Ottimalità della regola di Bayes per la combinazione di ...

Optimality of Bayes’ rule
in combining probability assignments
Mario Di Bacco
Polo Universitario of Asti, Italy
Viviana Doldi
University of Pavia, Italy
Sia H un evento; scriviamo H = 1 se l’evento è vero - è realizzato - , e
H = 0 se l’evento è falso. L’agente A assegna ad H = 1 la probabilità
p = P r(H = 1|A). Poi decide di consultare l’Esperto Ex, il quale gli comunicherà,
al termine del consulto, la sua assegnazione di probabilità. Notiamo
subito che, al momento in cui A decide di consultare l’esperto Ex,
l’assegnazione di probabilità di Ex è, per A, un numero aleatorio, ossia è
aleatoria P r(H = 1|Ex) = P . E’ ovvio che A utilizzerà la realizzazione di P
per aggiornare la sua probabilità iniziale p.
La rappresentazione analitica del processo di aggiornamento si attua tramite
una funzione g(p, ·), che ha per parametro p e come argomento almeno la
realizzazione di P . Essendo P aleatorio, sarà allora aleatorio anche il valore
g(p, P ). La caratterizzazione di g(p, ·) è oggetto di molte proposte:
una rassegna critica, ancora oggi esauriente, è fornita da Genest e Zidek
(1988). Noi faremo riferimento unicamente alla pionieristica proposta di
Morris (1977), il quale riconduce la scelta della pooling function (detta brevemente,
nel seguito, pf) g(p, ·) nel paradigma bayesiano. Morris giustifica la
razionalità della sua proposta con la razionalità del teorema di Bayes, a sua
volta sorretto dal principio di coerenza di de Finetti (1979, vol.2, capitolo
XI). Noi perverremo ad una pf avente la stessa struttura formale della pf
bayesiana, ma il nostro punto di partenza non è il summenzionato principio
de finettiano.
Assumiamo:
AS1 l’assegnazione di probabilità p di A rappresenta la sua incertezza sulla
verità di H; siccome A preferisce essere ”meno incerto” piuttosto che

”incerto”, si ha
p ′ > p, per ogni p ′ > p ≥ 1
2
p ′ > p, per ogni p ′ < p < 1
2
AS2 La rappresentazione dell’ordinamento (1) si ottiene tramite la funzione,
con dominio l’intervallo (0, 1), Γ(·), che chiameremo funzione di soddisfazione.
Noi assumiamo che la soddisfazione marginale sia crescente.
Per semplicità, ma senza sostanziale perdita di generalità, Γ è assunta
simmetrica rispetto a p = 1
2 .
AS3 A è consapevole che la dichiarazione di Ex potrebbe condurlo ad un aggiornamento
di opinione che lo rende, di fatto, più incerto sullo stato di
H; conseguentemente g(p, P ) potrebbe essere minore di p, per certi valori
di P . Assumiamo perció: il supporto del numero aleatorio g(p, P ) è
l’intervallo (0, 1). Si noti che tale assunzione è implicitamente accettata
dalla pf bayesiana.
AS4 A sa assegnare al numero aleatorio P una distribuzione di probabilità,
vale a dire sa rappresentare con una probabilità la sua fiducia sulle
possibili dichiarazioni di Ex. Noi assumiamo che il supporto del numero
aleatorio P sia l’insieme
(1)
{P1, . . . , Pn}, 0 < Pi < 1 per ogni i = 1, . . . , n, (2)
e πi > 0, πi = 1 la probabilità che A assegna a Pi. La restrizione 2,
tecnicamente opportuna, è tutt’altro che irrealistica: è infatti verosimile
che A, consultando Ex, gli suggerisca una scala di valori all’interno
della quale Ex debba scegliere la propria valutazione.
Tenendo conto, in particolare, di AS3, AS4, la soddisfazione prospettiva di
A consultando Ex è descritta dalla matrice
Γ(g(p, P1)) . . . Γ(g(p, Pi)) . . .
Γ(g(p, Pn))
π1 . . . πi . . . πn
che indicheremo, in breve, tramite la scrittura {Γ(g(p, P )); π}.
A è motivato a consultare Ex dal fatto che giudica
{Γ(g(p, P )); π} ≻ {Γ(p); 1}. (3)

La rappresentazione numerica del giudizio 3 sarà ottenuta tramite una media
F , ovvero
F ({Γ(g(p, P )); π}) > F ({Γ(p); 1}) . (4)
Si noti - è cruciale - che non possiamo assumere senz’altro che la F sia la
speranza, ovvero non possiamo affermare
n
F ({Γ(g(p, P )); π}) = Γ(g(p, Pi))πi : (5)
infatti nessuna delle nostre assunzioni include il principio di coerenza de
finettiano che giustifica, appunto, la speranza. Va da sé che se il funzionale
F è la speranza, allora per la pf bayesiana risulta
e AS2 garantisce la validità della (4).
i=1
F ({g(p, P ); π}) = p
In questo lavoro proveremo: nella sezione 2 che, sussistendo AS2 per ogni
funzione convessa e ammettendo al più il segno di uguaglianza nella (4),
la media F è necessariamnete la speranza (5); nella sezione 3, con il Main
Theorem, caratterizzeremo la classe Go delle pf che garantiscono la (4): la
scelta di una qualunque delle pf della classe Go garantisce soddisfazione ad
A. Nella sezione 4, accettando che la possibilità che A usi la dichiarazione P
di Ex per aggiornare la probabilità P r(H = 0|A) = 1 − p - che egli assegna
alla falsità di H - e che proceda alla costruzione della pf rispettando ancora
AS1-AS4, proveremo l’unicità della pf che formalmente ha la struttura della
pf bayesiana. Alcune osservazioni, nella sezione 5, concludono il lavoro.
References
Aczél, J. (1966). Lectures on functional equations and their applications.
Academic Press, New York.
de Finetti, B. (1970). Teoria della probabilità. Einaudi, Torino.
Morris, A. (1977). Combining expert judgement: a bayesian approach.
Management Science, 23, 679-693.
Morris, A. (1974). Decision analysis expert use. Management Science, 20,
1233-1244.
Genest, C., and Zidek, J.V. (1988). Combining probability distributions:
a critique and annoted bibliography. Decision Science, 1.