong>del</strong> gas, ma non eccessivamente per non elevare troppo la pressione <strong>di</strong><br />
esercizio, che incide sullo spessore (e sul costo) <strong>del</strong> grande serbatoio ad asse orizzontale. In pratica, si adotta una<br />
pressione <strong>di</strong> 4÷5 bar negli impianti a semplice surriscaldamento (fig. a) ed una <strong>di</strong> 6÷10 bar per quelli a<br />
surriscaldamenti multipli (fig. b). Tali scelte sono dettate anche da motivi <strong>di</strong> ottimizzazione termo<strong>di</strong>namica<br />
<strong>del</strong>l’impianto; <strong>di</strong> solito a monte ed a valle <strong>del</strong> degassatore si ha un numero <strong>di</strong> rigeneratori a superficie <strong>del</strong>lo stesso<br />
or<strong>di</strong>ne, ad es. 2 o 3 negli impianti <strong>di</strong> grande taglia, per un totale massimo <strong>di</strong> 7÷8 rigeneratori o poco più.<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 63
In <strong>di</strong>versi casi, per uno a al massimo due rigeneratori a superficie, la condensa <strong>del</strong>lo spillato viene inviata, a<br />
mezzo <strong>di</strong> pompa <strong>di</strong> ripresa, a valle anziché a monte, conseguendosi così un piccolo vantaggio in termini <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento termo<strong>di</strong>namico. E’ in tale caso necessaria una pompa <strong>di</strong> ripresa, per il convogliamento <strong>del</strong>la condensa<br />
<strong>del</strong>lo spillato, e non più una valvola <strong>di</strong> regolazione. Ciò comporta un maggior onere <strong>di</strong> costo <strong>del</strong>l’impianto; la<br />
presenza <strong>del</strong>la pompa richiede fra l’altro l’installazione <strong>di</strong> una seconda pompa <strong>di</strong> back-up per garantire la continuità<br />
<strong>di</strong> funzionamento in caso <strong>di</strong> avaria <strong>del</strong>la pompa stessa. Peraltro, il costo <strong>del</strong>la macchina risulta più contenuto,<br />
rispetto a quanto avviene in un impianto con rigeneratori tutti a miscela, poiché la portata <strong>del</strong>la pompa <strong>di</strong> ripresa per<br />
scambiatore a superficie è modesta, corrispondendo ad una contenuta percentuale (spillamenti) <strong>del</strong>la portata<br />
massima (<strong>di</strong> ammissione in turbina).<br />
La fig. (b) riporta uno schema <strong>di</strong> impianto a duplice surriscaldamento in cui l’alta pressione (AP) e la me<strong>di</strong>a<br />
pressione (MP) sono realizzate con un unico corpo <strong>di</strong> turbina, mentre la bassa pressione (BP) è realizzata su due<br />
corpi (simmetrici per il bilanciamento <strong>del</strong>le spinte assiali sull’albero).<br />
In altri casi, là dove le elevate portate lo richiedano, la crescita <strong>del</strong> volume specifico <strong>del</strong> vapore nel corso<br />
<strong>del</strong>l’espansione impone già alla MP la realizzazione a “doppio corpo” e quella <strong>del</strong>la BP a due “doppi corpi”,<br />
ciascuno alimentato dalla mandata <strong>di</strong> un corpo <strong>di</strong> MP.<br />
Un moderno gruppo a vapore a doppio surriscaldamento per centrale termoelettrica, dotato <strong>di</strong> appropriata<br />
catena rigenerativa, può funzionare, a carico nominale, con un ren<strong>di</strong>mento termo<strong>di</strong>namico <strong>del</strong>l'or<strong>di</strong>ne <strong>del</strong> 40-42%.<br />
Si sottolinea che l'adozione <strong>di</strong> un circuito <strong>del</strong>l'acqua <strong>di</strong> alimento semplificato (scambiatori tutti a miscela),<br />
unitamente all'assunzione semplificativa <strong>di</strong> f(h) costante, ha permesso <strong>di</strong> condurre comodamente una facile<br />
analisi termo<strong>di</strong>namica <strong>degli</strong> impianti, conseguendo risultati espressi da formule molto semplici e <strong>di</strong> vali<strong>di</strong>tà <strong>del</strong> tutto<br />
generale, con precisioni numeriche non esemplari ma tali da non stravolgere gli or<strong>di</strong>ni <strong>di</strong> grandezza <strong>del</strong>la realtà. Nel<br />
caso <strong>di</strong> analisi termo<strong>di</strong>namiche fini, sia <strong>di</strong> progetto che <strong>di</strong> verifica, è ovviamente necessario fare ricorso ad un<br />
mo<strong>del</strong>lo fisico-matematico <strong>del</strong>l'impianto che rispetti la reale architettura <strong>del</strong> circuito <strong>del</strong>l'acqua <strong>di</strong> alimento e che<br />
schematizzi realisticamente la legge f(h), consentendo <strong>di</strong> raggiungere, a mezzo <strong>di</strong> procedura <strong>di</strong> calcolo numerica,<br />
risultati molto accurati per lo specifico gruppo analizzato.<br />
IRA 64
Fig. impianto (a).<br />
Appunti <strong>di</strong> Macchine 65
Pa<br />
R 8<br />
R 6<br />
R 1<br />
R 2 R 3 R 4<br />
R 5<br />
Pe<br />
R 7<br />
IRA 66<br />
BP<br />
AP MP<br />
Fig. impianto (b).