Ottimalità della regola di Bayes per la combinazione di ...

”incerto”, si ha
p ′ > p, per ogni p ′ > p ≥ 1
2
p ′ > p, per ogni p ′ < p < 1
2
AS2 La rappresentazione dell’ordinamento (1) si ottiene tramite la funzione,
con dominio l’intervallo (0, 1), Γ(·), che chiameremo funzione di soddisfazione.
Noi assumiamo che la soddisfazione marginale sia crescente.
Per semplicità, ma senza sostanziale perdita di generalità, Γ è assunta
simmetrica rispetto a p = 1
2 .
AS3 A è consapevole che la dichiarazione di Ex potrebbe condurlo ad un aggiornamento
di opinione che lo rende, di fatto, più incerto sullo stato di
H; conseguentemente g(p, P ) potrebbe essere minore di p, per certi valori
di P . Assumiamo perció: il supporto del numero aleatorio g(p, P ) è
l’intervallo (0, 1). Si noti che tale assunzione è implicitamente accettata
dalla pf bayesiana.
AS4 A sa assegnare al numero aleatorio P una distribuzione di probabilità,
vale a dire sa rappresentare con una probabilità la sua fiducia sulle
possibili dichiarazioni di Ex. Noi assumiamo che il supporto del numero
aleatorio P sia l’insieme
(1)
{P1, . . . , Pn}, 0 < Pi < 1 per ogni i = 1, . . . , n, (2)
e πi > 0, πi = 1 la probabilità che A assegna a Pi. La restrizione 2,
tecnicamente opportuna, è tutt’altro che irrealistica: è infatti verosimile
che A, consultando Ex, gli suggerisca una scala di valori all’interno
della quale Ex debba scegliere la propria valutazione.
Tenendo conto, in particolare, di AS3, AS4, la soddisfazione prospettiva di
A consultando Ex è descritta dalla matrice
Γ(g(p, P1)) . . . Γ(g(p, Pi)) . . .
Γ(g(p, Pn))
π1 . . . πi . . . πn
che indicheremo, in breve, tramite la scrittura {Γ(g(p, P )); π}.
A è motivato a consultare Ex dal fatto che giudica
{Γ(g(p, P )); π} ≻ {Γ(p); 1}. (3)