Lezione 6 - Brunochiarini.it

7
Analisi Strategica
per la
Politica Economica
Parte Sesta
Prof. Bruno Chiarini

Discounting
Tassi di sconto molto piccoli indicano una
valutazione inferiore delle payoff future
rispetto alla payoff corrente (il futuro conta
poco), tassi di sconto vicini ad 1 indicano
valutazioni delle payoffs future pressoché
analoghe a quella corrente (il futuro conta).
Con δ=1 si ha una situazione di “nodiscounting”.
Payoffs future e quella
corrente sono valutate esattamente allo
stesso modo. Un euro ottenuto nel futuro
vale esattamente un euro di oggi.
Il tasso di sconto δ è legato al fattore di
sconto r (o tasso di interesse) nel seguente
modo: δ=1/1+r. In altri termini, quando
δ=1, ciò significa che r=0. Più il tasso di
interesse è basso (il fattore di sconto è alto)
più l’individuo sconta meno il futuro ed è più
paziente. Per un tasso di sconto δ=1/2, il
tasso di interesse è r=1.

GIOCHI RIPETUTI
Supergioco ≠ Gioco Dinamico
● La ripetizione del
iniziale modifica lo
stock di
informazione degli
agenti ad ogni
round successivo
● Modificano le
strutture dei
payoffs
● Modifica lo spazio
delle strategie
disponibili
→ Non è del tutto inappropriato chiamarli
giochi dinamici

● Mosse → Sequenza di mosse
● Il gioco si estende da:
● Sequenza di payoffs
● L’esito del supergioco è dato dalla somma dei
guadagni scontata (guadagni percepiti in ogni
round del supergioco)
● Sconto: esigenza in quanto i guadagni hanno
luogo in tempi diversi. I giocatori sono
“impazienti”: danno un peso diverso (minore)
ai guadagni percepiti in futuro
● Per confrontare tali esiti occorre perciò
attualizzarli
0 T FINITO
0
∞ INFINITO

● La soluzione del supergioco non è
necessariamente la ripetizione di T volte della
soluzione del gioco iniziale:
→ Es. Giochi riconducibili al Dilemma-
Prigioniero
→ Soluzione One-Shot
Nash (C-C)
→ Soluzione ripetuta potrebbe essere:
[NC-NC] t=1,2, …
● La strategia cooperativa ad ogni round del
gioco può risultare conveniente perchè
altrimenti le perdite causate nel futuro dalla
punizione comminata dall’avversario (che
giocherà Nash) potrebbe essere più onerosa
del guadagno con la defezione!

● L’idea è che la ripetizione di situazioni
conflittuali (quando esistono minacce credibili
di punizioni) possa generare comportamenti
cooperativi è alla base del:
● Es. Un’autorità
esterna (o un
fattore esterno)
costringe a
cooperare
Folk Theorem
→ La cooperazione può avvenire per via:
Esogena Endogena
● Con la ripetizione
la cooperazione si
impone
endogenamente
(anche se non si è
del tutto sicuri)

→ Si coopera per convenienza economica
→ L’esito dipende dal gioco se è ripetuto un
numero:
Finito
Infinito
One-Shot Nash
Cooperaz.
Se Finito: Backward-Induction:
● L’ultimo round cessa la convenienza nel
giocare cooperativo: non vi è deterrente della
punizione futura
● Nel penultimo round non c’è convenienza a
cooperare dato che nel round successivo si
avrà una soluzione conflittuale, etc.
→ Con T Finito → Cooperazione solo se i
giocatori non sanno con esattezza quando
avrà termine il gioco

FOLK THEOREM
→ Giocatori A e B
→ Punto di vista di A:
A
Collabora
Tradisce
(Defeziona)
A e B non
collaborano
V COOP
V DEF
V NASH
V DEF > V COOP > V NASH
● Se al tempo t, A tradisce ottiene il guadagno
V DEF – V COOP
● Ma in ogni periodo successivo subirà una
perdita: l’avversario lo costringerà
all’equilibrio di Nash
V COOP – V NASH
Perdita in ogni
periodo successivo

A coopera solo se:
→ L’incremento dell’utilità ottenuto con la
defezione è inferiore al valore attuale delle
perdite future: (VAP) per t= 1,2, ….
VAP = Ʃ t δ t (V COOP -V NASH )
Per cooperare:
Ʃ tδ t (V COOP -V NASH )>(V DEF -V COOP )

NOTA: Proprietà serie geometriche:
Ʃ ∞ 0δ = 1+δ+δ 2 + … δ i i →∞
=
1
1- δ
1
=
1- 1
1+ r
1 +r
r
Inoltre la nostra Ʃ parte da t=1:
Ʃ ∞
t=1
1 +r
=
r
t
= 1 +r
1 +r
r
1
-
r 1+r
- 1 = 1/r
0

VAP = 1 (V COOP -V NASH )
r Valore attuale
Per cooperare:
delle perdite future
1 (V COOP -V NASH )>(V DEF -V COOP )
r
r <
(V COOP -V NASH )
(V DEF -V COOP )
● Conviene tener fede all’accordo quando si da
adeguata importanza al futuro (il tasso di
sconto è abbastanza piccolo e il fattore di
sconto δ conseguentemente elevato e
prossimo a 1)

● In tal caso si valutano come onerose
le perdite. Se il giocatore è molto
impaziente (ralto δ basso) sarà
per lui conveniente tradire:
attribuisce scarso peso alle perdite
future

ESEMPIO DILEMMA DEL PRIGIONIERO
b 1
b 2
a 1 8, 8 1, 14
a 2 14, 1 5, 5
Equilibrio One-Shot:
(a 2 , b 2)
→ Se viene ripetuto un numero infinito di volte?
● Se I defeziona ottiene un guadagno
immediato di 6 (da 8 a 14). Tuttavia in tutti i
rounds successivi la sua payoff peggiora di 3
(da 8 a 5)
● Al giocatore I conviene confermare l’accordo
su (a 1 , b 1) se
6
<
Ʃ ∞
t=1
3
1
1+r
(V DEF -V COOP ) (V COOP -V NASH )
Guagagno
immediato
<
Perdite
attualizzate
t

6 < 3 (1/r) r < ½
r < ½
È la condizione necessaria affinché nel
gioco ripetuto (con orizzonte infinito)
al giocatore I convenga adottare un
comportamento cooperativo, posto
che II cooperi

FOLK THEOREM
INTRODUZIONE
DELLE
TRIGGER
STRATEGIES

→ Dato il fattore di sconto δ il valore attuale di
una successione infinita di payoff π 1, π 2, π 3 …
π 1 + δπ 2 + δ 2 π 3 + … Ʃ ∞ δ t-1 π 2
● Con il fattore di sconto si può intendere un
gioco ripetuto infinitamente come un gioco
che termina dopo un numero casuale di
ripetizioni
● Alla fine di ogni ripetizione esiste una
probabilità (p) che il gioco finisca e (1-p) che
continui per un altro turno
● Nel prossimo turno la payoff vale:
(1-p)πδ
● Tra due turni (qualora entrambi i turni
vengano giocati), la payoff sarà:
(1-p) 2 πδ 2

→ Se ridefiniamo:
δ = (1-p)
(1+r)
→ Allora il valore attuale:
π 1 + δπ 2 + δ 2 π 3 + …
● Riflette sia lo sconto che l’“eventualità” che il
gioco abbia termine

Dilemma del Prigioniero
L 2
R 2
L 1 1,1 5,0
R 1 0,5 4,4
● Il giocatore (i) inizia il gioco ripetuto
infinitamente cooperando, e poi
coopera in ogni turno successivo a
condizione che entrambi i giocatori
abbiano cooperato nello stadio
precedente
→ (i) gioca R i nel primo stadio
→ (i) gioca R i nel t-esimo stadio se:
l’esito dei t-1 stadi precedenti è stato
(R 1, R 2), altrimenti gioca L i

● Una Trigger Strategy: prescrive che un
giocatore cooperi fino a quando un
altro non devia dalla soluzione
cooperativa
● Se entrambi usano la Trigger Strategy
l’esito del gioco è (R 1, R 2)
● Se (i) adotta la TS anche per il
giocatore (j) giocare la TS è una
risposta ottima se δ è
sufficientemente prossimo all’unità
● (j) giocando L j otterrà una payoff di 5
nel primo stadio ma innescherà una
fase di non cooperazione da parte di
(i) (e quindi anche di j) così che le
payoff in ogni stadio futuro saranno
pari a 1.

Se sceglie L j il valore attuale è:
5 + δ·1 + δ 2 ·1 + … =
5 +
δ
1- δ
= V
● Se invece sceglie R j ottiene una payoff
di 4 in questo stadio
● Se V= valore attuale della successione
infinita delle payoff che (j) riceve con
tale scelta:
V= 4 + δ·V
V =
4
(1- δ)

Riassumendo: Nell’esempio del Dilemma del
Prigioniero
Devia
5 + δ·1 + δ 2 ·1 + δ 3 ·1 =
5 + δ [1 + δ + δ 2 + …] =
Coopera
4 + δ·4 + δ 2 ·4 + δ 3 ·4 =
4 [1 + δ + δ 2 + …] = 1- δ
→ È ottimo cooperare se:
4 .
1
1- δ
≥
4
δ
5 + . 1
1- δ
δ
5 + . 1
1- δ

→ Giocare R j è ottimo solo se:
4
≥
1- δ
→Cioè se δ ≥ ¼.
5 +
δ
1- δ
→ In ogni stadio per (j) è ottimo
giocare R j solo se δ ≥ ¼. Qualora
l’esito in uno stadio sia diverso da
(R 1, R 2) (j) giocherà L j per sempre:
Giocare la Trigger Strategy , da parte
di entrambi i giocatori, in questo
gioco è un Equilibrio di Nash se e solo
se δ ≥ ¼

Ricordare: Un Equilibrio di Nash è perfetto
nei sottogiochi se le strategie dei
sottogiochi costituiscono un E.N. in
ogni sottogioco
● Per mostrare che un E.N. in Trigger
Strategies del Dilemma del Prigioniero
ripetuto infinitam. è perfetto nei
sottogiochi, mostrare che le TS sono
un E.N. per ogni sottogioco del gioco
ripetuto
● Ogni sottogioco di un gioco ripetuto
infinitamente è identico al gioco nel
suo complesso
→ 2 Classi di sottogiochi:
1. In cui tutti gli stadi precedenti sono (R 1, R 2)
2. In cui in almeno uno stadio precedente l’esito
è diverso da (R 1, R 2)

● Le TS nei sottogiochi della prima
classe sono le TS che si è mostrato
producono un Equilibrio di Nash per
l’intero gioco.
● Le strategie della seconda classe
producono la ripetizione infinita di (L 1,
L 2) che è anch’esso un Equilibri di
Nash per il gioco nel suo complesso.
● L’Equilibrio di Nash in Trigger
Strategy del DP ripetuto è perfetto
nei sottogiochi

Relazione tra tasso di sconto e
fattore di sconto.
Nella prima formulazione del Folk Theorem
abbiamo fornito una soluzione in termini di
fattore di sconto. Nella formulazione delle
trigger strategy in termini di tasso di sconto.
δ =
1
1+r

→ Riprendiamo il gioco DP
≥
8 .
→ NOTA:
δ =
8 ≥
1
1- δ
14 - δ·9
1
≥
14 +
(1- δ)14+ δ·5
1+r
b 1
δ =
2
3
b 2
a 1 8,8 1,14
a 2 14,1 5,5
δ
1- δ
6
9
=
.
=
1
5
2
3
1+r
(1+r) 3
= r 1
=
2
2

COURNOT
P(Q) = a – Q ; Q = q 1 + q 2 ;
→ Unico Equilibrio di Nash ogni impresa
produce
q i =
(a-c)
= q C = q COURNOT
→NOTA: La quantità aggregata di Equilibrio
(a-c)
è maggiore di quella di monopolio
Le imprese hanno l’incentivo a produrre la metà
della quantità di monopolio
3
2
q i =
3
q m
2
q m =
Questa potrebbe essere la quantità
su cui accordarsi
Q < a ; C
(a-c)
2

→ Nel Gioco statico non si rispetta questo
accordo, in un Gioco ripetuto infinitamente?
● Calcolare i valori di δ per cui le Trigger-
Strategy adottate dalle imprese costituiscono
un E.N. perfetto nei sottogiochi:
● Accordo prevede che si produca q m/2 nel 1
periodo: nel t-esimo si produce q m/2 se
entrambe hanno prodotto q m/2 nei t-1 periodi
altrimenti si produce q c
● Se entrambe producono q m/2,
PROFITTO
Se entrambe producono q C:
PROFITTO
π m
2
π c
=
=
(a-c) 2
8
(a-c) 2
9

COURNOT – RIPETUTO
→ NOTA:
C.P.O.
πD = a qj – q 2 q
j – qj
m
– c qj 2
∂(π D)
∂q j
qm = a - 2qj - - c
2
qm qj = a - - c
2
q m =
(a-c)
2
1
= a -
(a-c)
- c
2
4
q j =
3 (a-c)
8
1
2

π m
2
π c
π D
=
=
=
(a-c) 2
8
(a-c) 2
9
9(a-c) 2
64
10
8
10
9
10·9
64
π D >π m/2>π c
= 1.25
= 1.11
= 1.40

→ DEVIAZIONE: Se (i) produce q m/2 , (j) può
massimizzare la sua quantità
∂(π D)
∂q j
q m
π MAX
D = (a – qj – – c) qj qj 2
q j
=
3(a-c)
8
π D
=
9(a-c) 2
64
→ La soluzione dove entrambe adottano le TS è
un Equilibrio di Nash se:
1
1- δ
·
π m
2
≥
π d +
δ
1- δ
· π c
→ Se sostituite i valori πm , πd e πc nella
si ha:
9
δ ≥
17
1
1- δ
·
π m
2
≥
π d +
δ
1- δ
· π c
(1)
(1)
Deviazione Cournot
Cooperano sempre
Nash
per la metà del
monopolio
(Punizione)

SERIE GEOMETRICHE CONVERGENTI
→ Per ogni valore positivo di p
1+p+p 2 +p 3 + … p i i →∞
→ Converge a:
1
1- p
i →∞

Un gioco ripetuto rappresenta una
situazione in cui due o più individui
affrontano esattamente la stessa
situazione competitiva un numero infinito
di volte e sempre con informazione
completa riguardo il comportamento
passato dei giocatori.
Una strategia per un giocatore in un gioco
ripetuto è una regola per determinare la
sua mossa in ogni round in funzione della
storia delle mosse che sono state utilizzate
in ogni precedente round.
Le due strategie più utilizzate sono grim
strategy e Tit-for-Tat, entrambi sono
dette trigger strategy.

E
C F
C 5,5 -3,8
F 8,-3 0,0
(-3, 8)
8
A
B
(5, 5)
-3 O 5
8
-3
gli assi verticali ed orizzontali
indicano le payoffs,
rispettivamente, di II e di I.
C
F
(8, -3)
L’area OEABCF, rappresenta tutte le possibili
soluzioni se i due giocatori utilizzano le
possibili combinazioni delle quattro soluzioni
(5,5), (-3,8), (8,-3) e (0,0)

Se restringiamo il set di strategie a quelle
nell’area convessa OABC il Folk Theorem
garantisce che ogni punto in questa area
convessa è un equilibrio di Nash
raggiungibile come media delle payoffs del
gioco ripetuto un numero di volte infinito,
purché i giocatori non scontino troppo il
futuro (siano pazienti).
Questa area mostra l’area di payoffs
cooperativa (superiore all’equilibrio one-shot
che produce una payoff di zero per entrambi
i giocatori).
L’area piuttosto ampia indica che un DP
ripetuto infinitamente ha molti Nash. Notare
che uno di questi è giocare sempre (F,F) in
ogni ripetizione e uno è invece giocare sempre
(C,C), entrambi i punti fanno parte del set di
equilibri della figura.

Il giocatore I annuncia una grim strategy
(feroce, spietato, truce): gioca C e nel caso
l’atro giocatore devi da questa soluzione,
giocherà sempre F.
Se per II questo annuncio è credibile, allora
qual è la sua strategia ottimale?
Se gioca anch’esso sempre C, otterrà una
sequenza di 5, cui corrisponde un valore
atteso scontato pari a 5/1-δ
Se invece, per qualsiasi ragione, non ritiene
di giocare C, ma optare subito con F, ottiene
subito un guadagno pari a 8 e poi,
successivamente, una payoff pari a 0.
Confrontando i due esiti si nota che la
risposta ottima dipende dal tasso di sconto,
in questo caso sappiamo che per valori del
tasso di sconto almeno uguali a 3/8,
l’opponente non ha incentivo a giocare né
ora né mai F.
In maniera analoga se il giocatore II
annuncia una grim strategy, giocare sempre
C.

:Grim vs Tit for Tat strategy
c d
C R, R N, T
D T, N P, P
DP: R=ricavo; P=punizione; T=tentazione; N=naive.
C = strategia cooperativa; D =defezione. T>R>P>N.
TfT: gioca cooperare nella primo round
e in tutti gli altri rounds gioca la
strategia usata dell’altro giocatore nel
round precedente
Un giocatore coopera nel primo round di
un DP e, successivamente, si comporta
in base a quello che ha fatto il suo
opponente nel precedente round.
Quindi, una volta constatata la
defezione, si pratica un immediata e
reciproca punizione: se tu defezioni in
questo round io defeziono il round
successivo.

Grim (spietata) trigger strategy: una
volta che un giocatore devia dalla
soluzione cooperativa, l’opponente
mette in pratica per sempre la
minaccia punitiva di giocare la
strategia il cui risultato produce
l’equilibrio inefficiente.

Con grim trigger strategy, il comportamento
opportunistico o “deviante” è dissuaso
quando:
Dev
Dev
c d
C R, R N, T
D T, N P, P
1
R
1
R T ( 1
T
T
T
P
R
P
T
T
)
1
coop
Nash
R
P
P
R
T
T
T
R
P
T
P

Con TfT trigger strategy
Dev
coop
coop
Naive
T
R
R
N

se un giocatore defeziona in un
round del gioco e poi gioca
cooperativo nel round successivo,
ottiene una payoff di T+δN. Se
invece il giocatore che defeziona usa
il TfT (gioca cooperare nella primo
round e in tutti gli altri rounds gioca
la strategia usata dell’altro giocatore
nel round precedente), la sua payoff
è R+δR. Dopo questi due primi
round i giocatori ritornano a giocare
cooperativo negli altri round. La
defezione è quindi dissuasa se:
Cioe’:
R
Dev
coop
R
T
coop
Naive
N
T
R
R
N

T
T
R
P
9
9
8
2
1
7
s g
a 8, 8 0, 9
b 9, 0 2, 2
;
Nota in questo caso la Grim strategy produce la
soglia del tasso di sconto più elevata di quella
della TfT .
Il deterrente necessario per cooperare in ogni
round del gioco è supportato dalla strategia grim.
In questi casi la strategia TfT potrebbe supportare
la (o forzare alla) cooperazione tra i due giocatori
per valori del tasso di sconto per cui la strategia
grim non potrebbe: la TfT produce valori inferiori
per il tasso di sconto di quelli prodotti dalla grim.
T
R
R
N
9
8
8
0
1
8

Un DP ripetuto infinitamente ha un infinito
numero di strategie, ad esempio,
1) Il giocatore I può giocare TfT e il giocatore II può
giocare TfT.
2) Il giocatore I può giocare TfT e il giocatore II può
giocare grim.
3) Il giocatore I può giocare TfT e il giocatore II può
giocare sempre C.
4) Il giocatore I può giocare TfT e il giocatore II può
giocare sempre F.
5) Il giocatore I può giocare grim e il giocatore II
giocare TfT.
6) Il giocatore I può giocare grim e il giocatore II
giocare grim
7) Il giocatore I può giocare grim e il giocatore II
giocare sempre C
………..